lógicas difusas e sistemas difusos prof. valmir macário
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Lógicas Difusas e Sistemas Difusos
Prof. Valmir Macário
Lógicas Difusas e Sistemas Difusos 2/77
Introdução (1/2)• O conhecimento humano é muitas vezes
incompleto, incerto ou impreciso.• A IA preocupa-se com formalismos de
representação e raciocínio que permitam o tratamento apropriado a cada tipo de problema.
• No mundo real muitas vezes é utilizado conhecimento incerto.– Incertezas estocásticas.– Incertezas léxicas.
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Introdução (2/2)• Incertezas estocásticas
– Ex.: “A probabilidade de acertar o alvo é de 0.8”• Incertezas léxicas
– Ex.: homens altos, dias quentes, moeda estável– A experiência do especialista A mostra que B está
quase para ocorrer, porém, o especialista C está convencido de que não é verdade.
• Incerteza pode ser tratada de várias formas entre elas com Lógicas Difusas (= Nebulosas, Fuzzy) e Redes Bayseanas.
• Os fundamentos da lógica difusa foram estabelecidos em 1965, por Lotfi Zadeh.
Alto é um conceito vago.
História • 1965 Seminal paper “Fuzzy Logic” por Prof. Lotfi Zadeh, • 1970 Primeira aplicação de Lógica Fuzzy em engenharia
de controle (Europa)• 1975 Introdução de Lógica Fuzzy no Japão • 1980 Verificação empírica de Lógica Fuzzy na Europa• 1985 Larga aplicação de Lógica Fuzzy no Japão • 1990 Larga aplicação de Lógica Fuzzy na Europa• 1995 Larga aplicação de Lógica Fuzzy nos Estados Unidos• 2000 Lógica Fuzzy tornou-se tecnologia padrão e é
também aplicada em análise de dados e sinais de sensores. Aplicação de Lógia Fuzzy em finanças e negócios
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Hierarquia
Sistemas Difusos (implementação)
Lógicas Difusas (formalização)
Teoria dos Conjuntos Difusos (teoria de base)
Nós veremos primeiro a teoria de base, depois a formalização e por último a implementação.
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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (1/4)
Curiosidade do Cotidiano: Diálogo entre Artur e Rodrigo para decidir
“O quão rápido é um carro rápido”
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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (2/4)
Artur: ... então podemos criar uma categoria para carros rápidos uRÁPIDO [x] = { velocidade 100 };
Rodrigo: ... e um carro a 99.5 km/h não é rápido?
Artur: ... vamos diminuir o limite para 99, combinado?
Rodrigo: ... ainda não. E 98.5?
Artur: Temos que parar em algum ponto !
Rodrigo: Porque?
Artur: ... concordar em algum ponto onde os carros não estão rápidos.
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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (3/4)
Rodrigo: É verdade. Então vamos dizer que carros abaixo de 35 km/h não são rápidos.
Artur: ... concluímos que u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 e velocidade 100 }. Não, não podemos ter dois limites para rápido. Então u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 }.
Rodrigo: Não! Carros a 35 km/k são lentos para serem considerados rápidos.
Artur: Sem problemas. 35 será o mínimo para ser considerado rápido - não em todos os casos, e
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Entendendo o princípio da teoria dos conjuntos difusos (4/4)
Artur: 100 será a velocidade que nós dois consideramos ser rápido. Qualquer valor entre eles terá o seu grau de rapidez.
• Esta variação de grau de rapidez significa que alguns carros estarão mais fortemente associados com a categoria rápido do que outros;
• Este grau pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo, não ficando restrito apenas a PERTENCER ou NÃO PERTENCER ao conjunto;
• Finalmente Artur e Rodrigo conseguiram entender o princípio da teoria dos conjuntos difusos.
Conjuntos Fuzzy (1/3)• Conjuntos com limites imprecisos
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clássico1.0
Função depertinência
Altura(m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
.8
1.70
Conjuntos Fuzzy (2/3)• Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é
caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
A:X[0,1]• Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x
pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.
• Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa A(X) : x [0,1], A(X) = 0
0 < A(X) < 1
A(X) = 1
Conjuntos Fuzzy (3/3)• Definição formal
– Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:
Universo ouUniverso de discurso
Conjuntofuzzy
Função depertinência
(MF)Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado
por sua função de pertinência (MF)por sua função de pertinência (MF)
}|))(,{( XxxxA A
Como representar um conjunto Fuzzy num computador?
