la mÉthode l a b o r a t o i r e gauss-jordan ... de gauss-jordan. 2x – 3y + 4z = 24 3x + 2y –...
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Laboratoire Excel 1
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012
LA MÉTHODE de GAUSS-JORDAN (Chapitre 2)
2
OBJECTIF
Programmer une feuille de calcul pour résoudre un système de trois équations linéaires à trois incon-nues par la méthode de Gauss-Jordan.
2 −3 4 243 2 −7 105 2 −4 52
≈1 0 0 180 1 0 80 1 0 6
L A B O R A T O I R E
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012
2 Laboratoire Excel
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012
Résoudrelesystèmed’équationssuivantparlamé-thodedeGauss-Jordan.
2x–3y+4z=243x +2y–7z=105x +2y–4z=52
Préparer la feuille de calcul de manière qu’ellesoitréutilisablepourrésoudredessystèmesanalo-guesenmodifiantlavaleurdescoefficientsetdesconstantes.
Mise en situation
Entréedesélémentsdelamatrice
ACTION1. OuvrirExcel.Personnaliserunefeuilledecalcul
eninsérantunpavédetexteetenregistrer.
2. Dans la celluleA9, écrire «Matrice associée»,puis valider. Sélectionner la plage de cellulesA10:D12 (de trois lignesetquatrecolonnes)enfaisant glisser la souris avec le bouton gaucheenfoncé.
3. Entrerlesélémentsdelamatriceaugmentéese-lonlaprocéduredevotrechoix,puisencadrerlamatriceenajoutantdesparenthèses.
Réductiondelapremièrecolonne
ACTION1. Sélectionner la celluleA17, écrire «Réduction,
premièrecolonne»,puisvalider.SélectionnerlaplagedecellulesA18:D18,taper«=»,puissélec-tionnerlaplageA10:D10aveclasouris.
Appliquerl’undesprotocolessuivantspourvali-der comme opération matricielle:• surPC:enfoncer les touchesCtrletMaj (nepas confondre avec Verr. Maj); tout en lesmaintenant enfoncées, appuyer sur la toucheEntrée.
• surMac: enfoncer la toucheCtrl; tout en lamaintenant enfoncée, appuyer sur la toucheEntrée (ou Retour).
2. SélectionnerlaplagedecellulesA19:D19,taper«=»,cliquersurlacelluleA10pourlasélection-ner, taper«*»,sélectionnerlaplagedecellulesA11:D11aveclasouris,taper«–»,cliquersurlacelluleA11pour lasélectionner, taper«*»,sé-lectionner laplagedecellulesA10:D10avec lasouris.Labarredeformulesdevraitafficher:
«=A10*A11:D11-A11*A10:D10»
Valider comme opération matricielle.
Commentaire
Lamatricedusystèmeestlasuivante.9
10
11
12
2
3
5
24
10
52
–3
2
2
4
–7
–4
Matrice associée
C’est une matrice 3 × 4. Il faut donc sélectionner uneplagedecellulesayant lesmêmesdimensions.Lorsdel’entréedesvaleurs,onne sepréoccupepasdes lignespointilléesutiliséesdanslathéoriepourséparerlamatricedescoefficientsdecelledesconstantes.Pourajouterleséléments graphiques (parenthèses et lignes), on se sertdesoptionsdedessindulogiciel.
Commentaire
Pourréduire lapremièrecolonne, lepivotest l’élémentdelacelluleA10.
L’utilisationdelasourispourécrirelesformulesestunehabiletéàdévelopper,carellepermetdetravaillerbeau-coupplusrapidement.
Pourincluredansuneformulelavaleuraffichéedansunecellule,ilsuffitdecliquersurcelle-ci.Sionveuteffec-tuerdesopérationssurtouslesélémentsd’uneplagedecellules, il suffitd’inclurecetteplagedans ladéfinitiondelaformuleenlasélectionnantaveclasouris.Aprèslavalidationdel’étape3(voir page suivante),ExceldevraitafficherlamatricesuivantedanslaplageA18:D20.
17
18
19
20
2
0
0
24
–52
–16
–3
13
19
4
–26
–28
Réduction, première colonne
Laboratoire Excel 3
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012
3. SélectionnerlaplagedecellulesA20:D20etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:
«=A10*A12:D12-A12*A10:D10»
Valider comme opération matricielle.
Réductiondeladeuxièmecolonne
ACTION1. Sélectionner lacelluleA25,écrire«Réduction,
deuxième colonne» et valider. Sélectionner laplage de cellules A26:D26 et utiliser la sourispourdéfinir:
«=B19*A18:D18-B18*A19:D19»
Valider comme opération matricielle.
