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L’equation d’onde
Lapo Boschi (lapo.boschi@upmc.fr)
27 octobre 2016
Table des matieres
1 Equation d’onde : corde 1
2 Equation d’onde : membrane 2
3 Equation d’onde : gaz en trois dimensions 3
3.1 Pression hydrostatique et loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Equation de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 L’equation d’onde en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Equation d’onde : solide elastique 6
4.1 Equation du deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Encore l’equation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Solution de l’equation d’onde : corde 8
5.1 Solution de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Solution de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Analogie entre les solutions de d’Alembert et Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 9
1 Equation d’onde : corde
Quand on tire une corde elastique, tous ses points sont sujets a la meme force T , appellee
“tension”. Les cordes d’une guitare, tendues a travers les “mecaniques”, sont tojours sous
tension. Appellons x la distance le long de la corde, et t le temps. Apres avoir accorde (c’est
a dire, applique une tension aux cordes de) sa guitare, un guitariste en tire une corde vers soi
(direction y, perpendiculaire a la corde), avec ses doigts. Il deforme donc la corde. A l’instant
t = 0, il laisse la corde, qui commence a osciller. Appellons u(x, t) la deformation de la corde,
parallele a l’axe y (Fig. 1).
On remarque (trigonometrie) que l’angle θ(x) entre l’axe x (corde a l’equilibre) et la
corde deformee u(x, t) coıncide approximativement avec le rapport entre la variation de u en
fonction de x, et la distance δx correspondante. Si δx est petit,
sin θ(x) ≈ ∂u(x, t)
∂x. (1)
1
Figure 1 – Corde sous tension. La composante T sin(θ) de la force (tension) T dans la
direction y provoque un deplacement u, aussi dans la direction y.
On considere maintenant un segment infiniment petit δx de la corde. La force agissante
sur le segment dans la direction y est egale a
Fy = T sin θ(x+ δx)− T sin θ(x). (2)
On applique la loi de Newton :
T sin θ(x+ δx)− T sin θ(x) = ρδx∂2u(x, t)
∂t2, (3)
ou on a appelle ρ la masse par unite de longueur de la corde. En remplaceant (1) dans (3),
T∂u(x+ δx, t)
∂x− T ∂u(x, t)
∂x= ρδx
∂2u(x, t)
∂t2. (4)
Finalement, si on divise (4) a droite et a gauche par ρδx,
T
ρ
∂2u(x, t)
∂x2=∂2u(x, t)
∂t2. (5)
Le rapport T/ρ est toujours positif (ρ > 0, T > 0 par definition) ; on l’appelle c2, et
c2∂2u(x, t)
∂x2=∂2u(x, t)
∂t2. (6)
L’equation (6) est ce qu’on appelle equation d’onde uni-dimensionelle (1D).
2 Equation d’onde : membrane
La tension d’une membrane est une force par unite de surface. Considerons un element
de membrane de cotes δx, δy sur la membrane (Fig. 2) et epaisseur δz. La tension est par
definition parallele au plan de la membrane, et perpendiculaire aux surfaces δxδz, δyδz (la
tension est une sorte de pression hydrostatique a l’envers). Si la membrane est deformee
(deplacement u(x, y) dans la direction z perpendiculaire au plan de la membrane), une force
2
Figure 2 – Membrane sous tension. Des tensions paralleles a la surface de la membrane
donnent lieu a des forces Tδx, Tδy. La composante de ces forces dans la direction z provoquent
l’oscillation de la membrane.
proportionelle a la magnitude T de la tension ramene la membrane vers sa configuration
d’equlibre. Cette force peut etre ecrite comme la summe de deux contributions : force Tδyδz
perpendiculaire au cote δy, et force Tδxδz perpendiculaire au cote δx. On summe et on
projecte sur l’axe z ; par analogie avec les equations (1)-(4),
Fz =Tδyδz∂u(x+ δx, y, t)
∂x− Tδyδz ∂u(x, y, t)
∂x+ Tδxδz
∂u(x, y + δy, t)
∂y− Tδxδz ∂u(x, y, t)
∂y
=Tδxδyδz1
δx
[∂u(x+ δx, y, t)
∂x− ∂u(x, y, t)
∂x
]+ Tδxδyδz
1
δy
[∂u(x, y + δy, t)
∂y− ∂u(x, y, t)
∂y
]=Tδxδyδz
[∂2u(x, y, t)
∂x2+∂2u(x, y, t)
∂y2
].
