kvantitativne 3 web

2. Mreže

Mreža

Definicija 20: je mreža, gdje je (V, R) graf, P skup pondera, a f funkcija koja bridovima pridružuje pondere, tj.:

),,,( fPRVM =

.,,),(: jipvvf ijji ∀∀a

MreMrežžaa je graf kod kojeg su bridovima pridruje graf kod kojeg su bridovima pridružženi realni brojevieni realni brojevi(te(težžine, ine, ponderiponderi).).

MreMrežža je posebno znaa je posebno značčajna za analizu prometa i prijenosa informacija.ajna za analizu prometa i prijenosa informacija.

Svaki graf moSvaki graf možžemo interpretirati kao mreemo interpretirati kao mrežžu, tako da svakome bridu u, tako da svakome bridu pridijelimo tepridijelimo težžinu 1, tj. stavimoinu 1, tj. stavimo .,,1),( jivvf ji ∀∀=

Primjeri mreže:• Ako se svim cestama županije pridruže udaljenosti među vrhovima

dobiva se mreža.

• Cijevni transportni sustav može se interpretirati kao mreža. Cijevi koje spajaju vrhove su bridovi mreže, a kapacitet cijevi predstavlja težinu pojedinoga brida.

• Dijagram toka aktivnosti nekoga projekta je graf. Vrhovi su stanja projekta, a bridovi su aktivnosti. Ako se pojedinim aktivnostimapridruži vrijeme njihova trajanja, dobiva se mreža.

• Sustav za prijenos informacija je graf G = (V, R). Vrhovi su punktovi iz kojih se prenose ili primaju informacije, a bridovi su linijeprijenosa. M = (V, R, P, f) je mreža, gdje su V i R ranije definirani, P je skup pondera koji predstavljaju vjerojatnost prijenosa informacija pojedinim linijama, a f je funkcija:

[ ],1,0),(: ∈ijpjif a

tj. funkcija koja svakoj liniji pridružuje njezinu vjerojatnost prijenosa.

Transportna mreža•• Transportna mreTransportna mrežžaa je konačni graf bez petlji s jednim

ulazom i jednim izlazom kod kojega su bridovima pridruženi realni brojevi (težine, ponderi).

• Svakome bridu lij pridružen je nenegativni broj cij = f(lij). Veličina cij može biti propusna sposobnostpropusna sposobnost bridabrida ili kapacitetkapacitet bridabrida.

.)(0 ijij cl ≤ϕ≤

Tipične zadaće s transportnom mrežom su: Za danu transportnu mrežu odrediti:

• najveći ukupni protok• najkraći i najduži put, te put maksimalne vjerojatnostiod ulaznoga do izlaznoga vrha,.

ProtokProtok ili ili fluksfluks je funkcija definirana na bridovima za je funkcija definirana na bridovima za koju vrijedi:koju vrijedi:

PonderiPonderi mogu predstavljati i mogu predstavljati i udaljenostudaljenost među susjednim među susjednim vrhovima.vrhovima.

3. Određivanjemaksimalnoga protoka u mreži

Primjeri

Podrazumijeva se da svaka pruga ima svoju propusnu sposobnost, tPodrazumijeva se da svaka pruga ima svoju propusnu sposobnost, tj. j.

gornjugornju granicu tereta koji se mogranicu tereta koji se možže po njoj prevesti za određeno e po njoj prevesti za određeno

vrijeme. Teret koji jevrijeme. Teret koji je dovezen u neku međupostaju mora se odmah dovezen u neku međupostaju mora se odmah

prevesti dalje, jer ne dolazi u obzirprevesti dalje, jer ne dolazi u obzir skladiskladišštenje na međupostajamatenje na međupostajama. .

Isto tako, u Isto tako, u međupostajama se ne smijemeđupostajama se ne smije ukrcavati novi teret za ukrcavati novi teret za prijevoz.prijevoz.

ZadaZadaćće određivanja maksimalnoga ukupnog protoka e određivanja maksimalnoga ukupnog protoka ččesto se susreesto se susrećću u u realnim transportnim problemima. Primjerice, kada je iz grada u realnim transportnim problemima. Primjerice, kada je iz grada A u A u

grad B, zagrad B, za određeno vrijeme određeno vrijeme, potrebno prevesti mre, potrebno prevesti mrežžomom žželjeznieljezniččkih kih pruga pruga ššto je moguto je mogućće vie višše tereta.e tereta.

