los enteros - mate 3131 · title: chapter 1 author: billstein, libeskind, and lott subject: an...
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Capítulo
Los Enteros
5
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
El conjunto de los enteros se denota Z.
Los enteros negativos son los inversos
aditivos de los enteros positivos.
–4 es el opuesto de 4
3 es el opuesto de –3
Representaciones de los Enteros
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Ejemplo
Para cada expresión a continuación, determinar el
opuesto.
a. x = 3 −x = −3
b. x = −5 −x = 5
c. x = 0 −x = 0
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Noten que la
expresión “-x “
denota el
“opuesto de x” y
no
necesariamente
implica que x es
un valor
negativo
Suma de enteros
Modelo de fichas de colores
Fichas negras representan enteros positivos y
fichas rojas representan enteros negativos.
Las parejas negro/rojo se neutralizan.
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Suma de enteros
Model de carga
Similar al modelo de fichas. Enteros positivos se
representan por el símbolo “+” y los enteros negativos
con “–”. Cargas positivas neutralizan las cargas
negativas.
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Suma de enteros
Modelo de la recta numérica
Enteros positivos se representan con movimiento
hacia la derecha en la recta numérica. Los
enteros negativos se representan con
movimiento hacias la izquierda.
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Ejemplo
La temperatura −4°C. En una hora,
subió 10°C. ¿Cuál es la temperatura
nueva?
−4 + 10 = 6
La temperatura nueva es 6°C.
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Valor absoluto
El valor absoluto es siempre positivo o 0.
|4| = 4 y |−4| = 4
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El valor absoluto de un número a, se escribe |a|, y
denota la distancia sobre la recta numérica desde 0
hasta a.
Definición
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Ejemplo 5
Evaluar:
a. |20| |20| = 20
b. |−5| |−5| = 5
c. |0| |0| = 0
d. −|−3 | −|−3| = −3
e. |2 + −5| |2 + −5| = |−3| = 3
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Propiedades de la suma de enteros
La suma de enteros comparte todas las
propiedades de la suma de naturales.
Dado enteros a, b, y c
Propiedad de clausura de la suma de enteros
a + b es un entero único
Propiedad Conmutativa de la suma de enteros
a + b = b + a.
Propiedad Asociativa de la suma de enteros
(a + b) + c = a + (b + c).
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Propiedades de la suma de enteros
Elemento de identidad de la suma de enteros
0 es el entero único tal que, para todo entero a,
0 + a = a = a + 0.
Inverso aditivo
Para cada número real x, existe el número −a,
llamado inverso aditivo de x (opuesto de x), tal
que: a + −a = 0 = −a + a.
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Propiedades del inverso aditivo
Por definición, el inverso aditivo, −a, es la solución
de la ecuación x + a = 0.
Para enteros a y b, la ecuación x + a = b tiene una
solución única , b + −a.
Para enteros a y b
−(−a) = a y −a + −b = −(a + b).
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Ejemplo
Determinar el inverso aditivo de cada expresión.
a. −(3 + x) 3 + x
b. a + −4 −(a + −4) =
c. −3 + −x −(−3 + −x) =
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−a + 4
3 + x
Resta de enteros
Modelo de fichas para la resta de enteros
3 − −2
Necesitamos fichas rojas para poder quitar 2.
Sumamos 0 en la forma 2 + −2
(dos fichas negras y dos fichas rojas.)
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= 5
Resta de enteros
Modelo de fichas para la resta de enteros
-4 − 3
Necesitamos fichas negras para poder quitar 3.
Sumamos 0 en la forma 3 + −3
(tres fichas negras y tres fichas rojas.)
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=
Resta de enteros
Calculamos 3 – 7
3 – 7 = n si y solo si 3 = 7 + n.
Resta usando el sumando faltante
La resta de enteros se puede definir en términos
de suma
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4 hacia la izquierda
Como 7 + –4 = 3, entonces n = –4.
= −4
Definición
Resta
Para enteros a y b, a − b es un entero único n
tal que a = b + n.
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Ejemplo
Usar la definición de resta para determinar las
siguientes:
a. 3 − 10
Sea 3 − 10 = n, entonces 10 + n = 3,
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Por lo tanto, n = −7.
7 hacia la izquierda
= −7
Ejemplo - continuación
Usar la definición de resta para determinar las
siguientes:
b. −2 − 10
Por lo tanto, n = −12.
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Sea −2 − 10 = n, entonces 10 + n = −2, 12 hacia la izquierda
= −12
Resta de enteros
Resta usando la suma del opuesto
Restar un entero es equivalente a sumar su
opuesto.
Para todo entero a y b
a − b = a + −b.
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Ejemplo
Usar el hecho de que a − b = a + −b, computar
cada uno de los siguientes:
a. 2 − 8 2 − 8 =
b. 2 − −8 2 − −8 =
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−6
2 + −(−8) = 2 + 8 = 10
2 + −8 =
Ejemplo - continuación
Usar el hecho de que a − b = a + −b, computar
cada uno de los siguientes:
c. −12 − −5 −12 − −5 =
d. −12 − 5 −12 − 5 =
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−12 + 5 = −12 + −(−5) = −7
−12 + −5 = −17
Orden de Operaciones
La resta ni es conmutativa ni asociativa.
Una expresión como 3 − 15 − 8 es ambigua a
menos que exista un acuerdo en cómo realizar las
operaciones.
En matemáticas el acuerdo es que 3 − 15 − 8
significa (3 − 15) − 8.
Esto es que, en ausencia de paréntesis, las
restas consecutivas se simplifican en orden de
izquierda a derecha.
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Ejemplo
Simplifica las siguientes expresiones.
a. 2 − 5 − 5 2 − 5 − 5 =
b. 3 − 7 − 3 3 − 7 − 3 =
c. 3 − (7 − 3) 3 − (7 − 3)
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−3 − 5 = −3 + − 5 = −8
−4 − 3 = −7
= 3 − 4 = −1
Ejemplo
Simplifica las siguientes expresiones.
a. -8 − |-15 - (-15)| =
b. -33 − (7 − 22)= -27 − (7 − 22)
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= -8 -8 − |-15 + 15| =
= -27 − (7 – 4)
= −30
-8 − 0
= -27 − 3
Ejemplo
Escribir expresiones equivalentes a cada una de
las siguientes que no tengan paréntesis.
a. −(b − c)
−(b − c) =
b. a − (b + c)
a − (b + c) =
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−(b + −c) = −b + −(−c) = −b + c
a + −(b + c) = a + (−b + −c)
Ejemplo
Simplifique las siguientes expresiones.
a. 2 − (5 − x) = 2 + −(5 + −x)
= 2 + −5 + −(−x)
= 2 + −5 + x
= −3 + x
= x − 3
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Ejemplo- continuación
Simplifique la siguiente expresión.
b. 5 − (x − 3) = 5 + −(x + −3)
= 5 + −x + −(−3)
= 5 + −x + 3
= 8 + −x
= 8 − x
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