la costruzione di un indicatore tempestivo dell’attività economica italiana: itacoin

La costruzione di un indicatore tempestivo dell’attività economica italiana: ITACOIN

Bologna, 28 Novembre 2008

Dipartimento di Scienze Statistiche

Dott.ssa Valentina Aprigliano(Dottoranda in Statistica - Università La Sapienza di Roma)

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ObiettiviObiettivi

Costruire un indicatore che: Migliora la stima real-time della componente

comune di medio-lungo periodo del tasso di crescita del PIL;

Riassuma l’intera attività economica dell’Italia; Rispetti le caratteristiche di:

Tempestività: importante per avere aggiornamenti in tempi reali sulla dinamica dell’economia.

Smoothness.

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SoluzioneSoluzioneSTRUMENTO ATTUALESTRUMENTO ATTUALE SOLUZIONE PROPOSTASOLUZIONE PROPOSTA

PIL ITACOIN

Rappresentativo dell’attività economica italiana

Rappresentativo dell’attività economica italiana

Incorpora rumore Smooth

Rilevazione trimestrale (ISTAT)

Aggiornamento mensile

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ProblemaProblema

Per stimare il tasso di crescita di medio-lungo periodo del PIL la soluzione più immediata è applicare un filtro passa-banda al tasso di crescita del PIL (Baxter, A., King R.G., 1999 e Christiano L.J., Fitzgerald T.J., 2003).

Ma…trattandosi di un filtro simmetrico, provoca

problemi nella stima real time (al tempo finale T).

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SoluzioneSoluzione

Costruire un filtro che risolva il problema della stima real-time

Applicarlo al tasso di crescita del PIL

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Strumenti

Dominio delle frequenze;Dominio delle frequenze; Analisi fattoriale dinamica generalizzataAnalisi fattoriale dinamica generalizzata

(Forni, M., Hallin, M., Lippi, M., Reichlin, L., 2003, gruppo di ricerca del Center for Economic Policy Research: CEPR);

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Metodologia

Analisi spettrale:Analisi spettrale: per lo studio dei segnali economici nel dominio delle frequenze;

Modello fattoriale dinamico generalizzatoModello fattoriale dinamico generalizzato; Metodo New Eurocoin:Metodo New Eurocoin: applicazione ai dati

italiani del metodo elaborato dal gruppo di ricerca del CEPR per la costruzione dell’indicatore coincidente di attività economica dell’Unione europea, (Altissimo, F., Cristadoro R., Forni, M., Veronese, G., 2007).

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Perché il dominio delle frequenze…Perché il dominio delle frequenze…

Le serie economiche hanno una struttura oscillante e riproducono periodicamente lo stesso comportamento a meno di differenze casuali nell’ampiezza e nella frequenza delle oscillazioni (Slutzky, E., 1937).

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Perché il dominio delle frequenze…Perché il dominio delle frequenze…

Consente di trattare anche la relazione intertemporale fra le variabili, oltre che quella cross-sezionale: si inserisce un elemento di dinamicità;

La scomposizione del segnale in componenti di frequenza facilita la separazione del dato strutturale (bassa frequenza) dal rumore (alta frequenza).

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Strumenti

ANALISI DI FOURIERANALISI DI FOURIER

Teorema di Fourier:Teorema di Fourier:“Well behaved periodic functions can be

expressed as a (possibly infinite) sum of sine and cosine functions”.

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Strumenti

Espansione di Fourier:Espansione di Fourier:

consente di rappresentare la funzione del tempo f(t) rispetto alla base ordinata ortogonale

Quindi:),);(),(cos( NnmmtsenntB

0

)()cos()(n

nn ntsenbntatf

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Strumenti

Ovvero, utilizzando la formula di Eulero:

Con il coefficiente di Fourier:

0

int)(n

neAtf

dtetfAn

int)(2

1

13

Strumenti

L’analisi di Fourier può essere applicata a

Fenomeni stocasticiFenomeni deterministici

14

Analisi spettraleAnalisi spettrale

ANALISI SPETTRALEANALISI SPETTRALE

Interpretazione statistica di caratteristiche fisiche:

ENERGIA VARIANZA

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Strumenti nel tempo continuo

Definizione Funzione di densità spettrale (spettro non

normalizzato):

La funzione di densità spettrale ( ) è il contributo medio alla potenza totale del processo che deriva dalle componenti di frequenza appartenenti all’intervallo infinitesimo .

