matemática financeira - formação finanças t 20 - material do aluno

Programação 2011. Introdução.

Juros Simples.

Juros Compostos.

Equivalência de Capitais (Valor Presente e Valor Futuro)

Fluxos de Caixa equivalentes.

Taxas de Juros (Equivalentes, nominais, efetivas e reais).

Inflação e poder de compra.

Séries Uniformes

Sistemas de Amortização.

Análise de Investimentos.

• Objetivos do curso

– Apresentar os principais conceitos de Matemática Financeira a partir do estudo do comportamento do dinheiro no tempo.

– Fornecer as principais ferramentas matemáticas para as demais disciplinas do curso de Formação em Finanças.

• Metodologia

– Apresentação de conceitos (expositiva / participativa)

– Análise de situações financeiras (expositiva / participativa)

– Resolução de exercícios com a HP 12-C e Excel.

Regras do Jogo

Critério de avaliação

Avaliação Individual (80%)

Avaliações em grupo (20%)

Introdução

Conceitos Fundamentais

Valor Presente ou Principal: é o quanto vale uma quantia hoje. Muitas

vezes é o valor inicial de uma operação.

Representado por VP ou PV

Valor Futuro ou Montante: é o valor de uma quantia numa data futura.

Representado por FV ou VF

Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou seja,

custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a forma de uma

taxa por tempo.

Conceitos Fundamentais

Prazo: Tempo de duração de uma operação financeira.

Representado por n ou t

Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou

seja, custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a

forma de uma taxa por tempo.

Taxa de juros – expressa a razão entre os juros recebidos (ou

pagos) e o capital inicial empregado. Normalmente é

representada por i ou r.

1) Pode ser expressa na forma percentual ou decimal.

2) Sempre referida a uma unidade de tempo.

Introdução

Turma 6 – Prof. Ivail Muniz. 6

Introdução

• Operação básica: Empréstimo

Capital inicial(PRINCIPAL)

+Capital inicial

IntroduçãoExemplo 1.

• Marcos tomou um empréstimo de $ 20 000,00. Um ano depois pagou $ 27 000,00. Qual o valor dos juros pagos? Qual a taxa de juros da operação?

Conceito de Juros

É indiferente receber R$ 1.000,00 hoje

ou daqui a seis meses?

R$ 210 = juros

R$ 1.000 = capital inicial

1 semestre

Recebimento hoje

Recebimento daqui a 6 meses

Opções

capital inicial

= R$ 1.000

Erros comuns:

Achar que $ 27000,00 valem mais que $ 20 000,00.

Achar que R$ 1000,00 têm sempre o mesmo valor que

R$1000,00.

Somar quantias referidas a épocas diferentes. O que é

melhor: comprar em 3 de R$1000,00 ou 6 de R$510,00?

Introdução

Os três grande segredos da Matemática Financeira.

1) Como transportar o dinheiro no tempo.

2) Dinheiro e tempo – amigos inseparáveis.

(ao longo do tempo o valor do dinheiro muda devido à

inflação, alternativas de investimento, etc.)

3) Somar/subtrair quantias somente se estiverem na mesma

época.

Fator de Atualização

Um aliado importante: Fator de atualização.

Uma quantia, ao ser aumentada de uma taxa i, fica multiplicada por (1+ i).

Atenção!

Taxa = i

Fator = (1 + i)C C.(1 + i)

Taxa i

. (1 + i)

Fator de AtualizaçãoExemplo 2.

Juros Compostos x

Juros Simples

Juros Simples e Juros Compostos

• Regime de Capitalização – refere-se à forma como os juros são calculados.

– Juros simples – a taxa de juros incidirá apenas sobre o principal inicialmente aplicado.

– Juros compostos – a taxa de juros incidirá sobre o saldo devedor (principal mais os juros acumulados até aquele período)

151515

Juros compostos Regime de Juros compostos

Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco

que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,

a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa

aplicação ao fim dos 5 anos?

AnoSaldo no

Início Juros Saldo no Fim

1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00

2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00

3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00

4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10

5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51

Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:

0n)i1.(CC

De outro modo,

)i1.(VPVF

Juros compostos Regime de Juros compostos

que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,

a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa

AnoSaldo no

Início Juros Saldo no Fim

1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00

2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00

3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00

4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10

5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51

Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:

0n)i1.(CC

De outro modo,

)i1.(VPVF

Juros compostos

No sistema de Juros compostos:

A taxa incide sobre o SALDO DEVEDOR do período anterior.

o crescimento do capital investido/devido é exponencial ao

longo do tempo (o montante cresce em P.G. - Progressão

Geométrica)

Juros compostos

Cristina tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros de 12% ao

mês. Qual será a dívida de Cristina quatro meses depois? E após 1

semestre? Após quanto tempo a dívida de Cristina triplica?

Exemplo 1.

Exemplo 2.Juros compostos

Uma empresa aplica R$ 250.000,00 em um investimento que

proporciona juros de 2% a.m., durante 6 meses. Depois dos 6 meses,

recebe a oferta de um investimento que rende juros de 5% ao

bimestre, e aplica o montante da aplicação anterior por mais 6

meses nesse novo investimento.

a) Qual o montante após 1 ano dessa dupla aplicação?

b) Qual a taxa de juros anuais da operação?

c) Qual a rentabilidade, em reais, da operação?

Exemplo 3.

Juros compostos

Carlos aplicou uma determinada quantia em um fundo de

investimentos de modo que após 1 ano e meio o capital aplicado

aumentou de 150%. Qual a taxa média de juros mensais desse

investimento?

Exemplo 4.

