livro sólidos geométricos
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Sólidos geométricos, ângulos, polígonos e congruências
Sobre os Autores
Nome da Autora
Váldina Gonçalves da Costa
Minicurrículo
Licenciada em Matemática pela Universidade de Uberaba. Doutora em Educação
Matemática, pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP.
Professora dos cursos de Licenciatura em Matemática, Pedagogia e Engenharias,
na Universidade de Uberaba.
Apresentação
Caro Aluno.
Este livro Geometria - sólidos geométricos, ângulos, polígonos e congruência aborda
um tema que continua sendo pouco ensinado na Educação Básica, razão pela qual
é relevante em nosso curso de formação de professores. Este primeiro livro de
Geometria é um dos três volumes que serão lançados e tem por objetivo oferecer-
lhe, alunos da graduação em Matemática ou áreas afins- um texto que proporcione
uma visão da Geometria Euclidiana com construções geométricas, com atividades
pedagógicas, de maneira que estas possam ser utilizadas como ferramentas para
prática pedagógica e também complementar e auxiliar o aprendizado da Geometria.
O convite feito inicialmente - Vamos enveredar pelos caminhos da Geometria
Euclidiana? - é um desafio lançado como o intuito de desenvolver o seu pensamento
geométrico e o raciocínio visual. Para auxiliá-lo a abordagem adotada ora é intuitiva,
ora é metodológica e ora axiomática. Assim, você utilizará os materiais pedagógicos,
a informática como ferramentas para compreensão dos objetos matemáticos e para
o desenvolvimento de conceitos matemáticos fundamentais, enfatizando a unidade
temática: Conceitos Matemáticos Fundamentais e o eixo temático: A Dialética
Ferramenta-objeto da Matemática, nos quais a Geometria Euclidiana está inserida.
Esse livro está organizado em quatro capítulos. No primeiro há, inicialmente, uma
abordagem mais intuitiva no sentido de despertar-lhe o gosto pela Geometria, por
isso é feita uma abordagem histórica e posteriormente, a construção e o estudo
inicial dos sólidos geométricos. Algumas noções primitivas são introduzidas,
trazendo atividades com a resolução completa no referencial de respostas. No
segundo capítulo, há uma ênfase maior nas construções geométricas. O capítulo
três enfatiza a abordagem metodológica e o capítulo quatro a abordagem
axiomática.
No final do estudo desse livro, espera-se que o seu olhar de futuro educador tenha
ampliado e que você continue estudando, pesquisando e buscando formas
diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.
Bom estudo!
Capítulo 1 – Sólidos geométricos, noções primitivas e segmento de reta
1.1. Apresentação
Nesse capítulo, convido você para fazer parte de um grupo que estuda o ensino de
Geometria. É um desafio para você nesse início de curso, pois a Geometria ainda
continua sendo pouco ensinada na sala de aula. Portanto, vamos dar juntos os
primeiros passos nesse universo geométrico.
Inicialmente, faço a você um convite:
Vamos enveredar pelos caminhos da Geometria?
Procure responder estas questões, em seguida, registre suas
respostas em seu Trabalho de Construção de Aprendizagem –
TCA.
Dialogando sobre o ensino de Geometria
Em 1995, Lorenzato publicou um artigo intitulado “Por que não ensinar Geometria?”,
apontando para a ausência de seu ensino na sala de aula, e, ainda hoje,
percebemos esta ausência. Uma das razões explicitadas pelo autor é que os
professores não ensinam geometria porque não detêm o conhecimento necessário
para essa prática. Como poderão ensinar aquilo que não conhecem?
Para Dreyfus e Hadas (2000, p. 59), “A geometria euclidiana tem sido menos
ensinada nos últimos anos do que há vinte anos”. Eles apontam que a razão desse
declínio está nas dificuldades conceituais causadas pelas argumentações lógicas
que constituem a essência da geometria euclidiana, e que muitas dificuldades dos
alunos estão relacionadas com a maneira de organizarem o raciocínio e construírem
essas argumentações lógicas.
Nesse sentido, um dos desafios a ser enfrentado neste capítulo e nos demais, é
aprender geometria e é esse o convite que faço a você: vamos enveredar pelos
caminhos da Geometria? É um caminho cheio de belezas observáveis na natureza
e ora no raciocínio e argumentações lógicas para construir conceitos, demonstrar
algum teorema, fazer atividades, dentre outras.
Para você refletir!
Nos cursos presenciais, quando inicio a aula, questiono aos alunos:
Vocês viram Geometria na Educação Básica? Se viram, que
recordações vocês têm? Ou do que vocês se lembram?
Estas perguntas têm a intenção de verificar o que os alunos já
aprenderam, o que sabem, ou seja, fazer um diagnóstico. E você? Já
estudou Geometria? Do que você lembra?
Esse convite vem no sentido de que sem desenvolver o pensamento geométrico (a
percepção geométrica, raciocínio geométrico e a linguagem geométrica) e o
raciocínio visual dificilmente se conseguirá resolver situações cotidianas que forem
geometrizadas, e, também fazer uso da geometria como facilitadora da
compreensão e da resolução de problemas de outras áreas do conhecimento.
Partindo do princípio de que a geometria existe em praticamente toda parte, um
requisito essencial ao ser humano é conseguir enxergá-la, ou seja, fazer uma leitura
interpretativa do nosso dia a dia.
De acordo com Lorenzato (1995), pesquisas psicológicas apontam que a
aprendizagem geométrica auxilia no desenvolvimento da criança, sendo
indispensável para ela. O autor também assegura que a Geometria valoriza o
descobrir, o conjecturar e o experimentar; é um excelente apoio às outras disciplinas
e pode esclarecer situações abstratas.
Assim, para desenvolver esse pensamento geométrico ao longo do curso, você terá
o auxílio da Informática e de materiais pedagógicos, dentre outros; como
ferramentas para a compreensão dos objetos matemáticos e para o
desenvolvimento dos conceitos matemáticos fundamentais, reforçando o sentido de
nossa Unidade Temática: Conceitos Matemáticos Fundamentais e de nosso Eixo
Temático: A dialética ferramenta-objeto da Matemática, nos quais a Geometria
Euclidiana está inserida.
O que espero de VOCÊ!
Espero que no final deste capítulo, você seja capaz de:
identificar, classificar e nomear os sólidos geométricos;
reconhecer a hipótese e a tese de um teorema;
classificar os segmentos em colineares, consecutivos e adjacentes;
distinguir uma figura plana de uma figura espacial;
proceder à contagem dos elementos de um poliedro convexo;
traçar o ponto médio de um segmento;
utilizar corretamente a linguagem matemática.
Como foi organizado o capítulo
Inicialmente, faço uma abordagem histórica com o intuito de despertar em você o
gosto pela história e pelo ensino da Geometria. História, porque todos nós que
estamos nesse planeta temos uma história para contar e a Geometria não é
diferente. As pessoas não aparecem do “acaso”, há um processo de construção dos
fatos, e é assim que estou apresentando para você a evolução da Geometria, de
acordo com as ideias de Eves (1992). E sobre o ensino de Geometria, este deixou
de ser realizado por um bom tempo e até hoje alguns alunos passaram pela
Educação Básica e não lhes foi dada a oportunidade de aprender Geometria.
Em seguida, você encontrará os itens: Sólidos Geométricos, Noções de Proposições
Primitivas e Segmento de Reta. No primeiro tópico, apresento uma introdução mais
intuitiva dos Sólidos Geométricos e que terá continuidade nos próximos capítulos. A
ideia é partir de objetos que você consegue manipular (figuras espaciais), ou que
você tem contato no dia a dia, e deles chegar à geometria plana (figuras planas), ou
seja, fazer o caminho da geometria espacial à geometria plana.
1.2. Um pouco de história
Uma das primeiras noções matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a Pré-
História foi a ideia de dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias,
necessidade de delimitação de terras, construções de moradias, formas e objetos da
natureza. Ainda noções com configurações físicas ordenadas e outras
desordenadas. É o que Eves (1992) chama de Geometria Subconsciente, ou seja,
uma geometria em que os problemas geométricos são concretos e, aparentemente,
sem nenhuma ligação entre si; está relacionada com a “(...) capacidade humana de
reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos.” (EVES, 1992, p.1).
Parada para reflexão
Veja o filme: Guerra do Fogo de Jean Jacques Annaud. Abril vídeo da Amazônia
S/A. Depois correlacione com o aprendido e coloque as reflexões em seu Trabalho
de Construção de Aprendizagem – TCA.
Euclides (Séc. III a.C)
Posteriormente à Geometria Subconsciente, houve o desenvolvimento da
capacidade de abstrair certas características de casos particulares. Agora, os
problemas já são ordenados em grupos de acordo com as formas de sua solução.
Aparece então, a noção de lei ou regra geométrica, tais como: indução, ensaio e
erro, observação e experimentação que conduzem à era da Geometria Científica.
Para Eves (1992), a transformação da geometria do subconsciente em geometria
científica ocorreu no Egito Antigo – no Vale do Nilo, e, em outras civilizações antigas
com a prática da agrimensura. Por volta do ano 3000 a.C., a geometria babilônica já
conhecia cálculos de áreas e volumes de figuras simples. Nos papiros Hind (cerca
de 1650 a.C.) e de Moscou (cerca de 1850 a.C.), ficou registrada a geometria
egípcia que possuía fórmulas para cálculos de áreas e volumes.
As primeiras sistematizações da teoria da geometria devem-se, segundo fontes
secundárias, aos gregos, assim como a ênfase no raciocínio dedutivo, o que
transformou a geometria em geometria demonstrativa. Tales de Mileto (Séc. VI a.C.)
foi quem iniciou esse trabalho e trouxe os resultados egípcios para a Grécia; tendo
continuidade com Pitágoras (Séc. V a.C.) que estendeu o raciocínio dedutivo à
álgebra. Com os Pitagóricos, têm-se a compilação das proposições geométricas em
teorias a partir de afirmações iniciais denominadas de axiomas. Também se atribui a
eles o estudo das grandezas comensuráveis e incomensuráveis.
Mas foi Euclides (Séc. III a.C.), na cidade de Alexandria, quem obteve o sucesso de
sistematizar a geometria, em sua obra: “Os Elementos”, que é o melhor exemplo de
geometria axiomática da época. Euclides foi um dos sábios que participaram do polo
cultural, que se constituiu em torno da Biblioteca de Alexandria, reunindo vários
sábios da época. Outros matemáticos também contribuíram para o desenvolvimento
teórico da geometria, tais como: Ptolomeu de Alexandria (Séc. II aC.); Apolônio de
Perga (Séc. II aC.); Arquimedes de Siracusa (Séc. III aC.) e Papus de Alexandria
(Séc. III aC.).
Para saber mais....
Acredita-se que a Biblioteca de Alexandria foi incendiada acidentalmente. Para
saber mais, acesse alguns sites:
http://www.historiadomundo.com.br/curiosidades/a-biblioteca.htm;
http://educaterra.terra.com.br/voltaire/antiga/2002/10/31/002.htm; dentre outros.
No site: www.dominiopublico.gov.br/download/texto/be00001a.pdf, você encontra o
primeiro livro de Euclides: “Primeiro Livro de Elementos de Geometria de Euclides”.
Consulte-o.
Esse movimento do desenvolvimento teórico da geometria teve uma queda na Idade
Média, pois os matemáticos europeus não deram tanta ênfase ao desenvolvimento
da geometria. Os hindus tinham como aspectos fortes, a álgebra e a aritmética; já os
árabes adquiriram o saber hindu e o grego, e traduziram várias obras para o latim,
disseminando esse saber. Eles desenvolveram uma teoria que tem um valor prático
para a navegação: a trigonometria esférica.
No século XV, início do Renascimento, houve o ressurgimento, na Europa, dos
antigos clássicos: os gregos e os romanos. Foi a partir do Renascimento e por toda
a Idade Moderna que a geometria ressurge com lugar de destaque nos estudos dos
matemáticos. E foram os matemáticos europeus que buscaram aplicar os
conhecimentos dos legados gregos e árabes, transformando em muitos casos a
natureza da geometria. Assim, surgem novas geometrias: Geometria Analítica;
Geometria Projetiva; Geometria Descritiva; Topologia; Geometrias não euclidianas,
como a geometria diferencial; hiperbólica e elíptica. Dentre os matemáticos que
contribuíram para o desenvolvimento dessas teorias destacam-se: Descartes (1596-
1650); Pascal (1623-1662); Fermat (1601-1665); Desargues (1593-1661); Monge
(1746-1818); Poncelet (1788-1867); Euler (1707-1783); Gauss (1777-1855);
Lobachevsky (1793-1856) e Riemann (1826-1866), dentre outros.
Parada Obrigatória
Pesquise na internet ou em livros sobre: a Matemática na época do Renascimento.
Em seguida, verifique: 1) No campo da Arte, alguns artistas que se destacaram, tais
como: Leonardo da Vinci, Sandro Botticelli, Michelângelo e Filippo Brunelleschi; 2)
No campo da Medicina, Andreas Vesalius que foi considerado “o pai da anatomia
moderna”. Vesalius, enriqueceu seus desenhos com detalhes, mantendo as
proporções entre o desenho e a realidade, mostrando grande habilidade
matemática.
Visite alguns sites:
http://www.historiadaarte.com.br/renascimento.html;
http://www.scribd.com/doc/2972265/Historia-da-Matematica-Renascimento, dentre
outros. Depois teça um comentário sobre sua pesquisa no seu Trabalho de
Construção de Aprendizagem - TCA.
A teoria de Euclides, que por dois milênios foi aceita como a única capaz de
descrever em termos geométricos o espaço físico, teve grandes problemas com o
desenvolvimento do postulado das paralelas, o V Postulado: “Se uma reta intercepta
duas outras retas de modo que os ângulos internos formados num mesmo lado
sejam menores que dois retos, as duas retas prolongadas ao infinito se encontrarão
na parte em que os ângulos são menores que dois retos.” (EVES, 1992, p.20).
Vários matemáticos tentaram provar esse postulado das paralelas; e nesta busca
foram descobertas as geometrias não-euclidianas, século XVIII.
Diante de tantas geometrias, ficou difícil definir o que viria a ser
geometria.
Antes do surgimento da Geometria Analítica (1637),
poderíamos dizer que seria o estudo de formas do espaço e de
suas medidas, mas agora temos que mudar essa concepção.
Foi em 1872, com Félix Klein e o “Erlanger Programm” que a
definição de geometria foi alterada: “...a geometria passou a
ser considerada como o estudo das propriedades das
configurações de pontos que permanecem inalteradas quando
o espaço circundante é sujeito a estas transformações.”
(EVES, 1992, p. 27).
Assim, em vez de ter o conceito principal de geometria como forma e medida tem-se
como grupos de transformação num espaço.
Para saber mais....
Pesquise sobre o Erlanger Programm na internet ou em livros. Nesse programa,
Felix Klein examina a evolução do conceito de Geometria e propõe unificar as
diferentes teorias geométricas recorrendo ao conceito de grupo de simetrias.
Consulte, por exemplo os sites:
http://pt.wikipedia.og/wiki/Programa_de_Erlangen
http://wapedia.mobi/pt/Felix_Klein; dentre outros.
No final do século XIX e início do século XX, com o desenvolvimento de novas
teorias, como a Teoria dos Conjuntos e suas aplicações em outras teorias da
matemática, houve grandes mudanças nas áreas da Matemática, e apareceram
problemas nos axiomas, teoremas e demonstrações, deduções lógicas,
sistematizações e organizações das teorias. Para resolver esse problema, os
matemáticos mais influentes da época optaram pela Formalização. Assim, surge a
axiomática formal nas teorias matemáticas e em especial na geometria. Em 1906,
com Maurice Fréchet, o estudo da geometria passou a ser feito com a teoria de
conjuntos; houve uma generalização e uma abstração maior, questionando-se o
conceito de espaço: “Um espaço tornou-se meramente um conjunto de objetos, por
conveniência chamado de pontos, ...” (EVES, 1992, p. 25).
Foi com Hilbert, em 1899, na obra “Fundamentos de Geometria”
(DAVID, H. Fundamentos da Geometria. 7. ed. Trad.: Leo Unger.
Lisboa: Gradiva, 2003), que se encontra a primeira axiomatização
formal da geometria, que é a sistematização mais recente para a
geometria euclidiana. Não se pode esquecer que a sistematização
oferecida por Euclides em “Os Elementos” foi a primeira
sistematização bem sucedida, por isso denomina-se “Geometria
Euclidiana”.
Com os avanços da tecnologia, houve o desenvolvimento da Geometria Fractal, que
necessita do computador para subsistir, e que nasceu na informática e dos
problemas tecnológicos onde se aplica o computador.
Essa geometria foi criada na década de 70 e quebra os conceitos antigos da
geometria euclidiana e das não euclidianas, o que nos mostra que muitas pesquisas
ainda serão feitas.
Atualmente a Geometria não é vista como um corpo separado da Matemática, mas
como um dos “tópicos”, um “ramo” da matemática, pois podemos utilizar a linguagem
geométrica, o raciocínio geométrico, a percepção geométrica para resolver um
problema de álgebra, análise, cálculo, dentre outros. Ou seja, a Geometria nos
oferece amplos “caminhos” para aplicações dentro de outros campos da matemática
em si.
Concluindo.....
Percebe-se pelo texto que as teorias não nascem prontas e nem sempre seguem a
mesma direção. Elas são frutos do estudo de várias pessoas ao longo dos tempos.
Depois saber um pouco da História da Geometria você irá estudar os sólidos
geométricos. Fique atento e faça cada atividade proposta antes de prosseguir.
1.3. Sólidos geométricos
Inicialmente farei uma abordagem mais intuitiva sem a preocupação com as
definições mais rigorosas. Lembre-se a intenção é a de ir construindo os conceitos
juntamente com você.
1.3.1. Diferenciando figura plana de figura espacial
Nesse momento você irá identificar os sólidos geométricos por meio de sua
planificação e distinguir uma figura plana de uma figura espacial.
Os sólidos geométricos são figuras tridimensionais, ou seja, que possuem três
dimensões: comprimento, largura e altura, como por exemplo:
Para diferenciar as figuras espaciais (sólidos) das figuras planas (retângulo,
triângulo, dentre outras), utiliza-se a ideia de dimensão. Os objetos que você
consegue “manipular”, “pegar” (figuras espaciais), possuem as três dimensões
citadas anteriormente, ou seja, são tridimensionais. Já as figuras planas possuem,
Observação: quando
vamos desenhar um
sólido “montado”,
indicamos a parte que
não estamos vendo por
linhas pontilhadas. A B
C D E
F
G
Figura 5 – Pirâmide ABCDEFG.
Figura 6 –
Paralelepípedo
ABCDEFGH.
comprimento
largura
altura
no máximo, duas dimensões e, portanto, você não consegue manipulá-las, apenas
imagina. Por exemplo:
Uma folha de caderno é uma figura plana ou espacial?
Procure responder antes de continuar e, em seguida, acompanhe a explicação.
Considerando que a folha de caderno tem comprimento, largura e altura (é uma
espessura bem pequena, mas não pode ser desprezada), ela é uma figura espacial;
além disso, você também consegue manipulá-la. Dizemos que a folha tem a forma
retangular, mas não é um retângulo.
Por exemplo: um prédio é uma figura plana ou espacial?
Você não consegue manipular um prédio, mas ele tem as três dimensões
(comprimento, largura e altura), portanto é uma figura espacial, assim como o sol, a
lua, dentre outros.
Mas, como construir essas figuras espaciais?
É possível fazer o molde de muitos sólidos geométricos, ou seja, planificá-los e
depois fazer a sua montagem. Nesses moldes, você vê figuras que tem a forma de
triângulos, quadrados, retângulos, círculos, dentre outras, ou seja, tem a forma das
figuras planas.
Observe os sólidos, a seguir, e tente associar o molde à figura, enumerando a
segunda coluna de acordo com a primeira.
Observação: as dimensões no molde não são as mesmas no sólido montado, por
motivos de espaço.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida vá ao item
construindo os sólidos, logo a seguir e realize o proposto.
O auxílio da Informática: montando e desmontando sólidos geométricos
Veja o link de acesso ao software Poly, que possibilita a exploração e construção de
sólidos geométricos. Há, neste software, uma grande coleção de sólidos que
permitirá ampliar a sua visão geométrica. O software permite a investigação de
sólidos com possibilidade de movimento, tanto da planificação quanto da figura
montada.
Em seguida, coloque um relato da experiência dessa atividade em seu Trabalho de
Construção de Aprendizagem – TCA.
Acesse o software pelo site:
www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php
Parada Obrigatória
Observe, no seu cotidiano, figuras que se pareçam com os sólidos que você viu
tanto nesse material quanto no software Poly e coloque um relato no seu Trabalho
de Construção de Aprendizagem – TCA.
O auxílio de materiais pedagógicos: construindo os sólidos geométricos
Observe as seguintes instruções:
- no Anexo 1, você encontrará o desenho das quatorze figuras montadas e a
planificação de treze figuras. Recorte cada uma das figuras fechadas, que estão
na primeira página, e cole em seu caderno na ordem da enumeração e uma
abaixo da outra (deixando espaço na frente da figura para escrever). Em
seguida, você encontra os moldes das figuras que você enumerou. Para montá-
las, cole o molde em papel cartão, dobre nos pontilhados e cole nas abas,
fechando a figura. Depois de montar cada uma das figuras, junte às mesmas
uma bolinha de isopor ou de gude e faça a identificação das figuras de acordo
com o item a seguir.
1.3.2. Identificando poliedros e corpos redondos
Separe os sólidos geométricos que você montou em dois grupos, de tal modo que os
elementos de cada conjunto tenham uma característica comum e que os elementos do outro
grupo não possuam esta característica. Anote a característica que você utilizou para separá-
los em dois grupos e, em seguida, escreva o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo, o
1º grupo e o 2º grupo.
Junte todas as figuras novamente, observe outra característica comum a elas e separe em
dois grupos. Anote a característica que você utilizou para separá-los em dois grupos e, em
seguida, anote o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo, o 1º grupo e o 2º grupo.
Parada obrigatória
Escreva as características que você enumerou e leia as respostas de seus colegas e
escreva-as em seu Trabalho de Construção de Aprendizagem – TCA.
Ainda com as figuras, se você utilizar a característica “figuras que rolam – que tem
superfície arredondada” como você separaria as figuras em dois grupos?
Anote o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo; no 1º grupo, as figuras que rolam, e no
2º grupo, as figuras que não rolam.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Acertou?
Concluindo...
As figuras cujas superfícies são redondas recebem o nome de corpos redondos. No seu
caderno, anote em cada uma das figuras que rolam a classificação que acabou de verificar:
corpo redondo.
Pesquisando...
Pesquise em livros de ensino fundamental e médio os nomes de cada um dos corpos
redondos apresentados no material, e faça essa anotação no seu caderno, na frente das
figuras que você colou.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Espero que você tenha acertado!
E os outros sólidos, como são denominados?
As figuras que possuem várias “faces” (com a forma de polígonos, tais como quadrado,
retângulo, hexágono, dentre outros) são chamadas de poliedros. Poli- é um prefixo grego
que significa várias, muitas e –edro é um sufixo que significa face.
No seu caderno, anote em cada uma das figuras a classificação que você acabou de
verificar: poliedro.
Sintetizando...
Você verificou que os sólidos geométricos se classificam em poliedros e corpos redondos.
Guarde os corpos redondos e acompanhe a classificação dos poliedros no item a seguir.
1.3.3. Classificando poliedros
Pegue uma folha e coloque sobre cada uma das faces dos poliedros e observe em quais
deles parte da figura ficou acima, e parte abaixo da folha, ou seja, a figura ficou em
semiespaços diferentes. Anote o número da(s) figura(s) que possui/possuem essa
característica.
As figuras que possuem essa característica recebem o nome de poliedros não convexos
ou poliedros côncavos.
Depois, anote o número dos poliedros nos quais a figura fica totalmente acima ou abaixo da
folha, ou seja, ficou no mesmo semiespaço. Anote o número da(s) figura(s) que
possui/possuem essa característica.
As figuras que possuem essa característica recebem o nome de poliedros convexos.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Acertou?
No seu caderno, anote em cada um dos poliedros a classificação que acabou de verificar:
poliedro convexo ou poliedro côncavo.
Mas, o que são poliedros convexos?
Pesquisando...
Pesquise em livros, ou na internet, e responda:
O que são poliedros convexos?
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Fez a pesquisa? Acertou?
Sintetizando...
Assim, os poliedros se classificam em côncavos e convexos. Guarde o(s) poliedro(s)
côncavo(s) e acompanhe como se nomeia um poliedro convexo e como se procede
a contagem dos seus elementos no item a seguir.
1.3.4. Nomeando poliedros e contando os seus elementos
Você aprendeu que as figuras que possuem várias faces são denominadas de poliedros.
Você também deve ter percebido que essas faces que têm a forma de polígonos são as
figuras que limitam o poliedro.
No encontro das faces, temos as “quinas” (lado comum a duas faces) que são as arestas.
No encontro das arestas, temos os vértices.
E os “bicos” dos poliedros são os ângulos poliédricos.
Concluindo...
Faces, vértices, arestas e ângulos poliédricos são os elementos de um poliedro.
Mas, como dar nome aos poliedros?
Os poliedros convexos recebem nomes de acordo com seu número de faces. Usa-se um
prefixo acrescido, que indica a quantidade de faces mais o sufixo –edro.
Exemplo: Prefixo para 4 faces é tetra- mais o sufixo –edro, tem-se o tetraedro: poliedro que
possui 4 faces.
Nomes dos poliedros
4 faces = tetraedro 5 faces = pentaedro
6 faces = hexaedro 7 faces = heptaedro
8 faces = octaedro 9 faces = eneaedro
10 faces = decaedro 11 faces = undecaedro
12 faces = dodecaedro 15 faces = pentadecaedro
20 faces = icosaedro
Agora, você irá contar os elementos dos poliedros convexos, nomeá-los e preencher a
tabela a seguir. O Nº deve ser o correspondente ao número que está na folha que possui as
figuras pequenas, no seu caderno.
Nº Vértices
(V)
Faces
(F)
Arestas
(A) Nome do Poliedro
Você fez? Procure fazer antes de prosseguir.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Acertou?
Em seu caderno, coloque, na frente de cada poliedro convexo, a contagem de seus
elementos e o seu nome, de acordo com o número de faces, como foi feito na
tabela.
Será que, toda vez, você terá que contar todos os elementos?
Se for dado dois desses elementos, é possível determinar o outro, utilizando a relação de
Euler. Acompanhe o item, a seguir.
1.3.5. A relação de Euler
Há uma relação entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro convexo,
denominada relação de Euler. Atenção: nesse momento, não há a preocupação com
a demonstração dessa relação. Ela será feita em outro capítulo.
Considerando as letras: V – para indicar o nº de vértices, F – para indicar o nº de faces, e, A
– para indicar o nº de arestas; veja se é possível obter um desses elementos sem ter que
proceder à contagem de todos.
Como sugestão, utilize operações fundamentais entre os elementos, por exemplo: soma e
subtração.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Quem foi Euler?
Leonhard Euler, nascido na Basiléia, Suiça, era matemático e
físico de língua alemã. Viveu a maior parte de sua vida na Rússia
e na Alemanha. Como um dos mais famosos matemáticos da
história, teve algumas homenagens, sua imagem foi incluída à
nota de dez francos suíços (a atual tem a efígie de Le Corbusier)
e selos postais. Outra homenagem feita, foi em relação ao
asteróide 2002 Euler, que recebeu seu nome. Ele também é
homenageado pela Igreja Luterana em seu calendário de santos
em 24 de maio - ele era um devoto cristão.
Para saber mais...
Para saber mais sobre Leonhard Euler, pesquise em livros de história da
matemática, na internet, dentre outros.
Concluindo....
Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação
V – A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces
do poliedro.
Parada Obrigatória
Responda as atividades 1 e 2 que estão no final deste capítulo. Nessas atividades,
você irá trabalhar com os sólidos geométricos.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto, ou pesquise na
bibliografia básica, ou na complementar, ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 2,
capítulo VII. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.
Até agora, a abordagem foi mais intuitiva, conforme proposto inicialmente. A
intenção era a de partir do concreto, dos objetos manipuláveis para produzir
questionamentos e construir alguns conceitos. Agora, você irá estudar as noções e
as proposições primitivas, que Euclides enunciou primeiramente sobre geometria.
Procurarei retornar aos sólidos geométricos sempre que possível, portanto esteja
com eles por perto.
1.4. Noções e proposições primitivas
Lembrando dos poliedros, você verificou que no encontro das arestas tem-se o
vértice, que nos dá a ideia de um ponto.
Mas, por que ideia de ponto e não ponto?
Observe o exemplo: Definição de triângulo: “Dados três pontos A, B e C não
colineares, à reunião dos segmentos AB , AC e BC chama-se triângulo.” (DOLCE;
POMPEO, 2005, p. 36). Para definir triângulo, recorremos à noção de noção de
pontos não colineares, que por sua vez recorre à noção de ponto. Verifica-se, nesse
exemplo, que há uma busca de conceitos anteriores para definir o que se pretende.
Pare e pense...
Se para estabelecer cada noção precisamos de uma noção anterior, como foram
estabelecidas as primeiras de todas as noções?
Após responder à questão, coteje sua resposta com o expresso, a seguir.
Assim, as primeiras de todas as noções não podem ser baseadas em definição anterior,
porque ainda não existia qualquer noção geométrica definida. Como não é possível definir
tudo, temos que começar por algumas noções que serão aceitas sem definição.
Em geometria, iniciaremos adotando sem definir as primeiras noções: as noções
primitivas, que você precisa saber:
Ponto
A ponto A
Notação: letras
maiúsculas latinas.
Reta
r reta r ou
reta AB
Notação: letras minúsculas latinas ou
Plano
A B
Lembrou de ter estudado essas noções em sua trajetória escolar?
Assim, fala-se em ideia de ponto, de reta, de plano, porque essas noções não são
tridimensionais, ou seja, não conseguimos “pegá-los”, apenas imaginamos esses entes;
respondendo, assim, à pergunta inicial: Por que ideia de ponto e não ponto?
Em relação aos pontos, eles se classificam em:
a) pontos coplanares (prefixo co = mesmo; sufixo –planar = plano), são pontos que
estão no mesmo plano;
b) pontos colineares (prefixo co- = mesmo; sufixo –linear = reta) são pontos que
pertencem a uma mesma reta.
E o que são proposições primitivas?
As proposições primitivas (afirmações, propriedades) ou postulados ou axiomas são
aceitos sem demonstração. A palavra axioma é de origem grega, cujo significado é
C
D
R
F
t
Os pontos C e D são colineares, pois
Os pontos C, D, R e F são coplanares, pois
Figura 9 – Plano 1.
Figura 12 – Plano 2.
R
S
T
C
D
R
F
t
Os pontos C e D estão na
reta t, ou
Os pontos R e F não estão
na reta t, ou
Figura 10 – Reta t 1.
Figura 11 – Reta t 2
C
D
t
“fidedigno”, “digno de confiança”. Atualmente, em matemática, o termo axioma é utilizado
como sinônimo de postulado.
Exemplos de alguns postulados:
1. Postulado da existência:
- Numa reta, bem como fora dela, há
infinitos pontos;
- Num plano, há infinitos pontos.
2. Postulado da determinação:
a) da reta
Dois pontos distintos determinam uma única (uma,
e uma só) reta que passa por eles.
b) do plano
Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles.
3. Postulado da inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano,
então a reta está contida nesse mesmo plano.
Agora, é com você!
Por falar em postulado, gostaria que escrevesse, em seu caderno, um postulado que você
conhece.
Para saber mais...
C
D
t
Figura 13 – Reta t 3.
Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo 1, ou na bibliografia 2, capítulo 1, sobre ponto,
reta e plano e escreva quatro postulados sobre esse assunto em seu caderno.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 3, que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá
trabalhar as noções e proposições primitivas.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome à leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica, ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo I. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Após os Postulados, você verá os teoremas; isso parece complicado, mas não o é desde
que você acompanhe, atentamente, as explicações que farei. Leia as leituras
recomendadas.
Veja!!! O que você entende por teorema? Prossiga na leitura.
Teoremas são proposições que podem ser demonstradas como verdadeiras, por meio de
deduções lógicas, baseadas em noções, proposições e relações primitivas, em noções
definidas e em proposições já aceitas como verdadeiras. Neles, podem ser identificadas
duas partes: a Hipótese e a Tese. Considerando, para fins didáticos, que p é a hipótese e q
é a tese, os teoremas, sempre que possível devem ser enunciados da seguinte forma:
“Se......p......então......q”
Tem-se
que:
- p é o que é dado; o que se tem; a
hipótese.
- q é o que é pedido; o que se quer; a tese.
Em
símbolos:
p q
ou
p q
Se....................... então............................
(HIPÓTESE) (TESE)
Lê-se:
se p então q
Exemplo:
a) Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único
plano que as contém.
Hipótese: duas retas são paralelas entre si e distintas.
Tese: elas determinam um único plano que as contém.
b) Dois planos distintos que têm um ponto em comum, têm também uma reta comum
que passa pelo ponto.
O teorema poderia ser escrito da seguinte forma:
Se dois planos distintos que têm um ponto em comum, então eles têm também uma
reta comum que passa pelo ponto.
Hipótese: dois planos distintos que têm um ponto em comum.
Tese: eles têm também uma reta comum que passa pelo ponto.
Sintetizando...
Pode-se afirmar que a hipótese “é o que é dado” e que a tese “é o que se deseja provar”.
Assim, um teorema precisa ser provado e esse tipo de prova chama-se demonstração.
Uma demonstração pode ser feita utilizando alguns métodos e você irá conhecer método
direto e o indireto. Acompanhe o próximo item.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 4, que está no final deste capítulo. Nessa atividade você irá
trabalhar a hipótese e a tese de um teorema.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Após o estudo das noções e proposições primitivas, dos postulados e dos teoremas, você
irá estudar como se faz uma demonstração. É um tema complexo, por isso acompanhe
atentamente as explicações que farei, a seguir.
Antes de continuar responda em seu caderno:
O que você entende por demonstração?
E depois prossiga na leitura.
1.5. Noções de demonstração
Uma demonstração é um caminho utilizado para se provar o que foi enunciado,
conforme apresentado para os teoremas. Na demonstração, são utilizados
definições, conceitos, axiomas, proposições (teoremas) já demonstrados. Assim,
uma demonstração é uma sequência de raciocínios fundamentada da qual se parte
da hipótese para se chegar à tese e pode ser feita utilizando alguns métodos.
Acompanhe a seguir a leitura do método direto e indireto.
1.5.1. Método direto
O que é fazer uma demonstração pelo método direto?