Spettro integrato non normalizzato:

)(h

d,

dhH )()(

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Strumenti nel tempo continuo

TEOREMA

Sia un processo stocastico stazionario a media nulla e parametro t continuo, con funzione di densità spettrale che esiste per ogni , e funzione di autocovarianza .

Allora, è la trasformata di Fourier di :

ZttX

)(h

R)(h R

deRh i

2

1

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Strumenti nel tempo continuo

TEOREMARappresentazione spettrale del processo

stazionario a parametro t continuo(Wiener, 1930):

Con processo stocastico ad incrementi ortogonali.

ZttX

dZetX ti

Z

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Strumenti nel tempo discreto

Trasformata discreta di Fourier:

segnale digitale al tempo ; frequenza dell’intervallo discreto

itjiN

iijwetf

Nd

1

0

1

Nitf i ,...,1, itima

j j: Nj 0

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Strumenti nel tempo discreto

Matrice di Fourier: matrice ortogonale, il cui generico elemento è

Matrice di passaggio dal dominio del tempo al dominio delle frequenze:

NN

)1)(1(2

kjNe

yFN

d N

1

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Strumenti nel tempo discreto

Diagonalizza la matrice circolante che approssima la matrice di varianza/covarianza

:

SPETTROSPETTRO

R

Insieme degli autovalori Insieme degli autovalori di una matricedi una matrice

Distribuzione dell’energiaDistribuzione dell’energiadi un segnaledi un segnale

per componenti di frequenzaper componenti di frequenza

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STIMA DELLA MATRICE DI DENSITÀ SPETTRALE Periodogramma: (1) Ma…La varianza dello stimatore è molto elevata, per la

presenza di troppe autocovarianze campionarie.Soluzione…Si limita la somma (1), applicando la lag window

)1(,...,1,0),cos()(2

1 )1(

)1(

NRIN

NN

)1(

)1(

)()(2

1)(

N

N

ieRh

)(

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ANALISIANALISI FATTORIALEFATTORIALE

Studio del ciclo economico

Burns-Mitchell (1946)

CRONOLOGIA

Stock-Watson (1989)

VARIABILI LATENTI

ANALISI FATTORIALE

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ANALISIANALISI FATTORIALE FATTORIALE DINAMICADINAMICA

(Stock-Watson) Ogni fattore comune evolve secondo un modello per i

processi stocastici; I fattori entrano nel modello a diversi lag temporali.

(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) Si lavora nel dominio delle frequenze sulle matrici di

densità spettrale.

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Modello fattorialeModello fattoriale

Dato il processo vettoriale stazionario, a media nulla con momenti secondi finiti:

si definisce il modello fattoriale:

itititx

)',...,( ntntnt xxx

qtiqtiit fLbfLb )(...)( 11

ttufLA )(

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Metodo di stima dei fattoriMetodo di stima dei fattori

Definiti i fattori statici: esistono due metodi di stima attraverso le

componenti principali: Componenti principali staticheComponenti principali statiche: attraverso gli

autovalori/autovettori della matrice di varianza-covarianza: Stock e Watson, 1998;

Componenti principali dinamicheComponenti principali dinamiche: attraverso gli autovalori/autovettori della matrice di densità spettrale (Brillinger, 1981): Forni, Hallin, Lippi, Reichlin, 2000.

)'',...,','(1 stttt fffF

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Componenti principali Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1981).(Brillinger, 1981). Si tratta di trasmettere un segnale n-

dimensionale attraverso canali disponobili.Si trova l’approssimazione filtrata di

Si ricostruisce il segnale originario:

tXnq

tX

u

uXutbt )()()(

tu

t uutcX )()(*

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Componenti principali Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1989).(Brillinger, 1989).

La relazione fra e è data dalla funzione di trasferimento:

Si dimostra che la differenza fra i due segnali è minimizzata ponendo matrice dei primi autovettori della matrice di densità spettrale di

*tXtX

)()()( BCA

q

tX

B

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ANALISIANALISI FATTORIALEFATTORIALE DINAMICADINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA

(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)

Parte della correlazione fra le variabili è spiegata dai fattori specifici.

