massimo comun divisore m c d. numeri primi e numeri composti nella tabella accanto trovi indicati i...

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

M C D

Numeri primi e numeri compostiNumeri primi e numeri composti

Nella tabella accanto trovi indicati i divisori dei primi

tredici numeri naturali. Prova a ricostruirla sul tuo

quaderno e proseguila almeno fino al numero 20.

Numeri primi e numeri compostiNumeri primi e numeri composti

Osserva i risultati della tabella. Quanti risultati ha

ogni numero?Dirai che il numero dei

divisori varia da numero a numero;

che vi è un numero particolare, l’unità (1), che ha un solo divisore mentre fa parte dei divisori di ogni

altro numero;

Numeri primi e numeri compostiNumeri primi e numeri composti

che vi sono numeri come 2, 3, 5, 7, 11, 13, … che hanno

solo due divisori;che i rimanenti numeri

hanno più di due divisori.I numeri che hanno due soli

divisori, per questa loro caratteristica, vengono

chiamati numeri primi.I numeri che hanno più di due divisori sono chiamati

numeri composti.

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Alfredo è l’aspirante cuoco del ristorante “Gusteau’s”, famoso in

tutta la città per le sue ricette prelibate.

Giovedì sera aveva preparato 12 polpette e 18 patate al forno.

Volendo servire piatti contenenti lo stesso numero di polpette e

patate quanti ne potrà preparare?

Qual è il numero massimo di piatti tutti uguali che potrà

servire in tavola?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Nel disegno sottostante sono riportati tutti i divisori del numero 12 e tutti i divisori del numero 18.

Il numero di divisori del numero 12 e il numero di divisori di 18 sono

insiemi finiti o infiniti?

Puoi dire lo stesso per qualsiasi

numero?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Nel disegno sottostante sono riportati tutti i divisori del numero 12 e tutti i divisori del numero 18.

I numeri 12 e 18 hanno divisori in

comune? Sapresti dire quali sono?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Qual è il più grande dei divisori comuni?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Il più grande divisore comune di due numeri si chiama massimo comun divisore. Per

semplicità si abbrevia con le iniziali maiuscole: MCD.

Così dirai che il «massimo comun divisore fra 12 e 18 è 6» e scriverai:

MCD (12, 18) = 6

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Giovedì sera Alfredo potrà preparare 6 piatti tutti uguali, contenenti ciascuno 2 polpette e 3

patate.

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente.Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri.

Indica con A l’insieme dei numeri della prima colonna:A = {divisori di 12} = {1, 2, 3, .…, …., …. }

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente. Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri.

Indica con B l’insieme dei numeri della terza colonna:B = {divisori di 18} = {…., …., …., …., …., …. }

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente. Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri.

Indica con C l’insieme dei numeri della colonna centrale:C = {divisori comuni a 12 e 18} = {…., …., …., …. }

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Volendo rappresentare i tre insiemi A, B e C con un diagramma di Venn quale grafico otterrai?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

L’insieme C è l’insieme intersezione degli insiemi A e B, quali elementi contiene? Qual è il MCD di 12

e 18?

{ }1,2,3,6C A B= =I

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Vogliamo ora trovare il MCD di 20 e 30.

Procedi nel seguente modo:

(a) Trova i divisori di 20

- A ={divisori di 20} = {1, 2, 4, …, …., …. }

(b) Trova i divisori di 30

- B ={divisori di 30} = {1, 2, 3, …, …., …., ….,

…. }

(c) Individua i divisori comuni ad A e B

- C = {divisori comuni a 20 e 30} = {…., …., ….,

…. }

(d) Indica l’elemento dell’insieme C che è il MCD

(20,30)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

La situazione precedente si può rappresentare con un diagramma di Venn?

MCD (20,30) = 10

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Ora che hai capito il procedimento che attraverso lo schema grafico o i diagrammi di Venn ti ha

condotto ad individuare il MCD di due numeri, puoi anche procedere senza ricorrere ai grafici.

Sul quaderno trova il MCD (12, 15):

Div. 12 = { ………………………….}

Div. 15 = { ………………………….}

Div. Comuni a 12 e 15 =

{ ………………………….}

MCD (12, 15) = …………………..