(7)
On applique la loi de Newton :
Tδxδyδz
[∂2u(x, y, t)
∂x2+∂2u(x, y, t)
∂y2
]= ρδxδyδz
∂2u(x, y, t)
∂t2, (8)
ou ρ represente maintenant la masse de la membrane par unite de surface. Si on divise par
Tδxδyδz et on appelle c2 = T/ρ, on obtient l’equation d’onde 2D :
∂2u(x, y, t)
∂x2+∂2u(x, y, t)
∂y2=
1
c2∂2u(x, y, t)
∂t2. (9)
3 Equation d’onde : gaz en trois dimensions
3.1 Pression hydrostatique et loi de Newton
Considerez un point de reference r0 = (x0, y0, z0). On appelle p(r, t) la pression hydrosta-
tique au point r a l’instant t. Il convient d’ecrire la loi de Newton pour un element de gaz
3
de volume infiniment petit, defini par le point r0 et les distances δx, δy, δz, le long des trois
axes du repere a partir de r0.
La force totale appliquee a cet element de gaz le long de l’axe x est egale a la difference
entre la force agissante sur la frontiere x = x0 et celle agissante sur la frontiere x = x0 + δx.
La force agissante sur une surface est egale a p multipliee par l’aire de cette surface. L’aire
en question est δyδz (pareil pour x = x0 et x = x0 + δx), donc
Fx(r0, t) = −∂p∂x
(r0, t) δxδyδz. (10)
Pareil pour les axes y et z. Equation vectorielle :
F(r0, t) = −[∂p
∂x(r0, t) i +
∂p
∂y(r0, t) j +
∂p
∂z(r0, t) k
]δx δy δz , (11)
ou i, j, k designent les vecteurs unitaires qui pointent dans les directions des axes x, y, z.
On reconnaıt dans (11) le gradient de p, ∇p = ∂p∂x i + ∂p
∂y j + ∂p∂zk, ce qui nous permet de
reecrire (11)F(r0, t)
V0= −∇p(r0, t), (12)
ou V0 = δxδyδz designe le volume de l’element de gaz, avant qu’il soit modifie par la propa-
gation des ondes. Selon la loi de Newton, F(r0, t) = m dvdt
, ou le vecteur v designe la velocite
de l’element de gaz, et m sa masse. Il decoule alors de (12) que
ρdv
dt(r0, t) = −∇p(r0, t), (13)
ou ρ = m/V est la densite du gaz. On utilisera plus tard la divergence de (13),
ρd
dt[∇ · v(r0, t)] = −∇2p(r0, t), (14)
ou ∇2 = ∇ · ∇ designe l’operateur laplacien.
3.2 Thermodynamique
Aux frequences typiques des ondes acoustiques (audibles) et a temperature/pression at-
mospheriques, la propagation du son est tres rapide par rapport a la vitesse avec laquelle
la chaleur se propage. L’expansion et compression du gaz provoquees par la propagation
des ondes acoustiques peuvent donc etre considerees adiabatiques : elles ne comportent pas
d’echange de chaleur entre l’element de gaz considere et l’atmosphere. Il s’ensuit que la loi
thermodynamique suivante, valable pour expansions adiabatiques, s’applique :
pV γ = constante, (15)
avec γ=1.4 pour des ondes acoustiques dans l’air (Beranek, 1996, chapitre 2).
Il s’ensuit quedp
dV= −γ p0
V0, (16)
ou l’indice 0 designe les valeurs de la pression et du volume avant la deformation. Donc
dp
dt=
dp
dV
dV
dt
= −γ p0V0
dV
dt
(17)
4
(a)
(b)
Figure 3 – L’element de volume defini
par r0, δx, δy, δz a un instant donne (a)
se deplace et se deforme (b). On montre
ici le cas simple ou la seule composante
non-zero du deplacement est constante et
dans la direction x. Si la difference de
deplacement entre x et x + δx est δux,
Le changement de volume est δux δy δz
(Beranek, 1996).
