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Élise Anne Basque François Prévost-Lagacé
Alexandre St-Jean
Les techniques de multiplication à travers les âges
Travail présenté à M. Kamel Belbahri Professeur du cours MAT2531
Histoire des mathématiques
Université de Montréal Département de mathématiques et statistiques
Le 11 avril 2007
2
Table des matières
Introduction ............................................................................................................................ 3
Les tables de multiplication babyloniennes ........................................................................ 4
Le système de numération ................................................................................................ 4
Les tables de multiplication .............................................................................................. 4
La multiplication de la civilisation chinoise ....................................................................... 6
Représentation des chiffres chez les chinois .................................................................. 6
Le problème du zéro .......................................................................................................... 7
La multiplication ................................................................................................................ 8
Exemple de multiplication : 12 multiplié par 34. .......................................................... 9
La division, l’algèbre et le triangle de Pascal............................................................... 10
Le boulier chinois (14e siècle) ......................................................................................... 11
La technique égyptienne ...................................................................................................... 13
Les mathématiques en Égypte ........................................................................................ 13
Le papyrus Rhind............................................................................................................. 14
La numération hiéroglyphique Égyptienne ................................................................. 16
Les entiers ....................................................................................................................... 16
Les fractions ................................................................................................................... 18
La technique ................................................................................................................... 18
Une méthode dérivée : La méthode russe..................................................................... 21
Méthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies ou gelosia ........................... 22
Historique .......................................................................................................................... 22
Exemple de multiplication .............................................................................................. 23
Les bâtons de Napier ....................................................................................................... 24
Conclusion ............................................................................................................................. 27
Bibliographie ......................................................................................................................... 28
3
Introduction
Il est évident que la pratique des mathématiques a évoluée selon les époques,
surtout à travers les différentes découvertes, certaines visant à expliquer des concepts très
complexes et abstraits, d’autres visant à simplifier des travaux quotidiens. Nous avons
exploré dans notre travail ce deuxième aspect, plus spécifiquement les méthodes de
multiplication utilisées à travers les âges et selon différents peuples, que ce soit pour le
commerce ou toute autre activité reliée aux chiffres et aux quantités. Ces algorithmes
étant très nombreux, nous nous sommes concentrés sur quelques-uns principalement, afin
de pouvoir étudier également leurs contextes respectifs, ainsi que les avantages et
inconvénients rattachés à chacun.
Nous explorerons ainsi les premières tables de multiplication chez les
Babyloniens ainsi que des méthodes de multiplication étant apparues et ayant été utilisées
chez les peuples égyptiens, russes, chinois, indiens, arabes et européens.
4
Les tables de multiplication babyloniennes
Le système de numération Le territoire babylonien s’étendait surtout dans la région entre les fleuves du Tigre
et de l’Euphrate. La Babylonie est parmi les plus anciennes civilisations, et leur écriture
datant d’environ 4000 av. J.-C. est l’une des premières. Ils écrivaient en pressant des
formes en coin dans de l’argile qui était ensuite séchée. On appelle le résultat l’écriture
cunéiforme.1 Leurs chiffres étaient formés de clous et de chevrons, où un clou est
équivalent à une unité et un chevron à 10 unités. Ils
avaient un système de numération positionnel
sexagésimal, soit à base soixante. Par exemple, pour
écrire 533, décomposons-le en base soixante : 533 =
8X60 + 53. On écrirait alors 8 clous, un espace et 5
chevrons suivis de 3 clous. L’illustration ci-contre2
montre les représentations de 1859 et de 4818. Les
Babyloniens ont aussi éventuellement introduit un zéro, représenté par deux clous de
côté. Ils furent les premiers à le faire. De plus, ce grand peuple utilisait aussi les fractions,
aussi étonnant que cela puisse paraître à une époque aussi reculée! Il n’était pas évident
de les distinguer en écriture cunéiforme, puisque les Babyloniens n’utilisaient pas de
virgule ou de point décimal comme nous aujourd’hui. Pour faire la différence dans leur
système, on écrit par exemple 7,30 pour 450 et 0;7,30 pour 1/8.