Juros compostos

João investiu um capital, nos seis primeiros meses do ano à taxa

de 5% a.m. Querendo que o seu capital inicial tenha um

rendimento de 120% ao final desse ano, determine a taxa de juros

dos próximos seis meses para garantir a rentabilidade desejada?

Um investidor pagou R$ 100.000,00 por um título de renda fixa,

com um prazo de 60 meses e taxa de juros de 18% a.a. Dois anos

depois precisando dos recursos aplicados, vendeu o título no

mercado. Determine o valor recebido pelo investidor, sabendo-se

que, no momento da venda, a taxa de juros era de 25% a.a.

Observações:

– Para a correta utilização dessa fórmula, a taxa de juros i e oprazo n devem estar referenciados a uma mesma unidade detempo; Ex: 2% a.m, num prazo de 1 ano, significa n=12)

– O prazo (n) pode ser fracionário; por exemplo, se as taxasforem mensais, n = 0,5 corresponde a 15 dias;

– Antes de utilizar a HP, verifique se os registradores financeirosestão limpos;

Juros compostos

Juros Simples

Regime de Juros Simples

que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros SIMPLES. Para tal, a

aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa

Ano Saldo no Início Juros Saldo no Fim

1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00

2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.200,00

3 R$ 1.200,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.300,00

4 R$ 1.300,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.400,00

5 R$ 1.400,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.500,00

00nC.i.nCC

VP.i.nVPVF

De outro modo,

Um capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:

Juros Simples

• Jéssica deseja pagar uma dívida inicial de R$ 3000,00 com 10 diasde atraso. Se a taxa cobrada é de 6% ao mês, no sistema de jurossimples, determine o valor do pagamento para quitação. E se oatraso fosse de 30 dias? E de 50 dias?

Exemplo 1.

Juros Simples

Manoel toma um financiamento bancário de R$ 100.000,00 com

vencimento em 1 semestre, a uma taxa de 3% a.m., no regime de

juros simples. Qual o valor a ser pago na data do vencimento?

Um principal igual a 2/3 do Montante foi aplicado a juros simples

por um período de 2 meses. Qual taxa mensal obtida na operação?

Exemplo 2.

Exemplo 3.

Juros Simples

os juros de cada período são calculados com base no

CAPITAL INICIAL(PRINCIPAL).

o crescimento do capital investido é LINEAR ao longo do

tempo (crescem em P.A. - Progressão Aritmética).

Juros e tempo são proporcionais – Regra de três!

No sistema de Juros simples:

Juros Simples

Juros mistos (Convenção Linear)

).1.()1.(s

riiVPVF n

Incidência de Juros compostos durante os períodos inteiros de

capitalização, seguida da incidência de juros simples durante os

períodos fracionários (não inteiros) de capitalização.

Juros mistos (Convenção Linear)

Há duas formas de se calcular:

1 – Considerar juros compostos durante os 3 meses e 10 dias. Esta é

a chamada convenção exponencial. O montante é

5200*(1+0,06)^(3+10/30) = 6314,75 reais

2 –Considerar juros compostos em três meses, e depois juros

simples nos dez dias seguintes aplicados a este valor. Esta é a

chamada convenção linear, usada quando nos cobram juros. O

montante é 5200*(1+0,06)^3*(1+10/20), o que resulta em 6

317,15 reais. Essa é a convenção Linear.

Qual é o montante de um principal de R$ 5200,00 a juros de 6%

ao mês após 3 meses e 10 dias de aplicação?

Exemplo 6.

Equivalência de Capitais.

Equivalência de Capitais

O dinheiro varia no tempo

R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 daqui a um

Por que?

Para deslocar o dinheiro no tempo, precisamos ter uma

Com ela, o dinheiro “anda para frente”, ou seja, é capitalizado.

Com ela, o dinheiro “anda para trás”, ou seja, é descontado.

• Dois ou mais capitais são equivalentes se têm o mesmo valorquando referidos à mesma mesma época (comparados em umamesma data focal – data de comparação).

• Se dois (ou mais) capitais forem equivalentes em umadeterminada data focal, serão também equivalentes emqualquer outra data focal.

0 1 2 3

)1(...

)1()1()1( 3

Para obter o valor futuro (após n períodos), basta multiplicar o presente por

n períodos

)i1.(VPVF

Para obter o valor presente,(voltando n período) basta dividir o futuro por

n períodos

Francisco pegou uma quantia emprestada em Janeiro, a juros de

5% ao mês, com o compromisso de pagar tudo até JUNHO. Para

seu espanto, sua dívida em Abril era de R$ 11 576,25. Sabendo

que não efetuou nenhum pagamento da dívida nesse período,

responda aos itens abaixo

JAN FEV MAR ABR MAI JUN

11 576,25

a) Qual foi o valor do empréstimo feito por Francisco?

b) Preencha a tabela acima com os valores da dívida a cada mês

Exemplo 1.

Uma duplicata no valor de R$ 50.000,00 a ser paga daqui a 2

meses e outra de R$ 75.000,00 a ser paga daqui a 6 meses

devem ser liquidadas por um pagamento único a ser efetuado

daqui a 4 meses. Calcule este pagamento, à taxa de juros de

5% ao mês.

Exemplo 2.

Júlio tomou um empréstimo de R$ 3000,00 a juros mensais de

5%. Dois meses após, pagou R$ 750,00 e, um mês após esse

pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último

pagamento?

Exemplo 3.

Um equipamento está a venda por R$ 20.000,00 de entrada e

R$ 20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe dar uma

entrada e pagar R$ 25.000,00 como segunda parcela, porém

somente depois de 8 meses após a compra. Neste caso, qual o

valor da entrada, considerando uma taxa de juros de 2% ao

Exemplo 4.