3.3 Equation de continuite
Soit u(r, t)=(ux, uy, uz) le champs des deplacements associe au gaz en question. Les
deplacements des particules de gaz a l’interieur de notre element de gaz provoquent un chan-
gement de volume
δV = δuxδyδz + δuyδxδz + δuzδxδy (18)
(Fig. 3). On divise par V0=δxδyδz, et
δV
V0=δuxδx
+δuyδy
+δuzδz
= ∇ · u,(19)
ou ∇· designe l’operateur divergence. On peut donc calculer la derivee de V par rapport au
temps,
∂V
∂t= V0
∂
∂t(∇ · u)
= V0∇ · v,(20)
ou la velocite v=dudt
.
3.4 L’equation d’onde en trois dimensions
On substitue d’abord l’equation (20) dans (17) :
dp
dt= −γ p0∇ · v. (21)
On calcule ensuite la derivee de (21) par rapport a t,
d2p
dt2= −γ p0
d
dt(∇ · v) =⇒ d
dt(∇ · v) = − 1
γ p0
d2p
dt2. (22)
5
On substitue finalment (22) dans (14), et on obtient ainsi l’equation d’onde en trois dimen-
sions :
∇2p(r0, t) =ρ
γ p0
d2p
dt2. (23)
La pression hydrostatique d’un gaz obeit l’equation d’onde. Le deplacement du gaz n’obeit
pas l’equation d’onde. En revanche, on a vu que le deplacement le long d’une corde ou d’une
membrane obeit l’equation d’onde.
4 Equation d’onde : solide elastique
On ecrit d’abord la loi de Newton pour un milieu continu. On manipule l’equation ainsi
obtenue pour determiner une equation differentielle dont la seule inconnue est le deplacement
(sec. 4.1). Cette equation n’est pas l’equation d’onde, mais on verra a la sec. 4.2 qu’on peut
utiliser notre experience avec l’equation d’onde pour resoudre l’equation du deplacement.
4.1 Equation du deplacement
Le deplacement u d’un element de volume V est determine par les forces de volume
agissantes a son interieur et les forces de surface sur sa surface exterieure. Soit F la force de
volume par unite de volume, et T la force de surface par unite de surface. Soit dV le volume
elementaire et dS l’aire de sa frontiere. La loi de Newton pour un milieu de volume V et
densite ρ delimite par une surface S :∫VFi dV +
∫STi dS =
∫Vρ
d2uidt2
dV. (24)
La force de surface est liee au tenseur des contraintes τij a travers
Ti = τij νj (25)
ou νj designe le vecteur unitaire perpendiculaire a S et oriente vers l’exterieur de V ; on
utilise ici la convention de sommation d’Einstein, c’est a dire que quand l’indice d’une variable
apparaıt deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que
peut prendre cet indice. On substitue l’eq. (25) dans (24),∫VFi dV +
∫Sτij νj dS =
∫Vρ
d2uidt2
dV. (26)
On applique le theoreme de Gauss a l’integral de surface dans (26),∫V
(Fi +
∂τij∂xj
)dV =
∫Vρ
d2uidt2
dV. (27)
Le volume V est arbitraire. L’eq. (27) peut s’appliquer a un element de volume arbitrairement
petit, donc
Fi +∂τij∂xj
= ρd2uidt2
. (28)
6
Le tenseur τij peut a son tour etre exprime en fonction du deplacement u, a travers l’equation