Les tables de multiplication Les Babyloniens avaient des mathématiques très avancées pour leur époque,
beaucoup plus que les Égyptiens par exemple3. Ils avaient entre autre élaboré de
nombreuses tables de multiplication dont certaines ont pu être conservées étant donné la
durabilité des tablettes d’argile qui servaient à l’écriture cunéiforme. On sait ainsi qu’ils 1 Arthur GITTLEMAN, History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, p. 61 2 ANONYME. « Le système babylonien », [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) 3 Howard EVES, An Introduction to the History of Mathematics, 5th edition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, p.30
5
disposaient de tables pour la plupart
des nombres entre 1 et 59, mais aussi
de tables de multiplication pour des
fractions, entre autre celle de 0;7,30,
soit 1/8. Or, multiplier par 1/8 est
équivalent à diviser par 8, donc cette
table est surtout une table de division
ou d’inverse, tout comme la table qu’on voit sur l’illustration4 ci-contre.
Outre les tables de multiplication, les Babyloniens avaient travaillé sur de
nombreux autres calculs mathématiques, qu’on retrouve sur d’autres tablettes d’argile et
en écriture cunéiforme toujours. Certains étaient utiles pour le commerce, la géométrie et
l’algèbre. Dans cette dernière catégorie, on retrouve notamment la plus célèbre tablette
babylonienne, nommée Plimpton 322. Elle se trouve à la Columbia University et elle est
datée environ entre 1900 et 1600 av. J-C5. Comme on peut le voir sur la photo6 ci-bas, on
y trouve quatre colonnes de
chiffres. On voit aussi que la
tablette a été abîmée, mais on y
trouve cependant suffisamment
d’informations pour savoir que
ces quatre colonnes représentent
une numérotation et des triplets
pythagoriciens, soient des
solutions à l’équation
a2 + b2 = c2.
4Tiré de: « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) 5 Howard EVES, op. cit., p. 27-28 6Tiré de: « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=4], (5 avril 2007)
6
La multiplication de la civilisation chinoise (2e siècle av. J.-C.)
Avant de parler de la multiplication, nous devons définir quelques concepts. Tout
d’abord, nous devons savoir comment les chinois représentaient leurs chiffres, ensuite
nous traiterons du problème du zéro et finalement nous verrons comment multiplier des
nombres à l’aide d’échiquiers numériques. Par la suite, nous survolerons quelques
applications des principes de multiplication, en particulier les systèmes algébriques, et
nous comparerons le boulier chinois au système de l’échiquier pour conclure ce chapitre.
Représentation des chiffres chez les chinois
Pour calculer, les Chinois représentaient leurs chiffres à l’aide de petits bâtonnets
d’ivoire, de bambou7 ou de bois8 de couleur rouge ou noire9 disposée verticalement ou
horizontalement dépendant des chiffres. Cette manière de représenter les nombres est très
ancienne mais les détails de cette méthode nous sont parvenus qu’à partir du 2e siècle
avant Jésus-Christ.10 Les bâtonnets avaient une longueur de 1 pouce et demi, les rouges
représentant des nombres positifs, les noirs des nombres négatifs.11
La manière de représenter les chiffres est simple. Un bâtonnet placé verticalement
représente une unité. Deux bâtonnets représentent deux unités. Les cinq premiers chiffres
sont représentés de cette manière. Ensuite, six unités sont représentées par un bâtonnet
placé verticalement sous un bâtonnet positionné horizontalement. Sept unités sont
représentées par deux bâtonnets verticaux sous un bâtonnet horizontal et ainsi on peut
représenter les nombres jusqu’à neuf de cette façon.12
7 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 666. 8 Florian CAJORI, A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Compagny, p. 72. 9 G. IFRAH, op. cit., p. 674. 10 Ibid., p. 656. 11 F. CAJORI, op. cit. p.72. 12 G. IFRAH, op. cit., p. 657.
7
Cette numération est toutefois problématique. En effet, le nombre 12, représenté
par un bâtonnet vertical suivi de deux bâtonnets verticaux, peut être confondu avec le
chiffre trois. La représentation d’un nombre n’est donc pas unique ce qui pose un sérieux
problème aux scientifiques chinois de l’époque. Malgré tout, les savants chinois
parviennent à résoudre leur problème en modifiant la notation. La représentation des
chiffres de un à neuf reste la même et sera valable pour toutes les puissances de dix
paires. Par exemple, pour écrire 812, le huit et le deux seront écrits de manière
traditionnelle. Par contre, pour toutes les puissances de dix impaires, nous introduirons
une nouvelle notation. Le chiffre un sera représenté par un bâtonnet horizontal. Nous
procédons de la même façon que précédemment pour construire nos chiffres, alors cinq
sera représenté comme cinq bâtonnets horizontaux. Six sera représenté par un bâtonnet
horizontal sous un bâtonnet vertical. Neuf sera représenté par quatre bâtonnets
horizontaux sous un bâtonnet vertical. Donc, pour écrire le nombre 111, on aura un
bâtonnet vertical suivi d’un horizontal et d’un dernier vertical. Cette notation fut
développée entre deux siècles avant Jésus-Christ et trois siècles après Jésus-Christ, mais
il résidait toutefois un dernier problème qui sera résolu au 8e siècle.13
Le problème du zéro
Lorsque l’on veut représenter le nombre 10 000, en utilisant la notation que l’on
vient de définir, on obtient un bâtonnet vertical. Nous avons donc encore un problème de
représentation car un bâtonnet peut représenter à la fois 1, 100, 10 000, etc. Certains
scientifiques utilisaient les signes chinois pour régler ce problème. Pour écrire 10 000, ils
prenaient un bâtonnet vertical suivi d’un symbole chinois représentant dix mille. D’autres 13 Ibid., p. 657-658.