Arthur tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 a juros mensais de

6% ao mês. No primeiro mês, pagou R$ 3.000,00; no segundo mês

pagou R$ 5.000,00 e no quarto mês quitou a dívida. Qual o valor

desse último pagamento?

Exemplo 5.

Uma empresa comprou um equipamento no valor de R$

200.000,00. O fornecedor ofereceu duas opções de

pagamento:

I – Pagamento à vista com 5% de desconto;

II – Pagamento a prazo em 4 vezes sem juros, para (30, 60, 90 e

Suponha que a empresa tenha o dinheiro para pagar à vista, e

que a que tem disponível um taxa de investimento de 2% ao

Qual a melhor opção para a empresa?

Exemplo 6.

Uma empresa tem 3 dívidas cujos valores de face e prazo são

R$ 100.000,00 a vencer em 180 dias; R$ 220.000,00 a vencer

em 240 dias e R$ 370.000,00 a vencer em 540 dias. Ela deseja

liquidar todos os pagamentos daqui a 360 dias. Qual o valor do

pagamento, considerando uma taxa de juros de 15% a.a.?

(considere o ano comercial)

Exemplo 7.

Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que

paga 2% a.m sobre o saldo credor, depositando R$ 15.000,00.

Após 6 meses, necessitando de dinheiro retira R$ 7.000,00. Nos

dois meses seguintes, deposita, sendo R$ 1.000,00 no primeiro e

R$ 2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o

correntista efetua um saque de R$ 5.000,00. Qual é o saldo desta

conta, um ano após a sua abertura, considerando que nenhum

saque ou depósito fora efetuado desde o último saque?

Exemplo 8.

Taxas de Juros e Descontos

“Este assunto causa uma confusão

considerável, pois as taxas são cotadas das

maneiras mais diversas possíveis. Algumas

vezes a maneira pela qual a taxa é cotada é

resultado de alguma tradição, outras vezes é

determinado pela legislação. Infelizmente, às

vezes as taxas são cotadas de maneira

deliberadamente enganosa para confundir

tomadores de empréstimos e investidores.”

Ross, Westerfield e Jordan

Taxas Equivalentes

• Duas taxas são equivalentes se, aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo período de tempo, proporcionarem o mesmomontante.

• Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros equivalente a n períodos de tempo é I, tal que

n)i1(1 I

• Considere uma taxa de juros de 5% a.m. Determine as taxasbimestral, semestral e anual equivalentes.

• Taxa bimestral.

• Taxa semestral.

• Taxa anual.

Taxas Equivalentes

Exemplo 1.

Taxas nominais e efetivas

• Exemplos:

– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.

– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.

– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over

Um erro muito comum é achar que juros de 5% a.m equivalem a jurosde 12x5% = 60% ao ano.

Taxas como 5% ao mês e 60% ao ano são ditas taxas proporcionais, poisa razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.

Taxas proporcionais não são taxas equivalentes!

Um (péssimo) hábito do Mercado é o de anunciar taxas proporcionaiscomo se fossem equivalentes.

• Exemplos:

– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.

– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.

– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over

Taxas Nominais

não condizem com os juros efetivamente pagos

precisam ser interpretadas e devidamente convertidas para

TAXAS EFETIVAS, pois essas correspondem aos juros

efetivamente pagos

Taxas nominais são taxas proporcionais e não equivalentes.

Caderneta de Poupança rendendo 6% ao ano, capitalizadosmensalmente. Qual a taxa anual equivalente?

A (falsa) taxa de _____ ao ano é dita taxa nominal.

A taxa (verdadeira) de ______ ao ano é dita taxa efetiva.

Exemplo 2.

Um dos exemplos mais clássicos que podemos adotar para exemplificar a utilização de taxas nominais é a tradicional Caderneta de Poupança. Ela oferece atualmente ao aplicador (poupador) uma rentabilidade de 6% ao ano, capitalizados mensalmente, mais a TR. Ou seja, a poupança tem um rendimento que é definido por uma taxa nominal, pois mesmo com a TR igual a zero, a poupança não renderá 6% ao ano.

Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano,

capitalizados bimestralmente?

Um empresário necessitando de capital de giro, resolve captar

recursos. O Banco “A” cobra em seus financiamentos uma taxa de

34% a.a., capitalizados anualmente, enquanto a taxa do Banco “B”

é 30% a.a., capitalizados mensalmente (tabela price, por

exemplo). Qual é a menor taxa de financiamento para o

empresário?

Exemplo 3.

Exemplo 4.

Inflação e poder de compra

Inflação: perda do poder de compra por parte de uma

Correção Monetária: atualização (incremento – em geral)

do valor do dinheiro no tempo a fim de manter o poder

de compra daquela quantia.

Correção Monetária e Inflação: conceitos irmãos

Jamais confunda Juros com Correção Monetária!!!

Inflação e poder de compraConsidere:

• Inflação de 5% ao ano;

• Investimento com retorno de 15,5% a.a (chamada taxa nominal)

Você tem R$ 100,00.

20 pizzas de R$ 5,00

Você tem R$ 115,50.

Mas a pizza custa R$5,25

Quantas pizzas agora?

22 pizzas

Aumento de 10% no poder de compra.

Essa taxa é chamada de taxa de juros real!

