matemáticas básicas para ingeniero
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Oviedo Vergara Elver Javier
UNIVERSIDAD DE SUCRE
2º Periodo 2008
MATEMATICAS BÁSICAS
PARA INGENIEROS
ELVER OVIEDO VERGARA
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MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
3
PRESENTACIÓN
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS es una propuesta metodológica de
trabajo en el aula de primer semestre de la facultad de ingeniería, intentando
acompañar a los estudiantes en la profundización de conocimientos adquiridos en su
transcurso por la secundaria, a través de la contextualización y afianzar en el
desarrollo de los pensamientos numérico, métrico, geométrico, espacial, variacional y
aleatorio.
La integran seis grandes unidades de la matemática básica que el futuro ingeniero
recordará de la secundaria estas son: LOGICA Y CONJUNTOS, CONCEPTOS
BÁSICOS DEL ALGEBRA, ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES,
INECUACIONES - SISTEMAS DE INECUACIONES, ECUACIONES POLINOMICAS,
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y GEOMETRIA. Las dos últimas unidades por su
extensión centrarán su interés resumiendo y privilegiando las situaciones más afines a
las ciencias y a la ingeniería.
El lenguaje en que está escrito es muy familiar al contexto sabanero, sin faltar al lector
de otras regiones del país que se forma en nuestra Alma Mater; el constante desarrollo
de la temática abordada en el presente texto, llevaron al autor a compilar y ordenar su
experiencia para la posterior presentación de esta obra, que sin lugar a dudas, le
brinda ventajas de tiempo, dinero, riesgos, y algo mejor, conocimiento a los futuros
ingenieros.
Podría decirse también que MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS es el
espacio común en el que se encuentran los conceptos y conocimientos de muchos
textos de las matemáticas “modernas” con exclusivos beneficios para quienes se
forman en la ingeniería y que posteriormente verán entre otras asignaturas el cálculo
diferencial, integral y vectorial, ecuaciones diferenciales y la física.
ELVER OVIEDO VERGARA
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MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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UNIVERSIDAD DE SUCRE FACULTAD DE INGENIERÍA
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1. DESCRIPCIÓN ADMINISTRATIVA
1.1 ASIGNATURA Matemática
1.2 CÓDIGO 0235710
1.3 NATURALEZA Teórico
1.4 AREA Ciencias Básicas
1.5 INTENSIDAD 4 HT / Semanal
1.6 SEMESTRE I
1.7 PREREQUISITOS Ninguno
1.8 COREQUISITOS Ninguno
1.9 REQUISITOS PARA Dibujo de Ingeniería
1.10 CREDITOS 3
2. JUSTIFICACIÓN
La lógica matemática, el álgebra y la geometría euclidiana proporcionan a los
ingenieros los conocimientos necesarios para manejar y aplicar expresiones
matemáticas referidas a problemas propios de la ingeniería, y de otra parte posibilitan
al estudiante acceder satisfactoriamente a otras asignaturas como lo son el cálculo I, II
y III, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, métodos numéricos y física.
3. OBJETIVO GENERAL
Proporcionarle al estudiante la oportunidad de adquirir destrezas operacionales en
aquellos conceptos básicos de la lógica matemática, el álgebra y la geometría
euclidiana a un nivel más avanzado, buscando que el estudiante pueda plantear,
resolver e interpretar problemas o modelos propios de la ingeniería.
4. COMPETENCIAS
Comprender la lógica matemática, el álgebra y la geometría euclidiana como
herramientas que posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas propios de
la ingeniería.
ELVER OVIEDO VERGARA
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Tener habilidad para manejar tecnologías e instrumentos que permitan transferir
conocimientos, manejar situaciones problemáticas y tomar decisiones en
momentos de incertidumbre.
Tener una disposición creativa, de iniciativa e innovación que propendan por una
superación y aprendizaje permanente y asumir una actitud crítica y constructiva en
la resolución de conflictos.
Mantener actitudes de cooperación, solidaridad y convivencia pacífica que se
reflejen en acciones de responsabilidad, honestidad y transparencia que lo
conlleven a interactuar con justicia y equidad.
5. CONTENIDO SINTÉTICO:
Lógica y conjuntos, Conceptos básicos del álgebra, Ecuaciones - Sistemas de
ecuaciones, inecuaciones - Sistemas de inecuaciones, Ecuaciones polinómicas,
Funciones Trigonométricas, Geometría.
6. CONTENIDO ANALÍTICO
UNIDAD 1: LÓGICA Y CONJUNTOS
OBJETIVO: Aplicar las operaciones, propiedades, relaciones y el cardinal de un
conjunto en problemas propios de la ingeniería.
TEMAS Y SUBTEMAS: Proposiciones lógicas, conectivos lógicos y tablas de verdad,
Leyes de las proposiciones lógicas, argumentos lógicos y cuantificadores, Conjuntos,
notaciones, maneras de determinarlos, clases, relaciones y propiedades, Operaciones
con conjuntos, diagramas de Venn, regiones y número de elementos, Conjuntos
numéricos. Propiedades de los números reales, desigualdades e intervalos.
Estrategias metodológicas
Clase magistral
Talleres
Conferencia
Recursos: Tablero, Retroproyector, Guías de Trabajo.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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UNIDAD 2: CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA
OBJETIVO: Proporcionar al estudiante las herramientas conceptuales referidas al
álgebra que posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas específicos de la
ingeniería.
TEMAS Y SUBTEMAS: Expresiones algebraicas, signos de operación, símbolos de
agrupación y reducción de términos semejantes, Leyes de la potenciación,
operaciones con polinomios, Productos notables, factorización, Fracciones: mínimo
común denominador, simplificación de fracciones, Racionalización.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Clase magistral
Taller
Software Derive
Recursos: Tablero, Guía de trabajo,
UNIDAD 3: ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES, NECUACIONES
- SISTEMAS DE INECUACIONES
OBJETIVO: Utilizar la solución de inecuaciones y de sistemas de ecuaciones para
resolver problemas de aplicación a la ingeniería
TEMAS Y SUBTEMAS: Ecuaciones lineales: Características y aplicaciones,
Ecuaciones cuadráticas: Características y aplicaciones, Ecuaciones que se pueden
llevar a la forma cuadrática, Métodos para resolver sistemas de ecuaciones,
interpretación geométrica y aplicaciones.
ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS
Clase magistral
Talleres
Software Derive
Recursos: Tablero, Calculadoras Ti-92 plus, Calculadoras graficadoras,
Retroproyector
ELVER OVIEDO VERGARA
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UNIDAD 4: ECUACIONES POLINOMICAS.
OBJETIVO: Utilizar el Teorema del factor y el teorema del residuo para resolver
ecuaciones y calcular raíces racionales por medio de la división sintética.
TEMAS Y SUBTEMAS: Binomio De Newton, División sintética. Teorema del
residuo y del factor, Teorema fundamental del álgebra, ceros reales de polinomios con
coeficientes reales, ceros racionales de polinomios con coeficientes enteros,
Descomposición en fracciones parciales.
ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS
Clase magistral
Recursos: Tablero, Retroproyector
UNIDAD 5: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
OBJETIVO: Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas
referidos a la ingeniería.
TEMAS Y SUBTEMAS: Ángulos, sistemas de medidas de ángulos, conversiones,
Funciones trigonométricas, identidades trigonométricas básicas, Ecuaciones
trigonométricas, Aplicaciones.
ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS
Clase magistral
Taller
Software Cabri Gómetri II
Recursos: Tablero, Retroproyector, Guía de trabajo.
UNIDAD 6: GEOMETRIA
OBJETIVO: Comprender la relación estrecha que existe entre los conceptos
geométricos y sus aplicaciones en la ingeniería mediante la solución de problemas de
esta disciplina.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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TEMAS Y SUBTEMAS: Definiciones y construcciones. Punto, recta, plano y
espacio. Relación entre rectas y planos. Algunas figuras geométricas básicas.
Polígonos, Razonamiento en geometría. El proceso de razonamiento inductivo.
Generalizaciones falsas y contraejemplos, Esquemas de razonamiento, Triángulos.
Postulados sobre la congruencia de triángulos. Triángulos especiales, Desigualdad del
triangulo, Cuadriláteros y polígonos, Paralelogramos. Rectángulos, rombos y
cuadrados, Trapecios, Semejanza. Proporciones, Polígonos semejantes, el postulado
de la semejanza AAA, triángulos rectángulos y triángulos semejantes. Teorema de la
semejanza LLL y LAL, Áreas y perímetros, área del paralelogramo, área del triangulo
y trapecio, área de polígonos regulares, comparación entre perímetros y áreas de
polígonos semejantes, Sólidos: Pirámides y prismas, áreas y volúmenes. Cilindro,
áreas y volúmenes. Cono y Esfera, Poliedros regulares.
ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS
Clase magistral
Taller
Software Cabri Gómetri II
Recursos: Tablero, Retroproyector, Calculadoras graficadoras, Guía de Trabajo.
7. SISTEMA DE EVALUACIÓN
4 exámenes parciales 75%
Quices, trabajos y actitud 25%
ELVER OVIEDO VERGARA
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OBJETIVOS:
Aplicar las operaciones, propiedades, relaciones y el cardinal de un conjunto en
problemas propios de la ingeniería.
Al finalizar la unidad el estudiante de ingeniería estará en condiciones de:
1. Determinar el valor de verdad de cualquier proposición,
2. Construir esquemas proposicionales a partir de un texto y elaborar su tabla de
verdad.
3. Negar proposiciones que contengan cuantificadores.
4. Decidir cuándo un elemento pertenece o no a un conjunto dado.
5. Distinguir cuándo un conjunto está descrito por comprensión o por extensión
6. Utilizar correctamente los símbolos de entre otros
7. Hallar otros conjuntos a partir de las operaciones entre dos o más conjuntos
dados.
8. Resolver problemas de aplicación que involucren la teoría de conjunto
INTRODUCCIÓN
La siguiente unidad dará los elementos esenciales en la formación de los estudiantes
que se inician en la teoría de conjuntos, en ella, se hace un breve recorrido a las
principales notaciones, definiciones y ejemplos, además contiene un significativo
número de ejercicios relacionados con la cotidianidad.
Invitamos al educando a interesarse en esta importante teoría matemática muy
trabajada por B. Bolzano (1781 – 1848)1 y Georg Cantor (1845 – 1918).
1 Consultar quienes fueron estos señores.
LÓGICA Y
CONJUNTO
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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LÓGICA
a lógica estudia la forma del razonamiento, es una
disciplina que por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido o no. La lógica
es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,
computación, física. En la filosofía para determinar
si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo
la lógica permite saber el significado correcto. En las
matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan
ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En
general, la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza
tiene un procedimiento lógico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado un
ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha
tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento
lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte
baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene
pintado, también dependiendo si es zurda o derecha, él o ella puede pintar de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación
de la lógica.
La lógica es pues muy importante; porque permite resolver incluso problemas a los
que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y
apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos
inventos e innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
Intentaremos comprender y dominar toda la temática tratada sobre lógica ¡aquí
vamos!
PROPOSICIONES
Antes de hablar de las proposiciones, recordemos los que nos dijo el profesor de
castellano sobre lo que es una oración, tal vez nos dijo “es un conjunto de palabras
con sentido completo” o “es un conjunto de palabras que tiene una estructura
ordenada; tiene sujeto, sobre quien recae una acción y tiene un predicado, que es lo
que se dice del sujeto” o lo primero complementado con lo segundo diciendo que un
conjunto de palabras tiene sentido completo cuando tiene “sujeto y predicado”.
L
ELVER OVIEDO VERGARA
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En fin, es muy importante recordar y aclarar el concepto de oración dado que
Def: n°1 Una proposición es antes una oración, pero ! no toda oración es
proposición.
Sólo son proposiciones las oraciones a las que se les puede asignar un valor de verdad
ya sea falso (f) o verdadero (v)
NOTACIONES
Las proposiciones se representan con las letras minúsculas p, q, r, s, t, …
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se
explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se
indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente
dicha. Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > (y - 9 )
s: El Nacional será campeón en la presente temporada de futbol.
t: Hola ¿cómo estás?
w: Lava el coche, por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo
tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida,
aunque el valor de falso o verdadero, depende del valor asignado a las variables x y y
en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente
expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que
termine la temporada de futbol. A las proposiciones r y s se les llama proposiciones
abiertas.
Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor
de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
PROPOSICIONES SIMPLES
Def: n°2 A las proposiciones que no tienen palabras de enlace como y, o, Si …
entonces…, Ni … ni …, …si y sólo sí…, son proposiciones simples.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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Son ejemplos de proposiciones simples las proposiciones p, q, r, y s del ejemplo
anterior.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES SIMPLES
Para negar una proposición simple simplemente enunciamos la proposición
anteponiendo la palabra no…, no es cierto…, no es verdad, hacemos una afirmación
antónima de la proposición original. Ejemplo, neguemos las proposiciones dadas en
el ejemplo anterior:
p La tierra no es plana.
q -17 + 38 ≠21
r x ≤ (y - 9 )
s El Nacional no será campeón en la presente temporada de futbol.
Es importante aclarar que decir la tierra no es un planeta es equivalente a decir no es
cierto que la tierra es un planeta, igualmente ocurre con las otras proposiciones.
Por notación el símbolo de la negación es una s ( ) acostada o como se ve
antepuesta a las letras que representan a las proposiciones dadas.
Nota: la negación de una negación es equivalente a la proposición original.
Ejercicios:2
En tu cuaderno de apuntes vas a escribir mínimo 10 proposiciones simples a tu gusto
con su respectiva negación.
CONECTIVOS LÓGICOS
Def n°3 A los símbolos o palabras de enlace que sirven a las proposiciones simples de
unión con otras proposiciones para formar Proposiciones compuestas, se les
denomina conectivos lógicos ellas son:
2 Entregar esta actividad N° 1. Con el primer taller que se deje en clase.
ELVER OVIEDO VERGARA
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Nombre Símbolo Lógico Símbolo Gramatical
Disyunción v “o”
Disyunción Exclusiva v “o… o…”
Conjunción “ y”
Condicional “ Si … entonces…”
Implicación “ … implica …”
Bicondicional “ … si y solo si …”
Equivalencia o doble implicación “ … equivale a …”
Negación conjunta “ Ni… ni …”
PROPOSICIONES COMPUESTAS
Def n°4 Las Proposiciones Compuestas se forman de unir dos o más
proposiciones simples con uno o más conectivos lógicos. Los Conectivos lógicos dan
su nombre a las proposiciones compuestas que ellos formen. Es decir podemos formar
una conjunción con dos proposiciones simples unidas con el conectivo lógico “y”.
Ejemplos: sean p: María es de Chinú q: Carlos es de Montería
Entonces María es de Chinú y Carlos es de Montería. CONJUNCIÓN
María es de Chinú O Carlos es de Montería. DISYUNCIÓN
O María es de Chinú O Carlos es de Montería. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Si María es de Chinú entonces Carlos es de Montería. CONDICIONAL
Ni María es de Chinú ni Carlos es de Montería. NEGACIÓN CONJUNTA
Ejercicios3: Con las proposiciones simples de la actividad N° 1 haga ahora
proposiciones compuestas con diferentes conectivos lógicos.
VALOR DE VERDAD
Una proposición simple se sabe tiene dos posibles valores de verdad, falso (f) o
verdadero (v), ahora toda proposición tiene igualmente esas mismas posibilidades de
verdad. Sin embargo, para proposiciones compuestas de dos o más proposiciones
simples podemos analizar caso por caso y su correspondiente valor de verdad.
3 Entregar esta Actividad N° 2 con el primer taller que se deje en clase
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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Si se sigue las rutas de la grafica se observa que para
dos proposiciones resultan cuatro caso, para tres
resultan ocho caso, y ellos nos llevaran a determinar
cuál es valor de verdad real de la proposición que se
esté tratando.
Al determinar ese valor de verdad es indispensable
analizar caso por caso y cada una de las
proposiciones compuestas ya estudiadas.
Para la elaboración de las tablas de verdad se tiene
en cuenta lo siguiente:
Para una proposición p
Para dos proposiciones p y q, consideramos para la primera, dos valores
verdaderos y dos valores falsos, y para la segunda, uno verdadero y uno
falso, uno verdadero y uno falso.
Para 3 proposiciones p, q y r, consideramos
para la primera; 4 valores verdaderos y 4 valores falsos,
para la segunda; 2 verdadero y 2 falso, 2 verdadero y 2
falso y, para la tercera; uno verdadero y uno falso, uno
verdadero y uno falso…
Es posible que ya hayas generalizado para cuatro para 5 o
para cualquier número n de proposiciones. Observa que:
para 1 hay 2 posibilidades
para 2 hay 4 posibilidades
para 3 hay 8 posibilidades
Cuantas habrá para 4?, para 5? Y para n?
ELVER OVIEDO VERGARA
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VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN4
Para analizar los valores de verdad de estas proposiciones basta hacerlo solo con dos
proposiciones simples unidas con conectivo lógico.
La disyunción, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples
unidas con el conectivo lógico “o” (v)
Suponga cuatro proposiciones cuyo valor de verdad no admita discusión alguna, dos
totalmente verdaderas y dos falsas.
Ejemplo:
p (v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba
p(f): Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca.
q(v): Simón Bolívar nació en Caracas.
q(f): Bogotá es la capital de Francia.
Si observamos la tabla para dos proposiciones el primer caso es que las dos
proposiciones sean verdaderas.
Es decir, si dijeran:
pvq: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa.
Es decir, si dijeran:
pvq: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Bogotá es la capital de
Francia. (v)
El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera.
4 Construya el valor de verdad de la Disyunción Exclusiva
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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Es decir, si dijeran:
pvq: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca o Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
El último caso son falsas ambas proposiciones
Es decir, si nos dijeran:
pvq: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca o Bogotá es la capital de
Francia. (f)
La tabla que en resumen resulta es la siguiente
VALOR DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
La conjunción, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples
unidas con el conectivo lógico “y” ( )
Consideremos las mismas proposiciones del estudio de la disyunción.