8
utilisaient des grilles et les espaces vident représentaient zéro. Au 8e siècle, les savants
chinois utilisèrent un symbole afin de représenter l’absence d’unité dans la représentation
avec bâtonnets. Le symbole retenu fut un petit rond, probablement influencé par les
mathématiciens de la civilisation indienne.14 On peut le retrouver dans les écrits pendant
la dynastie de Sung entre 960 et 1126 et dans les siècles qui suivirent.15 Maintenant muni
d’un « zéro », ils purent développer les règles arithmétiques et algébriques relatives aux
nombres entiers, fractionnaires et irrationnels.16
La multiplication
L’outil utilisé pour la multiplication était un échiquier et des petits bâtonnets
nommés chóu. Pour multiplier, on inscrivait le multiplicateur dans les cases en haut à
droite de l’échiquier. Ensuite, on laissait
une ligne vide puis on inscrivait le
multiplicande de manière à ce que son
dernier chiffre soit vis-à-vis le premier
chiffre du multiplicateur. La première
étape consistait à multiplier le premier
chiffre du multiplicande avec le premier
chiffre du multiplicateur. On inscrivait le
résultat dans la colonne du milieu vis-à-
vis le chiffre du multiplicande. On poursuivait en multipliant le deuxième chiffre du
multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. Le résultat s’inscrivait au dessus
du deuxième chiffre du multiplicande. On additionnait à chaque étape les nombres qu’on
inscrit dans la colonne du milieu. Lorsque l’on a terminé avec le premier chiffre du
multiplicateur, on passe au second, et ainsi de suite, jusqu’au dernier.17
14 Ibid., p. 660-661. 15 Howar EVES, op. cit., p. 22. 16 G. IFRAH, op. cit., p. 660-661. 17 Ibid., p. 666-674.
9
Exemple de multiplication : 12 multiplié par 34.
On commence par inscrire 12 en haut à droite et 34 directement en dessous du 1
de 12. On laisse une ligne entre les 2 nombres.
Ensuite on multiplie 3 par 1 et
on inscrit la réponse au dessus
du 3 de 34. On fait la même
opération avec 4.
On enlève le 1 puisque nous n’en avons plus besoin et on
bouge 34 d’une case vers la droite.
Ensuite on multiplie 3 par 2 et on addition le résultat au
chiffre qui est au dessus de 3. Puisque l’addition donne 10,
on enlève les bâtons de la case et on ajoute 1 au chiffre à sa
gauche. Ensuite on multiplie 4 par 2 et on inscrit le résultat.
Nous obtenons alors la réponse. On remarque que l’espace représente le zéro. Il
ne nous reste plus qu’à écrire le nombre de manière condensée.
10
La division, l’algèbre et le triangle de Pascal
La division se fait de manière similaire. On place le diviseur sur la dernière ligne,
et la ligne du dessus sera pour le nombre à diviser. La réponse se trouvera sur la ligne au
dessus des deux autres. On pouvait aussi résoudre des équations algébriques à l’aide de
l’échiquier. Chaque colonne verticale représentait une équation, chaque colonne
horizontale représentait une variable18 mais Chu Shih-Chieh, un savant chinois, avait
trouvé une manière originale de représenter des polynômes vers l’an 1300. Les
coefficients de chaque variable étaient représentés dans un tableau en forme de losange.
