lista de exercícios 32 - integração por partes -...
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
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Lista de Exercícios – Integração por Partes
1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefi nida por integração
por partes. a) 3xxe dx∫
3xdv e dx=
v dv= ∫ u x=
3xv e dx= ∫ du dx=
313
xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
3 3 31 13 3
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫
3 3 31 13 3
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫
3 3 31 1 13 3 3
x x xxe dx x e e C= ⋅ − ⋅ ⋅ +∫
3 3 31 13 9
x x xxe dx xe e C= − +∫
33 1
3 3
xx e
xe dx x C = − +
∫
b) 2 xx e dx−∫
v dv= ∫ 2u x=
xv e dx−= ∫ 2du x dx= xv e−= −
u dv uv v du= −∫ ∫
2 2 2x x xx e dx x e e xdx− − −= − − −∫ ∫ 2 2 2x x xx e dx x e xe dx− − −= − +∫ ∫
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xxe dx−∫
v dv= ∫ u x=
xv e dx−= ∫ du dx= xv e−= −
u dv uv v du= −∫ ∫
x x xxe dx xe e dx− − −= − − −∫ ∫ x x xxe dx xe e dx− − −= − +∫ ∫ x x xxe dx xe e− − −= − −∫
Portanto:
2 2 2x x xx e dx x e xe dx− − −= − +∫ ∫
( )2 2 2x x x xx e dx x e xe e C− − − −= − + − − +∫ 2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C− − − −= − − − +∫
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C− −= − + + +∫
c) ( )ln 2x dx∫
v dv= ∫ ln(2 )u x=
v dx= ∫ 1
22
du dxx
= ⋅
v x= 1
du dxx
=
u dv uv v du= −∫ ∫
1ln(2 ) ln(2 )x dx x x x dx
x= ⋅ − ⋅∫ ∫
ln(2 ) ln(2 )x dx x x dx= ⋅ −∫ ∫
ln(2 ) ln(2 )x dx x x x C= ⋅ − +∫
[ ]ln(2 ) ln(2 ) 1x dx x x C= − +∫
2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefi nida (Sugestão: a
integração por partes pode não ser necessária para todas as integrais).
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a) 4xe dx∫
4 4u x du dx= ⇒ =
4 4 41 1 1 1
44 4 4 4
x x u u xe dx e dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫
b) 4xxe dx∫
v dv= ∫ u x=
4xv e dx= ∫ du dx=
414
xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
4 4 41 14 4
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫
4 4 41 14 4
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫
4 4 41 1 14 4 4
x x xxe dx xe e C= − ⋅ +∫
4 4 41 14 16
x x xxe dx xe e C= − +∫
4 41 14 4
x xxe dx e x C = − +
∫
c)
2xxe dx∫
2 2 2
2 2x x xu e du e x dx du xe dx= ⇒ = ⋅ ⇒ =
2 2 21 1 1 12
2 2 2 2x x u u xxe dx xe dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫
d) 3 xx e dx∫
v dv= ∫ 3u x=
xv e dx= ∫ 23du x dx= xv e=
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u dv uv v du= −∫ ∫
( )3 3 23x x xx e dx x e e x dx= −∫ ∫ 3 3 23x x xx e dx x e x e dx= −∫ ∫
2 xx e dx∫
v dv= ∫ 2u x=
xv e dx= ∫ 2du xdx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