Ejemplo:
p (v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba
p(f): Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca.
q(v): Simón Bolívar nació en Caracas.
q(f): Bogotá es la capital de Francia.
Aplicamos lo mismo
ELVER OVIEDO VERGARA
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Si observamos la tabla para dos proposiciones el primer caso es que las dos
proposiciones sean verdaderas.
Es decir, si nos dijeran:
p q: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa.
Es decir, si nos dijeran:
p q: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Bogotá es la capital de
Francia. (f)
El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera.
Es decir, si nos dijeran:
p q: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca y Simón Bolívar nació
en Caracas. (f)
El último caso son falsas ambas proposiciones
Es decir, si nos dijeran:
p q: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca y Bogotá es la capital
de Francia. (f)
La tabla que en resumen resulta es la siguiente
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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VALOR DE VERDAD DE LA NEGACIÓN CONJUNTA
La negación conjunta, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones
simples unidas con el conectivo lógico “Ni … ni…” ( )
Consideremos las mismas proposiciones de los estudios anteriores.
Ejemplo:
p(v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba
p(f): Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca.
q(v): Simón Bolívar nació en Caracas.
q(f): Bogotá es la capital de Francia.
Aplicamos lo mismo
Si observamos la tabla para dos proposiciones el primer caso es que las dos
proposiciones sean verdaderas. Las cuales quedarán convertidas en falsas.
Es como si dijeran:
: Ni Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba ni Simón Bolívar
nació en Caracas. (f)
El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa, con lo que se nos invertirán los
valores de verdad.
Es como si dijeran:
: Ni Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba ni Bogotá es la
capital de Francia. (f)
El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera. También se nos invertirán los
valores de verdad.
Es como si dijeran:
: Ni Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca ni Simón Bolívar
nació en Caracas. (f)
ELVER OVIEDO VERGARA
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El último caso son falsas ambas proposiciones, pero quedarán convertidas en
verdaderas ambas.
Es como si dijeran:
: Ni Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca ni Bogotá es la
capital de Francia. (v) La tabla que en resumen resulta es la siguiente
VALOR DE VERDAD DEL CONDICIONAL
El condicional, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples
unidas con el conectivo lógico “Si…entonces..” ( )
Consideremos la siguiente proposición.
Si me graduó de Ingeniero Civil entonces pavimento mi pueblo natal.
Ahora suponemos los valores de verdad de cada proposición a diferencia de los
ejemplos anteriores que ya estaban determinados.
Sea p: me graduó de Ingeniero civil q: pavimento mi pueblo natal
Si observamos la tabla para dos proposiciones el primer caso es que las dos
proposiciones sean verdaderas.
Supongamos que si hubo grado de ingeniero civil y si hubo pavimento en el pueblo,
diríamos entonces que fue una promesa cumplida por lo que la frase es verdadera.
(v) Supongamos que si hubo grado de ingeniero civil y si no hubo pavimento en el
pueblo, diríamos entonces que fue una falsa promesa por lo que la frase es falsa. (f)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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Supongamos que no se graduó de ingeniero civil y cumplió, pavimento el pueblo, sin
ser ingeniero, lo que hace de la frase una verdad. (v)
Y por último si suponemos que ni hubo grado de ingeniero civil, ni hubo pavimento
en el pueblo, diríamos entonces que no se nos dijo mentira dado que no fue ingeniero,
en este caso la frase es verdadera. (v) La tabla que en resumen resulta es la siguiente
Las proposiciones formadas con un condicional reciben ese nombre (condicional), y
específicamente la primera se le denomina antecedente y la segunda consecuente.
VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
El Bicondicional es una doble condición, tiene una equivalencia con la conjunción de
condicionales invirtiendo el antecedente y el consecuente en el segundo condicional,
su tabla de verdad es la siguiente:
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
A continuación se describe el proceso para negar cada una de las proposiciones vistas:
NEGACIÓN LA DISYUNCIÓN.
Para negar una disyunción se niegan las proposiciones y se cambia el símbolo de la
disyunción por el de la conjunción. Esto es, q).~p(~q)(p~
ELVER OVIEDO VERGARA
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Ejemplo gramatical:
Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
Su negación es:
Chinú no es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar
no nació en Caracas. (f)
NEGACIÓN LA CONJUNCIÓN
Para negar una conjunción se niegan las proposiciones y se cambia el símbolo de la
conjunción por el de la disyunción. Esto es, q).~p(~q)(p~
Ejemplo gramatical:
Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
Su negación es:
Chinú no es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar
no nació en Caracas. (f)
NEGACIÓN DEL CONDICIONAL
Para negar un condicional se deja el antecedente, se cambia el símbolo del
condicional por el de la conjunción y se niega el consecuente. Esto es:
q).~(pq)(p~
Ejemplo gramatical:
Si Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba entonces Simón Bolívar
nació en Caracas. (v)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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Su negación es:
Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar
no nació en Caracas. (f)
LA NEGACIÓN CONJUNTA5
LOS CUANTIFICADORES
Hay dos cuantificadores básicos: el cuantificador existencial, y el cuantificador
universal. Aquí están los símbolos.
Nombre Notación Se lee
cuantificador universal x... Para todo x...
cuantificador existencial ...x Existe por lo menos un x...
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma px, o q/y que se leen
"para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".
En realidad, estos dos cuantificadores son iguales, ya que px, dice lo mismo que
dice q/y . En otras palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que
decir "existe x tal que p es falsa".
Las proposiciones simples o compuestas pueden contener un cuantificador universal o
existencial.
Los niños juegan, esta proposición contiene un cuantificador universal
Hay un niño que no es feliz, esta proposición contiene un cuantificador existencial.
5 Actividad n° 3 Niegue la negación conjunta y la disyunción Exclusiva y entregue en el próximo taller que
se deje en clase
ELVER OVIEDO VERGARA
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CONVERSIÓN DE LENGUAJE LÓGICO AL GRAMATICAL Y
VICEVERSA
Consideremos las proposiciones siguientes:
P: José Yances fue un futbolista profesional
q: Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas
r: Los calzados de mi pueblos son de buena calidad
s: En Sincelejo hacen corralejas en Enero
DE GRAMATICAL A SIMBOLOGÍA LÓGICA
Expresemos en forma gramatical las siguientes representaciones en símbolo lógico.
a)
pq~ b) r~q
c) r)(qs d)
q~r)(p
Solución :
a) pq~ : Cartagena no es una ciudad de muy bajas temperaturas y
José Yances fue un futbolista profesional.
b) r~q : Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas o Los calzados
de mi pueblo no son de buena calidad.
c) r)(qs : Si En Sincelejo hacen corralejas en enero entonces Cartagena
es una ciudad de muy bajas temperaturas y Los calzados de mi pueblo son
de buena calidad.
d) q~r)(p : José Yances fue un futbolista profesional y Los calzados de mi
pueblo son de buena calidad, o Cartagena no es una ciudad de muy bajas
temperaturas.
Ahora podemos expresar en símbolos lógicos un texto gramatical que esté formado
por proposiciones dadas.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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DE SIMBOLOGÍA LÓGICA A GRAMATICAL
Consideremos las mismas proposiciones anteriores:
P: José Yances fue un futbolista profesional
q: Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas
r: Los calzados de mi pueblo son de buena calidad
s: En Sincelejo hacen corralejas en Enero
Expresemos en símbolo lógico los siguientes textos gramaticales.
a) Si Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas entonces Los
calzados de mi pueblo no son de buena calidad.
b) En Sincelejo no hacen corralejas en Enero o José Yances fue un futbolista
profesional.
c) Ni Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas ni José Yances fue
un futbolista profesional
d) Si En Sincelejo no hacen corralejas en Enero entonces ni Cartagena es
una ciudad de muy bajas temperaturas ni José Yances fue un futbolista
profesional.
Solución, amigo estudiante es un gusto informarte que solo se hará el cuarto ejercicio
que es el de más cuidado, tú haces los demás en la libreta de apuntes.6
d) p)(qs~ Este es el esquema que representa el texto del inciso d). se leería: si no s entonces ni q
ni p
ESQUEMAS PROPOSICIONALES Y SUS TABLAS DE VERDAD
Def n°4 Un esquema proposicional, es una representación de una o más
proposiciones unidas con conectivos lógicos. Ejemplo: La representaciones de los
textos anteriores en simbología lógica son esquemas proposicionales.
a) pq~ b) )r(qs c)7 q~r)(p d)8
r~q
6 Actividad N° 4 haga el ejercicio en su libreta de apuntes
7 Actividad N° 5, construya la tabla de verdad
ELVER OVIEDO VERGARA
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Si deseamos saber cuál es el valore de verdad del texto que está representado por
cada uno estos esquemas proposicionales es indispensable elaborar una tabla de
verdad que me indique el valor de verdad de ellos conociendo el valor de verdad de
las proposiciones simples que lo forman.
Ejemplo: quiero saber cuál es el valor de verdad en cualquier caso de:
a) pq~ b) )r(qs
ESQUEMAS PROPOSICIONALES EQUIVALENTES
Def n°5 Un esquema proposicional se dice que es equivalente a otro si para cada
caso igual coinciden sus valores de verdad. Esto es si al construir la tabla de verdad de
ellos el resultado que se obtiene es el mismo.
Ejemplo: la negación conjunta es equivalente a la conjunción de las negaciones de las
proposiciones, es decir:
q)~p(~q)(p
Para comprobar esta equivalencia, debemos construir las tablas de los esquemas, ya
conocemos la de la negación conjunta.
8 Actividad N° 6, construya la tabla de verdad.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
27
TAUTOLOGÍAS Y FALACIAS
Algunos esquemas proposicionales son siempre VERDADEROS para todos los
casos, pues a ellos se les denomina tautología, y a los que son siempre falsos,
pueden ser las negaciones de las tautologías se les denomina falacia.
Ejemplo: Tautología
Falacia
CONJUNTO
Def n°6 Ésta no es propiamente una definición dado que en el estudio de las
matemáticas y más exactamente en la teoría de conjuntos no se encuentra una
definición de CONJUNTOS, este es un concepto primitivo, por lo tanto no tiene
definición, no obstante, podemos hacernos una idea de lo que es conjunto, o qué
podemos considerar como tal.
A los términos colección, grupo, equipo, familia, agrupación…, nos dan la idea de
conjunto.
Ejemplo 1: Consideremos al conjunto A formado por los países de
América del sur, así
ELVER OVIEDO VERGARA
28
Ejemplo 2: Consideremos al conjunto B formado por los alumnos de este curso, Así
Ejemplo 3: Consideremos al conjunto C formado por los niños que hay en el
mundo, así
Ejemplo 4: Consideremos al conjunto D formado por los rectores de la Universidad
de Sucre, así
Ejemplo 5: Consideremos al conjunto N formado por todos los números naturales,
Así o
Ejemplo 6: Consideremos al conjunto E formado por las empresas agroindustriales
del Departamento de Sucre, así
Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto
imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!
ELEMENTO
Def. Nº 7 A cada uno de los objetos, personas o cosas que forman un conjunto se les
denominan ELEMENTOS.
Notación de Conjuntos
Como pudo ver en los ejemplos dados, por notación se acostumbra a representar a los
conjuntos con letras mayúsculas de nuestro abecedario (A, B, C, D, E…) mientras que
a los objetos o elementos que los conforman se les representa con letras minúsculas,
números, o cualquier otro símbolo separados entre sí por coma (,) y encerrados entre
llaves
Ejemplo 7: Consideremos el conjunto H como el conjunto formado por las vocales,
entonces .
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
29
RELACIÓN DE PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA
Consideremos el siguiente conjunto , Pregunta:
¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
Usted responde lo que la mayoría de los estudiantes en esta parte del curso
responderían, Está pensando en OCHO cierto? Veamos:
Detallemos uno a uno los elementos del conjunto A
1. El elemento pertenece al conjunto A
2. El elemento pertenece al conjunto A
3. El elemento pertenece al conjunto A
4. El elemento pertenece al conjunto A
5. El elemento pertenece al conjunto A
6. El elemento pertenece al conjunto A
Aunque estén en un corchete dentro del conjunto A no son propiamente
elementos de él, y a pesar de que el elemento tenga aspecto de conjunto, al
estar dentro del corchete que agrupa los elementos de A, lo convierte en eso, en
ELEMENTO. Podríamos decir que:
1. El elemento no pertenece al conjunto A
2. El elemento no pertenece al conjunto A
Los símbolos de pertenencia y no pertenencia son respectivamente de manera
que lo anterior se puede representar así:
A A A A
A A A A
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto lo podemos determinar o nombrar por comprensión o por extensión y
algunos podemos nombrarlos de las dos formas.
Aquellos conjuntos cuyo número de elementos es pequeño y que se quiere visualizar
ELVER OVIEDO VERGARA
30
todos y cada uno de sus elementos podemos determinarlo por extensión.
Ejemplo 8: Consideremos al conjunto A formado por los números dígitos, entonces
A=
Este mismo conjunto podemos determinarlo por comprensión así,
.
Ejemplo 9: Considere al conjunto B como el conjunto formado por los profesionales
de la ADMINISTRACIÓN en Colombia, Entonces
Def. Nº 8 Determinar un conjunto por extensión consiste en presentar dentro
un signo de agrupación, preferiblemente corchete, todos y cada uno de los elementos
que lo conforman separados por una coma. Como se hizo con los ejemplos 1, 4, 7 y 8
Def. Nº 9 Determinar un conjunto por comprensión consiste en representar sus
elementos con un símbolo (Generalmente se ha usado x) y damos una cualidad o
característica común de sus elementos. Los conjuntos de los ejemplos 2, 3, 5, 6, 7, 8 y
9
Cuando los elementos de un conjunto cumplen un orden podemos escribir los tres o
cuatro primeros seguidos de tres puntos suspensivos como fue el caso del ejemplo nº 5
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos los podemos clasificar según su número de elementos de forma general
y particular.
Def. Nº 10 En forma general: si el número de elementos de un conjunto se puede
determinar o contar o se tiene la certeza de que es finito, el conjunto recibe ese
nombre, conjunto finito.
Ejemplo 10: El conjunto formado por todos los egresados de la Universidad de
sucre.
Ejemplo 11: Los conjuntos de todos los ejemplos anteriores excepto el del ejemplo
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
31
nº 5 son finitos. A pesar de que algunos sean de un número exageradamente grande
de elementos como es el caso de los niños que viven en el mundo del ejemplo nº 3,
son finitos
Ejemplo 12: Otro conjunto cuyo número de elementos es extenso y que sin embargo
es finito, es el de los granitos de arena que hay en los océanos.
Def. Nº 11 Igualmente si un conjunto tiene un infinito número de elementos, el
conjunto se le denomina, conjunto infinito. Como ejemplo recordamos el de los
números naturales
Ejemplo 13: Los conjuntos infinitos más representativos son los numéricos como los
ENTEROS, RACIONALES, IRRACIONALES y REALES
Def. Nº 12 Aquel conjunto del ejemplo nº 4 es muy particular, pues solo cuenta
con un único elemento, a este tipo de conjuntos se les denomina conjuntos
unitario.
Ejemplo 14: El conjunto formado por los valores de x para los cuales x+5=2, es un
conjunto unitario.
Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto
unitarios imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!
Hasta el momento hemos tratado con conjuntos que son formados por uno o varios
elementos, consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 15: El conjunto formado por los campeonatos mundiales de futbol en los
cuales Colombia ha sido CAMPEÓN.
Al revisar las estadísticas de los mundiales de futbol realizados, se puede constatar que
nunca Se ha logrado tal resultado.
ELVER OVIEDO VERGARA
32
U 1 7 4 6 2 8 9 0 3 5
Ejemplo 16: Podríamos pensar en las personas mayores de cien años que se
encuentran en este salón.
Y observa que no hay ninguno con esa característica.
Def. Nº 13 Este tipo de conjuntos puede ser considerado y recibe el nombre de
conjunto vacío. Y se denota con el símbolo ø.
Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto vacios
imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!
CONJUNTO UNIVERSAL
Def. Nº 14 En determinadas situaciones se requiere de un conjunto referencial que
nos permita definir otros conjuntos cuyos elementos estén incluidos en este conjunto
global, a este conjunto se le denomina Conjunto Universal, y lo denotamos con la
letra U
Ejemplo 17: Consideremos el conjunto formado por los estudiantes de este curso, a
partir de ésta condición general podemos plantear otras condiciones. Podríamos
considerar la condición siguiente:
Los estudiantes del curso que son menores de edad.
Los estudiantes del curso de sexo masculino.
Los estudiantes del curso oriundos de esta ciudad.
DIAGRAMA DE VENN
Consideremos el conjunto el cual está representado como
usualmente se hace, podría también representarse dentro de una figura cerrada (como
un óvalo, un círculo, un rectángulo…) y decir que está representado mediante un
Diagrama de Venn así:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
33
SUBCONJUNTO
Def. Nº 15 Un conjunto puede estar contenido implícitamente en otro, esto ocurre
cuando todos sus elementos están en ese otro conjunto, consideremos el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 18: Sea y sea , como ve los elemento de B
son elementos a la vez de A, B está contenido en A, y se denota así
Entonces, se dice que un conjunto B es Subconjunto de A si todos los elementos de
B son a la vez elementos de A
Notas:
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto incluso de él mismo.
Todo conjunto es subconjunto de él mismo
NUMERO DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO
Ejemplo 19: Considere el conjunto A= el cual tiene cuatro (4) elementos;
¿Cuáles y cuántos son sus subconjuntos?
De acuerdo a la nota anterior los dos primeros subconjuntos serán, vacío y el mismo
conjunto A; le seguirán en su orden todos los subconjuntos unitarios los cuales son
cuatro, ; podemos contar los subconjuntos
que tienen dos elementos, son seis; y podemos
obtener todos los subconjuntos de tres elementos los cuales son otros cuatro
. En total este conjunto de cuatro elementos tiene:
1 subconjunto que no tiene elemento, vacío
4 subconjuntos de un elemento
6 subconjuntos de dos elementos
4 subconjuntos de tres elementos y
1 subconjunto de cuatro elementos, que es él mismo
16 subconjuntos en total
Y así en forma general, el número de subconjunto de un conjunto de n elementos
está dado por la forma , para el caso anterior 24 = 16.
