makalah zat padat elektron dalam logam
Post on 02-Jan-2016
1.491 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MAKALAH ZAT PADAT
ELEKTRON BEBAS DALAM LOGAM
Elektron Bebas Oleh :
Nurainy Kusumawati (140310100010)
Nia Restu Juliantie (140310100062)
Elektron Terkuantisasi oleh :
Jahid Akbar (140310100006)
Samsul Ari (140310100084)
Fadly Rizki Pratama (140310100088)
Elektron Dalam Logam oleh :
Yusuf Akbar (140310100008)
Ronald Samuel P (140310100044)
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN
2013
BAB 1
PENDAHULUAN
Fisika zat padat adalah ilmu yang mempelajari secara spesifik mengenai
Kristal dan elektron di dalam kristal. Pengetahuan tentang kristal mulai ditekuni
pada Awal abad ke-19 yang diikuti dengan ditemukannya difraksi sinar-X.
Dengan Menggunakan difraksi X dan dilandasi oleh landasan teoritis yang
memadai serta dikemukakannya perhitungan yang sederhana dan perkiraan yang
tepat dapat mempelajari struktur kristal.
Istilah "kristal" memiliki makna yang sudah ditentukan dalam ilmu
material dan fisika zat padat, dalam kehidupan sehari-hari "kristal" merujuk pada
benda padat yang menunjukkan bentuk geometri tertentu. Berbagai bentuk kristal
tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis
ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju,
intan, dan garam dapur adalah contoh-contoh kristal. Kristal adalah suatu padatan
yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara teratur dan polanya
berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair membentuk kristal
ketika mengalami proses pemadatan. Pada kondisi ideal, hasilnya bisa berupa
kristal tunggal, yang semua atom-atom dalam padatannya "terpasang" pada kisi
atau struktur kristal yang sama, tapi, secara umum, kebanyakan kristal terbentuk
secara simultan sehingga menghasilkan padatan polikristalin. Misalnya,
kebanyakan logam yang kita temui sehari-hari merupakan polikristal. Struktur
kristal mana yang akan terbentuk dari suatu cairan tergantung pada kimia
cairannya sendiri, kondisi ketika terjadi pemadatan, dan tekanan ambien. Proses
terbentuknya struktur kristalin dikenal sebagai kristalisasi. Kristal logam kristal
dengan kisi yang terdiri atas atom logam yang terikat melalui ikatan logam. Atom
logam merupakan atom yang memiliki energi ionisasi kecil sehingga elektron
valensinya mudah lepas dan menyebabkan atom membentuk kation. Bila dua
atom logam saling mendekat, maka akan terjadi tumpah tindih antara orbital-
orbitalnya sehingga membentuk suatu orbital molekul. Semakin banyak atom
logam yang saling berinteraksi, maka akan semakin banyak terjadi tumpang tindih
orbital sehingga membentuk suatu orbital molekul baru. Terjadinya tumpang
tindih orbital yang berulang-ulang menyebabkan elektron-elektron pada kulit
terluar setiap atom dipengaruhi oleh atom lain sehingga dapat bergerak bebas di
dalam kisi.
Salah satu sifat kristal logam adalah dapat ditempa. Sifat ini diperoleh dari ikatan
logam yang membentuknya. Dalam ikatan logam, terjadi interaksi antara atom/ion
dengan elektron bebas di sekitarnya sehingga dapat membuat logam
mempertahankan strukturnya bila diberikan suatu gaya yang kuat.
BAB II
TEORI DASAR
A. Electron Bebas
Semua material terdiri dari molekul, dan molekul juga terdiri dari atom.
Atom mempunyai suatu inti dengan elektron yang beredar disekitarnya. Inti atom
terdiri dari kutub positif (proton) dan negatif (elektron). Kebanyakan atom dikenal
hanya memiliki proton dan elektron. Elektron memiliki muatan listrik negatif (-),
sedangkan proton memiliki muatan positif (+). Netron tidak memiliki muatan
listrik atau netral. Muatan listrik negatif yang dimiliki oleh elektron seimbang
dengan muatan listrik positif yang dimiliki oleh proton. Hal ini dikenal sebagai
ikatan elektron.