2. SélectionnerlaplagedecellulesA27:D27etuti-liserlasourispourdéfinir:
«=A19:D19»
Valider comme opération matricielle.
3. SélectionnerlaplagedecellulesA28:D28etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:
«=B19*A20:D20-B20*A19:D19»
Valider comme opération matricielle.
Réductiondelatroisièmecolonne
ACTION1. Sélectionner lacelluleA32,écrire«Réduction,
troisième colonne», puis valider. SélectionnerlaplagedecellulesA33:D33etutiliserlasourispourdéfinir:
«=C28*A26:D26-C26*A28:D28»
Valider comme opération matricielle.
2. SélectionnerlaplagedecellulesA34:D34etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:
«=C28*A27:D27-C27*A28:D28»
Valider comme opération matricielle.
3. SélectionnerlaplagedecellulesA35:D35etuti-liserlasourispourdéfinir:
«=A28:D28»
Valider comme opération matricielle.
Commentaire
À la deuxième étape de la réduction, on veut que ladeuxièmelignedemeureinchangéeetquelesautressoientréduitesdemanièreàobtenirunematricediagonale.Lepivotestl’élémentdeladeuxièmelignedeladeuxièmecolonne,affichédanslacelluleB19.
Aprèsladeuxièmeétape,ExceldevraitafficherlamatricesuivantedanslescellulesA26:D28.
25
26
27
28
26
0
0
156
–52
780
0
13
0
–26
–26
130
Réduction, deuxième colonne
Commentaire
Lors de la réduction de la troisième colonne, la troi-sièmelignedemeureinchangéeetlesautressontréduites.Ilfautdoncfaireapparaîtredes0danslescelluleshorsdiagonale de la troisième colonne. On fait afficher lamatrice résultantde la troisièmeétapedans lescellulesdeslignes33,34et35.
Exceldevrait afficher lamatrice suivantedans laplageA33:D35.
32
33
34
35
3 380
0
0
40 560
13 520
780
0
1 690
0
0
0
130
Réduction, troisième colonne
4 Laboratoire Excel
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012
Solutiondusystème
ACTION1. Sélectionner la cellule A38, écrire «Solution
dusystème»,puisvalider.SélectionnerlaplagedecellulesA39:D39etutiliserlasourisetlecla-vierpourdéfinir:
«=A33:D33/A33»
Valider comme opération matricielle.
2. SélectionnerlaplagedecellulesA40:D40etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:
«=A34:D34/B34»
Valider comme opération matricielle.
3. SélectionnerlaplagedecellulesA41:D41etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:
«=A35:D35/C35»
Valider comme opération matricielle.
Commentaire
Selon la méthode de Gauss-Jordan, la colonne desconstantesdonneicilasolutiondusystèmed’équations.Lesvaleursdescellulesde laplageD39:D41 indiquentquelasolutiondusystèmed’équationsest(12;8;6).
38
39
40
41
1
0
0
12
8
6
0
1
0
0
0
1
Solution du système
Seuls les éléments de la matrice associée peuvent êtrechangés.Excelrefusedechangerunélémentobtenuparuneopérationmatricielle.
Il est possible de copier et de coller les cellules de larésolution suruneautre feuilledecalcul sionabesoinderésoudreunsystèmedetroiséquationslinéairesàtroisinconnuesdanslecadred’untravailplusélaboré.
Cette feuille de calcul peut être utilisée avecn’importequel système de trois équations à trois inconnues. Ilest fortement suggéré de suivre la même démarche enl’adaptantpourrésoudreunsystèmedequatreéquationsàquatreinconnues.
Exercices
Résoudrelessystèmesd’équationssuivantsàl’aidedelafeuilledecalculprogrammée.
1. 2x+3y–4z =–41 4x–3y+2z =–7 3x+2y–6z =–74 Rép.:(–4;5;12)
2. x+4y–7z =–60 5x–4y+2z =53 9x+3y–2z =–4 Rép.:(3;–7;5)
3. 2x+3y–3z =–15 4x–3y+2z =28 2x–6y+5z =43 Rép.:x=(t+13)/6,y=(8t–58)/9,z=t
4. x+4y–7z =–25 5x–4y+2z =34 3x–12y+16z =84
Rép.:x=(5t+9)/6,y=(37t–159)/24,z=t
5.2x+4y–5z =–1 3x–3y+6z =48 x–7y+11z =12 Rép.:aucunesolution
6. 3x–7y–2z =–27 8x+4y+5z =–35 4x+11y–12z =53
Rép.:(–4;3;–3)
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