ELVER OVIEDO VERGARA
34
NUMERO COMBINATORIO
A la expresión o se lee combinado y está dada por la fórmula
el cual me permite saber cuántos subconjuntos de elementos salen de un
conjunto de – elementos, donde y se conoce como
el número factorial, para los casos particulares 0!=1!=1
En el conjunto de cuatro elementos sus 16 subconjuntos estuvieron distribuidos así:
Subconjunto de cero elemento
Subconjuntos de un elemento
Subconjuntos de dos elementos
Subconjuntos de tres elementos
Subconjunto de cuatro elementos
PARTES DE UN CONJUNTO
Def. Nº 16 Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto A lo
denominamos partes de A y se denota como .
Ejemplo 20: si tomamos el mismo conjunto del ejemplo anterior se tiene que
SUBCONJUNTO PROPIO
Def. Nº 17 Los subconjuntos de un conjunto A excepto el mimo conjunto A son
subconjuntos propios de A
Ejemplo 20: Los elementos de pates de A del ejemplo 18 excluyendo al conjunto A
son Subconjuntos propios de A, es decir que en ese ejemplo hay 15 subconjuntos
propios.
Y en general, el número de subconjuntos propios de un conjunto de n
elementos está dado por la forma ,
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
35
Para denotar que un conjunto B es subconjunto propio de otro conjunto A
escribimos
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Def. Nº 18 Dos conjuntos A y B se dicen que son iguales si son subconjuntos entre sí,
es decir los elementos de A son elementos de B y al mismo tiempo los elementos de B
son elementos de A. Si es así se escribe A=B es equivalente a que .
Ejemplo 21) Los conjuntos y , son
iguales.
RELACIÓN DE CONTENENCIA Y NO CONTENENCIA
Consideremos el siguiente conjunto M , Pregunta:
¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subconjuntos propios de M?
, , ø,
Veamos las respuestas para cada caso:
Para 3,4N la respuesta es que N no está contenido en M dado que tiene un
elemento, a 4, que no es elemento de M. en este caso se denota así MN
Para ia,3,Q la respuesta es que Q está contenido en M dado que todos sus
elementos, son elementos de M. en este caso se denota así MQ
Para 4P la respuesta es que P está contenido en M dado que su único
elemento, pertenece a M. en este caso se denota así MP
Para la respuesta es que está contenido en M dado que vacío es subconjunto
de todo conjunto, así M
Para 43,,D la respuesta es que D no está contenido en M dado que ø no
es elemento de M. en este caso se denota así MD
ELVER OVIEDO VERGARA
36
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Def. Nº 19 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo
conjunto formado por los elementos que están en A o en B, o en ambos, ese nuevo
conjunto se le llama la unión de A con B. Lo anterior lo podemos denotar de la
siguiente manera: BA
Lo anterior se puede expresar en forma simbólica de la siguiente manera:
BxA x/xBA
Ejemplo 22) Dados los conjuntos: 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y ,12,142,4,6,8,10B
Podemos obtener BA , el cual quedaría así 10,12,145,6,7,8,9,0,1,2,3,4,BA
Def. Nº 20 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo
conjunto formado por los elementos que están en A y en B, es decir los que están en
ambos, ese nuevo conjunto se le llama la intersección de A con B. Lo anterior lo
podemos denotar de la siguiente manera: BA
Lo anterior se pude expresar en forma simbólica de la siguiente manera:
Bx Ax/xBA
Ejemplo 23) Dados los conjuntos del ejemplo 22 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y
,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener BA , el cual quedaría así
2,4,6,8BA
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
37
Def. Nº 21 Aquellos conjuntos que no tienen elementos en común y cuya
intersección resulta vacía, o sin elementos, se les denominan disyuntos
Ejemplo 24) Los conjuntos 1,4,6A y 2,5,7B no tienen elementos en común
ellos son disyuntos.
Def. Nº 22 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo
conjunto formado por los elementos que están en A y no en B, ese nuevo conjunto
se le llama la diferencia de A con B, o A menos B. Lo anterior lo podemos denotar
de la siguiente manera: BA
Lo anterior se pude expresar en forma simbólica de la siguiente manera:
Bx Ax/xBA
Ejemplo 25) Dados los conjuntos del ejemplo 22 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y
,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener BA , el cual quedaría así
BA
90,1,3,5,7,
Análogamente podemos definir el conjunto diferencia de B con A, o B menos A, Así
tendríamos:
Def. Nº 23 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo
conjunto formado por los elementos que están en A y no en B, ese nuevo conjunto
se le llama la diferencia de B con A, o B menos A. Lo anterior lo podemos denotar
de la siguiente manera: AB
ELVER OVIEDO VERGARA
38
Lo anterior se pude expresar en forma simbólica de la siguiente manera:
Ax Bx/xA-B
Ejemplo 26) Dados los conjuntos del ejemplo 22 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y
,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener AB , el cual quedaría así
10,12,14A-B
Def. Nº 24 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo
conjunto formado por los elementos que están en BA y no en BA ese nuevo
conjunto se le llama la diferencia simétrica de A con B, o B con A. Lo anterior lo
podemos denotar de la siguiente manera: BA o AB ; También podemos definirlo
como la unión de BA y AB , así BA AB )BA()BA(
)AB()BA(
Lo anterior se pude expresar en forma simbólica de la siguiente manera:
B)A(x B)A(x/xBA
Ejemplo 27) Dados los conjuntos del ejemplo 22 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y
,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener BA , el cual quedaría así
141210309571 ,,,,,,,,BA
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
39
Def. Nº 25 Dado el conjunto Universal o referencial y un subconjunto A de U,
podemos obtener a partir de él un nuevo conjunto formado por los elementos que
están en U y no en A, Es decir U-A ese nuevo conjunto se le denomina
complemento de A. Lo anterior lo podemos denotar de la siguiente manera: AC O
A’
U
Ejemplo 28) Consideremos al Conjunto U como el conjunto formado por todos los
naturales menores de 15, es decir 15<xy N x/x=U y sea A el mismo conjunto de
los ejemplos inmediatamente anteriores 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A , Así
0,1312,11,14,1A'
Ejemplo 29) Igualmente si 15<xy N x/x=U y ,12,142,4,6,8,10B , tendríamos
también a 9,11,130,1,3,5,7,B'
U
Las anteriores operaciones cumplen entre otras las siguientes operaciones: Para todo
conjunto universal U y todo conjunto A, B y C contenidos en U, se cumple:
AA A AA AAA
AAA 'U 'U ABBA
U'AA 'AA UUA AUA
ABBA )CB(AC)BA( )CB(AC)BA(
A
12 10 11 13 14
A 0 1 2
3 4 8 5
6 7 9
11 13 9 7 5 3 1 0
B 4 6
2 10 12
8 14
ELVER OVIEDO VERGARA
40
A)''A( )CB()BA(C)BA( )CB()BA(C)BA(
Estas propiedades se pueden comprobar a través de las regiones que ocupan en los
diagramas de Venn. Consulte otras propiedades y compruébelas como a continuación
las representaremos.
Las operaciones con tres conjuntos requieren de mayor ilustración y la mejor forma de
hacerlo es mediante los diagramas de Venn, veamos las siguientes regiones:
)BA( )CB( )CA( C)BA( C)BA(
)'CB( )'BA( CBA()'CBA(
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
A los conjuntos que se han obtenido a partir de la operación entre otros conjuntos se
les puede determinar su número de elementos en función del número de elementos de
cada uno de esos conjuntos que se operaron, así:
1 )BA(n)B(n)A(n)BA(n
2 )CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n
3 )BA(n)'A(n)U(n)A(n
APLICACIONES
La teoría de conjunto tiene estrecha relación con la realidad y con la cotidianidad, es
de gran apoyo en estudios o investigaciones. Los siguientes problemas son ejemplo de
ello.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
41
Ejemplo 30: En una encuesta realizada a cien personas en el centro de la ciudad de
Sincelejo con relación al supermercado(s) preferido(s) para realizar sus compras y se
obtuvo el siguiente resultado: Ocho de las personas encuestadas respondió que
compraba en los tres principales supermercados, veinte personas respondieron que
compraban en los supermercados Éxito y Ley, igual número de personas respondió
que en Ley y en SAO, dieciocho personas respondieron que en el SAO y en Éxito,
cuarenta personas respondieron que en el nuevo almacén Éxito y cuarenta y cuatro en
el SAO y catorce personas no compran en ninguno de estos tres supermercados.
Pregunta: ¿Cuántas personas compran en el Ley? ¿Cuántas personas compran en dos
almacenes exactamente? ¿Cuántas personas compran en más de un supermercado?
¿Cuántas personas compran en exactamente un supermercado? ¿Cuántas personas
compran a lo sumo en dos supermercados?
Solución, para mayor ilustración y comprensión del problema representaremos la
información en un diagrama de Venn, ubicando los datos interiores primeros, es decir
la triple intersección, si representamos al conjunto de personas que dijo que compraba
en el almacén Éxito con la letra A, A los del supermercado Ley con la letra B y al SAO
con la letra C tenemos:
La información siguiente fue que 20 personas compraban en A y en B,
y como ya llevamos 8 en la triple intersección no queda sino que
colocar el reto donde corresponde:
Luego nos informaron que 18 personas compran en A (éxito) y C (SAO)
por lo que tendríamos:
Más tarde nos dijeron que 40 personas compran en él A (éxito) y 44
en el C (SAO) haciendo la resta de los que ya están incluidos nos
queda:
y finalmente 14 personas no compran en ninguno de los tres
supermercados por lo que tenemos:
ELVER OVIEDO VERGARA
42
No queda faltando cuántas personas compran en el almacén B que es una de las
preguntas; para eso, debemos remplazar los datos que nos dieron en la fórmula Nº 2
de número de elementos y tenemos:
)CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n No se conoce directamente el número de elementos de la triple unión, sin embargo,
los encuestados son 100 y 14 no están en la triple unión y de acuerdo a la formula Nº
3 de número de elementos se tiene:
))'CBA((n)U(n)CBA(n 8614100)CBA(n
Por lo anterior
8201820444086 )B(n 925886 )B(n )B(n92144
)B(n52
Y si vemos la gráfica ya llevamos 32 en B faltarán por ubicar los últimos 20 así, con la
siguiente grafica podemos responder todas las preguntas
1. ¿Cuántas personas compran en el Ley? R/ta 52
2. ¿Cuántas personas compran en dos almacenes exactamente? R/ta 34
3. ¿Cuántas personas compran en más de un supermercado? R/ta 42
4. ¿Cuántas personas compran en exactamente un supermercado? R/ta 44
5. ¿Cuántas personas compran a lo sumo en dos supermercados? R/ta 92
Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4 Pregunta 5
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
43
Ejemplo 31: La administración de una empresa realizó una encuesta sobre los
destinos de preferencia de sus trabajadores en vacaciones logrando los siguientes
encuestados: 45, prefieren el eje cafetero; 15, no viajarán; 105, irán a por lo menos
uno de esos sitios; 3, decidieron a los tres sitios en cuestión; 20, prefieren a Santa
Marta y al Eje Cafetero; 15, a Santa Marta y Cartagena; 18, al Eje Cafetero y
Cartagena; en total, 50 prefieren ir a Santa Marta. ¿Cuántos prefieren ir a Cartagena?
¿Cuántos prefieren ir a Santa marta o Cartagena pero no al Eje Cafetero? ¿Cuántos
prefieren ir a dos sitios exactamente? ¿Cuántos prefieren ir a un solo sitios?
Este ejemplo lo resolveremos sacando los datos primero:
Sea A, el conjunto de los que prefieren el Eje cafetero
Sea B, el conjunto de los que prefieren Santa Marta y
Sea C, el conjunto de los que prefieren Cartagena
Así tenemos:
45)A(n 105)CBA(n 50)B(n 3)CBA(n
15))'CBA((n 20)BA(n 15)CB(n 18)CA(n
Si representamos esta información no quedará faltando pero si remplazamos en
)CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n
Tenemos 31518205045105 )C(n
9853105 )C(n )C(n98158
)C(n60
Por lo tanto podemos resolver el cuestionario con el
Siguiente gráfico:
1. ¿Cuántos prefieren ir a Cartagena? R/ta 60
2. ¿Cuántos prefieren ir a Santa marta o Cartagena pero no al Eje Cafetero? R/ta 60
3. ¿Cuántos prefieren ir a dos sitios exactamente? R/ta 44
4. ¿Cuántos prefieren ir a un solo sitios? R/ta 58
ELVER OVIEDO VERGARA
44
Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4
Después de realizar una encuesta en un determinado estado o departamento sobre los
servicios básicos de sus municipios, se sabe que:
El 65% de los municipios tiene servicio de acueducto
El 60% de los municipios tiene servicio de energía
El 40% de los municipios tiene servicio de telefonía
El 40% de los municipios tiene servicio de acueducto y energía
El 25% de los municipios tiene servicio de acueducto y telefonía
El 20% de los municipios tiene servicio de energía y telefonía
El 85% de los municipios tiene por lo menos uno de los tres servicios
Determine:
1. % de los municipios que tienen los tres servicios
2. % de los municipios que tienen los servicios de acueducto y energía pero no
telefónica
3. % de los municipios que tienen sólo un servicio
4. % de los municipios que no tienen ninguno de los tres servicios
5. % de los municipios que tienen exactamente dos servicios
Remplazando en
)TEA(n)TE(n)TA(n)EA(n)T(n)E(n)A(n)TEA(n
Tenemos los siguientes datos en porcentajes
)TEA(n25204040606585 )TEA(n1254585
)TEA(n125130 )TEA(n5
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
45
Luego ubicando los datos en sus respectivas regiones tenemos
El dato que nos restaría sería el complemento de la triple unión para
lo cual hacemos el siguiente análisis; sabemos que el 85% de los
encuestados tiene por lo menos uno de los tres servicios y para llegar
al cien por ciento de los encuestados falta el 15% que sería el
complemento de la triple unión, así tendríamos:
Para responder los interrogantes tenemos las gráficas siguientes:
Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4 Pregunta 5
ELVER OVIEDO VERGARA
46
EJERCICIOS UNIDAD Nº 1
Parte 1) LÓGICA
1. Escriba cinco proposiciones simple con valor de verdad indiscutible verdadero.
2. Escriba cinco proposiciones simple con valor de verdad indiscutible falso.
3. Escriba cinco proposiciones simples con valor de verdad indefinido. (abiertas)
4. Construya mínimo 20 proposiciones compuestas con los distintos conectivos
lógicos dados.
5. Determine el valor de verdad de estas últimas proposiciones compuestas a
partir del valor de verdad de las proposiciones que las forman.
6. Construya un texto con 6 proposiciones mínimo de las que elaboró en los
inciso 1 y 2 con su respectivo esquema proposicional.
7. Construya la tabla de verdad de ese esquema proposicional.
8. Construya la tabal de verdad de los siguientes esquemas proposicionales:
a) q).~(rq)r(~p
b) p).(rq)(r~p
9. Niegue las siguientes proposiciones:
a) Si Ana gana la competencia entonces Pedro se va del pueblo
b) Ni Carmelo es Campeón ni María es una Atleta.
c) Los Ingenieros son buenos y algunos niños tienen hambre
Parte 2) CONJUNTO
1. Determine por extensión los siguientes conjuntos.
a) 30 a divide Z/xxA
b) 8x5-Z/xB
2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos.
a) 11,A
b) ..3,6,9,12,.B
c) 2,3,5,7C
d) laBarranquil Medellín,Cali, ogotá,BD
3. Propón 5 ejemplos de conjuntos y determínalos por comprensión y por
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
47
extensión.
4. Sea 1197531 ,,,,,A A= . Determina el valor verdad de
cada enunciado.
a) A1,3
b) A9,11
c) A3,5,7
d) A
e) A
f) A
5. Dados los siguientes conjuntos.
8x10-Z/xU 3x2-Z/xA 5x5-Z/xB
3x7-Z/xC Hallar :
a) BA b) A)CB( c) 'A)BC(
d) C)BA( e) A)'BC( f) )BA()'CA(
6. En un hospital se encuentran internados 110 pacientes, de los cuales 57
tienen dolores estomacales, 48 gripe y 51 fiebre. 17 tienen fiebre y gripe,
19 gripe y dolores estomacales, 28 dolores estomacales y fiebre, y 10
presentan los tres síntomas.
¿Existen pacientes que no presenten los síntomas mencionados
Anteriormente? ¿Cuántos tienen solo gripe y fiebre? ¿Cuántos presentan solo
dos síntomas de los mencionados anteriormente?
7. Indica por medio de operaciones entre conjuntos a que corresponde la
región sombreada de cada diagrama.
a) c)
b) d)
ELVER OVIEDO VERGARA
48
CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA
OBJETIVOS:
Proporcionar al estudiante las herramientas conceptuales referidas al álgebra que
posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas específicos de la ingeniería.
Al finalizar la unidad el estudiante de administración de empresas estará en
condiciones de:
1. Identificar entre expresiones algébricas las que son polinomios.
2. Identificar las partes de un término en un polinomio.
3. Clasificar polinomio según el número de términos que lo forman.
4. Realizar operaciones con polinomios a partir de la reducción de términos
semejantes
5. Relacionar a los productos de polinomios con los casos de factorización.
INTRODUCCIÓN
Las definiciones y los ejercicios de la siguiente unidad nos darán las bases para
expresar algunas situaciones o fenómenos reales en una expresión algébrica; con
estas se enuncian las leyes de la física, la química, la astronomía, los perímetros,
aéreas, costo, ingreso, utilidades de una empresa y muchas otras que son de gran
importancia en la Administración y la economía.