constitutive ou rheologique qui decrit le materiau en question. Pour un milieu elastique iso-
tropique, la loi de Hooke 1 s’ecrit
τij = λ∂uk∂xk
δij + µ
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
). (29)
Il suffit maintenant de substituer τij dans l’eq. (28) pour obtenir l’equation differentielle
souhaitee,
Fi +∂
∂xj
[λ∂uk∂xk
δij + µ
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)]= ρ
d2uidt2
, (30)
qui peut etre simplifiee pour un milieu homogene (ρ, λ et µ constants =⇒ ∂λ∂xi
=0, etc.),
Fi + (λ+ µ)∂
∂xi
∂uk∂xk
+ µ∂2ui∂x2j
= ρd2uidt2
. (31)
En notation vectorielle :
F + (λ+ µ)∇ (∇ · u) + µ∇2u = ρd2u
dt2. (32)
4.2 Encore l’equation d’onde
L’equation (32) peut etre reduite a un probleme connu, en exploitant certaines proprietes
de ∇. D’abord, pour n’importe quel champ vectoriel (par exemple u(x, t)), il existe toujours
un champ scalaire φ(x, t) et un champ vectoriel ψ(x, t) tels que
u(x, t) = ∇φ(x, t) +∇∧ψ(x, t) (33)
et
∇ ·ψ(x, t) = 0, (34)
ou ∇φ designe le gradient de la quantite scalaire φ, ∇ ∧ ψ le rotationnel de la quantite
vectorielle ψ. On peut egalement introduire un champ scalaire χ et un champ vectoriel γ
avec ∇ · γ = 0 tels que
F(x, t) = ∇χ(x, t) +∇∧ γ(x, t). (35)
On substitue maintenant dans (32) les expressions (33) et (35) pour u et F,
∇χ+∇∧γ+ (λ+ µ)∇ [∇ · (∇φ+∇∧ψ)] +µ∇2(∇φ+∇∧ψ) = ρd2
dt2(∇φ+∇∧ψ). (36)
On considere ensuite que la divergence d’un rotationnel est toujours 0, et on charge l’ordre
de derivation au cote droit et au deuxieme terme du cote gauche de (36),
∇χ+∇∧ γ + (λ+ µ)∇(∇2φ
)+ µ∇(∇2φ) + µ∇∧ (∇2ψ) = ρ (∇φ+∇∧ ψ). (37)
ou φ = d2φ
dt2, etc. Il suffit de changer l’ordre des termes dans (37) pour trouver
∇χ+ (λ+ 2µ)∇(∇2φ
)− ρ∇φ+∇∧ γ + µ∇∧ (∇2ψ)− ρ∇∧ ψ = 0. (38)
1. Les deux parametres de Lame λ et µ sont suffisants a decrire la reponse elastique d’un milieu isotropique.
Il faut plus de parametres pour des rheologies plus compliquees.
7
Si maintenant on met en evidence ∇ et ∇∧,
∇[χ+ (λ+ 2µ)∇2φ− ρφ
]+∇∧
(γ + µ∇2ψ − ρψ
)= 0, (39)
pourvu que le milieu soit homogene, comme on l’avait suppose ci-dessus.
L’equation (39) est satisfaite, et donc u = ∇φ+∇∧ψ est une solution de l’equation du
deplacement (31), siχ
ρ+
(λ+ 2µ)
ρ∇2φ− φ = 0, (40)
γ
ρ+µ
ρ∇2ψ − ψ = 0. (41)
Remarquez que les conditions (40) et (41) sont suffisantes, pas necessaires a ce que u soit
solution de (31). Mais cela nous suffit pour determiner une forme de la solution generale de
(31).
Pour resumer, le deplacement u(x, t) d’un solide elastique (p.ex. la terre, lors d’un seisme)
contient generalement deux contributions : le terme ∇φ(x, t), ou φ(x, t) est solution de
l’equation (scalaire) des ondes avec vitesse√
(λ+ 2µ)/ρ, et le terme ∇ ∧ψ(x, t), ou ψ(x, t)
est solution de l’equation (vectorielle) des ondes avec vitesse√µ/ρ.