( )2 2 2x x xx e dx x e e x dx= −∫ ∫ 2 2 2x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫
xxe dx∫
v dv= ∫ u x=
xv e dx= ∫ du dx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ x x xxe dx xe e= −∫
Portanto:
3 3 23x x xx e dx x e x e dx= −∫ ∫
( )3 3 23 2x x x xx e dx x e x e xe dx= − −∫ ∫
3 3 23 6x x x xx e dx x e x e xe dx= − +∫ ∫
( )3 3 23 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= − + − +∫ 3 3 23 6 6x x x x xx e dx x e x e xe e C= − + − +∫
( )3 3 23 6 6x xx e dx e x x x C= − + − +∫
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e) 3 lnx x dx∫
v dv= ∫ lnu x=
3v x dx= ∫ 1
du dxx
=
414
v x=
u dv uv v du= −∫ ∫
3 4 41 1 1ln ln
4 4x x dx x x x dx
x= − ⋅∫ ∫
3 4 31 1ln ln
4 4x x dx x x x dx= −∫ ∫
43 41 1ln ln
4 4 4x
x x dx x x C= − ⋅ +∫
3 4 41 1ln ln
4 16x x dx x x x C= − +∫
3 41 1ln ln
4 4x x dx x x C = − +
∫
f) ( )ln 1t t dt+∫
v dv= ∫ ( )ln 1u t= +
v t dt= ∫ 1
1du dt
t=
+
212
v t=
u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )2 21 1 1ln 1 ln 1
2 2 1t t dt t t t dt
t+ = ⋅ + − ⋅
+∫ ∫
( ) ( )2 21
ln 1 ln 12 2 1t t
t t dt t dtt
+ = + −+∫ ∫
( )2 21
1 1 1 2 1
t t tt t t tdt dt t dt dt dt
t t t t
+ −= = − = −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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1t
dtt +∫
1 1u t du dt t u= + ⇒ = ⇒ = −
( )1 1ln ln 1
1t u
dt dt dt dt t u t tt u u
−= = − = − = − ++∫ ∫ ∫ ∫
Portanto:
( ) ( )2 21
ln 1 ln 12 2 1t t
t t dt t dtt
+ = + −+∫ ∫
( ) ( )2 21
ln 1 ln 12 2 2 1t t t
t t dt t dtt
+ = + − − +
∫ ∫
( ) ( )2 2 1
ln 1 ln 12 4 2 1t t t
t t dt t dtt
+ = + − ++∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 1
ln 1 ln 1 ln 12 4 2t t
t t dt t t t C + = + − + − + + ∫
( ) ( ) ( )2 2 1
ln 1 ln 1 ln 12 4 2 2t t t
t t dt t t C+ = + − + − + +∫
( ) ( ) ( )2 21 2
ln 1 ln 1 ln 12 2 4 4t t t
t t dt t t C+ = + − + − + +∫
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2ln 1 ln 1
2 4
t t tt t dt t C
− −+ = + − +∫
g) ( )2
lnx x dx∫
v dv= ∫ ( )2
lnu x=
v x dx= ∫ 1
2lndu x dxx
= ⋅
212
v x=
u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )2
2 2 21 1ln ln 2ln
2 2x
x x dx x x x dxx
= ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫
( ) ( )2
2 2ln ln ln
2x
x x dx x x x dx= ⋅ −∫ ∫
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lnx x dx∫
v dv= ∫ lnu x=
v x dx= ∫ 1
du dxx
=
212
v x=
u dv uv v du= −∫ ∫
221 1
ln ln2 2x
x x dx x x dxx
= ⋅ − ⋅∫ ∫
2 1ln ln
2 2x
x x dx x x dx= ⋅ −∫ ∫
2 21ln ln
2 2 2x x
x x dx x C= ⋅ − ⋅ +∫
2 2
ln ln2 4x x
x x dx x C= ⋅ − +∫
Portanto:
( ) ( )2
2 2ln ln ln
2x
x x dx x x x dx= ⋅ −∫ ∫
( ) ( )2 2 2
2 2ln ln ln
2 2 4x x x
x x dx x x C
= ⋅ − ⋅ − +
∫
( ) ( )2 2 2
2 2ln ln ln
2 2 4x x x
x x dx x x C= ⋅ − ⋅ + +∫
h) ( )2ln x