EXPRESIONES ALGÉBRICAS
Def Nº 26 A las operaciones indicadas que se escriben con los símbolos y letras que
representan cantidades desconocidas (incógnitas) o elementos de un conjunto
(variables) ya sea suma, resta, multiplicación, división, potenciación y/o radicación se
les denominan operaciones algebraicas. Y Al conjunto de letras y números ligados
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
49
entre sí con los signos de las operaciones algebraicas se denomina expresión
algebraica.
Ejemplo 32: Son ejemplos de expresiones algébricas las siguientes: acxy 32
,
37
23 5
t
xt,
5256 xytm
Def 27) Una expresión algebraica a la que podamos distinguir principalmente los
siguientes elementos denominamos término algebraico: zx 23
(S) El signo, en este caso es negativo
(PN) Parte Numeral, en este caso es 3
(PL) Parte literal, en este caso son x, z.
(E) exponente, en este caso son 2, 1.
Obs: Es posible que no aparezca el signo, entonces se asume como positivo
O que no aparezca la parte numeral, entonces asumimos como uno
O que no aparezca el exponente, entonces lo asumimos como uno
O que no aparezca la parte literal, entonces asumimos que puede ser cualquier
letra con exponente cero
Son ejemplos de términos algebraicos los siguientes:
Ejemplo 33:
36 p 4
4yz
25mk
Def 28) Monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos
de números reales y de potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son
números naturales. Del ejemplo anterior el último término algebraico no puede ser
monomio. ¿Por qué?.... ¿Hay diferencia entre término algebraico y monomio?
Observamos que los polinomios (con una o dos variables) se construyen al sumar o
sustraer términos de la forma nax , o bien:
mn ybx ; en tales casos, a y b son números
reales, mientras que m y n son números naturales. En un polinomio, ninguna variable
puede aparecer en el denominador ni como exponente ni dentro del signo de radical
ni entre las barras verticales que indican valor absoluto. Así no son polinomios
ELVER OVIEDO VERGARA
50
52 3x , 25mk ,
37
23 5
t
xt,
x3 .
Def 29) Binomio es una expresión algebraica que se obtiene de la suma o diferencia
indicada de dos monomios.
Ejemplo 33:
46 3p , 33 75 xn
Aclaro que hay expresiones que a veces forman polinomios, y veamos si puedes
descubrir lo que tienen en común los polinomios, ya que esas condiciones no se
cumplen en expresiones no polinómicas.
Def 30) Los monomios como 3x3y, -5x3y y 7x3y que tienen la misma parte literal con
sus respectivos exponentes iguales en sus variables se les llaman término semejante.
Los términos semejantes tienen la particularidad de que se pueden reducir entre sí por
medio de las operaciones indicadas que determinen sus propios signos.
Los tres términos semejantes dados en la definición como ejemplo podemos recudirlos
a uno solo así 3x3y -5x3y + 7x3y = 5x3y
Def 31) Trinomio es una expresión algebraica que se obtiene de la suma o
diferencia indicada de tres monomios.
Ejemplo 34:
466 3 np , 423 745 xxn
Def 32) Y en general un polinomio de una variable es una expresión de la forma
nn
nn axaxaxa 1
1
10 ... con n que pertenece a los naturales y si , se dice
que el grado del polinomio es n.
Es conveniente identificar ciertos tipos de polinomios para que su estudio sea más
eficiente. Con este propósito se emplea el concepto de grado.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
51
Def 33) Si un término del polinomio tiene solamente una variable como factor, el
grado de ese término es la potencia de dicha variable. Si en un término aparecen dos
o más variables como factores, el grado del término es la suma de los exponentes de
las variables.
Ejemplo 35:
36 p es de grado tres, es de grado cero y
4yz es de grado cinco
Def 34) El grado de un polinomio corresponde al del término diferente de cero que
presente el grado más elevado o máximo en el polinomio. (Recuerde que sumamos o
sustraemos términos y multiplicamos factores)
Ejemplo 36:
466 3 np es de grado 3 y 423 745 xxn es de grado 4
LEYES DE LA POTENCIACIÓN LA RADICACIÓN Y LA
LOGARITMACIÓN
Es importante tener en cuenta que esas propiedades de la potenciación, la radicación
y la logaritmación son de mucha utilidad en el desarrollo de las operaciones con
polinomios ellas son:
POTENCIACIÓN
Def 35) Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores
iguales.
El factor repetido se llama base.
El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor.
Donde: P = potencia = an
a = base
n = exponente
4
ELVER OVIEDO VERGARA
52
Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite, en la
parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces
que se multiplica y se lee:
a elevado a la n - enésima potencia de a
Ejemplo:
22 = 2 x 2 = 4 6) 43 = 4 x 4 x 4 = 64
32 = 3 x 3 = 9 7) 53 = 5 x 5 x 5 = 125
42 = 4 x 4 = 16 8) 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
52 = 5 x 5 = 25 9) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
23 = 2 x 2 x2 = 8 10) 106 = 10 x 10 x 10x 10 x 10 x 10 = 1000000
Las primeras potencias de un número son las siguientes:
Potencia de exponente 0
Potencia de exponente 1 o primera potencia
Potencia de exponente 2 o cuadrada
Potencia de exponente 3 o cúbica
Potencia de exponente 0
Todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1.
La expresión a elevado a la cero no tiene sentido en si misma. La solución se extrae
realizando divisiones sucesivas:
Potencia de exponente 1
Todo número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
53
El exponente 1 no se suele escribir, ya que el resultado es el mismo número.
Potencia de base 0
Toda potencia de base 0 y exponente distinto de 0 es igual a cero.
La potencia de base 0 y exponente igual a 0 es indeterminada ya que:
- Toda potencia de exponente 0 es igual a 1.
- Toda potencia de base 0 es igual a 0.
Potencia de base 1
Toda potencia de base 1 es igual a la base.
Ley uniforme
La potenciación de dos es uniforme ya que su resultado es único, para todo par
distinto de (0,0). Si a ambos miembros de una igualdad se los eleva con un mismo
exponente se obtiene otra igualdad.
ELVER OVIEDO VERGARA
54
Ley cancelativa
La ley cancelativa es la propiedad recíproca de la ley uniforme.
Ley conmutativa
La potenciación no es conmutativa, ya que depende del orden de base y exponente:
al cambiar el orden de los mismos la potencia varía.
Ley asociativa
La potenciación no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien los
operandos.
Propiedad distributiva
La potenciación no es distributiva respecto de la
suma y la resta.
La potenciación es distributiva respecto de la
multiplicación y a la división.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
55
Potencias de igual exponente
El producto de potencias de igual exponente es igual al producto de las bases
elevado a ese exponente común.
La división de potencias de igual exponente es igual a la división de las bases
elevada a ese exponente común.
Demostración:
Potencias de igual base
El producto de potencias de igual base es igual a la base común elevada a la
suma de los exponentes.
La división de potencias de igual base es igual a la base común elevada a la
diferencia de los exponentes.
ELVER OVIEDO VERGARA
56
Demostración:
Potencia de potencia
Toda potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base cuyo
exponente es el producto de los exponentes dados.
Demostración:
Cuadrado de la suma
El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de los
mismos más el doble producto del primero por el segundo.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
57
Demostración:
Cuadrado de la diferencia
El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma de los cuadrados de
los mismos menos el doble producto del primero por el segundo.
Demostración:
Producto de la suma por la diferencia de dos números
El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos es igual a la
diferencia de los cuadrados de los mismos.
ELVER OVIEDO VERGARA
58
Demostración:
Leyes de monotonía
Si a ambos miembros de una desigualdad se los eleva a un mismo exponente distinto
de cero, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
RADICACIÓN
Def 36) La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un
número a llamado radicando y otro número n llamado índice, es igual a un número b
llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.
y se lee raíz n de a es igual a b.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
59
Las primeras raíces de un número son las siguientes:
Raíz cuadrada
Raíz cúbica
Raiz entera
La raíz entera de un número es igual al mayor número que, elevado a la enésima
potencia, de como resultado un valor menor o igual al radicando. La diferencia entre
el radicando y la enésima potencia de la raíz se llama resto.
Leyes y propiedades
La radicación cumple con las siguientes leyes y
propiedades:
Casos particulares
La operación de potenciación presenta los
siguientes casos particulares, cuyo análisis es de
suma importancia:
Raíces del número 1
Raíces de igual índice
Corolarios
Si a un número se le extrae la raíz enésima y al resultado se lo eleva a la
enésima potencia, se obtiene el primer número.
Si un número se lo eleva a la enésima potencia y al resultado se le extrae la raíz
enésima, se obtiene el primer número.
ELVER OVIEDO VERGARA
60
Simplificación
De acuerdo a los corolarios de la radicación:
La potencia enésima y la raíz enésima pueden simplificarse.
Propiedad distributiva
La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta.
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y a la división.
Leyes de monotonía
Si a ambos miembros de una desigualdad se les extrae la raíz enésima, se obtiene otra
desigualdad del mismo sentido.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
61
Raíces de igual índice
El producto de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del
producto de los radicandos.
La división de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima de la división
de los radicandos.
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver las operaciones que combinan adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación se ha fijado un conjunto de reglas que establecen el
orden a seguir para llegar al resultado correcto.
Primero se deben separar los términos y luego resolver cada uno de ellos.
Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en
el siguiente orden:
1) Potenciación y radicación
2) Multiplicación y división
3) Adición y sustracción
Pasaje de exponentes e índices
De acuerdo a la definición de raíz exacta, toda radicación tiene una potenciación
asociada:
ELVER OVIEDO VERGARA
62
Estas dos igualdades son equivalentes y puede definirse:
Todo índice que figura en un miembro, puede pasarse al otro miembro como
exponente.
Recíprocamente, todo exponente que figura en un miembro, puede pasarse al
otro miembro como índice.
LOGARITMACIÓN
Def 37) El logaritmo es una operación que te sirve para saber quién es el exponente
Veamos un ejemplo:
Tu sabes que 32 = 9 ; entonces :
293 =Log
Y se lee: “logaritmo en base tres de nueve es igual a 2”
Por lo tanto el resultado de un logaritmo siempre es un exponente.
Al igual que sucede en potenciación, los logaritmos también tienen propiedades que
son muy útiles:
1. =Borque a B=n pLog n
a
2. 101 0=e a porqu= Log a
3. =ae a porqu a=Log a
11
4. CLogB=LogCB Log aaa ).(
5. CLogBLogCB Log aaa )(
6. CLogB=LogCB Log aaa )(
7. CLogBLogCB Log aaa )(
8. BLog=n BLog a
n
a .
9. EXISTENO= Log a 0
10. =n aLog n
a
11. aLog
BLog B=Log
K
Ka
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
63
Dentro de las bases de logaritmos más importantes se encuentran 10 y e. Sus
logaritmos correspondientes se expresan así:
e enbase o natural Logaritmo X=LnXLog
enbase Logaritmo X=LogXLog
e
1010
Mira algunos modelos de ejercicios:
1. Pasar de formas exponenciales a logarítmicas y viceversa
4000100001010
2
122828
249497
4
8
313
7
2
.Log.
Log
Log
/
2. Simplificar expresiones:
20
133
1
72
2020
1
33
7
2
eLogLn ee
LogLog
=Log
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA Y RESTA
Hemos visto términos semejantes, igualmente vimos como reducir términos
semejantes y es precisamente eso lo que se debe tener en cuenta a la hora de sumar o
restar polinomios. Teniendo en cuenta que en el caso de la resta el polinomio
sustraendo se afectará por el signo menos (-) de la resta, cambiando los signos de los
términos que lo conforman.
Ejemplo: sean los polinomios 355 234 xyxxy y 555 262 xyyxx , realizar:
a) Suma. (
355 234 xyxxy )+ ( 555 262 xyyxx ) Aquí se rompen los paréntesis sin
ninguna novedad y se juntan los términos semejantes para su posterior reducción. 235555 226334 xxyxyxyxxy
2355 2236 xxyxxy
ELVER OVIEDO VERGARA
64
De aquí en adelante no se puede simplificar más, terminando la operación.
b) Reste.
(
355 234 xyxxy )- ( 555 262 xyyxx ) El polinomio minuendo ( 355 234 xyxxy ) en
la operación que tenemos puede ser despojado de los paréntesis que lo cubre sin
ningún inconveniente, pero el polinomio sustraendo ( 552 262 xyyxx ) debemos
romperle el paréntesis que lo cubre pero cambiando cada término que lo forma por su
inverso aditivo, esto es por sus signos opuestos. Luego agrupamos por términos
semejantes para su posterior reducción. Veamos
(
355 234 xyxxy )- ( 555 262 xyyxx )=
355 234 xyxxy - 552 262 xyyxx =
yxyxxyxy 5555 6324 - 23 22 xx =
2355 2292 xxyxxy
Finalizando la operación allí.
MULTIPLICACIÓN
La Multiplicación de polinomio se basa en la propiedad distributiva, veamos el
Siguiente ejemplo sencillo; consideremos lo binomios )yx( 32 2
y )nm( 52 32
, y multipliquemos.
)nm.(y)nm.(x 523522 32232 53235222 322232 n.ym.yn.xm.x
53235222 6432 n.ymynxmx
Finalizando aquí porque no resultaron términos semejantes.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
65
DIVISIÓN
Consideremos el caso en el que dividimos un polinomio entre un binomio y seguimos
el proceso como si se estuviera dividiendo un número natural entre otro de dos cifras.
Sean p(x) = 5x4+3x2-7x +8 (polinomio dividendo) y x – 1 (binomio divisor)
8735 24 xxx 1x 34 55 xx 1855 23 xxx
23 35 xx
23 55 xx
xx 78 2
xx 88 2
8x
1x
9
Dentro de los productos entre polinomios podemos resaltar unos por su curiosidad en
el resultado, a estos productos, se les denominan Productos notables, los cuales
incluiremos dentro del proceso. La multiplicación y división de polinomios no debe
estar separada del proceso de factorización dado que cada caso de factorización es el
proceso inverso a uno de multiplicación o división. Por lo anterior se desarrollará por
cada caso de producto o cociente notable su respectivo caso de factorización.
I) Monomio por (Binomio o Trinomio o Polinomio)
Para desarrollar un producto de esta forma se requiere aplicar la propiedad
distributiva:
Ejemplo i:
5x3y2.(2x - 5y2) = 5x3y2.( 2x) – 5x3y2. (5y2) = 10 x4y2 - 5x3y4
Ejemplo ii:
3m2x3.(5x – 7y3 + 2m) = 3m2x3.(5x) – 3m2x3.(7y3 ) + 3m2x3.(2m)
= 15m2x4 - 21m2x3y3 + 6m3x3.
ELVER OVIEDO VERGARA
66
I) Factor Común Monomio
Para este caso de factorización procedemos de la siguiente manera: 1°-
Identificamos el factor común, el cual es m.c.d de las partes numerares de los
términos que lo conforman con la parte literal común con sus menores
exponentes. 2° - se coloca como coeficiente de un paréntesis en el que
escribimos todos los de dividir cada termino de la expresión a factorizar entre el
factor común, y por último se simplifica.
Ejemplo i:
10 x4y2 - 5x3y4 = 5x3y2 .
2323 55 yx
y5x
yx
y10x 4324
= 5x3y2.(2x - 5y2)
Ejemplo ii:
15m2x4 - 21m2x3y3 + 6m3x3 = 3m2x3. 32
33
32
3
32 3
6
33 xm
xm
xm
yx21m
xm
x15m 3242
= 3m2x3.(5x – 7y3 + 2m)
II) Binomio por (Binomio o Trinomio o Polinomio)
Para desarrollar un producto de esta forma, que es general y que no tiene
nada de notable, se aplica la propiedad distributiva dos o más veces según el
caso.
Ejemplo i:
= 7x2.(2y3 + 5n5) – 3n2p3.(2y3 + 5n5)
= 7x2.(2y3)+7x2(5n5)–3n2p3.(2y3)–3n2p3(5n5)
= 14x2y3+35x2n5–6n2p3y3–15n7p3
Ejemplo ii:
(2m2y3-5k3).(7p2y+3n3) = 2m2y3.(7p2y+3n3) -5k3.(7p2y+3n3)
=2m2y3.(7p2y) +2m2y3.(3n3) -5k3.(7p2y) -5k3.(3n3)
= 14 m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3
II) Factor Común Por Agrupación de Términos Para este caso de factorización procedemos de la siguiente manera: 1°-
Identificamos el factor común por cada grupo de términos. 2° - se Factoriza
cada grupo de términos como se hizo en el caso anterior. 3° - por último
volvemos a factorizar todo identificando un factor común en las
factorizaciones de cada grupo de términos.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
67
Ejemplo i) factorizar
14x2y3+35x2n5–6n2p3y3–15n7p3=14x2y3+35x2n5 – 6n2p3y3–15n7p3
=7x2.2
5
2 77 x
n35x
x
y14x 232
–3n2p3 .32
5
32
3
33 pn
p15n
pn
yp6n 732
= 7x2(2y3 + 5n5) –3n2p3(2y3+5n5)
= (2y3 + 5n5).)ny(
)ny.(p3n
)ny(
)ny.(x 2
53
533
53
532
52
52
52
527
= (2y3 + 5n5)( 7x2 –3n2p3 ) Ejemplo ii:
14m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3=14m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3
= 2m2y3 -5k3
= 2m2y3(7p2y + 3 n3) -5k3(7p2y + 3 n3)
= (7p2y + 3 n3)
= (7p2y + 3 n3)( 2m2y3-5k3)
III) Binomio Al Cuadrado
Para desarrollar este producto, sencillamente realizamos el producto del caso
II), con la diferencia que al resultado se le puede hacer una simplificación de
términos semejantes y se puede observar que es curioso, por lo que resulta ser
un Producto Notable.
Ejemplo i:
(x + y)2 = (x + y). (x + y) = xx +xy + yx +yy = x2 + 2xy + y2
Como se puede ver el resultado, un binomio al cuadrado es el cuadrado de
sus términos más el doble producto de sus términos. Así que es suficiente
aplicar este resultado siempre que se tenga este caso.