Nesse método, parte-se da hipótese p e chega-se a tese q por meio do raciocínio lógico
dedutivo, utilizando teoremas anteriores, postulados e definições. Portanto trata-se de uma
implicação p q.
Assim,
Veja um exemplo dessa viagem!
Exemplo:
Teorema 01: Dois ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são congruentes.
Passando para a forma: Se................então................, temos:
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
RÔS e TÔV são o.p.v. RÔS TÔV
Hipótese Tese
Demonstração:
Considerando TÔV de medida b e RÔS de medida a, opostos pelo vértice, e o ângulo SÔV
de medida c, tem-se:
a + c = 180º 1ª equação
b + c = 180º 2ª equação
Na primeira equação, tem-se que c = 180º - a. Substituindo-se o valor de c na segunda
equação:
b + 180º - a = 180º b – a = 180º - 180º a = b RÔS TÔV
“Demonstrar um TEOREMA é efetuar uma viagem desde a HIPÓTESE
até a TESE. A estrada em que se faz a viagem é a LÓGICA e o veículo
usado é movido por TEOREMAS anteriores e POSTULADOS.” (IEZZI, et
al, s/d, p. 16).
significa
congruente
c
b a O
S V
T R
Desenho
Figura 14 – Ângulos
opostos pelo vértice.
(q é F absurdo) q é V
Absurdo é a
negação de uma
verdade já aceita,
isto é:
- a negação da
hipótese,
- a negação de um
postulado,
- a negação de um
teorema anterior.
Para saber mais...
Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo IV, indicada no final do capítulo, outras
demonstrações realizadas pelos autores.
Concluindo…
Para fazer uma demonstração utilizando o método direto, supõe-se verdadeira a hipótese e,
a partir desta, prova-se ser verdadeira a tese.
E, como se faz uma demonstração pelo método indireto?
1.5.2. Método indireto
Este método é também conhecido como método da redução a um absurdo.
Segundo IEZZI (et al, s/d) ele “baseia-se no fato de que: de duas uma, ou a tese é
verdadeira (V), ou a tese é falsa (F); e consiste em provar que a segunda
possibilidade não acontece.
Seja o teorema p q. Supomos que a tese é falsa (negando a tese). Acredita-se
que é falsa mesmo, desenvolvemos um raciocínio lógico até chegarmos a um
absurdo.
É necessário citar ‘contra quem é praticado o absurdo’ e perceber que ele
provém da ‘negação da tese’.
Veja um exemplo:
Teorema 02: Se duas retas distintas interceptam uma terceira (transversal)
formando ângulos alternos congruentes, então essas retas são paralelas.” IEZZI (et
al, s/d, p. 17)
Desenho
Hipótese Tese
r e s - retas distintas s // r
t – reta transversal
Demonstração:
Se r não é paralela a s, r intercepta s, podendo ocorrer uma das situações:
Sabendo que um ângulo externo de um triângulo, no caso na
figura 16 e na figura 17, é maior que qualquer um dos ângulos
internos não adjacentes (Teorema do ângulo externo), tem-se:
I. Na figura 16, se o ângulo é externo do triângulo ABP e o ângulo é não
adjacente ao ângulo , podemos concluir que >
II. Na figura 17 ,se o ângulo é externo do triângulo ABP e o ângulo é não
adjacente ao ângulo , podemos concluir que <
Como na hipótese , essa demonstração é um absurdo, pois contraria a
hipótese. Logo, r // s.” (Adaptado de IEZZI, et al, s/d, p. 17-18).
Teorema do
ângulo Externo:
Um ângulo externo
de um triângulo é
maior que qualquer
um dos ângulos
internos não
adjacentes.
Figura 15 – Retas paralelas
cortadas por uma transversal.
A
B
t
s
r
P
B
A
r
s
t
P
B
A
r
s
t
Figura 17 – Retas
concorrentes duas a duas, r, s
e t 2.
Figura 16 – Retas concorrentes
duas a duas, r, s e t 1.
Pensando...
Até o momento você estudou algumas noções primitivas de ponto, reta e plano, que
são adotadas sem definição, e algumas proposições primitivas ou postulados ou
axiomas que são aceitos sem demonstração. Também estudou as proposições que
necessitam de demonstração – os teoremas – assim como os métodos, direto e
indireto, utilizados nas demonstrações.
Nos exemplos apresentados um dos entes geométricos primitivos mais presentes é
a reta. Certo? Pensando na reta, se você quiser trabalhar apenas com uma parte
dela, limitada entre dois pontos, você irá lidar com uma nova figura que deixou de
ser uma reta, concorda?
Então qual o nome da nova figura?
Antes de responder, pense na situação a seguir.
Pensando nos poliedros...
Considerando que as arestas do poliedro são limitadas por dois pontos, não se pode
chamá-las de reta. Que nome pode ser dado às arestas do poliedro?
Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não consiga,
acompanhe, atentamente a leitura a seguir.
1.6. Segmento de reta e semi–reta
Nesse item, você irá estudar a definição e a classificação de um segmento de reta,
congruência de segmentos, como se transporta um segmento e também com
determinar o ponto médio de um segmento utilizando compasso e régua. Em
seguida, será apresentado a definição de semirreta. Então pegue o seu compasso e
a sua régua e acompanhe a leitura a seguir.
A) Segmento de reta
Segmentar é fracionar, então a idéia é a de fracionar a reta?
Acompanhe a definição:
“O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se
encontram entre A e B é chamado de segmento AB. Os pontos A e B são
denominados de extremos ou extremidades do segmento.” (BARBOSA, 1985, p.
3).
Observe a figura.
Indica-se: AB
Extremidades do segmento: os pontos A e B
Pontos internos do segmento: os pontos que estão entre
A e B.
Observe que para definir segmento de reta usou-se a noção de estar entre que é
uma noção primitiva e obedece aos seguintes
postulados:
Quaisquer que sejam os pontos R, S e T:
a) se S está entre R e T, então R, S e T são colineares;
b) se S está entre R e T, então R, S e T são distintos dois a dois;
c) se S está entre R e T, então R não está entre S e T nem T está entre R e S;
d) quaisquer que sejam os pontos R e T, se R é distinto de T, então existe um ponto
S que está entre R e T.
A B
Figura 18 –
Segmento de reta
AB.
Figura 19 – Reta v.
S R T v
Importante...
Os segmentos de reta se classificam de acordo com a sua disposição em uma ou
mais retas.
Para saber essa classificação, você irá utilizar as duas figuras a seguir e responder
três questões. Veja!
Observe as figuras 20 e 21.
Questão 01 - Na figura 20, quais os pares de segmentos que estão numa mesma
reta? E na figura 21?
Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não
consiga, acompanhe, atentamente, as explicações.
Pense na condição dada: estar numa mesma reta.
Se o prefixo co- pode indicar mesma e o sufixo –linear, reta, então estes segmentos
que estão numa mesma reta são denominados de colineares.
Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma
reta.
Assim, na figura 20, são segmentos colineares: ;;; CBeACDBeACCDeAC
Figura 20 – Reta r.
D
r
C A B
v
t
A
B
D
E
F
Figura 21 – Retas concorrentes t e
v.
;;; CBeABDBeADDBeCD dentre outros.
Na figura 21, são segmentos colineares: ;;; EBeABFDeBFEBeAE dentre
outros.
Questão 02 - Ainda nas figuras 20 e 21, quais são os pares de segmentos que
possuem a seguinte característica: a extremidade de um deles é também
extremidade do outro?
Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não consiga,
acompanhe, atentamente, as explicações.
Na figura 20, os segmentos que satisfazem essa condição são:
;;; DBeADCBeACCDeAC ;; CBeABDBeCD dentre outros.
Na figura 21, os segmentos que satisfazem essa condição são:
BFeABBDeABFDeBFEBeAE ;;; dentre outros.
Estes segmentos são chamados de segmentos consecutivos.
Observação: na figura 20, os segmentos ACeAB são consecutivos, pois a
extremidade de um deles é também extremidade do outro. Observe que eles não
têm apenas um ponto comum, mas vários pontos comuns, ou seja, pontos internos
comuns. Já os segmentos CDeAC também da figura 20 possuem apenas um
ponto em comum.
Assim,
dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um
deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma
extremidade do outro).
Questão 03 - Utilizando como referência as figuras 20 e 21, quais os pares de
segmentos que possuem a seguinte característica: possuem em comum apenas
uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internos comuns, e, estão numa
mesma reta?
Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não
consiga, acompanhe, atentamente, as explicações.
Na figura 20, os segmentos que satisfazem essa condição são:
;;; DBeADCBeACCDeAC .DBeCD
Na figura 21, os segmentos que satisfazem essa condição são:
.; FDeBFEBeAE
Estes segmentos são chamados de segmentos consecutivos.
Observação: os segmentos adjacentes são colineares e consecutivos (com apenas
um ponto interno comum) ao mesmo tempo.
Assim,
dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se,
possuem em comum apenas uma extremidade (não têm pontos internos
comuns).
Sintetizando...
Os segmentos de reta classificam-se em:
Colineares Aqueles que estão contidos numa mesma reta.
Consecutivos Aqueles que possuem um ponto em comum.
Adjacentes Aqueles que são colineares e consecutivos (com
apenas um ponto interno comum) ao mesmo tempo.
Para saber mais...
Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo 1, ou na bibliografia 2 capítulo 1, sobre ponto,
reta e plano e escreva quatro postulados sobre esse assunto em seu caderno.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 5 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá
trabalhar com a classificação de segmentos.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo II. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.
Há de se considerar ainda que os segmentos que possuem a mesma medida também
recebem uma denominação específica: segmentos congruentes. Acompanhe a definição a
seguir.
Congruência de segmentos
Definição: Dois segmentos AB e CD são congruentes, se eles têm a mesma
medida.
Utiliza-se o símbolo para indicar ‘congruente’.
Dessa forma, CDAB deve ser lido: o segmento AB é congruente ao segmento CD.
Desenho
Atenção!
Marcas iguais ( / ) indicam que os segmentos têm a mesma medida, ou seja, são
congruentes.
Exemplo: Sabendo-se que o segmento AB = 2x – 3, AC = 4x – 9 e que CDAB ,
determine o valor de x e de cada segmento.
Resolução:
Como CDAB , substituindo a medida de cada segmento tem-se:
2x – 3 = 4x – 9 2x – 4x = -9 + 3 - 2x = - 6 x = - 6/ -2 x = 3
Como AB = 2x – 3 AB = 2.3 – 3 AB = 6 – 3 AB = 3
Como CD = 4x – 9 CD = 4.3 – 9 CD = 12 – 9 CD = 3
O valor de x é 3; o valor de AB = 3 e o valor de CD é 3.
Agora é com você...
Parada Obrigatória
Responda a atividade 6 que está no final deste capítulo. Nessa atividade você irá
trabalhar com segmentos congruentes.
C D A B
Figura 22 – Segmento de reta AD .
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 2. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.
Você verificou que a partir dos conceitos estudados é possível resolver problemas
envolvendo a Álgebra no ensino de Geometria. Veja! Esses assuntos não estão
separados. A Álgebra é de fundamental importância para a Geometria assim como
para outros “ramos” da Matemática. Outro conceito que pode ser inserido nas
resoluções de problemas é o de ponto médio de um segmento de reta. Também é
possível utilizar o compasso e a régua para construí-lo. Acompanhe!
O auxílio de materiais pedagógicos: usando o compasso e a régua para
determinar o ponto médio de um segmento
Peque o seu compasso e sua régua para determinar o ponto médio de um
segmento.
Acompanhe, inicialmente, a definição de ponto médio de um segmento e em
seguida, a sua construção.
Definição: “Chamamos de ponto médio do segmento
AB a um ponto C deste segmento tal que CBAC .”
(BARBOSA, 1985, p. 16). Figura 23 – Segmento
AB .
C A B
Construção do ponto médio de um segmento
Primeiramente você irá conhecer as partes que compõem um compasso e depois
como utilizá-lo.
Para utilizar o compasso, observe as seguintes instruções:
a ponta da grafite deve ser chanfrada voltada para fora e pode ser apontada com
lixa. Ver Figura 25;
o nível da ponta da grafite deve ser igual ao nível da ponta-seca (de metal). Ver
Figura 25;
as hastes devem estar firmes e para isso ajuste os parafusos;
para medir uma abertura qualquer do compasso na régua, apoie a régua na
mesa, coloque a ponta-seca do compasso no zero da graduação e afaste a outra
haste. Ver Figura 26;
para traçar segure o pino superior apenas com o polegar e o indicador. Ver Figura
27;
mantenha o compasso na posição vertical e gire sempre no mesmo sentido
(preferencialmente o sentido horário). Ver Figura 27;
faça um traçado suave para um resultado mais uniforme. Ver Figura 27;
Figura 24 – Compasso 1.
Fonte: Acervo EAD - UNIUBE
Traçado do ponto médio:
com a ponta seca do compasso em A, abertura maior que a metade do segmento
AB, podendo ser do comprimento de AB, trace uma circunferência;
em seguida, com a mesma abertura, e ponta seca do compasso em B, trace outra
circunferência;
estas circunferências devem se cortar em dois pontos C e D (Figura 28); não há a
necessidade de fazer as duas circunferências, basta traçar dois arcos; (Figura
29);
posicione a régua como se fosse traçar o segmento CD. A interseção do
segmento CD com o segmento AB nos dá o ponto médio M.
Agora é com você...
Figura 28 – Ponto
médio M do segmento
AB 1.
A B M
D
C
A B M
D
C
Figura 29 – Ponto
médio M do segmento
AB 2.
Figura 25 – Compasso
2.
Fonte: Acervo EAD -
UNIUBE
Figura 26 – Compasso
3.
Fonte: Acervo EAD -
UNIUBE
Figura 27 – Compasso
4.
Fonte: Acervo EAD -
UNIUBE
Construa um segmento AB = 7,5 cm e trace com o compasso o ponto médio desse
segmento.
Conseguiu construir o ponto médio? Se não, retome o processo e faça novamente.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 7 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá
trabalhar com o ponto médio de um segmento de reta.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 2. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Ainda com o compasso e a régua, você irá transportar segmentos de reta utilizando-
os.
Mas não é só medir com a régua e marcar a medida onde se deseja?
Não é bem assim! E aqueles segmentos que não são possíveis de serem medidos
com a régua? Por exemplo, um segmento AB = 6,27 cm.
Para isso utilizamos o compasso. Acompanhe!
O auxílio de materiais pedagógicos: usando o compasso e a régua para
determinar transportar um segmento
Inicialmente, você irá estudar o Postulado do transporte de segmentos e em
seguida, como se transporta um segmento de reta. Para isso, você precisa saber o
que é uma semirreta. Acompanhe.
Analisando o significado do prefixo latino semi-, percebe-se que ele indica metade.
Assim, semirreta é a metade da reta?
A ideia é essa! Acompanhe a definição:
Semirreta: Se C e D são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do
segmento CD e por todos os pontos X tais que D encontra-se entre A e X, é
chamado de semirreta de origem C contendo o ponto D e é representado por . O
ponto C é denominado de origem da semirreta . (Adaptado de BARBOSA, 1985,
p. 4).
Representação:
Qual a relação com o transporte de segmentos?
Acompanhe, atentamente, o Postulado do transporte de segmentos para verificar a
resposta.
Postulado do transporte de segmentos: Dados um segmento RS e uma
semirreta de origem R’, existe sobre esta semirreta um único ponto S’ tal que
' 'R S seja congruente a RS .
O ponto C é a origem da semirreta
.
Figura 30 – Semirreta CD.
C D X
Figura 31 – Segmento de
reta RS 1.
R’ S’
R S
Figura 32 – Semirreta RS 2.
Exemplo: Com o compasso e a régua você irá transportar o segmento AB para a
semirreta XY . Para isso, siga as seguintes instruções:
- marque um ponto na semirreta XY e denomine-o de A’;
- ponta seca do compasso no ponto A e abertura até o ponto B;
- ponta seca do compasso em A’, marque o ponto B’ de acordo com a abertura
determinada.
Compreendeu?
Viu a necessidade de se entender inicialmente o que vem a ser semirreta?
Parada Obrigatória
Responda a atividade 8 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá
trabalhar com o ponto médio de um segmento de reta.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Figura 33 – Segmento
de
reta AB .
X Y A B
Figura 34 – Semi-reta XY 1.
Figura 35 – Segmento
de
reta AB .
A B
A’ B’ X Y
Figura 36 – Semirreta XY 2.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
1.7. Resumindo
Espero que a leitura inicial desse capítulo tenha despertado em você o gosto pela
Geometria, que você tenha compreendido um pouco da história da Geometria e que
busque outras fontes de pesquisa para aprofundar seus conhecimentos. Importante
ressaltar que a Geometria enquanto “ramo” da Matemática não está “pronta” e que
existem muitas pesquisas a serem desenvolvidas.
Tomando como referência o convite que fiz a você: Vamos enveredar pelos
caminhos da Geometria?, tenho a convicção de que o seu olhar modificou, que ao
observar a natureza, o seu cotidiano, você já consegue ver a beleza da Geometria,
habilidade essencial ao futuro educador. Um olhar mais refinado, preciso, sobre o
mundo que o cerca. Com certeza esses Conceitos matemáticos fundamentais que
lhes foram apresentados contribuíram para enriquecer o seu conhecimento.
Ao construir os sólidos geométricos, montando, desmontando, olhando para a figura
aberta e imaginando-a fechada e vice-versa, você deve ter melhorado o raciocínio
visual, a percepção geométrica, dentre outros. A atividade dos sólidos também
contribuiu para que você diferenciasse uma figura espacial, com três dimensões –
tridimensional, de uma figura plana, bidimensional.
Com os sólidos montados, foi possível classificá-los em corpos redondos (“figuras
que rolam”) e poliedros (figuras que possuem várias faces). Por sua vez, os
poliedros foram classificados em côncavos e convexos e também foi feita a
enumeração de seus elementos: faces, vértices, arestas e ângulos poliédricos.
Também foi possível nomear os poliedros de acordo com o número de faces: usa-se
um prefixo acrescido do sufixo –edro. Importante destacar que dados dois elementos
do poliedro é possível determinar o outro utilizando a relação de Euler (V + F – A =
2).
Você reviu os entes geométricos primitivos: o ponto, a reta e o plano, que são
aceitos sem definição. Os postulados ou axiomas que são aceitos sem
demonstração e os teoremas que são proposições que precisam ser demonstradas.
Para demonstrar um teorema, inicialmente determina-se a hipótese (o que é dado) e
a tese (o que se quer demonstrar). Existem vários métodos para se fazer uma
demonstração e você viu o método direto, que utiliza o raciocínio lógico dedutivo, a
partir de teoremas, postulados e axiomas anteriores; e, o método indireto ou método
da redução ao absurdo, que consiste em supor que a tese é falsa e a partir disso
desenvolve-se um raciocínio lógico até chegar ao absurdo.
Ampliando os seus estudos você verificou que segmentos de reta se classificam em
colineares (que estão em uma mesma reta), consecutivos (são aqueles cuja
extremidade de um deles é também extremidade do outro) e, adjacentes (são
segmentos consecutivos e colineares com apenas uma extremidade comum). A
partir da congruência de segmentos, também foi possível resolver problemas que
envolvem diversos conceitos estudados assim como o conceito de ponto médio de
um segmento (ponto que divide o segmento em duas partes congruentes). Com o
auxílio do compasso e da régua você construiu o ponto médio de um segmento,
seguindo as instruções do processo de construção, assim como o conceito e a
representação de semirreta usando a ideia de metade, indicada no prefixo semi-.
Espero que o seu olhar de futuro educador tenha ampliado e que você continue
pesquisando, estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender
Geometria.
Bom estudo!
1.8 REFERÊNCIAS
BARBOSA, J. L. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matemática, 1995.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria
plana. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.
DOLCE, Osvaldo ; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
Elementar: geometria plana. 7 ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 10.
DREYFUS, T.; HADAS, N. Euclides deve permanecer – e até ser ensinado. In:
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.) Aprendendo e ensinando geometria.
Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1984.
EVES, H. História da Geometria. Tradução: Hygino A. Domingues. São Paulo:
Atual, 1992.
IEZZI, G. et al. Geometria de posição. São Paulo: Moderna, s/d.
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In: Educação Matemática em
Revista. São Paulo: SBEM, n. 4, 1995.
REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria
Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da
Unicamp, 2000.
1.9 Referencial de resposta das atividades ao longo do texto
1.3.1. Diferenciando figura plana de figura espacial
A associação correta do molde à figura corresponde à seguinte sequência:
4, 1, 14, 13, 8, 10, 2, 5, 6, 7, 3, 9, 11, 12.
1.3.2. Identificando poliedros e corpos redondos
1º grupo: figuras que rolam: 4, 10 e 12.
2º grupo: figuras que não rolam: as demais figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14.
Concluindo...
As figuras 4, 10 e 12 são corpos redondos
Pesquisando
4 – Cone
10 – Cilindro.
12 – Esfera.
As figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14 são poliedros.
1.3.3. Classificando poliedros
Poliedro côncavo: 14.
Poliedros convexos: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13.
Na frente da palavra poliedro, nas figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, acrescente a
palavra convexo; e, na figura 14 acrescente a palavra não-convexo ou côncavo.
Pesquisando...
Poliedros Convexos: “Consideremos um número finito n (n 4) de polígonos
planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que:
a) dois polígonos não estão num mesmo plano;
b) cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos;
c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço.”
(DOLCE & POMPEO, 1993, p. 124, v. 10).
1.3.4. Nomeando poliedros e contando os seus elementos
Nº Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) Nome do Poliedro
1 6 5 9 pentaedro
2 8 6 12 hexaedro
3 4 4 6 tetraedro
5 8 6 12 hexaedro
6 8 6 12 hexaedro
7 12 20 30 icosaedro
8 20 12 30 dodecaedro
9 6 8 12 octaedro
11 12 8 18 octaedro
13 5 5 8 pentaedro
1.3.5. A relação de Euler
O número de vértices mais o número de faces menos dois é igual ao número de
arestas.
V + F – 2 = A ou A = V + F – 2 ou V + F = A + 2, dentre outras.
1.10. Atividades
Atividade 1
Observe as figuras e responda os itens abaixo:
a) Quais figuras são planas?
VI
IV
III
I
V
II
b) Quais as figuras espaciais?
c) Classifique as figuras espaciais em poliedros e corpos redondos.
d) Dê nome aos corpos redondos.
e) Nomeie cada poliedro de acordo com o número de faces e faça a contagem de
cada um de seus elementos.
Atividade 2
Resolva os problemas a seguir.
a) Sabendo que um poliedro convexo possui seis faces triangulares e cinco faces
quadrangulares, determine o número de faces, arestas e vértices desse poliedro.
b) Um poliedro convexo com dez vértices possui cinco ângulos tetraédricos e quatro
ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Atividade 3
Coloque V para verdadeiro e F para falso.
a) (___) Por um ponto, passam infinitas retas.
b) (___) Dois pontos distintos determinam duas retas.
c) (___) Por três pontos, pode passar uma reta.
d) (___) Três pontos distintos são sempre colineares.
e) (___) Por quatro pontos distintos, pode passar duas retas.
f) (___) Se os pontos P e Q são distintos, então existe uma reta s tal que
P s e Q s .
g) (___) Se P = Q, então existe uma reta s tal que ,P Q s
Atividade 4
Identifique a hipótese e a tese dos teoremas a seguir:
a) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
b) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido entres esses lados, então eles são congruentes.
Atividade 5
Numa reta t, marque os pontos A, B, C e D, nessa ordem. E sob uma reta u, marque os
pontos C, R e S, nessa ordem, de maneira que t u = {C}. Nessas condições, coloque,
nas sentenças a seguir, V para verdadeiro e F para falso.
a) (___) Os segmentos AB e CD são consecutivos.
b) (___) Os segmentos CD e CR são colineares.
c) (___) Os segmentos AB e BD são adjacentes.
d) (___) Os segmentos AC e CS são consecutivos.
e) (___) Os segmentos BC e CD são adjacentes.
Atividade 6
Resolva os problemas abaixo:
a) Seja RS e ST segmentos colineares consecutivos, RS o sêxtuplo de ST e RT =
35 cm. Nessas condições, ache o valor de RS e ST
b) Os pontos A, B, C e D são colineares, estão dispostos nessa ordem e possuem
as seguintes medidas: AD = 30 cm; AB = a – 2; CD = a + 2 e AC = 3a. Nessas
condições, ache o valor de ,BC AB e CD .
Atividade 7
Resolva os problemas abaixo:
a) Se os pontos R, S e T são colineares e RS = 8 cm e ST = 5 cm, determine RT e trace o
ponto médio de ST com sua respectiva medida.
b) Os segmentos ,AB e BC BC e CD são adjacentes, de tal maneira que AB é o
quádruplo de BC , BC é o triplo de CD , AD = 96 cm e M é ponto médio de BD .
Determine as medidas dos segmentos , ,AB BC CD e BM .
c) Os segmentos ,RS ST e TV são adjacentes e RT e SV são congruentes.
Demonstre que os segmentos RS e TV são congruentes e que ST e RV têm o
mesmo ponto médio.
Sugestão: Denomine as medidas dos segmentos por letras e ache a hipótese e a
tese.
d) Sabendo que os segmentos STeRS são congruentes e adjacentes com TR e que M
e N os pontos médios, respectivamente, desses segmentos. Demonstre que RS é
congruente a MN .
Atividade 8
Sabendo que M é ponto médio do segmento RS e que RS = 6,5 cm, transporte o
segmento RM para a semirreta ' 'R S .
1.13. Referencial de resposta das atividades propostas
Atividade 1
a) I, IV e VI
b) II, III e V
c) corpo redondo II e poliedros III e V
d) Figura II cilindro
e) Figura III (V = 7; F = 7; A = 12 e AP = 7) heptaedro;
Figura V (V = 8; F = 6; A = 12 e AP = 8) hexaedro.
Atividade 2
a) Se o poliedro possui seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares, o total
de faces é: F = 6 + 5 F = 11, ou seja, o poliedro possui 11 faces.
Quanto às arestas, se as faces são triangulares tem-se 3 arestas e como são 6
faces, então 6x3 = 18 arestas. O mesmo ocorre com as 5 faces quandrangulares,
5x4 = 20. Totalizando 38 arestas. Como cada aresta é comum a duas faces, dessa
forma elas foram contadas duas vezes, então 2A = 38 A = 19, ou seja, o poliedro
possui 19 arestas.
Em relação aos vértices, utilizando a relação de Euler, tem-se: V + F – A = 2
V + 11 – 19 = 2 V = 10, ou seja, o poliedro possui 10 vértices.
b) Como o número de arestas dos 5 ângulos tetraédricos é 5 x 4 e o número de
arestas dos 4 pentaédricos é 4 x 5; totalizam 40 arestas. Como cada aresta é
comum a dois ângulos poliédricos, tem-se: 2A = 40 A = 20, ou seja, o poliedro
possui 20 arestas.
Para calcular o número de faces utiliza-se a relação de Euler. V + F – A = 2
10 + F – 20 = 2 V = 12, ou seja, o poliedro possui 12 faces.
Atividade 3
São verdadeiras as letras: a, c, e, f, g
São falsas as letras: b, d.
Atividade 4
a) Hipótese: um triângulo é isósceles.
Tese: os ângulos da base são congruentes.
b) Hipótese: dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido entres esses lados.
Tese: eles são congruentes.
Atividade 5
São verdadeiras as alternativas c, d, e.
São falsas as alternativas a, b.
Atividade 6
a) Desenho
Dados do problema
RT = 35 cm
ST = x
RS = 6x
RS + ST = RT -> 6x + x = 35 7x = 35 x = 5 cm
Como RS = 6x RS = 6 . 5 RS= 30 cm
Como ST = x ST = 5 cm
O valor de RS é 30 cm e de ST é 5 cm.
b) Desenho
BC = AD – AB – CD BC = 30 – (a – 2) – (a + 2) BC = 30 – a + 2 – a – 2
BC = 30 – 2a
Dessa forma, é preciso achar o valor de a.
AD = AC + CD 30 = 3a + a + 2 30 = 4a + 2 4a = 28 a = 7
Determinando BC. Substituindo o valor de a.
BC = 30 – 2a BC = 30 – 2.7 BC = 30 – 14 BC = 16 cm
Determinando AB, substituindo o valor de a:
AB = a – 2 AB = 7 – 2 AB = 5 cm
Determinando CD, substituindo o valor de a:
CD = a + 2 CD = 7 + 2 CD = 9 cm
Assim, os valores de ,BC AB e CD são, respectivamente, 16 cm, 5 cm e 9 cm.
Atividade 7
A B C D
30 cm
a + 2 a - 2
3a
a) Há duas possibilidades para a posição dos pontos R, S e T.
1º caso:
Neste caso, RT = 13 cm
2º caso:
Neste caso, RT = 3 cm
Ponto médio de ST
Ao corrigir, verifique se realmente o aluno desenhou um segmento de 5 cm e traçou
corretamente o ponto médio.
OU
R S T 8 cm 5 cm
S T R
8 cm
5 cm
S T M
S T M
b) Dados do problema
AB = 4.BC
BC = 3.CD
AD = 96 cm
M é ponto médio de BD BM MD
Determinar , ,AB BC CD e BM .
Considerando CD = x, tem-se:
BC = 3.CD BC = 3x
AB = 4.BC AB = 4.3x AB = 12x
Desenho
Como AD = AB + BC + CD 96 = 12x + 3x + x 96 = 16x x = 6 cm
Se AB = 12x AB = 12.6 AB = 72 cm
Se BC = 3x BC = 3.6 BC = 18 cm
Como M é ponto médio de BD BM MD BM = BD/2.
Se BD = BC + CD BD = 18 + 6 BD = 24 cm
Substituindo em BM = BD/2 BM = 24/2 BM = 12 cm
Assim, as medidas dos segmentos , ,AB BC CD e BM são, respectivamente, 72
cm, 18 cm, 6 cm e 12 cm.
c) Hipótese Tese
,RS ST e TV sao adjacentes
RT SV
M ponto medio de ST
RS TV
M ponto medio de RV
Desenho
A B C D
96 cm
x 12x 3x
M
a x
R M S T V
x a
Como ,RS RT ST TV SV ST ; RT SV , por hipótese; e, ST é segmento
comum às duas igualdades, comparando as equações conclui-se que RS TV .
Se SM MT RS SM RM e MT TV MV , e como RS TV , então RM MV ,
ou seja, M também é ponto médio de RV .
d) Hipótese Tese
RS ST
R T
M ponto medio de RS
N ponto medio de ST
RS MN
Desenho
Se M é ponto médio de RS RM MS RS
Se N é ponto médio de ST SN NT ST
Como RS ST RM MS SN NT
Como MN MS SN , substituindo SN por RM , tem-se MN MS RM . Assim,
conclui-se que RS MN
Atividade 8
Sabendo que M é ponto médio do segmento RS e que RS = 6,5 cm, transporte o
segmento RM para a semirreta ' 'R S .
R S M N T
Usando o compasso para transportar o segmento RM para a semirreta ' 'R S , tem-se:
1.14. Anexos
1.14.1. Anexo 1
R S M
M R’ S’
1.14.2. Anexo 2
Sumário
Capítulo 2 – Ângulos e polígonos
Lista de figuras – Capítulo 2
Ângulo é um
município brasileiro
do estado do
Paraná. Sua
população estimada
em 2005 era de
3.116 habitantes.
Capítulo 2 – Ângulos e polígonos
2.1. Apresentação
Prezado aluno.
Dando continuidade ao estudo de Geometria, nesse capítulo, você irá estudar
ângulos e polígonos e para isso precisará de compasso, régua e transferidor.
Pegue-os! Você também irá retomar os sólidos geométricos, verificando onde estes
assuntos se encontram. Portanto, deixe-os por perto.
P
r
o
c
u
re responder estas questões, em seguida, resgistre suas respostas no
Trabalho de Construção de Aprendizagem – TCA.
Ao refletir sobre o proposto, você deve ter se
lembrado dos estacionamentos a 45º, 90º; dos
ponteiros do relógio; do controle remoto dos
brinquedos (carrinhos, aviões); do município
brasileiro Ângulo, no estado do Paraná; dentre
outros.
Em relação aos polígonos deve ter se lembrado das figuras mais comuns em seu
cotidiano, tais como quadrado, retângulo, triângulo, pentágono, hexágono, dentre
outros.
Para você refletir!
Inicialmente convido você a pensar sobre a palavra ângulo e
polígono. Pense e registre em seu caderno em que situações do
cotidiano você utiliza a palavra ângulo. Você pode registrar por meio
de desenho, colagens, escrita, dentre outros.
Depois pense nos polígonos e responda: Você estudou esse
tema na Educação Básica? Se estudou, que recordações você tem?
Ou do que você se lembra?
Etimologicamente a palavra ângulo é de origem latina – angulus, e o sufixo -ulus
implica diminutivo. Dessa forma, angulus é entendido como canto ou pequena
dobra. Entretanto, a palavra polígono é de origem grega, o prefixo poli- significa
vários, muitos e o sufixo –gonos, indica ângulo. Nesse sentido, pode-se dizer que
polígonos são figuras que possuem vários ângulos. Você deve ter percebido que há
uma estreita relação entre ângulos e polígonos e por isso, esses dois temas serão
estudados juntos.
Assim, você deve ter notado que esta palavra é muito comum em sua vida e
também se lembrado de que já estudou esse tema no Ensino Fundamental e Médio.
Partindo do princípio de que você está estudando os Conceitos Matemáticos
Fundamentais agora, irá fazer um retorno aos conceitos que você já viu, no sentido
de ampliá-los e de analisá-los com a visão de educador.
Para estudar esses dois temas você precisará de compasso, régua, transferidor e os
sólidos geométricos.
O que espero de VOCÊ!
Espero que no final deste capítulo, você seja capaz de:
classificar ângulos, retas e triângulos;
conceituar ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma
transversal e aplicá-los a situações diversas;
construir ângulos, polígonos convexos e pontos notáveis de um
triângulo;
dividir um segmento em partes iguais;
efetuar operações com ângulos, fazendo as suas respectivas
transformações;
identificar as características dos pontos notáveis de um triângulo em
diversas situações;
nomear os polígonos convexos.
Como foi organizado o capítulo
Nesse capítulo, inicialmente faço uma abordagem histórica dos ângulos para
posteriormente estudar a definição, medidas, operações, classificação e
construções. Dando continuidade ao estudo, abordarei os polígonos. Você irá
perpassar pela definição, construções, classificação, pontos notáveis de um
triângulo e por fim, um retorno aos sólidos geométricos.
Lembre-se do convite feito anteriormente: vamos enveredar pelos caminhos da
Geometria euclidiana?
