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Lezione 10 (29 novembre)
RIPASSO
Ripasso lezione precedente
Ogni qual volta si calcola il limite lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
con 𝑥0 ∈ 𝑅 oppure 𝑥0 = ±∞, si possono verificare tre casi:
• il limite esiste ed è finito
• il limite esiste ed è ±∞
• il limite non esiste
(le forme indeterminate non sono il risultato di un limite)
Funzioni continue
Definizione: Una funzione 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 è continua in 𝑥0 ∈ 𝐷 se
lim𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)
ovvero, se il limite esiste ed è uguale a 𝑓(𝑥0).
Se una funzione è continua ∀𝑥0 ∈ 𝐷 allora è detta continua.
Esempio 1
Si consideri la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝐷 = 𝑅
lim𝑥→𝑥0
𝑥2 = 𝑥02
𝑓 𝑥0 = 𝑥02
Quindi lim𝑥→𝑥0
𝑥2 = 𝑥02 = 𝑓(𝑥0) ∀𝑥0 ∈ 𝑅
e la funzione è continua su tutto il suo dominio.
Esempio 2
Si consideri la funzione: 𝑓 𝑥 = ቐ𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 < 01 𝑠𝑒 𝑥 = 0
𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 0
• lim𝑥→0
𝑓 𝑥 = 0 perché lim𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 0
• 𝑓 0 = 1
Quindi lim𝑥→0
𝑓 𝑥 = 0 ≠ 𝑓 0 = 1 e la funzione non è
continua in 𝑥0 = 0.
Esempio 3
Si consideri la funzione 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 2, 𝑥 < 03𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0
lim𝑥→0
𝑓 𝑥 = ∄ perché i due limiti
lim𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+
(3𝑥 + 1) = 1 e lim𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−
(𝑥 + 2) = 2
sono diversi.
Poiché il limite non esiste la funzione non è continua in 𝑥0 = 0.
Funzioni continue
• Le funzioni polinomiali, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono continue nel loro insieme di definizione.
• Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni continue definite su un dominio comune, allora
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥
𝑔 𝑥con 𝑔 𝑥 ≠ 0,
sono continue.
• La composizione di funzioni continue è continua.
Esercizio
Calcolare i limiti della seguente funzione agli estremi del dominio e stabilire se è continua nel suo dominio. Inserire le informazioni nel grafico.
𝑓 𝑥 = ቐ1
𝑥 − 3𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
2 𝑠𝑒 𝑥 = 3
Derivate• Rapporto incrementale
• Definizione di derivata
• Significato geometrico
• Formule di derivazione
Rapporto incrementale
Sia 𝑓(𝑥) una funzione definita in 𝐼 ⊆ 𝑅 e si consideri il passaggio da 𝑥0 ∈ 𝐼 a 𝑥0 + ℎ ∈ 𝐼. La retta secante nei punti (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e (𝑥0 + ℎ, 𝑓 𝑥0 + ℎ ) ha
equazione: 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0),
𝑚 =𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ=
Δ𝑓
Δ𝑥
con Δ𝑥 = 𝑥0 + ℎ − 𝑥0. Δ𝑓
Δ𝑥si chiama rapporto incrementale
Derivata di una funzione, significato geometrico
Data una funzione 𝑓(𝑥) continua in 𝑥0 , la derivata è il limite
limℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎse tale limite esiste ed è finito.
• La derivata di 𝑓(𝑥) in 𝑥0 si indica con 𝑓′ 𝑥0 ,𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥0) oppure 𝐷𝑓(𝑥0).
• La derivata di una funzione in un punto 𝑥0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(𝑥0, 𝑓(𝑥0)).
Derivata di una funzione, significato geometrico
• Definizione equivalente:
Posto 𝑥 = 𝑥0 + ℎ, si dice derivata di 𝑓 𝑥 in 𝑥0 il limite
𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
se tale limite esiste ed è finito.
• Equazione della retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) nel punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)):
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
Esempio 1: applicazione della definizione
• Sia 𝑓 𝑥 = 𝑥2 definita su 𝑅, calcolare, se esiste, 𝑓′(𝑥0) con 𝑥0 ∈ 𝑅.
limℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥0 + ℎ 2 − 𝑥02
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥02 + 2ℎ𝑥0 + ℎ2 − 𝑥0
2
ℎ=
= limℎ→0
2ℎ𝑥0 + ℎ2
ℎ= lim
ℎ→0(2𝑥0 + ℎ) = 2𝑥0
Quindi 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥.