Nota: Este resultado se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto.
ELVER OVIEDO VERGARA
68
Ejemplo ii)
(2y3 - 5n5)2 = (2y3)2 -2(2y3)(5n5) + (5n5)2
= 4y6 - 20y3n5 + 25n10
III) Trinomio Cuadrado Perfecto.
Para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto, se requiere tener claro que es
un trinomio que tiene dos términos con raíz cuadrada exacta y que el otro
término es igual en valor absoluto al doble producto de las raíces cuadradas
de los otros dos. Para factorizarlo se escriben las raíces cuadradas en un
paréntesis separadas por el signo del término que es doble producto y el
binomio que resulte se eleva al cuadrado.
Ejemplo i)
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Ejemplo ii)
4y6 - 20y3n5 + 25n10 = (2y3 - 5n5)2
IV) Producto de la SUMA por la DIFERENCIA
Para desarrollar este producto, sencillamente realizamos el producto del caso
II), cancelando en el resultado dos términos semejantes con signos opuestos,
observando la curiosidad del resultado, a quien también se le denomina un
Producto Notable.
Ejemplo i:
(x + y). (x - y) = xx - xy + yx - yy = x2 - y2
Como se puede ver el resultado, el producto de la Suma por la Diferencia es
una Diferencia de Cuadrado de sus términos. Así que es suficiente aplicar este
resultado siempre que se tenga este caso.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
69
Ejemplo ii:
(2y3 + 5n5) (2y3 - 5n5) = (2y3)2 - (5n5)2
= 4y6 - 25n10
IV) Diferencia de Cuadrado
Para factorizar este caso, extraemos raíz cuadrada a los términos, las escribimos
en el producto indicado de dos paréntesis, separándolas en uno de ellos con el
signo más (+) y en el otro con el signo menos (-).
Ejemplo i:
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
Ejemplo ii:
4y6 - 25n10 = (2y3 + 5n5) (2y3 - 5n5)
V) Producto de la Forma (X+p)(X+q) “X es literal, p y q son numeral)
Desarrollamos el producto como si fuera el caso II), pero atentos con lo que
sucede.
(X+p)(X+q) = XX + Xq + pX + pq = X2 + (p+q)X + pq = X2 + bX + c,
Donde b = p+q y c = p.q
Esto es un Producto Notable. Es un trinomio de la forma X2 + bX + c. luego
para factorizar este caso aplicamos esta fórmula.
Ejemplo i:
(x + 3)(x – 5) = x2 - 2X – 15 -2 = 3-5 y -15 = (3)(-5)
Ejemplo ii:
(x2-7)( x2+8)= x4 + x2 – 56
V) Trinomio De La Forma X2 + bX + c o X2n + bXn + c
Al factorizar esta clase de trinomio abrimos dos paréntesis, como primer
término de cada paréntesis escribimos la raíz cuadrada del primer término, es
ELVER OVIEDO VERGARA
70
decir x o xn, luego como signo del segundo término del primer paréntesis
escribimos el signo de b, y como signo del término del segundo paréntesis,
escribimos el signo producto de los signos de b y c. y por último, buscamos dos
números que multiplicado nos den c y que sumados o restados según los signos
ya determinados nos den b. El número mayor entre p y q que encontremos lo
ubicamos en el primer paréntesis.
Nota: Para buscar los números p y q, es importante que se divida a c por todos
sus divisores hasta encontrar el divisor y el cociente que nos sirvan. Para ellos
es de gran ayuda tener presente los criterios de divisibilidad que recordamos
después de los siguientes ejemplos.
Ejemplo i:
x2 - 2X – 15 = (x - 5 )(x + 3 )
Ejemplo ii:
x4 + x2 – 56 = (x2 +8)( x2 - 7)
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por:
2 Si la última cifra es un 0(cero)o numero par(2,4,6,8).
3 si la suma de todos sus dígitos es múltiplo de 3.
4 si sus dos últimas cifras (decenas y unidades) son múltiplos de 4. Ej:348 y
1828.
5 si el número termina en 0 ó 5.
6 si el número es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7: Existen dos criterios para este número.
o Método directo: Se agrupan las cifras de tres en tres, y luego calcular la
suma alterna (esto es, cambiando el signo a cada número). Si el
resultado es divisible por 7, el número es divisible por 7.
Ejemplo: el numero 943 120 403 788 521 → 521 - 788 + 403 - 120 + 943 =
959 que es múltiplo de 7, por lo tanto el numero también lo es.
o Método recursivo: Se separa el número en dos, donde el primero está
formado por todas las cifras salvo la más a la derecha, y el otro formado
por dicha cifra. Se multiplica el segundo número por 2 y se resta al
primero. Si el valor absoluto del resultado es 0 o divisible por 7, el
número entero es divisible por 7. Suele repetirse el proceso hasta
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
71
obtener un número de una cifra y, si éste es 0 ó 7, el número es divisible
por 7.
Ejemplo: el numero = 959 → (95 - (9 x 2)) → 77 → (7 - (7 x 2)) → -7. Como
termina en 7, el número es divisible por 7.
8 si el número formado por las tres últimas cifras lo es. Se puede remplazar la
cifra de los miles por 0 si es par o por 1 si es impar (es decir, se puede reducir
módulo 2), y disminuir la cifra de las decenas de 4 u 8 (reducir módulo 4).
Ejemplo: x = 345 065 186 576 → 576 → 136 que es divisible por 8, así que x
también.
9 si la suma de todas sus cifras, descartando los 9 y los 0, es múltiplo de 9.
10 si la última cifra es un 0 (cero)
11 para saber podemos hacerlo de esta manera: sumamos los lugares impares
y por otra parte los pares. Una vez obtenido los resultados de ambos, se restan.
Si el resultado de todo esto te da múltiplo de 11 eso quiere decir que ese nº es
divisible por 11. Ej: 979= (9 + 9 ) - 7=18 - 7= 11
12 si lo es por 3 y 4.
13: Regla parecida a la del 7: se mira si la suma alterna es divisible por 13.
Ejemplo: x = 23 410 456 970 550 → 550 - 970 + 456 - 410 + 23 = - 351
que es múltiplo de 13, luego x también.
Existe también un método recursivo para este número similar al del 7, sólo que
multiplicando la cifra más a la derecha por 9 en vez de por 2.
14 si es par y divisible por 7.
15 si lo es por 3 y 5 a la vez.
16 si lo es el número formado por sus cuatro últimas cifras, pudiéndose reducir
módulo 2 la primera (a la derecha) y módulo 4 la segunda:
Ejemplo: x = 345 999 106 592 → 6592 → 0112 que es divisible por 16, así
que x también.
17: Se separan los dos últimos números y se restan a la parte izquierda, antes
de restar la cifra se multiplica por 2. Si el resultado es divisible por 17, el
número es divisible por 17.
Ejemplo: el numero = 871 25 → 2*871 - 25 = 1717 que es múltiplo de 17.
Otro método consiste en multiplicar la última cifra de la derecha por 5, y
restárselo a la parte izquierda. Si el resultado es divisible por 17, el número es
divisible por 17.
Ejemplo: el numero = 7 08 60 25 → 25 - 60 + 08 - 7 → - 34 que es múltiplo
de 17, luego el numero también.
18 si lo es por 2 y 9.
ELVER OVIEDO VERGARA
72
19 si la suma de las unidades por 2 más las decenas es múltiplo de 19, un
ejemplo: 19 x 8 = 152 → 2*2 = 4 + 15 = 19 (JIM)
25: si acaba en 00, 25, 50 ó 75.
100: si acaba en 00.
VI) Producto de la Forma (AX+p)(BX+q) “X es literal, A,B, p y q son numeral)
Desarrollamos el producto como si fuera el caso II), pero atentos con lo que
sucede.
(AX+p)(BX+q) = ABXX + AXq + pBX + pq = ABX2 + (Bp+Aq)X + pq
= aX2 + bX + c, Donde a=A.B, b = Bp+Aq y c = p.q
Esto es un Producto Notable. Es un trinomio de la forma aX2 + bX + c. luego
para factorizar este caso aplicamos esta fórmula.
Ejemplo i:
(5x + 3)(7x – 5) = 35x2 -4X – 15
Ejemplo ii:
(5x2-7)( 3x2+8)= 15x4 +19 x2 – 56
VI) Trinomio De La Forma aX2 + bX + c o aX2n + bXn + c
Al factorizar esta clase de trinomio se debe convertir a un trinomio de la forma
X2 + bX + c multiplicando y dividiendo todo por a, y transformándolo hasta
convertirlo al caso anterior, por último se simplifica. Observemos.
Ejemplo i:
35x2-4X–15=–
=–
=
= =
Ejemplo ii:
15x4 +19 x2 – 56=–
=–
= = =
Más adelante veremos otros casos de factorización.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
73
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Es importante tener en cuenta las expresiones fraccionarias dentro de esas expresiones
algebraicas, y la realización de las operaciones entre ellas.
Def 38) Un cociente indicado de dos expresiones algebraicas se conoce como
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. Suponemos que para ningún
valor de las variables el denominador es cero.
Una operación que aplicamos con frecuencia es la simplificación, para lo cual las
expresiones tanto del numerador como del denominador son factorizable y resultan
con un factor común; el cual se cancela.
Ejemplo: Simplifique: a) b)
Solución.
a) = =
b) = = =
Las operaciones con fracciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y
división atienden a las operaciones con polinomios vistos y a las propiedades de las
fracciones como su proceso de operación.
Al realizar la suma o la resta entre fracciones normales un proceso era buscar el
mínimo común múltiplo de los denominadores, en forma similar ahora buscamos el
MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR, el cual es la expresión mínima que la dividen
cada uno de los denominadores de las expresiones fraccionarias que se tengan que
sumar o restar.
Ejemplo
Sumar: El Mínimo Común Denominador MCD es solo el producto de
los denominadores (x-1)(x+2). El procedimiento es similar al de la suma de fracciones
normales.
ELVER OVIEDO VERGARA
74
=
Reste: El MCD es (x-1)(x+1)2, entonces
= =
Multiplique: a) b)
El proceso no requiere de mayores recomendaciones, aplique el proceso empleado
para la multiplicación de fracciones.
a)
b)
Divida: a) b)
Aplicamos la operación de la división de fracciones.
a)
b) =
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPUESTAS
Se refiere a fracciones como la cual se simplifica de la siguiente
manera.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
75
= = =
= =
= no es simplificable de aquí en adelante.
RACIONALIZACIÓN
Se encarga de transformar una expresión fraccionaria hasta quitar los radicales del
denominador, o dejar exponente entero positivo en las potencias del denominador.
Ejemplo: Racionalizar a) b)
a)
b) =
ELVER OVIEDO VERGARA
76
EJERCICIOS UNIDAD Nº 2
1-10: Evalué cada uno de los números dados. (utilice la calculadora)
1. a) (-2)4 b) -24
2. a) (1/3)44-3 b) (1/4)-2
3. a) 2-3.54 b) 109/104
4. a) (2/3)-1 b)
5. a) b)
6. a) b)
7. a) b)
8. a) 97/2 b) (-32)2/5
9. a) (4/9)-1/2 b) (-27/8)2/3
10. a) 1024-0.1 b) 32/7.35/7
11 – 14: Simplifique la expresión
11.
12.
13.
14.
15 – 32: Simplifique la expresión y transforme cualquier exponente negativo
15. t7.t-2
16. (4x2)(6x7)
17. (12x2y4)( x5y)
18. (6y)3
19. X9(2x)4/x3
20. a-3b4/a-5b5
21. b4( b2)(12b-8)
22. (2s3 t-1)( s6)(16t4)
23. (rs)3(2s)-2(4r)4
24. (2u2v3)3(3u3v)-2
25. (6y3)4/2y5
26. (2x3)2(3x4)/(x3)4
27. (x2y3)4(xy4)-3/x2y
28. (c4d3/cd2)(d2/c3)3
29. (xy2z3)4/(x3y2z)3
30. (xy-2z-3/x2y3z-4)-3
31. (q-1rs-2/r-5sq-8)-1
32. (3ab2c)(2a2b/c3)-2
33-71: Lleve a cabo las operaciones
indicadas y simplifique.
33. 2(x-1)+4(x+2)
34. 5(2x+3)-7(2x-3)
35. (2x2+x+1) + (x2-3x+5)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
77
36. ( 2x2 +x+1) – (x2-3x+5)
37. (x3+6x2-4x+7) – (3x2+2x-4)
38. 4(x2-x+2) – 5(x2-2x+1)
39. 2(2-5t) + t2(t-1) - (t4-1)
40. 5(3t-4) – (t2+2) – 2t(t-3)
41.
42. X3/2( -1/ )
43. (y2-1)
44. (4x-1)(3x+7)
45. (3t-2)(7t-5)
46. (t+6)(t+5)-3(t+4)
47. (x+2y)(3x-y)
48. (4x-3y)(2x+5y)
49. (1-2y)2
50. (3x+4)2
51. (2x-5)(x2-x+1)
52. (x2+3)(5x-6)
53. x(x-1)(x+2)
54. (1+2x)(x2-3x+1)
55. Y4(6-y)(5+y)
56. (t-5)2-2(t+3)(8t-1)
57. (2x2+3y2)2
58. (x1/2+y1/2)(x1/2- y1/2)
59. (x2-a2) (x2+a2)
60. ( (
61. (1+a3)3
62. (x-1)(x2+x+1)
63. (
64. (c+1/c)2
65. (x2+x-2)(x3-x+1)
66. (1+x4/3)(1-x2/3)
67. (x3/2-x+1)(x2+x1/2-2)
68. (1-b)2(1-b)2
69. (1+x-x2)2
70. (3x2y+7xy2)(x2y3-2y2)
71. (x4y-y5)(x2+xy+y2)
72-121: Factorice la expresión
completamente.
72. 2x +12x3
73. 8x5+4x3
74. 6y4-15y3
75. 5ab-8abc
76. X2+7x+6
77. X2 –x-6
78. X2-2x-8
79. X2 -14x +48
80. Y2 -8x +15
81. Z2 +6z -16
82. 2x2 +5x +3
83. 2x2+7x -4
84. 9x2-36
85. 8x2 + 10x+3
86. 6x2 – 5x -6
87. 6+5t-6t2
88. (x-1)(x+2)2 – (x-1)2(x+2)
89. (x+1)3x-2(x+1)2x2+x3(x+1)
90. Y4(y+2)3+y5(y+2)4
91. n(x-y)+(n-1)(y-x)
92. (a2-1)b2-4(a2-1)
93. (a+b)2-(a-b)2
94. T3+1
95. 4t2-9s2
96. 4t2-12t+9
97. X3-27
98. X3+2x2+x
99. 3x3-27x
100. 4x2+4xy + y2
101. 4r2-12rs+9s2
102. X4+2x3-3x2
103. X6+64
104. 8x3-125
105. X4+2x2+1
106. X4+x2-2
107. X3+3x2-x-3
ELVER OVIEDO VERGARA
78
108. Y3-3y2-4y+12 109. Y3-y2+y-1
110. 2x3+4x2+x+2
111. 3x3+5x2-6x-10
112. X6-y6
113. X8-1
114. X5/2-x1/2
115. 3x-1/2+4x1/2+x3/2
116. X-3/2+2x-1/2+x1/2
117. (x-1)7/2-(x-1)3/2
118. (x2+1)1/2+2(x2+1)-1/2
119. X-1/2(x+1)1/2+x1/2(x+1)-1/2
120. (a2+1)2-7(a2+1) +10
121. (a2+2a)2-2(a2+2a)-3
122-153 Simplique las expresiones
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
OBJETIVO: Utilizar ecuaciones lineales, cuadráticas y simultaneas en la resolución de
problemas a fines con la ingeniería.
ECUACIÓN LINEAL
Def 39) Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o
más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o
mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una
variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en
el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde
m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto
donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el término x*y
(llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
1023 yx
37104723 bba
34753 yxyx
15zyx
2023 zyx
1034 zyx
No se pretende resolver ecuaciones lineales, solo
recordaremos algunas propiedades y nos
apoyaremos en ellas para resolver problemas.
ELVER OVIEDO VERGARA
80
Una ecuación lineal de dos variables cumple en su gráfica con lo siguiente:
- Se puede llevar al forma explícita y=mx+b
- Corta al eje “y” en el punto b
- Forma un ángulo menor de 90° con el eje “x” si m es mayor que cero o forma
un ángulo obtuso con el eje “x” si m es menor que cero.
- m es la tangente del ángulo que forma con el eje “x”
APLICACIONES
Antes de entrar a la resolución de problemas que involucran una ecuación en su
solución veamos en resumen de la teoría de G. Polya que nos será de gran ayuda en
esta parte del programa.
PRINCIPIO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
George Polya (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas a
cerca de la resolución de problemas. Sus conferencias sobre este tema en la
Stanford Universit, donde atraía multitudes, y a quienes mantenía atentos,
guiándolos para que encontraran las soluciones por ellos mismos. Podía hacer
lo anterior gracias a su profundo discernimiento respecto a la psicología de la
resolución de los problemas. Su bien conocido libro How To Solve It ha sido
traducido a quince idiomas. Dijo que L. Euler era único entre los grandes
matemáticos puesto que fue capaz de explicar cómo encontraba el resultado.
Polya a menudo le decía a sus estudiantes y colegas “Sí, veo que su solución
es correcta, pero ¿Cómo la descubrió?”. En el prologo de How To Solve It
Polya, escribe “un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero existe
un poco de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema
puede ser modesto; pero si reta a su curiosidad y pone en juego sus facultades
de inventiva y lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la
tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento”.
No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin
embargo, es posible establecer algunas pautas generales en el proceso de la resolución
de problemas, y algunos principios que puedan ser útiles en la solución de problemas
específicos; estas pautas y principios, son sentido común planteado explícitamente.
Son una adaptación del libro de George Polya How To Solve It.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
81
111... COMPRENDER EL PROBLEMA
El primer paso es leer el problema y asegurarse de comprenderlo con toda
claridad. Hágase así mismo las siguientes preguntas:
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son las cantidades dadas?