Pour interpreter physiquement ce resultat, rappelons-nous l’eq. (19), qui montre que la
divergence du deplacement, ∇ · u, est proportionelle a la compressibilite de n’importe quel
materiau ; la divergence de (33) donne ∇ · u=∇2φ. Donc φ est lie a la compression : si
φ reste constant, il n’y aura pas de changement de volume ; si φ oscille rapidement, il y
aura des changements de volume importants. Au contraire, un deplacement ∇∧ψ n’a pas de
divergence (sa divergence est zero) : cette contribution a u prend en compte tout deplacement
qui ne comporte pas de changement de volume. On appelle onde P (onde compressionelle,
primaire, etc.) le deplacement ∇φ(x, t), et onde S (onde de cisaillement, secondaire, etc.) le
deplacement ∇∧ψ(x, t).
5 Solution de l’equation d’onde : corde
5.1 Solution de d’Alembert
L’idee que les petites oscillations d’une corde sous tension peuvent etre calculees a travers
l’equation d’onde est due a D’Alembert (1747) (Zeeman, 1993). D’Alembert nota aussi que
n’importe quelle fonction est une solution de l’equation (6), pourvu que x et t y apparaissent
dans la forme x/c+t ou bien x/c−t. Vous pouvez le verifier en calculant les derivees secondes
par rapport a x et a t de la solution generale
u(x, t) = Af(xc− t)
+Bf(xc
+ t), (42)
ou A et B designent deux constantes arbitraires et independantes. Une fonction du type
f(x/c± t), ou x designe une distance et t le temps, est dite onde progressive.
Pour simuler le comportement d’une corde pincee (p.ex., guitare), on exige en plus que
les extremites de la corde soient fixees, et que la vitesse initiale des oscillations la corde soit
zero. Ces conditions impliquent 2 que la solution (42) prenne la forme
u(x, t) =1
2f(xc− t)
+1
2f(xc
+ t), (43)
2. vous pouvez essayer de demontrer cela. Une demonstration assez simple est donnee ici : http ://math-
world.wolfram.com/dAlembertsSolution.html
8
ou la fonction f(x) n’est plus arbitraire, mais egal au deplacement initial de la corde, f(x) =
u(x, 0).
5.2 Solution de Bernoulli
D’ailleurs, deja avant 1700 on avait compris qu’une corde sous tension oscille selon plu-
sieurs “modes propres” qui correspondent a ses “harmoniques” (Zeeman, 1993). Peu apres
la publication du travail de d’Alembert, Daniel Bernoulli proposa donc que la solution de
l’equation de la corde serait plutot
u(x, t) =∞∑k=0
[αk sin
(kπ
Lx
)cos
(kπc
Lt
)+ βk sin
(kπ
Lx
)sin
(kπc
Lt
)], (44)
ou L designe la longueur de la corde, et les coefficients αk, βk peuvent etre determines si on
connaıt, par exemple, le deplacement initial de la corde u0(x), et sa vitesse initiale v0(x),
∞∑k=0
[αk sin
(kπ
Lx
)]= u0(x) =⇒ αk =
2
L
∫ L
0u0(x) sin
(kπ
Lx
)dx, (45)
et∞∑k=0
[βkkπc
Lsin
(kπ
Lx
)]= v0(x) =⇒ βk =
2
kπc
∫ L
0v0(x) sin
(kπ
Lx
)dx (46)
(Bernoulli, 1753).
Rappel : c’est la solution qu’on a trouve l’annee derniere en Outils Mathematiques. Si on
se limite au cas simple ou la vitesse initiale de la corde est zero, v0 = 0, l’eq. (46) implique
βk=0, et la solution de Bernoulli prend la forme plus simple
u(x, t) =∞∑k=0
[αk sin
(kπ
Lx
)cos
(kπc
Lt
)]. (47)
5.3 Analogie entre les solutions de d’Alembert et Bernoulli
Au XVIII siecle, les solutions de d’Alembert et Bernoulli etaient apparemment incon-
cilıables. Selon d’Alembert, il etait impossible de reduire une fonction continue arbitraire a
une simple somme d’harmoniques, parce-que celle-ci serait trop simple par rapport aux pos-
sibilites infinies offertes par toutes les fonctions possibles et imaginables. Bernoulli remarqua
d’ailleurs que sa solution consistait d’une somme infinie d’harmoniques, et que les types de
vibrations donnes par d’Alembert n’etaient rien plus que les sommes de plusieurs vibrations
harmoniques differentes. Mais Bernoulli ne pouvait pas prouver cela mathematiquement, et
il faudra attendre le debut du XIX siecle, avec le travail de Joseph Fourier, pour avoir une
demonstration rigoeureuse.