Si costruiscono le componenti principali:rjxZW nt

Tnj

jTnt ,...,1,

È l’autovettore generalizzato della matrice 1

00 )( Tn

Tn

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ANALISIANALISI FATTORIALE DINAMICA FATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA

(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) Two-sided estimation (2000):

Stima della matrice spettrale con la finestra di Bartlett;

Estrazione dell’autovalore e dell’autovettore ;

Si ottiene il filtro

)(Tnj

)(Tn

)(Tnjp

)()(~...)()(~)( ,1,1 Tnq

Tinq

Tn

Tin

Tni ppppK

M

Mk

kTkni

Tni LKLK ,)(

M

h

hikh

Tni eK

M

2

0

)(12

1

30

ANALISIANALISI FATTORIALE DINAMICA FATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA (Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)

Si ottiene la componente comune:

Ovvero:

)),,...,1,)((|(, ZtqjxLpspanxproiez ntnjitnit

ntninit xLK )(,

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Problema…

Si tratta di un filtro bilatero!

Soluzione… One-sided estimation (2003):

Obiettivi: Pesare le variabili osservate contemporanee; Conservare la dinamicità.

Strumenti: Stimare con il “metodo dinamico”“metodo dinamico” la Estrarre autovalori/autovettori dalla matrice

100 )( nn

Tn0

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Metodo dinamico

Si consideri l’esempio:

Riallineo le variabili: Costruisco la matrice di var/covar , quindi estraggo

l’autovettore normalizzato Ottengo il primo autovettore di come trasformata di

Fourier di Stimo Stima dinamica di

ittitiit ubuax 1

nmia

mib

i

i

,...,1,0

,...,1,0

',...,,,..., 1,1,11 tntmmttt xxxxyyn0

nc)()(~)()(ˆ

111 nnnn pp

nc)(n

)()(ˆ0 de n

ikn

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METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN

È dato il modello fattoriale:

Eurocoin si ottiene proiettando sui fattori stimati (dalle componenti principali dinamiche generalizzate). Eurocoin è, quindi la componente comune del PIL che giace sulle frequenze cicliche.

CtPIL,

itititx

NCit

Cti ,

34

METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN

Lo spazio su cui proiettare per ottenere è quello generato dalle componenti principali contemporanee, ma anche ritardate e anticipate di m lag:

La stima è:

Cit

Cit

''' ,...,,..., mttmtt WWWZ

tCt XFMFFRF '1'ˆ

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METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN

La matrice contiene il ;

La matrice è una matrice di matrici

diagonale. Le matrici della diagonale

contengono gli autovettori generalizzati;

La matrice è diagonale, con elementi

gli autovalori generalizzati.

R 'ttXE F

MFF '

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METODO NEW-EUROCOINMETODO NEW-EUROCOINLa costruzione di ItacoinLa costruzione di Itacoin

L’indicatore non è più la stima di una variabile latente (non osservabile!), ma è la stima della componente di medio-lungo periodo del tasso di crescita del PIL.

CONSEGUENZA IMPORTANTE…CONSEGUENZA IMPORTANTE…

Esiste un target con cui confrontare Itacoin e valutarne la prestazione.

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Procedura

VARIABILE DI VARIABILE DI RIFERIMENTO: RIFERIMENTO:

il tasso di crescita mensile del PIL

che filtrato diventa

approssimo con

tt yLc )(

3loglog ttt zzy

FILTRO LOW-PASS IDEALE

tc** )( tt yLc

Ttt

Ttyy tt ,1,ˆ

1,*

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DATI CODICE TRATTAMENTO

Indici dei prezzi al consumo

IT CPI-energy ITOCP041F (1-L)log

IT CPI-all items (harmonized) ITEHARMF "

IT CPI-harmonized ITOCP049F "

IT CPI ITOCP009F "

IT CPI-food ITOCP019F "

IT CPI-services ITESCPSVF "

IT CPI-services (less housing) ITOCP064F "

IT CPI (overall indexe exc. Energy,food,alcohol,tobacco) ITESCPXFF "

IT CPI-(less food,energy) ITOCP042F "

Indici dei prezzi alla produzione

IT PPI-fabricated metal prod.(less machinery, equipment) ITPPFMPXF "

IT PPI-wood,wood prod.,cork (less furniture) ITPPWWPXF "

Procedura DATIDATI

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IT PPI-manifacture of basic metals ITESIP27F "

IT PPI-chemicals and chemicals prod. ITESIP24F "

IT PPI-coke,refined petroleum prod., nuclear fuel ITPPCRPNF "

IT PPI-manifacture of electrical machinery,apparatus nec ITESIP31F "

IT PPI-food,beverages ITESIP15F "

IT PPI-pulp,paper,paper prod. ITESIP21F "

IT PPI-rubber,plastic prod. ITESIP25F "

IT PPI-textiles ITESIP17F "

IT PPI-wearing apparel ITESIP18F "

IT PPI-tanning,dressing ITESIP19F "