Taxa real e taxa aparente Efeito Fisher:

Relação entre taxa de retorno real, nominal(aparente) e inflação

A taxa nominal de um investimento representa a variação percentual

da quantidade de dinheiro que você possui;

A taxa real de um investimento representa a variação do quanto você

pode comprar com o dinheiro, ou seja, a variação percentual do poder

aquisitivo.

rji 111 Nominal

Taxa real e aparente - o efeito da Inflação

Uma pessoa emprestou R$ 1.000,00 por um mês, combinando receber

R$ 1.100,00 em um mês. Se a inflação naquele mês for de 2%, qual a

taxa real de juros nesta operação?

Ao final de um ano, João teve um aumento de salário de 20%. Mas a

inflação mensal foi de 0,5% a.m. Qual o aumento real do poder de

compra de João em um ano?

Exercício 1.

Exercício 2.

Seja uma aplicação que paga 1,2% a.m. Levando-se em conta o

Imposto de Renda (20%) pago na fonte e uma inflação mensal de

0,5%, calcule a taxa real de juros da aplicação.

Refaça o exercício anterior para o caso da poupança, supondo

que esta tenha um rendimento mensal de 0,6%.

E se a poupança render os mesmos 0,6% contra 1% de inflação?

Taxa real e nominal - o efeito da Inflação

Exercício 3.

Descontos

• As operações de desconto representam a antecipação dorecebimento ou pagamento de valores futuros, representadospor títulos (nota promissória, duplicata etc.).

• O desconto é a diferença entre o valor nominal de um título(o seu valor no vencimento) e o valor pago antecipadamente(valor descontado).

Desconto Bancário

É calculado aplicando-se a taxa de desconto sobre o valor

nominal (valor futuro) do título, no regime de juros simples

A taxa de juros implícita da operação é sempre maior que a

taxa de desconto e cresce com o tempo!

ndVFVP 1

A diferença VF – VP é chamada de desconto.

Joana quer descontar uma nota promissória de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, em um banco cuja taxa de desconto é 4% aomês. Quanto Joana receberá hoje? Qual taxa mensal de juros que Joana está pagando?

Resolução:VP = VF.(1- d.n)

VP = 5000*(1 - 0,04*3) = 4 400,00

Logo Joana receberá agora 4400 reais para pagar 5000 reais em 90 dias. Se i é a taxamensal de juros, 5000=4400.(1+i)3. Daí, i 4,35%.

De outro modo:

Desconto = VF*n*d=5000*3*0,04 = 600Valor Resgatado = VF – D = 5000 – 600

= 4 400,00

Desconto BancárioExemplo 1.

Desconto Bancário

Rita, uma micro empresária, deseja antecipar os valores dos cheques querecebeu de seus clientes, que somavam R$ 5.000,00 ao todo. Antes defalar com o gerente do BIGBANK, acessou o site desse banco, obtendo asseguintes informações

a) Qual o valor do resgate com o desconto?

b) Qual taxa mensal de juros que Rita realmente está pagando?

Desconto BancárioExemplo 2.

Desconto racional composto

nd1VPVF

O desconto racional composto é exatamente uma operaçãoinversa da capitalização composta.

A taxa de desconto é igual à taxa anunciada.

Joaquim tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 4

meses e deseja antecipar a retirada. Determine o valor de

resgate, a uma taxa de 6% ao mês no regime de desconto

racional composto.

Exemplo 3.

Marcos pegou um financiamento no IVABANK, para pagar em 30 parcelas

de R$ 477,34, que vencem dia 04 de cada mês. Após pagar 26 parcelas,

deseja pagar as 4 restantes no dia 04 de novembro de 2010. Para saber

quanto deveria pagar a quitar a dívida, Iranildo acessa o site do BANCO,

no dia 04, e imprime a tabela abaixo .

Como poderíamos ter certeza que os valores da tabela, calculados pelo

BANCO, estão corretos, se a taxa desse financiamento foi de 2,24% ao

Exemplo 4.

Um banco efetua descontos de promissórias, dois meses antes do

vencimento, à taxa de 4% ao mês, mas exige que 10% do valor da

face da promissória sejam aplicados em um CDB (certificado de

depósito bancário) que rende 3% nesses dois meses. Determine a

taxa mensal de juros para quem toma financiamento nesse banco.

Descontos

Exemplo 5. (Especial)

Séries Uniformes

“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos,empréstimos consignados, imobiliários,...) têm comocaracterística uma série de prestações constantes, geralmentemensais” (Ross, 2008, p. 134)

Séries Uniformes

• Série é uma sequência de quantias (pagamentos, prestações,

termos, etc) referidas a épocas diversas.

• A Série é dita uniforme quando as quantias possuem o mesmo valor

e estão igualmente distribuídos no tempo. As séries uniformes,

também chamadas de Anuidades, podem ser:

Postecipadas;

Antecipadas;

Diferidas.

“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos, empréstimosconsignados, imobiliários,...) têm como característica uma série de prestaçõesconstantes, geralmente mensais” (Ross, 2008, p. 134)

Séries Uniformes Se a primeira prestação for paga um mês após a compra(final do

período), as prestações são ditas postecipadas.

Se a primeira for paga no ato da compra, as prestações são ditas

antecipadas.

PMTPMT

1 2 ... n

PMTPMT

1 2 ... n -1

Séries Uniformes

1 2 3 4 n-1 n

0 1 2 3 4 n-1

1i1.PMT

n – 10 1 n2 3

P PPP P

n1n32 )i1(

1)i1(.

Séries Uniformes

• Se a primeira for paga no ato da compra (prestações antecipadas) basta dividir o valor de cada prestação postecipada por (1+ i).

n – 20 1 2 n – 1 n0

P’ P’P’P’ P’P`

Séries Uniformes

Um bem, cujo preço à vista é R$ 20.000,00, é vendido em seis

prestações mensais iguais. Se os juros são de 5% a.m. determine

as prestações:

a) sendo a primeira um mês após a compra;

b) com a primeira no ato da compra.

c) com a primeira dois meses após a compra.

