l’ ellisse - libero.it · dalla definizione di ellisse come luogo geometrico (pag.3), procedendo...
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1
L’ ELLISSE
1 by
ax
2
2
2
2
=+
2
ARGOMENTI TRATTATI
1. L’equazione canonica dell’ellisse
2. Questioni basilari
3. Questioni relative alle rette tangenti
4. Curve deducibili dall’ellisse
5. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
6. Proprietà ottica dell’ellisse
3
L’EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE
Definizione Si dice elisse E il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’ellisse.Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
( ) ( )( ) ( )
:ha si quadrato al Elevando
. ycxa2 ycx
:ossia , a2ycx ycx
: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam
. ca , 2c2a cioè , FF PFPF
ha si , FPF o triangolil oConsiderat
. (*) Racon 2aPFPF
2222
2222
0
2121
21
21
+−−=++
=+−+++
>>>+
∈=+ +
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) . caayaxca ; caayaxcxa ; yacxa2caxacxa2axc
; ycx2cxacxa2axc :otteniamo ancora elevando ; ycxa acx
; ycxa4 4a4cx ; ycxa4ycx2cxa4ycx2cx
2222222222422222222222222422
22222422222
222222222222
−=+−−=+−+−+=−+
+−+=−++−−=−
+−−=−+−−+−++=+++
Ellisse.mov
4
.ellissedell' canonica equazione , 1b
y
a
x
: baper dividere possiamo , 0b e 0a poichè , infine , bayaxb
: scivere e Rbcon cab porre possiamo quindi , 0ca esicurament è , ca Poichè
2
2
2
2
22222222
022222
=+
≠≠=+
∈−=>−> +
( ) ( ) ( ) ( )ellisse.dell' vertici chiamano si
b; 0B ; b ; 0B ; 0 ; aA ; 0 ; aA punti I
. by ; by
0x
1b
y
a
x :y asse neIntersezio
. a x; a x
0y
1b
y
a
x : x asse neIntersezio
. ab e Rb , Ra che Ricordiamo
ellissedell' grafica azioneRappresent
2121
222
2
2
2
222
2
2
2
00
−−
±==⇒
=
=+
±==⇒
=
=+
<∈∈ ++
. byb- cioè , 0yb ybb
a x;
b
y-1a x;
b
y1
a
x
. axa- cioè , 0xa xaa
by ;
a
x-1by ;
a
x1
b
y
:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo
22222
2
2
2
2
2
22222
2
2
2
2
2
≤≤≥−⇒−±=±=−=
≤≤≥−⇒−±=±=−=
5
Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’asse x)
a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y e le coordinate dei vertici suggeriscono che l’ellisse è inscritta nel rettangolo di figura, avente i lati lunghi 2a e 2b e i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) .
b. I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse maggiore, di misura 2a, e asse minore, dimisura 2b ( ricordiamo che b < a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
c. Simmetrie nell’ellisse con equazione canonica:F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);F(-x;y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;F(x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .
d. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione a2 – c2 = b2 oppure c2 = a2 – b2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice B2, si forma il triangolo rettangolo OF2B2
di ipotenusa a e cateti b e c, quindi …
e. Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0).
f. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:
22 bac −=
. tan
maggiore dell'asselunghezza
za focaledise =
6
. AA segmento nel degenera
ellissel' e vericiicon coincidono fuochi i
:0bper cioè , ac se
. ay xequazione di e O(0;0) centro
, raggio di nzacirconfere la diventa quindi
, uguali e semiassi i ha ellissel' e cart.
oriferiment del originel'con coincidono fuochi i
:per cioè , 0 bac se
. con ,
:ascisse delle assesull' trovanosi fuochi i Se
21
222
22
===
=+
==−==
<≤==
1e
a
ba
ba0e
1e0a
c
a2
c2 e
7
L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse y
Dalla definizione di ellisse come luogo geometrico (pag.3), procedendo come nel caso dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle x, si ottiene la stessa equazione canonica. Siano F1(0 ; - c) e F2(0 ; c), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
( ) ( )
. 1b
y
a
x
canonica equazionel' ancora ottiene si
, ba e R acon acb posto ...