1. Função de pertinência– Reflete o conhecimento que se tem em relação
a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy
– Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista
– Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um conjunto
Função de Pertinência
• Várias formas diferentes• Representadas uma função de mapeamento• Características das funções de pertinência:
• Medidas subjetivas• Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes, decrescentes ou
subdividida em parte crescente e parte decrescente.
MFs
Altura (m)
“alto” no Brasil
1.75
.5
.8
.1
“alto” nos EUA“alto” na Itália
Função de Pertinência
•Função Triangular
•Função Trapezoidal
•Função Gaussiana
•Função Sino Generalizada
trimf x a b cx ab a
c xc b( ; , , ) max min , ,
0
trapmf x a b c dx ab a
d xd c( ; , , , ) max min , , ,
1 0
gbellmf x a b cx cb
b( ; , , )
1
12
2
21
),,;(
cx
ecbaxgaussmf
Função de Pertinência
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Triangular
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(d) Sino Gerneralizada
Partição Fuzzy
• Partição fuzzy do universo de X representando “idade”, formada pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “maduro” e “idoso”.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X = Idade
Gra
u de
Per
tinên
cia Jovem Maduro Idoso
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Representação dos conjuntos difusos (1/2)
• Analiticamente - universo discreto e composto por poucos elementos.– Ex.: Conjunto dos números inteiros pequenos
entre –10 e 10.
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Representação dos conjuntos difusos (2/2)
• Gráfico da função de pertinência (diagrama Hassi-Euler (H-E)) – universo contínuo ou discreto com grande quantidade de elementos.– Ex.: Conjunto dos números reais pequenos entre –10 e
10.
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Exemplos de conjuntos difusos (1/2)• Conjunto febre alta
– Definição analítica (discreta):• µµFAFA(35°C) = 0(35°C) = 0 µµFAFA(38°C) = 0.1(38°C) = 0.1 µµFAFA(41°C) = 0.9(41°C) = 0.9
• µµFAFA(36°C) = 0(36°C) = 0 µµFAFA(39°C) = 0.35(39°C) = 0.35 µµFAFA(42°C) = 1(42°C) = 1
• µµFAFA(37°C) = 0(37°C) = 0 µµFAFA(40°C) = 0.65(40°C) = 0.65 µµFAFA(43°C) = 1(43°C) = 1
– Gráfico H-E:
39°C 40°C 41°C 42°C38°C37°C36°C
1
0
µ(x)
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Exemplos de conjuntos difusos (2/2)• Conjunto projetos longos
– Definição analítica (discreta):• µµPLPL(2) = 0.2 (2) = 0.2 µ µPLPL(8) = 0.5(8) = 0.5 µ µPLPL(14) = 0.8(14) = 0.8
• µµPLPL(4) = 0.3 (4) = 0.3 µ µPLPL(10) = 0.6 (10) = 0.6 µ µPLPL(16) = 0.9 (16) = 0.9
• µµPLPL(6) = 0.4 (6) = 0.4 µ µPLPL(12) = 0.7 (12) = 0.7 µ µPLPL(18) = 1.0(18) = 1.0
– Gráfico H-E:
Variáveis Lingüísticas
• Representa um conceito ou variável de um Problema.• Um valor linguístico é um conjunto fuzzy.
• Variável linguística:• – Idade• Termos primários:• – Jovem• – Velho• Universo de discurso:• – 0 – 100 anos
Hedges (modificadores)• Termos que são usados
para modificar a forma dos conjuntos fuzzy– Muito, algo mais ou menos,
um pouco
• São universais• Compostos de nome e
fórmula• Muito:
• Extremamente
• Muito muito
• Um pouco
• Mais ou menos
• Indeed 2)()( xx AMA
3)()( xx AMA
3,1)()( xx AMA
)()( xx AMA
15,0,)(121)(
5,00,)(*2)(2
2
xx
xx
AMA
AMA
4)()( xx AMA
Conjuntos difusos: operadores (1/4)• Operações básicas sobre conjuntos fuzzy:
– União– Interseção– Complemento– Negação
• Operações semelhantes a dos conjuntos tradicionais.