dxx∫
lnu x=
1
du dxx
=
( ) ( ) ( )2 332 2ln ln1
ln3 3
x xudx x dx u du C C
x x= = = + = +∫ ∫ ∫
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i) 1x x dx−∫
1 1u x du dx x u= − ⇒ = ⇒ = +
( ) ( ) ( )31 12 2 21 1 1x x dx u u du u u du u u du− = + ⇒ + = + =∫ ∫ ∫ ∫
( )5 3
2 23 5 312 2 2 22 2
5 3 5 32 2
u uu u du C u u C= + = + + = + + =∫
( ) ( )5 32 22 2
1 15 3
x x C= − + − +
j) ( )2 1 xx e dx−∫
v dv= ∫ 2 1u x= −
xv e dx= ∫ 2du x dx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x e x dx− = − − ⋅∫ ∫
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x xe dx− = − −∫ ∫
xxe dx∫
v dv= ∫ u x=
xv e dx= ∫ du dx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ x x xxe dx xe e= −∫
Portanto:
( ) ( )2 21 1 2x x xx e dx e x xe dx− = − −∫ ∫
( ) ( ) ( )2 21 1 2x x x xx e dx e x xe e C− = − − − +∫
( )2 21 2 2x x x x xx e dx e x e xe e C− = − − + +∫
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( )2 21 2x x x xx e dx e x e xe C− = + − +∫
( ) ( )2 21 2 1x xx e dx e x x C− = − + +∫
( ) ( )22 1 1x xx e dx e x C− = − +∫
k) ( )
2
22 1
xxedx
x +∫
2 22x xu e du e dx= ⇒ =
v dv= ∫
( )22 1
xv dx
x=
+∫
1
2 1 2 12
ww x x w x
−= + ⇒ = − ⇒ =
22
dwdw dx dx= ⇒ =
2
1 12 2
w dwv
w−= ⋅ ⋅∫
2
14w
v dww−= ∫
2
1 14
wv dw
w−= ∫
2
1 1 14
v dw dww w
= − ∫ ∫
21 14
v dw w dww
− = − ∫ ∫
11ln
4 1w
v w−
= − −
1 1ln
4v w
w = +
( )1 1ln 2 1
4 2 1v x
x = + + +
Portanto:
u dv uv v du= −∫ ∫
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( )( ) ( )
22 2
2
1 1 1 1ln 2 1 ln 2 1 2
4 2 1 4 2 12 1
xx xxe
dx e x x e dxx xx
= ⋅ + + − + + ⋅ + + +∫ ∫
( )( ) ( )
2 22
2
1 1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 12 1
x xxxe e
dx x x e dxx xx
= + + − + + + + +∫ ∫
( ) ( )2
2 21ln 2 1 ln 2 1
2 1 2 1
xx x e
x e dx e x dx dxx x
+ + = + + + + ∫ ∫ ∫
( )2 ln 2 1xe x dx + ∫
v dv= ∫ ln(2 1)u x= +
2xv e dx= ∫ 1
22 1
du dxx
= ⋅+
212
xv e= 2
2 1du dx
x=
+
u dv uv v du= −∫ ∫
( )2 2 21 1 2ln 2 1 ln(2 1)
2 2 2 1x x xe x dx e x e dx
x + = ⋅ + − ⋅ +∫ ∫
( )2
2 21ln 2 1 ln(2 1)
2 2 1
xx x e
e x dx e x dxx
+ = ⋅ + − +∫ ∫
Portanto:
( )( ) ( )
2 2 22
2
1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 12 1
x x xxxe e e
dx x e x dx dxx xx
= + + − + + + + + ∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
2 2 22
2
1 1 1ln 2 1 ln 2 1
4 2 1 2 2 2 12 1
x x xxxe e e
dx x e x dx dxx xx
= + + − + − + + +∫ ∫ ∫
( )( )
2 2 2 22
2
1 1 1 1ln 2 1 ln(2 1)
4 2 1 2 2 2 1 2 2 12 1
x x x xxxe e e e
dx x e x dx dxx x xx
= + + − ⋅ + − − + + + + ∫ ∫ ∫
( )( )
2 22
2
1 1ln 2 1 ln(2 1)
4 2 1 42 1
x xxxe e
dx x e x Cxx
= + + − ⋅ + + + +∫
( ) ( )2 2
2 4 2 12 1
x xxe edx C
xx= +
++∫
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3) Calcule a integral definida.