Elektron adalah partikel subatom yang bermuatan negatif dan umumnya
ditulis sebagai e-. Elektron tidak memiliki komponen dasar ataupun substruktur
apapun yang diketahui, sehingga ia dipercayai sebagai partikel elementer.
Elektron memiliki massa sekitar 1/1836 massa proton. Momentum sudut (spin)
instrinsik elektron adalah setengah nilai integer dalam satuan ħ, yang berarti
bahwa ia termasuk fermion. Antipartikel elektron disebut sebagai positron, yang
identik dengan elektron, tapi bermuatan positif. Ketika sebuah elektron
bertumbukan dengan positron, keduanya kemungkinan dapat saling berhambur
ataupun musnah total, menghasilan sepasang (atau lebih) foton sinar gama.
Elektron, yang termasuk ke dalam generasi keluarga partikel lepton pertama,
berpartisipasi dalam interaksi gravitasi, interaksi elektromagnetik dan interaksi
lemah. Sama seperti semua materi, elektron memiliki sifat bak partikel maupun
bak gelombang (dualitas gelombang-partikel), sehingga ia dapat bertumbukan
dengan partikel lain dan berdifraksi seperti cahaya. Oleh karena elektron termasuk
fermion, dua elektron berbeda tidak dapat menduduki keadaan kuantum yang
sama sesuai dengan asas pengecualian Pauli.
Elektron yang berada di luar ikatan, dapat beredar bebas dari aplikasi gaya
luar, seperti pergerakan melalui medan magnet, friksi atau pengaruh kimia.
Elektron tersebut dikenal sebagai elektron bebas. Elektron bebas dapat
meninggalkan garis edarnya, dimana dapat diisi oleh elektron yang memaksa
keluar dari garis edar pada atom yang lain. Elektron bebas berpindah satu atom ke
atom berikutnya, disitulah arus elektron diproduksi. Ini adalah prinsip dasar dari
kelistrikan.
B. Model Elektron Bebas Klasik
Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron
bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam
kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah
geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh
lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.
Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak
keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar
titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat
medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul
dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron.
Jika waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ , maka
kecepatan hanyut dalam selang waktu tersebut
Oleh karena itu rapat arus yang terjadi
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan
volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu
menjadi
Karena hubungan Jx=σε, maka konduktivitas listrik menjadi
Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar
5.107(Ωm)-1 dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas
mo=9,1.10-31kg, maka didapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain
adalah konduktivitas termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien
suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus
kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan
gradien suhu ∂T/∂x
Qe = -K ∂T/∂x
dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan
sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan
elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka
konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni K fonon 10≅ -
2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.
Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal
dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan
volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena
CV =(3/2)nk, (1/2)mv2
=(3/2)kT dan l=vτ , maka konduktivitas menjadi
Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah
Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853).
Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz
Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk
suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K).
Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/σT bergantung pada suhu. Dalam teori
drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung suhu.
Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan
Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ~T-1, sehingga dari ungkapan
konduktivitas listrik didapatkan
Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun.
Hal ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak
memadai.
Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.
a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip
(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam
volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing
bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas
ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas).
c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron
bebas sangat besar.
d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang
potensial di permukaan batas.
Dalam pendekatan ini elektron-elektron dapat dipandang seperti partikel
gas ideal. Sebagai contoh, perhatikan logam natrium (11Na). Atom natrium
memiliki konfigurasi elektron : 1s2-2s
2-2p
6-3s
1. Elektron-elektron pada
orbitan 1s sampai dengan 2p membentuk struktur kulit penuh. Elektron-
elektron ini bersama dengan inti atom membentuk teras atom. Sedangkan
elektron yang ke 11 pada orbitan 3s merupakan elektron valensi. Elektron
valensi inilah yang menjadi elektron bebas apabila atom-atom natrium
membentuk kristal logam. Lihat kembali “Ikatan logam” pada Bab I.
Secara umum bila suatu logam mempunyai rapat massa mρ tersusun oleh
atom-atom dengan elektron valensi Z, dan massa atom yang bersangkutan M,
maka konsentrasi elektron bebas pada logam tesebut adalah :
(3.1)
NA adalah bilangan Avogadro. Konsentrasi elektron pada persamaan (3.1)
tersebut dinyatakan dalam satuan elektron/cm3 atau elektron/m3 dan biasanya
hanya ditulis cm-3 atau m-3.
a. Hantaran Listrik
Perhatikan seutas kawat sepanjang L dengan penampang A, ujung-ujung
kawat (C dan D) diberi beda potensial VCD, dan nilai hambatan kawat adalah R.