SliSliččan se problem moan se problem možže opisati i na mree opisati i na mrežži drugih prometnica ili na i drugih prometnica ili na naftovodu. Problem kod naftovoda je sljedenaftovodu. Problem kod naftovoda je sljedećći: Koliki se kapacitet i: Koliki se kapacitet svakoga cjevovoda mora koristiti da bi ukupni protok nafte od izsvakoga cjevovoda mora koristiti da bi ukupni protok nafte od izvora vora

do ponora bio maksimalan.do ponora bio maksimalan.

Postupak za određivanje maksimalnoga protoka• Transportnu mrežu predstavimo crtežom tako da se

bridovi ne sijeku.• Uočavamo onaj elementarni put mreže iz početnoga vrha

u završni vrh, koji je na crtežu najviši.• Iz mreže izbacujemo brid toga puta koji ima najmanju

propusnu sposobnost. Istodobno propusne sposobnosti preostalih bridova promatranoga puta umanjujemo za vrijednost propusne sposobnosti izbačenoga brida.

• Na opisani način dobivamo novu transportnu mrežu na kojoj ponovno primjenjujemo opisani postupak.

• Postupak se ponavlja sve dotle dok se ne prekinu svi putovi koji vode od ulaza do izlaza.

• U polaznoj se mreži uočavaju putovi koji su u bilo kojemu trenutku bili najviši. Bridovima svakoga takvog puta pridružuje se, kao djelomični protok, propusna sposobnost brida s minimalnom propusnom sposobnošću iz toga puta. Ukupan protok dobije se kao zbroj djelomičnih protoka.

8

1 3

7

a

2

4

b

65

8 67

7 8

108 6 7

10

5

10 10

Primjer 1:Primjer 1: Odredimo maksimalni protok od vrha a do vrha b u zadanoj Odredimo maksimalni protok od vrha a do vrha b u zadanoj mremrežži.i.

8

1 3

7

a

2

4

b

65

8 6 7

7 8

10 8 6 7 10

5

10 10

8

1 3

7

a

2

4

b

65

1 6

7 8

3 8 6 7 3

510 10

RjeRješšenje:enje:

8

1 3

7

a

2

4

b

65

1 6

7 8

3 8 6 7 3

510 10

b

2

8

1 3

7

a

2

4

65

5

7 7

2 8 6 7

510 10

8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

7 7

2 8 6 72

510 10 8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5 5

8 6 7

510 10

8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 6 2

55 5

8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5 5

8 6 7

510 10

8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 6 2

55 5 8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 4

33 3

8

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 4

33 3

5

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 4

Maksimalni protok je: 7 + 1 + 2 + 5 + 2 + 3 = 20.Maksimalni protok je: 7 + 1 + 2 + 5 + 2 + 3 = 20.

5

1 3

7

a

2

4

b

65

5

5

3 4

3

1 3

7

a

2

4

b

65

8 1 7

2 8

10 5 2 7 10

510 10

NaNaččin na koji se postiin na koji se postižže maksimalni protok prikazan je na sljedee maksimalni protok prikazan je na sljedeććoj slici.oj slici.

Sa slika je vidljivo da se poveSa slika je vidljivo da se poveććanje protoka provodi sve dok se protok vianje protoka provodi sve dok se protok višše ne moe ne možže e povepoveććati.ati.

8

1 3

7

a

2

4

b

65

8 6 7

7 8

10 8 6 7 10

5

10 10

Presjek transportne mreže• Neka je skup V vrhova transportne mreže podijeljen u

dva disjunktna podskupa S1 i S2 i neka je a∈S1 i b∈S2. Skup svih bridova koji polaze iz vrhova skupa S1, a završavaju u vrhovima skupa S2 naziva se presjekpresjek ili rezreztransportne mreže. Kapacitet presjeka jednak je zbroju kapaciteta bridova koji tvore presjek.

• Ako se iz mreže udalje bridovi jednoga presjeka, onda se, prekidaju svi putovi između ulaza a i izlaza b mreže. Stoga se iz a u b ne može transportirati više nego što dopušta kapacitet bilo kojega presjeka. Maksimalni tok kroz mrežu je stoga ograničen minimalnim kapacitetom presjeka mreže.

• O tome govori teorem teorem FordaForda i i FulkersonaFulkersona.

• Ako transportna mreža sadrži bar jedan presjek konačnoga kapaciteta maksimalan ukupni tok kroz transportnu mrežu jednak je minimalnome kapacitetu presjeka mreže.