Chaque orientation était liée à une variable. Par exemple, l’ouest représentait y et
lorsqu’on mettait 3 bâtonnets dans la case ouest, on avait 3y. On pouvait aussi agrandir le
losange et ainsi représenter des polynômes d’ordre élevé. Alors, une case au sud-est était
la multiplication du sud et de l’est qui serait dans notre cas xz. Évidement, plus on
s’éloigne du centre du losange et plus le degré de la variable est élevé.19
Le triangle de Pascal fut probablement introduit en Chine par les arabes et il était
représenté de plusieurs façons. Le Triangle de Pascal fut fort utilisé lors de la
multiplication de polynôme.20
18 Ibid., p. 674. 19 F. CAJORI, op. cit., p. 76. 20 Ibid., p. 76.
11
Le boulier chinois (14e siècle)
Les premiers témoignages écrits du boulier chinois ne remontent pas avant le 14e
siècle. Les créateurs du boulier chinois (suan pan) se sont basés sur la méthode de calcul
de l’échiquier afin de créer un instrument qui calculerait plus rapidement que l’ancien. Le
boulier était d’une forme rectangulaire, en bois, traversé de broches dans lesquelles sont
effilé sept boules en bois. Une barre transversale coupe le boulier en deux, de façon à ce
que 2 boules se trouvent d’un côté de cette barre et cinq de l’autre, et ce, pour toute les
broches. Tout comme l’échiquier, chaque colonne représente un multiple de 10. Un peu
comme le système à bâtonnets, les 5 boules représentent les chiffres de 1 à 5. Lorsqu’on
veut représenter le nombre 6, au lieu de mettre un bâton horizontal et un autre vertical, on
utilise une boule supérieure (il y en a 2 sur chaque tige) et une boule inférieur (au total de
5). On peut voir que les 2 systèmes se ressemblent grandement. Lors d’une multiplication
on mettait le multiplicateur en haut à droite sur l’échiquier, alors qu’avec le boulier, on
12
inscrit le multiplicateur sur les tiges de gauche. La méthode de multiplication du boulier
est très similaire à celle de l’échiquier. En fait, l’algorithme est le même!21
21 G. IFRAH, op. cit., p. 674-686.
13
La technique égyptienne
Les mathématiques en Égypte
Les mathématiques égyptiennes étaient d’abord et avant tout des mathématiques
axées sur la pratique. Elles servaient à l’agriculture et à l’ingénierie. On se servait des
mathématiques dans ces domaines principalement pour calculer un calendrier utilisable,
pour le développement de systèmes de poids et de mesures pour la récolte, l’entreposage
et la division de la nourriture. Les mathématiques égyptiennes servaient aussi pour créer
des méthodes pour examiner la construction de canaux, de réservoirs et pour la
construction des pyramides, pour séparer les terres, pour collecter les taxes et pour les
échanges.
Voici une liste chronologique des objets tangibles témoignant des mathématiques en
Égypte. Il existe aussi plusieurs inscriptions sur des murs et quelques papyrus mineurs
qui contribuent à nos connaissances des mathématiques du peuple égyptien.
1- 3100 Av. J.-C. : On trouve au musée d’oxford un sceptre royal égyptien datant de
cette époque. On y trouve plusieurs nombres dans les millions et dans les
centaines de milliers, écrits en hiéroglyphes, qui sont les résultats d’une campagne
militaire couronnée de succès.
2- 2900 Av. J.-C. : La grande pyramide de Gizeh a été érigée environ à cette date, et
a sans nul doute impliqué des problèmes mathématiques et d’ingénierie. La
structure couvre 13 acres et contient plus de 2 millions de blocs de pierres pesant
en moyenne 2,5 tonnes. Ces blocs de pierres venaient de carrières de pierres qui
étaient situées l’autre côté du Nil. De plus, on a noté que les cotés de la base sont
d’une précision tout à fait remarquable et que les angles droit du carré qui forme
la base sont presque parfaits.
3- 1850 Av. J.-C. : Ceci est l’année approximative où la papyrus de Moscou a été
écrit, il contient 25 problèmes mathématiques. Notons que ce papyrus n’a bien
14
évidemment pas été écrit à Moscou, mais publié avec un éditorial en 1930 dans
cette ville, d’où son nom.
4- 1850 Av. J.-C. : Le plus vieil objet d’astronomie, une combinaison d’une ligne de
plomb et d’une tige de vue pour observer le ciel. Il est actuellement conservé au
musée de Berlin.
5- 1650 Av. J.-C. : Le papyrus Rhind, écrit par Ahmès, a été rédigé dans ces
environs.
6- 1500 Av. J.-C. : Le plus grand obélisque existant a été érigé devant le Temple du
Soleil à Thèbes. Il est 105 pieds de long avec une base carrée de 10 pieds de côté
et il pèse environ 430 tonnes.
7- 1500 Av. J.-C. : Le plus vieux cadran solaire connu vient d’Égypte et date
d’environ cette époque, il est conservé au musée de Berlin.
