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MATE 3031
Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 20
MATE 3031
Derivadas y razones de cambio
En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante
!PQ.
x
y
a x
P(a,f(a))
Q(x,f(x))
x-a
f(x)-f(a) La pendiente dela recta secante:
mPQ =
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 20
MATE 3031
DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:
(1) m = limx!a
si el lÌmite existe.
Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular
considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:
mPQ =f (a+h)$f (a)
h
Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:
m = limh!0
(2)
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.Ejemplo1. 4 (p·g. 148) Halle la pendiente de la recta tangente a la par·bolay = x $ x3 en el punto (1, 3) :a. usando la deÖniciÛn
b. usando la ecuaciÛn (1).
c. Determine la ecuaciÛn de la recta tangente
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2. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =px en el punto
(1, 1)
P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 20
MATE 3031
3. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =2x + 1x + 2
en el punto
(1, 1)
P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 20
MATE 3031
Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t), donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:
velocidad promedio =desplazamiento
tiempo=f (a+ h)$ f (a)
h
x
y
a a+h
h
f(a+h)-f(a)
P(a,f(a))
Q(a+h,f(a+h))
La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:
!PQ
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Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0, entonces se tiene la velocidad(velocidad instant·nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellÌmite de la velocidad promedio:
v (a) = limh!0
f (a+ h)$ f (a)h
si el lÌmite existe.EjemploProb. 16. p·g. 149
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DeÖniciÛn La derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada porf 0 (a) , es:
f 0 (a) = limh!0
f (a+ h)$ f (a)h
si el lÌmite existe.
Nota: Si x = a+ h) h = x $ a y se tiene: f 0 (a) = limx!a
f (x)$ f (a)x $ a
Recta tangente:La ecuaciÛn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a yes dada por:
y $ f (a) = f 0 (a) (x $ a)
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MATE 3031
Prob. 17 p·g. 149
Prob. 22 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2) , halle f (4) y f 0 (4)
P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 20
MATE 3031
Prob. 24 Haga el bosquejo de la gr·Öca de una funciÛn g para la cual:g (0) = g (4) = g (2) = 0, g 0 (1) = g 0 (3) = 0, g 0 (0) = g 0 (4) =1, g 0 (2) = $1, lim
x!•g (x) = •, , lim
x!$•g (x) = $•.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
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28. Si G (x) = x4 $ 2, halle G 0(a) y ˙selo para hallar las rectas tangentesa la curva y = x4 $ 2 en los puntos (1,$1) .
P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 20
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36. Halle f 0 (a) si f (t) =4p1$ t
P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 20
MATE 3031
34. El lÌmite limh!0
e$2+h $ e$2
hrepresenta la derivada de una funciÛn f en
alg˙n n˙mero a, halle f y a.
36. El lÌmite limx! p
6
sin x $ 12
x $ p6
representa la derivada de una funciÛn f en
alg˙n n˙mero a, halle f y a.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 15 / 20
MATE 3031
Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:
Dx = x2 $ x1
y el cambio correspondiente en y es:
Dy = f (x2)$ f (x1)
El cociente de las diferencias:
DyDx
=f (x2)$ f (x1)
x2 $ x1
es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .
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MATE 3031
Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que Dx se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:
razÛn de cambio instant·nea = limDx!0
DyDx
= limDx!0
f (x2)$ f (x1)x2 $ x1
La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.
Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:
La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.
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46. .
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54. El n˙mero de bacterias despuÈs de t horas en un laboratorioexperimental es n = f (t):a. øCu·l es el signiÖcado de f 0 (5)? øCu·les son sus unidades?
b. ...
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P. V·squez (UPRM) Conferencia 20 / 20
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