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Conjuntos difusos: operadores (2/4)• Intersecção (t-norm)
– Mínimo:
– Produto:
– Soma limitada:
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Conjuntos difusos: operadores (3/4)• União (t-conorm)
– Máximo:
– Produto ou soma probabilística:
– Soma limitada:
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Conjuntos difusos: operadores (4/4)
• Complemento
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Isomorfismo
Representação
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A está contido em B
Gra
u de
Per
tinên
cia
B
A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”
00.20.40.60.8
1A B
00.20.40.60.8
1
00.20.40.60.8
1
(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
00.20.40.60.8
1
(d) Conjunto Fuzzy "A e B"
Regras Fuzzy• Base de Conhecimento• BC: regras de produção
– Se <antecedente> então <consequente>• Antecedente: conjunto de condições• Consequente: ações
• Os consequentes das regras disparadas são processados em conjunto para gerar uma resposta determinística para cada variável de saída do sistema.
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Regras FuzzyConsistem:
– Conjunto de condições IF(usando conectivos and, or ou not)
– Uma conclusão THEN– Uma conclusão opcional ELSE
Exemplo:
1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros
2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros
1. Se velocidade é alta Então DPP é longa
2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta
Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta
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Um agente inteligente com BC
entrada
saída
Sensores
efetuadores
Base de Conhecimento Raciocínio
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Um agente inteligente difuso
entrada
saída
Sensores
efetuadores
BC
Inferência
Regras Condicionais Incondicionais
Variáveis lingüísticas
DefuzzificaçãoMin-max vs. aditivas
Máximos vs. Centróide
Fuzzificação
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Módulos de um sistema difuso
• Base de conhecimento– Regras– Variáveis lingüísticas
• Processos do Raciocíno– Processo de fuzzificação– Processo de inferência– Processo de defuzzificação
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Sistema difuso – exemplo
• Determinar o tempo de irrigação de uma plantação (em minutos), de acordo com a temperatura (graus Celsius) e a umidade do ar (%).
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Variáveis Linguísticas (Fuzificação)
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Exemplo: regras
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Raciocínio: inferência (1/10)• Transformação dos conjuntos difusos de
cada variável de saída em um único.• Realiza a interpretação das regras da base
de conhecimento.• Passos:
– Ativação do antecedente,– Implicação,– Agregação.
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Raciocínio: inferência (2/10)• Ativação do antecedente:
– Utiliza os graus de pertinência das condições difusas, determinados na fuzzificação.
– Aplica os operadores difusos para obter o grau de verdade das regras.
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Raciocínio: inferência (3/10) Exemplo de ativação do antecedente
• Base de Regras:
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Raciocínio: inferência (4/10) Exemplo de ativação do antecedente
• Ativações dos antecedentes:1. 0,32. 0,63. 0,44. 0
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Raciocínio: inferência (5/10)• Implicação
– Obtenção dos valores difusos de saída de cada regra.– Obtenção de um conjunto difusos de saída para cada
regra.– Métodos mais comuns:
Onde: C1 é um conjunto difuso de saída determinado pela aplicação da implicação;
C é o conjunto difuso de saída existente no consequente da regra;
é o grau de verdade da regra.
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Raciocínio: inferência (6/10) Exemplo de implicação
• Resultados da implicação. O tempo de irrigação deve ser:
1. 0,3 pequeno2. 0,6 médio3. 0,4 médio4. 0 grande – não participará do processo de inferência.
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Raciocínio: inferência (7/10) Exemplo de implicação
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Raciocínio: inferência (8/10)• Agregação:
– Agrega os conjuntos difusos obtidos na implicação.– Obtém um único conjunto difuso, que descreve a saída
do sistema.– Pra quê?
• Porque se espera que o sistema difuso produza uma única decisão.
– Como?• Normalmente se utiliza o operador de união máximo.
• Mas também pode ser utilizado, por ex., o operador de união soma limitada.
xxx n ,...,max 1
xxx n ...,1min 1
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Raciocínio: inferência (9/10) Exemplo de agregação
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Raciocínio: inferência (10/10) Observação
• Quando se utiliza o min na etapa de implicação e o max na etapa de agregação, diz-se que foi utilizada a técnica min-max de inferência.
• Quando se utilizam os operadores de soma limitada, diz-se que foi utilizada a técnica aditiva (ou cumulativa) de inferência.
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Raciocínio: defuzzificação (1/2)• Produz um valor crisp a partir de um
conjunto difuso.• Pra quê?
– Porque apesar de um único conjunto difuso de saída (produzido na etapa anterior) possuir informação qualitativa útil, normalmente queremos uma saída crisp.
• Como?– Existem diversos métodos.