8- 1350 Av. J.-C. : Le papyrus Rollin, maintenant préservé au Louvre, contient des
comptes élaboré de pains montrant l’usage pratique de grands nombres à
l’époque.
9- 1167 Av. J.-C. : Ceci est la date du papyrus Harris, un document préparé par
Ramsès IV quand il a accédé au trône. Il énonce les grandes réalisations de son
père Ramsès III et il y liste les richesses du temple de l’époque. Ce papyrus
fournit le meilleur exemple de comptabilité pratique de l’époque.
Les sources d’information égyptiennes plus récentes que celles énoncées plus haut
ne représentent aucun gain appréciable ni en connaissance mathématiques, ni en
techniques mathématiques. En fait, il y a certains indices montrant une régression.
Le papyrus Rhind
Le papyrus Rhind a été écrit par le scribe Ahmès environ en 1650 Av. J.-C. On lui
doit son nom à l’écossais Henry Rhind qui l’a acheté à Louxor en 1858, lieu où il a été
découvert, anciennement connu sous le nom de la ville de Thèbes. Il est aujourd’hui
conservé au British Museum de Londres. Long de plus de 5m sur 32 cm de largeur, écrit
en écriture hiératique, ce papyrus est en partie une copie de résultats plus anciens connus
15
par Ahmès des babyloniens. Il contient 87 problèmes résolus d’arithmétique, d’algèbre,
de géométrie et d’arpentage. C’est grâce à ce document qu’on connaît aujourd’hui la
technique de multiplication des égyptiens. En voici une partie :
22
22 Tiré de : « Papyrus Rhind » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007)
16
La numération hiéroglyphique Égyptienne
Les entiers
La numération hiéroglyphique égyptienne se lisait comme suit :
23
Il est à noté que plusieurs symboles représentent le même nombre. Ceci est probablement
dû au fait que chaque scribe écrivait à sa manière à l’époque et donc chacun laissait aller
son sens artistique et produisait des symboles différents. Il est à noter que la numération
égyptienne n’est pas une numération de position. Autrement di t, •|| et ||• représentent
tout deux le nombre 12. Les égyptiens avaient toutefois l’habitude d’écrire de droite à
gauche, mais ceci pouvait changer selon le scribe. Notons aussi que les égyptiens
n’avaient pas de représentation pour le nombre 0, mais leur numération fait en sorte que
le concept du zéro n’est pas nécessaire car s’il n’y a pas d’une certaine puissance de 10,
on ne met tout simplement pas de symbole.
23 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 398.
17
En cherchant un peu sur internet, nous avons trouvé une théorie sur la provenance
de ces symboles, en lisant des livres, nous n’avons trouvé aucune source confirmant cette
théorie. Toutefois nous jugeons intéressant de la montrer, on peut la voir à la figure
suivante. On y remarque que dans cette théorie, on dit 1 000 000 ou infini, c’est qu’en
Égypte antique, il n’existait pas de puissance de 10 supérieure à un million.
Chiffres hiéroglyphiques
Valeur Signification mnémonique
1 Un bâton évoque l'unité
10 Une anse de panier peut contenir environ 10 objets
100 Un rouleau de papyrus car on peut y écrire environ
100 hiéroglyphes
1000 Une fleur de lotus car on les trouve par milliers
10 000 Un doigt montrant le ciel nocturne car on y voit près
de 10 000 étoiles
100 000 Un têtard car on en trouve de l'ordre de 100 000 après
la ponte
1 000 000 ou Infini
Un dieu agenouillé supportant le ciel car le
dieu est éternel et 1 million d'année est synonyme
d'éternité24
24 Tiré de : « Numération égyptienne » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) N.B. (le tableau a été modifié puisqu’une colonne était complètement vide, donc inutile)
18
Les fractions
Les égyptiens on réussi dès l’Antiquité à se doter d’un système de fractions. On
utilisait la bouche pour dénoter le numérateur 1, puis on inscrivait le nombre en
numération hiéroglyphique standard en dessous pour représenter le dénominateur. Par
exemple :
= 1/3
Règle générale, ils n’utilisaient que des fractions avec 1 au numérateur et pour exprimer
une fraction ayant un dénominateur plus grand que 1, ils utilisaient une addition de
fractions pour la représenter. Par exemple :
= 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60
Notons ici qu’il n’y a rien d’écrit entre chaque fraction, c’est que le symbole « + » n’avait
pas encore été introduit à l’époque, c’est n’est qu’au moyen âge qu’il est apparu.