Dalam kawat mengalir arus listrik I serta timbul medan listrik E, seperti pada
gambar. menurut Hukum Ohm, kuat arus listrik dalam kawat :
Selanjutnya dapat ditulis rumus-rumus lainnya yang menyangkut :
dengan ρ menyatakan resistivitas listrik bahan kawat, dan dapat dituliskan dalam
hubungannya dengan konduktivitas listrik σ:
Dari persamaan-persamaan di atas, hokum Ohm seperti pada persamaan (3.2)
dapat dituliskan kembali dalam bentuk :
Semua besaran listrik di atas merupakan besaran makroskopik yang dapat diukur
atau ditentukan secara langsung. bagaimanakah mekanisme elektron
menghantarkan listrik sehingga persamaan-persamaan di atas dapat terpenuhi ?
Pada gambar elektron bergerak dipercepat ke arah kanan sebagai akibat
penerapan medan listrik ke arah kiri. Dalam gerakannya elektron menumbuk dan
dihamburkan oleh atom-atom. Tumbukan dengan atom-atom ini menimbulkan
“daya hambat” yang dialami elektron, yang akan mengimbangi gaya medan listrik
pada elektron. Keadaan demikian dapat diungkapkan melalui persamaan gerak
sebagai berikut :
dengan m*
menyatakan massa efektif elektron, v kecepatan elektron, e muatan
elektron, t waktu dan τwaktu relaksasi tumbukan (waktu antara dua kali tumbukan
berurutan). suku kedua ruas kanan pada persamaan (3.6) merupakan gaya hambat
yang seperti “gaya gesek” stokes pada percobaan pengukuran Viskositas cairan.
Perimbangan antara gaya oleh medan dan gaya hambatan akan menghasilkan
keadaan tunak (stationer). Bila keadaan ini tercapai maka :
Dengan demikian persamaan (3.6) menghasilkan :
Yaitu kecepatan akhir elektron yang disebut juga kecepatan alir (drift velocity).
Tanda minus menyatakan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan arah
medan listrik E yang menyebabkannya. Kecapatan elektron ini berperan dalam
hambatan listrik. Untuk membedakannya dengan kecepatan rambang (akan
dibahas kemudian), kecepatan lain dituliskannya dengan notasi V jadi :
selanjutnya, rapat arus listrik dapat didefinisikan sebagai J = (-ne)vd dengan n
menyatakan konsentrasi elektron. Dengan mengganti vd seperti pada persamaaan
(3.8a), diperoleh :
Bandingkan persamaan ini dengan hukum Ohm pada persamaan (3.5.), dihasilkan
ungkapan bagi konduktivitas listrik :
persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara besaran makroskopik (σ) dan
besaran mikroskopik bagi elektron (*m dan σ). Di pihak lain, apabila diambil
keadaan relaksasi, yaitu apabila medan listrik dihilangkan (E=0), maka persamaan
gerak elektron menjadi :
yang memberikan solusi :
vd (0) menyatakan kecepatan akhir sesaat sebelum medan listrik dihilangkan. τ
yang merupakan waktu relaksasi dapat dinyatakan sebagai berikut :
Λ adalah jarak antara dua tumbukan berurutan atau disebut juga lintasan bebas
rata-rata elektron. Sedangkan vr menyatakan kecepatan rambang elektron, yaitu
kecepatan elektron dalam gerakannya karena pengaruh termal (panas). Kecepatan
rambang tidak berpengaruh dalam hantaran listrik. Denagn hubungan (3.14),
maka ungkapan konduktivitas listrik (3.11) menjadi :
Beberapa nilai dari besaran-besaran bersangkutan diberikan pada tabel
b. Resitivitas Listrik
Dari persamaan (3.4) dan (3.11) dapat diperoleh rumusan bagi resistivitas listrik :
Tumbukan elektron dengan penghambur dalam kristal dapat dibedakan atas dua
faktor, yaitu :
Apabila tumbukan dengan fonon menghasilkan waktu relaksasi dan tumbukan
dengan atom impuritas menghasilkan waktu relaksasi maka dapat dituliskan :
Dengan demikian, resistivitas listrik pada persamaan di atas berubah menjadi :
yang selanjutnya dapat ditulis :
Pada suhu rendah (T<<) tidak ada fonon, jadi 0 sehingga ρ=ρi=. Sebaliknya pada
suhu tinggi (T>>) konsentrasi fonon meningkat, sehingga tumbukan dengan fonon
menjadi dominan. Akibatnya dan dengan demikian . Jadi jelas bahwa resistivitas
listrik tergantung pada suhu (T), terutama sebagai akibat tumbukan dengan fonon.