2.2. Ângulos
2.2.1. Um pouco da história dos ângulos
A palavra ângulo foi encontrada, pela primeira vez, nos materiais dos gregos,
envolvendo elementos de um círculo juntamente com o estudo de arcos e cordas.
Desde o tempo de Hipócrates de Quios (c. 440 a. C.) já se conhecia propriedades
das cordas e talvez Eudoxo de Cnidos (408-355 a. C.) ao determinar as dimensões
do planeta Terra e as distâncias relativas entre o Sol e a Terra tenha usado razões e
medidas de ângulo.
Outro matemático que tratava de problemas, usando ângulos e cordas, era
Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-197 a.C). A Astronomia talvez tenha sido a primeira
das ciências a utilizar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática, pois
desde os tempos mais antigos os povos buscam entender os corpos celestes,
respostas para a vida na Terra, a vida em outros planetas.
Alguns exemplos da utilização de ângulos:
- o relógio de sol – para determinar a hora do dia. O sol era uma referência
e a determinação da hora dependia de sua inclinação e da sombra
projetada sobre o relógio;
- também tentou-se medir a distância que a Lua se encontrava acima do
horizonte, distância que nunca poderia ser medida por um homem
comum. Para conseguir medi-la, esticava-se o braço e calculava-se
quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou
segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e media-se a
distância. Para que a resposta fosse a mais fiel possível, os braços
deveriam permanecer bem esticados. Este modo foi um dos primeiros
passos utilizados para medir ângulos.
Figura 2 – Relógio
de Sol.
Fonte: Acervo EAD -
UNIUBE
Não podemos estimar quando o homem começou a medir ângulos, porém sabe-se
que eles eram medidos na Mesopotâmia e muito bem conhecidos quando
Stonehenge – um monumento pré-histórico, situado na planície de Salisbury, sul da
Inglaterra – foi construída. 2000 a.C.
Para saber mais...
Stonehenge é um monumento pré-histórico, o mais importante da Inglaterra e não
há nada semelhante a ele em todo o mundo. Este altar de pedras tem sido usado há
5000 anos e até hoje não se tem certeza absoluta qual era sua finalidade. Rituais
druidas, cerimônias em homenagem ao sol, ou portal para seres de outros planetas
são algumas das possibilidades sempre lembradas. É um enigma tão grande quanto
ao das pirâmides. Visite o site:
http://www.revistaturismo.com.br/passeios/stonehenge.htm ou pesquise em outros, veja o
monumento histórico e leia um pouco sobre a sua história.
Mas o que é ângulo?
Acompanhe a definição.
2.2.2. Definição
“Chamamos de ângulo à figura formada por duas semirretas com a mesma origem.”
(BARBOSA, 1985, p. 23).
Figura 4 - Ângulo AÔB 1.
A
O
B
- Ponto O: vértice do ângulo;
- Semirretas OA e OB : lados do ângulo.
- Indica-se: AÔB
- AÔB = OA OB
O ângulo possui uma região interna e uma região externa.
Prossiga na leitura e veja.
2.2.3. Interior de um ângulo
1 é um semiplano com origem na
reta OA e contém o ponto B.
Figura 5 - Ângulo AÔB 2.
1 é um semiplano com origem na
reta OB e contém o ponto A.
Figura 6 - Ângulo AÔB 3.
11 = interior de AÔB
Figura 7 - Ângulo AÔB 4.
Interior do ângulo AÔB é a interseção
de dois semiplanos abertos, 1 e
1 .
O interior de um ângulo é convexo.
2.2.4. Exterior de um ângulo
A
O
B
1 A
O
B
1
A
O
B
2 é um semiplano com origem na
reta OA e não contém o ponto B.
Figura 8 - Ângulo AÔB 5.
2 é um semiplano com origem na
reta OB e não contém o ponto A.
Figura 9 - Ângulo AÔB 6.
22 = exterior de AÔB
Figura 10 - Ângulo AÔB 7.
2.2.5. Lembrando dos poliedros
Observe as faces dos poliedros que você construiu no capítulo. Elas têm a forma de
figuras planas que possuem vários ângulos.
Observou?
A
B
O
A
B
O
2 A
B
O
2
Exterior do ângulo AÔB é a união de dois
semiplanos abertos, 2 e
2 . É o conjunto
dos pontos que não pertencem nem ao
ângulo AÔB nem ao seu interior.
O exterior de um ângulo é côncavo.
Assim, a noção de abertura representa a ideia de ângulo.
Mas como medir essa abertura?
Utilizando um instrumento de medida denominado transferidor com suas unidades
de medidas de ângulo.
Prossiga na leitura.
2.2.6. Unidades de medida do ângulo
O instrumento que você utilizará para medir ângulos é o transferidor. Pegue o seu
transferidor e identifique as partes indicadas na figura abaixo.
Figura 11 – Transferidor 1.
Fonte: Acervo EAD - UNIUBE
Indica-se a medida de um ângulo por m(AÔB) e essa medida é um número real
positivo.
As unidades de medida do ângulo são:
Grau (º): é determinado pela divisão de uma placa circular em 360 partes iguais.
Minuto (‘ ): é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do ângulo de um grau. 1’ =60
º1.
Segundo (’’): é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do ângulo de um minuto. 1’’ =60
'1.
Exemplo de medidas: 30°; 40°15’; 37°12’42’’.
Observe que se utiliza a base 60, como os povos da Babilônia utilizavam.
Mas como construir ângulos?
Pegue a régua, o lápis e o transferidor e acompanhe o passo a passo.
1 – Desenhe uma semirreta com origem
no ponto A. O ponto A será o vértice do
ângulo e a semirreta, um de seus lados.
Figura 12 – Semirreta de origem A.
2 – Coloque o transferidor conforme a
figura ao lado, fazendo coincidir o seu
centro com o vértice A e a sua linha de fé
com o primeiro lado do ângulo. Marque,
a seguir, com o lápis, um ponto junto ao
limbo do transferidor na abertura
desejada, por exemplo, 100°.
Figura 13 – Semirreta de origem A e
transferidor.
Fonte: Acervo EAD - UNIUBE
3 – Retire o transferidor, unindo o ponto
assinalado no papel ao vértice A; você
determinou, dessa forma, o segundo
lado do ângulo procurado. O ângulo Â
desenhado mede 100°.
Figura 14 – Ângulo de vértice A.
Como medir um ângulo com o transferidor?
Coloque o transferidor sobre o
ângulo, conforme a figura ao lado,
fazendo com que o seu centro
coincida com o vértice e a sua linha
de fé, com um dos lados do ângulo.
No exemplo ao lado, o ângulo Â
mede 45°.
Parada Obrigatória
Responda as atividades 1 e 2 que estão no final deste capítulo. Na atividade 1, você
utilizará o transferidor para medir os ângulos e na atividade 2, utilizando régua e
transferidor, você construirá e nomeará ângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do
texto ou pesquise na bibliografia básica ou na complementar ou na internet,
dentre outros.
Se 1º = 60’; 1’ = 60’’, então é possível transformar essas unidades de medida.
Certo?
Acompanhe!
Para transformar ou simplificar as medidas, você irá utilizar as relações:
1° = 60’; 1’ = 60’’ e 1° = 3 600’’.
Observe os exemplos a seguir:
Figura 15 – Ângulo de vértice A e
transferidor.
A) 100’ = 60’ + 40’ = 1º + 40’ = 1°40’
B) 150’ = 60’ + 60’ + 30’ = 1º + 1º + 30’ = 2º30’
C) 65º90’ = 65º + 60’ + 30’ = 65º + 1º + 30’ = 66º30’
D) 62º72’80’’ = 62º + 60’ +12’ + 60’’ + 20’’ = 62º + 1º + 12’ + 1’ + 20’’ = 63º13’20’’
Você percebeu que essas simplificações se parecem com as que você realiza no
seu cotidiano com as unidades de medida de tempo (hora, minutos e segundos)?
Assim, ao estudar as unidades de medidas de ângulo você pode estabelecer
relações com as unidades de medida de tempo, pois
1 h = 60 min, 1 min = 60 s e 1 h = 3 600 s.
Veja que não é tão complexo.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 3 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá
simplificar as medidas de ângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 3. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Pensando...
Nas medidas de tempo (hora, minutos e segundos) é possível fazer operações
(adição, subtração, multiplicação e divisão).
Então nas medidas de ângulo isso também é possível?!
Realmente! Veja a seguir...
2.2.7. Operações com ângulos
A- Adição
Para fazer a adição de ângulos, você precisará somar as unidades iguais e, quando
for preciso, faça as transformações necessárias. Acompanhe os exemplos a seguir:
1) 45º37’42’’ + 32º22’15’’ = 77º59’57’’ 2) 43º55’37’’ + 25º40’55’’ = 69º36’32’’
Dispositivo prático Dispositivo prático
45º 37’ 42’’ 43º 55’ 37’’
+ 32º 22’ 15’’ + 25º 40’ 55’’
77º 59’ 57’’ 68º 95’ 92’’ 60’’ = 1’
+ 1’ 60’’ -
96’ 32’’
68º 96’ 32’’ 60’ = 1º
+ 1º 60’ -
69º 36’ 32’’
B- Subtração
Não se esqueça de que você só poderá subtrair as unidades iguais e, quando for
preciso, faça as transformações necessárias. Leia atentamente os exemplos a
seguir:
1) 35º55’30’’ – 15º32’10’’ = 20º23’20’’ 2) 80º - 22º42’37’’ = 57º17’23’’
Dispositivo prático Dispositivo prático
35º 55’ 30’’ 80º 80º = 79º60’ = 79º59’60’’
- 15º 32’ 10’’ - 22º42’37’’ transformou-se transformou-se
1º em 60’ 1’ em 60’’
20º 23’ 20’’
Então, reescrevendo, tem-se:
79º 59’ 60’’
- 22º 42’ 37’’
57º 17’ 23’’
C- Multiplicação por um número natural
Multiplique cada uma das unidades de medida do ângulo pelo número natural e,
quando for preciso, faça as transformações necessárias. Acompanhe.
1) 32º20’23’’ x 2 = 64º40’46’’ 2) 13º20’30’’ x 5 = 66º42’30’’
Dispositivo prático Dispositivo prático
32º 20’ 23’’ 13º 20’ 30’’
x 2 x 5
64º 40’ 46’’ 65º 100’ 150’’ 120’’ = 2’
+ 2’ 120’’ -
102’ 30’’
65º 102’ 30’’ 60’ = 1º
+ 1º -60’
66º 42’
66º 42’ 30’’
D- Divisão por um número natural
Dividimos cada uma das unidades de medida do ângulo pelo número natural e,
quando o resto da divisão for diferente de zero, fazemos as transformações
necessárias.
a) 84º40’20’’ : 4 = 21º20’5’’ b) 37º29’30’’ : 3 = 12º29’50’’
Dispositivo prático Dispositivo prático
84º 40’ 20’’ 4 37º 29’ 30’’ 3
-84º 21º20’5’’ -3º 12º29’50’’
00 40’ 07º
-40’ -6º
00 20’’ 1º 29’
-20’’ +60’
00 89’
- 6
29’
- 27
02’ 30’’
+120’’
150’’
- 15
000’’
- 0’’
0
Em síntese...
Ao trabalhar as operações com ângulo, é de fundamental importância que você
utilize somar, subtrair, multiplicar e dividir sempre com as mesmas unidades de
medida, ou seja, grau com grau, minuto com minuto, segundo com segundo. Caso
sejam diferentes, é preciso transformá-las na mesma unidade de medida.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 4 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você
trabalhará as operações com medidas de ângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 3. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Lembrando das palavras
Você já ouviu as seguintes frases:
“Ele tem uma visão obtusa” ou
“Ele tem uma visão muito aguda” ou
“Ele tem uma visão cartesiana”.
Mas como isso se relaciona com ângulos?
Acompanhe.....
2.2.8. Classificação de ângulos
Conceito Representação/Exemplo
Ângulo reto
“Um ângulo cuja medida é
90° é chamado de ângulo
reto.” (BARBOSA, 1985, p.
28).
m(TÔV) = 90º
Figura 16 – Ângulo reto - TÔV.
Ângulo agudo
Um ângulo com medida
menor que 90º é chamado
de ângulo agudo.
m(TÔV) < 90º
Figura 17 – Ângulo agudo - TÔV.
Ângulo obtuso
Um ângulo com medida
maior que 90° e menor que
180° é chamado de ângulo
obtuso.
Figura 18 – Ângulo obtuso - TÔV.
T
O V
T
O V
Ângulo raso ou de meia
volta
Ângulo cuja medida é igual
a 180°.
Figura 19 – Ângulo raso DÊF.
Ângulo de uma volta
Ângulo cuja medida é igual
a 360° é chamado de
ângulo de uma volta.
m(CÂD) = 360°
Figura 20 – Ângulo de uma volta CÂD.
Ângulos consecutivos
“Dois ângulos são
consecutivos se, e somente
se, um lado de um deles é
também lado do outro (um
lado de um deles coincide
com um lado do outro).”
(DOLCE & POMPEO,
1993, p. 21).
A D C
Figura 21 – Ângulos consecutivos EÔD e DÔC.
Figura 22 – Ângulos consecutivos EÔD e EÔC.
Observe os exemplos dos itens b e c; além do
lado comum, os ângulos possuem, também,
pontos internos comuns.
Ângulos adjacentes
“Dois ângulos consecutivos
são adjacentes se, e
somente se, não têm
pontos internos comuns.”
(DOLCE & POMPEO,
1993, p. 22).
Obs.: eles possuem apenas um lado comum, ou
seja, não podem ter pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo
vértice
“Dois ângulos são opostos
pelo vértice se, e somente
se, os lados de um deles
são as respectivas
semirretas opostas aos
lados do outro.” (DOLCE &
Figura 24 – Ângulos adjacentes CÔD e DÔE.
Figura 25 – Ângulos opostos pelo vértice CÔE e DÔF
1.
Figura 23 – Ângulos consecutivos EÔC e DÔC.
POMPEO, 1993, p. 22).
Ângulos complementares
Dois ângulos são ditos
complementares se a
soma de suas medidas é
90°. Cada um deles é o
complemento do outro.
Exemplo: 60º e 30º são complementares, pois
60° + 30° = 90°.
Assim, o complemento de um ângulo de 30° é um
ângulo de 60°.
Ângulos suplementares
“Dois ângulos são ditos
suplementares se a soma
de suas medidas é 180°.”
(BARBOSA, 1985, p. 27).
Cada um deles é o
suplemento do outro.
Exemplo: 100° e 80° são suplementares, pois
100° + 80° = 180°.
Assim, o suplemento de um ângulo de 100° é um
ângulo de 80°.
Ângulos replementares
Dois ângulos são ditos
replementares se a soma
de suas medidas é 360º.
Cada um deles é o
replemento do outro.
Exemplo: 300º e 60º são replementares, pois
300º + 60º = 360º.
Assim, o replemento de um ângulo de 300° é um
ângulo de 60°.
Conseguiu descobrir a relação das frases com a classificação de ângulos?
Com certeza você relacionou as frases com a classificação e as medidas de cada
ângulo. Prossiga na leitura.
Na frase, “Ele tem uma visão obtusa.” está relacionada com o ângulo obtuso. Assim,
a pessoa tem uma visão mais ampla de alguma coisa, mais alargada. Na frase, “Ele
tem uma visão muito aguda.” está relacionada com o ângulo agudo. Assim, a pessoa
tem uma visão pequena, menor de alguma coisa, mais restrita. Na frase, “Ele tem
uma visão cartesiana.” está relacionada com uma visão mais rígida, fechada de
alguma coisa.
Interpretando...
Antes de prosseguir, estude a demonstração feita pelos autores da bibliografia
básica 1, capítulo III do livro texto na atividade 36. Essa atividade traz um teorema
importante sobre os ângulos opostos pelo vértice: “Se dois ângulos são opostos pelo
vértice, então eles são congruentes.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 29).
Inicialmente foi feito um desenho, nomearam os ângulos e depois eles identificaram
a hipótese e a tese, conforme você já fez no capítulo anterior. Depois eles
consideraram as medidas dos ângulos de x, y e z e utilizaram o conceito de ângulos
suplementares, ou seja, dois ângulos são suplementares quando a soma deles é
igual a 180°. Resolvendo o sistema, chegaram à tese.
Estude a demonstração!
Resolvendo atividades....
Resolverei algumas atividades com você:
1) Determine o valor de x
a)
2x –
10°
20°
O exercício solicita o cálculo do valor de x. Os
ângulos (2x-10°) e 40° são opostos pelo vértice
(o.p.v.), portanto são congruentes. Assim,
2x – 10° = 20° 2x = 20° + 10° 2x = 30°
x = 30°/2 x = 15°
O valor de x é 15°.
Figura 26 – Ângulos
opostos pelo vértice CÔE e
DÔF 2.
b)
2) Dê a medida do ângulo que vale o triplo do seu complemento.
Analisando os dados:
- o exercício solicita a medida do ângulo;
- a medida do ângulo: como não se conhece, vou chamar de x;
- a expressão “vale” significa =;
- o triplo do seu complemento: nesse caso é o triplo do complemento do ângulo. O
complemento do ângulo (que nesse caso chamei o ângulo de x) é: 90° - x. Como é o
triplo do complemento então é: 3.(90°-x).
Compondo a equação:
x = 3.(90°-x) aplicando a propriedade distributiva;
x = 270°- 3x x + 3x = 270° 4x = 270° x = 270°/4 x = 67°30’.
A medida do ângulo é 67°30’.
3) O suplemento do dobro do complemento da metade de um ângulo é igual ao
dobro do complemento desse ângulo. Determine o ângulo.
Analisando os dados:
- o exercício solicita a medida do ângulo;
- a medida do ângulo: como não se conhece, vou chamar de x;
x + 40°
2x - 60°
O exercício solicita o cálculo do ângulo x. Os
ângulos (x + 40°) e (2x - 60°) são complementares,
pois a soma dos dois é igual a 90°. Assim,
2x - 60° + x + 40° = 90° 3x - 20° = 90°
3x = 90° + 30° 3x = 120° x = 120°/3 x = 40°
O valor de x é 40°. Figura 27 – Ângulos
complementares
TÔS.
- suplemento do dobro do complemento da metade de um ângulo:
180° - [ 2 . ( 90° - x / 2 ) ]. Explicando.....
A metade do ângulo x/2. O complemento da metade do ângulo 90° - x/2.
O dobro do complemento da metade de um ângulo 2.(90°- x/2). O suplemento do
triplo do complemento da metade de um ângulo 180° - 2.(90°- x/2).
- é igual: =
- triplo do complemento desse ângulo: 2.( 90°- x).
Compondo a equação:
180° - 2.(90°- x/2) = 2.( 90°-x) aplicando a propriedade distributiva
180° - 180°+ 2x/2 = 180° - 2x
x = 180° - 2x
x + 2x = 180°
3x = 180°
x = 180°/3
x = 60°
A medida do ângulo é 60°.
Agora é com você...
Parada Obrigatória
Responda a atividade 5 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você
precisará da classificação de ângulos apresentada.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na
bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 3. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Procurando a metade
No capítulo anterior, você achou a metade de um segmento utilizando compasso e
régua. É possível utilizar o compasso para determinar a metade de um ângulo?
Verificando.....
2.2.9. Bissetriz de um ângulo
Pesquisando...
Antes de prosseguir, procure no dicionário, em livros de matemática ou na internet o
significado a palavra bissetriz.
Achou? Não deixe de pesquisar antes de prosseguir.
Você com certeza verificou que a palavra bissetriz está relacionada com ângulo,
com a metade de um ângulo. Assim, acompanhe a definição de bissetriz de um
ângulo:
A- Definição: “Uma semirreta Oc interna a um ângulo aÔb é bissetriz do ângulo aÔb
se, e somente se, aÔc bÔc.” (DOLCE & POMPEO, 1993, p. 25).
A bissetriz é a semirreta interna ao ângulo, com origem no
vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
Então, como construir a bissetriz de um ângulo?
B- Construção da bissetriz
Com a ponta seca do compasso no vértice A
e abertura qualquer, trace um arco de
circunferência, determinando os pontos P e
Q nos lados do ângulo.
Figura 29 – Ângulo QÂP 1.
Com a ponta seca do compasso em P e
abertura maior que metade de PQ, trace um
arco. Com a mesma abertura e a ponta seca
em Q, trace um outro arco determinando o
ponto R.
Figura 30 – Ângulo QÂP 2.
Figura 28 – Bissetriz Oc.
Localize a bissetriz do ângulo, unindo o
ponto R ao vértice A.
Figura 31 – Bissetriz AR do
ângulo QÂP.
Agora é com você!
Desenhe um ângulo de 75° e trace a sua bissetriz.
Assim, a bissetriz divide o ângulo em dois ângulos congruentes e o compasso auxilia
na precisão dessa construção. Você também pode utilizar o compasso para
transportar ângulos.
Mas o que significa transportar ângulos?
Como fazer isso utilizando o compasso?
Verificando.....
2.2.10. Transporte de ângulos
Transportar um ângulo significa construir, numa semirreta, um ângulo de mesma
abertura com o auxílio da régua e do compasso.
Para transportar o ângulo PÂQ para a semirreta A’r’, proceda da seguinte
maneira:
Com uma abertura qualquer e ponta
seca do compasso em A, trace um arco
determinando os pontos P e Q nos
lados do ângulo a ser transportado.
Com a mesma abertura e a ponta seca
do compasso em A’, trace um arco
determinando o ponto P’ em r’.
Tome, com o compasso, a medida PQ
e, com a ponta seca em P’, determine
o ponto Q’ no arco anteriormente
traçado. Unindo o ponto Q’ à origem A’,
obterá um ângulo de mesma abertura
do ângulo PÂQ.
Parada Obrigatória
Responda as atividades 6, 7, 8 e 9 que estão no final deste capítulo. Na atividade 6,
você irá traçar a bissetriz dos ângulos e na 7, irá descrever o processo de
construção da bissetriz de um ângulo. Na atividade 8, você irá fazer o transporte dos
ângulos dados, de maneira que mostre a pessoa correndo. E, na atividade 9, você
irá interpretar o desenho e achar o valor de x.
Figura 32 –
Ângulo QÂP 3. Figura 33 –
semirreta A’r’
1.
Figura 34 –
Ângulo PÂQ 4. Figura 35 –
Semirreta A’r’
2.
Figura 36 –
Ângulo QÂP 5. Figura 37 –
Semirreta A’r’
3
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo 3. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo 3I do livro da bibliografia básica 1.
Agora, pegue o compasso e a régua para aprender a dividir um segmento em partes
iguais utilizando transporte de ângulos.
2.2.11. Divisão de um segmento em partes iguais
1- Desenhe um segmento AB .
Figura 38 – Segmento AB .
2- Numa das extremidades do
segmento, trace uma semirreta
auxiliar AC , formando um ângulo
qualquer ( 45º).
Figura 39 – Ângulo BÂC.
3- Trace o mesmo ângulo na outra
extremidade, no lado oposto do
segmento, obtendo assim a semirreta
auxiliar BD . (Observe que as duas
semirretas auxiliares são paralelas
entre si.). Veja no item transporte de
ângulos.
Figura 40 – Ângulo BÂC e BÂD 1.
4- Escolha uma unidade arbitrária, a
partir do ponto A. Marque, na primeira
semirreta auxiliar AC , esta unidade
arbitrária em um número de vezes
igual àquele em que queremos dividir
o segmento (nesse caso dividimos em
6 partes). Para obter maior precisão,
usamos o compasso. Na segunda
semirreta auxiliar BD , utilizando a
mesma unidade arbitrária, repete-se a
marcação partindo de B.
Figura 41 – Ângulo BÂC e BÂD 2.
5- Unir a última unidade marcada em
cada semirreta com as extremidades
de .AB
C
C
D
C
D
C
D
Figura 42 – Ângulo BÂC e BÂD 3.
6- Unir as unidades opostas
marcadas em cada semirreta obtendo
um feixe de paralelas. Nesse feixe, as
retas têm sempre a mesma distância
umas das outras. As retas paralelas
obtidas interceptam o segmento,
dividindo-o no número desejado de
partes.
Figura 43 – Divisão dos segmentos AC e
BD.
Agora é com você!
Divida o segmento AB de 8 cm em onze partes iguais.
Pensando juntos...
Você viu que um ângulo é formado pelo encontro de duas semirretas com a mesma
origem. Mas se você imaginar que as semirretas tem continuidade, terá a ideia de
D
C
uma reta, ou seja, na interseção dessas retas tem-se ângulos, como no caso dos
ângulos opostos pelo vértice. Lembra!?
Pensando nos ângulos formados pelo encontro de retas, há uma classificação
especial para os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas distintas,
você se lembra de ter estudado esse assunto?
Caso não se lembre ou já tenha visto, você irá rever esse assunto buscando
aprofundar os conceitos com a visão de um educador matemático.
Inicialmente farei uma introdução ao estudo das retas para, posteriormente, abordar
os ângulos. Acompanhe, prosseguindo na leitura.
2.2.12. Classificação de retas
Se perguntassem a você o que são retas paralelas, o que você responderia?
Procure responder antes de continuar o seu estudo!
Certamente você deve ter pensado: são retas que não se encontram!
Pensando mais sobre o assunto....
Veja os desenhos a seguir:
Figura 44 – Plano e retas t e u Figura 45 – Cubo ABCDEFGH e retas r e s 1
Tanto as retas t e u não se encontram como as retas r e s. E agora!?
Então, o que são retas paralelas?
Pense e registre antes de prosseguir.
Observe que as retas t e u estão contidas em um mesmo plano. Entretanto, isso não
acontece com as retas r e s, ou seja, não há um plano que contem essas duas retas.
Dessa forma, uma condição para que as retas sejam paralelas é que elas estejam
contidas num mesmo plano. Em outras palavras que elas sejam retas coplanares.
Assim,
Retas coplanares (prefixo co-: mesmo; sufixo –planar: plano) são aquelas que
estão contidas num mesmo plano.
Agora é possível definir retas paralelas. Acompanhe....
Definição de retas paralelas: “Duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente
se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto comum.”
(DOLCE & POMPEO, 1993, p. 61).
(r , s , r s = ) r // s
Figura 46 – Retas paralelas coincidentes r e s. Figura 47 – Retas paralelas distintas t e
u.
t
u
r = s r // s s
r
Assim, as retas da figura 46 são paralelas coincidentes e as da figura 47 são
paralelas distintas.
E as retas da figura 45, como são denominadas?
As retas da figura 45 são ditas retas reversas, pois não existe um plano que as
contém, ou seja, elas não são coplanares.
Assim, retas que não possuem um ponto comum podem ser paralelas ou reversas.
Ao desenhar retas, como ter certeza de que, no seu desenho, essas retas são
paralelas?
Para tirar a dúvida, é possível utilizar o compasso e a régua para construir retas
paralelas. Veja....
Construção de retas paralelas
Traçar duas retas paralelas distantes entre si 2 cm.
a) Desenhe uma reta r qualquer e marque
sobre ela dois pontos distintos, A e B. Com a
ponta seca do compasso em A com uma
abertura qualquer, trace um arco de maneira
Obs.: os planos que contém a reta r são EFGH e
DEFC e os planos que contém a reta s são BCFG
e ABGH. Não há um plano que contém as duas
retas, r e s, portanto elas são ditas retas reversas.
Figura 48 – Cubo ABCDEFGH
e retas r e s.
que ele encontre a reta r em dois pontos (R e
S). Repita o procedimento para o ponto B,
achando os pontos T e V.
Figura 49 – Reta r, pontos A e B e
arcos RS e TV .
b) Com a ponta seca do compasso em R e
com uma abertura maior que a distância RA
trace um arco. Com a mesma abertura e
ponta seca do compasso em S, trace outro
arco, de maneira que esse encontre o
primeiro. Ligue o ponto de encontro dos arcos
ao ponto A.
Repita o procedimento para os pontos T e V.
Em seguida, com o auxílio do compasso,
meça 2 cm na régua. Com essa abertura e
ponta seca do compasso em A, marque o
ponto C. Repita o procedimento para o ponto
B e marque o ponto D.
Figura 50 – Reta r, pontos A, B, C e D
e, arcos RS e TV .
c) Ligue os pontos C e D e você obterá uma
reta s paralela a r e distante 2 cm.
Figura 51 – Retas paralelas r e s.
Para saber mais
Pesquise em livros ou na internet outras maneiras de se construir retas paralelas e
registre no Trabalho de Construção de Aprendizagem.
r
Lembre-se: todos os passos da construção precisam estar descritos.
Mas é possível obter ângulos em retas que se encontram!? Como no caso dos
ângulos opv.
Pense!!!!
Sim! Nesse caso, têm-se retas concorrentes, veja a definição...
Definição de retas concorrentes:
“Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.”
(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 4).
As retas concorrentes são retas coplanares.
a b = {P}
Figura 52 – Retas concorrentes r e s.
Ainda nas retas concorrentes, há um caso em que elas formam entre si ângulos
retos e são denominadas de retas perpendiculares. Veja a definição.
“Duas retas são perpendiculares (símbolo: ) se, e somente se, são congruentes e
formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.” (DOLCE & POMPEO,
2005, p. 80).
r s (r s = {O} e r1Ôs1 = r1Ôs2)
r
s P
O símbolo - significa
se e somente se
r1 é uma das semirretas de r de origem O e s1 e s2 são semirretas opostas de s com
origem em O.
Figura 53 – Retas perpendiculares r e s.
Para saber mais
Pesquise, em livros ou na internet, como se constrói, utilizando compasso e régua,
retas perpendiculares e anote pelo menos um dos processos no Trabalho de
Construção de Aprendizagem.
Sintetizando...
Fazendo um esquema para sintetizar a classificação de retas, tem-se:
Parada Obrigatória
Responda a atividade 10 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se à
classificação de retas.
r
O s
r2
r1
s1 s2
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Voltando aos ângulos...
Enfim, vejamos os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas
distintas.
2.2.13. Uma reta concorrente a duas retas distintas
Sejam r e s duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta concorrente com r e
s:
A reta t é uma transversal às retas r e s. Essa reta transversal separa o plano em
dois semiplanos denominados de semiplano A e semiplano B.
Figura 54 – Retas r, s e
t concorrentes duas a
duas.
Figura 55 – Retas paralelas r e
s e transversal t.
Semiplano A Semiplano B
Semiplano A Semiplano B
A reta transversal t determinou, nas retas r e s, oito ângulos que recebem nomes
especiais de acordo com a posição que eles ocupam. Os ângulos formados entre as
retas r e s, na região interna, são chamados de ângulos internos, e os que não estão
nessa região são denominados de ângulos externos.
Para denominar esses ângulos farei algumas perguntas para você responder.
Assim que terminar cada uma delas, confira se você acertou no referencial de
respostas.
Questão 01 - Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano, em retas diferentes
(r e s), e ocupam a mesma posição nessas retas?
Respondeu?
Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.
Ângulos: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
1 5, 2 6, 4 8, 3 7e e e e
Estes ângulos se correspondem, por isso recebem o nome de ângulos
correspondentes.
Questão 02 - Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano e são internos às
retas r e s?
Não deixe de responder antes de prosseguir!
Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.
Ângulos: ^ ^ ^ ^
4 5, 3 6e e
Estes ângulos que estão no mesmo semiplano (no mesmo lado) e são internos,
recebem o nome de ângulos colaterais internos (co-: mesmo; -lateral: lado).
Questão 03 – Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano e são externos às
retas r e s?
Respondeu?
Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.
Ângulos: ^ ^ ^ ^
1 8, 2 7e e
Estes ângulos que estão no mesmo semiplano (no mesmo lado) e são externos,
recebem o nome de ângulos colaterais externos.
Questão 04 – Quais os ângulos que estão em semiplanos diferentes, em retas
diferentes (r e s) e são internos a essas retas?
Não deixe de responder antes de prosseguir!
Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.
Ângulos: ^ ^ ^ ^
4 6, 3 5e e
Estes ângulos que estão em semiplanos diferentes, retas diferentes e são internos
recebem o nome de ângulos alternos internos.
Questão 05 – Quais os ângulos que estão em semiplanos diferentes (r e s), em
retas diferentes e são internos a essas retas?
Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.
Ângulos: ^ ^ ^ ^
1 7, 2 8e e
Estes ângulos que estão em semiplanos diferentes, retas diferentes e são externos
recebem o nome de ângulos alternos externos.
Concluindo
Duas retas distintas, paralelas ou não, cortadas por uma transversal formam oito
ângulos que, de acordo com a posição, podem ser chamados de ângulos:
correspondentes; colaterais internos ou externos e alternos internos ou externos.
Então, por que há dois desenhos no início do assunto?
Um com as retas r e s concorrentes e outro com as retas r e s paralelas?
Você sabe?
Para verificar a explicação, prossiga na leitura.
No caso das retas r e s paralelas cortadas pela transversal t, esses ângulos
possuem algumas características a mais. Continue na leitura atentamente para
compreender a explicação! Para isso, pegue o transferidor.
Com o auxílio do transferidor, meça cada um dos oito ângulos formados na figura
55. O que você pode observar quanto à medida dos:
a) ângulos correspondentes?
b) ângulos alternos internos? E os externos?
c) colaterais internos? E os externos?
Coteje suas respostas com o apresentado a seguir.
Concluindo, tem-se:
- os ângulos correspondentes são congruentes (possuem a mesma medida);
- os ângulos alternos são congruentes (possuem a mesma medida);
- os ângulos colaterais são suplementares (a soma deles é igual a 180°).
Sintetizando...
Você estudou que os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas
distintas podem ser correspondentes, alternos e colaterais.
Se as duas retas forem paralelas, esses ângulos possuem algumas propriedades.
Veja o esquema a seguir.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 11 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se a
ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas paralelas distintas.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo V do livro da bibliografia básica 1.
Pensando ainda nas retas paralelas, você estudou no capítulo 1 a demonstração
pelo método indireto e como exemplo foi proposto o seguinte teorema: “Se duas
retas distintas interceptam uma terceira (transversal) formando ângulos alternos
congruentes, então essas retas são paralelas.” IEZZI (et al, s/d, p. 17). A
demonstração feita do teorema provou a existência de retas paralelas, se não se
lembra, reveja.
Agora vamos provar a unicidade da reta paralela.
Pensando....
Por um ponto não pertencente a uma reta dada passam quantas retas paralelas
a essa reta dada?
2.2.14. Unicidade da reta paralela
Para provar a existência da reta paralela, será preciso do seguinte axioma:
Axioma das paralelas
“Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.” (DOLCE &
POMPEO, 2005, p. 64).
Utilizando o axioma das paralelas, agora você estudará a recíproca do teorema da
existência da reta paralela. Acompanhe....
Teorema: Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, então os
ângulos alternos (ou os ângulos correspondentes) são congruentes.