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Raciocínio: defuzzificação (2/2) Métodos de defuzzificação
• Seja o conjunto difuso de saída definido no universo de discurso V da variável v.
• O valor defuzzificado é:• Centróide para universo de discurso contínuo
• Centróide para universo de discurso discretoMais robustos
Exemplo1: Apoio à Decisão• Projeto e funcionamento de um sistema para
determinação do consumo de combustível de um automóvel.– Passo (1): Variáveis de entrada = velocidade (Vel),
pneu (Pneu) Variável de saída = consumo (Con)– Passo (2): Vel = [Baixa, Média, Alta]; Pneu =
[Velho, Novo] Con = [Baixo, Médio, Alto]
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Exemplo1: Apoio à Decisão• Passo (3):
– Regra 1: Se Vel = B e Pneu = V, então Con = A.– Regra 2: Se Vel = B e Pneu = N, então Con = M.– Regra 3: Se Vel = M e Pneu = V, então Con = M.– Regra 4: Se Vel = M e Pneu = N, então Con = B.– Regra 5: Se Vel = A e Pneu = V, então Con = A.– Regra 6: Se Vel = A e Pneu = N, então Con = M.
• Passo (4):– Adotar centro de área.
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Exemplo1: Apoio à Decisão• Para Velocidade = 35 km/h e Pneu = 1mm,
qual o Consumo?• Fuzzificação:
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Exemplo1: Apoio à Decisão• Inferência:
• Defuzzificação:– Usando centro de área:
• Con 11,5 km/l≅ 53/77
Exemplo2: Controle de Processo• Sistema de controle do nível de água em um
tanque através de uma válvula de escape.– Se “nível de água estiver alto” então “abrir a válvula”.– Se “nível de água estiver baixo” então “fechar a válvula”.
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Exemplo2: Controle de Processo• Qual a abertura desejada da válvula se o nível está a
1,7m?– Fuzzyficar entrada: descobrir o valor da função de
pertinência para a entrada 1,7m.• Caso a entrada já seja “fuzzy”, este passo é desnecessário.
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• Inferência fuzzy: Transferir o valor encontrado para a saída.
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Aplicações• No caso das máquinas de lavar roupas, por
exemplo, a partir da quantidade de roupas colocadas na máquina e o nível de sujeira, a máquina automaticamente regula a quantidade de água necessária para a lavagem, o tempo de lavagem, a quantidade necessária de sabão em pó, amaciante. O resultado disso é o melhor aproveitamento de recursos, economia de energia, maior vida útil do equipamento.
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Aplicações …
• Controle– Controle de Aeronave (Rockwell Corp.)– Operação do Metrô de Sendai (Hitachi)– Transmissão Automática (Nissan, Subaru)– Space Shuttle Docking (NASA)
• Otimização e Planejamento– Elevadores (Hitachi, Fujitech, Mitsubishi)– Análise do Mercado de Ações (Yamaichi)
• Análise de Sinais– Ajuste da Imagem de TV (Sony)– Autofocus para Câmera de Video (Canon)– Estabilizador de Imagens de Video (Panasonic)
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Aplicações
• Outros projetos japoneses:– Reconhecimento de caracteres– Sistemas fuzzy óticos– Robôs– Helicópteros comandados por voz
• NASA – controle fuzzy para ancorar suas naves automaticamente no espaço
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Conclusão
• Lógica difusa é uma importante ferramenta para auxiliar a concepção de sistemas complexos, de difícil modelagem
• Pode ser utilizada em conjunto com outras tecnologias de ponta:– Algoritmos Genéticos;
– Clustering;
– Redes neurais artificiais.
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Referências bibliográficasREYES, C. A. P., Lecture Notes in Computer Science 3204 -
Coevolutionary Fuzzy Modeling, Springer, Germany, 2004.SANTOS, G. J. C., Tese de Mestrado, Universidade Federal de Santa
Cruz, Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas, Ilhéus, Bahia, 2003.
ALMEIDA, P. E. M., EVSUKOFF, A. G., Sistemas Inteligentes: Fundamentos e Aplicações, cap. Sistemas Fuzzy, Manole, Barueru, São Paulo, 2005.
COX, E., The FuzzySystems Handbook.
KARTALOPOULOS, S. V., Understanding Neural Networks and Fuzzy Logic, IEEE PRESS, 1996.
KOSKO, B., Fuzzy Engineering, Prentice-Hall, 1997.
Kosko, B., Neural Networks and Fuzzy Systems, Prentice-Hall, 1992.
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