Exemplo 1.

Uma empresa contrai um empréstimo no valor de $ 100.000,00,

com um banco, que lhe ofereceu três possibilidades de

financiamento. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que

o financiamento deve ser pago em 24 prestações mensais e iguais,

com um taxa de 2% a.m., se

a) a primeira prestação for paga um mês após a compra;

b) a primeira prestação for paga três meses após a compra;

c) uma entrada de 15% for dada, e o financiamento iniciado quatro

meses após a compra.

Séries UniformesExemplo 2.

Os computadores de sua empresa precisam ser trocados a cada 2 anos a

um custo de R$ 25.000,00. Estime o valor a ser depositado mensalmente

em um fundo pré-fixado (taxa de 1,25% a.m.) a fim de cobrir tais

gastos.

Obs. A aplicação no fundo se dá no início do período.

Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações mensais

de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após a compra, e 4

semestrais de R$ 1.500,00, sendo a primeira semestral paga 6 meses

após a compra. A taxa acertada foi de 1,5% ao mês. Determine o valor

do equipamento à vista.

Uma empresa deseja reprogramar o pagamento dos 3

compromissos abaixo em 12 parcelas mensais e iguais vencendo a

primeira hoje. Determine o valor mensal do refinanciamento,

considerando uma taxa de juros composta de ganho real de 2%

para o financiado com uma inflação anual estimada em 6,0% a.a.

1) NP de R$ 1.500,00 a vencer em 10 meses

2) Empréstimo de R$ 400,00 com 6 meses de prazo contraído há 2

meses a 5% de juros ao mês;

3) NP de R$ 2.000,00 com vencimento em 1 ano.

Um empresário tomou um financiamento de $ 75.000,00, para ser pago em 15

prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 1% a.m.

Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma

renegociação ao banco, que REFINANCIOU O SALDO DEVEDOR em 12 prestações

mensais iguais, todas de mesmo valor, a serem pagas três meses após essa data

do refinanciamento. Determinar o valor das novas prestações mensais,

sabendo que a taxa de juros da operação aumentou 50% em relação à taxa do

financiamento anterior.

Séries Uniformes - Perpetuidades.

Definição: trata-se de uma extrapolação da anuidade até o infinito

VP (perpetuidade) = PMT / i

PMTPMT

1 2 3 ...

Séries Uniformes - Perpetuidades.“Eterno enquanto ...”

Exemplo

Determinar o valor do investimento necessário para garantir

recebimento mensal postecipado de R$ 10.000,00, sabendo-se

que a taxa de juros é de 1% a.m.

Exercícios Complementares

Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações

mensais de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após

a compra, e 4 semestrais de R$ 1500,00, sendo a primeira

semestral paga 6 meses após a compra. A taxa acertada foi de

1,5% ao mês. Determine o valor do equipamento à vista

Exercício 1

Séries Uniformes

Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3

prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta

concentração nos desembolsos, o cliente solicitou a transformação do

financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for

de 2% a.m., qual o valor das prestações mensais?

Exercícios ComplementaresSéries Uniformes

Exercício 2

A empresa Beta quer alugar um equipamento, cujo preço à vista é

de R$ 300.000,00. As condições do fornecedor são: 36 prestações

mensais e iguais, sendo o valor residual após o pagamento da 36ª

prestação igual a R$ 51.274,19. Se a taxa do financimento é de

1,5% a.m., determine o valor da prestação mensal?

Exercício 3

Na compra de um carro zero, a família AFOBADA, está prestes a fazer o seguinte negócio:

Valor do carro À vista: R$ 30.000,00

Valor do carro da família = R$ 14.000,00. (em bom estado de conservação, e com baixo

custo de manutenção)

Taxa do financiamento = 1,5% ao mês.

Número de prestações = 48 mensais, com a primeira para daqui a 30 dias.

TAC – Taxa de abertura de crédito = 800,00 (pode ser paga à vista ou somada ao valor a

ser financiado).

Especialistas dizem que uma família não deve comprometer mais de 30% da renda

familiar com um financiamento.

Determine:

a) o valor da prestação, se a família pagou o TAC à vista;

b) o valor da prestação, se a família optou por financiar a TAC junto com o saldo devedor;

c) Se a renda mensal da família é de R$ 1500,00, a opção de compra do carro é

recomendável?

d) De quanto deveria ser a renda mensal para que a prestação representasse apenas 20% da

Renda mensal dessa família?

Séries UniformesExercício 4.

Júlia tem duas alternativas para obter uma copiadora:

a) Alugá-la por R$ 360,00 ao ano, ficando a manutenção por conta do

locador;

b) Comprá-la por R$ 1500,00. Nesse caso, Julia ficará responsável pelas

despesas de manutenção, que são de R$ 50,00 por ano, nos dois

primeiros anos, e de R$ 80,00 por ano, nos anos seguintes. Considere

que a máquina tem vida econômica de 5 anos, com valor residual de

R$ 200,00(venderá a máquina nesse preço).

Se a taxa mínima de atratividade é de 7% ao ano, qual deve ser a

opção de Júlia?

Exercício 5 – Alugar ou comprar?

- 50 - 80 120

0 1 2 3

P P PP

ALUGAR OU COMPRAR? – Fluxos que ajudam!Exercício 5 – Alugar ou comprar?