Untuk menampung kebergantungan pada T ini, maka lebih tepat dituliskan
sebagai berikut :
fρ (T) dapat diturunkan berdasarkan teeori kinetik gas dan memiliki bentuk :
Dengan M massa atom dalam kristal, k’ tetapan gaya antar atom dan suhu Debye.
Pesamaan (3.19) disebut hukum Matthiessen. Hukum ini menyimpang pada suhu
rendah (mendekati T=0, dan penyimpangan ini disebut efek Kondo. Lihat gambar
C. Model Elekton Bebas Terkuantisasi
Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah
sifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang
terkuantisasi. Model ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan
prinsip eksklusi Pauli untuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac.
Model elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas yang lain
dan semua ion prinsip dipresentasikan oleh potensial V sama dengan nol sehingga
gaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol, secara kuantum
mengambil persamaan Schrödinger
dengan solusi fungsi elektron
dan energi elektron
Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila
elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka
haruslah dipenuhi
Dalam ruang k, setiap keadaan elektron dipresentasikan oleh volume
sebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx = Δny = Δnz = 1. Semua keadaan
elektron yang berenergi E k=h2
2 m0
(k x2+k y
2+k z2) terletak pada permukaan bola
berjari-jari k yang memenuhi k2=(k x
2+k y2+k z
2 )=2 m0
h2 Ek. Sedangkan semua
keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam kulit bola
dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian, jumlah
keadaan elektron adalah
4 π k2 dk
( 2 πL )
3 = L3k 2
2 π2 dk
Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi
L3k 2
π2 dk
Mengingat ungkapan E=h2k 2
2 m0, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume
yang berenergi antara E dan E+dE adalah
Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapat
dua wlwktron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat
sama. Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi
Fermi-Dirac
Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0) dan fungsi
distribusi Fermi-Dirac
Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E < EF(0) terisi penuh
elektron dan E > EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T > 0 K berlaku
Hal ini berarti pada T > 0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di
bawah EF menjadi kosong sebagian.
Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.
a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion
positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak
dalam volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai
energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu
dirangkum dalam ungkapan rapat elektron
dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE (3.28)
Dengan mensubtitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat
elektron sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem
c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron
bebas sangat besar.
d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya
terdapat suatu potensial penghalang yang harus diloncati oleh elektron
bebas paling energetik pada suhu T = 0 K (energi EF) untuk dapat
meninggalkan permukaan batas logam.
3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga Cv
Rapat elektron pada suhu T = 0 K
dan rapat energi pada suhu T = 0 K
Bila dinyatakan dalam rapat elektron (3.30) di atas, maka
Sedangkan rapat energi elektron pada suhu T > 0 K
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk (3.32) digunakan bentuk
integral
yang mempunyai bentuk asymtotik untuk y0 besar dan berharga positip
Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah
Karena bentuk [(πkT)2/EF2(0)] sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka
EF selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan memakai bentuk (3.33), (3.34) dan
deret binomial (1+x)p, serta memperhatikan ungkapan (3.31) dan (3.30), maka
rapat energi (3.32) di atas dapat dihitung dan hasilnya adalah
sehingga kapasitas panas elektron bebas
Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik (Cv)el’ (persamaan
(3.13)), maka ungkapan (3.36) untuk satu mol zat menjadi
Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv unuk kristal diperkecil
dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5 eV dan T=300
K, maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor pengecil tersebut
kira-kira berorde 10-2.