¿Cuáles son las condiciones dadas?
Para muchos problemas resulta útil
dibujar un diagrama
e identificar las cantidades dadas y las requeridas en el diagrama. Por lo general es
necesario
introducir una notación adecuada
Al seleccionar para las cantidades desconocidas. A menudo utilizamos letras como
x n, m, c, b, ,a y y , pero en algunos casos, ayuda usar iniciales como símbolos
sugerentes, por ejemplo V para volumen, o bien t para el tiempo.
222... PIENSE EN UN PLAN
Determine una relación entre la información dada y la incógnita que le permita
calcular ésta. A menudo es bueno preguntarse así mismo: “¿De qué manera puedo
relacionar los datos con la incógnita?”. Si de manera inmediata no se percibe una
relación, en las siguientes ideas pueden ser de utilidad para diseñar un plan.
Trate de reconocer algo familiar
Relacione la situación dada con alguna experiencia anterior. Observa las incógnitas
y recuerde un problema más familiar que tenga incógnitas semejantes.
Trate de reconocer algún patrón
Algunos problemas se resuelven reconociendo que un cierto patrón está
ocurriendo; éste podría ser geométrico, numérico o algebraico. Si se puede
detectar en un problema alguna regularidad, entonces imagine cuál es el patrón y
después compruébelo.
ELVER OVIEDO VERGARA
82
Utilice la analogía
Trate de pensar en algún problema análogo, esto es, uno similar o relacionado,
pero más sencillo que el original. Si puede resolver éste, quizás le dé la clave que
necesita para resolver el origen. Por ejemplo, si un problema involucra número
muy grande, podría primero intentar uno semejante con números más pequeños.
O bien si el problema es de geometría en tres dimensiones que un caso similar en
dos dimensiones o si el problema con el cual empieza es general, podría primero
intentar con un caso especial.
Introduzca algo adicional
A veces es posible que necesiten algo nuevo –una ayuda- que le permita establecer
la relación entre la información dada y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema
para el cual es útil un diagrama, una estrategia auxiliar podría ser una nueva recta
dibujada en el diagrama. En un problema algebraico la ayuda podría ser una
nueva incógnita relacionada con la original.
Divida en casos
A veces tendrá que dividir un problema en varios casos dando un argumento
diferente para cada uno de ello. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta
estrategia al tratar con el valor absoluto.
Trabaje hacia atrás
A veces resulta útil imaginar que el problema está resulto y trabajar hacia atrás
paso a paso hasta que se llegue a los datos dados. Entonces podrá regresar sobre
sus pasos y, a partir de ahí, construir una solución para el problema original. Este
procedimiento es de uso común en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, para
resolver la ecuación 753x suponemos que x es un número que satisface a
753x y trabajamos hacia atrás. Sumamos 5 a cada lado de la ecuación y
después dividimos entre 3 para obtener 4x . En vista que cada uno de estos
pasos puede invertirse, hemos resuelto el problema.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
83
Establezca objetivos parciales
En un problema complejo, a menudo resulta útil establecer objetivos parciales (En
los cuales la situación deseada se satisface particular mente). Si primero alcanza
estos objetivos, quizás pueda laborar a partir de ellos para alcanzar el objetivo final.
Razonamiento indirecto
Algunas veces es apropiado atacar un problema indirectamente. Al utilizar la
demostración por contradicción para probar que p implica q , suponemos
que p es verdadera y q es falsa y tratamos de ver por qué no puede ocurrir. De
alguna manera tenemos que utilizar esta información y llegar a una contradicción
de algo que sabemos con absoluta certeza que es verdadero.
Inducción matemática
Al probar enunciados que involucren un entero positivo n, a menudo es
conveniente utilizar el principio de inducción matemática.
333... EJECUTE EL PLAN
En el paso 2 se elaboró un plan. Al ejecutar dicho plan, debe verificar cada etapa
del mismo y escribir los detalles que prueban que cada etapa es correcta.
444... VER HACIA ATRÁS
Después de completar su solución es conveniente ver hacia atrás, con el objetivo
de detectar si se han cometido errores en la solución y, si Usted puede descubrir en
forma más sencilla de resolver el problema. Otra razón para ver hacia atrás es que
lo familiarizarán con el método de la solución, lo cual es para solución de
problemas futuros. Descartes dijo, “Todo problema que he resuelto se convirtió
en una regla que posteriormente sirvió para resolver otros problemas”.
Veamos algunos principios de resolución de problemas en un ejemplo.
ELVER OVIEDO VERGARA
84
PROBLEMA (Rapidez promedio)
Un conductor realiza un viaje. Durante la primera mitad de la distancia conduce a
la cómoda rapidez de 30 millas por hora; durante la segunda mitad conduce a 60
millas por hora. ¿Cuál es su rapidez promedio en todo el viaje?
PENSAMIENTOS PRELIMINARES
Resulta tentador promediar los dos valores que se tienen en la rapidez y decir que
la rapidez promedio de todo el viaje es
mi/h 452
6030
Pero ¿estará correcto este procedimiento simplista?
Veamos un caso sencillo de cálculos. Suponga que la distancia total recorrida
sea de 120 millas. Puesto que las primeras 60 se recorrieron a 30 millas por horas,
fueron necesarias dos horas. Las restantes 60 millas se recorren a 60 millas por
hora, por lo que toman una hora. Entonces el tiempo total es 2+1=3 horas y la
rapidez promedio es
mi/h 403
120
Así nuestra estimación de mi/h 45 está equivocada.
SOLUCIÓN Es necesario que veamos más cuidadosamente el
significado de rapidez promedio. Se define de la forma
ido transcurrtiempo
recorrida distancia promedio rapidez
Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje, y sean 21 y tt los
tiempos transcurridos durante la primera y segunda mitad del viaje.
Ahora podemos escribir la información que se nos ha dado. Para la
primera mitad
(1) 1
30t
d
Y para la segunda tenemos
(2) 2
60t
d
Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pidió
Comprenda el problema
Introduzca notación
Enuncie la información dada
Identifique la incógnita
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
85
Rapidez promedio para todo el viaje 21
2
totaltiempo
totaldistancia
tt
d
Para calcular esta cantidad es necesario que conozcamos 21 y tt por lo
que resolvemos las ecuaciones 1 y 2 para estos tiempos
30
1
dt
602
dt
Ahora ya tenemos los elementos necesarios para calcular la cantidad
deseada
promedio Rapidez
6030
22
21dd
d
tt
d
603060
)2(60
dd
d
403
120
2
120
d
d
dd
d
Así la rapidez promedio para el viaje completo es de mi/h 40
El siguiente problema requiere de una ecuación de primer grado para su solución.
En 200cm3 una mezcla de arena y cemento hay 25% de cemento y 75% de arena,
pero el ingeniero dice que la cantidad de cemento debe ser mínimo de 35% de
cemento ¿cuántos cm3 de cemento deben anexarse para tener una mezcla ideal?
Solución
Sea x la cantidad de cemento que se necesita
El 25% de 200 es 50cm3 esta es la cantidad de cemento que hay en la mezcla.
Ahora
)x(,)x(,)x(
)x(20035050350
200
50
)x..,)x( 35020035050 206505070350 x,,.xx
37692330650
20Cm,
,x
37692330 Cm,x
Relaciona la información dada con la incógnita
ELVER OVIEDO VERGARA
86
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Def 40) Una ecuación cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una
ecuación de la forma cbxax2 c,b,a y con 0a
Ejemplos:
362x
042 yy
0252 xx
0123 2 nn
12325 22 xxxx
Utilizando la siguiente propiedad de los números reales:
000 b ó aab
la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo:
05143 2 nn
050130513 n ó n)n)(n(
53
1n n
Ejemplo:
0103 22 kkxx
0205025 kx ó kx)kx)(kx(
kx ó kx 205
Ejemplo:
82 xx
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
87
22
82 )x(x
64164 2 xxx
64200 2 xx
040160416 x ó x)x)(x(
4016 x ó x
Para una ecuación de la forma x2 = a, con a real podemos proceder como sigue:
ax2
02 ax
02 ax
02
2 ax
0)ax)(ax(
ax ax
Ejemplos:
ecuación raíces
x2 = 45
x2 = -9
7 n2 = 12
(3 n +1)2 = 25
Ejemplo:
Una cuerda de 50 metros cuelga desde lo más alto de un asta de bandera con altura h,
se sabe que la cuerda queda completamente tensa cuando el extremo libre alcanza los
18 metros desde la base. Determínese la altura h.
ELVER OVIEDO VERGARA
88
Ejemplo:
Determinar la longitud x del lado de un triángulo isósceles rectángulo que tiene una
hipotenusa de 7.5 unidades.
Ejercicio.
Resolver las siguientes ecuaciones:
Resolución de la ecuación cuadrática completando el cuadrado.
Los siguientes trinomios son cuadrados perfectos
nótese que en todos ellos el término constante es igual al cuadrado de la mitad del
coeficiente en x.
Ejemplo:
Encontrar las raíces de la ecuación 02102 xx
2102 xx
25225102 xx
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
89
275 2)x(
275x ó 275x
Ejemplo:
Ejercicios.9
Resolver las siguientes ecuaciones con este método:
Y graficar los siguientes polinomios:
FÓRMULA CUADRÁTICA
El método de completar el cuadrado puede utilizarse para resolver cualquier ecuación
cuadrática. Y lo utilizaremos para obtener la llamada Fórmula Cuadrática.
02 cbxax 0a
9 Haga el ejercicio en su cuaderno de apuntes
ELVER OVIEDO VERGARA
90
cbxax2
a
cx
a
bx2
2
2
2
22
44 a
b
a
c
a
bx
a
bx
2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
a
acb
a
acb
a
bx
2
4
4
4
2
2
2
2
a
acb
a
bx
2
4
2
2
a
acbbx
2
42
Podemos utilizar esta fórmula para encontrar las raíces de cualquier ecuación
cuadrática simplemente sustituyendo los valores de los coeficientes a, b, c en ella.
Ejemplos:
a x2 + b x + c (a, b, c)
x2 + 5 x + 2 = 0 (1, 5, 2)
x2 - 2 x -19 = 0 (1, -2, -19)
x2 -2 x – 4 = 0 (1, -2, -4)
Naturaleza de las raíces.
El discriminante de la ecuación cuadrática a x2 + b x + c = 0, se define como
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
91
Y en términos del discriminante la fórmula cuadrática que determina las raíces x1 y x2
de la ecuación queda así
y por lo tanto si
210 x y x Son complejos conjugados
210 x x Sólo una solución real
210 x y x son dos soluciones reales
Hablemos con el profesor de las características de la función cuadrática y
su relación con la ecuación cuadrática.
APLICACIONES
Problema 1
Averigua dos números cuya suma es 32 y su producto 255.
Solución: Sea x uno de los números e y el otro.
x + y = 32 (primera condición).
x.y = 255 (segunda condición).
Despejando la y en la primera ecuación y = 32 - x.
Sustituyendo en la segunda: x(32 - x) = 255. Desarrollando queda: x2 - 32x + 255 =
0
Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = 17 y x2 = 15.
Problema 2
Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es
1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
ELVER OVIEDO VERGARA
92
1500 = 5.x. (x + 5)
Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0.
Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = -20 y x2 = 15.
La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo.
La caja mide: 5 x 15 x 20
ECUACIONES QUE SE PUEDEN LLEVAR A LA FORMA CUADRÁTICA
Si vemos una ecuación como la siguiente diremos que es de primer grado por que la
variable aparece con exponente uno, pero no es realmente así, observemos:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
93
Ó
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuaciones equivalentes.- Se obtienen al transformar la ecuación de partida:
Se transforma una ecuación en otra así:
a) A los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un número
distinto de cero.
b) Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo
número, distinto de cero.
c) Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro, cambiándolo
de signo.
d) Una ecuación no varía si se suprime un factor común a todos sus términos.
e) Se pueden elevar al cuadrado los dos términos de una ecuación, resultando
otra que tiene las mismas soluciones que la propuesta.
Dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones.
Preparación de una ecuación para resolverla.-
a) Reducir términos semejantes
b) Quitar denominadores
c) Eliminar paréntesis
d) Simplificar términos, si es posible
e) Transponer términos
f) Despejar la incógnita
g) Hallar el valor de la incógnita.
Ejemplo:
2
1
63
3
2
4
32
xx
– quitamos paréntesis 2
3
6
3
3
4
4
6 xx
– el m.c.m. de 4, 3, 6 y 2 es 12
– multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo
común múltiplo)
ELVER OVIEDO VERGARA
94
2
3
6
312
3
4
4
612
xx
– dividimos el m.c.m. entre el denominador y lo multiplicamos por el
numerador de cada término.
–18x + 16 = 6x + 18
– Transponemos términos: –18x – 6x = 18 – 16
– Reducimos términos semejantes: – 24x = 2
– Multiplicamos ambos miembros por (–1) para que la incógnita no tenga
signo negativo
(–24x) (–1) = 2 (–1) 24x = –2
– Despejamos la incógnita 24
2x x = –
12
1
Def 41) SISTEMAS DE ECUACIONES.- Dos o más ecuaciones lineales forman
un sistema.
a) Resolución gráfica:
– Se despeja la y en ambas ecuaciones.
– Se dan valores a la x (variable independiente).
– Se calculan los valores de la y, construyéndose así la tabla de valores
– Se dibujan las coordenadas.
– Se trasladan los valores a las gráfica
– Se trazan las dos rectas
– La solución es el par del punto en el que se cortan ambas rectas.
Ejemplo: 2x + 3y = 13
x + y = 6
en 2x+3y=13 si x=0 , y =13/3 (0,13/3) y si y=0, x=13/2 (13/2,0)
en x + y = 6 si x=0 , y =6 (0,6) y si y=0, x=6 (6,0)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
95
b) Resolución numérica: MÉTODO DE IGUALACIÓN
– Se despeja la y ( o la x ) en ambas ecuaciones.
– Se igualan los dos segundos miembros.
– Se halla el valor de la x ( o de la y )
– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita
en cualquiera de las ecuaciones
Ejemplo: 2x + 3y = 13
x + y = 6
y = 3
213 x
3
213 x= 6 – x 13 – 2x = 3(6 – x) 13 – 2x = 18 – 3x
y = 6 – x
– 2x + 3x = 18 – 13 x = 5
y = 6 – x y = 6 – 5 y = 1
c) Resolución numérica: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
– Se despeja la y ( o la x ) en UNA de las ecuaciones.
– Se sustituye el valor despejado en su lugar en la otra ecuación.
– Se resuelve la ecuación resultante para hallar el valor
– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita
en cualquiera de las ecuaciones
Ejemplo: 2x + 3y = 13
x + y = 6 y = 6 – x
ELVER OVIEDO VERGARA
96
2x + 3(y) = 13 2x + 3(6 – x) = 13
2x + 18 – 3x = 13 2x – 3x = 13 – 18
– x = – 5 x = 5
y = 6 – x y = 6 – 5 y = 1
d) Resolución numérica: MÉTODO DE REDUCCIÓN
– Se prepara el sistema para que se elimine una de las incógnitas.
Ejemplo: 2x + 3y = 13
x + y = 6 Quiero que se elimine la x
– Multiplico los dos miembros de la segunda ecuación por el coeficiente de la
x de la primera ecuación con el signo cambiado.
2x + 3y = 13 2x + 3y = 13
–2) x + y = 6 –2x – 2y = 6
– Restamos las dos ecuaciones y se me elimina la x
2x + 3y = 13
–2x – 2y = – 12
y = 1
– Se sustituye el valor de la incógnita hallada (y) en cualquiera de las
ecuaciones y se halla el valor de la otra incógnita.
x + y = 6 x + 1 = 6 x = 6 – 1 x = 5
Ejemplo: 2x – y = 9
x + y = 6 Se restan directamente y se elimina la y
3x = 15 x = 3
15 x = 5
x + y = 6 x + 1 = 6 x = 6 – 1 x = 5
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
97
SISTEMAS 3X3.10
La expresión general de un sistema 3x3 es de la forma:
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
Para solucionar un sistema de este tipo, el procedimiento a seguir es transformar el
sistema inicial en un sistema 2x2 y seguidamente transformar este último en una
ecuación lineal con una única incógnita.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
(3) 83
(2) 103
(1) 932
zyx
zyx
zyx
Solución: Se observa que los coeficientes de las ecuaciones (1) y (2) son de
distintos signos, por lo cual para eliminar esta variable la ecuación (1) se multiplica por
3 y se le adiciona la ecuación (2), y se obtiene la ecuación (4):
103
27936
zyx
zyx
(4) 17- 8z 7x
Luego se adicionan las ecuaciones (1) y (3) para eliminar a y, obteniendo la ecuación
(5):
83
932
zyx
zyx
(5) -12z 5x
Ahora, se juntan las ecuaciones (4) y (5) para tener un sistema 2x2.
(5) 125
(4) 1787
zx
zx
Al observar los coeficientes de z en las ecuaciones (4) y (5), esta variable se elimina al
multiplicar la ecuación (5) por -4 y se le adiciona la ecuación (4).
4820-
1787
zx
zx
-13 13x ,
de donde 1x
10
Complementamos la unidad con esta temática.
ELVER OVIEDO VERGARA
98
Este valor obtenido se remplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema 2x2.
Se escoge la ecuación (5)
3
2
6
512
125
12)1(5
125
z
z
z
z
z
zx
Los valores de x=1 y z=-3, se reemplazan en cualquiera de las ecuaciones del sistema
3x3, para encontrar el valor de y. Se sustituyen en la ecuación (3)
2
68
833
8)3()1(3
83
y
y
y
y
zyx
Luego la solución del sistema es
3
2
1
z
y
x
DETERMINANTES
Un determinante de orden n es un número, asociado con un arreglo rectangular de n
filas con n columnas, así:
11a 12a 13a …. na1
21a 22a 23a …. na2
. . . .
. . . .