Qual é a quantia que uma pessoa que acabou de completar 30 anos

de idade deve depositar mensalmente num fundo de investimento

que rende 1% a.m., de modo a assegurar uma renda mensal após sua

aposentadoria de $ 5.000,00 durante 30 anos? Suponha que a

aposentadoria desta pessoa ocorra aos 55 anos e que as prestações

pagas e recebidas ocorram no final de cada mês.

Exercício 6 – Previdência Privada.

A tabela abaixo mostra o valor de um carro com k anos de uso, com 0 k 5, bemcomo os gastos anuais de manutenção e operação. O valor do carro refere-se ao iníciodo ano e os gastos são efetuados ao longo do ano. Os valores estão calculados apreços de hoje e considera-se uma taxa de juros de 6% a.a.

Você decidiu comprar um carro novo, usá-lo por algum tempo, vendê-lo e comprarnovamente um carro novo, vendê-lo, etc. Por quanto tempo você deve usar o carroantes de vendê-lo?

ÉpocaValor

(milhares de reais)

Manutenção

(milhares de reais)

Operação

(milhares de reais)

0 20 - -

1 16 1,0 1,2

2 14 1,6 1,2

3 12 1,6 1,2

4 9 2,4 1,4

5 8 2,0 1,6

Exercício 7 – Determinação da vida econômica de um bem!

Sistemas de Amortização.

Sistemas de Amortização

Existem várias formas para se pagar um empréstimo;

Algumas ficaram conhecidas com o tempo ou por serem simples

de se entenderem ou por serem racionais;

Estudaremos alguns exemplos aqui.

Quando se paga parceladamente um débito, cada pagamento

efetuado tem (geralmente) uma dupla finalidade:

1) Parte quita os juros.

2) Parte amortiza (abate) a dívida.

Época Prestação Amortização Juros Saldo Devedor

0 - - - 100

Ricardo tomou um empréstimo de $ 100,00 a juros de 10% ao mês.

Quitou-o em três meses, amortizando 30% da dívida inicial no

primeiro mês, 30% e 40% nos dois meses seguintes e pagando a cada

mês os juros.

Exemplo 1.

Sistemas de Amortização mais utilizados

• Sistema Francês (tabela Price)

• Sistema de Amortizações Constantes

• Sistema Bullet.

• Sistema Americano

Suponha que você precise tomar emprestado R$ 1.000,00:

Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos

Plano A Pagamento único no fim do prazo

Plano B Pagamento periódico dos juros, com amortização total ao fim do prazo

Plano C Prestações iguais

Plano D Amortizações constantes

Planos Equivalentes de Pagamentos

Características

Comparação entre sistemas de amortização.

Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos

Ano Plano A Plano B Plano C Plano D

0 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00

1 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 330,00

2 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 310,00

3 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 290,00

4 R$ 1.360,49 R$ 1.080,00 R$ 301,92 R$ 270,00

Planos Equivalentes de Pagamentos

Características

O Plano A é conhecido como Sistema Bullet.

O Plano B é conhecido como Sistema de Amortização Americano (S.A.A.)

O Plano C é conhecido como Sistema de Amortização Francês (S.A.F.) ou, no

Brasil, Sistema Price

O Plano D é conhecido como Sistema de Amortizações Constantes (S.A.C.)

Comparação entre sistemas de amortização.

Sistemas de amortização Francês (PRICE)

• Prestações constantes

• Equivale a uma série uniforme de pagamentos

• Juros decrescentes

• Amortizações crescentes

• Inicialmente deve-se calcular o valor da prestação

Sistema de amortização Francês (Price)

Calcule o valor da prestação e monte a planilha de financiamento para um

financiamento de R$ 100.000,00 em 5 prestações mensais com uma taxa de

juros de 10% am utilizando o Sistema PRICE.

Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor

Exemplo 2.

Sistemas de Amortização Constante SAC

• Amortizações constantes

• Juros decrescentes

• Prestações decrescentes

• Inicialmente deve-se calcular o valor das amortizações

Sistema SAC

Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor

Calcule o valor da prestação e monte a planilha de

financiamento para um valor financiado de R$ 100.000,00 em 5

prestações mensais com uma taxa de juros de 10% am

utilizando o SAC.

Exemplo 3.

Sistema SAC

Um caminhão no valor de R$ 300.000,00 foi adquirido pelo

sistema SAC, em 5 prestações anuais, a uma taxa de 10% ao

ano. Construa a planilha de amortização abaixo.

Exemplo 4.

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

Valor do

Principal Início

(R$ mil)

Amortização

(R$ mil)

Valor do

Principal Final

(R$ mil)

Juros Pagos

Final (R$ mil)

Uma empresa adquiriu um financiamento, no início de 2011, no valor de

$ 500.000,00 em um banco de desenvolvimento, se comprometendo a

pagar em 5 prestações anuais, a uma taxa de juros de 6% a.a. No

entanto, a empresa só começará a pagar as prestações no início de

2013, pois conseguiu negociar com a instituição de fomento esse

período de carência. Montar as tabelas de amortização nos seguintes

sistemas: Americano, SAC e price. Refaça o problema, mas agora

considerando que a taxa no período de carência seja subsidiada pelo

governo sendo, portanto, menor que a taxa do financiamento, e igual a

3% a.a

Exemplo 5 – Financiamento com carência (BNDES)

104104

Análise de Investimentos

“Se tens o dom de ler as sementes do tempo, edizer quais hão de germinar e quais não, falai.

William Shaskespare

A análise de investimentos consiste em determinar se o projeto é atrativo do ponto de vista financeiro ao investidor.

O investidor, ao aplicar recursos em determinado projeto, deseja ma rentabilidade no mínimo igual ao seu custo de oportunidade.

O custo de oportunidade é o retorno disponível ao investidor em uma alternativa de investimento com nível de risco comparável.