Demonstração
Hipótese Tese
t u a e
t // u
r reta transversal
Vamos demonstrar pelo método da redução
ao absurdo.
Se â e ê não fossem congruentes, existiria uma reta
y, distinta de t, passando pelo ponto
S, onde {S} = t r, tal que:
â’ ê
Pelo teorema da existência da reta paralela, demonstrado no capítulo 1, se
â’ ê y // u.
Figura 56 – Retas paralelas
t e u e transversal r.
Figura 57 – Retas paralelas
t e u, reta transversal r e reta
y concorrente às retas t e r.
Assim, por S teríamos duas retas distintas y e t, ambas paralelas à reta u, o que é
absurdo, pois contraria o axioma das paralelas. (Por um ponto passa uma única reta
paralela a uma reta dada.).
Logo, â ê.
Dessa forma, uma condição necessária e suficiente para que duas retas distintas
serem paralelas é formarem, com uma transversal, ângulos alternos (ou ângulos
correspondentes) congruentes.
Além das retas paralelas, você também estudará ângulos de lados paralelos.
Prossiga na leitura.
2.2.15. Ângulos de lados paralelos
Com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos indicados na figura 58 e na figura
59.
O que você pode perceber na figura 58?
Figura 58 - Ângulos de lados
paralelos e de mesmo sentido.
Figura 59 - Ângulos de lados
paralelos e de sentidos opostos.
E na figura 59?
Procure responder antes de prosseguir.
Você deve ter encontrado na figura 58 que os ângulos â e û têm a mesma medida,
ou seja, são congruentes. Na figura 59, se você somou os ângulos â e û deve ter
encontrado um valor igual ou próximo a 180°.
O que você acabou de verificar vale para todos os ângulos de lados respectivamente
paralelos. Acompanhe atentamente a demonstração do teorema.
Teorema: Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou
suplementares.
Demonstração
Considere os ângulos â e â’ adjacentes e
suplementares; û e û’ também adjacentes e
suplementares e o ângulo ê formado pelo
prolongamento de OE . Dessa forma, o
desenho seria:
Hipótese Tese
/ /OC OE â û ou
/ /OD OF â + û’ = 180º ou â’ + û = 180º
â e û ângulos
û ê porque são ângulos correspondentes â û
â ê porque são ângulos correspondentes
Como â û e
Figura 60 - Ângulos de lados
paralelos: â e û, â’ e û.
â + â’ = 180º â’ + û = 180º
û + û’ = 180º â + û’ = 180º
Assim, você poderá utilizar o teorema dos ângulos de lados paralelos para resolver
as suas atividades. Não deixe de fazer.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 12 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se a
ângulos de lados paralelos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e
bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo V do livro da bibliografia básica 1.
Você fez um estudo de ângulos desde a definição, classificação, algumas
construções, dentre outros. Agora você iniciará um estudo dos polígonos. Para isso,
esteja com o compasso, régua e transferidor.
2.3. Polígonos
Já foi estudado que a palavra polígono é de origem grega e que o prefixo poli-
significa vários, muitos e o sufixo –gonos, indica ângulo.
Mas qual a definição para polígonos?
Para verificar a definição, prossiga na leitura.
2.3.1. Definição
”Dada uma sequência de pontos de um plano (A1, A2,..., An) com n3, todos
distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se
consecutivos An-1, An e A1, assim como An, A1 e A2, chama-se polígono à reunião dos
segmentos 113221 ,,...,, AAAAAAAA nnn .” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 132).
Elementos
Vértices: A, B, C.
Lados: BCACAB ,,
Ângulos: ^^^
,, CBA
Elementos
Vértices: A, B, C, D, E, F.
Lados: ,,, CDBCAB
.,, FAEFDE
Ângulos:
.,,,,,^^^^^^
FEDCBA
A
B C
D
E F
A
B C Figura 61 – Triângulo ABC 1. Figura 62 – Hexágono
ABCDEF 1.
ABC e ABCDEF são polígonos. Observe que o número de vértices de um
polígono é igual ao seu número de lados.
Antes de verificar como se constrói um polígono, você irá estudar algumas
definições a seguir.
2.3.2 Superfície poligonal
A reunião de um polígono com seu interior é chamada de superfície poligonal.
2.3.3. Polígono convexo e côncavo
“Um polígono é convexo se está sempre contido em um dos semiplanos
determinados pelas retas que contêm os seus lados.” (BARBOSA, 1985. p. 32). Se
isso não acontece o polígono é côncavo.
Figura 63 – Pentágono convexo Figura 64 – Pentágono côncavo
2.3.4. Nomeando polígonos
O nome dos polígonos é dado de acordo com o número de lados. Utilizam-se os
mesmos prefixos dos poliedros, vistos no capítulo 1. Acompanhe:
3 lados = triângulo ou trilátero 9 lados = eneágono
4 lados = quadrângulo ou quadrilátero 10 lados = decágono
5 lados = pentágono 11 lados = undecágono
6 lados = hexágono 12 lados = dodecágono
7 lados = heptágono 15 lados = pentadecágono
8 lados = octógono 20 lados = icoságono
2.3.5. Polígono regular
“Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes
(é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo).” (DOLCE & POMPEO,
2005, p. 136).
Exemplos:
O triângulo equilátero é um triângulo regular.
Agora pegue o compasso e a régua para construir um polígono regular.
A- Construção do polígono regular pelo método de Rinaldini
Como construir um undecágono regular (11 lados)?
1º) Marque um ponto O e, com a ponta seca do compasso em O, trace uma
circunferência.
2º) Trace uma reta AB pelo ponto O.
Figura 66 -
Hexágono regular
ABCDEF 2.
A
B C
D
E F Figura 65 - Triângulo
equilátero ABC 1.
A
B C
3º) Divida o segmento AB em 11 partes iguais. (ver no item divisão de um
segmento em partes iguais).
4º) Destaque os pontos pares ou ímpares. Nesse caso, destacamos os pontos
pares, reforçando-os.
5º) Determine C e D, pela interseção dos arcos de centros A e B e raio AB , ou
seja, com a ponta seca do compasso em A, abertura com tamanho AB , trace
um arco; com a mesma abertura e ponta seca do compasso em B, trace outro
arco, de maneira que eles se interceptem.
Figura 67 – Circunferência de centro O e segmento AB .
6º) Determine E, F, G, H, I, J, L, M, N e P, traçando as semirretas de origens C
e D que passam pelos pontos pares (ou ímpares).
7º) Destaque o undecágono regular inscrito na circunferência.
Figura 68 – Undecágono regular.
Agora é com você!
Construa um eneágono regular, utilizando o processo de Rinaldini.
2.3.6. Cruzando assuntos
Retomando os sólidos geométricos, mais especificamente os poliedros convexos,
agora você irá verificar onde esses assuntos se cruzam, portanto, pegue os seus
poliedros convexos.
1. Dos poliedros convexos, separe aqueles nos quais todas as faces têm a forma de
polígonos regulares. Quais são eles? Coloque o número de cada um deles de
acordo com as figuras que você colou no caderno – capítulo 1.
Estes poliedros de número 2, 3, 7, 8 e 9 recebem o nome de Poliedros de Platão,
mais especificamente, Poliedros Regulares de Platão. Em seu caderno, coloque
esse nome em cada uma dessas figuras.
Pesquisando...
Responda as questões a seguir, pesquisando, em livros ou na internet.
a) O que são Poliedros de Platão?
b) Quais as condições para que um poliedro de Platão seja regular?
c) Quantos poliedros regulares de Platão existem?
d) Dê um exemplo de um poliedro de Platão que não seja regular. (Você pode
desenhar, recortar, pesquisar na internet, dentre outros).
Anote suas respostas no caderno, depois faça um comentário no Trabalho de
Construção de Aprendizagem - TCA.
Outra definição a ser estudada é a de diagonal de um polígono. Acompanhe!
2.3.7. Diagonal de um polígono
“Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não
consecutivos do polígono.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 136).
Exemplo:
BCeAD são as diagonais desse quadrilátero.
Obs.: Diagonal não é lado do polígono.
Figura 69 – Quadrilátero ABCD.
Mas, como achar o número de diagonais (d) de um polígono de n lados?
B
C D
A
Para determinar o número de diagonais de um polígono, preencha o quadro a seguir
respondendo as questões propostas.
quadrilátero pentágono
hexágono octógono
.... polígono de
n lados
.....
Questão 1 ....
Questão 2 ....
Questão 3 ....
Questão 4 ....
Questão 1- Com o lápis na extremidade de um dos vértices de cada polígono,
quantas diagonais é possível traçar? Escreva o número para cada polígono no
quadro.
Questão 2- Que relação é possível estabelecer entre esse número de diagonais e o
número de lados de um polígono? Ou seja, utilizando o número de lados do
polígono, que operação pode-se fazer para obter o número de diagonais que saem
de um vértice? Escreva a relação para cada polígono do quadro. Para achar a
relação, utilize operações de adição ou subtração.
Questão 3- Se você achou o número de diagonais que saem de um vértice, então
para achar quantas diagonais saem de todos os vértices, qual o procedimento?
A1
A3
A2
A4
A5
An-1 An
A
C D
B A
E
D C
B
A F
E
D C
B
A
G
F
E D
C
B
H
Escreva o resultado para cada um dos polígonos do quadro, utilizando a relação
encontrada no item anterior.
Questão 4- Trace todas diagonais (caso seja possível) dos polígonos do quadro. O
valor encontrado é igual ao que você encontrou na questão anterior? Se não for, o
que devemos fazer para obter esse valor? Escreva o resultado para cada um dos
polígonos do quadro.
Então, para calcular o número de diagonais (d), podemos usar uma fórmula. Qual?
Deduzindo a fórmula para encontrar o número de diagonais de um polígono de n
lados, utilizando a linguagem matemática:
Dedução
Seja A1A2A3...An um polígono de n lados.
Com extremidade num dos vértices do polígono (vértice A1,
por exemplo), tem-se:
(n – 3) diagonais.
Se, com extremidade em cada vértice, encontrou-se
(n – 3) diagonais, então com extremidades nos n vértices,
tem-se: n.(n – 3) diagonais.
Porém, ao utilizar n.(n – 3) cada diagonal é contada duas vezes, pois tem
extremidades em 2 vértices. (Por exemplo, no desenho acima, 51 AA e 15 AA são
contadas como duas diagonais, quando, na realidade, é uma só 51 AA =
15 AA ).
O número de diagonais d de um polígono de n lados (n3) é dado por:
.2
3.
nnd
A1
A3
A2
A4
A5
An-1
An
Figura 70 –
Polígono de n lados
1.
Logo, o número d de diagonais é:
.2
3.
nnd
Parada Obrigatória
Responda a atividade 13 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se ao
número de diagonais de um polígono.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo IX. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada
e bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo IX do livro da bibliografia básica 1.
Você verificou que é possível determinar o número de diagonais de um polígono.
Também é possível determinar a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo, a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, assim como o valor
dos ângulos internos de um polígono regular e dos ângulos externos de um polígono
regular. Acompanhe...
2.3.8. Soma dos ângulos internos e externos de um polígono
A- Soma dos ângulos internos de um polígono convexo - Si
Pensando no menor polígono, o triângulo, inicialmente, você irá acompanhar a
demonstração do teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo.
Teorema: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos
retos.
Demonstração
Seja ABC um triângulo. Pelo vértice C, trace uma reta s paralela ao lado AB .
Numere os ângulos formados com o vértice C, como abaixo:
Trace a reta suporte aos lados BC e AC .
Hipótese Tese
ABC é um triângulo ^
A + ^
B + ^
C = 180°
a) A soma dos ângulos ^
1 + ^
2 + ^
3 = 180°, pois formam um ângulo raso.
Reta suporte aos lados BC e
AC , é a reta que contém os
segmentos BC e AC .
Figura 71 – Triângulo ABC 1. Figura 72 – Triângulo ABC 2.
b) AC é transversal às duas paralelas s e a AB , assim, ^
1 ^
A , pois são ângulos
alternos internos.
c) Como a reta BC também é uma transversal, podemos afirmar que ^
3 ^
B , pois
são ângulos alternos internos.
d) Ao enumerar os ângulos, chamamos o ângulo ^
C de ^
2 ^
C ^
2 .
e) Substituindo os itens b, c e d no item a, temos que ^
A + ^
B + ^
C = 180°.
E para os demais polígonos convexos, como achar a soma das medidas de
seus ângulos internos?
Para descobrir, responda as questões a seguir, preenchendo o quadro.
quadrilátero pentágono hexágono octógono ....
polígono de
n lados
....
.
Questão 1 ....
Questão 2 ....
Questão 3 ....
Questão 1- Escolha um vértice de cada polígono e trace todas as diagonais que
saem desse vértice. Quantos triângulos foram formados? Complete o quadro para
cada polígono.
Questão 2- Qual a relação entre o número de triângulos formados e o número de
lados do polígono? Ou seja, utilizando o número de lados do polígono, que operação
A1
A3
A2
A4
A5
An-1 An
A
C D
B A
E
D C
B
A F
E
D C
B
A
G
F
E D
C
B
H
você fará para obter o número de triângulos formados no item anterior? Complete o
quadro para cada polígono.
Questão 3- Se somarmos todos os ângulos dos triângulos, teremos a soma dos
ângulos internos do polígono. Certo?
Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então é só multiplicar esse
valor pelo número de triângulos formados. Concorda?
Complete o quadro para cada polígono, utilizando a expressão do item anterior.
Então, qual a fórmula para calcular a soma dos ângulos internos (Si) de um
polígono convexo?
Deduzindo a fórmula para encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono de
n lados, utilizando a linguagem matemática:
ou
Dedução
Seja A1A2A3...An um polígono convexo de n lados.
De um vértice qualquer conduzir todas as diagonais
que têm esse vértice como extremo.
A soma Si dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n3) é
dada por: Si = (n – 2).2 retos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é Si = 180° .(n – 2).
O polígono fica então dividido em (n – 2) triângulos e
a soma Si dos ângulos internos do polígono
Si = î1 + î2 + î3 + ... + în é igual à soma dos ângulos internos dos (n – 2) triângulos.
Logo, Si = (n – 2).2 retos ou Si = 180º.(n – 2)
B- soma dos ângulos externos de um polígono convexo - Se
Mas o que é ângulo externo de um polígono convexo?
“Ângulo externo de um polígono convexo é o ângulo suplementar adjacente a um
ângulo (interno) do polígono.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 138).
Indicarei ângulo externo por ae.
Exemplo:
Assim,
A soma Se dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados
(n3) é dada por: Se = 4 retos
Figura 74 – Polígono
de n lados 3.
Figura 73 – Polígono
de n lados 2.
ou
Para deduzir a fórmula, considere o desenho a seguir e complete os espaços a
seguir.
Seja o polígono A1A2A3...An um polígono convexo
de n lados.
Considere os ângulos externos ê1, ê2, ..., ên suplementares adjacentes aos
respectivos ângulos internos î1, î2, ..., în. Assim, complete os espaços.
ê1 + î1 = _____
ê2 + î2 = _____
ê3 + î3 = _____
.... ... = ……
ên + în = _____
__ + __ = ____
Substituindo Si por (n - 2).180° e resolvendo a equação, você encontrará a fórmula
da soma dos ângulos externos de um polígono convexo.
Conseguiu? Se não, acompanhe...
somando membro a membro as n igualdades,
temos que e1 + e2 + ... + en representa a soma dos
ângulos externos do polígono (Se) e i1 + i2 +...+ in
representa a soma dos ângulos internos do
polígono (Si).
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é Se = 360°
Se = 360°
Figura 75 –
Polígono de n lados
4.
Somando membro a membro, encontra-se: Se + Si = n.180°
Substituindo Si por Si = 180°.(n – 2), tem-se:
Se + 180°.(n – 2) = n.180°
Aplicando a propriedade distributiva:
Se + n.180° – 360° = n.180°
Achando o valor de Se:
Se = n.180° - n.180° + 360°
Se = 360°
Parada Obrigatória
Responda a atividade 14 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se à
soma dos ângulos internos de um polígono convexo.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo IX. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada
e bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo IX do livro da bibliografia básica 1.
2.3.9.- Ângulo interno e externo de um polígono regular
A- Ângulo interno de um polígono regular (ai)
Com a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono é possível achar o
valor do ângulo interno de um polígono regular, pois todos os seus ângulos internos
são congruentes! Concorda?
Para isso, é só dividir a soma dos ângulos internos (Si)pelo número de lados do
polígono (n)! Certo?
Então, expresse essa fórmula.
ai =
Como Si = 180º.(n – 2), você pode substituir Si e encontrar a fórmula que determina
ai em função do número de lados do polígono regular.
Expresse essa fórmula.
ai =
Conseguiu? Se não, acompanhe.
Concluindo,
ai = n
S i ou ai =
n
n º180.2
Sintetizando...
Você verificou que é possível utilizar algumas fórmulas para determinar a soma dos
ângulos internos e externos de um polígono:
Si = 180º.(n – 2) e Se = 360°
B- Ângulo externo de um polígono regular (ae)
O procedimento para determinar o ângulo externo é o mesmo, pois todos os seus
ângulos externos são congruentes! Ok?
É só dividir a soma dos ângulos externos (Se) pelo número de lados do polígono
regular (n)!
Então, expresse essa fórmula.
ae =
Como Se = 360º, você pode substituir na fórmula.
Concluindo: ae = n
S e ou ae = n
º360
Sintetizando...
Você verificou que é possível utilizar algumas fórmulas para determinar as medidas
dos ângulos internos e externos de um polígono regular, assim como determinar a
soma dos ângulos internos e externos de um polígono:
ai = n
S i ou ai =
n
n º180.2 e ae =
n
S e ou ae = n
º360
Parada Obrigatória
Responda a atividade 15 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se à
soma dos ângulos externos de um polígono convexo.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou a complementar ou a internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo IX. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada
e bom estudo!
Aprofundando...
Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo IX do livro da bibliografia básica 1.
Pensando...
Você deve ter notado que, para calcular a soma dos ângulos internos de um
polígono convexo, ele foi dividido em triângulos e que, ao traçar as diagonais que
saem de um vértice de um polígono, também se determinou vários triângulos.
Certo?
Se você observar, no seu cotidiano, estão presentes vários triângulos. Cite
alguns locais, objetos, dentre outros, nos quais você conseguiu visualizar a
presença de triângulos e poste suas respostas no Trabalho de Construção de
Aprendizagem – TCA.
Entre todos os polígonos, o triângulo é que apresenta uma rigidez geométrica que os
outros não possuem. Depois de construído, não é possível modificar a abertura de
seus ângulos. Essa propriedade é bastante utilizada na engenharia, na arquitetura,
na carpintaria, dentre outros. Por exemplo, na construção de telhados, a tesoura ou
treliça são compostas por vários triângulos, que impedem que um vento qualquer
abale a sua estrutura, levando o telhado ao chão. Essa rigidez também justifica o
fato de os carpinteiros colocarem uma espécie de trava quando fazem portões,
porteiras, armários, dentre outros.
Você não deve ter encontrado triângulos apenas nesses locais citados. Em muitas
obras de arte, eles são utilizados e nem sempre pela propriedade da rigidez, mas
também pela facilidade que se tem de compor, por justaposição, quadriláteros ou
outros polígonos de várias formas e tamanhos.
Se você não se convenceu, faça a experiência a seguir:
pegue três palitos de picolé ou canudinhos com tamanhos iguais ou
variados; depois prenda-os com tachinhas e tente mover os lados do
triângulo. Conseguiu? Com certeza não!
Além dessa propriedade, os triângulos têm também outras propriedades
interessantes, por isso será estudado em um tópico nesse capítulo e terá
continuidade posteriormente.
2.3.10. Triângulos
A- Definição: “Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos segmentos
AB , AC e BC chama-se triângulo ABC.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 36).
Indica-se: triângulo ABC ou ABC
Alguns elementos:
Vértices: A, B e C
Lados: BCACAB ,,
Ângulos internos: ^
A , ^^
,CB
Mas como construir um triângulo?
Usa-se o compasso?
Acompanhe a construção, a seguir.
Construa um triângulo com todos os lados medindo 5 cm.
a) Marque, numa reta r horizontal, um
segmento BC de 5 cm.
Figura 77 – Reta r e segmento BC 1.
b) Com a ponta seca do compasso em
B e abertura igual a 5 cm, trace um
arco de circunferência.
Figura 78 – Reta r e segmento BC 2.
c - Com a ponta seca do compasso em
C e abertura de 5 cm (a mesma), trace
A
C
B Figura 76 – Triângulo ABC 4.
outro arco determinando o ponto A no
arco anteriormente traçado.
Figura 79 – Triângulo equilátero ABC 2.
Agora é com você!
Construa um triângulo ABC com os lados medindo 6 cm.
Você já ouviu falar em triângulo retângulo?
Sabe por que ele recebe esse nome?
Prossiga na leitura e veja a classificação dos triângulos quanto à medida dos lados e
quanto à medida dos ângulos.
B- Classificação de triângulos
Classificando os triângulos quanto à medida dos lados e dos ângulos.
I) Construa triângulos com as seguintes medidas:
a) ABC com AB = 3 cm; BC = 4 cm; AC = 5 cm
b) DEF com DE = 7 cm; EF = 4 cm; DF = 10 cm
c) GHI com GH = 5 cm; HI = 4 cm; GI = 4 cm
d) KLM com KL = 4 cm; LM = 4 cm; KM = 4 cm
II) Separe os triângulos que possuem a seguinte característica solicitada a seguir.
a) Quais os triângulos que possuem todos os lados com medidas diferentes?
Eles recebem o nome de triângulos escalenos.
b) Quais os triângulos que possuem dois lados com medidas iguais?
Eles recebem o nome de triângulos isósceles.
c) Qual o triângulo que possui todos os lados com a mesma medida?
Ele recebe o nome de triângulo equilátero.
Você deve ter verificado que os triângulos ABC e DEF são escalenos; os triângulos
GHI e KLM são isósceles e o triângulo KLM é equilátero.
Assim, quanto à medida dos lados, os triângulos podem ser equiláteros, isósceles
e escalenos.
III) Agora, separe os triângulos que possuem a característica solicitada a seguir.
a) Qual o triângulo que possui um ângulo reto?
Ele recebe o nome de triângulo retângulo.
b) Qual o triângulo que possui um ângulo obtuso?
Ele recebe o nome de triângulo obtusângulo.
c) Quais os triângulos que possuem todos os ângulos agudos?
Eles recebem o nome de triângulos acutângulos.
d) Qual o triângulo que possui todos os ângulos com a mesma medida?
Ele recebe o nome de triângulo equiângulo.
Você deve ter verificado que o triângulo ABC é retângulo; o triângulo DEF é
obtusângulo; os triângulos GHI e KLM são acutângulos e o triângulo KLM é
equiângulo.
Assim, quanto à medida dos ângulos, os triângulos podem ser retângulos,
obtusângulos, acutângulos e equiângulos.
C- Triângulo retângulo
O triângulo retângulo recebe nomes especiais para a medida de seus lados:
Esquematizando...
Classificação de triângulos
Assim, todo triângulo equilátero é isósceles, pois ele tem dois lados com a mesma
medida. Todo triângulo equiângulo é acutângulo, pois possui todos os ângulos com
medida menor que 90°.
O lado oposto ao ângulo reto num triângulo
retângulo chama-se hipotenusa. É o maior lado
do triângulo retângulo.
Os outros dois lados recebem o nome de
catetos.
B
A
C
Figura 80 – Triângulo ABC 4.
Classificou-se os triângulos quanto à medida dos ângulos e você também já estudou
como se determina os ângulos externos de um polígono. Entretanto, para os
triângulos existe um teorema que traz uma relação interessante e bastante utilizada
nas atividades. Veja....
D- Teorema do ângulo externo de um triângulo
Teorema: “Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois
ângulos internos não adjacentes a ele.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 65).
Demonstração
Hipótese Tese
ABC ê = B^
A C + A^
B C
ê - ângulo externo adjacente a ^
C
1) B^
A C + A^
B C + A^
C B = 180º - soma dos ângulos internos de um triângulo
2) ê + A^
C B = 180º - são ângulos suplementares
Comparando 1 e 2, temos que ê = B^
A C + A^
B C
Veja outra maneira de demonstrar na bibliografia básica 1, capítulo V.
Parada Obrigatória
Responda as atividades 16, 17 e 18 que estão no final deste capítulo. As atividades
referem-se à classificação de triângulos e o teorema do ângulo externo de um
triângulo.
Confira se você acertou no referencial de respostas!
Figura 81 – Triângulo ABC 5.
Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou bibliografia
básica ou a complementar ou a internet, dentre outros.
Exercitando
Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 1,
capítulo IV e V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma
olhada e bom estudo!
Agora você irá estudar outros elementos do triângulo e, para isso, precisará do
compasso e da régua, portanto pegue-os.
2.3.11. Pontos Notáveis do Triângulo
A abordagem, nesse momento, é a de definição e construção destes pontos
notáveis. Nos próximos capítulos, serão demonstrados os teoremas.
A- Ortocentro
Ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das alturas do triângulo.
Mas, o que é a altura de um triângulo?
Antes de construir o ortocentro, você irá estudar o conceito de altura de um triângulo
e o como construir esta altura.
“Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um
lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado
considerado.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 84).
Assim, a altura é um segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado
oposto do triângulo ou ao seu prolongamento. Num triângulo, têm-se três alturas.
Veja a altura nos seguintes triângulos:
1) triângulo acutângulo
2) Triângulo retângulo
Figura 82 – Triângulo ABC e
altura Ha.
aAH é a altura relativa ao lado BC , ou
aAH é a altura relativa ao vértice A.
Ha é dito pé da altura.
Nessa figura, estão representadas as três alturas do
triângulo ABC.
aAH é a altura relativa ao lado BC .
bBH é a altura relativa ao lado AC .
cCH é a altura relativa ao lado AB .
Figura 83 – Triângulo ABC e
alturas Ha, Hb e Hc.
Observe que na figura 84 a altura relativa ao lado BC coincide com o lado AB ,
pois esse lado é perpendicular a BC . E na figura 85 a altura relativa ao lado AB
também irá coincidir com o lado, nesse caso, o lado BC , pois esse lado é
perpendicular a AB .
3) Triângulo obtusângulo
Quando o triângulo é retângulo,
duas de suas alturas irão coincidir
com o vértice do ângulo reto do
triângulo. Então, para achar as
três alturas é só determinar a
altura relativa à hipotenusa que
em nossa figura é bBH .
Figura 85 –
Triângulo
retângulo ABC e
altura H2.
A figura mostra as três alturas de um triângulo
obtusângulo. Observe que as alturas ba BHeAH
foram determinadas nos prolongamentos dos lados
ACeBC , respectivamente. O lado em que não é
necessário prolongamento é o lado oposto ao ângulo
obtuso.
H é o ponto de encontro das alturas – o ortocentro.
Figura 84 –
Triângulo
retângulo ABC
e altura H1.
Para determinar as alturas de um triângulo
obtusângulo, é necessário prolongar dois de
seus lados. Com os prolongamentos, a altura
se encontra na reta suporte do lado do
triângulo. Veja a altura aAH relativa ao lado
BC está fora do triângulo ABC.
Figura 86 – Triângulo
obtusângulo ABC e altura
Ha.
Como construir a altura de um triângulo?
Com a régua e o compasso, acompanhe o passo a passo.
Se a altura é um segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado
oposto do triângulo ou ao seu prolongamento, a ideia da construção é a de traçar
uma reta perpendicular por um ponto fora desta reta.
Então, para construir o ortocentro é só repetir esse procedimento para cada
lado do triângulo?
Figura 87 – Triângulo
obtusângulo ABC e
alturas Ha, Hb e Hc.
Figura 88 – Reta r e
ponto P.
Figura 89 – Reta r e
pontos P e C.
Figura 90 – Retas r e s
perpendiculares.
1- Desenhe uma reta r
qualquer e um ponto P que
não pertence a r, ou seja,
fora da reta r. Com uma
abertura maior que a
distância de P até r,
coloque a ponta seca do
compasso em P e marque
dois pontos auxiliares em r
(pontos A e B),
equidistantes de P.
2- Com uma abertura no
compasso maior que a
metade distância AB (pode
ser a mesma abertura),
coloque a ponta seca do
compasso em A e trace um
arco; com a mesma abertura
e ponta seca em B trace
outro arco que irá interceptar
o anterior no ponto C.
3- A reta s é a reta que
passa pelos pontos P e C e
é perpendicular à reta r, ou
seja, traçamos uma reta
perpendicular à reta r que
passa pelo ponto P.
Observe que há um vértice e seu lado oposto. Para traçar a altura, é preciso
construir uma reta perpendicular que passe pelo vértice e encontre o lado oposto do
triângulo.
Agora é com você...
Desenhe um triângulo retângulo, um obtusângulo e um equiângulo e construa, com
compasso e régua, o ortocentro de cada um deles.
B- Baricentro
Baricentro ou centroide de um triângulo é o ponto de encontro das medianas do
triângulo.
Mas, o que é mediana de um triângulo?
1- Desenhe um triângulo
ABC, acutângulo e não
equiângulo. Trace a altura
relativa ao lado AB, ou seja,
construa uma reta
perpendicular ao lado AB e
que passe pelo ponto C.
ABCH 1
2- Pelo mesmo processo,
construa BCAH 2 ,
determinando o ortocentro.
3- O ponto H é o ortocentro
do triângulo ABC, ou seja, é
o ponto de encontro das
alturas do triângulo ABC.
Figura 91 – Triângulo ABC
e altura 1CH .
Figura 92 – Triângulo ABC
e alturas 1 2CH e AH .
Figura 93 – Ortocentro H
do triângulo ABC 1.
Medianas de um triângulo são os segmentos que têm uma extremidade no vértice
do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Um triângulo
tem três medianas. Veja a figura a seguir.
Observe que, quando se conceitua mediana de um triângulo, na realidade está se
falando de mediana de um segmento.
O que é mediana de um segmento? Como construí-la?
Mediana de um segmento é a reta que divide o segmento em segmentos
congruentes, ou seja, a reta que passa pelo ponto médio do segmento.
Construção da mediana de um segmento
A construção segue os mesmos procedimentos do
ponto médio visto no volume 1. Veja:
a) desenhe um segmento e com a ponta seca do
compasso em A, abertura maior que a metade do
segmento , podendo ser do comprimento de ,
1CM , 2AM e 3BM são as medianas do triângulo ABC.
Figura 94 – Triângulo ABC e
medianas 1CM , 2AM e
3BM .
A B M
D
C
r
A reta r é uma das
medianas do segmento .
Figura 95 – Segmento e
mediana r.
trace uma circunferência ou uma semicircunferência;
b) em seguida, com a mesma abertura, e ponta seca do
compasso em B, trace outra circunferência ou
semicircunferência;
c) essas circunferências/semicircunferências cortam-se
em dois pontos C e D;
d) posicione a régua como se fosse traçar o segmento
. Na interseção do segmento CD com o segmento
marque o ponto médio, M.
e) Qualquer reta que interceptar o ponto médio do
segmento AB recebe o nome de mediana do segmento
.
Então, para construir o baricentro é só repetir esse procedimento para cada
lado do triângulo!
Vale lembrar que a mediana do triângulo liga o ponto médio de um lado ao vértice
oposto a esse lado.
Peque o compasso e a régua e acompanhe os procedimentos a seguir.
1- Desenhe um triângulo
ABC e, com o auxílio do
compasso, determine os
pontos médios de AB e
BC .
2- Trace 1CM e 2AM ,
determinando o baricentro M.
3- O ponto M é o ponto de
encontro das medianas,
ou seja, ele é o baricentro
do triângulo ABC.
Figura 96 – Triângulo ABC
e pontos médios M1 e M2.
Figura 97 – Triângulo ABC
e medianas 1 2CM e AM .
Figura 98 – Ortocentro H
do triângulo ABC 2.
Com o auxílio do compasso e ponta seca em M, abertura até o ponto M1, gire o
compasso e marque esta distância sobre CM . Agora com a ponta seca em C e
mesma abertura, marque esta distância, novamente, sobre CM .
O que você pode observar? Quantas vezes o segmento MM1 coube em CM ?
Procure responder antes de prosseguir. Depois coteje sua resposta com o
expresso a seguir.
Então, podemos concluir que o baricentro divide a mediana em três partes iguais, de
maneira que a parte que contém o vértice é o dobro da outra, ou seja, ela é 2/3 da
outra parte, respectivamente. Como a figura a seguir, observe:
Para saber mais...
Figura 99 – Baricentro M do
triângulo ABC.
O baricentro funciona como ponto de equilíbrio do triângulo. Para saber mais, visite
o site:
http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/textos/matemateca/experiencias-com-
o-baricentro/baricentro.pdf
Agora é com você...
Desenhe um triângulo retângulo, um obtusângulo e um equiângulo e construa, com
compasso e régua, o baricentro de cada um deles.
C- Incentro
Incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo.
Mas, o que é bissetriz do triângulo?
Bissetriz do triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo,
compreendido entre o vértice e o lado oposto.
Um triângulo tem três bissetrizes. Veja a figura a seguir.
Figura 100 – Triângulo LMN e
bissetrizes 1 2 3,NB LB e MB .
1 2 3,NB LB e MB são as bissetrizes do
triângulo LMN.
Voltando.....
Veja, neste capítulo, como se constrói a bissetriz de um ângulo.
Construção do incentro
Construa um triângulo ABC acutângulo e não equiângulo e trace o seu incentro (I).
Em seguida, trace uma reta perpendicular a um dos lados do triângulo e que passe
pelo ponto I (para recordar como se constrói a reta perpendicular que passa por um
ponto, volte ao ortocentro). Veja o desenho a seguir.
Nomeie o ponto de interseção da perpendicular com o lado de Ta. Com a ponta seca
do compasso em B, abertura até o ponto Ta, trace uma circunferência.
Figura 101 – Triângulo
NLM e bissetriz altura
1NB .
Figura 102 – Triângulo
NLM e bissetrizes
1 2NB e LB .
Figura 103 – Incentro do
triângulo NLM.
1- Desenhe um triângulo
NLM acutângulo e não
equiângulo. Construa a
bissetriz 1NB .
2- Construa a bissetriz
2LB , determinando o
incentro.
3- O ponto B é o ponto de
encontro das bissetrizes, ou
seja, ele é o incentro do
triângulo MNL.
O que você pode observar?
Procure responder, antes de prosseguir. Depois, coteje sua resposta com o
expresso a seguir.
O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. A circunferência
tangencia os lados do triângulo, ou seja, intercepta os lados do triângulo em um
ponto.
Agora é com você...
Desenhe um triângulo retângulo, um obtusângulo e um equiângulo e construa, com
compasso e régua, o incentro de cada um deles.
D- Circuncentro
Circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo.