1na 2na 3na nna
Un determinante de segundo orden se escribe como:
11a 12a
21a 22a
y representa un numero real dado por 12212211 aaaa
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
99
REGLA DE CRAMER PARA SOLUCIONAR SISTEMAS 2X2 Y 3X3
1. Dado el sistema
0 , 222
12 1
ab
abx
y 221
1 11
ba
bay
Con 2221
1211
aa
aa
Entonces:
xx y y
y es decir
2221
1211
222
12 1
aa
aa
ab
ab
x y
2221
1211
221
1 11
aa
aa
ba
ba
y
El determinante 2221
1211
aa
aa se llama determinante coeficiente. Si
2221
1211
aa
aa
entonces el sistema tiene exactamente una solución, que es la dada por la regla de
Cramer. Si 2221
1211
aa
aa = 0, entonces el sistema puede ser inconsistente y no tener
soluciones o tener infinitas soluciones.
2. dado el sistema
Sea =
333231
232221
1312 11
aaa
aaa
aaa
0 ,
33313
23222
13121
aab
aab
aab
x ,
33331
23221
13111
aba
aba
aba
y
33231
22221
11211
baa
baa
baa
z , entonces:
xx y
y y zz es decir
0
22221
11211
byaxa
byaxa
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
ELVER OVIEDO VERGARA
100
333231
232221
1312 11
33313
23222
13121
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x
333231
232221
1312 11
33331
23221
13111
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
y y
333231
232221
1312 11
33231
22221
11211
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
z
El determinante se forma a partir de los coeficientes de zyx ,,
manteniendo la misma posición relativa en el determinante que se determino en el
sistema de ecuaciones. Observe que el determinante aparece en los
denominadores para y que se puede obtener el numerador para x a partir de él,
al remplazar los coeficientes de x por los valores constantes 21,bb y 3b respectivamente.
Ejemplo 1. Resolver el siguiente sistema, empleando la regla de Cramer
5x + 2y = 16 (1)
4x + 3y = 10 (2)
Solución:
En este caso = 4
5
3
2 = 78152435
Por lo tanto el conjunto solución es 2
4
y
x
Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema, empleando la regla de Cramer
333231
232221
1312 11
aaa
aaa
aaa
333231
232221
1312 11
aaa
aaa
aaa
zyx ,,
27
14
7
6450
7
164105
10 4
16 5
y
47
28
2
2048
7
210316
3 10
2 16
x
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
101
x + 4y - z = 6 (1)
2x + 5y - 7z = -9 (2)
3x - 2y +z = 2 (3)
Solución:
En este caso =
2- 3
5 2
4 1
1
7
1
= 53)2(21)7(3124)7()2(15
82
19929
)154()212(4145
1
182
82
82
82054
82
)1018()149(4)145(6
82
52)2()9()7(21)9(4)7()2(156
1 2- 2
7- 5 9-
1- 4 6
x
x
x
Ahora para calcular y hacemos
2
282
164
82
311385
82
)274()212(6)149(1
82
)9(322)7(3126)7()2(1)9(1
1 2 3
7- 9- 2
1- 6 1
y
y
y
Similarmente calculamos z,
ELVER OVIEDO VERGARA
102
3
382
246
82
82
82
1141248
82
)154(6)274(4)1810(1
82
53)2(26)9(3224)9()2(251
2 2- 3
9- 5 2
6 4 1
z
z
z
Luego el conjunto solución está dado por
3
2
1
z
y
x
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Muchos problemas de la ingeniería se plantean como desigualdades en lugar de
ecuaciones. Una desigualdad es una comparación de expresiones como las
ecuaciones, con la diferencia que en su lugar se utilizan signos como o ,,
El siguiente es un ejemplo de desigualdad
7 > 3,
No es una inecuación.
Para tener una inecuación se requiere que la desigualdad contenga una incógnita. La
incógnita que incluyen las ecuaciones, por los múltiples valores que representa, puede
considerarse variable.
Resolver una desigualdad que incluye una incógnita significa determinar todos los
valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. A diferencia de
las ecuaciones, las inecuaciones tienen infinitas soluciones, en particular para cuando
el conjunto solución está contenido en el conjunto de los números reales, se dice que
su solución es un intervalo.
En la figura que sigue se ilustra esta diferencia para el caso de una inecuación:
Ecuación 573x
4x
Inecuación 573x
4x
Para resolver inecuaciones utilizamos las siguientes reglas para dejar de un lado del
signo de desigualdad sólo a la variable. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigual-
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
103
dades son equivalentes y en ellas los símbolos A, B. Y C representan números reales o
expresiones algebraicas. Aquí enunciamos las reglas para desigualdades que incluyen
el símbolo , , pero son válidas para cada uno de los cuatro símbolos de desigualdad.
REGLA DESCRIPCIÓN
1. CBCABA
2. CBCABA
3. Si 0C entonces
CBCABA ..
4. Si 0C entonces
CBCABA ..
5. 011
0BA
BA
6. Si
DCBA .y
Entonces DBCA
Las reglas 3 y 4 requieren especial atención: la primera afirma que podemos multi-
plicar (o dividir) cada lado de una desigualdad por un número positivo, pero la
segunda establece que SI MULTIPLICAMOS CADA LADO DE LA DESIGUALDAD
POR UN NÚMERO NEGATIVO, ENTONCES INVERTIMOS EL SENTIDO DE LA
DESIGUALDAD. Por ejemplo, si iniciamos con la desigualdad
REGLAS PARA DESIGUALDADES
Al sumar la misma cantidad a ambos lados de
una desigualdad se obtiene una que es
equivalente.
Al restar la misma cantidad a ambos lados de
una desigualdad resulta una equivalente.
Al multiplicar ambos lados de una desigualdad
por una misma cantidad positiva, se obtiene
una que es equivalente.
Al multiplicar ambos lados de una desigualdad
por una misma cantidad negativa, se invierte la
dirección de la misma.
Al tomar el recíproco de cada lado de una
desigualdad que involucre cantidades positivas, se invierte la dirección de la misma.
Dos desigualdades se pueden sumar miembro
a miembro.
ELVER OVIEDO VERGARA
104
3 < 5
y multiplicamos por 2, obtenemos
6 < 10
pero si multiplicamos por -2, lo que resulta es
-6> -10
Ejemplo: Resolución de una desigualdad lineal
Resuelva la desigualdad 3x < 9x + 4 Y esboce el conjunto solución.
Solución
3x < 9x + 4
3x - 9x < 9x +4 – 9x
- 6x < 4
-6X(-1/6) > 4/(-6)
X > -2/3
El conjunto solución está formado por todos lo x mayores que -2/3. En la gráfica
serán la parte roja
PROCESO DE FACTORIZAR UNA INECUACIÓN
CUADRÁTICA
Método gráfico en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan
inecuaciones de la forma ,0))(( 21 rxrxa o ,00 con 0a . La solución de esta
inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido
coloquialmente como el “Método de las cruces o del cementerio”. La eficacia del
“Método de las cruces” se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de
grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma
0Con etc. 0, ,0))...()()(( 321 arxrxrxrxa n
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
105
PROCEDIMIENTO EN EL MÉTODO GRÁFICO
1. Se factoriza el polinomio.
2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte
izquierda de cada paréntesis y con signo positivo
3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el
resultado
4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor
5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior
6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz
7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un
signo menos y a la derecha con un signo más
8. Aplicando la “Ley de los signos” se halla el resultado de multiplicar los signos
de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la
recta real de resultados
9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los
intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el
sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos
señalados con el signo menos.
Ejemplo ilustrativo:
Resolver la inecuación 02438132 234 xxxx
Solución:
0)4)(3)(2)(1(02438132 234 xxxxxxxx factorizando
Las raíces de la ecuación son:
4 y 3 2 1 xxxx
Tracemos una recta por cada factor y seguiremos los pasos sugeridos en el
procedimiento:
ELVER OVIEDO VERGARA
106
,4bien ó12bien ó 3 xxxxS ),4()1,2()3,(bien ó x
La representación gráfica es:
INECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES
El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de inecuaciones que
contienen fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los
números reales que hacen que los denominadores se anulen. Luego, pasamos todas
las fracciones y demás expresiones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad
(en el miembro derecho queda, por supuesto 0). El próximo paso consiste en reducir
las expresiones algebraicas en el miembro izquierdo a una sola fracción. Por último,
después de factorizar tanto el numerador como el denominador aplicamos el "Método
del cementerio", pero teniendo en cuenta tanto los factores del numerador como los
del denominador.
Ejemplo ilustrativo:
Resolver la inecuación 25
3
7
5
xx
Solución:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
107
5,7 ,25
3
7
5x
xx
(Excluyendo los valores que anulan los denominadores)
025
3
7
5
xx (Trasponiendo)
0)5)(7(
702422132550
)5)(7(
)5)(7(2)7(3)5(5 2
xx
xxxx
xx
xxxx
0)5)(7(
)2)(6(20
)5)(7(
)128(20
)5)(7(
24162 22
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Dividiendo cada miembro de la desigualdad entre -2 obtenemos
0)5)(7(
)2)(6(
xx
xx
Tracemos una recta por cada factor tanto del numerador como del denominador y
seguiremos los pasos sugeridos en el procedimiento:
,2bien ó 56bien ó 7 xxxxS
),2()5,6()7,(bien ó x
ELVER OVIEDO VERGARA
108
La representación gráfica es:
TRES EJERCICIOS RESUELTOS
Resolver las siguientes desigualdades aplicando el método gráfico
S o l u c i o n e s
Solución (Factorizando)
Las raíces de son
De manera que:
La representación gráfica es:
Solución
Trasponiendo
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
109
De manera que:
La representación gráfica es:
Solución
De manera que:
La representación gráfica es:
ELVER OVIEDO VERGARA
110
GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN LINEAL
Para realizar la gráfica del conjunto solución de inecuaciones lineales como
, , ó ,cbyax 0
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
Al menos uno de los coeficientes b y a es diferente de cero.
Al trazar la recta 0cbyax y el plano queda dividido en dos semiplanos
abiertos, ninguno de los cuales contiene la recta. Si los puntos 21 p y p
pertenecen a alguno de los semiplanos, entonces existe una curva uniforme
que une 21 p y p tal que toda la curva está contenida en ese semiplano.
Teorema:
Sea ),( yxP un punto en que la gráfica de 0cbyax que divide el plano. Si
, , ó ,cbyax 0 se satisface para las coordenadas de ),( yxP , entonces
, , ó ,cbyax 0 se satisface para todas las coordenadas de los puntos del
semiplano en que se encuentra ),( yxP .
PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA GRÁFICA DEL
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL
1. Se traza la recta de la ecuación ax + by + c = 0
2. Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se
comprueba si verifican la inecuación dada.
3. Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la
inecuación
NOTA: Cuando la inecuación tiene alguno de los símbolos o , se indica, trazando
con una recta punteada la gráfica de la ecuación, que la recta no hace parte del
conjunto solución. En cambio, cuando la inecuación tiene el signo o , se traza
una línea continua para indicar que la recta si forma parte del conjunto solución.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
111
Ejemplo ilustrativo:
Trazar la gráfica de la inecuación
0632 yx
Solución:
Trazar la gráfica de la inecuación
0632 yx , hallando los puntos
donde la recta corta a los ejes:
Para x=0, y=2 y para y=0, x=-3 la
recta la trazamos punteada porque no
forma parte de la solución.
El punto (0,0) se encuentra en el semiplano inferior, y 06060302 es
verdadero; por el contrario el punto (-4,0) se encuentra en el semiplano superior, y
02060342 es falso; por lo tanto, sombreamos el semiplano inferior.
INECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS
Un sistema de inecuaciones lineales tiene la forma general
Como ya vimos, el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano.
Intuitivamente colegimos que el conjunto solución del sistema es la intersección de
todos los semiplanos de las soluciones particulares. Hay que hacer notar que algunas
veces el conjunto solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto vacío. Para
resolver un sistema de inecuaciones es recomendable utilizar el método gráfico.
ELVER OVIEDO VERGARA
112
Ejemplo ilustrativo:
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de cada una de las ecuaciones.
Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos de cada una de ellas; es
recomendable tomar los intercepto con los ejes:
El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los
lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices
del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:
Para el primer sistema la solución es (1,2), para el segundo (4,1) y para el tercero
(3,5). La solución del sistema de inecuaciones es, en resumen, el interior del triángulo,
cuyos vértices coordenados son (1,2), (4,1) y (3,5); sin incluir ninguno de los tres lados
del triángulo.
GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN CUADRÁTICA
La gráfica de la ecuación cuadrática en dos variables cuya fórmula es cbxaxy 2 ,
es una parábola. Dicha parábola divide el plano en dos regiones, en una de ellas se
cumple que cbxaxy 2 y en la otra cbxaxy 2 (inecuaciones cuadráticas).
El siguiente teorema nos posibilita trazar la gráfica de una inecuación cuadrática.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
113
Teorema:
Sea ),( yxP un punto de una de las dos regiones en las que queda dividido el plano
por una parábola. Si cbxaxy 2
en P o si cbxaxy 2 en P , entonces la
correspondiente inecuación se verifica en todos los puntos de esa región.
Procedimiento Para Trazar La Gráfica Del Conjunto
Solución De Una Inecuación Cuadrática
1. Se traza la gráfica de cbxaxy 2
2. Se comprueba la veracidad de la inecuación dada en un punto de cada una de
las dos regiones en que la parábola divide el plano.
3. Se sombrea la región en que la comprobación anterior ha sido afirmativa.
Ejemplo ilustrativo:
Hállese el conjunto solución de la inecuación cbxaxy 2
Solución:
Primero trazamos la gráfica de la ecuación
252 2 xxy (1)
El coeficiente de x2. 2, es positivo; por lo que
la parábola abre hacia arriba. La absisa del
vértice es 5/4 (calculada a partir de la
fórmula (-b/2a) al sustituir este valor en (1)
hallamos el valor de la ordenada del vértice,
es -9/8. La gráfica corta al eje y en 2 y al
eje x en ½ y 2. Estos datos son suficientes
para graficar la parábola. Al sustituir las
coordenadas del origen en 252 2 xxy , se obtiene la falsedad de
0 > 2; por lo que el conjunto solución de la inecuación está formado por la parte
interior de la parábola, sin incluir la gráfica de la parábola. Por lo tanto sombrearemos
la parte superior y puntearemos la gráfica.
ELVER OVIEDO VERGARA
114
INECUACIONES SIMULTÁNEAS QUE CONTIENEN
INECUACIONES CUADRÁTICAS
La técnica para hallar la solución de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones
cuadráticas es similar a la que utilizamos para solucionar sistemas de dos o tres
inecuaciones lineales simultáneas. Debemos trazar las gráficas de las inecuaciones
cuadráticas como se mostró en el apartado anterior, y las inecuaciones lineales como
ya aprendimos con anterioridad; la solución del sistema será entonces la intersección
de todas las regiones que se generaron como soluciones de cada inecuación particular.
En algunos de los ejercicios resueltos que se presentan a continuación se ejemplariza la
forma de solucionar sistemas de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones
cuadráticas.
EJERCICIOS RESUELTOS
Halle el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y de los siguientes sistemas
de inecuaciones:
1. 02yx
2.
012
032
yx
yx
4. 05
562
yx
xxy 5.
01
2
y
xy 6.
13
128
2
2
xxy
xxy
S O L U C I O N E S
1. 02yx
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación 02yx
para lo cual basta calcular las coordenadas de
dos de sus puntos si ,x 0 2y y si
02 y,x
Ahora, sustituyendo los valores de las
coordenadas del origen en la ecuación,
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
115
02yx se obtine: 020200 : falsedad
por lo que se concluye que el origen del sistema de ejes coordenados no pertenece al
conjunto solución como tampoco al semiplano que lo contiene. Esto es, el conjunto
solución está constituido por todos aquellos puntos que pertenecen al semiplano que
no incluye al origen (la parte sombreada. Como el signo de la inecuación es , la
recta, que es la gráfica de la ecuación hace parte del conjunto solución, y para
denotar ese hecho se traza la gráfica con una línea continua.
2. 01yx2
03y2x
Trazamos la gráfica de cada una de las
ecuaciones; para lo cual calculamos las
coordenadas de dos de sus puntos:
)0,2/1(y)1,0(:01yx2
)0,3(Y)2/3,0(:03y2x
Ahora, sustituyendo los valores de las
coordenadas del origen en las ecuaciones, y se
obtiene: 032yx falsedad
Por lo que la solución de esta inecuación no
incluye al origen en su solución. Por otro lado al
sustituir en 01yx2 se obtiene 01 por lo
que el conjunto solución de ésta inecuación es un semiplano que incluye al origen. El
conjunto solución del sistema de inecuaciones consiste en la intersección de los
semiplanos solución hallados individualmente (la región sombreada).
3. 1582 xxy
Trazamos la gráfica de la ecuación
1582 xxy la abscisa del vértice, que se
calcula mediante la fórmula a2/b es 4 la
oredena del vértice de la parábola que se
calcula sustituyendo x=4 en 1582 xxy
es 1. Osea el vértice de la aprábola está en el
punto (4,1) lagráfica corta al eje “y” en -15 la
gráfica corta al eje “x” en 3 y en 5; pues son
las raíces de la ecuación 01582 xx .
Estos datos son suficientes para trazar la
ELVER OVIEDO VERGARA
116
gráfica.
Si sustituimos las coordenadas del origen en 1582 xxy se obtiene
150 : Falsedad; por lo que se concluye, de a cuerdo al teorema, que el origen de
coordenadas no pertenece a la solución. La solución está constituida, pues, por el
conjunto de puntos del interior de la parábola (región sombreada) y los puntos de la
parábola.
4. 05
562
yx
xxy
Trazamos la gráfica de la parábola y de la
recta…
Remplazamos las coordenadas del origen en
562 xxy se obtiene 50 falso; por lo que
el origen no pertenece a la solución de
562 xxy y por ende, tampoco la región
que contiene al origen. La solución de
562 xxy es el interior de la parábola con
los puntos de ella.