• Ako mreža ne sadrži presjek konačnoga kapacite, tok kroz mrežu nije ograničen.

Ford-Fulkersonov teorem

Teorem je poznat i pod imenom:Teorem je poznat i pod imenom: Maksimalni tok Maksimalni tok –– minimalni rez.minimalni rez.

• U promatranome primjeru presjeci minimalnoga kapaciteta su presjeci p1 p2 i p3 prikazani na sljedećoj slici.

8

1 3

7

a

2

4

b

65

8 6 7

7 8

10 8 6 7 10

5

10 10

p1

p2

p3

Sva tri presjeka imaju kapacitet 20, što odgovara ukupnome kapacitetu kroz mrežu.

1

3a

2

4

b

5

46

3

84

2

5

4 4

1

3a

2

4

b

5

24

3

84

5

44

Primjer 2:Primjer 2:

1

3a

2

4

b

5

2

3

84

5

2 2

1

3a

2

4

b

5

1

6

5

2

4

1

3a

2

4

b

5

1

2

1

2

Maksimalni protok je: 2 + 2 + 2 + 4 = 10Maksimalni protok je: 2 + 2 + 2 + 4 = 10..

1

3a

2

4

b

5

46

3

84

2

5

4 4

Minimalni rezovi oznaMinimalni rezovi označčeni su na sljedeeni su na sljedeććoj slicioj slici..

4. Određivanje najkraćega puta u mreži

Najkraći put u mreži• Udaljenost u mreži, definirana je kao zbroj težina

bridova koji sačinjavaju put od početnoga vrha (ulaza) da krajnjega vrha (izlaza). Budući da u mreži općenito može biti više različitih putova između dva vrha, njihove duljine ne moraju nužno biti jednake.

Posebno nas zanimaju oni putovi u mreži koji predstavljaju najmanje udaljenosti između dva vrha.

Tu se zapravo traži podgraf minimalne težine, odnosno u navedenoj interpretaciji, podgraf minimalne ukupne duljine.

Bellman-Fordova metoda

Primjenjuje se na orijentirane mreže.

• Prvo se numeriraju vrhovi i to tako da svaki vrh dobije redni broj nakon svojih prethodnika. Ishodište ima redni broj 1.

• Osnovni preduvjet za primjenu ove metode jest da ni jedan vrh ne može nositi redni broj manji od rednoga broja vrha preko kojega se u taj vrh može doći.

Primjedba: Ako nije ispunjen ovaj uvjet, kao i kod neorijentiranih mreža primjenjuje seDijkstrin algoritam, opisan kasnije.

{ } ...,3,2,min =+=<

jduu kjkjk

j

S ui označit ćemo udaljenost i-toga vrha od ishodišta, a s dijizravnu udaljenost od vrha i do vrha j.

Ako ne postoji brid od i do j, za dij se uzima ∞.

Vrijedi:

Kod svakoga vrha zapisuje se (ui, k), gdje je k oznaka za prethodni vrh, a ui najkraća udaljenost i-toga vrha od ishodišta.

(6,1)

(7,1)

(9,5)

(8,3)

(9,3)

(9,4)

(4,1)

2

2

3

6

2 1

3

3

3

6

7

4

1 3

52

8

4

2

6

3

7

u1 = 0u2 = min{u1 + 4} = 4

u3 = min{u1 + 6, u2+3} = min{6, 7} = 6

u4 = min{u1 + 7, u3 + 2} = min{7, 8} = 7

u5 = min{u2 + 6, u3 + 2} = min{ 10, 8} = 8

u6 = min{u3 + 3, u4 + 3, u5 + 3} = min{9, 10, 11} = 9

u7 = min{u4 + 2} = 9

u8 = min{u5 + 1, u6 + 2, u7 + 3} = min{9, 11, 12} = 9

2

2

3

6

2 1

3

3

3

6

7

4

1 3

52

8

4

2

6

3

7

Primjer: Odredimo najkraći put od vrha 1 do vrha 8 na mreži sa slike.

Rezultat:

Rješenje:

5. Određivanjenajduljega puta u mreži

• Vrijedi isti algoritam (Bellman – Fordov), ali se traženje minimalnih vrijednosti zamjenjuje maksimalnim.