a) 1
2
0
xx e dx∫
v dv= ∫ 2u x=
xv e dx= ∫ 2du x dx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
2 2 2x x xx e dx e x e x dx= − ⋅∫ ∫ 2 2 2x x xx e dx e x xe dx= −∫ ∫
xxe dx∫
v dv= ∫ u x=
xv e dx= ∫ du dx= xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
x x xxe dx xe e dx= −∫ ∫ x x xxe dx xe e= −∫
Portanto:
2 2 2x x xx e dx e x xe dx= −∫ ∫
( )2 2 2x x x xx e dx e x xe e C= − − +∫ 2 2 2 2x x x xx e dx e x xe e C= − + +∫
( )2 2 2 2x xx e dx e x x C= − + +∫
( )1 1
2 2
00
2 2x xx e dx e x x = − + ∫
( ) ( )1
2 1 2 0 2
0
1 2 1 2 0 2 0 2xx e dx e e = − ⋅ + − − ⋅ + ∫
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12
0
2xx e dx e= −∫
b) 5
1
lne
x x dx∫
v dv= ∫ lnu x=
5v x dx= ∫ 1
du dxx
=
616
v x=
u dv uv v du= −∫ ∫
65 61 1ln ln
6 6x
x x dx x x dxx
= − ⋅∫ ∫
65 51ln ln
6 6x
x x dx x x dx= −∫ ∫
6 65 1ln ln
6 6 6x x
x x dx x C= − ⋅ +∫
65 1ln ln
6 6x
x x dx x C = − +
∫
6
5
1 1
1ln ln
6 6
ee xx x dx x
= −
∫
6 65
1
1 1 1ln ln ln1
6 6 6 6
e ex x dx e
= − − −
∫
65
1
1 1 1ln 1
6 6 6 6
e ex x dx
= − − −
∫
65
1
5 1ln
6 6 36
e ex x dx = ⋅ +∫
65
1
5 1ln
36 36
e ex x dx = +∫
( )5 6
1
1ln 5 1
36
e
x x dx e= +∫
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4) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefi nida, utilizando o método indicado. a) 2 2 3x x dx−∫
a.1) Por partes, fazendo 2 3dv x dx= − . v dv= ∫ 2u x=
2 3v x dx= −∫ 2du dx=
2 3w x= −
2dw dx=
12 2 3
2v x dx= −∫
12
v w dw= ∫
121
2v w dw= ∫
321
322
wv = ⋅
321 2
2 3v w= ⋅
321
3v w=
( )321
2 33
v x= −
u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )3 32 21 1
2 2 3 2 2 3 2 3 23 3
x x dx x x x dx− = ⋅ − − − ⋅∫ ∫
( ) ( )3 32 22 2
2 2 3 2 3 2 33 3x
x x dx x x dx− = − − −∫ ∫
( )322 3x dx−∫
2 3u x= −
2du dx=
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( ) ( )5
23 3 3 52 2 2 21 1 1 1 2
2 3 2 2 352 2 2 2 5
2
ux dx x dx u du u− = − = = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫
( )55221 1
2 35 5
u x= = −
Portanto:
( ) ( )3 32 22 2
2 2 3 2 3 2 33 3x
x x dx x x dx− = − − −∫ ∫
( ) ( )3 52 22 2 1
2 2 3 2 3 2 33 3 5x
x x dx x x C − = − − − + ∫
( ) ( )3 52 22 2
2 2 3 2 3 2 33 15x
x x dx x x C− = − − − +∫
a.2) Por substituição, fazendo 2 3u x= − .
2 3u x= − 2 3u x= − 2 2 3u x= − ( )1
22 3u x= −
22 3x u= + ( ) 121
2 3 22
du x dx−= − ⋅
( )12
1
2 3du dx
x=
−
1
2 3du dx
x=
−
2 3dx x du= − dx u du=
( ) ( )2 4 2 5 31 12 2 3 3 3 3
5 3x x dx u u udu u u du u u C− = + ⋅ = + = + ⋅ + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 35 3 2 21 1 1
2 3 2 3 2 3 2 35 5 5
u u C x x C x x C= + + = − + − + = − + − +
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que ambas têm a mesma integral.