Dapatlah disimpulkan bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv suatu
logam sangatlah kecil, terutama pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangan
tersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah.
Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panas
suatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon,
yakni
dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen
dapat dibuat grafik Cv/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan.
3.2.2 Paramagnetik Pauli
Apabila terdapat suatu medan magnet luar H, maka spin elektron bebas akan
menyesuaikan diri terhadap H. Energi total elektron bebas karena pengaruh medan
Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap
medan. Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini.
Rapat keadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah.
Tanpa medan magnet luar H, keduanya simetri terhadap sumbu E.
Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektron
yang antiparalel terhadap H. Magnetisasi yang terjadi adalah
Gambar 3.1 Variasi tingkat energi karena aplikasi medan magnet luar H
Bila diambil kasus untuk T = 0 K, maka diperoleh
Perhitungan di atas menggunakan relasi g(E±µ0µBH) = g(E) ± µ0µBH(dg/dE)
berdasarkan ekspansi Taylor, dan g(EF) = 3n/2 EF yang diperoleh dengan
menggabungkan (3.26) dan (3.30). Dengan demikian suseptibilitas magnetiknya
Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap
suhu. Dengan harga EF0 = 2 eV didapatkan χ = 5.10-6 yang sesuai dengan hasil
eksperimen. Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi
hasilnya valid dalam rentang suhu yang cukup besar.
3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam
Konduktivitas yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan
elektron yang lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E) < 1.
Hal ini terjadi di daerah E ~ EF. Elektron yang demikian akan mengalir bila
dikenai medan listrik. Hubungan rapat arus J dan medan listrik ε dinyatakan oleh
hukum Ohm
J=σ ε (3.43)
dimana σ adalah konduktivitas listrik. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyut
elektron vd, maka rapat arus juga diungkapkan dalam bentuk
J=nevd
Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaan
mapan (steady state) n0( v ), yang tifak bergantung waktu. Dalam ruang kecepatan,
distribusi n0( v ) mempunyai simetri bola, dan dinamakan bola Fermi (dengan
radius laju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan Fermi. Kecepatan
elektron bersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui ungkapan
E=12
m v2
direpresentasikan oleh semua titik dalam bola. Arus total nol karena setiap
elektron yang berkecepatan v selalu berpasangan dengan yang berkecepatan –v.
Kecepatan elektron sangat besar di permukaan Fermi. Permukaan Fermi tidak
begitu dipengaruhi oleh suhu. Bila suhu naik, hanya sedikit elektron yang
melintasinya.
Perlu diketahui bahwa pengukuran eksperimen menunjukkan bahwa
permukaan Fermi berbentuk bola terdistorsi, sebagai akibat dilibatkannya
interaksi elektron dan kisi. Bila terdapat medan listrik, misalnya εx searah sumbu-
X, maka distribusi elektron berubah menjadi n( v ). Perubahan ini mempunyai
komponen posisi dan waktu. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X),
seperti ditunjukkan oleh gambar 3.2 berikut.
Gambar 3.2 a. Bola Fermi saat setimbang, b. Pergeseran bola Fermi saat
dikenakan medan
Diambil asumsi bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran
medan luar ini sangat kecil bila dibandingkan dengan vrms.
Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektron
hanya dipengaruhi oleh komponen waktu. Proses yang terjadi adalah adanya
perubahan distribusi elektron karena pengaruh medan luar ε dan adanya proses
hamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan semula. Penggabungan kedua
proses ini menghasilkan persamaan kontinuitas
dengan τ adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan
transport Boltzmann. Dalam keadaan mapan (∂ n ( v )/∂t=0) persamaan (3.44)
menjadi
Dalam kasus di atas diambil ε=ε x i sehingga persamaan (3.45) menjadi
Rapat arus listrik yang terjadi
Integral suku pertama persamaan (3.47) menghasilkan nol karena kecepatan rata-
rata vx = 0 dalam n0 ( v ). Dengan demikian rapat arus (3.47) menjadi
Mengingat bahwa
a. τ=l /v , dimana l adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan,
b. v2=v x2+v y
2+v z2, dan
c. gerak elektron secara acak sehingga vx2=1/3v2
maka ungkapan rapat arus (3.48) berubah menjadi
Dari rapat elektron (3.29), setelah mengganti variabel E menjadi v,
diperoleh distribusi elektron n0 ( v ) tak lain adalah
Substitusi persamaan (3.50) dan setelah diadakan perubahan variabel v menjadi E,
maka rapat arus (3.49) menjadi
Dengan demikian, mengingat hubungan (3.43) diperoleh konduktivitas
listrik
Untuk suhu T = 0 K, harga (−∂ f (E ) /∂ E) berupa fungsi delta Dirac δ sehingga
integral dalam (3.52)
dan dengan menggunakan ungkapan rapat elektron (3.30), maka ungkapan
konduktivitas listrik (3.52) di atas menjadi
dimana τF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi. Ungkapan
konduktivitas listrik di atas, ternyata bentuknya sama dengan hasil teori Drude
yang lalu.