Esempio 2: applicazione della definizione
• Calcolare, se esiste, la derivata di 𝑓 𝑥 = |𝑥| in 𝑥0 = 0.
limℎ→0
0 + ℎ − |0|
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
𝑓′+ 0 = limℎ→0+
ℎ
ℎ= lim
ℎ→0+1 = 1 mentre 𝑓′− 0 = lim
ℎ→0−
−ℎ
ℎ= lim
ℎ→0+− 1 = −1
quindi il limite non esiste e di conseguenza nemmeno la derivata in 𝑥0 = 0. Si dice perciò che la funzione non è derivabile in 0. Il risultato è in accordo col fatto che la retta tangente in quel punto non è ben definita.
Negli altri punti (𝑥0 ≠ 0) qual è la retta tangente?
Esempio 3: applicazione della definizione
• Sia 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥1
2, con 𝑥 ∈ [0, +∞)
Calcolare, se esiste, 𝑓′+(0).
limℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ= lim
ℎ→0+
0 + ℎ − 0
ℎ= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ= lim
ℎ→0+
1
ℎ= +∞
La derivata non esiste perché il limite è +∞ e infatti la retta tangente è verticale.
Alcuni teoremi
• Se una funzione è derivabile nel punto 𝑥0, allora è continua in tale punto. (Questo vuol dire che se la funzione non è continua in un punto non può essere nemmeno derivabile in tale punto).
• Se una funzione è continua in 𝑥0, non è detto che sia derivabile in quel punto.
𝑃1: flesso a tangente verticale
𝑃2: cuspide
𝑃3: punto angoloso
Regole di derivazione
• Derivata della somma:𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
′= 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
• Derivata del prodotto:𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥
′= 𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
• Derivata del prodotto per una costante:𝑐 ⋅ 𝑓 𝑥
′= 𝑐 ⋅ 𝑓′(𝑥)
• Derivata del rapporto:𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
𝑔 𝑥2
• Derivata della funzione composta:
𝑓 𝑔 𝑥′
= 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
Derivate elementari
• 𝑥𝛼 ′ = 𝛼𝑥𝛼−1
• 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥
• 𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 ⋅ ln 𝑎
• sin 𝑥 ′ = cos 𝑥
• cos 𝑥 ′ = − sin 𝑥
• (ln 𝑥)′ =1
𝑥
• log𝑎 𝑥 ′ =1
𝑥⋅ln 𝑎
Derivata di funzioni composte
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
′
= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)
Esempi:𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥
𝛼= 𝑓 𝑥
𝛼 ′= 𝛼 𝑓 𝑥
𝛼−1𝑓′(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑥 ′
= 𝑒𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑥
′= −sin 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥sin 𝑓 𝑥 = sin 𝑓 𝑥
′= cos 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥
′=
1
𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)
Esempi
• 𝑓 𝑥 = 4 𝑥3 = 4𝑥3
2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 4 ⋅3
2𝑥
3
2−1 = 6𝑥
1
2 = 6 𝑥
• 𝑓 𝑥 = 5𝑥4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5 ⋅ 4𝑥3= 20𝑥3
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ sin 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 ′ ⋅ sin 𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ sin 𝑥 ′ = 3𝑥2 + 2 ⋅ sin 𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ cos 𝑥
• 𝑓 𝑥 =𝑒𝑥
3 ln 𝑥⇒ 𝑓′ 𝑥 =
𝑒𝑥 ′⋅(3 ln 𝑥)−𝑒𝑥⋅ 3 ln 𝑥 ′
3 ln 𝑥 2 =𝑒𝑥⋅3 ln 𝑥−𝑒𝑥⋅3
1
𝑥
3 ln 𝑥 2
Esempi
• 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥2⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥2
2𝑥
• 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥3+1 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥3+1(3𝑥2)
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥1
2
⇒ 𝑓′ 𝑥 =1
2𝑥3 − 2𝑥
1
2−1(3𝑥2 − 2)
• 𝑓 𝑥 = cos(𝑥3 − 2𝑥)
⇒ 𝑓′ 𝑥 = −sin 𝑥3 − 2𝑥 3𝑥2 − 2
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