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b) 4 5
xdx
x+∫
b.1) Por partes, fazendo 1
4 5dv dx
x=
+.
v dv= ∫ u x=
1
4 5v dx
x=
+∫ du dx=
4 5w x= +
5dw dx=
1
4 5v dx
x=
+∫
1 55 4 5
v dxx
=+∫
1 15
v dww
= ∫
121
5v w dw
−= ∫
121
152
wv = ⋅
121
25
v w= ⋅ ⋅
122
5v w=
( ) 122
4 55
v x= +
u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )1 12 22 2
4 5 4 55 54 5
xdx x x x dx
x= + ⋅ − +
+∫ ∫
( ) ( )1 12 22 2
4 5 4 55 54 5
x xdx x x dx
x= + − +
+∫ ∫
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( ) 124 5x dx+∫
4 5u x= + 5u dx=
( ) ( )3
2 31 1 12 2 2 21 1 1 1 2
4 5 5 4 535 5 5 5 3
2
ux dx x dx u du u+ = + = = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫
( )33222 2
4 515 15
u x= = +
Portanto:
( ) ( )1 12 22 2
4 5 4 55 54 5
x xdx x x dx
x= + − +
+∫ ∫
( ) ( )312 22 2 2
4 5 4 55 5 154 5
x xdx x x C
x = + − + + +
∫
( ) ( )312 22 4
4 5 4 55 754 5
x xdx x x C
x= + − + +
+∫
b.2) Por substituição, fazendo 4 5u x= + .
4 5u x= + 4 5u x= + 2 4 5u x= + ( )1
24 5u x= +
25 4x u= − ( ) 121
4 5 52
du x dx−= + ⋅
2 45
ux
−= ( ) 125
4 52
du x dx−= +
( )1
2
5
2 4 5du dx
x=
+
5
2 4 5du dx
x=
+
5
2du dx
u=
25
dx u du=
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( )2
2 34 1 2 2 2 14 4
5 5 25 25 34 5
x udx u du u du u u C
ux
− = ⋅ ⋅ = − = − + = + ∫ ∫ ∫
( ) ( )332 8 2 8
4 5 4 575 25 75 25
u u C x x C= − + = + − + + =
( ) ( )3 13 2 22 8 2 84 5 4 5
75 25 75 25u u C x x C= − + = + − + +
OBS: Diferencie as duas expressões obtidas para comprovar que ambas têm a mesma integral.
5) Utilize a integração por partes para verificar a s fórmulas abaixo:
( )( )
1
2ln 1 1 ln 11
nn x
x x dx n x C nn
+
= − + + + ≠ − +∫
v dv= ∫
lnu x=
nv x dx= ∫ 1
du dxx
=
1
1
nxv
n
+
=+
u dv uv v du= −∫ ∫ 1 1 1
ln ln1 1
n nn x x
x x dx x dxn n x
+ +
= ⋅ − ⋅+ +∫ ∫
1 1ln ln
1 1
nn nx
x x dx x x dxn n
+
= ⋅ −+ +∫ ∫
1 11ln ln
1 1 1
n nn x x
x x dx xn n n
+ +
= ⋅ − ⋅+ + +∫
1 1ln ln
1 1
nn x
x x dx xn n
+ = − + + ∫
( )1 1 ln 1ln
1 1
nn n xx
x x dxn n
+ + −= + +
∫
( )( )
1
2ln 1 1 ln1
nn x
x x dx n xn
+
= − + + +∫
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1n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx
a a−= −∫ ∫
v dv= ∫
nu x=
axv e dx= ∫ 1ndu nx dx−=
1 axv ea
=
u dv uv v du= −∫ ∫
11 1n ax n ax ax nx e dx x e e nx dxa a
−= ⋅ − ⋅∫ ∫
1n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx
a a−= −∫ ∫
6) Nos exercícios a seguir, calcule a integral inde finida com auxílio
das fórmulas acima. a) 2 5xx e dx∫
1 2 e 5n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx n a
a a−= − = =∫ ∫
2 5 2 5 51 25 5
x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫
5xxe dx∫