Métodos de análise de investimento

Critérios de cálculo de valor e decisão de investimento

Processo de cálculo

Critério de decisão

Métodos analisados

Valor Presente Líquido (VPL)

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Critério do Valor Presente Líquido

Projetar os

Fluxos de

Futuros

Determinar a

Taxa de

Desconto

Calcular o

Fatores de Risco!

Cálculo do Valor Presente Líquido

Para calcular o valor presente líquido (VPL) ou “net present value”

(NPV) de um projeto, devemos trazer a valor presente todos os fluxos

de caixa a uma determinada taxa de juros (custo de oportunidade). O

VPL é dado pela soma de todos os valores presentes, e é dado pela

expressão abaixo.

FCn = fluxo de caixa no tempo n

i = custo de oportunidade

n = tempo

Critério do Valor Presente Líquido

O VPL é uma medida de quanto valor é criado ou adicionado hoje para se realizar o investimento.

Um investimento deve ser aceito se possui VPL maior que zero.

Se o VPL é maior que zero então o projeto remunera à taxa do custo de oportunidade e ainda gera valor.

Um investimento é melhor do que outro se o seu VPL é maior;

Ano Fluxo de Caixa

0 -100.000,00

1 30.000,00

2 30.000,00

3 50.000,00

4 70.000,00

Uma mineradora deseja realizar um investimento de $100.000,00

em um projeto com prazo de 4 anos. A empresa tem custo de

oportunidade de 15% a.a. e deseja determinar se o projeto é viável

financeiramente através do VPL e da TIR.

Exemplo 1.

VPL na HP – 12C

Ano Fluxo de Caixa

0 -100.000,00

1 30.000,00

2 30.000,00

3 50.000,00

4 70.000,00

Exemplo 1.

Um estudante está analisando a possibilidade de fazer um projeto

de investimento. Determinar sua viabilidade através do VPL,

considerando um custo de oportunidade de 1% a.m..

Mês FC VP

0 (750,00) (750,00)

1 (500,00) (495,05)

2 0,00 0,00

3 0,00 0,00

4 100,00 96,10

5 200,00 190,29

6 300,00 282,61

7 300,00 279,82

8 300,00 277,04

9 400,00 365,74

TOTAL 246,55

Exemplo 2.

Exemplo 3A.

Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão

duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo

em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado

para um negócio de risco e prazo semelhantes é 4% a.a., tome sua

decisão!

Análise de Investimento – Caso 1.

Taxa 4,00%

Ano Investimento A Investimento B

0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00

1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00

2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00

3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00

4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00

5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00

Exemplo 3A.

Exemplo 3B.

Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão

duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo

em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado

para um negócio de risco e prazo semelhantes é 10% a.a., tome

sua decisão!

Análise do investimento – Caso 2.

Taxa 10,0%

Ano Investimento A Investimento B

0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00

1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00

2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00

3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00

4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00

5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00

Exemplo 3.

O banco avenida deseja financiar um equipamento industrial cujo preço à

vista é R$ 400.000,00. O financiamento será concedido no dia 1º de Abril,

devendo ser liquidado em três prestações mensais de R$ 180.000,00, que

vencem a cada 60 dias corridos, a contar da data de sua aquisição.

Determinar sob a ótica do financiador qual o VPL desse fluxo de caixa

para uma taxa de desconto de 4% ao mês.

Exemplo 4.

Exemplo 5.

A empresa IMJ está avaliando a compra de uma loja. O

investimento inicial é de $500.000,00, e os prognósticos

simplificados de lucro desse investimento são de R$ 150.000,00 ao

fim de cada ano. Suponha que a empresa, depois de receber os 6

retornos anuais, venderá a loja por $ 400.000,00 ao fim do sexto

ano, do jeito que ela estiver. A taxa que você exige para um

negócio desse porte é 25% ao ano.

a) VPL e TIR desse negócio.

b) Suponha que o investimento inicial aumentasse em 20%. A

viabilidade do negócio mudaria?

c) E se a taxa exigida para o negócio aumentasse para 30%?

d) Qual o valor limite de investimento no primeiro ano,

mantendo-se os fluxos estimados, que viabiliza o projeto?

Exemplo 6.

Para um certo empreendimento, o seguinte fluxo de caixa é

estimado.

Necessita-se de R$ 20.000,00 para realizá-lo e, como os donos só

possuem a metade, fez-se um contrato com uma companhia de

investimentos, que ficou de emprestar o resto a juros de 8% ao ano

sobre o saldo devedor e amortização constante em 8 anos. A taxa

mínima de atratividade é de 10% ao ano. Examinar o

empreendimento sob a ótica do projeto e do acionista.

Ano 1 2 3 4 5 6 7 8

FC (R$) 8000 7400 6800 6200 5600 5000 4400 3800

A agropecuária Mimosa na mesa Ltda. estuda a possibilidade de aquisição

de novas matrizes de gado leiteiro. O investimento inicial estava orçado

em R$ 40.000,00. Contabilmente, vamos admitir que a depreciação das

matrizes possa ser feita em um horizonte de cinco anos. No fim da vida

útil, seriam vendidos por R$ R$ 6.000,00 para abate. A alíquota de

Imposto de Renda da empresa é igual a 25% e seu custo de capital é igual

a 36% a.a. As receitas incrementais associadas ao investimento estão

estimadas em R$ 60.000,00, com crescimento previsto em R$ 5.000,00 por

ano. Sabe-se que os custos variáveis são estimados em 40% das receitas e

os custos fixos em R$ 15.000,00 por ano. Pede-se analisar a viabilidade do

investimento com base no valor presente líquido.