{ } ...,3,2,max =+=<

jduu kjkjk

j

u1 = 0

(7,2)

(9,3)

(13,5)

(10,2)

(15,6)

(11,4)

(4,1)

2

2

3

6

2 1

3

3

3

6

7

4

1 3

52

8

4

2

6

3

7

u1 = 0

u2 = max{u1 + 4} = 4

u3 = max{u1 + 6, u2+3} = max{6, 7} = 7

u4 = max{u1 + 7, u3 + 2} = max{7, 9} = 9

u5 = max{u2 + 6, u3 + 2} = max{10, 9} = 10

u6 = max{u3 + 3, u4 + 3, u5 + 3} = max{10, 12, 13} = 13

u7 = max{u4 + 2} = 11

u8 = max{u5 + 1, u6 + 2, u7 + 3} = max{11, 15, 14} = 15

2

2

3

6

2 1

3

3

3

6

7

4

1 3

52

8

4

2

6

3

7

Primjer: Odredimo najdulji put od vrha 1 do vrha 8 na mreži iz prethodnoga primjera.

Rezultat:

Rješenje:

6. Određivanje puta maksimalne vjerojatnosti prijenosa

informacija

u1 = 1

{ } ...,3,2,max =⋅=<

jpuu kjkjkj

Za određivanje puta maksimalne vjerojatnosti vrijedi:

0,2

0,3

0,2

0,3

0,6

0,2 0,1

0,3

0,3

0,3

0,6

0,7

0,4

1 3

52

8

4

0,2

6

7

u1 = 1

u2 = max{u1⋅0, 4} = 0,4

u3 = max{u1⋅0,6; u2⋅0,3} = max{0,6; 0,12} = 0,6

u4 = max{u1⋅ 0,7; u3 ⋅0,2} = max{0,7; 0,12} = 0,7

u5 = max{u2⋅0,6; u3⋅0, 2} = max{0,24; 0,12} = 0,24

u6 = max{u3⋅0, 3; u4⋅0, 3; u5⋅0,3} = max{0,18; 0,21; 0,072} = 0,21

u7 = max{u4⋅0,2} = max{0,14} = 0,14

u8 = max{u5⋅0,1; u6⋅0,2; u7⋅0,3} = max{0,024; 0,042; 0,042} = 0,042

Primjer: Zadane su vjerojatnosti prijenosa informacija između vrhova mreže. Odredimo put maksimalne vjerojatnosti od vrha 1 do vrha 8.

Rezultat:

Rješenje:

0,2

1 8

0,3

0,2

0,3

0,6

0,2 0,1

0,3

0,3

0,3

0,6

0,7

0,4

3

52

4

0,2

6

7Na slici su označena dva rješenja.

7. Dijkstrin algoritam za određivanje najkraćega puta u mreži

Dijkstrin algoritam za pronalaženje najkraćega puta između dva vrha u mreži uspješan je, kako u orijentiranim, tako i u neorijentiranim mrežama.

Primjer: Potrebno je pronaći najjeftiniji put dolaska od jednoga do drugoga vrha grafa.

Postupak rješavanja:

Uzimamo početni vrh i sve udaljenosti od početnoga do bilo kojega drugog vrha označimo (ili samo zamislimo) s beskonačno (ili dovoljno velikim brojem koji se ne može pojaviti kao udaljenost vrhova). Zatim promatramo sve vrhove do kojih možemo doći u prvome koraku i uzmemo onaj s najmanjom udaljenošću od početnoga vrha kao novi početak. Zatim na identičan način tražimo nove vrhove do kojih možemo doći ili poboljšavamo put do postojećih (ako je, primjerice, put od vrha x ravno do vrha z dulji (skuplji) od x do z preko y).

4. Ponavljaju se koraci 2. i 3. sve dok završni vrh (cilj) ne dobije trajnu oznaku.

Matematička formulacija:

1. Označi se početni vrh v0. Stavi se u(v0) = 0 i dodijeli trajna oznaka [0, -].

2. Promatra se vrh vi kojemu je posljednjem dodijeljena trajna oznaka i svi susjedni vrhovi od vi kojima još nije pridružena trajna oznaka. Svakome takvom vrhu v zamijeni se postojeća vrijednost u(v) s novom vrijednosti koja se dobije kao min{u(v), u(vi) + d(vi, v)}. Dodijeli mu se privremena oznaka (u(v), vi).

3. Uoči se najmanja privremena oznaka na grafu i učini je se trajnom (uokviri se).

5. Krene se unatrag po grafu i označi put minimalne duljine od završnoga vrha prema početnome.

Primjer 1: Odredimo najkraći put od vrha A do vrha L na mreži sa slike.