Finalement, pour les fractions les plus courantes, les égyptiens ont adopté certain
symboles tels que :
= 1/2 = 2/3 = 3/4
La technique
La technique de multiplication égyptienne a comme principal intérêt qu’elle ne
nécessite aucune connaissance des tables de multiplication. C’est probablement pour
cette raison que les égyptiens l’ont adoptée car ils n’avaient pas de telles tables. On peut
toutefois croire qu’ils avaient des tables de puissances de 2 car la méthode nécessite de
les connaître ou de les calculer à chaque fois. La méthode consiste en gros à faire un
passage de la base 10 à la base 2. Les égyptiens savaient que chaque nombre avait une
unique décomposition en puissances de 2 et connaissaient aussi la propriété de
distributivité de la multiplication. Autrement dit, ils savaient que 18 x 12 = 18 x (8 + 4) =
18 x 8 + 18 x 4.
19
Effectuer une multiplication avec cette technique s’effectue en 3 étapes,
multiplions 58 par 343 pour illustrer les 3 étapes.
Étape 1 : La décomposition en puissances de 2
La première étape est de trouver la décomposition en puissances de 2 du plus petit
des deux nombres à multiplier (on peut aussi utiliser le plus grand, mais la technique est
moins longue et plus économique si on trouve la décomposition du plus petit). Pour ce
faire, les égyptiens procédaient méthodiquement :
On part avec 58 et on trouve (sur notre table de puissance) que la grande
puissance de 2 inférieure à 58 est 32.
58 – 32 = 26
Ensuite, on fait la même chose avec le résultat, 26, et on trouve 16, et on soustrait à
nouveau.
26 – 16 = 10
Puis, on trouve à nouveau la puissance de 2, cette fois-ci, 8.
10 – 8 = 2
Et le résultat, 2 est lui-même une puissance de 2, on a donc terminé de trouver la
décomposition cherchée et donc :
58 = 32 + 16 + 8 + 2
Et donc,
20
343 x 58 = 343 x (32 + 16 + 8 + 2)
Étape 2 : La construction du tableau de puissances
Maintenant que l’on connaît la décomposition d’un des nombres, on construit un
tableau avec les puissances de 2 de l’autre nombre comme suit :
1 : 343
2 : 686
4 : 1 372
8 : 2 744
16 : 5 488
32 : 10 976
C’est simple, on part du nombre pas décomposé (ici, 343) et on le met vis-à-vis 1, on
l’additionne par lui-même, on met le résultat vis-à-vis 2, on additionne le résultat avec
lui-même, on le met vis-à-vis 4 et on continue jusqu’à la plus grande puissance inférieure
au nombre que l’on a décomposé.
Étape 3 : Le résultat
Maintenant que nous avons le tableau des puissances et la décomposition en
puissances de 2, il nous reste qu’à additionner les puissances correspondantes dans le
tableau. On a trouvé à l’étape 1 que 58 = 32 + 16 + 8 + 2. On prend donc les éléments
vis-à-vis 32, 16, 8 et 2 dans le tableau et on les additionne pour trouver le résultat :
343 x 58 = 686 + 2 744 + 5 488 + 10 976 = 19 894
Et on a réussi à calculer le produit de deux nombres sans connaître aucune table de
multiplication, c’est là la beauté de la méthode égyptienne.
21
Une méthode dérivée : La méthode russe
Les connaissances ont voyagé et les russes ont modifié la méthode égyptienne à
leur manière. Elle a été utilisée jusqu’au début du 20e siècle en Russie. Voici comment ils
procédaient :
Effectuons le produit 53 x 67 :
On fait un tableau comme dans la méthode égyptienne, sauf que cette fois-ci on
commence avec les deux nombres à multiplier, d’un côté, on divise par 2 à chaque ligne
(sans tenir compte des restes) et de l’autre côté, on multiplie par 2.
53 67 (67 x 1)
26 134 (67 x 2)
13 268 (67 x 4)
6 536 (67 x 8)
3 1072 (67 x 16)
1 2144 (67 x 32)
Il ne reste maintenant qu’à additionner les éléments à droite qui sont vis-à-vis un élément
impair, c’est-à-dire :
53 x 67 = 67 + 268 + 1072 + 2144 = 3551
22
Méthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies
ou gelosia (12e au 17e siècle)
Ces 4 mots décrivent une seule et même méthode. Ils font tous référence au
grillage dans lequel on écrit les chiffres de la multiplication. En effet, le mot italien
gelosia signifie une sorte de treillis qu’on plaçait dans les fenêtres, un peu comme un
store. Le mot « jalousie » est aussi un synonyme de store.