Voyons comment la solution de d’Alembert et celle de Bernoulli peuvent etre reconciliees
aujourd’hui. On sait maintenant que n’importe quelle fonction peut etre ecrite en forme de
Somme de Fourier ; en pratique, pour la fonction f definie ci-dessus avec l’eq. (42), il existe
un ensemble de valeurs ωk, ak, bk telles que
f(z) =
∞∑k=0
ak cos (ωkz) +
∞∑k=0
bk sin (ωkz) , (48)
9
et donc
f(xc± t)
=∞∑k=0
ak cos[ωk
(xc± t)]
+∞∑k=0
bk sin[ωk
(xc± t)]. (49)
Considerons maintenant les identites trigonometriques suivantes :
cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β), (50)
cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β), (51)
sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β), (52)
sin(α− β) = sin(α) cos(β)− cos(α) sin(β), (53)
avec α et β arbitraires. Ces equations impliquent
cos[ω(xc
+ t)]
= cos(ωxc
)cos (ωt)− sin
(ωxc
)sin (ωt) , (54)
cos[ω(xc− t)]
= cos(ωxc
)cos (ωt) + sin
(ωxc
)sin (ωt) , (55)
sin[ω(xc
+ t)]
= sin(ωxc
)cos (ωt) + cos
(ωxc
)sin (ωt) , (56)
sin[ω(xc− t)]
= sin(ωxc
)cos (ωt)− cos
(ωxc
)sin (ωt) . (57)
Autrement dit, toute onde progressive se propageant dans une corde est la somme de deux
ondes stationnaires “dephasees” ayant la meme frequence ω.
Utilisons maintenant les equations (54)-(57) pour transformer (49) en somme d’ondes
stationnaires. Pour une onde se propageant de gauche a droite,
f(xc− t)
=∞∑k=0
ak
[cos(ωkx
c
)cos (ωkt) + sin
(ωkxc
)sin (ωkt)
]+
∞∑k=0
bk
[sin(ωkx
c
)cos (ωkt)− cos
(ωkxc
)sin (ωkt)
];
(58)
pour une onde se propageant de droite a gauche,
f(xc
+ t)
=∞∑k=0
ak
[cos(ωkx
c
)cos (ωkt)− sin
(ωkxc
)sin (ωkt)
]+
∞∑k=0
bk
[cos(ωkx
c
)sin (ωkt) + sin
(ωkxc
)cos (ωkt)
].
(59)
Finalement, la solution de d’Alembert devient
u(x, t) =1
2f(xc− t)
+1
2f(xc
+ t)
=1
2
∞∑k=0
[ak cos
(ωkxc
)cos (ωkt) + bk sin
(ωkxc
)cos (ωkt)
].
(60)
Il suffit maintenant de choisir ωk = kπcL , ak = 0 et bk = 2αk pour retrouver exactement la
solution de Bernoulli (47). On a donc verifie l’equivalence des deux approches.
— Exercice : demontrer L’equivalence des solutions de Bernoulli et d’Alembert dans le
cas ou la vitesse initiale de la corde n’est pas zero.
10
References
Beranek, L. L., 1996. Acoustics. The Acoustical Society of America.
Bernoulli, D., 1753. Reflexions et eclaircissements sur les nouvelles vibrations des cordes
exposees dans les memoires de lacademie de 1747 et 1748. Hist. de lAcad. Roy. de Berlin
9, 147195.
D’Alembert, J. L. R., 1747. Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en
vibration. Hist. de l’Acad. Roy. de Berlin 3, 214249.
Zeeman, E. C., 1993. Controversy in Science : on the Ideas of Daniel Bernoulli and Rene
Thom. Nieuw Archief voor Wiskunde 11, 257282.
11
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