v dv= ∫
u x=
5xv e dx= ∫ du dx=
515
xv e=
u dv uv v du= −∫ ∫
5 5 51 15 5
x x xxe dx x e e dx= ⋅ −∫ ∫
5 5 515 5
x x xxxe dx e e dx= −∫ ∫
5 5 51 15 5 5
x x xxxe dx e e= − ⋅∫
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5 5 515 25
x x xxxe dx e e= −∫
Portanto:
2 5 2 5 51 25 5
x x xx e dx x e xe dx= −∫ ∫
2 5 2 5 5 51 2 15 5 5 25
x x x xxx e dx x e e e C = − − +
∫
2 5 2 5 5 51 2 25 25 125
x x x xx e dx x e xe e C= − + +∫
( )5
2 5 225 10 2125
xx e
x e dx x x C= − + +∫
b) 2 lnx x dx−∫
( )( )
1
2ln 1 1 ln 21
nn x
x x dx n x nn
+
= − + + = − +∫
( )( )
2 12
2ln 1 2 1 ln2 1
xx x dx x C
− +− = − + − + + − +∫
( )2 1ln 1 lnx x dx x x C− −= − − +∫
( )2 1ln ln 1x x dx x C
x− = − + +∫
7) Determine a área da região delimitada pelos gráf icos das equações
dadas.
, 0, 4xy xe y x−= = =
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
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4
0
xA xe dx−= ∫
1 1 e 1n ax
n ax n axx e nx e dx x e dx n a
a a−= − = = −∫ ∫
1 1
1 1 111 1
xx xx e
xe dx x e dx−
− − −= −− −∫ ∫
x xx
xxe dx e dx
e− −= − +∫ ∫
x xx
xxe dx e
e− −= − −∫
1xx x
xxe dx
e e− = − −∫
( )11x
xxe dx xe
− = − +∫
( )44
00
11x
xA xe dx xe
− = = − +
∫
( ) ( )4
4 00
1 14 1 0 1xA xe dx
e e− = = − + − − +
∫
4
40
51xA xe dx
e−= = − +∫
44
0
1 5xA xe dx e− −= = −∫
8) Dada a região delimitada pelos gráficos de 2lny x= , 0y = e x e= ,
determine:
a) A área da região.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
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0 2ln 0 ln 0 1y x x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
1 1
2ln 2 lne e
A x dx x dx= =∫ ∫
ln x dx∫
v dv= ∫
lnu x=
v dx= ∫ 1
du dxx
=
v x=
u dv uv v du= −∫ ∫ 1
ln lnx dx x x x dxx
= − ⋅∫ ∫
ln lnx dx x x dx= −∫ ∫
ln lnx dx x x x= −∫
( )ln ln 1x dx x x= −∫
( ) ( ) ( ){ }11
2 ln 2 ln 1 2 ln 1 1 ln1 1e
eA x dx x x e e = = − = − − − ∫
( ) ( ){ }1
2 ln 2 1 1 1 0 1 2e
A x dx e = = − − − = ∫
b) O volume do sólido gerado pela revolução da regi ão em torno
do eixo x .
( ) ( )2 2
1 1
2ln 4 lne e
V x dx x dx= =∫ ∫π π
( )2ln x dx∫
v dv= ∫ ( )2
lnu x=
v dx= ∫ 1
2lndu x dxx
=
v x=
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u dv uv v du= −∫ ∫
( ) ( )2 2 1ln ln 2lnx dx x x x x dx
x= − ⋅∫ ∫
( ) ( )2 2ln ln 2 lnx dx x x x dx= −∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2ln ln 2 lnx dx x x x x x= − −∫
( ) ( )2 2ln ln 2 ln 2x dx x x x x x= − +∫
( ) ( )2 2
11
4 ln 4 ln 2 ln 2e e
V x dx x x x x x = = − + ∫π π
( ) ( ){ }2 24 ln 2 ln 2 1 ln1 2 1 ln1 2 1V e e e e e = − + − − ⋅ ⋅ + ⋅
π
( )4 2 2 2V e e e = − + − π
( )4 2V e= −π
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