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Ora che hai capito il procedimento che attraverso lo schema grafico o i diagrammi di Venn ti ha

condotto ad individuare il MCD di due numeri, puoi anche procedere senza ricorrere ai grafici.

Sul quaderno trova il MCD (24, 25):

Div. 24 = { ………………………….}

Div. 25 = { ………………………….}

Div. Comuni a 24 e 25 =

{ ………………………….}

MCD (24, 25) = …………………..

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Nell’ultimo degli esempi precedenti ti sei trovato davanti due numeri che hanno un solo divisore in

comune: 1.Quando due o più numeri hanno come MCD l’unità

(1,) si dice che sono primi tra loro.

MCD (24, 25) = 1

I numeri 24 e 25 sono primi tra loro!

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Sai giudicare a vista quale delle seguenti coppie di numeri è formata da numeri primi tra loro ?

(2, 3)

(5, 6)

(8, 10)

(9, 14)

(4, 6)

(7, 8)

(9, 12)

(5, 12)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Verifica a vista che il MCD dei numeri di ciascuna delle seguenti coppie è 1.

(3, 4)

(11, 12)

(20, 21)

(19, 25)

(8, 9)

(6, 12)

(19, 23)

(7, 13)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Sul quaderno trova il MCD (12, 24):

Div. 12 = { ………………………….}

Div. 24 = { ………………………….}

Div. Comuni a 12 e 24 =

{ ………………………….}

MCD (12, 24) = …………………..

Cosa osservi? Puoi dire che tutti i divisori di 12 sono anche divisori di 24? Sai dire perché questo avviene?

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Sul quaderno trova il MCD (12, 24):

Div. 12 = { ………………………….}

Div. 24 = { ………………………….}

Div. Comuni a 12 e 24 =

{ ………………………….}

MCD (12, 24) = …………………..

Ogni volta che uno dei due numeri assegnati è divisore dell’altro allora il MCD dei due numeri è il più piccolo dei due numeri.

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Sai giudicare a vista quale delle seguenti coppie di numeri è formata da numeri di cui uno è divisore

dell’altro?

(2, 4)

(3, 6)

(6, 10)

(12, 4)

(15, 9)

(18, 9)

(5, 7)

(6, 24)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Trova a vista il MCD dei numeri di ciascuna delle seguenti coppie.

(4, 8)

(14, 7)

(20, 5)

(12, 4)

(15, 45)

(36, 12)

(18, 6)

(77, 11)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Quando i numeri sono un po’ più grandi di quelli che abbiamo visto finora, trovare il MCD non è molto agevole con i metodi finora visti, conviene allora ricorrere alla fattorizzazione.Vediamo come si procede:

Vogliamo trovare il MCD (42,

70):Scomponiamo 42 in un prodotto

di fattori primi:

42 = 2x3x7

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Scomponiamo 70 in un prodotto

di fattori primi:

70 = 2x5x7

Vogliamo trovare il MCD (42,

70):

Quando i numeri sono un po’ più grandi di quelli che abbiamo visto finora, trovare il MCD non è molto agevole con i metodi finora visti, conviene allora ricorrere alla fattorizzazione.Vediamo come si procede:

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Il risultato delle fattorizzazioni è:42 = 2x3x770 = 2x5x7

Puoi dire che i divisori primi in comune a 42 e 70 sono: ………………………………………Allora MCD (42, 70) = 2x7 = 14

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Questo procedimento per trovare il MCD di due numeri sfrutta la possibilità di fattorizzare un numero, per questo si chiama metodo dei fattori.

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

In pratica, il procedimento per trovare il MCD di due numeri con il metodo dei fattori è il seguente:

Si fattorizzano i due numeri

Si scelgono i fattori comuni (col più piccolo esponente)

Si scelgono i fattori comuni (col più piccolo esponente)

Massimo Comun DivisoreMassimo Comun Divisore

Lavorando sul tuo quaderno, trova il MCD delle seguenti coppie di numeri col metodo dei fattori:(18, 24) (40, 60) (28, 42)(120, 160) (36, 72) (48, 54)

FineFine