Figura 104 – Incentro I do triângulo
ABC e perpendicular Ta ao lado BC .
Figura 105 – Circuncentro O
do triângulo ABC.
O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC.
Mas o que é mediatriz?
“Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto
médio.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 84)
Observe que a mediatriz é uma mediana que é perpendicular no ponto médio.
Mediatriz de um triângulo é a mediatriz de um lado do triângulo. A mediatriz não é
um segmento que tem que ter uma extremidade no vértice. Assim, num triângulo
determina-se a mediatriz de um segmento (lado do triângulo).
Construção da mediatriz de um segmento
Primeiramente veja a construção da mediatriz de um segmento para depois construir
as mediatrizes de um triângulo.
Retome o processo de construção do ponto médio, no capítulo 1, ou da mediana,
nesse capítulo. A diferença é que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento no
seu ponto médio. Veja:
Figura 106 – Segmento
AB .
Figura 107 – Segmento
AB e pontos P1 e P2.
Figura 108 – Mediatriz
1 2PP do segmento AB .
Repetindo esse procedimento encontra-se o circuncentro do triângulo. Certo?
Veja a construção do circuncentro.
Construa um triângulo ABC acutângulo e não equiângulo, trace o seu circuncentro
(O) e com a ponta seca do compasso no circuncentro O, abertura até o vértice A,
trace uma circunferência. Veja a figura a seguir.
Figura 112 - Circuncentro O do
triângulo ABC e circunferência
circunscrita.
1- Construir um
triângulo ABC
acutângulo e não
equiângulo e traçar a
mediatriz m1 do
segmento AB .
2- Traçar a mediatriz m2
do segmento BC ,
determinando o
circuncentro O.
3- O ponto O é o ponto
de encontro das
mediatrizes, ou seja, ele
é o circuncentro do
triângulo ABC.
Figura 109 – Triângulo
ABC e mediatriz m1.
Figura 110 – Triângulo
ABC e mediatrizes m1 e
m2.
Figura 111 –
Circuncentro O do
triângulo ABC.
O que você pode observar?
Procure responder antes de prosseguir. Depois coteje sua resposta com o
expresso a seguir.
O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo.
Ele equidista dos vértices do triângulo.
Agora é com você...
Desenhe um triângulo retângulo, um obtusângulo e um equiângulo e construa, com
compasso e régua, o circuncentro de cada um deles.
Sintetizando...
Como você fez a construção de cada um dos pontos notáveis do triângulo para os
triângulos acutângulo, equilátero ou equiângulo, retângulo e obtusângulo, preencha
a quadro a seguir indicando se esses pontos encontram-se: dentro do triângulo, fora
do triângulo, no vértice do triângulo ou sobre um de seus lados.
Quadro 3 – Síntese dos pontos notáveis de um triângulo.
Triângulo Pontos notáveis do
triângulo Onde se encontra o ponto notável
Acutângulo
Incentro
Baricentro
Circuncentro
Ortocentro
Equilátero Incentro
Equidista (o
prefixo equi
significa igual e o
sufixo –dista
significa
distância; tem a
mesma distância.
Baricentro
Circuncentro
Ortocentro
Retângulo
Incentro
Baricentro
Circuncentro
Ortocentro
Obtusângulo
Incentro
Baricentro
Circuncentro
Ortocentro
Conseguiu fazer?
Espero que sim! Confira as suas respostas com o expresso a seguir.
Nos triângulos acutângulo e equilátero, os pontos notáveis encontram-se dentro do
triângulo. No triângulo obtusângulo, o incentro e o baricentro encontram-se dentro do
triângulo e o circuncentro e o ortocentro encontram-se fora do triângulo. No triângulo
retângulo o incentro e o baricentro encontram-se dentro do triângulo, o circuncentro
encontra-se sobre a hipotenusa e o ortocentro encontra-se fora do triângulo.
Vale lembrar ainda que o baricentro divide a mediana na razão de dois para um a
partir do vértice do triângulo; que o incentro é o centro de uma circunferência inscrita
no triângulo; e, que o circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita no
triângulo.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 19 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se aos
pontos notáveis do triângulo.
Confira se você acertou no referencial de respostas.
Caso ainda tenha alguma dúvida, retome as atividades do capítulo.
2.3.12. Cruzando assuntos
Retomando os sólidos geométricos, você irá verificar como esses assuntos se
cruzam. Portanto, pegue-os, mais especificamente os poliedros convexos.
1. Quais os poliedros convexos que têm, pelo menos, uma face com a forma
triangular? Coloque o número de cada um, de acordo com as figuras coladas em
seu caderno - capítulo 1.
2. Dos poliedros convexos do item anterior, separe aqueles com os quais é possível
apoiar uma face sobre a mesa, de modo que todos os vértices, exceto um, fiquem
sobre a mesa. Coloque o número da figura de acordo com as figuras coladas em
seu caderno – volume 1.
3 Estas figuras recebem o nome de pirâmides. Em seu caderno, coloque esse
nome em cada uma dessas figuras.
4. Como são formadas as faces laterais das pirâmides?
5. Como pode ser formada a base da pirâmide?
6. Dar nomes às pirâmides de acordo com as bases. Em seu caderno, coloque o
nome em cada uma das pirâmides.
Coteje suas respostas com o expresso a seguir.
Ao responder as perguntas você deve ter verificado que as figuras de número 1, 2,
7, 9 e 13 possuem triângulos em suas faces.
Também deve ter verificado que são pirâmides apenas as figuras 3 e 13, pois uma
face fica sobre a mesa e todos os vértices, exceto um, também ficam sobre a mesa.
Deve ter notado que todas as faces laterais são triangulares e que a base pode ter a
forma de qualquer polígono. Assim, as pirâmides recebem nome de acordo com a
forma do polígono da base; figura 3, pirâmide triangular e figura 13 pirâmide
quadrangular.
2.4. Resumindo
Você estudou, nesse capítulo, ângulos e polígonos. Em relação aos ângulos,
verificou como se constrói um ângulo utilizando régua e transferidor, assim como a
sua bissetriz, que é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Fez operações com ângulos e classificou os ângulos em consecutivos (dois ângulos
nos quais os lados de um deles é também lado do outro); adjacentes (dois ângulos
que são consecutivos e possuem apenas um lado comum); retos (medida igual a
90°); agudos (medida menor que 90°); obtusos (medida maior que 90°); rasos ou de
meia volta (medida igual a 180°); opostos pelo vértice (os lados de um deles são as
semirretas opostas aos lados do outro); complementares (dois ângulos cuja soma é
igual a 90°) e suplementares (dois ângulos cuja soma é igual a 180°). Com o auxílio
do compasso, também fez o transporte de ângulos, fundamental para dividir um
segmento em partes iguais e para a construção de um polígono.
Ao classificar as retas em coplanares (que estão em um mesmo plano) e não
coplanares, verificou que as retas paralelas e as concorrentes são coplanares e que
as retas reversas, apesar de não se encontrarem não são coplanares, pois não
existe um plano que as contenha. Assim, as retas reversas são não coplanares.
Dando continuidade, classificou os ângulos formados pelo encontro de duas retas
com uma transversal em: colaterais e alternos, internos e externos e
correspondentes. Verificou que, quando as duas retas forem paralelas cortadas por
uma transversal, esses ângulos possuem algumas características. Os
correspondentes e os alternos são congruentes e os colaterais são suplementares.
Também verificou que os ângulos de lados respectivamente paralelos são
congruentes ou suplementares.
Em relação aos polígonos, verificou que o número de vértices de um polígono é
igual ao seu número de lados; que um polígono regular tem todos os lados
congruentes e todos os ângulos congruentes. Com o auxílio do compasso e da
régua, construiu um polígono utilizando o processo de Rinaldini. Determinou: a) o
número de diagonais de um polígono de n lados . 3
2
n nd
; b) a soma dos
ângulos internos de um polígono de n lados [Si = 180°(n - 2)]; c) a soma dos ângulos
externos de um polígono de n lados (Se = 360°); d) o ângulo interno de um polígono
de n lados 2 .180º
ii i
nSa a ou
n n
; e) o ângulo externo de um polígono de n
lados360ºe
e e
Sa ou a
n n
.
Com o auxílio do compasso e da régua, você construiu triângulos e em seguida
classificou-os quanto à medida dos lados em: escalenos (possuem os três lados
com medidas diferentes), isósceles (possuem dois lados com a mesma medida) e
equiláteros (que possuem os três lados com medidas diferentes) e; quanto à medida
dos ângulos em: acutângulos (possuem três ângulos agudos), obtusângulos
(possuem um ângulo obtuso), retângulos (possuem um ângulo reto), equiângulos
(possuem os três ângulos com a mesma medida). Em relação ao triângulo retângulo,
você também viu que os seus lados recebem nomes especiais: o maior lado
denomina-se hipotenusa e os outros dois lados catetos. Um teorema importante
para o assunto de triângulos também foi demonstrado, é o teorema do ângulo
externo de um triângulo. Este teorema diz que o ângulo externo de um triângulo é
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Ainda em relação aos triângulos, com o auxílio da régua e do compasso você
construiu os pontos notáveis de um triângulo: ortocentro, incentro, baricentro e
circuncentro. Em relação a essa construção você verificou que o ortocentro é o
ponto de encontro das alturas de um triângulo; o incentro é o ponto de encontro das
bissetrizes de um triângulo e é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo;
baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo e divide a mediana
na razão de dois para um a partir do vértice; circuncentro é o ponto de encontro das
mediatrizes de um triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita no
triângulo.
Por fim, você verificou onde este assunto, triângulos, se encontra com os sólidos
geométricos. Descobriu que as faces laterais de um pirâmide são triangulares, que a
base pode ser qualquer polígono e que se nomeia as pirâmides de acordo com o
polígono da base.
Ufa! É muito assunto, mas com certeza você, com a sua dedicação e empenho,
deve ter assimilado. Não deixe de consultar a bibliografia básica para aprofundar e
fazer mais atividades.
Bom estudo!
2.5. Referências
DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
Elementar: geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.
BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1995.
DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
Elementar: geometria espacial, posição e métrica. 5. ed. São Paulo: Atual, 1993. v.
10.
REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria
Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da
Unicamp, 2000.
2.6. Atividades propostas
Atividade 1
Com o auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo. Faça uma estimativa antes
de utilizar o transferidor e anote ao lado.
a) b)
Atividade 2
Com o auxílio da régua e do transferidor, desenhe e nomeie um ângulo de 60° e
150°.
Atividade 3
Simplifique as seguintes medidas:
a) 80°169’ b) 110° 58’240’’
Atividade 4
Resolva as operações a seguir:
E F
B
A C
D
a) 3º58’45’’ + 5º42’55’’ b) 7°32’ – 2°54’23’’
c) 10º12’17’’ x 6 d) 43°13’23’’ : 7
Atividade 5
Determine o valor de a e dos ângulos.
5.1)
5.2)
5.3) Coloque V para verdadeiro e F para falso.
a) (___) Se dois ângulos são consecutivos, então eles são adjacentes.
b) (___) Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são adjacentes.
c) (___) Se dois ângulos são adjacentes, então eles são consecutivos.
d) (___) Ângulos de medida 20°, 30° e 40° são complementares.
e) (___) Se dois ângulos são consecutivos, então eles são opostos pelo vértice.
f) (___) Se dois ângulos são complementares, então eles são adjacentes.
5.4) Calcule o complemento, o suplemento e o replemento dos ângulos:
a) 40° b) 80° c) um ângulo de medida x
5.5) Sabendo que um ângulo mede x, indique:
a) o triplo do seu complemento;
b) a terça parte do seu suplemento;
c) o complemento da sua quinta parte;
d) o dobro do suplemento da sua quarta parte.
5.6) Sabendo que um ângulo vale o triplo do seu suplemento, determine o seu valor.
5.7) Sabendo que o suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo
é igual ao triplo do complemento desse ângulo, o valor do ângulo é:
a) 90° b) 120° c) 80° d) 60° e) 100°
Atividade 6
Construa os ângulos a seguir e trace a sua bissetriz:
a) 75º b) 120º
Atividade 7
Como construir um ângulo AÔC de 22º30’ utilizando apenas régua e compasso?
Descreva o processo e faça a construção, passo a passo.
Atividade 8
Transporte os ângulos ^
R , ^
S , ^
T e ^
V para as posições ^
'R , ^
'S , ^
'T e ^
'V . A figura
representa uma pessoa correndo.
Atividade 9
Sabendo que AC é bissetriz do ângulo BÂD, determine o valor de x, BÂC, CÂD e
BÂD.
A 4x – 15°
2x – 25°
Atividade 10
De acordo com a figura, responda os itens abaixo, relativos à classificação de retas:
Atividade 11
Se as retas a e b são paralelas, determine o valor de x e y em cada caso:
a) b)
c)
a) as retas r e s são ____________________
b) as retas r e t são ____________________
c) as retas r e u são ____________________
d) as retas t e u são ____________________
e) as retas t e s são ____________________
f) as retas s e u são ____________________
t
r
s u
Atividade 12
Determine o valor de x, sabendo que / / / /OD OF e OC OF .
Atividade 13
Resolva os problemas a seguir.
a) Calcule o número de diagonais de um icoságono.
b) Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados.
Atividade 14
Resolva os problemas a seguir.
a) Calcule a soma dos ângulos internos de um dodecágono regular.
b) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1.260°?
c) A soma dos ângulos internos com a soma dos ângulos externos de um polígono
regular é igual a 2.700°. Determine o número de diagonais do polígono.
Atividade 15
Resolva as atividades a seguir.
a) O ângulo interno de um polígono é o triplo de seu ângulo interno. Determine o
número de diagonais do polígono.
b) Nas figuras abaixo ache o valor da incógnita, justificando sua resolução.
b.1) r // s b.2) OF e OC são bissetrizes
Atividade 16
Coloque V para verdadeiro e F para falso.
a) (___) Os triângulos isósceles são equiláteros.
b) (___) Todo triângulo retângulo é isósceles.
c) (___) Os triângulos isósceles são congruentes.
d) (___) Existem triângulos obtusângulos escaleno.
e) (___) Existem triângulos retângulo escaleno.
São verdadeiros os itens: d, e.
São falsos os itens: a, b, c.
Atividade 17
Determine o valor de x e y nos triângulos a seguir.
a) O é isósceles de base b) O é equilátero
Atividade 18
Determine os ângulos â e ê na figura a seguir.
Atividade 19
19.1. Coloque V para verdadeiro e F para falso.
a) (___) O incentro é o centro de uma circunferência que circunscreve o triângulo.
b) (___) O ortocentro encontra-se no vértice do triângulo retângulo.
A
B C
2x - 14 22 –
4x
10
A
B C
3x - 10 y – 25
x + 30
110
° 140
°
a 50° e
130
°
c) (___) O incentro é sempre interno ao triângulo.
d) (___) O baricentro divide a mediana na razão de 2 para 1 a partir do vértice do
triângulo.
e) (___) O circuncentro encontra-se no vértice do triângulo.
19.2. Sabendo que M é o baricentro do triângulo ABC, determine o valor de a, b e c.
2.8. Referencial de Resposta das Atividades
Atividade 1
a) 30º b) 130º
Atividade 2
CÂB = 60° DÊF = 150°
8
5
14
a b
c
D
E F
Atividade 3
a) 80°169’ = 80° + 60’ + 60’ + 49’ = 80° + 1° + 1° + 49’ = 82°49’
b) 110° 58’240’’ = 110°+58’+60’’+60’’+60’’ = 110°+58’+1’+1’+1’ = 110°61’
110°61’ = 110° + 60’ + 1’ = 110° + 1° + 1’ = 111°1’
Atividade 4
a) 3º58’45’’ + 5º42’55’’ = 9º41’40’’ b) 7°32’ – 2°54’23’’ = 4° 37’ 37’’
Dispositivo prático Dispositivo prático
3° 58’ 45’’ 7°32’ 32’=31’60’’
+ 5° 42’ 55’’ - 2°54’23’’
8° 100’ 100’’ 60’’ = 1’
+ 1’ 60’’ - Reescrevendo, tem-se:
101’ 40’’ 7° 31’ 60’’ 7° = 6°60’ mais 31’, totalizará
6°91’
8° 101’ 40’’ 60’ = 1º - 2° 54’ 23’’
+ 1° 60’ -
9° 41’ 40’’ Reescrevendo novamente, tem-se:
6° 91’ 60’’
- 2° 54’ 23’’
4° 37’ 37’’
c) 10º12’17’’ x 6 = 61º13’42’’ d) 43°13’23’’ : 7 =
Dispositivo prático Dispositivo prático
10º 12’ 17’’ 43º 13’ 23’’ 7
x 6 - 42º 6º10’29’’
60º 72’ 102’’ 102’’ = 1’42’’ 01º 13’
+ 1’ 60’’ - +60’
73’ 42’’ 1º 73’
60º 73’ 42’’ 73’ = 1º13’ - 7’
+ 1º -60’ 03’
61º 13’ - 0
61º 13’ 42’’ 03’ 23’’
+180’’
203’’
- 14’’
063’’
- 63
00
Atividade 5
5.1)
^ ^
COE DOF , pois são o.p.v.
Assim, 3a – 10° = a + 50° 3a – a = 50° + 10° 2a = 60° a = 30°
CÔE = 3a – 10° CÔE = 3.30°a – 10° CÔE = 90° – 10° CÔE = 80°
DÔF = a + 50° DÔF = 30° + 50° DÔF = 80°
O valor de a é 30°, CÔE = 80° e DÔF = 80°.
5.2)
Os ângulos TÔS e SÔV são complementares.
Assim, TÔS + SÔV = 90° 2a + 15° + a + 45° = 90° 3a + 60° = 90°
3a = 90° - 60° 3a = 30° a = 10°
TÔS = 2a + 15° TÔS = 2.10° + 15° TÔS = 20° + 15° TÔS = 35°
SÔV = a + 45° SÔV = 10° + 45° SÔV = 55°
O valor de a é 10°, TÔS = 35° e SÔV = 55°
5.3)
São verdadeiros os itens: c
São falsos os itens: a, b, c, d, f
5.4)
O complemento de 40° é 50°, o suplemento é 140° e o replemento é 320°.
O complemento de 80° é 10°, o suplemento é 100° e o replemento é 280°.
O complemento de um ângulo de medida x é 90° - x, o suplemento é 180° - x e o
replemento é 360° - x.
5.5)
a) 3.(90° - x) b) 180
3
x
c) 90° - 5
x d) 2. 180
4
x
5.6)
x = 3.(180° - x) x = 540° - 3x x + 3x = 540 4x = 540 x = 135°
O valor do ângulo é 135°.
5.7)
180 3. 90 3. 902
xx
3180 270 270 3
2
xx
3180 270 270 3
2
xx
390 270 3
2
xx
33 270 90
2
xx
33 360
2
xx
3 6 720
2 2
x x
9x = 720° x = 80°
Alternativa correta: letra c.
Atividade 6
a) b)
Atividade 7
1- Construa um ângulo de 90º e trace a sua bissetriz.
2- Trace a bissetriz do ângulo determinado pela primeira bissetriz.
Atividade 8
Atividade 9
Se AC é bissetriz do ângulo BÂD, então
^ ^
B AC C AD
Assim, 4x – 15° = 2x + 25 4x – 2x = 25° + 15° 2x = 40° x = 20°
BÂC = 4x – 15° BÂC = 4.20° – 15° BÂC = 80° – 15° BÂC = 65°
CÂD = 2x + 25° CÂD = 2.20° + 25° CÂD = 40° + 25° CÂD = 65°
BÂD = BÂC + CÂD BÂD = 65° + 65° BÂD = 130°
Assim, o valor de x, BÂC, CÂD e BÂD são respectivamente, 20°, 65°, 65°, 130°.
Atividade 10
a) paralelas distintas
b) concorrentes
c) paralelas distintas
d) reversas
e) reversas
f) paralelas distintas
Atividade 11
a) 3x – 20° e 130° são ângulos alternos internos.
Como os ângulos alternos internos, então:
3x – 20° = 130° 3x = 130° + 20° 3x = 150° x = 50°
Assim, o valor de x é 50°.
b)
V’
1) 2x + 70° e 5x + 10° são ângulos o.p.v., então 2x + 70° = 5x + 10°
2) 2y e 2x + 70° são ângulos correspondentes, então 2y = 2x + 70°
3) 2y e 5x + 10° são ângulos alternos externos, então 2y = 5x + 10°
Utilizando o item 1, tem-se:
5x + 10° = 2x + 70° 5x – 2x = 70° - 10° 3x = 60° x = 20°
Utilizando o item 2 e substituindo o valor de x, tem-se:
2y = 2x + 70° 2y = 2.20° + 70° 2y = 40° + 70° 2y = 110° y = 55°
Se você utilizar o item 3 e substituir o valor de x, também encontrará o mesmo valor
para y. Acompanhe!
2y = 5x + 10° 2y = 5.20° + 10° 2y = 100° + 10° 2y = 100° y = 55°
Assim, o valor de x e y são respectivamente, 20° e 55°
c) 4x + 50° e 3x – 10° são ângulos colaterais internos, então
4x + 50° + 3x – 10° = 180° 7x + 40° = 180° 7x = 180° - 40°
7x = 140° x = 20°
Assim, o valor de x é 20°
Atividade 12
2x+80 e 3x+20° são ângulos de lados paralelos e nesse caso eles são
suplementares. Então:
2x+80° + 3x+20° = 180° 5x+100° = 180° 5x = 80° x = 16°
O valor de x é 16°.
Atividade 13
a) Icoságono n = 20
d= ?
. 3 20
2
n nd d
. 20 3
2
10. 20 3 10.17 170d d d
O número de diagonais de um icoságono é 170.
b) n=?
d = 2n
2 2 2. 3 . 3
2 4 3 3 4 0 7 02 2
( 7) 0 0 7
n n n nd n n n n n n n n n
n n n ou n
O polígono é o heptágono.
Atividade 14
a) Si = 180°.(n – 2) Si = 180°.(12 – 2) Si = 180°.10 Si = 1800°
A soma dos ângulos internos do dodecágono regular 1 800°.
b) 1260° = 180°.(n – 2) 1260°/180 = n – 2 7 = n – 2 n = 7 + 2 n = 9
O polígono é o eneágono.
c) Si + Se = 2700°
d=?
Se Si = 180°.(n – 2) e Se = 360° substituindo em Si = 180°.(n – 2) tem-se:
180°.(n – 2) + 360° = 2700° 180n – 360° + 360° = 2700° 180n = 2700 n = 15
Para achar o número de diagonais, é só substituir na fórmula: . 3
2
n nd
. 3 15. 15 3 15.12
2 2
n nd d d
215.6 90d d
O número de diagonais do polígono é 90.
Atividade 15
a)
180 . 2 3603. 3. 180i e
na a
n n
. 2 3.360n 2 3.2
2 6 8
n
n n
. 3 8
2
n nd d
. 8 3
2
4.5 20d d
O número de diagonais do polígono é 20.
b.1)
Prolongando os lados e nomeando os ângulos tem-se:
1 100º e ^
b são suplementares, então 100° + b = 180° b = 180° – 100° b =
80°
2 ^
d e 40º são suplementares, então d + 40° = 180° d = 140°
3 como r // s, ^
c e 60º são colaterais internos, que são suplementares, então c +
60° = 180° c = 120º.
4 Assim, x + d + c + b = 360° pela soma dos ângulos internos de um
quadrilátero.
5 Substituindo os itens 1, 2 e 3 no item 4, temos:
x + 140° + 120° + 80° = 360e x + 340° = 360° x = 360° – 340° x = 20°
O valor de x é 20°.
b.2) Se OC é bissetriz, o ângulo C foi dividido em dois ângulos congruentes. Cada
um desses ângulos será nomeado de x. O mesmo ocorre com OF , no qual os
ângulos serão nomeados de s. O ângulo FÔC será denominado de a.
1) 30° e â são suplementares, então 30° + a = 180° a=180° – 30°a =150°
2) EDC^
é um ângulo reto, então EDC^
= 90°
3) Observando o pentágono FEDCO, tem-se que a soma de seus ângulos internos é
540º.
Si = 180°(n - 2) Si = 180°(5 - 2) Si = 180°.3 Si = 540°
4) Assim, s + a + x + 90° + 120° = 540° s + 150° + x + 210° = 540°
s + x + 360° = 540° s + x = 180°
5) Observando o hexágono ABCDEF, tem-se que a soma de seus ângulos internos
é 720º.
Si = 180°(n - 2) Si = 180°(6 - 2) Si = 180°.4 Si = 720°
6) Assim, y + 50° + y + x +x + 90° + 120° + s + s = 720°
2y + 2x + 2s + 260° = 720° 2y + 2x +2s = 720° - 260° 2y + 2x +2s = 460°
2(y + x + s) = 460° y + x + s = 460°/2 y + x + s = 230°
Substituindo o valor de s + x do item 4 no item 6 temos:
y + x + s = 230° y + 180° = 230° y = 230° – 180° y = 50°
O valor de y é 50°.
a
Atividade 16
São verdadeiros os itens: d, e.
São falsos os itens: a, b, c.
Atividade 17
a) Se o é isósceles de base , então . Assim, 22 – 4x = 2x – 14
2x + 4x = 22 + 14 6x = 36 x = 6
O valor de x é 6.
b) Se o é equilátero, então . Assim, y – 25= 3x -10= x + 30 3x
– 10 = x + 30 3x – x = 30 + 10 2x = 40 x = 20
Achando o valor de y, tem-se:
y – 25 = 3x – 10 y – 25 = 3.20 – 10 y – 25 = 60 – 10 y = 50 + 25 y =
75
O valor de y é 75.
Atividade 18
1) Pelo teorema do ângulo externo: 140° = 110° + â â = 30°
110
° 140
°
a 50° e
130
° x y
2) 140° e x são suplementares, portanto: 140° + x = 180° x = 40°
3) 130° e y são suplementares, portanto: 130° + y = 180° y = 50°
4) Pela soma dos ângulos internos de um triângulo:
x + â + 50° + ê + y = 180° 40° + 30° + 50° + ê + 50° = 180°
170° + ê = 180° ê = 10°
Assim, a medida dos ângulos â e ê são, respectivamente, 30° e 10°.
Atividade 19
19.1. São verdadeiros os seguintes itens: b, c, d
São falsos os seguintes itens: a,
19.2. Sabendo que o baricentro divide a mediana na razão de 2 para 1 a partir do
vértice tem-se:
14 22 14 7
1b b
b
8 22 8 4
1c c
c
210
5 1
aa
Capítulo 3 – Congruência
Capítulo 3 – Congruência
3.1. Apresentação
Seja bem-vindo ao estudo de congruência!
No capítulo 2, você estudou - Ângulos e polígonos. Certo?
Neste capítulo, você utilizará os conceitos estudados para justificar os novos conceitos, por
isso se tiver alguma dúvida retome o assunto já estudado.
Mas, o que é congruência!?
Você já estudou que ser congruente significa ter a mesma medida. Será que é isso?
O que espero de VOCÊ!
Espero que, no final deste capítulo, você seja capaz de:
- identificar os casos de congruência nas situações propostas;
- resolver problemas que envolvem congruência;
- utilizar, corretamente, a linguagem matemática referente ao conteúdo estudado.
Como foi organizado o capítulo
Os assuntos abordados nesse capítulo são: congruência de figuras, de polígonos e em
especial a congruência de triângulos. Para o estudo, você precisa de tesoura, das figuras dos
anexos, do compasso, da régua, do transferidor e de folhas sulfite.
Como esse curso é de Formação de Professores, adotou-se a abordagem intuitiva e
metodológica em todo capítulo, sempre dando ênfase ao processo de construção dos
conceitos, razão pela qual a Geometria está inserida na unidade temática: Conceitos
Matemáticos Fundamentais.
Você também encontrará uma abordagem axiomática, pois o assunto envolve
demonstrações. Para facilitar, serão feitas as afirmações, para que você faça as justificativas.
Para você refletir!
Antes de prosseguir na leitura do texto, procure responder à pergunta:
O que vem a ser Congruência, ou melhor, uma situação de congruência?
Coloque a resposta no Trabalho de Construção de Aprendizagem –
TCA.
Ao final do estudo deste capítulo, volte ao que escreveu anteriormente e, se
for o caso, reescreva, novamente, em seu TCA.
Essa forma de trabalho tem como intuito desenvolver a capacidade de argumentar,
justificar, deduzir, essenciais a um professor de matemática.
Bom estudo!
3.2. Congruência de figuras
Este é o primeiro assunto que abre seu estudo!
Ok! Agora proponho que vivencie o processo de realização de uma atividade. Confirme o
que respondeu anteriormente ou descubra o conceito que envolve essa questão.
Vamos vivenciar o processo! Veja o que proponho.
Primeiramente, recorte as figuras do Anexo 1.
Sim, faça isso! Só depois, continue.
Ok? Recortou as figuras?
Pois bem! Agora, observe as figuras dispostas a seguir. Superponha as figuras
recortadas sobre as que estão representadas.
Você saberia responder:
Quando duas ou mais figuras são congruentes?
Superpor figuras
significa colocar
uma sobre a
outra.
Superpôs?
Ok!
Examine, agora, quais figuras coincidem e quais não coincidem.
Figura 1 - Figuras planas quaisquer.
Muito bem! Enumere, em seu caderno, os pares de figuras congruentes que você encontrou.
Você deve ter encontrado que, com exceção da figura K, as demais duplas coincidem.
O que você pode concluir a respeito?
Será que o que você escreveu anteriormente corresponde à sua resposta, quando perguntei
no início do estudo desse assunto: Quando duas ou mais figuras são congruentes?
Veja se sua conclusão confere com esta:
Fechando um pouco mais o grupo de figuras, agora você irá estudar a congruência de
polígonos.
Pensando...
Será que, para verificar a congruência, toda vez será preciso recortar todas as figuras e
sobrepor?
Não há outra forma de verificar a congruência?
Duas ou mais figuras são congruentes quando, por
superposição, elas coincidem.
O símbolo de congruência é
Verificando...
3.3. Congruência de polígonos
Faça o que proponho a seguir!
Vá ao anexo 2! Ok?
Pois bem! Recorte as figuras desse anexo 4.
Sim, pode recortar com calma, procurando acertar o recorte.
Agora, examine as figuras a seguir, e superponha as figuras que você recortou sobre as que
estão representadas, observando quais as que coincidem.
Figura 2 - Polígonos quaisquer.
Muito bem! Agora, enumere os pares de polígonos congruentes que você encontrou.
Você deve ter encontrado que os seguintes polígonos coincidiram: A e A, B e B, C e C, D e D,
E e E, F e F, G e G, H e H, I e I, J e J, L e L, M e M.
Qual a sua conclusão?
Você já sabe!? Veja se confere, lendo a conclusão, a seguir.
Observe o exemplo:
Dois ou mais polígonos são congruentes quando é possível
estabelecer uma correspondência biunívoca (um a um) entre
seus vértices, de modo que lados e ângulos correspondentes ou
homólogos sejam congruentes.
Homólogos (homo significa
mesmo, logos significa lugar),
então, dois lados de um polígono
são homólogos quando cada um
deles está em um dos polígonos e
ambos são opostos a ângulos
congruentes. São lados que estão
opostos a ângulos de mesma
medida. Também chamamos os
lados homólogos de lados
correspondentes. Assim como
ângulos homólogos ou
correspondentes são aqueles
opostos a lados congruentes.
Figura 4 – Hexágono
A’B’C’D’E’F’.
B’
D’
F’
E’
C’
A’
'
'
'
'
'
'
FeF
EeE
DeD
CeC
BeB
AeA
''
''
''
''
''
''
FAAF
FEEF
EDDE
DCCD
CBBC
BAAB
^^
^^
^^
^^
^^
'
'
'
'
'
EE
DD
CC
BB
AA
'''''' FEDCBAABCDEF
B
D
F
E
C
A
Figura 3 – Hexágono
ABCDEF.
Você estudou, no capítulo 2, que os triângulos são polígonos que possuem algumas
características especiais.
Será que, para verificar a congruência de triângulos, também é necessário identificar se
todos os ângulos e todos os lados homólogos são congruentes?
Para responder, prossiga na leitura.
3.4. Congruência de triângulos
A partir das vivências realizadas nas atividades anteriores ou de sua experiência enquanto
aluno na Educação Básica, você saberia responder:
Muito bem! No anexo 3, recorte as figuras e, da mesma forma que você fez nos itens
anteriormente, superponha as figuras que você recortou sobre as que estão representadas,
verificando se são congruentes.
Quando dois ou mais triângulos são congruentes?
Muito bem! Enumere os pares de triângulos congruentes que você encontrou.
Em seguida, escreva os vértices, os ângulos e os lados que se corresponderam na
superposição feita.
Procure responder antes de verificar se acertou.
Respondeu? Espero que sim!
Você deve ter encontrado que não há nenhuma figura congruente à figura 7, as demais
apresentam congruência.
Acertou? Se não, sobreponha os triângulos novamente.
Os pares de triângulos congruentes são: 1 e 6, 2 e 4, 3 e 5.
Os vértices, ângulos e lados que se correspondem em cada dupla são:
De 1 e 6:
- Vértices - GCHBFA ,,
- Ângulos –^^^^^^
,, GCHBFA
- Lados - HGBCFGACFHAB ,,
Figura 5 - Triângulos quaisquer.
De 2 e 4, tem-se:
- Vértices - OLQNPM ,,
- Ângulos –^^^^^^
,, OLQNPM
- Lados - KJSRIJTRIKTS ,,
De 3 e 5, tem-se:
- Vértices RJSKTI ,,
- Ângulos –^^^^^^
,, RJSKTI
- Lados - POLMQPNMQONL ,,
A sua resposta confere com essa? Se não, sobreponha os triângulos novamente.
Escrevendo a congruência na ordem da correspondência dos vértices:
De 1 e 6, tem-se: FHGABC
De 2 e 4, tem-se: OPQLMN
De 3 e 5, tem-se: TRSIJK
A qual conclusão você chegou?
Agora, veja se o que você escreveu, anteriormente, confere com a conclusão, a seguir.
Atenção!
É importante observar a ordem dos elementos nos casos de congruência de triângulos, ou
seja, ao escrever que os triângulos são congruentes, obedecer a correspondência de cada
elemento.
Por exemplo: se ÂÊ, ÎÔ, Û^
C , você deve escrever que AIU EOC, na ordem da
correspondência de cada elemento.
Assim, você pode observar que, de acordo com a conclusão anterior, as condições que
devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes são seis: três entre lados e
três entre ângulos.
Pensando...
Se o triângulo é uma figura especial, é preciso verificar todas essas condições para que eles
sejam ou não congruentes?
Ou, será que existem outras condições para que dois triângulos sejam congruentes?
Há condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes e estas recebem o nome
de casos ou critérios de congruência de triângulos. Prossiga na leitura!