... , b2cyx cyx
: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam
. cb , 2c2b cioè , FF PFPF
ha si , FPF o triangolil oConsiderat
. (*) Rbcon 2bPFPF
2
2
2
2
0222
2222
0
2121
21
21
=+
<∈=−
=−++++
>>>+
∈=+
+
+
8
Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’ asse y)
a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y … invariati
b. I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse minore, di misura 2a, e asse maggiore, dimisura 2b ( ricordiamo che b > a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .
c. Simmetrie … invariate
d. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione b2 – c2 = a2 oppure c2 = b2 – a2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice A2, si forma il triangolo rettangolo OF2A2
di ipotenusa b e cateti a e c, quindi …
e. Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(0 ; -c), F2(0 ; c).
f. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:
22 abc −=
. BB segmento nel degenera ellissel' e vericiicon coincidono fuochi i :0aper cioè , bc se
. ay xequazione di e
O(0;0) centro , raggio di nzacirconfere la diventa quindi , uguali e semiassi i ha ellissel' e
cart. oriferiment del originel'con coincidono fuochi i :per cioè , 0 abc se
. con , , tan
21
222
22
===
=+
==−==
<≤===
1e
aba
ba0e
1e0b
c
b2
c2 e
maggiore dell'asselunghezza
za focaledise
9
QUESTIONI BASILARI
1. Date le seguenti equazioni canoniche di ellissi, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, la misura degli assi maggiore e minore, l’eccentricità.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
to.circoscrit rettangolo il e tracciargrafico ilPer
. 0,65
3
a
ce tàeccentrici
; 8 2B1B minore asse ; 10 2A1A maggiore asse
; 3;02F ; 3;01F fuochi
; 4 ; 02B ; 4 ; 01B ; 5;02A ; 5;01A i vertic
. 3 16-25bac ; x assesull' trovanosi
fuochi i quindi , ba che osservo ; 4b ; 5a ;
22
a.
===
==
−
−−==−=
>===+
116
y
25
x 22
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
to.circoscrit rettangolo il e tracciargrafico ilPer
. 0,8662
3
6
27
b
ce tàeccentrici
; 6 2A1A minore asse ; 12 2B1B maggiore asse
; 27 ; 02F ; 27; 01F fuochi
; 6 ; 02B ; 6 ; 01B ; 3;02A ; ;031A i vertic
. 5,2027 9-36abc ;y assesull' vano tro
si fuochi i quindi , ba che osservo ; 6b ; 3a
; 136
y
9
x ; 36y4x b.
22
2222
≅===
==
−
−−≅==−=
<==
=+→=+
10
2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione kx2 + (k + 3)y2 = k + 15 rappresenta un’ellisse.
. 0k -15k
015k
3k
015k
k
cioè ,
0f
b
0f
a
: positivi siano ticoefficien i che imporre ellisse,un'
irappresent affichè , e 1yf
bx
f
a canonica formain equazionel' econsiderar posso termini,altriIn
. 0k -15k
015k
03k
0k
015k
03k
0k
: concordi essere devono f ,c ,a quindi , realtà di
condizione la anche asoddisfatt essere deve reali punti da formata cioè propria, ellisseun' avere Per
concordi. c e a significa che , 03)k(k cioè
, 0ca4b impropria) o (propria ellisseun' arappresent 0fycxa tipodel data, equazione'L
22
222
>∪<→
>++
>+
>
>
=+
>∪<→
<+<+
<∪
>+>+
>
>+<−⇔=++
3. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione (3 - k)x2 + (k + 2)y2 = - k2 + k + 6 rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse.
( ) ( )
3k2
1
k32k
0k3
02k
quindi ,
ba
0b
0a
essere deve x assesull' fuochicon ellisse un' averePer
. 1k3
y
2k
x : canonica formain equaz.l' scrivo quindi , 2kk36kk- che Osservo
22
2
2
222
<<→
−>+>−>+
>
>
>
=−
++
+−=++
11
4. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’ellisse.
Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’ellisse significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:
• conosco a e/o b (coordinate dei vertici o lunghezze dei semiassi) • conosco c (coordinate di un fuoco) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp) → (xp)2 /a2 + (yp)2 / b2 = 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q → vedi Ellisse tangente ad una retta .
. canonica equazione 125
y
9
x
3a ; 9a
5b ; 9
225b
quindi , 9
1 A ;
225
9
9
25A ;
225
9B
9225B 0
sommo) e 4-per o(moltiplic 0B25A9
9B12536A
5
4
A
B-1
1B9
1254A
b
1 B e
a
1A pongo
5
4
b
ab cioè ,
5
4
b
ce
P)per (passaggio 1b9
125
a
4
. 5/4e tàeccentrici ed
53
5 ; 2P punto ilper passa chey delle assesull' fuochi icon ellissedell' equazionel' Determina a.4
22
2
2
2222
22
=+→
==
===⋅==
=+
=−=+
=
=+→==→
=−==
=+
=
12
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. canonica equazione 14
y
16
x 2 b e 4a
quindi , 0 ; 4-V 0y
4 x
0y
042y-x ; 2 ; 0V
0x
2y
0x
042y-x
. ) ;-b 0V e ;0 a-V anche o ( b0;V e a;0V verticidei ordinatal' e ascissal'
menterispettiva sono che , b'' e a'' trovaredevo quindi , 1b
y
a
x tipodel è richiesta equazioneL'
. coordinati assi glicon 042y- x
retta della neinterseziod' punti nei verticii avente ellissedell' canonica equazionel' Determina b.4
22
14
3142
2
2
2
2
=+→==
→
=−=
→
==+
→
==
→
==+
=+
=+
13
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1. determinare le equazioni delle rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione dell’ellisse tangente ad una retta di nota equazione.
1. Rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’ellisse.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equaz. x2 + 4y2 = 4 , condotte dal punto P(3 ; 0).
Verifico se P appartiene all’ellisse: 9 ≠ 4 ⇒ P non appartiene all’ellisse, quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno all’ellisse.
Metodo del “discriminante nullo”
( ) ( )( )
. 55
3x
5
5y : Pin tangentiRette .
5
5m
; 04m36m41144m4
Δ ; 04m36xm24xm41 ...
)3m(xy
4y4x
1,2
224222222
±=±=
=−+−==−+−+→
−==+
14
( )
( )
. 55
3x
5
5y
; 5
5
4/3-3
3/5m ; 3-xmy
: PT e PT tangentirette delle equazioni le Determino
3
5 ;
3
4T ;
3
5- ;
3
4T ;
3
5y ;
4y4x
4/3x
: T e T tangenzadi punti dei coordinate le eterminoD
. 3/4 x: polare ettar ; 43x
tosdoppiamen di formule le applico 4y4x
0 ; 3P
to"sdoppiamen di formule" delle Metodo
1,21,2
21
2122
21
22
±=
±=±==
±=
=+
=
=τ==+
b. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse 16x2 + 25y2 = 4 , condotte dal punto P(1/4 ; 31/2/5).
Verifico se P appartiene all’ellisse: 1+ 3 = 4 ⇒ P appartiene all’ellisse, quindi ho una sola soluzione.
( )
P. punto nel tangentela è polare retta La
. 04y35 4x : ; 45
3y25
4
116x : tosdoppiamen di formule le applico
4y25x16
5 / 3 ; 1/4P
to"sdoppiamen di formule" delle Metodo
22
τ
=−+τ=+=+
15
2. Ellisse tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
( )
( )
( )
. 140
y
10
x : ellissedell' equazione ;
40b
10a :eConclusion
. 40b 40
1B ... 01360B40-400
4
; 04040yy1360B ... ; 1By360
40040yy
; 1By10
1
6
20y
6
20y x
b
1Bcon , 1By
10
x
10a
0
20-6x y
1b
y
a
x
10a
. 20-6x y equazione di retta alla tangente
è ed 0 ; 10V coordinate di eun vertic ha che
1,b
y
a
x tipodel ellissedell' equazionel' aminDeter
22
2
222
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+
=
=
=→==+=∆
=+++=+++
=+⋅
+⇒
+=
==+
=
=∆⇒
=
=+
=
=
=+
16
CURVE DEDUCIBILI DALL’ ELLISSE
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 + y2/b2 = 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), scritte sotto.
Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiellissi.
. byb-con , ybb
ax e , axa-con , xa
a
by equazioni delle Grafici
(2)
22
(1)
22 ≤≤−±=≤≤−±=
17
Esempi.
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
. 0y ordionata di punti i compresi
, x assel' sopra"" trovasi che semipiano il è 0y
; 1 ; 0V , 1- ; 0V , 0 ; 1/2V , 0 ; 1/2-V verticidi
ellisseun' di equazionel' è 1y4x dove
1/2x1/2- ; 0y
1b , 1/2a 1y4x
1/2x1/2- ; 0y
4x-1y
sistema al equivale equazione questa ; 4x-1y .1
4321
22
22222
2
=≥
=+
≤≤≥==→=+→
≤≤≥=
=
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 xascissa di punti i compresi
,y assedell' sinistra" a" trovasi che semipiano il è 0 x
; 1 ; 0V , 1- ; 0V , 0 ; 3/4V , 0 3/4;-V verticidi
ellisseun' di equazionel' è 1yx9
16 dove
1y1- ; 0x
1b , 4/3a 1yx9
16
sistema al equivale equazione questa ; y14
3 x.2
4321
22
22
2
=≤
=+
≤≤≤
==→=+
−−=
18
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) . 5 ; 2V , 3- ; 2V , 1 ; 4V , 1 ; 0V : sono verticii
che deduciamo , x'' laper C.E. delle conto anche tenendo, quindi
3- y e 5y
2x
01y2x16yx4
2x: verticidei Ricerca
. 2;1C cioè , 1y e 2 x
quindi , nulli essere devono y'' e x''in grado primo di terminii
, oriferiment del originenell' centrata e ruotatanon ellissel'Per
. 01y2x16yx4y1y2x2x8y4x ...