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

S = {A}

9

2

6

5

2 3

5

3

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

SC = {B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L}

S = {A, C}

SC = {B, D, E, F, G, H, I, J, K, L}

(3, A)

(9, A)9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

(2, A)

Rješenje:

(3, A)

(11, C)

(8, C)(0, −)9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

S = {A, C, B}

SC = {D, E, F, G, H, I, J, K, L}

S = {A, C, B, D}

SC = {E, F, G, H, I, J, K, L}

(5, B)

(11, C)

(7, B)LL9

2

6

5

2 3

5

5

2

1

29

4

9

3

A E

DB

C

6

H

F

G J

I K

(3, A)32

1

A E

DB

C

H

F

G J

I K

(2, A)

(0, −)

(3, A)

(5, B)

S = {A, C, B, D, E}

SC = {F, G, H, I, J, K, L}

S = {A, C, B, D, E, G}

SC = {F, H, I, J, K, L}

(8, D) ili (8, E)

(8, D)

(7, B)

(5, B)

(11, C)

9

2

6

5

2 3

5

5

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(3, A)32

1

A E

DB

L

C

H

F

G J

I K

(2, A)

(0, −)

(9, E)

(11, C)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

(3, A) (5, B)

(2, A)

(7, B)

(7, B)

(8, D) ili (8, E)

S = {A, C, B, D, E, G, H}

SC = {F, I, J, K, L}

(9, E)

S = {A, C, B, D, E, G, H, F}

SC = {I, J, K, L}

(10, H)

(8, D) ili (8, E) (13, G)

(11, C)

(7, B)

(3, A)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

(5, B)

(0, −)

(15, H)(2, A)

(13, G)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

(3, A)

(7, B)

(5, B) (8, D) ili (8, E)

(9, E)

(9, E)

(10, H)

(18, H)

S = {A, C, B, D, E, G, H, F, I}

SC = {J, K, L}

(12, F)

S = {A, C, B, D, E, G, H, F, I, J}

SC = {K, L}(14, I)

(13, G)(8, D) ili (8, E)

(18, H)

(15, H)

(9, E)

(10, H)

(7, B)

(3, A)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

(5, B)

(0, −)

(18, H)(9, E)9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

(3, A)

(2, A)

(7, B)

(5, B) (8, D) ili (8, E) (13, G)

(10, H) (12, F)

(12, F)

(13, G)

S = {A, C, B, D, E, G, H, F, I, J, K}

SC = {L}

(13, G)

S = {A, C, B, D, E, G, H, F, I, K, J, L}

SC = ∅

(17, K)

(8, D) ili (8, E)

(17, K)

(12, F) (14, I)

(9, E)

(10, H)

(7, B)

(3, A)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

(5, B)

(0, −)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(0, −)

(3, A) (5, B) (8, D) ili (8, E) (13, G)

(2, A) (10, H) (12, F) (14, I)

(7, B) (9, E)

(14, I)

(17, K)

Rezultat:

(17, K)

(12, F) (14, I)

(13, G)

(9, E)

(8, D) ili (8, E)

(10, H)

(7, B)

(3, A)

9

2

6

5

2 3

5

53

2

1

2

1

29

4

9

3

A E

DB

L

C

6

H

F

G J

I K

(2, A)

(5, B)

(0, −)

Najkraći put od A do L je: A – B – E – H – F – I – K – L duljine 17.

Primjer 2: Odredimo najkraći put od vrha A do vrha D na mreži sa slike.

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[2, A]

(6, A)4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[0, −]

[4, B]

(9, B)[2, A]

(6, A)4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

(6, E)[4, B]

(9, B)[2, A]

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

[2, A]

(9, G)

[6, E][4, B]

(9, B)

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

[2, A]

[8, F]

[6, E][4, B]

(9, B) ili (9, F)

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

[10, H]

[2, A]

[8, F]

[6, E][4, B]

[9, B] ili [9, F]

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

[2, A]

[8, F]

[6, E][4, B]

[9, B] ili [9, F]

4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

(10, H)

[10, H]

[2, A]

[8, F]

[6, E][4, B]

[9, B] ili [9, F]

(6, A)4

7

2

6

22

A E

B

G

1 2

33

F D

C

H

2

[5, E]

Rezultat:

Najkraći put od A do D je A – B – E – F – H – D duljine 10.