3.5. Determinação dos casos de congruência de triângulos
Para compreender melhor este assunto, faça o proposto, a seguir. Você precisará do
compasso, da régua, do transferidor, de folha e da tesoura. Portanto, pegue esse material!
Dois ou mais triângulos são congruentes, se for possível
estabelecer uma correspondência biunívoca (um a um) entre
seus vértices, de modo que lados e ângulos correspondentes
sejam congruentes.
ITENS CONCLUSÃO
1- Dado um ângulo.
2- Dado um lado.
3- Dados dois lados.
4- Dados dois ângulos
A tarefa é individual ou com seus colegas!
Construa os triângulos que estão sendo pedidos, em cada um dos
10 itens que se seguem e preencha a conclusão indicada ao lado
de cada um deles.
a- Construa um triângulo com um ângulo  = 50°.
b- Construa um triângulo com um ângulo Ê = 50°.
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são
congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
um ângulo congruente, eles
_______ necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo com um lado AB= 5 cm.
b- Construa um triângulo com um lado DE= 5 cm.
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são
congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
um lado congruente, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo ABC com um lado AB= 5 cm e AC=6 cm
b- Construa um triângulo DEF com um lado DE= 5 cm e DF=6 cm
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
dois lados respectivamente
congruentes, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo ABC dados os ângulos
º50^
A e º60^
B .
b- Construa um triângulo DEF dados os ângulos
º50^
D e º60^
E .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
dois ângulos respectivamente
congruentes, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
5- Dados um lado e um ângulo adjacente a esse lado
6- Dados três ângulos.
7- Dados três lados.
8- Dados dois lados e um ângulo entre eles.
a- Construa um triângulo ABC, cujos ângulos medem
º40^
A , º60^
B e º80^
C .
b- Construa um triângulo DEF, cujos ângulos medem
º40^
D , º60^
E e º80^
F .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
três ângulos respectivamente
congruentes, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo ABC cujos lados medem AB=5 cm, AC=6 cm e BC=4 cm.
b- Construa um triângulo DEF cujos lados medem DE=5 cm, DF=6 cm e EF=4 cm.
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
três lados respectivamente
congruentes, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo ABC com as seguintes
medidas AB=5 cm, AC=6 cm e º60^
A .
b- Construa um triângulo DEF com as seguintes
medidas DE=5 cm, DF=6 cm e º60^
D .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
dois lados e um ângulo entre eles
respectivamente congruentes, eles
_______
são ou não
necessariamente congruentes.
a- Construa um triângulo ABC com um lado AB=5 cm
e um ângulo º60^
B .
b- Construa um triângulo DEF com um lado DE=5 cm e
um ângulo º60^
E .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
um lado em ângulo adjacente a
esse lado, respectivamente
congruentes, eles _______
necessariamente
são ou não
congruentes.
9- Dados um lado e dois ângulos adjacentes a ele
10- Dados um lado, um ângulo adjacente a ele e um ângulo oposto a ele
Muito bem! Agora, que você concluiu os itens anteriores, pare e pense:
O que você teve a oportunidade de verificar?
Veja se o que você pensou, confere com a resposta, a seguir:
Foi isso mesmo que você teve oportunidade de verificar!? Se não foi, volte e refaça os itens
solicitados.
Sintetizando
a- Construa um triângulo ABC com as seguintes
medidas AB=5 cm, º60^
A e º40^
B .
b- Construa um triângulo DEF com as seguintes
medidas DE=5 cm, º60^
D e º40^
E .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
um lado e dois ângulos adjacentes a
ele respectivamente congruentes,
eles _______ necessariamente
são ou não
congruentes.
a- Construa um triângulo ABC com as seguintes
medidas AB=5 cm, º60^
A e º70^
C .
b- Construa um triângulo DEF com as seguintes
medidas DE=5 cm, º60^
D e º70^
F .
c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.
Se dois ou mais triângulos possuem
um lado, um ângulo adjacente e um
ângulo oposto a esse lado,
respectivamente congruentes, eles
_______
são ou não
necessariamente congruentes.
Os triângulos construídos nos itens 7, 8, 9 e 10 são
sempre congruentes.
Você acabou de verificar os 4 casos de congruência de triângulos:
1º caso: na atividade 7, caso LLL, três lados respectivamente congruentes;
2º caso: na atividade 8, caso LAL, dois lados e um ângulo compreendido entre eles
respectivamente congruentes;
3º caso: na atividade 9, caso ALA, um lado e dois ângulos adjacentes a eles respectivamente
congruentes;
4º caso: na atividade 10, caso LAAO, um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a
esse lado, respectivamente congruentes;
Importante...
A congruência de triângulos satisfaz as seguintes propriedades:
1. Reflexiva
ABCABC
Todo triângulo é congruente a
ele mesmo.
2. Simétrica
ABCDEFDEFABC
Se um triângulo é congruente a
um outro triângulo, então este
é congruente ao primeiro.
A
B C
Figura 6 – Triângulo
ABC 1
D
E F
Figura 8 – Triângulo
DEF 1
A
B C
Figura 7 – Triângulo
ABC 2
3. Transitiva
GHIABC
GHIDEFeDEFABC
Se um triângulo é congruente a
um segundo triângulo e este é
congruente a um terceiro
triângulo, então o primeiro é
congruente ao terceiro.
Parada Obrigatória
Responda às atividades 1, 2 e 3, que estão no final deste capítulo. As atividades são sobre os
casos de congruência de triângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, ou na bibliografia básica 2, capítulo 4, dentre
outros.
Até o momento, a abordagem utilizada foi a da construção dos conceitos a partir de
materiais pedagógicos. Nas próximas leituras, será enunciado um dos casos de congruência
como postulado e depois você irá acompanhar a demonstração dos demais casos, portanto a
abordagem será axiomática. Acompanhe atentamente!
3.5.1. 1º caso de congruência - LAL– postulado
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido,
então eles são congruentes.
G
H I
Figura 11 –
Triângulo
GHI
D
E F
Figura 10 –
Triângulo
DEF 2
Figura 9 –
Triângulo
ABC 3
A
B C
Observe, a seguir.
Assim,
Sintetizando...
Esquema:
^ ^
' '
'
' '
AB A B
A A
AC A C
''' CBAABCLAL
^ ^
^ ^
'
' '
'
B B
BC B C
C C
3.5.2. 2º caso de congruência - ALA
Este postulado indica que se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes, dois lados e um ângulo compreendido entre eles, então o
outro lado e os outros dois ângulos também são ordenadamente
congruentes.
LLADOCAAC
LALCASOAÂNGULOAA
LLADOBAAB
''
'
''
^^
C B
A
B’
BCDC
BD
ABADa
^^
)
B’
C’
C’
A’
Figura 12 – Triângulo ABC 4 Figura 13 – Triângulo A’B’C’ 1
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele
adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
Observe, com atenção, a demonstração, a seguir.
No triângulo ABC, os ângulos adjacentes ao lado BC são ^
B e ^
C e, no triângulo A’B’C’, os
ângulos adjacentes ao lado ''CB são '^
B e '^
C .
Hipótese Tese
Pelo Postulado do transporte de segmentos (vide capítulo 2), obtem-se na semi-reta '' AB
um ponto X tal que BAXB ' .
^ ^^ ^
' '
' ' ' ' '
'
LAL
BC B C por hipótese
B B por hipótese ABC XB C B C X BCA
BA B X pelo postulado do transporte
de segmentos
C B
A
C’ B’
A’
X
Figura 14 - Triângulo ABC 5.
''' CBAABC
^ ^
^ ^
'
' '
'
B B
BC B C
C C
Figura 15 - Triângulo A’B’C’ 2.
Por hipótese ^^
''' ACBACB ACBXCB^^
'' (propriedade transitiva da congruência).
Usando o postulado do transporte de segmentos, tem-se que ' ', ' , ' 'B A B X e C A
interceptam-se num único ponto X, que é coincidente com o ponto A’.
Como XBAB ''' e BAXB ' ’, decorre que BAAB ''
Então: ''')'',',''(^^
CBAABCCBBCBBABBALAL
Sintetizando...
Esquema:
Para provar o 3º caso de congruência, será preciso provar o teorema do triângulo isósceles.
Para isso, serão feitas as afirmações e você irá fazer as justificativas. Isso mesmo! Você vai
justificar cada afirmação feita a partir dos teoremas, postulados, definições já vistos.
A- Teorema: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Passando para a forma “Se...p...então...q...”, temos:
Este teorema indica que se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então o outro
ângulo e os outros dois lados também são ordenadamente congruentes.
^ ^
^ ^
'
' '
'
B B
BC B C
C C
''' CBAABCALA
^ ^
' '
'
' '
AB A B
A A
AC A C
Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
Hipótese: um triângulo é isósceles Desenho
Tese: os ângulos da base são congruentes
De acordo com o desenho, tem-se:
Hipótese Tese
.baseaéBC
ACABisóscelesABC
^^
CB
Tome M, ponto médio como de BC e trace a mediana AM . Considere
os triângulos ABM e ACM e justifique as afirmações a seguir:
Afirmação Justificativa
1. ACAB 1.
2. MCBM 2.
3. AMAM 3.
4. ACMABM 4.
5. ^^
CB 5.
C B
A
Figura 16 – Triângulo
isósceles ABC 1.
C B
A
M
Figura 17– Triângulo
isósceles ABC 2.
Desenho
Conseguiu justificar? Se não, acompanhe atentamente as justificativas a seguir.
No item 1, ACAB , pela hipótese. Veja!
No item 2, MCBM , pois M é ponto médio de BC .
No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LLL (um lado em cada um dos itens 1,
2 e 3).
No item 5, ^^
CB , pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em triângulos
congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.
Viu? Não é difícil, é preciso observar o que está sendo dado (hipótese) e utilizar os
conhecimentos anteriores para construir o raciocínio lógico dedutivo.
Agora, você irá provar a recíproca do teorema do triângulo isósceles.
B- Teorema: Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.
Hipótese: um triângulo tem dois ângulos congruentes Desenho
Tese: ele é isósceles.
De acordo com o desenho, tem-se:
Hipótese Tese
^ ^
ABC
B C
ACABisóscelesABC
Figura 18 – Triângulo
isósceles ABC 3.
C B
A
Figura 19 –
Triângulo
Traçar AM , que é a bissetriz do ângulo A.
Afirmação Justificativa
1. ^
2
^
1 AA 1.
2. ^ ^
B C 2.
3. AMAM 3.
4. AMCAMB 4.
5. ACAB 5.
Você conseguiu fazer as justificativas? Espero que sim! Caso tenha alguma dúvida,
acompanhe as justificativas, a seguir.
No item 1, ^
2
^
1 AA , pois AM é bissetriz do ângulo A.
No item 2, ^ ^
B C , por hipótese. Veja!
No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos
No item 4, AMCAMB , pelo caso de congruência LAAO.
No item 5, ACAB , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes, ou seja, são lados que se correspondem.
Já que você fez a demonstração do teorema do triângulo isósceles, a seguir há mais um
teorema sobre esse triângulo, relativo à mediana, altura e bissetriz do mesmo. Faça
atentamente!
C- Teorema: Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz
relativa à base.
Passando para a forma “Se...p...então...q...”, temos:
Se um triângulo é isósceles, então a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à
base.
Hipótese: um triângulo é isósceles Desenho
Tese: a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à base
De acordo com o desenho, tem-se:
Hipótese Tese
.
ABC isósceles AB AC
BC é a base
AM é mediana
bissetrizealturaéAM
Afirmação Justificativa
1. ACAB 1.
2. MCBM 2.
3. AMAM 3.
4. ACMABM 4.
5. AM é bissetriz 5.
6. AM é altura 6.
C B
A
M
Figura 20 – Triângulo
isósceles ABC 5.
Conseguiu? Agora foi mais fácil, com certeza, pois a habilidade já está sendo aprimorada.
Caso ainda tenha alguma dúvida, acompanhe as justificativas, a seguir.
No item 1, ACAB , por hipótese. Veja!
No item 2, MCBM , pois AM é mediana.
No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LLL.
No item 5, AM é bissetriz, pois ^
2
^
1 AA .
No item 6, AM é altura, pois ^
2
^
1 MM e eles são suplementares, então cada ângulo mede
90°.
Assim, pelo item 7, AM é bissetriz e altura .
Acertou? As suas justificativas foram iguais ou parecidas com essas? Se não, tente fazer
novamente. É um processo e você está iniciando, ora com acertos, ora com erros.
Agora, vamos provar a recíproca desse teorema. Prepare e concentre, pois essa
demonstração será dividida em duas partes!
7. alturaebissetrizéAM
C B
A
^
1
M
^
2
^
2 ^
1
Figura 21 – Triângulo
isósceles ABC 6
D- Teorema: Se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana
ou a altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.
De acordo com o desenho, tem-se: Desenhos
Hipótese Tese
1ª PARTE
Afirmação Justificativa
1. ^
2
^
1 AA 1.
2. ^
2
^
1 MM 2.
3. AMAM 3.
4. ACMABM 4.
5. ACAB 5.
2ª PARTE
Afirmação Justificativa
^
^
1ª parte
2ª parte
AM é bissetriz de A
AM é altura relativa a BC
AM é bissetriz de A
AM é mediana relativa a BC
ACABisóscelesABC
Figura 22 – Triângulo
isósceles ABC 7.
M C B
A
2 1
Conseguiu? Esse foi mais trabalhoso! Espero que você tenha conseguido fazer. Para conferir,
acompanhe as justificativas, a seguir.
Na primeira parte, item 1, ^
2
^
1 AA , pois, por hipótese, AM é bissetriz.
No item 2, ^
2
^
1 MM , pois, por hipótese, AM é altura.
No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência ALA.
No item 5, ACAB , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes, ou seja, são lados que se correspondem.
Na segunda parte, item 1, ^
2
^
1 AA , pois, por hipótese, AM é bissetriz.
No item 2, MCBM , pois, por hipótese, AM é mediana.
No item 3, ^
2
^
1 MM , pois, por hipótese, AM é altura.
No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LAAO.
No item 5, ACAB , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes, ou seja, são lados que se correspondem.
1. ^
2
^
1 AA 1.
2. MCBM 2.
3. ^
2
^
1 MM 3.
4. ACMABM 4.
5. ACAB 5.
C B 1
2 1
2
M
A
Figura 23– Triângulo
isósceles ABC 8
Resumindo, sobre o triângulo isósceles você demonstrou os seguintes teoremas:
1- os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes;
2- se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles;
3- em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à
base;
4- se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana ou a
altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.
Parada Obrigatória
Responda a atividade 4, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os teoremas do
triângulo isósceles.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.
Agora, é possível terminar as demonstrações dos casos de congruência. Acompanhe.
3.5.3. 3º caso de congruência - LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são
congruentes.
Veja a demonstração, a seguir:
Hipótese Tese
Usando o postulado do transporte de ângulos e do transporte de segmentos, será
construído um triângulo A’B’X (Figura 26). Em seguida, será provado que o XBA '' é
congruente ao ABC e depois que o XBA '' é congruente ao ''' CBA .
1) Provando que ' 'ABC A B X
Pelo postulado do transporte de ângulos (capítulo 2) e do transporte de segmentos (capítulo
1), obtemos um ponto X, tal que:
''' CBAABC
' '
' '
' '
AB A B
AC A C
BC B C
C
B A
C’
B’ A’
Figura 24 – Triângulo ABC 6. Figura 25 – Triângulo A’B’C’ 3.
)(''
'
''^^
hipóteseCAAC
ACXA
BACBAX
Figura 26 – Triângulos A’B’C’ e A’B’X.
C’
B’ A’
X x
D
Logo, pode-se concluir que ''' CAXA , pela propriedade transitiva.
Seja DBAXC ''' , assim:
2) Provando que o XBACBA '''''
''''''''''^^
CXAXCAXCbasedeisósceleséXCACAXASe , pelo
teorema do triângulo isósceles.
''''''''''^^
CXBXCBXCbasedeisósceleséXCBBCXBSe , pelo
teorema do triângulo isósceles.
Somando ''''^^
CXAXCA com ''''^^
CXBXCB tem-se que '''''^^
BXABCA , pois a
adição é bem definida em . (Capítulo 2, do volume 1 de Números).
Sintetizando...
Esquema:
Este teorema indica que se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes, três lados, então os três ângulos também são
ordenadamente congruentes.
^ ^
' '
' '
'
AB A B
X A B C AB
A X AC
'''''' BCXBCBXBXBAABCLAL
LAL
' ' ' ' ' ' ' '
' ' '
A B C A B X como A B X ABC tem se
que A B C ABC
^ ^
' ' '
' ' ' '
' ' '
Se A X A C
B C X B X C
XB C B
(pela propriedade transitiva)
' '
' '
' '
AB A B
AC A C
BC B C
' ' 'LLL
ABC A B C
^ ^
^ ^
^ ^
'
'
'
A A
B B
C C
Para provar o 4º caso de congruência, será preciso provar um teorema que envolve o ângulo
externo de um triângulo. Para isso, vou fazer as afirmações e você irá fazer as justificativas.
Você irá justificar cada afirmação feita a partir dos teoremas, postulados, definições já
vistos.
A- Teorema: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos
internos não adjacentes.
Hipótese Tese
^
Caadjcenteexternoê
ABC
^^
BêeAê
Seja M o ponto médio de AC e P pertence à semirreta BM , tal que: MPBM .
Considere os triângulos AMB e CMP
Afirmação Justificativa
1. MCAM 1.
2. MPBM 2.
3. ^
2
^
1 MM 3.
Figura 27 - Triângulo
ABC 7.
Figura 28 - Triângulo ABC 8.
Conseguiu fazer? Esse também é um pouco trabalhoso, pois é preciso fazer algumas
construções. Espero que você tenha conseguido. Para conferir, acompanhe as justificativas,
a seguir.
No item 1, MCAM , pois M é ponto médio de AC . Veja como foi feita essa construção.
No item 2, MPBM , por construção.
No item 3, ^
2
^
1 MM , pois são o.p.v.
4. CMPAMB 4.
5. MCPMAB^^
5.
6. MCPê^
6.
7. ^
Aê 7.
Agora tomando D como ponto médio de BC e R pertencente à
semi-reta AD tal que: DRAD . Considere os triângulos ABD e
RCD
8. DCBD 8.
9. DRAD 9.
10. ^
2
^
1 DD 10.
11. RCDABD 11.
12. RCDDBA^^
12.
13. RCDê^
13.
14. ^
Bê 14.
C
A
ê
D
R
ê ^
2
^
1 B
Figura 29 – Triângulo
ABC 9.
No item 4, CMPAMB , pelo caso de congruência LAL.
No item 5, MCPMAB^^
, pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em
triângulos congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.
No item 6, MCPê^
, pois ^
PCM é interno a ê, ou seja, ^ ^
ê PCM X CP
No item 7, ^
Aê , pela propriedade transitiva (itens 5 e 6).
No item 8, DCBD , pois D é ponto médio de BC . Veja a construção.
No item 9, DRAD , por construção.
No item 10, ^
2
^
1 DD , pois são o.p.v.
No item 11, RCDABD , pelo caso de congruência LAL.
No item 12, RCDDBA^^
, pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em
triângulos congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.
No item 13, RCDê^
, pois ^
DC R é interno a ê, ou seja, ^ ^
ê T CR DCR .
No item 14 ^
Bê , pela propriedade transitiva (itens 12 e 13).
Acertou? As suas justificativas foram iguais ou parecidas com essas? Se não, tente fazer
novamente. É um processo e você está iniciando, ora com acertos, ora com erros. Observe
que do item 8 ao 14 a justificativa é praticamente a mesma dos itens 1 ao 7.
Assim, demonstrou-se que o ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos
ângulos internos não adjacentes.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 5, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema do
ângulo externo do triângulo.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.
Agora, é possível fazer a demonstração do 4º caso de congruência. Acompanhe.
3.5.4. 4º caso de congruência - LAAO
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e um
ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
Veja a demonstração, a seguir:
Hipótese Tese
Tem-se para ''BAeAB três possibilidades: (de acordo com a Lei da Tricotomia – (Capítulo
2, do volume 1, do livro de Números).
'')1 BAABa '')2 BAABa '')3 BAABa
''' CBAABC ^ ^
^ ^
' '
'
'
BC B C
B B
A A
Figura 30 – Triângulo
ABC 10.
C B
A
D
C’ B’
A’
Figura 31 – Triângulo
A’B’C’ 4.
Analisando a 1ª possibilidade:
^ ^
' '
'
' '
AB A B
B B
BC B C
''' CBAABCLAL
Analisando a 2ª possibilidade:
Tomando um ponto D na semi-reta BA tal que ''BABD , o que se justifica pelo postulado
do transporte de segmentos (capítulo 2):
^ ^
' '
'
' '
DB A B
B B
BC B C
^ ^ ^ ^
' ' ' ' 'LAL
por hipotese
DBC A B C D A A A
O que é absurdo, pois de acordo com o teorema do ângulo externo (capítulo 2), o ângulo ^
A
é externo ao ADC e, portanto, maior que o ângulo ^
D .
Analisando a 3ª possibilidade:
Tomando um ponto D, na semirreta BA , entre A e B, tal que ''BABD , o que se justifica
pelo postulado do transporte de segmentos (capítulo 2):
^ ^
' '
'
' '
DB A B
B B
BC B C
^ ^ ^ ^
' ' '
' '
LAL
DBC A B C
D A A A
O que é absurdo, pois de acordo com o teorema do ângulo externo (capítulo 2), o ângulo ^
D
é externo ao ADC e, portanto, maior que o ângulo ^
A .
C B
A
D
C’ B’
A’
Figura 32 – Triângulo
ABC 11.
Figura 33– Triângulo
A’B’C’ 5.
por hipótese
Assim, só pode ocorrer a 1ª possibilidade, portanto ''' CBAABC .
Sintetizando...
Esquema:
^ ^
^ ^
' '
'
'
BC B C
B B
A A
' ' 'OLAA
ABC A B C ^ ^
' '
' '
'
AB A B
AC A C
C C
Parada Obrigatória
Responda a atividade 6 que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os casos de
congruência.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.
Pensando...
Este teorema indica que se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes, um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse
lado, então o outro ângulo e os outros dois lados também são
ordenadamente congruentes.
Para saber se um triângulo é congruente a outro, pode-se utilizar os 4 casos de congruência.
E para os triângulos retângulos não existe nenhuma exceção? Todos eles já têm congruente
o ângulo reto!
Sim, para o triângulo retângulo há exceção. Veja, a seguir...
3.5.5. Caso especial de congruência de triângulos retângulos
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,
então esses triângulos são congruentes.
Veja a demonstração, a seguir:
Hipótese Tese
^ ^
' ( )
' '
' '
A A retos
AB A B
BC B C
''' CBAABC
Tomando um ponto D na semirreta ' 'C A tal que
ACDA ' (postulado do transporte de segmentos).
Assim:
^ ^
' '
'
'
AB A B
A A
AC A D
^ ^
' '
'
LAL
ABC A B D
BC B D e C D
Figura 34 – Triângulo
ABC 12.
C A
B
Figura 35 – Triângulo B’C’D.
C’ D
B’
A’
Se BCDB ' e ''CBBC ' ' ' ' 'B D B C B C D é isósceles
^ ^
' 'de base C D C D
Se ^^^^^^
'' CCCDeDC (pela propriedade transitiva)
Considerando os triângulos ABC e A’B’C’:
^ ^
^ ^
' '
'
'
BC B C
C C
A A
''' CBAABCOLAA
Sintetizando...
Esquema:
^ ^
' ( )
' '
' '
A A retos
AB A B cateto
BC B C hipotenusa
' ' '
caso especialcateto e hipotenusa
ABC A B C ^ ^
^ ^
' '
'
'
AC A C
C C
B B
Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos, leia o item do capítulo IV, do livro 1, da bibliografia
básica ou o capítulo 4, do livro 2.
Este postulado indica que se dois triângulos retângulos têm
ordenadamente congruentes, um cateto e a hipotenusa (lembrando que o
ângulo reto já é congruente), então o outro cateto e os outros dois
ângulos também são ordenadamente congruentes.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 7, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o caso especial
de congruência para triângulos retângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.
3.6. Resumindo
O trabalho realizado com uma abordagem intuitiva e metodológica teve como intuito ajudá-
lo a compreender melhor o que é congruência, fazendo, construindo e manipulando figuras.
A abordagem axiomática deve ter ampliado os seus conhecimentos em relação ao ensino de
Geometria, embora de maneira bem tímida, mas é para você ir se acostumando. Com
certeza, esses Conceitos matemáticos fundamentais que lhes foram apresentados
contribuíram para enriquecer o seu conhecimento.
Ao verificar que duas ou mais figuras são congruentes quando, por superposição, elas
coincidem e depois estender esse conceito para os polígonos, lhe permitiu concluir que há
uma correspondência biunívoca entre os vértices desses polígonos, de modo que lados e
ângulos correspondentes ou homólogos sejam congruentes.
Com a congruência entre polígonos estabelecida foi possível verificar que existem casos
especiais de congruência de triângulos, ou seja, analisando apenas alguns elementos dos
triângulos é possível dizer se eles são ou não congruentes. Dessa forma, alguns casos de
congruência de triângulos foram construídos e demonstrados:
- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido entre eles, então eles são congruentes. (Caso LAL);
- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos
a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes. (Caso ALA);
- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses
triângulos são congruentes. (Caso LLL);
- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são
congruentes. (Caso LAAO).
Para demonstrar o 3º caso, foi necessário recorrer a alguns teoremas relacionados ao
triângulo isósceles. Assim, você aprendeu que:
- os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes;
- se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles;
- em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz
relativa à base;
- se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana ou
a altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.
Em relação ao 4º caso de congruência, também foi necessário recorrer a um teorema
relacionado ao ângulo externo de um triângulo. Dessa forma, você verificou que o ângulo
externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a
ele.
Pensando que os triângulos retângulos já possuem em comum o ângulo reto, você verificou
que existe um caso especial de congruência para esses triângulos, caso - cateto e
hipotenusa:
- se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a
hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
Espero que o seu olhar de futuro educador tenha ampliado e que você continue
pesquisando, estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.
Bom estudo!
3.7. Bibliografia Básica
DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar:
geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.
BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1995.
DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar:
geometria espacial, posição e métrica. 5. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 10.
REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana
Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da Unicamp, 2000.
3.8. Atividades
Atividade 1
Sabendo que os pares de triângulos são congruentes, indique o caso de congruência, escreva
os vértices, os ângulos e os lados que se corresponderam de acordo com o caso, assim como
a congruência dos triângulos.
a) b)
c) d) e)
Atividade 2
A
B
F C
E
D
D
A B
E C
F C B
E
A
D
F
A
D B C
E
F D B
A
F C
E
Indique nas atividades, a seguir, os triângulos congruentes, citando o caso de congruência.
a) b) c)
Atividade 3
3.1.) Na figura, os triângulos são congruentes.
Indique o caso de congruência, escreva os vértices,
os ângulos e os lados que se correspondem de
acordo com caso, assim como a congruência dos
triângulos. Em seguida, calcule o valor de x e y e
medida dos lados AD e BC .
3.2.) Na figura, os triângulos ABE e ACF são
congruentes. Indique o caso de congruência,
escreva os vértices, os ângulos e os lados que se
correspondem de acordo com o caso, assim como a
congruência dos triângulos. Em seguida, determine
o valor de x e a, e a medida dos lados
,AB AC e FC .
Atividade 4
D
B
A
C
E
2y + 6
40 3x - 40
20
A
B C E F
2a + 32 6a - 8
3x - 4 11
D
B
A
C
E
D A
B
C A
B C E F
Utilizando os teoremas relativos ao triângulo isósceles, determine o valor das incógnitas nas
atividades propostas, justificando as suas afirmações.
a) AB AC b)
Atividade 5
Determine o valor de y em cada caso.
a) RST é isósceles de base RS
b) //VW RS
Atividade 6
6.1. Sabendo que M é ponto médio de AB , prove que ADM BCM .
6.2. Na figura BD CD e AD é bissetriz do ângulo BDC
. Demonstre que o
ABD ACD .
Atividade 7
Sabendo que AB CD e CE BF , prove que AE DF .
3.10. Referencial de respostas das atividades
Atividade 1
a) Caso LAL b) Caso LAAO
^ ^
FD AB
A F ABC FDE
FE AC
^ ^
^ ^
ED AB
E B EFD BCA
F C
c) Caso LLL d) Caso ALA
AC DE
DF AB ABC DFE
EF BC
^ ^
^ ^
F B
FE AB FED BAC
E A
e) Caso LAL Caso ALA
^ ^
AC EF
C E BCA DEF
BC ED
^ ^
^ ^
C E
BC ED CBA EDF
B D
Caso LAAO
^ ^
^ ^
AC EF
C E CBA EDF
B D
Atividade 2
a) Caso LAAO, AEB DEC
b) Caso ALA, ACB DCB
C) Caso LLL, ECA FBA ou caso LLL, FCA EBA
Atividade 3
3.1. Caso ALA.
^ ^
^ ^
,C E B AE D opv
CE ED EBC EAD
C D
Se os triângulos são congruentes, então os lados opostos a ângulos de mesma medida são
congruentes. Assim,
a) BE EA 3x – 40 = 20 3x = 20 + 40 3x = 60 x = 20
Como EA = 20, confirma-se o valor de BE = 3x - 40, substituindo o valor de x:
BE = 3.20 – 40 BE = 60 – 40 BE = 20
b) AD BC 2y + 6 = 40 2y = 40 – 6 2y = 34 y = 17
Como BC = 40, confirma-se o valor de AD = 2y + 6, substituindo o valor de y:
AD = 2.17 + 6 AD = 34 + 6 AD = 40
Os valores de x e y são, respectivamente, 20 e 17 e os valores da medida dos lados
BE e AD são, respectivamente, 20 e 40.
3.2. Caso LAAO.
^ ^
^ ^
BE FC
E F ABE ACF
B AE F AC
Se os triângulos são congruentes, então os lados opostos a ângulos de mesma medida são
congruentes. Assim,
a) AB AC 6a - 8 = 2a + 32 6a – 2a = 32 + 8 4a = 40 a = 10
Se AB = 6a – 8, substituindo o valor de a, tem-se: AB = 6.10 – 8 AB = 60 – 8 AB = 52
Como AB AC , então AC = 52
b) BE FC 3x – 4 = 11 3x = 11 + 4 3x = 15 x = 5
Como BE = 11, confirma-se o valor de FC = 3x - 4, substituindo o valor de x:
FC = 3.5 – 4 FC = 15 – 4 FC = 11
Os valores de a e x são, respectivamente, 10 e 5 e os valores da medida dos lados
,AB AC e FC são, respectivamente, 52, 52 e 11.
Atividade 4
a)
Se o triângulo BCD é isósceles de base BC , então
CBD a
.
Se o triângulo ABC é isósceles de base AB , então
A B x
.
Se o triângulo ABD é isósceles de base AD , então
A BD A x
.
Se o ângulo BD A
é externo ao triângulo BCD, então
BD A C CBD
, pelo teorema do ângulo externo do triângulo. Assim, x – a + a x = 2a
(I)
Pela soma dos ângulos internos do triângulo, no triângulo ABC, tem-se:
180 180 2 180A B C x x a x a
(II)
Substituindo I em II:
2.2 180 4 180 5 180 36a a a a a a
O valor do ângulo a é 36°.
b) Como o triângulo CDE é isósceles de base DE , então os ângulos da base são congruentes
- D E
. Assim, 2 25 2 25a b b a b b
25a b (I).
Como o triângulo ABC é isósceles de base AC , então os ângulos da base são congruentes -
A C
. Assim, o ângulo C mede 2a + b.
Os ângulos BC A e DCE
são o.p.v., então BC A DCE
.
Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então, no triângulo CDE, pode-se
escrever que: a + b = 2b – 25° + 2a + b = 180°
3a + 4b = 205° (II)
Com as equações I e II tem-se um sistema de equações 25
3 4 205
a b
a b
Para resolver, será utilizado o método da adição, multiplicando a equação I por 4 e somando
com a equação II.
4 4a b 100
3 4a b
205
7 105
15
a
a
Como a – b = - 25°, substituindo o valor de a na equação tem-se:
15 – b = -25° - b = -25° - 15° -b = - 40° b = 40°
Os valores de a e b são, respectivamente, 15° e 40°.
Atividade 5
a) Se o triângulo RST é isósceles de base RS , então R T SR y
.
Considerando a medida do ângulo T
igual a x e aplicando o teorema da soma dos ângulos
internos de um triângulo, pode-se afirmar que: y + y + a = 180°
2y + a = 180° (I)
Pelo teorema do ângulo externo de um triângulo, pode-se afirmar que:
5y = a + y 5y – y = a a = 4y (II)
Substituindo II em I:
2y + 4y = 180° 6y = 180° y = 30°
O valor de y é 30°.
b) Prolongando VW até TR encontra-se o ponto Z formando um ângulo x.
Como //VW RS , então 30R Z x
, pois são ângulos correspondentes.
Se y é ângulo externo ao triângulo ZTV, pelo teorema do ângulo externo do triângulo, pode-
se afirmar que: y = 75° + x y = 75° + 30° y = 105°
O valor de y é 105°.
Atividade 6
6.1. Dados Provar
,ADM BCM ADM BCM
M é ponto médio de AB
1. ^ ^
A B , pois são ângulos retos
2. AM MB , pois pelo enunciado M é ponto médio de AB
3. ^ ^
AM D BMC , pois são ângulos o.p.v.
4. ADM BCM , pelo caso ALA.
6.2.
Dados Provar
,ADB ACD ABD ACD
BD CD
AD é bissetriz do ângulo BDC
1. BD CD , foi dado no enunciado
2. ^ ^
BD A ADC , pois foi dado no enunciado que AD é bissetriz do ângulo BDC
3. AD AD , lado comum aos triângulos.
4. ABD ACD , pelo caso LAL.
Atividade 7
Sabendo que AB CD e CE BF , prove que AE DF .
Dados Provar
ACE e DBF retângulos AE DF
AB CD
CE BF
1. CE BF , foi dado no enunciado
2. AC BD , pois AC AB BC e BD CD BC e pelo enunciado AB CD e BC é
lado comum aos segmentos AC BD .
3. ACE DBF , pelo caso especial para triângulos retângulos – cateto hipotenusa
4. AE DF , lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos congruentes.
3.11. Anexos
3.11.1 Anexo 1
3.11.2. Anexo 2
3.11.3. Anexo 3
Capítulo 4 – Aplicações de Congruência
Capítulo 4 – Aplicações de Congruência
4.1. Apresentação
Ampliando o estudo de congruência, você verá nesse capítulo algumas aplicações de
congruência. A intenção é a de trazer as principais aplicações, para que você, futuro
educador, possa aprimorar os seus conhecimentos e até levar algumas aplicações para seus
alunos.