01yy2xx16yyxx4 yyy
xxx
:one traslazimediante , y;x C simmetria di centro del Ricerca
. xy''in rerettangola ermine t
il manca perchè , oriferiment di sistema al rispetto ruotatinon
simm. di assi glicon ellisseun' è conica la , 0-16144-0
degenere;non conica , 0648804118110804
:(*) conica la iamoClassifich
4x0 ; 01-y
(*) 01y2x16yx4
sistema al equivale equazione questa ; 1xx42y .3
1321
22
00
0020
20T0T0
2T
2T
0T0T2
0T2
0T0T
0T
00
22
2
===
⇒
=+−−+
=
==
=+−−++−+−++
=++−+−+++⇒
+=+=
<=⋅⋅=δ
≠−=⋅−⋅=−−
−−
≤≤≥=+−−+
+−=
19
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO ELLISSE – RETTA
y e/oper x ilimitazion eventuali
retta una di equazione
ellissi di fascioun di equazione
(2) oppure
y e/oper x ilimitazion eventuali
rette di fascioun di equazione
ellisse un' di equazione
(1)
: casi seguenti i presentare possono Si
Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’ellisse nel caso (1), o la retta interseca le ellissi nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'
(1) tipodel sistema
0y ; 0x
0kyx5
25y25x
:sistema seguente il Discuti 1.
22
≤≤=++=+
20
( ) ( )
.
2
25y
2
2x
icoincident soluzioni due ammette sistema il 25kper
, 5y
0x e
0y
1x , limite -soluzioni due hanno si 5kper eparticolarin
, 25k5per soluzioni due ammette sistema il : eConclusion
. 25k ; 01250k50k254
025k10kx50x k --5xy
25y25x : tangenzadi condizione
; 5k : 5- ; 0Vper passaggio ; 5k : 0 ; 1Vper passaggio
; TVV è utile arcol' : grafico dal ioniConsideraz
. -5m ang. coeff. di rette di improprio fascio ;k --5xy 0kyx5
5b ; 1a ; 125
y x 25y25x
22
2222
31
31
2222
−=
−==
−==
==
=
≤≤
±==+−=∆
=−++→
==+
==−
==→=++
===+→=+
( )
≤≤≥
==→=+→
≤≤≥==
≤≤+−=
=
/23x3/2- ; 0y
3b , 3/2a 19
yx
9
4
/23x3/2- ; 0y
4x-9y sistema al equivale 4x-9y equazione l'
2/3x0
3kkxy
4x-9y
:sistema seguente il Discuti 2.
222
222
2
21
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
. icoincident soluzioni due ammette sistema il 24/5kper e 0kper
; 0y
2/3x , limite una e ordinaria sol. una ha si 6kper
:eparticolarIn
. 0k 6kper soluzione una
, 0kper e 24/5k6per soluzioni due ammette sistema il
: eConclusion
24/5k
0k ... 0k6kk4k9k6k
4
0k6kxk3k2xk4
3kkxy
19
yx
9
4
: tangenzadi condizione
; 6k : 0 ; 2/3Vper passaggio ; 0k : 0 ; 3Vper passaggio
; TVV è utile arcol' : grafico dal ioniConsideraz
. 1;3F ; 3y
1x 03y1-xk ; 03kykx
:F fascio del Centro
. rette di proprio fascioun arappresent 3kkxy equazione L'
22234
2222
22
24
24
−==
==
−=
>∪−<=−≤≤−
−==
=−+−+−=∆
=−+−−+→
+−=
=+
−==
==
→=−+=+−−
+−=
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PROPRIETA’ OTTICA DELL’ELLISSE
Un raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi viene riflesso dall’ellisse verso l’altro fuoco. Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, vale per tutti i tipi di onde, anche per quelle acustiche.Si può ricordare un fenomeno acustico, che è possibile sperimentare in antiche sale con il soffitto a sezione ellittica, dove due interlocutori, posti nei due fuochi, possono discorrere chiaramente, sebbene a voce bassa, mentre negli altri punti della sala non si sentono le loro parole.Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali.
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