kupa, povrsina i zapremina kupe

Купа

У оквиру наставне теме купа изучаваћемо:

елементе купе

равне пресеке купе

површину купе

запремину купе

Нека се у равни налази круг и нека је S тачка која не припада равни . Површ коју образују праве које садрже тачку S и пролазе кроз тачке кружнице назива се конусна површ. Тело ограничено датим кругом и делом конусне површи од круга до дате тачке назива се купа.

Уколико је ортогонална пројекција тачке S на раван центар датог круга, онда се одговарајућа купа назива права купа.

Пошто ћемо се ми искључиво бавити оваквим купама, реч „права” ћемо изостављати.

Тачка S се назива врх купе.

Круг је основа или база купе (B).

Део конусне површи од врха до основе купе назива се омотач купе (М).

Растојање тачке S од равни основе назива се висина купе (H). Полупречник кружнице је полупречник основе (r).

Дуж која спаја врх купе и тачку на кружници основеназива се изводница купе (s). Све изводнице (праве) купе међусобно једнаке.

Купа је, као и ваљак, једно обло тело.

Купа је и ротационо тело, јер се може добити ротацијом правоуглог троугла око једне катете (или ротацијом једнакокраког троугла око своје осе).

ОA

V

Из претходног закључујемо да важи веза:

222 Hrs

Права која садржи центaр основe купе и њен врх назива се оса купе. Пресек купе и равни која садржи њену осу назива се осни пресек купе. Осни пресек купе је једнакокраки троугао основице 2r а дужина крака једнака је s.

srOop 22 rHrHPop 22

Mрежа купе, површина купе

Мрежу купе чини основа купе и омотач купе, представљени у једној равни.

Основа купе је круг полупречника r.Oмотач купе је кружни исечак чији је полупречник једнак изводници купе, а дужина његовог кружног лука једнака је обиму основе купе.

Површина кружног исечка једнака је половини производа његовог полупречника и дужине кружног лука који тај кружни исечак одређује. Дакле,

тј.

rsM 221

srM

МBP

Површ купе састоји се од основе и омотача, па је површина купе једнака збиру површине њене основе и површине њеног омотача.

Површина купе чији је полупречник основе r и изводница s, израчунава се на следећи начин:

или

srMrB

МBP

2

srrPsrrP

2

Запремина купе

Eксперименталним путем се може утврдити да је запремина купе једнака трећини запремине ваљка чија је основа подударна основи купе, а висина једнака њеној висини.

Запремина купе полупречника основе r и висине H израчунава се по формули:

HrV

BHV

23131

r.

Hs

Презентацију је израдила Мирјана Митић,наставник математике

Хвала на пажњи!