Baik teori Drude maupun model elektron bebas terkuantisasi
mengemukakan bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan
konsentrasi elektron. Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih
tinggi, justru menunjukkan nilai konduktivitas lebih rendah. Di samping itu,
sebenarnya fakta menunjukkan bahwa konduktivitas listrik bergantung pada suhu
dan juga arah.
D. Elektron Dalam Logam
Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya
besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain.
Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi,
konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan
dengan struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam
mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam
keseluruhan volume kristal.
Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi
elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion,
sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang
tetap terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian,
gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam
ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih
lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan
demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah
arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain
(kemungkinan kecil).
Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores” hanya
sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan
setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron
konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan Z,
masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi
elektronnya adalah
dengan N adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki
konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu,
Ag dan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen.
Bagian awal ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasan
kapasitas panas dan suseptibilitas magnetik dari sumbangan elektron
menunjukkan bahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron
mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi
dan permukaan Fermi, yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi
konduktivitas listrik dalam logam.
Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakan
elektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal ini
menghasilkan informasi yang mendasar tentang logam.
Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan
fonon dan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen.
Selain itu, elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi
emisi thermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa
kegagalan model elektron bebas dalam membahas sifat logam.
Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas,
yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal
dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya
setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar,
maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini.
Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak
keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik
kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik
ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul
dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika
waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ , maka kecepatan
hanyut dalam selang waktu tersebut
Oleh karena itu rapat arus yang terjadi
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan
volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu menjadi
Karena hubungan Jx=σε, maka konduktivitas listrik menjadi
Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.107(Ωm)-1
dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg,
maka didapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas
termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan
terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan
eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x
Qe = -K ∂T/∂x
dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan
sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan
elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka
konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-
2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.
Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal
dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan
volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV
=(3/2)nk, (1/2)mv2
=(3/2)kT dan l=vτ , maka konduktivitas menjadi
Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah
Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853).
Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz
Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi
(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu
“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.
Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, l=τvo, tidak bergantung
suhu. Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan
Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ~T-1, sehingga dari ungkapan
konduktivitas listrik didapatkan
Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini
tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.
Model Elektron Bebas Klasik
Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.
a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip
(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam
volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing
bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas
ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas).
c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron
bebas sangat besar.
d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang
potensial di permukaan batas.
Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total
elektron tersebut perkilomol
Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya
sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas
Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah
Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator.
Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan
isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat
menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total
adalah reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model elektron
bebas klasik tidak memberikan hasil ramalan Cv yang memadai. Suseptibilitas
magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan magnetik H melalui
ungkapan
Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh
medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol
μ, yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik
Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-
Boltzmann,
maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi
Dimana θ adalah sudut antara µ dan H.
dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin
Dengan menggunakan deret
maka untuk medan H tidak kuat, yakni µH<<kT momen dipol rata-rata tersebut
berharga
Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya
Dengan membandingkan persamaan-persamaan diperoleh suseptibilitas magnetik
Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal
ini berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa
χ untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari hasil yang dibahas diatas, maka dapat disimpulkan bahwa kristal
adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara
teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair
membentuk kristal ketika mengalami proses pemadatan. Berbagai bentuk kristal
tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis
ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju,
intan, dan garam dapur.
Dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas
elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo
karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion
logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh
dalam tumbukan ini. Hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk
suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi,
untuk suhu “intermediate”, K/σT bergantung pada suhu.
top related