Para esse estudo, é de fundamental importância que você tenha domínio dos casos de
congruência. Conseguiu aprender? Ainda tem dúvidas? Se tiver, retome o capítulo anterior.
Os casos de congruência estudados foram: LAL, ALA, LLL, LAAO, e também o caso especial
para os triângulos retângulos – caso cateto e hipotenusa.
O que espero de VOCÊ!
Espero que, no final deste capítulo, você seja capaz de:
- aplicar os casos de congruência, as propriedades e os teoremas em diversas situações;
- classificar quadriláteros e prismas;
- fazer demonstrações matemáticas de teoremas;
- utilizar, corretamente, a linguagem matemática referente ao conteúdo estudado.
Como foi organizado o capítulo
Nesse capítulo, a abordagem é axiomática. A aplicação de congruência será para fazer
algumas demonstrações, pois não se tem a intenção de esgotar o assunto, mas que você
tenha um contato maior com as demonstrações. Uma forma encontrada para facilitar o
aprendizado é a de construir, junto com você, as afirmações para que você faça as
justificativas.
Inicialmente, será feito o passo a passo de uma demonstração, para que você possa fazer as
posteriores. Observe que, primeiramente, acha-se a hipótese e a tese do teorema, fazendo
também um desenho; em seguida, termina-se a demonstração com as afirmações e
justificativas.
Assim, você estudará as propriedades da mediatriz e da bissetriz de um triângulo; as
desigualdades triangulares; os quadriláteros notáveis e suas propriedades; em cruzando
assuntos, estudará os prismas; também verá os teoremas da base média do triângulo e do
trapézio; e, por último, retoma-se os pontos notáveis de um triângulo, provando alguns
teoremas.
Para o estudo, você precisará dos conhecimentos anteriores, do compasso, dos sólidos
geométricos e de muita atenção e concentração, portanto, prepare-se!
Bom estudo!
4.2. Propriedade da mediatriz e da bissetriz
Nesse item, você irá estudar a demonstração da propriedade da mediatriz de um segmento
e da bissetriz de um ângulo. Prepare-se! Leia, atentamente, as demonstrações.
4.2.1. Propriedade da mediatriz de um segmento
Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento.
Desenho
Hipótese Tese
r é mediatriz
M é ponto médio do BPAP
segmento AB
rP
Considere os triângulos APM e BPM.
Observação: Se P = M a propriedade também vale, pois M é ponto médio.
Pode-se utilizar a mesma demonstração para quaisquer outros pontos sobre a reta r.
Compreendeu a demonstração? Se não retorne e leia novamente. Caso ainda tenha dúvida
pesquise na bibliografia básica ou na internet, dentre outros.
Afirmação Justificativa
1. MBAM 1. pois M é ponto de AB .
2. BMPPMA^^
2. pois r é mediatriz de AB .
3. PMPM 3. lado comum aos dois triângulos.
4. BPMAPM 4. pelo caso LAL.
5. BPAP 5. lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes.
Figura 1 - Triângulo ABP.
Assim, todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do
segmento.
4.2.2. Propriedade da bissetriz de um ângulo
Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das extremidades do ângulo.
Desenho
Hipótese Tese
bPaP dd ,,
Considere os triângulos POA e POB.
Assim, a distância de P à reta a é a mesma da distância de P à reta b, ou seja, bPaP dd ,, .
Afirmação Justificativa
1. BOPPOA^^
1. pois OP é bissetriz de O.
2. OBPPAO^^
2. pois bPBeaPA .
3. OP OP 3. lado comum aos dois triângulos.
4. POBPOA 4. pelo caso LAAO.
5. BPAP 5. lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes.
é
^ ^
Angulo AOB
OP bissetriz
,P ad -
indica
distância do
ponto P à
reta a.
Figura 2 – Ângulo AÔB.
P Q
Se P = O, a propriedade também se verifica.
Pode-se utilizar a mesma demonstração para quaisquer outros pontos sobre a bissetriz do
ângulo.
Compreendeu a demonstração? Se não, retorne e leia novamente. Caso ainda tenha dúvida
pesquise na bibliografia básica ou na internet, dentre outros.
Assim, todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das extremidades do ângulo.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 1 que está no final deste capítulo. A atividade é sobre a mediatriz de
um segmento.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VI, dentre outros.
Agora, você irá estudar as desigualdades nos triângulos, fará uma demonstração, e as
demais irá estudar para aplicar nas atividades propostas. Fique atento!
4.3. Desigualdades nos triângulos
4.3.1. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
Isso parece tão óbvio, não é mesmo!?
Muitas vezes, uma proposição parece tão óbvia que acha-se que não precisa ser
demonstrada, mas em Matemática não funciona dessa forma. Acompanhe a demonstração,
tentando responder às justificativas.
Teorema: Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a
eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
Desenho
Hipótese Tese
ABC
BC AC
ou
a b
^^
^^
BA
ou
CBACAB
Considerando D em BC tal que
CACD e que ACBC
Afirmação Justificativa
1. DACBAC^^
1.
2. ADCDAC^^
2.
3. ADCBAC^^
3.
A B
C
a
b
c
Figura 3 - Triângulo ABC 1.
A B
C
D a
b
c
Figura 4 - Triângulo ABC 2.
Conseguiu justificar? Se não, acompanhe as respostas, a seguir.
No item 1, DACBAC^^
, pois D é interno a BAC^
, ou seja, ^ ^ ^
C AB C AD D AB , o todo
é maior que cada uma das partes.
No item 2, ADCDAC^^
, pois o triângulo ACD é isósceles.
No item 3, ADCBAC^^
, pela substituição do item 2 no item 1.
No item 4, CBADBAADC^^^
, pois ADC^
é ângulo externo do ABD (teorema do
ângulo externo de um triângulo).
No item 5, ^^^^
BAouCBABAC , pela propriedade transitiva (itens 3 e 4).
Dessa forma, o maior lado opõe-se ao maior ângulo, ou seja, se dois lados de um triângulo
não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles
está oposto ao maior lado.
Agora, acompanhe, atentamente, a demonstração da recíproca desse teorema.
4.3.2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
Teorema: Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a
eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
4. CBADBAADC^^^
4.
5.^^^^
BAouCBABAC 5.
Desenho
Hipótese Tese
^ ^
^ ^
ABC
B AC ABC
ou
A B
BC AC
ou
a b
Tem-se três possibilidades para BC e AC (pela Lei da Tricotomia)
1ª) ACBC ou 2ª) ACBC ou 3ª) ACBC
1ª) Se ^ ^
BC AC A B , pelo teorema anterior. Verifica-se que isso não pode ocorrer,
pois contraria a hipótese.
2ª) Se ^ ^
BC AC A B , pelo teorema do triângulo isósceles. Verifica-se que isso não
pode ocorrer, pois contraria a hipótese.
Logo, por exclusão, tem-se ACBC .
Assim, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, ou seja, se dois ângulos de um triângulo não
são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está
oposto ao maior lado.
Figura 5 - Triângulo ABC 3.
a b
c
C
B A
As desigualdades apresentadas nos triângulos relacionam os lados e os ângulos dos
triângulos ao mesmo tempo. Agora, você irá estudar a desigualdade triangular que relaciona
apenas os lados. Preste bastante atenção!
4.3.3. Desigualdade triangular
Teorema: Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Desenho
Hipótese Tese
,
ABC ou
a b e c lados de
um triângulo
cba
ouABACBC
Considere um ponto D na semirreta
oposta à semirreta AC tal que ABAD
Afirmação Justificativa
1. ABACDC 1. pela soma de segmentos (o ponto A está entre os
pontos D e C) e substituindo ABAD .
2. DBABDA^^
2. ABD é isósceles de base BD .
3. DBADBC^^
3. pois  é interno ao ângulo DBC
^
, ou seja,
^ ^ ^
CDB C AB B AD
4. BDCBDADBC^^^
4. pela propriedade transitiva (itens 2 e 3).
Figura 6 - Triângulo ABC
4.
Assim, em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Observações:
1) Outra forma de enunciar a desigualdade triangular é:
Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois.
2) Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, devemos ter as três condições, a
seguir:
a b c b a c e c a b
Resumindo as relações:
a b c
b c a b cb a c b c ab c a
c a b c b a
Parada Obrigatória
Responda à atividade 2, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre as
desigualdades triangulares.
5. DCBC 5. pelo item 4 e o teorema anterior.
6. cbaouABACBC 6. pelo item 1.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.
Pare e pense...
Você viu que o triângulo é um polígono especial, pois possui muitas propriedades e vários
teoremas estão relacionados a eles. Será que há outros polígonos com propriedades
interessantes?
Procure responder antes de continuar.
Sim! Há outros polígonos com propriedades interessantes. Você irá estudar os quadriláteros
notáveis. Inicialmente, a abordagem será intuitiva e metodológica e, posteriormente, a
abordagem será axiomática, provando as propriedades desses quadriláteros.
4.4. Quadriláteros notáveis
Responda os itens, a seguir, de acordo com os quadriláteros que você observou
anteriormente!
1- Trace uma reta em qualquer um dos lados dos quadriláteros e verifique em quais
deles a figura toda fica contida no mesmo semiplano. Escreva o número
correspondente aos quadriláteros que satisfazem esta condição.
_______________________________________________________________
Quadriláteros com essa característica recebem o nome de quadriláteros convexos.
Um quadrilátero convexo é uma região convexa do plano, delimitada por uma
poligonal de quatro lados.
Figura 7 – Quadriláteros.
2- Os demais quadriláteros são chamados de quadriláteros côncavos. Na atividade é o
quadrilátero de número.
_______________________________________________________________
3- Dos quadriláteros convexos, indique aqueles que possuem dois pares de lados
opostos paralelos. ___________________________________________
Quadriláteros convexos com essa característica recebem o nome de paralelogramos.
Paralelogramo é um quadrilátero convexo que tem dois pares de lados opostos
paralelos.
4- Dos paralelogramos, separe aqueles que possuem todos os ângulos retos.
_______________________________________________________________
Paralelogramos com essa característica recebem o nome de retângulos.
Retângulo é um quadrilátero convexo que possui quatro ângulos internos retos.
5- Dos paralelogramos, separe aqueles que possuem todos os lados
congruentes.________________________________________________.
Paralelogramos com essa característica recebem o nome de LOSANGOS.
Losango é um quadrilátero convexo que possui os quatro lados congruentes.
6- Dos paralelogramos, separe aquele que possui todos os ângulos retos e todos os
lados congruentes. _______________________________.
Paralelogramos com essa característica recebem o nome de quadrados.
Quadrado é um quadrilátero convexo que possui todos os ângulos retos e
7- Dos quadriláteros convexos, separe aqueles que possuem apenas um par de lados
paralelos. ___________________________________________.
Quadriláteros convexos com essa característica recebem o nome de trapézios.
Trapézio é um quadrilátero convexo que possui apenas um par de lados paralelos.
8- Dos trapézios, separem aqueles que possuem os lados não paralelos com medidas
diferentes. ____________________________________________.
Trapézios com essa característica recebem o nome de trapézios escalenos.
Trapézio escaleno é um quadrilátero convexo que possui os lados não paralelos com
medidas diferentes.
9- Dos trapézios escalenos, separe aquele que possui dois ângulos retos.
______________________________________________________________.
Trapézios escalenos com essa característica recebem o nome de trapézios retângulos
ou bi-retângulos.
Trapézio retângulo é um quadrilátero convexo que possui dois ângulos retos. 10- Dos trapézios, separe aquele que possui os lados não paralelos congruentes.
_________________________________________________.
Trapézios com essa característica recebem o nome de trapézios isósceles.
Trapézio isósceles é um quadrilátero convexo que possui os lados não paralelos
congruentes.
No esquema, a seguir, você encontra a resposta para cada um dos itens anteriores. Verifique
se você acertou.
QUADRILÁTEROS
Quadriláteros côncavos
(4)
Quadriláteros convexos
(1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)
Paralelogramos
(1, 2, 7, 9)
Retângulos
(2, 9) Quadrados (9)
Losangos (7, 9)
Trapézios
(3, 5, 6)
Trapézios
escalenos (3, 6)
Trapézios
retângulos (6)
Trapézios isósceles
(5)
Quadrilátero
11- Dos quadriláteros convexos, separe aquele que não possui nenhum lado paralelo.
_____________________________________________________.
Quadrilátero convexo com essa característica recebe o nome de quadrilátero
qualquer.
Quadrilátero qualquer é um quadrilátero convexo que não possui nenhum lado
paralelo.
qualquer (8)
Acertou? Espero que sim! Se tiver alguma dúvida, retome a atividade e leia atentamente.
Para fazer a próxima atividade, pegue os sólidos geométricos que você construiu e o seu
caderno com as figuras coladas.
4.4.1. Cruzando assuntos – voltando aos sólidos geométricos
Pegue apenas os poliedros convexos e verifique onde esses assuntos se cruzam!
Responda antes de prosseguir.
Confira se você encontrou as figuras de número 1, 2, 5, 6, 9, 11.
Responda antes de prosseguir.
1- Separe os poliedros convexos de tal maneira que se possa apoiar uma face sobre a
mesa, de modo que a metade do número de vértices fique sobre a mesa e a outra
metade num plano paralelo ao da mesa. São:
_______________________________________________
2- Do grupo anterior, separar os que têm bases do mesmo tamanho e faces laterais
formadas por paralelogramos. São: ___________________________.
Estes poliedros convexos recebem o nome de prismas.
Confira se você encontrou as figuras de número 1, 2, 5, 6, 11.
Responda antes de prosseguir.
Você deve ter verificado que a base dos prismas varia. Elas podem ser triangulares,
quadrangulares, pentagonais, hexagonais, dentre outras. Assim, a base de um prisma
convexo pode ter a forma de qualquer polígono convexo.
Respondeu?
Você deve ter observado que as faces laterais dos prismas tem a forma de paralelogramos.
Acertou?
Confira se você acertou!
Figura 1- prisma triangular Figura 2- prisma quadrangular
Figura 5- prisma retangular oblíquo Figura 6- prisma retangular reto
Figura 11- prisma hexagonal
3- Observe as bases dos prismas que você tem e responda: como podem ser as bases
dos prismas? ____________________________________________
_______________________________________________________________
4- Observe as faces laterais dos prismas que você tem e responda: como podem ser as
faces laterais dos prismas? _____________________________
_______________________________________________________________
5- Dê nome aos prismas de acordo com as bases.
Em seu caderno, coloque nome em cada um dos prismas.
Responda antes de prosseguir.
Confira se você encontrou as figuras de números 2, 5, 6.
Respondeu?
Confira se você encontrou as figuras de números 2, 6.
6- Dos prismas, separe os formados apenas por paralelogramos. São:
________________________________________
Prismas com essa característica recebem o nome de paralelepípedos.
Em seu caderno, coloque esse nome nas figuras que você selecionou.
7- Dos paralelepípedos, separe os formados apenas por retângulos. São:
________________________________________
Paralelepípedos com essa característica recebem o nome de paralelepípedos
retângulos ou blocos retangulares.
Em seu caderno, coloque esse nome nas figuras que você selecionou.
8- Dos paralelepípedos retângulos, separe aquele formado apenas por quadrados.
____________________________________
Paralelepípedos retângulos com essa característica recebem o nome de cubo.
Em seu caderno, coloque esse nome nas figuras que você selecionou.
Respondeu?
Confira se você encontrou a figura de número 2.
No esquema, a seguir, você encontra a resposta para cada um dos itens anteriores e um
esquema mostrando a relação de inclusão entre os prismas.
Prismas
(1, 2, 5, 6, 11)
Paralelepípedos
(2, 5, 6)
Paralelepípedos
retângulos (2, 6)
Cubo (2)
Outros paralelepípedos retângulos
Outros paralelepípedos
Outros prismas
Em relação aos sólidos geométricos, essa foi a última classificação a ser feita. Futuramente,
você irá calcular a área da superfície dos sólidos e volume deles.
Quanto aos quadriláteros notáveis, a seguir você encontrará várias propriedades
demonstradas. Com muita atenção, estude cada uma.
4.4.2. Propriedade dos trapézios
Os lados paralelos de um trapézio são chamados de base. O lado maior é a base maior (B) e
o lado menor, a base menor (b).
A- Trapézio qualquer
Em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de bases AB e CD , tem-se:
º180^^^^
CBDA Desenho
Verificando essa propriedade, tem-se:
1. º180,//^^
DAltransversaADCDAB
2.
^ ^
^ ^ ^ ^
// , 180º
180º
AB CD BC transversal B C
A D B C
(São ângulos colaterais internos.)
B- Trapézio isósceles
Teorema: Os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes.
Desenho
Hipótese Tese
AB e CD são bases do
trapézio isósceles
^^^^
BAeDC
Inicialmente serão traçadas as perpendiculares às bases pelos vértices A e
B da base menor, obtendo os pontos A’ e B’ na base maior CD .
Considere os triângulos retângulos AA’D e BB’C.
Figura 8 - Trapézio ABCD 1.
Figura 9 - Trapézio
isósceles ABCD 1.
Figura 10 - Trapézio
isósceles ABCD 2.
Afirmação Justificativa
1. '' BBAA 1. pois são distâncias iguais entre as retas paralelas (cateto).
2. BCAD 2. pelo conceito de trapézio isósceles.
3. CBBDAA '' 3. pelo caso especial de congruência de triângulos retângulos.
4. ^^
DC 4. pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em
triângulos congruentes.
5. ^ ^
A B 5. pela propriedade anterior
^
A e ^
B são suplementares a ^
D
e^
C .
Assim, os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes.
Importante
Decorre, também, da congruência dos triângulos AA’D e BB’C que CBDA '' , o que
permite enunciar:
Agora, é com você!
Faça a demonstração do teorema das diagonais de um trapézio isósceles.
Teorema: As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Desenho
As projeções ortogonais dos lados, não bases, de um trapézio isósceles,
sobre a base maior, são congruentes.
Hipótese Tese
ABCD é um trapézio
de bases CDeAB BDAC
BCAD
Considere os triângulos ACD e BDC.
Conseguiu fazer? Espero que sim! Confira as suas respostas com o expresso a seguir.
No item 1, BCAD , por hipótese.
No item 2, DCDC , lado comum aos dois triângulos.
No item 3, ^^
DC , pois os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes
(teorema anterior).
No item 4, BDCACD , pelo caso de congruência LAL.
No item 5, BDAC , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes, ou seja, são lados que se correspondem.
Afirmação Justificativa
1. BCAD 1.
2. DCDC 2.
3. ^^
DC 3.
4. BDCACD 4.
5. BDAC 5.
Figura 11 - Trapézio ABCD 3.
Assim, as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Importante
Da congruência dos triângulos ACD e BDC decorre que os triângulos PCD e PAB são isósceles
com bases ABeCD , sendo P o ponto onde as diagonais se cortam.
Sintetizando
Dos trapézios, você aprendeu que:
- é um quadrilátero convexo com um par de lados paralelos, denominados de base
maior (B) e base menor (b);
- em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de bases AB e CD , tem-se:
º180^^^^
CBDA ;
- os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes;
- as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 3, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os trapézios.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VI, dentre outros.
Depois dos trapézios, você irá estudar os paralelogramos.
Conforme já estudado, são os que têm dois pares de lados e são quadriláteros convexos!
Acompanhe atentamente!
4.4.3. Propriedade dos paralelogramos
A- Ângulos opostos congruentes
Propriedade 1: Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.
Desenho
Hipótese Tese
ABCD é paralelogramo ^^^^
DBeCA
Para os ângulos ^^
DB , o processo é o mesmo.
Afirmação Justificativa
1. //AB CD 1.
^ ^
180ºBC transversal B C , pois os ângulos
^ ^
B e C são colaterais internos.
2. //AD BC 2.
^ ^
180ºAB transversal A B , pois os ângulos
^ ^
A e B são colaterais internos.
3. ^^
CA 3. pela comparação dos itens 1 e 2.
Figura 12 - Paralelogramo
ABCD 1.
Assim, em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.
Acompanhe a próxima propriedade.
Propriedade 2: Todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é um
paralelogramo.
Considere ABCD um quadrilátero convexo.
Hipótese Tese
ABCD é um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo
^^^^
DBeCA
Afirmação Justificativa
1. ^^^^
CDBA 1. pois por hipótese ^^^^
DBeCA .
2. º360^^^^
DCBA 2. pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero.
3. º180^^^^
DCBA 3. pela comparação dos itens 1 e 2.
4. CDABeBCAD ////
4. pois ^^^^
DeBcomoassimCeA , são ângulos
colaterais internos e se a soma deles é 180° é porque as
retas são paralelas.
5. ABCD é um 5. pelo item 4.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Todo retângulo é um paralelogramo.
Realmente! Caso tenha alguma dúvida, retome a atividade da classificação de quadriláteros.
B- Lados opostos congruentes
Propriedade 3: Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
Desenho
Hipótese Tese
ABCD é paralelogramo ADBCeCDAB
Considere os triângulos ABC e CDA.
paralelogramo
Afirmação Justificativa
1. ,^^
DB 1. pois são ângulos opostos de um paralelogramo.
2. //AB CD 2.
^ ^
AC transversal B AC DC A , pois são ângulos
alternos internos.
3. ACAC 3. lado comum aos dois triângulos.
4. CDAABC 4. pelo caso de congruência LAAO.
Figura 13 - Paralelogramo
ABCD 2.
Assim, em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
Acompanhe a recíproca da propriedade.
Propriedade 4: Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é
paralelogramo.
Considere ABCD um quadrilátero convexo.
Desenho
Hipótese Tese
AB CD e BC AD ABCD é paralelogramo
Considere os triângulos ABC e CDA.
5. ADBCeCDAB 5. são lados opostos a ângulos de mesma medida em
triângulos congruentes.
Afirmação Justificativa
1. CDAB 1. por hipótese.
2. ADBC 2. por hipótese.
3. ACAC 3. lado comum aos dois triângulos.
Figura 14 - Paralelogramo ABCD
3.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Todo losango é um paralelogramo.
Realmente! Caso tenha alguma dúvida, retome a atividade da classificação de quadriláteros.
C- As diagonais dividem-se ao meio
Propriedade 5: Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos
médios.
Desenho
Hipótese Tese
ABCD é um paralelogramo AM CM
BM DM
MBDAC
Considere os triângulos ABM e CDM.
4. CDAABC 4. pelo caso de congruência LLL.
5. ABCD é um paralelogramo
5. pois ACDCAB^^
(são ângulos alternos opostos a
lados de mesma medida em triângulos congruentes) o
que implica em CDAB // (se duas retas distintas e uma
transversal determinam ângulos alternos congruentes,
então essas duas retas são paralelas). O mesmo ocorre
para os ângulos BCADCADACB //^^
.
Figura 15 - Paralelogramo ABCD
4.
M
Assim, em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
A recíproca é com você!
Na propriedade 6, serão dadas as afirmações para que você faça as justificativas.
Propriedade 6: Todo quadrilátero convexo em que as diagonais interceptam-se nos
respectivos pontos médios é um paralelogramo.
Desenho
Hipótese Tese
AC BD M
AM CM
BM DM
ABCD é um paralelogramo
Afirmação Justificativa
1. CDAB 1. pois, por hipótese, ABCD é um paralelogramo.
2. CDAB // 2. pois, por hipótese, ABCD é um paralelogramo.
3. ACDCAB^^
3. são ângulos alternos internos e estes são congruentes.
4. BDCBDA^^
4. são ângulos alternos internos e estes são congruentes.
5. CDMABM 5. pelo caso de congruência ALA.
6. DMBMeCMAM
M é ponto médio
6. pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em
triângulos congruentes.
Figura 16 - Paralelogramo
ABCD 5.
M
Considere os triângulos ABM e CDM
Conseguiu fazer? Agora, você já deve estar familiarizado com as demonstrações. Confira as
suas respostas com o expresso, a seguir.
No item 1, CMAM , por hipótese.
No item 2, DMCBMA^^
, pois são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.).
Afirmação Justificativa
1. CMAM 1.
2. DMCBMA^^
2.
3. DMBM 3.
4. CDMABM 4.
5. CDABMCDMAB //^^
5.
Considere os triângulos ADM e BCM
6. CMAM 6.
7. BMCDMA^^
7.
8. DMBM 8.
9. BCMADM 9.
10. BCADMBCMDA //^^
10.
11. ABCD é paralelogramo 11.
No item 3, DMBM , por hipótese.
No item 4, CDMABM , pelo caso de congruência LAL.
No item 5, CDABMCDMAB //^^
, os ângulos são congruentes, pois eles são opostos a
lados de mesma medida em triângulos congruentes. Como os ângulos são alternos internos,
então as retas são paralelas.
No item 6, CMAM , por hipótese.
No item 7, BMCDMA^^
, são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.).
No item 8, DMBM por hipótese.
No item 9, BCMADM pelo caso de congruência LAL.
No item 10, BCADMBCMDA //^^
, os ângulos são congruentes, pois eles são opostos
a lados de mesma medida em triângulos congruentes. Como os ângulos são alternos
internos, então as retas são paralelas.
No item 11, ABCD é paralelogramo, pois pelos itens 5 e 10 CDAB // e BCAD //
Assim, você acabou de verificar que todo quadrilátero convexo em que as diagonais
interceptam-se nos respectivos pontos médios é um paralelogramo.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Se dois segmentos de reta interceptam-se nos
respectivos pontos médios, então suas extremidades são vértices de um paralelogramo.
A seguir, você encontrará mais uma propriedade dos paralelogramos para VOCÊ provar.
Acredito que essa habilidade já está numa fase avançada e você já é capaz de justificar as
afirmações feitas. Vamos!?
D- Dois lados paralelos e congruentes
Propriedade 7: Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um
paralelogramo.
Desenho
Considere ABCD um quadrilátero convexo.
Hipótese Tese
//AB CD e AB CD ABCD é paralelogramo
Considere os triângulos ADC e CBA.
Afirmação Justificativa
1. CDAB 1.
2. ACDCABCDAB^^
// 2.
3. ACAC 3.
4. CBADC A 4.
5. ADBC 5.
6. ABCD é paralelogramo 6.
Figura 17 - Paralelogramo ABCD 6.
Foi fácil fazer as justificativas? Espero que sim! Confira suas respostas com o expresso, a
seguir.
No item 1, CDAB , por hipótese.
No item 2, ACDCABCDAB^^
// , pois estes ângulos são alternos internos e como as
retas são paralelas, então eles são congruentes.
No item 3, ACAC , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, CBADC A , pelo caso de congruência LAL.
No item 5, ADBC , pois são lados que são opostos a ângulos com a mesma medida em
triângulos congruentes.
No item 6, ABCD é paralelogramo, pois pela propriedade 4, todo quadrilátero convexo que
tem lados opostos congruentes é paralelogramo.
Assim, todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um
paralelogramo.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Se dois segmentos de reta são paralelos e
congruentes, então suas extremidades são vértices de um paralelogramo.
Sintetizando
Em relação aos paralelogramos você aprendeu que:
- em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes;
- todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é um paralelogramo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
- em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes;
- todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo;
- todo losango é um paralelogramo;
- em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios;
- todo quadrilátero convexo em que as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos
médios é um paralelogramo;
- se dois segmentos de reta interceptam-se nos respectivos pontos médios, então suas
extremidades são vértices de um paralelogramo;
- todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um
paralelogramo;
- se dois segmentos de reta são paralelos e congruentes, então suas extremidades são
vértices de um paralelogramo.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 4, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os
paralelogramos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Depois dos paralelogramos, você irá estudar os retângulos. Ok!
Nesse item, você fará todas as justificativas das propriedades do retângulo. Acompanhe
atentamente para responder.
4.4.4. Propriedades do retângulo
Vale lembrar que se o retângulo é um paralelogramo, as propriedades do paralelogramo
também valem para o retângulo.
A- Diagonais congruentes
Propriedade 1 - Em todo retângulo, as diagonais são congruentes.
Desenho
Hipótese Tese
Considere os triângulos ABC e BAD.
Afirmação Justificativa
1. ADBC 1.
2. ^^
AB 2.
3. ABAB 3.
Figura 18 – Retângulo
ABCD 1.
Conseguiu achar a hipótese e a tese? Fez as justificativas?
Nessa propriedade, deixamos você colocar a hipótese e a tese para posteriormente
justificar. Espero que tenha conseguido. Coteje suas respostas com o expresso, a seguir.
Na hipótese, você deve ter colocado: ABCD é retângulo; e, na tese, que BDAC . Acertou?
Se não, leia novamente a propriedade e compare com as respostas dadas.
Acompanhe as justificativas.
No item 1, ADBC , pois ABCD também é um paralelogramo e os lados opostos de um
paralelogramo são congruentes.
No item 2, ^^
AB , pois os ângulos de um retângulo são congruentes.
No item 3, ABAB , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, BADABC , pelo caso de congruência LAL.
No item 5, BDAC , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes.
Acertou? Fique atento, pois, às vezes, a sua justificativa tem um vocabulário diferente, mas
diz o mesmo.
Assim, em todo retângulo as diagonais são congruentes.
4. BADABC 4.
5. BDAC 5.
Acompanhe a recíproca da propriedade.
Propriedade 2: Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
Considere ABCD um paralelogramo de diagonais BDeAC
Hipótese Tese
ABCD é paralelogramo
BDeAC são diagonais ABCD é retângulo
BDAC
Considere os triângulos ABC e BAD.
Afirmação Justificativa
1. ADBC 1.
Figura 19 - Retângulo ABCD 2.
Figura 20 - Triângulo ABC
5.
Figura 21 - Triângulo ABD.
Conseguiu fazer? Espero que sim! Agora, acompanhe as justificativas e compare com as suas
respostas.
No item 1, ADBC , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
No item 2, BDAC , por hipótese.
No item 3, ABAB , pois é lado comum aos dois triângulos.
No item 4, BADABC , pelo caso de congruência LLL.
No item 5, ^^
BA , pois são os ângulos opostos a lados com a mesma medida em triângulos
congruentes.
No item 6, º90^^
BA , ^^
BeA são ângulos colaterais internos e suplementares, pois AD
e BC são retas paralelas. Como eles são congruentes, cada um mede 90º.
No item 7, º90^^
CD , pois ^^
CeD são ângulos colaterais internos e suplementares, pois
AB e CD são retas paralelas. Como eles são congruentes, cada um mede 90º.
No item 8, ABCD é retângulo, pois ^^^^
CDBA .
2. BDAC 2.
3. ABAB 3.
4. BADABC 4.
5. ^^
BA 5.
6. º90^^
BA 6.
7. º90^^
CD 7.
8. ABCD é retângulo 8.
Acertou? Se não, releia atentamente a propriedade e as justificativas.
Assim, todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
Sintetizando
Você aprendeu, em relação ao retângulo, que:
- em todo retângulo, as diagonais são congruentes;
- todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo;
Reforçando: as propriedades do paralelogramo também valem para o retângulo, uma vez
que todo retângulo é um paralelogramo.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 5, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os retângulos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Agora, é a vez dos losangos!
Os losangos têm quatro lados congruentes e são paralelogramos. Lembra? Se não, retome a
classificação dos quadriláteros.
Certo!
As justificativas da primeira propriedade já estão prontas, e você fará as justificativas da
segunda propriedade. Acompanhe atentamente a primeira propriedade para responder a
segunda.
4.4.5. Propriedades do losango
É bom ressaltar que se o losango é um paralelogramo, as propriedades do paralelogramo
também valem para o losango.
A- Diagonais perpendiculares
Propriedade 1: Todo losango tem diagonais perpendiculares.
Desenho
Hipótese Tese
ABCD é losango AC BD
BDeAC são diagonais
Considere os triângulos AMB, AMD, CMB e CMD.
Afirmação Justificativa
1. CMAM e DMBM 1. As diagonais de um paralelogramo interceptam-
se nos respectivos pontos médios.
2. ABBCDCAD 2. Os lados de um losango são congruentes.
Figura 22 - Losango ABCD 1.
Assim, todo losango tem diagonais perpendiculares.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Se um paralelogramo é um losango, então suas
diagonais estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos internos.
Entendeu? Se ainda tiver dúvidas, retome a atividade.
A recíproca da propriedade é com VOCÊ! Na recíproca, você irá achar a hipótese e a tese e
fazer as justificativas.
Propriedade 2: Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
Considere ABCD um paralelogramo.
Desenho
Hipótese Tese
3. CMDCMBAMDAMB 3. Pelo caso de congruência LLL.
4. BDAC 4. Os ângulos do vértice M são congruentes e
suplementares.
__________ são diagonais
______________________
__________
Figura 23 – Paralelogramo
ABCD 7.
Conseguiu achar a hipótese e a tese? Com certeza!
Antes de prosseguir, confira sua resposta com o expresso, a seguir.
Na hipótese, você deve ter escrito que as diagonais são BDeAC e elas são
perpendiculares, ou seja, BDAC . Na tese: ABCD é losango.
Acertou? Se não, leia novamente a propriedade.
Continuando....
Considere os triângulos AMB, AMD, CMB e CMD.
Procure fazer antes de continuar!
Conseguiu? Agora coteje suas respostas com o expresso, a seguir.
Afirmação Justificativa
1. CMAM e DMBM 1.
2.^^^^
º90 MBCDMCBMADMA 2.
3. CMDCMBAMDAMB 3.
4. AM CM BM DM 4.
5. ABCD é losango 5.
No item 1, CMAM e DMBM , porque se ABCD é um paralelogramo, então as suas
diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios. ( MBDAC ).
No item 2, ^^^^
º90 MBCDMCBMADMA , pois por hipótese BDAC .
No item 3, CMDCMBAMDAMB , pelo caso de congruência LAL.
No item 4, AM CM BM DM , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em
triângulos congruentes.
No item 5, ABCD é losango, pois AM CM BM DM .
Acertou? Veja que suas respostas não têm que ser iguais a essas, mas devem indicar o
mesmo.
Assim, todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
Importante
Uma consequência dessa propriedade é: Se num paralelogramo as diagonais estão contidas
nas bissetrizes de seus ângulos internos, então ele é um losango.
Sintetizando
Sobre o losango, você aprendeu que:
- todo losango tem diagonais perpendiculares;
- se um paralelogramo é um losango, então suas diagonais estão contidas nas
bissetrizes de seus ângulos internos;
- todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango;
- se num paralelogramo as diagonais estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos
internos, então ele é um losango.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 6, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os losangos.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Por último, você irá estudar uma propriedade do quadrado.
Os quadrados têm quatro lados congruentes e quatro ângulos congruentes, e todo quadrado
é um paralelogramo, é um retângulo e é um losango! Lembra?
Se não, retome a classificação dos quadriláteros.