IT PPI-furniture manifacturing ITPPMFURF "

IT PPI-other non metallic mineral prod. ITPPONMPF "

IT PPI-manifacturing ITESPPIMF "

IT PPI-capital goods ITESPPICF "

IT PPI-durable consumer goods ITESPPIDF "

IT PPI-non durable consumer goods ITESPPINF "

IT PPI-industry (less construction) ITESPPIIF "

IT PPI-intermediate goods ITESPPITF "

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Tassi di cambio

IT REAL EFFECTIVE EXCHANGE RATE VOLN ITOCC011 (1-L)log

Produzione industraile

IT IP-investment goods ITPINVTH (1-L)log

IT IP-intermediate goods ITIPINTMG "

IT IP-consumer goods ITIPCNGDG "

IT IP-manifacture of basic metals ITESPI27G "

IT IP-manifacture of machinery and equipment (vola) ITESPI29G "

IT IP-manifacture of pulp,paper,paper prod. (vola) ITESPI21G "

IT IP-manifacturing (vola) ITESMNPRG "

IT IP-capital goods ITESPIESH "

IT IP-energy ITIPENGYG "

IT IP-(vola; less construction) ITESINXCG "

Ordini industriali

IT IO-capital goods (vola) ITESN004G (1-L)log

IT IO-consumer durable (vola) ITESN006G "

IT IO-manifacturing (vola) ITESN003G "

IT IO-total industry (vola; less construction and energy) ITESN011G "

IT NEW ORDERS TO MANIFACTURING ITNEWORDF "

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Salari

IT CONTRACTUAL HOURLY WAGE:ALL WORKERS ITWAGES.F (1-L)log

IT HOURLY WAGE RATE:INDUSTRY ITOLC007E "

Occupazione

IT EMPLOYEES: LARGE FIRMS VOLN ITEPLFS.H (1-L)log

IT HOURS WORKED PER EMPLOYEE VOLN ITEPHWE.H "

Disoccupazione

IT ENEMPLOYMENT ITESTUNPO (1-L)log

Finanza

IT SHARE PRICES-ISE MIB STORICO ITOSP001F (1-L)log

Tassi di interesse

IT TREASURY BILL RATE ITI60C.. (1-L)

IT MONEY MARKET RATE (Federal founds) ITI60B.. "

IT GOVERNMENT BOND YIELD-Longterm IT61.. "

IT GOVERNMENT BOND YIELD-medium term IT61B.. "

IT PRIME (AB)"DEAD"-middle rate ITPRIME "

IT TREASURY BOND NET YIELD-SECONDARY MARKET ITLNGYLD "

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Offerta di moneta

IT MONEY SUPPLY:M1 (Italian contribution to the euro area curn) ITM1…A (1-L)log

IT MONEY SUPPLY:M2 (Italian contribution to the euro area curn) ITM2…A "

IT MONEY SUPPLY:M3 (Italian contribution to the euro area curn) ITM3…A "

Industria

IT INDUSTRIAL TURNOVER ITSALTOTF (1-L)log

Indicatori di domanda

IT RETAIL SALES ITRETTOTF (1-L)log

IT SALES-consumer goods ITSLCNGDF "

IT SALES-domestic ITSALDOME "

IT SALES-foreign ITSALFORE "

IT SALES-intermediate goods ITSLINVMF "

IT SALES-investment goods ITSLINVTF "

IT NUMBER OF NEW CAR REGISTRATION ITESCAR.G "

Sondaggi

IT RETAIL SURVEY-future busness situation ITEUSREBQ log(log(•))

IT RETAIL SURVEY-current business situation ITEUSRPBQ "

IT ECONOMIC SENTIMENT INDICATOR ITEUSESIG "

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IT CONSUMER CONFIDENCE INDICATOR ITEUCCIQ "

IT CONSUMER SURVEY-economic situation next 12 mth ITEUSCEYQ "

IT CONSUMER SURVEY-employment next 12 mth ITEUSCUNQ "

IT CONSUMER SURVEY-prices next 12 mth ITEUSCPYQ "

IT CONSUMER SURVEY-prices last 12 mth ITEUSCPRQ "

IT CONSUMER SURVEY-savings at present ITEUSCSAQ "

IT INDUSTRY SURVEY-prod. Expectation for mth. Ahead ITEUSIPAQ "

IT INDUSTRY SURVEY-stock of finished goods ITEUSIFPQ "

IT INDUSTRY SURVEY-order book position ITEUSIOBQ "