Exercício 7 (Olhando para o futuro ... Aprofundamento).

Taxa interna de retorno (TIR)

A taxa interna de retorno (TIR) ou “internal rate return (IRR)” mede o

retorno do projeto. É a taxa de Juros que torna o VPL de um fluxo de

caixa igual a Zero. A TIR pode ser obtida através da equação:

Critério da TIR

1) Se a TIR for maior que o retorno exigido (Custo de oportunidade do capital

para investimentos com riscos semelhantes), o investimento deve ser aceito.

2) Em casos “normais”, TIR maior que o retorno exigido representa VPL

positivo para o investimento

Ano Investimento

0 - 100

Exemplo 1.

123123

TIR(-100;60;60) = 13,07% a.a.

Qual o significado dessa taxa?

Que 13,07% é a taxa que zera o VPL. (Ponto de equilíbrio econômico)

Que 13,07% é o máximo que eu posso exigir de retorno. Se eu

consigo mais do que isso em outro investimento, porquê investir

nesse?

Ano Investimento

0 - 100

Exemplo 1.

VPL= 0

0)TIR1(60)TIR1(601002

E se fossem 3, 4, 5, ou mais fluxos de caixa?

Equações polinomiais de grau 3, 4, 5, ... Como resolvê-las?

FUNÇÃO TIR : EXCEL E HP 12C

Exemplo 1.

125125

Análise de Investimentos: TIR

GRÁFICO DO PERFIL DE VALOR PRESENTE LÍQUIDO.

TIR(-100;60;60) = 13,07%

Ano Investimento

0 - 100

Ano Investimento A

0 -R$ 10.000,00

1 R$ 2.000,00

2 R$ 2.500,00

3 R$ 2.500,00

4 R$ 3.000,00

5 R$ 5.000,00

TIR 13,05%

VPL R$ 0,00

Revisitando o problema anterior.

Exemplo 2.Taxa interna de retorno (TIR)

Considere os fluxos de caixa apresentados a seguir para dois

investimentos mutuamente excludentes:

a) Calcule a TIR de cada investimento;

b) Calcule o VPL de cada investimento às taxas de 5%, e 15%

c) Explique porquê o investimento A é melhor à uma taxa de retorno baixa,

enquanto que o contrário ocorre com o investimento B.

Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa

0 R$ (100,00) 0 R$ (100,00)

1 R$ 50,00 1 R$ 20,00

2 R$ 40,00 2 R$ 40,00

3 R$ 40,00 3 R$ 50,00

4 R$ 30,00 4 R$ 60,00

Exemplo 3.

Determine o VPL, TIR, PAYBACK E payback descontado, assumindo uma

taxa de 2% ao mês, de cada caso abaixo.

Exercício 1.

Vantagens da TIR

Nas condições de fluxos de caixa convencionais e para

projetos independentes, leva ao mesmo resultado do VPL

Fácil de ser compreendida e comunicada.

O VPL necessita da estimativa de uma taxa de desconto, já a

TIR pode ser calculada mesmo sem essa taxa

Análise de Investimentos: TIR&VPL

Desvantagens da TIR

Pode levar a decisões erradas quando na comparação de projetos

mutuamente excludentes

Em fluxos não convencionais:

Pode apresentar uma visão míope

Pode apresentar taxas múltiplas

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Um investidor comprou um apartamento na planta em set de 2009,

pagando uma entrada e mais 28 parcelas mensais, e 28 taxas de

decoração, conforme o fluxo apresentado no próximo slide. Em Fevereiro

de 2011 repassa o apartamento, recebendo pelo empreendimento R$

94.000,00. Desse valor, paga 19.000,00 de comissão. Determine a TIR

desse investimento. Compare essa taxa com as taxas anuais disponíveis no

mercado em 2009 e 2010, avaliando o investimento realizado.

Exercício 2.

Qual a interpretação? Qualquer TIR onde o VPL é Positivo?

Moral da história: Fluxos não convencionais

atormentam a TIR. VPL é a solução!

Problemas com a TIR.

0 10 20 30 40 50 60

Taxa de Desconto (%)

Positivo

Negativo

Considere as duas alternativas de investimento abaixo

O custo de oportunidade para ambas é de 8%

VPLA = 655,16 e VPLB = 641,79

TIRA = 28% e TIRB = 45%

AlternativaInvest.

Inicialt1 t2 t3 t4

A (1.000) 300 300 300 1.200

B (1.000) 1.000 300 300 300

Projetos mutuamente excludentes

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%

L TIR B = 45%

TIR A = 28%

Região de aceitação

Região de rejeição de ambosRegião de

aceitação de B

Uma empresa tem dois projetos de investimentos mutuamente

excludentes. Determinar a melhor alternativa, sabendo-se que a

empresa não avaliou com precisão seu custo de oportunidade.

Exercício 3.

Ano Fluxo A Fluxo B Fluxo B - A

0 - 450,00 -700,00 -250,00

1 100,00 150,00 50,00

2 125,00 200,00 75,00

3 150,00 225,00 75,00

4 175,00 250,00 75,00

5 250,00 350,00 100,00

TIR 19,29% 17,43% 13,78%

TAXA 10% VPL A = 131,67 VPL B = 158,77

TAXA 15% VPL A = 54,45 VPL B = 46,55

Exercício 4.

Analise a viabilidade dos projetos abaixo, considerando que são

mutuamente excludentes, considerando que a empresa não avaliou

com precisão seu custo de oportunidade.

ANO PROJETO A PROJETO B

0 -450 -700

1 100 150

2 125 200

3 150 225

4 175 250

5 250 350

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