Historique
Cette méthode de multiplication vient de la civilisation indienne. C’est le
mathématicien Bhaskara qui fut le premier à la publier dans son livre Lilavati en 1150,
parmi quatre autres méthodes de multiplication de moindre importance25. Elle apparaît
aussi dans d’autres livres de calculs indiens de cette époque26.
Ce fut Fibonacci (Leonardo Pisano de son vrai nom) qui l’introduisit en Europe
en 1202, dans son célèbre ouvrage, le Liber Abaci27. Ce mathématicien italien avait
appris la numération arabe et tentait par cet ouvrage de l’emmener aux Européens, qui
calculaient encore avec le système romain, satisfaisant pour les additions mais trop
complexe pour les multiplications. On voit donc que la méthode des jalousies avait
voyagé de l’Inde chez les Perses et les Arabes avant de se rendre en Europe. Les
Européens ont pris quelque temps à être à l’aise avec ce nouveau système, mais ils
l’utilisèrent ensuite jusque dans les années 160028. La méthode des treillis se trouvait
notamment dans le premier livre d’arithmétique à être imprimé. C’était à Treviso en Italie
en 147829.
25 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p. 107 26 Howard EVES, op. cit., p. 166 27 ANONYME. “Lattice multiplication” dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) 28 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p.107 29ANONYME. “Other algorithms” dans Mental and Written Computation – Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/multiply/lattice.htm], (20 mars 2007)
23
Exemple de multiplication
Voici un exemple de multiplication avec la méthode des jalousies, où 3652 est le
multiplicande et 941 le multiplicateur :
3652 X 941 = 3 436 532
3 6 5 2
3 9
4 4
3 1
6 5 3 2
Le multiplicande se trouve au-dessus de la grille et le multiplicateur à la droite30.
Le résultat se trouve à gauche et au-dessous de la grille. Après avoir tracé le grillage, la
première étape consiste à multiplier le premier chiffre du multiplicande avec le premier
chiffre du multiplicateur, et à inscrire le résultat dans la première case en haut à gauche,
les dizaines au-dessus de la diagonale, et les unités au-dessous. On continue ainsi en
inscrivant le résultat de chaque multiplication dans la case correspondant à l’intersection
du chiffre du multiplicande et de celui du multiplicateur. Une fois que cette étape est
complétée, on additionne les chiffres de chaque rangée diagonale, en commençant par le
bas et en transférant les retenues dans la diagonale suivante, sans oublier d’inscrire les
unités en bas ou à gauche de la diagonale. Par exemple, le résultat de l’addition de la
deuxième diagonale à partir du bas est 13, alors on inscrit 3 au bas de la grille, sous la
deuxième colonne, et on additionne la dizaine avec la diagonale suivante (8, 0, 0, 0, 6).
30 Len GOODMAN, "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)
2
7
5
4
4
5
1
8
1
2
2
4
2
0
0
8
0
3
0
6
0
5
0
2
24
L’algorithme de multiplication par gelosia est en fait très semblable à celui de la
multiplication longue que nous utilisons couramment. Le raisonnement est exactement le
même. Il est cependant facilité par l’écriture des dizaines dans les triangles supérieurs de
chaque case, plutôt qu’en retenue au-dessus du multiplicande dans la méthode dite
longue. Les seules retenues s’effectuent dans l’addition des diagonales, ce qui est
beaucoup moins lourd. Il s’agit de l’avantage principal de la méthode de multiplication
par treillis. Son désavantage principal et la raison pour laquelle elle a été abandonnée
dans les années 1600 est la difficulté d’imprimer ou de tracer le treillis à chaque
multiplication. Le grillage était sûrement pénible à reproduire dans les machines
d’imprimerie de l’époque, mais de nos jours il est certain que les logiciels informatiques
facilitent énormément le travail. Un autre désavantage est que l’on a encore besoin de
connaître les tables de multiplication de 1 à 9, autant que pour la méthode à laquelle nous
sommes habitués.