IT INDUSTRIAL CONFIDENCE INDICATOR ITEUSICIQ "

IT INDUSTRY SURVEY-expectation for mth. Ahead ITEUSIEMQ "

IT INDUSTRY SURVEY-export order book position ITEUSIEBQ "

IT INDUSTRY SURVEY-selling prices exp. Mth. Ahead ITEUSISPQ "

IT SERVICES SURVEY-evolution of demand exp. In mth. Ahead ITEUSVEMQ "

IT CONSTRUCTION CONFIDENCE INDICATOR ITEUSBCIQ "

IT CONSTRUCTION SURVEY-price exp. ITEUSBPRQ "

IT CONSTRUCTION SURVEY-order book position ITEUSBOBQ "

IT ISAE HOUSEHOLD CONFIDENCE INDEX (net of irregular components) ITCNFCNIQ "

IT ISAE BUSINESS SURVEY-selling price forecast ITPRCEXPR "

IT ISAE BUSINESS SURVEY-investment goods,order book forecast ITINVFOBR "

IT ISAE BUSINESS SURVEY-foreign order assessment ITFORORDR "

IT ISAE BUSINESS SURVEY-domestic orders assessment ITDOMORDR "

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Commercio con l'estero

IT EXPORT FOB ITEXPORTA (1-L)log

IT EXPORT VOLUME INDEX ITEXPVOLH "

IT IMPORTS CIF ITIMPORTA "

IT IMPORTS VOLUME INDEX ITIMPVOLH log(log(•))

Composite leading indicator

IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency ITOL0372Q log(log(•))

IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency ITOL0376Q "

PIL

GDP-SA GDPIT (1-L)log

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Procedura

TARGETTARGET

La variabile è una stima di :buona all’interno del campione;meno buona a fine serie: al tempo T.

*tc tc

46

Procedura TARGETTARGET

costituisce il target con cui confrontare Itacoin al tempo !

T T+h

c*tItacoin

*tc

hT

stima confronto

47

Procedura

COSTRUZIONECOSTRUZIONE DEI REGRESSORI:DEI REGRESSORI: Duplice sintesi:

Si estraggono le componenti comuni delle variabili del dataset;

Si estraggono le sole componenti comuni che giacciono sulle frequenze cicliche.1. Stimo la matrice di densità spettrale:

2. Estraggo i primi q autovettori/valori e costruisco:

M

Mk

kji

xkjx ekW

)(ˆ

2

1)(ˆ

)(~

)()(ˆ UU

48

Procedura

COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:3. Applico la trasformata discreta inversa di Fourier:

4. Seleziono, in particolare, le frequenze basse: calcolo la media di sull’intervallo : ottengo

5. Estraggo gli autovettori/valori generalizzati dalla coppia di matrici con cui costruisco i regressori: le componenti principali

generalizzate (stime consistenti dei fattori comuni).

J

JjjJ)(ˆ

12

2ˆ

)(ˆ

6,

6

x ˆ,ˆ

49

Procedura

COSTRUZIONECOSTRUZIONE DI ITACOINDI ITACOINIndicato con w lo spazio vettoriale delle componenti principali

generalizzate, Itacoin (al tempo T, real-time) si ottiene proiettando su w:Tc

TwcwTT wwcP 1|

PROBLEMA…Al tempo T non ho il valore di , quindi per calcolare bisogna usare una procedura particolare…

Tc cw

50

Procedura

Costruzione di Costruzione di Stimo la matrice di varianza/covarianza fra Stimo la matrice di varianza/covarianza fra

Quindi stimo la matrice di densità spettrale Quindi stimo la matrice di densità spettrale applicando la finestra di Bartlett, e applicando la finestra di Bartlett, e “tagliandola” “tagliandola” sulle alte frequenze: sulle alte frequenze:

Infine, applicando la trasformazione inversa di Infine, applicando la trasformazione inversa di Fourier ottengo la matrice :Fourier ottengo la matrice :

)(ˆjcw

tt wy ,cw

13//)(ˆ '1313 kTwyk

lkllyw

cw

J

Jjjywcw J)(ˆ

12

2ˆ

51

ItacoinItacoin

Fig. 1: Itacoin (linea blu) a confronto con il suo target (linea verde). Elaborazioni MATLAB, versione 7.6

52

ItacoinItacoin: coerenzacoerenza

Fig. 2: Misura di coerenza fra Itacoin e il target . Elaborazioni MATLAB, versione 7.6

tc

53

LE ULTIME SU EUROCOIN

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55