la aritmetica

LA ARITMÉTICA

GENERALIZADAAngie Murillo

La definición de Gauss, Kummer y Dedekind de los

enteros algebráicos.

La restricción del teorema fundamental de la aritmética

a los campos de números de números algebraicos

debida a la introducción de os ideales por Dedekind.

La obra definitiva de Galois sobre la solución de

ecuaciones algebraicas por medio de la teoría de los

campos que siguieron.

La aplicación parcial de los conceptos aritméticos a

ciertas álgebras

La teoría de la conducción del calor de

Fourier (1822) reveló tantas sutilezas

imprevistas en los conceptos de límite y

de continuidad que hizo revisar las ideas

básicas del cálculo.

Durante el resto del siglo XIX muchos se

dedicaron a trabajar en esto. Poco a

poco se fue percibiendo que los

cardinales y los ordinales

1,2,3..necesitaban aclaración.

Después de 25 años de lucha para

comprender el número se acabó por donde

Pitágoras había iniciado sus trabajos.

Pitágoras confiaba en que

1,2,3…”explicaran” el universo incluyendo las

matemáticas; y el espiritu que animaba su

“explicación”era el razonamiento

estrictamente deductivo.

La divisibilidad generalizada

Recordemos que Euclides en el siglo IV

a.c,demostró uno de los teoremas

fundamentales relativos a los números

primos racionales positivos :

Si un numero P divide al producto de dos

enteros racionales positivos necesariamente

ha de ser divisor de uno de ellos.

El hacer definiciones es completamente

inutil a menos que se tenga a la vista un

objetivo concreto.. En este caso el teorema

fundamental de la aritmetica : los “enteros”

definidos se han de poder descomponer en

potencias de distintos numeros “primos” de

un solo modo , a parte de los factores

“unitarios” y de las permutaciones entre

otros factores.

En el teorema de la aritmética racional “ si a

divide a b,b no divide a a menos que a y b

sean unidades” a,y b(b≠a) y las relaciones

de división son todas interpretaciones

determinadas en la generalización que se

diferencian de las de la aritmética racional.

Pero esas afirmaciones son tales que la

afirmación “ si a,etc” sigue siendo cierta

para nuevas interpretaciones.

La ampliación de la aritmética racional a una

aritmética de los números algebraicos ,y

considerablemente después ,a una

aritmetización parcial del algebra lineal, tuvo

dos orígenes distintos:

La demostración de Gauss en 1828-32,o antes

de la ley de la reciprocidad cuadrática la

tentativa que hizo Kummer en 1840-50 para

probar el ultimo teorema de Fermat.

Si hay un entero racional tal que cuando n,py

q, sean numeros enteros positivos dados

(x^n)-q es divisible(sin residuo)por p,se dice

que q es un residuo n-simo de p.

Enunciandolo al modo de las congruencias

de Gauss