Les bâtons de Napier
Une méthode de multiplication semblable à celle des jalousies est la méthode des
bâtons de Napier (en anglais Napier’s rods ou Napier’s bones). Elle fut développée par
un scientifique, théologien et mathématicien nommé John Napier qui vécut de 1550 à
1617 près d’Édimbourg en Écosse31. Il s’agissait d’un personnage excentrique dont
plusieurs anecdotes ont traversé les âges. Il avait notamment prédit que dans le futur
existeraient des machines de guerre très variées dont certaines iraient sous l’eau et
d’autres qui détruiraient de tous côtés32. On peut dire que c’était très perspicace de
prédire l’invention du sous-marin et du char d’assaut au 17e siècle! Du côté des
mathématiques, les réalisations les plus importantes de M. Napier sont l’invention des
logarithmes et la découverte de certaines identités trigonométriques, dites les « analogies
de Napier »33, dont :
31 Howard EVES, op. cit., p. 225 32 Ibid, p. 226 33 Ibid, p. 248
c
ba
BA
BA
21tan
)(21tan
)(21sin
)(21sin −
=+
−
25
et autres identités semblables qu’il serait impertinent d’expliciter ici .
Revenons aux bâtons de Napier, technique de multiplication qui nous intéresse.
Elle fut décrite pour la première fois dans l’ouvrage de Napier, Rabdologiae, publié en
1617, et fut très populaire à cette époque. Il s’agit d’utiliser des bâtons d’os, de métal ou
de bois, sur lesquels sont écrites les tables de multiplication de chacun des 10 chiffres,
suivant le modèle de triangles et de carrés que l’on voit dans la méthode des treillis.
Ainsi, on retrouve par exemple sur le bâton du chiffre 6 les résulta ts suivants, disposés
verticalement ( 1X6=6, 2X6=12, 3X6=18, … , 9X6=54). Pour effectuer la multiplication,
il suffit de disposer dans le bon ordre les réglettes correspondant aux tables de
multiplication des chiffres du multiplicande et de ne considérer que les rangées des
chiffres du multiplicateur. On applique ensuite la méthode des jalousies, soit
d’additionner les diagonales en effectuant les retenues lorsque nécessaire. Remarquons
que le désavantage d’avoir à retenir les tables de multiplication est supprimé dans cette
technique, mais qu’il est par contre encore plus laborieux de traîner tous ces bâtons avec
soi que de dessiner le grillage à chaque multiplication. Voici un exemple illustré d’une
multiplication à plusieurs chiffres effectuée avec les bâtons de Napier, ainsi que le
parallèle avec la méthode dite longue à laquelle nous sommes habitués.
26
34
34 ANONYME. “Bâtons de Napier” dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007)
27
Conclusion
En bref, nous avons survolé des techniques de multiplication qu’ont inventées
divers grands peuples de l’histoire, soit les Babyloniens qui ont élaboré des tables de
multiplication même pour certaines fractions et les Égyptiens qui multipliaient en
hiéroglyphes et sans tables de multiplication, leur méthode ayant même traversé l’Asie
mineure pour se rendre en Russie. Nous avons aussi survolé l’Asie, en passant par les
Chinois qui utilisaient bâtons, bouliers et symboles pour multiplier, et par l’Inde qui a
élaboré l’algorithme des jalousies, qui a voyagé chez les Arabes et les Européens. Il est
fascinant de voir ces civilisations se rejoindre dans leurs calculs et leurs méthodes, tout
en ayant une grande diversité entre elles.
Bien sûr, nous n’avons pu couvrir toutes les méthodes ayant été élaborées dans
l’histoire : elles auraient été beaucoup trop nombreuses. Cependant, nous avons tout de
même eu un aperçu du cheminement laborieux par lequel nos ancêtres ont passé pour
arriver à des opérations que nous apprenons maintenant au primaire et trouvons
élémentaires. Nous avons également pu constater les possibilités d’études futures que
nous pourrions faire sur les techniques de division et de fraction ou sur de nombreuses
autres opérations ou outils mathématiques nécessitant des algorithmes et qui ont pris
forme il y a des millénaires.
28
Bibliographie
CAJORI, Florian. A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Company, 525 p. CYR, Stéphane et al. L’activité mathématique – Notes du cours MAT 1011, Département de mathématiques UQÀM, 2006 EVES, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, 5th edtition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, 593 p. GITTLEMAN, Arthur. History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, 291 p. IFRAH, Georges. Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994 Sites Internet : ANONYME. Art. « Papyrus Rhind » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007). ANONYME. Art. « Numération égyptienne » dans Wikipedia, 4 mars 2007, [http://fr.wikipedia.org/ wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) ANONYME. “Bâtons de Napier” dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007) ANONYME. Art. « Le système babylonien », [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/ pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) ANONYME. Art. « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php?option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) ANONYME. Art. “Lattice multiplication” dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) ANONYME. “Other algorithms” dans Mental and Written Computation – Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/ multiply/lattice.htm], (20 mars 2007) GOODMAN, Len. "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)
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