Acompanhe, atentamente, a conclusão que é possível chegar sobre os quadrados.
4.4.6. Propriedades do quadrado
É bom ressaltar que se o quadrado possui dois pares de lados paralelos, ele é um
paralelogramo, então as propriedades do paralelogramo valem para o quadrado.
A- Diagonais congruentes e perpendiculares
Como além das propriedades do paralelogramo, o quadrado
possui características do retângulo e do losango. Assim, pode-se
concluir que:
Todo quadrado é retângulo e também losango.
ABCD é quadrado ABCD é paralelogramo,
BDACBDAC , .
Parada Obrigatória
Responda à atividade 7, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os quadrados.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Assim, você provou as propriedades dos quadriláteros. Agora, utilizará essas propriedades
para provar o teorema da base média do triângulo e do trapézio.
4.5. Teoremas da base média do triângulo e do trapézio
Você estudará os teoremas da base média do triângulo e da base média do trapézio.
Algumas justificativas estão prontas e as demais você fará.
Acompanhe, atentamente!
Figura 24 - Quadrado
ABCD.
Figura 25 - Triângulo ABC 6.
4.5.1. Base média do triângulo
A- Teorema: Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um
triângulo, então:
1º) ele é paralelo ao terceiro lado;
2º) ele é metade do terceiro lado.
Considere o triângulo ABC. Desenho
Hipótese Tese
Conduzir por C uma reta paralela à reta AB e seja F o ponto de interseção com a reta DE .
1ª PARTE
Afirmação Justificativa
1. ECAE 1.
2. FCEEAD^^
2.
3. DEACEF^^
3.
4. FCEDAE 4.
5. ADCF 5.
^ 1 //
12,
2
DE BCABC tri angulo
DE BCAE EC AD DB
6. BDCF 6.
7. BDFC é paralelogramo 7.
8. BCDE // 8
2ª PARTE
9. BCDF 9.
10. EFDE 10.
11. BCDEBCDE2
1.2 11.
Fez? Será que você conseguiu acertar? Confira as suas respostas com o expresso, a seguir.
Para a primeira parte, tem-se:
No item 1, ECAE , por hipótese.
No item 2, FCEEAD^^
, pois são ângulos alternos internos.
No item 3, DEACEF^^
, pois são o.p.v.
No item 4, FCEDAE , pelo caso de congruência ALA.
No item 5, ADCF , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes.
No item 6, BDCF , pela propriedade transitiva - item 5 e hipótese.
No item 7, BDFC é paralelogramo, pois ABCF // e pelo item 6 BDCF , ou seja, todo
quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo.
No item 8, BCDE // , pois BDFC é paralelogramo.
Para a segunda parte, tem-se:
No item 9, BCDF , pois BDFC é paralelogramo.
No item 10, EFDE , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos
congruentes.
No item 11, BCDEBCDE2
1.2 , comparando os itens 9 e 10.
Acertou? Lembre-se: suas respostas não têm que ser iguais a essas, mas devem indicar o
mesmo.
Assim, você acabou de demonstrar que se um segmento tem extremidades nos pontos
médios de dois lados de um triângulo, então: 1) ele é paralelo ao terceiro lado; e, 2) ele é
metade do terceiro lado.
Acompanhe, atentamente, a demonstração do outro teorema.
B- Teorema: Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no
ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é
ponto médio do terceiro lado.
Considere o triângulo ABC.
` Desenho
Hipótese Tese
//MN BC
AM MB
N AC
AN NC
Considere N1 o ponto médio
de AC
Entendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e sua
respectiva justificativa.
Dessa forma, você acabou de verificar que se um segmento paralelo a um lado de um
triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no
terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 8, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema da
base média do triângulo.
Afirmação Justificativa
1. 1 //MN BC 1. pelo teorema anterior.
2. 1MN e MN 2. pois a reta paralela a BC por M é única - postulado das
paralelas.
3. N1 = N 3. pois 1MN e MN interceptam AC em N1 e N,
respectivamente.
4. NCAN 4. pois se N1 = N e N1 é ponto médio de AC , N também será.
Figura 28 - Trapézio ABCD 2.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Agora, é com você!
No próximo item, você estudará teoremas relativos à base média do trapézio. Você irá
provar o primeiro teorema, e o segundo já está com as justificativas, estude-o. Acompanhe
atentamente!
4.5.2. Base média do trapézio
A- Teorema: Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos
de um trapézio, então:
1º) ele é paralelo às bases;
2º) ele é igual à semissoma das bases.
Considere ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD .
Desenho
Hipótese Tese
AM DM
BN CN
1º ) // //
2º )2
MN AB CD
AB CDMN
Seja E o ponto de interseção das retas DN e
AB .
Considere os triângulos BEN e CDN.
1ª PARTE
Afirmação Justificativa
1. CDAB // 1.
2. BCDEBC^^
2.
3. CNBN 3.
4. ENBCND^^
4.
5. CDNBEN 5.
6. CDBEeDNEN 6.
7. AEMN // 7.
8. CDABMN //// 8.
2ª PARTE
9. 2
AEMN 9.
10. 2
BEABMN
10.
11. 2
CDABMN
11.
Conseguiu? Esse é extenso!
Coteje suas respostas com o expresso, a seguir.
Na primeira parte:
no item 1, CDAB // , pela definição de trapézio;
no item 2, BCDEBC^^
, pois são ângulos alternos internos;
no item 3, CNBN , por hipótese;
no item 4, ENBCND^^
, pois são ângulos o.p.v.;
no item 5, CDNBEN , pelo caso de congruência ALA;
no item 6, CDBEeDNEN , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em
triângulos congruentes;
no item 7, AEMN // , pois pelo item 6, N é ponto médio de DE e como M é ponto médio de
AD , tem-se o teorema da base média do triângulo ADE;
no item 8, CDABMN //// , BEABAE , pela propriedade transitiva (itens 1 e 7).
Na segunda parte:
no item 9, 2
AEMN , pelo teorema da base média do triângulo;
no item 10, 2
BEABMN
, substituindo BEABAE no item 9;
no item 11, 2
CDABMN
, pelo item 6 CDBE .
Acertou? Suas respostas condizem com o expresso? Lembre-se: suas respostas não têm que
ser iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o
teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.
Assim, se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio, então: 1) ele é paralelo às bases; 2) ele é igual à semissoma das bases.
B- Teorema: Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no
ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta
extremidade é ponto médio deste lado.
Desenho
Hipótese Tese
// //MN AB CD
AM DM
N BC
Considere N1 o ponto médio de BC
Afirmação Justificativa
1. 1 // //MN AB CD 1. pelo teorema anterior.
2. MNMN 1 2. pois a reta paralela a AB por M é única -
postulado das paralelas.
3. N1 = N 3. pois 1MN e MN interceptam BC em N1 e N,
respectivamente.
BN CN
Figura 29 - Trapézio ABCD 3.
Compreendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e
sua respectiva justificativa.
Dessa forma, você acabou de verificar que se um segmento paralelo às bases de um trapézio
tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no
quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado.
Parada Obrigatória
Responda à atividade 9, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema da
base média do trapézio.
Confira se você acertou no referencial de respostas!!!
Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou
pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.
Sintetizando
Em relação à base média do triângulo, você aprendeu que:
- se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo,
então: 1) ele é paralelo ao terceiro lado; e, 2) ele é metade do terceiro lado;
- se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto
médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é
ponto médio do terceiro lado.
4. CNBN 4. pois se N1 = N e N1 é ponto médio de BC , N
também será.
E em relação à base média do trapézio, você aprendeu que:
- se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio, então: 1) ele é paralelo às bases; 2) ele é igual à semissoma das bases;
- se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto
médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta
extremidade é ponto médio deste lado.
Lembrando e aprofundando
Lembra que, no capítulo 2, você estudou os pontos notáveis de um triângulo?
O incentro, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro.
Lá foi feito uma abordagem metodológica. Agora, você irá provar algumas propriedades
desses pontos, portanto muita atenção.
4.6. Pontos notáveis do triângulo
A- Baricentro
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada
mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
Desenho
Hipótese Tese
1 2 3, ,AM BM CM
são medianas
1 2 3
1 2
3
1)
2) 2. , 2. ,
2.
AM BM CM G
AG GM BG GM
CG GM
Figura 30 - Triângulo ABC 9.
Considere X o ponto tal que: XCMBM 32 e os pontos médios D e E de CXeBX .
Para o ABC , tem-se:
Afirmação Justificativa
1. 33 BMAM 1.
2. 22 CMAM 2.
3. 2
// 3232
BCMMeBCMM 3.
Para o XBC , tem-se:
4. BDXD 4.
5. CEXE 5.
6. 2
//BC
DEeBCDE 6.
7. DEMMeDEMM 3232 // 7.
8. DEMM 32 é paralelogramo 8.
9. 2XMDX e 3XMEX 9.
10. 2.2 XMBX e 3.2 XMCX 10.
Considere Y o ponto tal que: YCMAM 32 , de modo análogo, tem-se:
3.2 YMCY e 1.2 YMAY
11. X = Y 11.
12. Chamando X = Y de G tem-se: 12.
1321 .2 GMAGeGCMBMAM
32 .2,.2 GMCGGMBG
Fez? Essas justificativas são mais trabalhosas, não é mesmo?!
Se não conseguiu tente novamente, utilize o teorema da base média do triângulo, assim
como a definição de paralelogramo para justificar.
Tentou? Não prossiga sem responder.
Agora, coteje suas respostas com o expresso, a seguir. Lembre-se: elas não precisam ser
iguais a essas, mas devem indicar o mesmo.
Em relação ao ABC , verificou-se que:
No item 1, 33 BMAM , pois M3 é ponto médio de AB .
No item 2, 22 CMAM , pois M2 é ponto médio de AC .
No item 3, 2
// 3232
BCMMeBCMM , pelo teorema da base média do triângulo.
Em relação ao XBC , verificou-se que:
No item 4, BDXD , pois D é ponto médio de BX .
No item 5, CEXE , pois E é ponto médio de CX .
No item 6, 2
//BC
DEeBCDE , pelo teorema da base média do triângulo.
No item 7, DEMMeDEMM 3232 // , pela propriedade transitiva (itens 3 e 6).
No item 8, DEMM 32 é paralelogramo, pelo item 7 e a definição de paralelogramo.
No item 9, 2XMDX e 3XMEX , pois as diagonais de um paralelogramo interceptam-
se nos seus respectivos pontos médios.
No item 10, 2.2 XMBX e 3.2 XMCX , comparando os itens 4 e 9 e os itens 5 e 9
respectivamente.
Ao considerar Y o ponto, tal que: YCMAM 32 , de modo análogo, tem-se:
3.2 YMCY e 1.2 YMAY . Assim:
No item 11, X = Y, pois 3.2 XMCX e 3.2 YMCY .
No item 12, ao chamar X = Y de G tem-se 1 2 3AM BM CM G e
1 2 32. , 2. , 2.AG GM BG GM CG GM , pois 2.2 XMBX , 3.2 XMCX e
1.2 YMAY
Suas respostas foram parecidas com essas? Espero que sim! Se tiver alguma dúvida, leia
novamente o teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.
Assim, você acabou de provar que as três medianas de um triângulo interceptam-se num
mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o
vértice é o dobro da outra.
B- Incentro
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a
igual distância dos lados do triângulo.
Considere o triângulo ABC, de lados cABebACaBC ,
Desenho
Hipótese Tese
1 2 3, ,AS AS AS
são bissetrizes
internas
Seja S o ponto, tal que SCSBS 32
Afirmação Justificativa
1. cSaS ddBSS ,,2 1.
2. bSaS ddCSS ,,3 2.
3. cSbS dd ,, 3.
4. 1ASS 4.
5.
cSbSaS ddd
eSCSBSAS
,,,
321
5.
Conseguiu justificar? Espero que sim! Não prossiga sem justificar e, assim que terminar,
compare suas respostas com o expresso a seguir.
1 2 3
, , ,
1)
2) S a S b S c
AS BS CS S
d d d
Figura 31 - Triângulo ABC 10.
No item 1, 2 , ,S a S cS BS d d , pois todo ponto da bissetriz de um ângulo é
equidistante dos lados do ângulo.
No item 2, bSaS ddCSS ,,3 , pois todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante
dos lados do ângulo.
No item 3, cSbS dd ,, , pela propriedade transitiva (itens 1 e 2).
No item 4, 1ASS , pelo item 3 o ponto S está na bissetriz do ângulo A, ou seja, em 1AS .
No item 5, 1 2 3 , , ,S a S b S cAS BS CS S e d d d , pelos itens 1, 2, 3 e 4 o ponto S
pertence às bissetrizes internas do triângulo e sua distância aos lados do ângulo é a mesma.
Suas respostas foram semelhantes a estas? Espero que sim! Lembre-se: elas não precisam
ser iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o
teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.
Assim, você acabou de verificar que as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-
se num mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo.
C- Circuncentro
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual
distância dos vértices do triângulo.
Considere o triângulo ABC Desenho
Hipótese Tese
1 2 31)
2)
m m m O
OA OB OC
Figura 32 - Triângulo ABC 11.
1 2 3, ,
,
m m m são mediatrizes
de BC AC e AB
Seja O o ponto, tal que Omm 32
Afirmação Justificativa
1. OCOAmO 2 1.
2. OBOAmO 3 2.
3. 1mOOCOB 3.
4.
OCOBOA
Ommm
321 4.
Fez as justificativas? É muito importante que você tente fazer antes de prosseguir.
Você lembrou que todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das
extremidades do segmento? Se não, tente fazer agora.
Depois que terminar, compare as suas respostas com o expresso, a seguir.
No item 1, OCOAmO 2 , pois todo ponto da mediatriz de um segmento é
equidistante das extremidades do segmento.
No item 2, OBOAmO 3 , pois todo ponto da mediatriz de um segmento é
equidistante das extremidades do segmento.
No item 3, 1mOOCOB , pela propriedade transitiva (itens 1 e 2).
No item 4, 1 2 3m m m O OA OB OC , comparando os itens 1, 2 e 3.
Espero que suas respostas sejam semelhantes a estas? Lembre-se: elas não precisam ser
iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o
teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.
Assim, você acabou de provar que as mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se
num mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo.
D- Ortocentro
As três retas suportes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto.
Considere o triângulo ABC de alturas 321 ,, CHBHAH
Desenho
Hipótese Tese
1 2 3, ,AH BH CH retas
que cont em as alturas
1 2 3AH BH CH H
Pelos vértices A, B e C do triângulo, conduzimos retas paralelas aos lados opostos, obtendo o
triângulo MNP, tal que: BCNPeNPA // ; ACMPeMPB // ; ABMNeMNC //
Figura 33 - Triângulo
ABC 12.
Afirmação Justificativa
1. APBC é paralelogramo 1.
2. BCAP 2.
3. ABCN é paralelogramo 3.
4. BCAN 4.
5. A é ponto médio de NP 5.
6. 1AH NP 6.
7. 1AH é mediatriz de NP 7.
Analogamente, 2BH é mediatriz de MP e 3CH é mediatriz de MN .
Considerando o MNP , as mediatrizes 1AH , 2BH e 3CH dos lados do triângulo
interceptam-se num ponto, H. Assim, 1 2 3AH BH CH H
Conseguiu justificar? Se não, utilize as propriedades do paralelogramo, mas não prossiga
antes de responder.
Assim que terminar, compare as suas respostas com o expresso, a seguir.
No item 1, APBC é paralelogramo, pois BCAP // e ACPB // (definição de paralelogramo).
No item 2, BCAP , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
No item 3, ABCN é paralelogramo, pois BCAN // e ABCN // .
No item 4, BCAN , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
No item 5, A é ponto médio de NP , pelos itens 2 e 4.
No item 6, 1AH NP , pois 1 , //AH BC NP BC .
No item 7, 1AH é mediatriz de NP , pelos itens 5 e 6.
Pelo mesmo processo 2BH é mediatriz de MP e 3CH é mediatriz de MN .
Considerando o MNP as mediatrizes 1AH , 2BH e 3CH dos lados do triângulo
interceptam-se num ponto, H. Assim, 1 2 3AH BH CH H .
Compreendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e
sua respectiva justificativa.
Dessa forma, você acabou de verificar que as três retas suportes de um triângulo
interceptam-se num mesmo ponto.
Sintetizando
Você provou as propriedades dos pontos notáveis de um triângulo. São elas:
- no baricentro - as três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto
que divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o
dobro da outra;
- no incentro - as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo
ponto que está a igual distância dos lados do triângulo;
- no circuncentro - as mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num
mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo;
- no ortocentro - as três retas suportes de um triângulo interceptam-se num mesmo
ponto.
4.7. Resumindo
A ênfase na abordagem axiomática no capítulo teve como intuito desenvolver a habilidade
de formalizar, argumentar, justificar, demonstrar. Essas habilidades são essenciais ao futuro
educador. Espero que você tenha alcançado os objetivos propostos.
Dessa forma, você verificou que a mediatriz de um segmento é equidistante das
extremidades do segmento e que todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das
extremidades do ângulo.
Em relação às desigualdades nos triângulos, você aprendeu que ao maior lado opõe-se o
maior ângulo; ao maior ângulo opõe-se o maior lado e que em todo triângulo cada lado é
menor que a soma dos outros dois.
Ao classificar os quadriláteros, verificou a relação de inclusão dos mesmos e que eles se
dividem em quadriláteros côncavos e convexos. Os quadriláteros convexos, por sua vez,
dividem-se em paralelogramos (que possuem dois pares de lados paralelos); trapézios (que
possuem um par de lados paralelos); e o quadrilátero qualquer (que não possui lados
paralelos). Os paralelogramos também foram classificados em retângulos (aqueles que
possuem todos os ângulos retos) e losangos (aqueles que possuem todos os lados
congruentes), e, por fim, o quadrado que é um retângulo, pois possui todos os ângulos retos,
e também é um losango, pois possui todos os lados congruentes. Os trapézios foram
classificados em trapézio isósceles (aqueles que possuem os lados não paralelos com
medidas iguais) e em trapézios escalenos (aqueles que possuem os lados não paralelos com
medidas diferentes). Em relação aos trapézios escalenos, aqueles que possuem dois ângulos
também recebem o nome de trapézios retângulos.
Cruzando assuntos, voltou-se aos sólidos geométricos para fazer mais uma classificação que
envolvia o conceito do paralelogramo. Sendo assim, verificou-se que os prismas são
poliedros convexos que possuem bases paralelas e de mesmo tamanho e faces laterais
formadas por paralelogramos. Também teve a oportunidade de verificar que os prismas que
possuem: a) todas as faces formadas por paralelogramos recebem o nome de
paralelepípedos; b) todas as faces formadas por retângulos recebem o nome de
paralelepípedo retângulo ou bloco retangular; c) todas as faces formadas por quadrados
recebem o nome de cubo. Assim, todo cubo é um paralelepípedo e também um bloco
retangular.
Em continuidade, demonstrou-se várias propriedades dos quadriláteros. Dentre as que ainda
não foram citadas, destacam-se:
a) os trapézios isósceles possuem os ângulos da base congruentes e as diagonais também
congruentes;
b) os paralelogramos possuem os ângulos opostos congruentes; o quadrilátero convexo
que possui os ângulos opostos congruentes é um paralelogramo; os lados opostos de
paralelogramo são congruentes; o quadrilátero convexo que possui os lados opostos
congruentes é paralelogramo; as diagonais de um paralelogramo interceptam-se nos
respectivos pontos médios; o quadrilátero convexo cujas diagonais interceptam-se nos
respectivos pontos médios é um paralelogramo; dois segmentos de reta interceptam-se
nos respectivos pontos médios suas extremidades são vértices de um paralelogramo; o
quadrilátero convexo que possui dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo;
dois segmentos de reta que são paralelos e congruentes, suas extremidades são vértices
de um paralelogramo;
c) os retângulos possuem as diagonais são congruentes; e todo paralelogramo que tem
diagonais congruentes é um retângulo;
d) os losangos possuem as diagonais perpendiculares e estão contidas nas bissetrizes de
seus ângulos internos; o paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango;
e se um paralelogramo possui as diagonais contidas nas bissetrizes de seus ângulos
internos, então ele é um losango.
e) os quadrados possuem as diagonais congruentes e perpendiculares.
Em relação aos teoremas da base média do triângulo e do trapézio, demonstrou-se que: 1)
em relação ao triângulo: a) um segmento que tem extremidades nos pontos médios de dois
lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade do terceiro lado; b) um
segmento paralelo a um lado de um triângulo que tem uma extremidade no ponto médio de
um dos lados e a outra extremidade no terceiro lado, é ponto médio do terceiro lado. 2) em
relação ao trapézio: a) um segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados
não paralelos de um trapézio, é paralelo às bases e é igual à semissoma das bases; b) um
segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um
dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, é ponto médio deste lado.
Ao retomar o estudo dos pontos notáveis, fazendo as demonstrações dos teoremas,
verificou-se que: a) as três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto
(baricentro), que divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice
é o dobro da outra; b) as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num
mesmo ponto (incentro) que está a igual distância dos lados do triângulo; c) as mediatrizes
dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (circuncentro) que está a igual
distância dos vértices do triângulo; d) as três retas suportes de um triângulo interceptam-se
num mesmo ponto (ortocentro).
Ufa! É muito assunto. Espero que esses Conceitos matemáticos fundamentais sobre as
aplicações de congruência tenham contribuído para aprimorar o seu conhecimento em
relação a esse assunto e também para ampliar o seu olhar de futuro educador. Como a
intenção não foi a de esgotar o assunto, também sugiro que você continue pesquisando,
estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.
Bom estudo!
4.8. Referências
DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar:
geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 9.
BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1995.
REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana
Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da Unicamp, 2000.
4.9. Atividades
Atividade 1
Seja r a mediatriz do segmento AB , D um ponto do mesmo lado de r que A, e C o ponto de
interseção de r e BC . Prove que BD CD AC .
Atividade 2
2.1. Com segmentos de medida iguais a 4 cm, 3 cm e 10 cm, pode-se construir um triângulo?
Por quê?
2.2. Qual a medida do lado AC de um triângulo ABC, sabendo que AB e BC medem,
respectivamente, 14 cm e 23 cm e que AC é múltiplo de 8?
2.3. Demonstre o teorema: Se um triângulo é retângulo, então a hipotenusa é maior que
cada um dos catetos.
2.4. Demonstre o teorema: Se um triângulo é obtusângulo, então ele tem dois ângulos
agudos.
Atividade 3
3.1. Sabendo que ABCD é um trapézio de bases AB e CD e que AR e BR são bissetrizes,
determine y e ^
B AD .
3.2. Determine os quatro ângulos de um trapézio isósceles sabendo que um dos ângulos
internos é um terço do ângulo externo adjacente.
Atividade 4
4.1. ABCD é um paralelogramo, CE é bissetriz, BC = 10 cm e EA = 4 cm. Determine a medida
dos outros lados do paralelogramo.
4.2. A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a 5/4 da soma dos outros
dois ângulos opostos. Determine-os.
Atividade 5
Sabendo que o perímetro de um retângulo vale 80 cm e que a base excede a altura em 10
cm, determine a medida dos lados do retângulo.
Nota:
Perímetro é o comprimento da linha que é o contorno de uma figura geométrica plana.
Nesse exercício, a figura é um polígono (retângulo), então o perímetro é o comprimento da
poligonal que o determina, ou seja, a soma das medidas dos lados do polígono. Símbolo: 2p.
Atividade 6
Determine a medida dos quatro ângulos do losango, sabendo que a diagonal forma com um
dos seus lados um ângulo cuja medida é igual à metade do ângulo interno de um triângulo
equilátero.
Atividade 7
Sabendo que ABCD é um quadrado e que DEC é um triângulo equilátero, determine o valor
de y em cada caso:
a)
b)
Atividade 8
Determine os valores das incógnitas nos casos a seguir, considerando congruentes os
segmentos que possuem marcas iguais.
a)
b)
Atividade 9
Determine os valores das incógnitas nos casos a seguir, considerando congruentes os
segmentos que possuem marcas iguais.
a)
b)
4.11. Referencial de resposta das atividades
Atividade 1
Dados Provar
r é mediatriz de AB BD CD AC
r BD C
1. AC BC , pois pelo enunciado r é mediatriz de AB
2. BD CD AC , pois BD CD BC e pelo item 1 AC BC .
Atividade 2
2.1. Utilizando a desigualdade triangular para verificar a existência do triângulo:
4 3 10 4 3
1 10 7 ( )F
10 3 4 10 3
7 4 13 ( )F
10 4 3 10 4
6 3 14 ( )F
Dessa forma, não se pode construir um triângulo com essas medidas, pois elas não
satisfazem a desigualdade triangular.
2.2. Utilizando a desigualdade triangular para verificar a existência do triângulo:
14 23 14 23
9 37
AC
AC
Como AC é múltiplo de 8 entre 9 e 37, então AC = 16 cm
ou AC=24 cm ou AC=32 cm
2.3.
Hipótese Tese Desenho
ABC retângulo
^
A é ângulo reto
BC hipotenusa
1. 180^^^
CBA , pela soma dos ângulos internos do triângulo.
2. 90^
A , pois, por hipótese, ^
A é reto.
3. 90^^
CB , comparando os itens 1 e 2.
4. BC é o maior lado, pelos itens 1, 2 e 3, e porque ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
C
A B
B
ABBC
ACBC
4. ACBC , pelo item 4, pois ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
5. ABBC , pelo item 4, pois ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
2.4.
Hipótese Tese Desenho
ABC obtusângulo
^
A ângulo obtuso
1. 180^^^
CBA , pela soma dos ângulos internos do triângulo.
2. 90^
A , pois por hipótese, ^
A é obtuso.
3. 90^^
CB , comparando os itens 1 e 2.
4. 9090^^
CeB , pelo item 3 os ângulos ^^
CeB são agudos.
Atividade 3
3.1.
Se AR é bissetriz do ângulo ^
A ,
então ^ ^
B AR R AD a
Se BR é bissetriz do ângulo ^
B ,
então ^ ^
ABR RBC b
B
C A
9090^^
^^
CeBou
agudosângulosCeB
1. ^ ^
180B C , pois se //AB CD (pela definição de trapézio), então ^ ^
B e C são colaterais
internos.
2. ^
80B , pois se ^
100C , substituindo no item 1: ^ ^
100 180 80B B
3. ^
40b , pois BR é bissetriz do ângulo ^
B . Assim,
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 80 2 40B ABR RBC B b b B b b b
3. a + y = 165°, pela soma dos ângulos internos de um triângulo
^ ^ ^
180 25 180 25 40 180
165 ( )
B AR R ABR a y b a y
a y I
4. 2a + y = 180°, pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero
^ ^ ^ ^
360 100 80 2 360 2 180 ( )A B C D y a a y II
5. a = 15° e b = 30°, com I e II forma-se um sistema. 165
2 180
a y
a y
Resolvendo pelo
método da adição (multiplica-se a equação I por (-1) e soma com a equação (II).
a y 165
2a y
180
15a
Como a + y = 165° 15° + y = 165° y = 150°
6. ^
30B AD , pois ^ ^ ^
2 2.15 30B AD a B AD B AD
Os valores de y e ^
B AD são, respectivamente, 150° e 30°.
3.2.
Considere o ângulo externo igual a a.
Como 1
3a e a são suplementares, então
1180 4 3.180 135
3a a a a .
Se ^ ^ ^1 1
.135 453 3
BCD a BCD BCD .
Como ^ ^
BCD ADC , pois o trapézio é isósceles, então ^
45ADC .
Como //AB CD (pela definição de trapézio), então ^ ^
180B BCD , pois são colaterais
internos. Assim,
1 1180 .135 180 45 180 135
3 3b a b b b
Como ^ ^
A B b , pois o trapézio é isósceles, então ^ ^
135A B .
Os ângulos do trapézio são 45°, 135°, 45° e 135°.
Atividade 4
4.1.
x
y
a
b
1. ^ ^
BCE ECD , pois CE é bissetriz.
2. ^ ^
BEC ECD , se //AB CD esses ângulos são alternos internos e, portanto,
congruentes.
3. 10EB cm , pelo item 2 o BCE é isósceles de base AP .
4. 14AB cm , pois EB EA AB .
5. 14DC cm e 10AD cm , pois os lados opostos de um paralelogramo são
congruentes.
Assim, os outros lados do paralelogramo ,AB AD e DC medem, respectivamente, 14 cm,
10 cm e 14 cm.
4.2.
Sejam os ângulos opostos ^ ^ ^ ^
,x e y a e b .
5( )
4x y a b , equação do problema
1. ^ ^ ^ ^
,x y a b , pois os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
2. ^ ^ ^ ^
180 , 180x b a y , se os lados opostos de um paralelogramo são paralelos, esses
ângulos são colaterais internos e, portanto, suplementares.
3. 5
2 .24
x b , substituindo o item 1 ^ ^ ^ ^
,x y a b
na equação do problema.
5 5( ) 2 .2
4 4x x b b x b
4. 5
2 .2(180 )4
x x , substituindo o valor de b que pode ser encontrado no item 2, 1ª
equação. 180 180x b b x substituindo:
52 .2(180 )
4x x
5. 100x , pela resolução da equação do item 4.
5 52 .2(180 ) .(180 ) 4 5.(180 ) 4 900 5
4 4
9 900 100
x x x x x x x x
x x
6. 100y , pelos itens 1 e 5.
7. 80b , substituindo o valor de x do item 5, na 1ª equação do item 2.
100 180 80b b
8. 80a , pelos itens 1 e 7.
Resposta: os ângulos são 100°, 80°, 100°, 80°.
Atividade 5
Dados do problema
2p= 80 cm
a = b + 10
Como 2p = 80 a + b + a + b = 80
2a + 2b = 80 a + b = 40
Substituindo o valor de a essa equação: b + 10 + b = 40 2b = 30
b = 15 cm
Como a = b + 10 a = 15 + 10 a = 25 cm
As medidas dos lados do retângulo são 25 cm, 15 cm, 25 cm e 15 cm.
Atividade 6
Considere ABCD um losango e BDeAC suas
diagonais.
Achar ^^^^
,, DeCBA .
1. 90^^^^
CPBAPBCPDAPD , pois as
diagonais de um losango são perpendiculares.
2. 30^
DAP , pois de acordo com o problema, a
diagonal forma com um dos lados do losango um
ângulo cuja medida é igual à do ângulo interno de um
triângulo equilátero, e como os ângulos desse
triângulo medem 60°, então, tem-se:
^ ^1.60 30
2P AD P AD .
3. 60^
PDA , no ADP pela soma dos ângulos internos 180^^^
PDADPADAP e
substituindo os valores dos itens 1 e 2, tem-se: 601809030^^
PDAPDA .
4. ^^^^
DBeCA , pois os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
5. 30^^^^
DCPPCBBAPPAD , pois as diagonais de um losango são bissetrizes dos
ângulos internos e pelos itens 3 e 4.
6. 60^^^^
ABPPBCCDPPDA , pois as diagonais de um losango são bissetrizes dos
ângulos internos e pelos itens 3 e 4.
7. 120120,60,60^^^^
DeBCA , pelos itens 4, 5 e 6.
Atividade 7
a)
1. AD BC AB CD , pela definição de
quadrado.
2. CD DE CE , pela definição de
triângulo equilátero.
3. AD BC AB DE CE ,
propriedade transitiva nos itens 1 e 2.
(Veja na figura).
4. 90^^^^
DCBA , pela definição de
quadrado.
5. ^ ^ ^
60E DC DCE CE D , pois os ângulos internos de um triângulo equilátero são
congruentes.
6. ^
30ECB , pois ^ ^ ^
C DCE ECB . Substituindo ^
60DCE e 90^
A tem-se que
^ ^
90 60 30ECB ECB
7. ^ ^
CE B E BC y , pois o BCE é isósceles de base EB (os ângulos da base de um
triângulo isósceles são congruentes).
8. Y = 75°, pela soma dos ângulos internos do BCE . Veja:
^ ^ ^
180 30 180 2 150 75CE B E BC BCE y y y y
O valor de y é 75°.
b)
1. AD BC AB CD , pela
definição de quadrado.
2. CD CE DE , pela
definição de triângulo equilátero.
3. AD BC AB CE DE , propriedade transitiva nos itens 1 e 2.
(Veja na figura).
4. ^ ^ ^ ^
90A ABC BCD D , pela definição de quadrado.
5. ^ ^ ^
60DCE CE D E DC , pois os ângulos internos de um triângulo equilátero são
congruentes.
6. ^
150BCE , pois ^ ^ ^
C BCD ECD . Substituindo ^
60E DC e ^
90BCD tem-se
que ^ ^
60 90 150BCE BCE .
7. ^ ^
CE B E BC y , pois o BCE é isósceles de base BE (os ângulos da base de um
triângulo isósceles são congruentes).
8. y = 15°, pela soma dos ângulos internos do BCE . Veja:
^ ^ ^
180 150 180 2 30 15BCE CE B E BC y y y y
O valor de y é 15°.
Atividade 8
a) Achar y.
1. 4 8
2
yy
, pelo teorema da base média do triângulo.
2. y = 4, resolvendo a equação do item 1:
4 82 4 8 2 4 8 2 8 4
2
yy y y y y y y
.
b) Achar a e b.
1. 2 9
2
ab
, pelo teorema da base média do triângulo.
2. 3 4
2
ba
, pelo teorema da base média do triângulo.
3. Com os itens 1 e 2, tem-se um sistema de equações. No item 2, vamos achar o valor de 2a
e substituir na equação do item 1. (método da substituição). Assim, 2 3 4a b .
4. Substituindo o valor de 2a na equação do item 1:
2 9 3 4 92 3 5 5
2 2
a bb b b b b
.
5. Substituindo o valor de b na equação do item 2:
3 4 3.5 4 199,5
2 2 2
ba a a ou a
Os valores de a e b são, respectivamente, 5 e 9,5.
Atividade 9
a)
1. 4 4 5
2 32
x xx
, pelo teorema da base média do trapézio.
2. x = 7, resolvendo a equação:
4 4 52 3 (2 3).2 5 1 4 6 5 1 7 7
2
x xx x x x x x x
O valor de x é 7.
b)
Observe que a diagonal dividiu o trapézio em dois triângulos.
1. 3
2
ab
, pelo teorema da base média do triângulo.
2. 2
2
a ba
, pelo teorema da base média do triângulo.
3. 2a b , reduzindo os termos semelhantes na equação do item 2.
4. Tem-se um sistema de equações. Substituindo o valor de a do item 3 na equação do item
1. (método da substituição).
3 2 3
2 5 52 2
a bb b b b b
5. Substituindo o valor de b na equação do item 3:
2 5 2 7a b a a
Os valores de a e b são, respectivamente, 7 e 5.
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