Ahora si sustituimos las coordenadas del origen
en 05yx se obtiene 05 : verdadero,
por lo que el conjunto solución es el semiplano que contiene al origen.
Luego el conjunto solución del sistema es la intersección de los dos conjuntos en el
paso anterior (región sombreada).
5. 01y
xy 2
Trazamos la gráfica de la parábola y de la
recta…
Si sustituimos x=2 e y=1 en y > x2, se obtiene
1 > 4: falso, por lo que el punto (2,1) no
pertenece a la solución 2xy , ni tampoco a la
región que contiene dicho punto; luego la
solución es el interior de la parábola.
Luego si sustituimos los valores de las
coordenadas del origen en y+1<0, se obtiene
1<0 falso: por lo que la solución es el semiplano
que no contiene al origen, que es la parte inferior a la gráfica de la y+1=0 que es una
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
117
recta, así, la solución será vacía, dado que las soluciones anteriores no tienen
intersección.
6. 1x3xy
12x8xy
2
2
Trazamos las gráficas de ambas parábolas…
Si sustituimos las coordenadas del origen en
12x8xy 2 se obtiene 0 > 12 : falso; por
lo que el origen no pertenece a la solución de
12x8xy 2 por ende tampoco la región
que contiene a dicho punto; la solución de
12x8xy 2 es entonces el interior de la
parábola. Por otro lado si sustituimos los
valores de las coordenadas del origen en
1x3xy 2 se obtiene 0>1: falso; por lo que el origen no pertenece a la solución
de 1x3xy 2, ni la región que lo contiene tampoco. Luego la solución de
1x3xy 2, es el interior de la parábola. La solución del sistema es la intersección
de los dos luciones encontradas en el paso anterior, esto es, la región sombreada. Para
hallar los puntos de intersección basta resolver el sistema
1x3xy
12x8xy
2
2
ELVER OVIEDO VERGARA
118
EJERCICIOS UNIDAD Nº 3
1-40: Son problemas que involucran ecuaciones de primer grado en su
solución
1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por
6 da 55. ¿Cuál es el número?
2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.
¿Cuál es el número?
4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor
de éste es 147. Hallar el número.
6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.
¿Cuáles son los números?
7) En el triángulo ABC, los lados BCAB 3 y ACBC2
1. Si su perímetro es 84 m.
¿Cuánto mide cada lado?
8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la
medida del lado del cuadrado.
9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es
140 m. Calcular el largo y en ancho.
10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se
triplica. ¿Cuánto mide el lado?
11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá
el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
12) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la
edad de la novia era 4
3 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen actualmente?
13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su
amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué
edad tienen actualmente?
14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de
Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada
una.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
119
15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la
edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman
48 años?
16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años
más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.
17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la
séptima parte de la edad del padre?
18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por
ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y
cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada
material?
19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán
regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?
20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y
una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto
tardarían si la pintaran entre las tres?
21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al
numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a 3
4. Hallar la fracción.
22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
23) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.
26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años
más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las
edades respectivas.
27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a
la menor aumentada en 100.
28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al
doble de la mayor.
29) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el
triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.
30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto
del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números
por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.
ELVER OVIEDO VERGARA
120
32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y
la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.
33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción 13
8
y simultáneamente restarse del numerador y del denominador de 51
40 para
que las fracciones resultantes sean equivalentes?
34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo
recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los
lados del ángulo formado mide 12 cm.
35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente
respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte
estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres
niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso
matemático griego?
36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $
119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el
kilo de papas?
37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25,
niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $
14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?
38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler,
publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan
20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su
hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta
a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”
39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los
precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el
triple de la falda.
40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de
Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el
siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la
mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el
segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad
de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se
vació. ¿Puedes calcularlo tú?
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
121
41-49: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
41) 0722 2x
42) 1243 xx
43) 022
12 xx
44) 016 2 yy
45) 092732
xx
46) 222
762 xxx
47) 2
497
11
x
x
x
x
48) 32
7
5
8
xx
49) 04 22 ax
50) Encuentre el valor de x para que el área del rectángulo tenga el valor de 12
cm 2 .
2x
x + 3
51-82: Resolver problemas por medio de ecuaciones de segundo grado
51) Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina cuadrada.
Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de lado. ¿Cuánto
mide el lado de la cartulina cuadrada?
ELVER OVIEDO VERGARA
122
52) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 25m y
su área es 150m2.
53) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá
dentro de 6 años. Determina la edad actual.
54) Dos cuerdas se cortan en un círculo. Una mide 30 cm, la otra mide 50 cm y
pasa por el punto medio de la primera. ¿Cuáles son las medidas de los
segmentos en que ha quedado dividida la segunda cuerda?
55) Un rectángulo equivale a un cuadrado de 96 cm de lado. Determina las
dimensiones del rectángulo, sabiendo que una de ellas es 6 de la otra.
56) Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su
perímetro es 80 cm y la suma de los catetos es 46 cm.
57) El área de un rectángulo es 360 m2 y el largo excede al ancho en dos
unidades. Calcula el perímetro del rectángulo.
58) Determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si el lado mayor
excede en 10 cm al menor y la diagonal mide 50 cm.
59) Una sala de clases está distribuida por filas. El número de alumnos es igual al
número de filas. ¿Cuántas filas y cuántos alumnos por fila hay, si en total los
alumnos son 40?
60) Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber
comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos.
¿Cuántos objetos compró?
61) Un deportista caminó 30 km en un cierto número de horas. Si hubiese
caminado 1 km más por hora habría tardado 1 hora menos en recorrer la
misma distancia. ¿Cuántos kilómetros por hora recorrió?
62) Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿En cuántos
centímetros habría que disminuir, simultáneamente, el largo y el ancho para
que la diagonal sea 4 cm menor?
63) Calcula la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales
miden 10 cm y la altura es 2 cm más larga que la base.
64) En un círculo de radio 17 cm se traza una cuerda perpendicular a un
diámetro. La distancia desde el centro a dicha cuerda es 7 cm más que la
mitad de la longitud de la cuerda. Calcula la medida de la cuerda.
65) En un círculo, la distancia entre dos cuerdas paralelas congruentes es de 12
cm. Cada cuerda mide 6 cm más que el radio. Determina el radio.
66) Determina los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que las
dimensiones de los tres corresponden a números naturales consecutivos.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
123
67) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 metros y la suma de los
catetos es 35 m ¿Cuánto miden los catetos?
68) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetos
tiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcular los catetos.
69) Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que la
proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. ¿Cuánto mide esta
proyección, si el otro segmento de la, hipotenusa mide 9 m?
70) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 m más que uno de los
catetos y 8 m más que el otro. Calcular los lados del triángulo.
71) Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de los
catetos es. 28 m y que la hipotenusa tiene 4 m menos que el doble del cateto
menor.
72) El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo tiene 120
m2 más que el cuadrado de la hipotenusa. Calcular los catetos y la
hipotenusa, sabiendo que la diferencia entre los catetos es 7 m.
73) La suma de la base con la altura de un triángulo es 30 m y el área, del
triángulo es 112 m2. Calcular la base y la altura del triángulo.
74) La suma de los perímetros de dos cuadrados es 240 cm y la suma de sus
áreas es 2 522 cm2. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?
75) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 71 cm y el área del
triángulo es 330 cm2. ¿Cuánto miden los catetos?
76) En un triángulo rectángulo el cateto .menor mide 42 cm y los segmentos de
la hipotenusa determinados por la altura tienen una diferencia de 98 cm,
¿Cuánto mide la hipotenusa?
77) En un triángulo isósceles la base mide 19cm y cada lado 8 cm más que la
altura trazada a la base. ¿Qué longitud tiene la Altura?
78) El segundo curso de un colegio tiene 3 alumnos más que el tercero, y el
primero 6 alumnos más que el segundo. En una colecta de caridad cada
alumno del mismo curso da la misma suma, pero cada alumno del tercer
curso da tanto como cada alumno del segundo y del primero juntos. El
tercer curso juntó 10 UF, el segundo 6,9 UF y el primero 5,8 UF. ¿Cuántos
alumnos tiene cada curso?
79) El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la diferencia de las
proyecciones sobre la hipotenusa es 21 cm. Calcular los otros dos lados del
triángulo.
80) En un triángulo la base mide 15 cm más que el doble de la altura. Calcular la
base y la altura, sabiendo que el área del triángulo es 301 cm2.
ELVER OVIEDO VERGARA
124
81) Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños del nivel cuarto
básico de una escuela. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno de los
niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos niños se componía el
nivel cuarto?
83-106: Resuelva las ecuaciones simultáneas
82) x + 6y = 27
7x – 3y = 9
83) 7x – 4y = 5
9x + 8y = 13
84) 15x – 11y = -87
-12x – 5y = -27
85) 14x – 11y = -29
13y – 8x = 30
86) 6x –18y = -85
24x – 5y = -5
87) 3x + 5y = 7
2x – y = -4
88) x + 3y = 6
-7x + 8y = 25
89) 4x + 5y = 5
-10y – 4x = -7
90) x – 5y = 8
5x – 2y = 13
91) 4y + 3x = 8
8x – 9y = -77
92) 10x + 18y = -11
16x – 9y = -5
93) –13y + 11x = -163
-8x + 7y = 94
94) 45
12 yx
2x – 3y = -8
95) 11y2
3x
72
yx
96) 6x – 5y = - 9
4x + 3y = 13
97) 3
52
9
14 yxx
10
18
7
23 yyy
98) 17
3
1
1
yx
yx
51
1
yx
yx
99) 37
63
3
9
yx
yx
23
30
6
43
yx
yx
100) a + b = 4
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
125
-b + a = 8
101) 3x + y = 20
4
3
yx
102) 2x + 4y = 15
6x + 12y = 45
103) x + y +z = 6
x –y +2z = 5
x –y -3z = -10
104) + 4y + 3z = 3
10x – 8y –9z = 0
4x +4y –3z = 2
105) 2x + 3y +z = 1
6x –2y –z = -14
3x + y –z = 1
Problemas
106) En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros. Entre todos
suman 80 cilindros y 58 ruedas. ¿Cuántos motos y cuántos autos hay?
107) Halla dos números cuya diferencia sea –7 y cuya suma sea 43.
108) El producto de dos números es 100 y su cociente es 4. Halla los dos
números.
109) La suma de dos números más 22 es igual al doble del mayor, y su
diferencia menos 1 da el mayor. Halla los dos números.
110) Tengo 1’90 € entre monedas de 0’50 y 0’20 €. Si el total de monedas es 5.
¿Cuántas son de cada clase?
111) La diferencia de dos números es 65, y si el doble del primero, aumentado
en 5 unidades, lo dividimos por el segundo, el cociente es 11. ¿Cuáles son
esos números?
112) El área de un rectángulo es 120 m2 y su perímetro es 46 metros. Hallar sus
lados.
113) El perímetro de un triángulo isósceles es 51 cm. Sabiendo el lado desigual
es 6 cm. más largo que cada uno de los lados iguales. Hallar la longitud de
los tres lados.
114) Para asistir a un concierto la boleta de los hombres costaba 5 dólares y las
de las mujeres 3 dólares; si en total la taquilla recaudó 3.340 dólares y el
número de espectadores fue 900, ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres
asistieron al concierto?
115) El valor de la trascripción por hoja tamaño carta es $400 y por tamaño
oficio $500, si se necesitan transcribir dos textos con tamaños diferentes los
ELVER OVIEDO VERGARA
126
cuales suman 200 páginas, y en total se pagan $92.000 ¿Cuántas páginas
tiene cada texto?
116) Se consignó la suma de $650.000 en un banco entre billetes de $5.000 y
$20.000; si en total eran 70 billetes ¿Cuántos eran de $5.000 y cuántos
eran de $20.000?
117) Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y ésta diferencia se divide
por la suma de sus cifras, el cociente es 5 .Y si el número disminuido en 2
se divide por la cifra de las unidades disminuida en 2, el cociente es 19.
Halle el número.
118) Si Adriana le da a Iván una uva, ambos tienen las mismas y si Iván le da a
Adriana una uva, entonces Adriana tendrá el triple de las de Iván. ¿Cuántas
uvas tienen cada uno?
119) El perímetro de una sala rectangular es 56m. Si el largo se disminuye en
2m y el ancho se aumenta en 2m, la sala se hace cuadrada. Halle las
dimensiones de la sala.
120) En un corral que contiene solo gallinas y conejos se cuentan 60 cabezas y
190 patas, ¿Cuántos animales hay de cada especie?
En los ejercicios de 121 a 133 resuelva las inecuaciones dadas
121)
122) 02
62
X
X
123) 232
4
X
X
124) 3
12
X
X
125) 35
12
X
X
126) 13
3
X
X
127) XX
X 1
2
128) 04
42
2
X
X
129) XX
X3
1
130) XX
3
1
1
131) 0)2)(1(
)1( 2
XX
X
132) 152
3
X
X
133) 2
2
1
11
XXX
01
3
X
X
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
127
OBJETIVOS:
Utilizar el Teorema del factor y el teorema del residuo para resolver ecuaciones
y calcular raíces racionales por medio de la división sintética.
Valernos del teorema de las raíces racionales para saber si una suma o
diferencia de potencias es divisible entre la suma o la diferencia de las raíces
enésimas de sus dichas potencias.
TEMAS Y SUBTEMAS:
Binomio De Newton, División sintética. Teorema del residuo, Teorema del factor,
Teorema fundamental del álgebra, ceros reales de polinomios con coeficientes reales,
ceros racionales de polinomios con coeficientes enteros, Suma o diferencia de
potencias iguales, Descomposición en fracciones parciales e inecuaciones.
INTRODUCCIÓN
En términos generales la unidad recorrerá las características de un polinomio en una
variable, y de ellas obtendremos más y mejores herramientas para su transformación,
como es factorizarlo, graficar la función polinómicas correspondiente o saber por lo
menos en qué puntos corta al eje x. sin duda las teorías presentadas a continuación
son de gran importancia en el proceso de formación que como Ingeniero se va
teniendo.
ECUACIONES
POLINÓMICAS
ELVER OVIEDO VERGARA
128
BINOMIO DE NEWTON11
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de
exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener
Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números
combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número
combinatorio así:
11
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
129
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que
aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo
igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número
combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los
exponentes de b les ocurre lo contrario.
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b),
sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton
que también se puede escribir de forma abreviada así:
nk
K
kknn bah
n)ba(
0
Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia
ELVER OVIEDO VERGARA
130
La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435,
6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1
Que serán los valores de los coeficientes.
2) Calcular sin desarrollar el término que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:
(a2+3/b)100
El primer término tiene de coeficiente , el segundo , el tercero , etc.
Por tanto el término de lugar 50 será:
=
= 98913082887808032681188722800. =
En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es:
¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?
El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y vale:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
131
El binomio y su potencia será
4) Hallar el término medio del desarrollo de
Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es
el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.
Vamos a desarrollarlo:
5) Escribe el término que contiene x31 en el desarrollo de:
El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma:
Veamos como quedan las potencias x y de y:
Dividiendo las potencias de la misma base, restando los exponentes tenemos:
Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x31, basta igualar 40-
3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.
Ahora escribimos el término completo.
ELVER OVIEDO VERGARA
132
DIVISIÓN SINTÉTICA
La División Sintética es método abreviado de división de polinomios la cual me
permite dividir un polinomio de la forma nn
nnn axaxaxaxaxP 1
2
2
1
10 ...)(
entre un binomio divisor de la forma bmxxd )( utilizando todos los ( )1n -
coeficientes nn aaaaa ,,...,,, 1210 del polinomio )(xP y la expresión mb / del binomio
divisor bmxxd )( .
En forma general el proceso es el siguiente:
Para dividir nn
nnn axaxaxaxaxP 1
2
2
1
10 ...)( entre bmxxd )(
procedemos así:
nnn aaaaaaa ... 123210
m
b. 1b
m
b. 2b
m
b. 3b ...
m
b. 2nb
m
b. 1nb
m
b. nb
Aquí 0a = 1b y cada número del reglón inferior se obtiene sumando los números
que están por encima de él. El residuo es R y el polinomio cociente es:
x ... x xb x)( 1
3-n
3
2-n
2
1-n
1 nn bbbbxC
Veamos el ejemplo 1:
Tómenos a 77497)( 235 xxxxxP y a 32)( xxd se puede observar que
)(xP es de grado 5, es decir n 5 por lo tanto hay 5+1=6 coeficientes ia uno para
cada i = 0,1,2,3,4,5 ellos son: ,70a 01a ya que 4151 xxxn no aparece,
92a , 43a , 74a y 75a por otro lado en 32)( xxd 2m y 3b por
lo tanto la expresión mb / = -(-3)/2 = 3/2 y será por quien tendremos que dividir los
coeficientes así:
7 0 9 -4 7 -7
7. 3/2=21/2 2
21.
2
3=
4
63
4
99.
2
3=
8
297
8
265.
2
3=
16
795
16
907.
2
3
32
2721
7 2
21
4
99
8
265
16
907 R=
32
2497
Del anterior resultado podemos obtener el polinomio )(xC cociente y el residuo de la
división los cuales son:
)(xC = 7 4x +2
21 3x +4
99 2x +8
265x +
16
907 el residuo será el último valor
... b 14321 nn bbbbb R
m
b
2
3
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
133
Ejemplo 2:
Sea 257397)( 245 xxxxxP y 5)( xxd se puede observar que )(xP es de
grado 5, es decir n 5 por lo tanto hay 5+1=6 coeficientes ia uno para cada i =
0,1,2,3,4,5 ellos son: ,70a 91a , 02a ya que 3252 xxxn no aparece, 33a
, 74a y 255a por otro lado en 5)( xxd 1m y 5b por lo tanto la
expresión mb / = -(5)/1 = -5 y será por quien tendremos que dividir los coeficientes
así:
7 9 0 3 -7 25
7.(-5)=-35 (-26).(-5)=130 130.(-5)=-650 -647.(-5)=3235 3228.(-5)=-16140
7 -26 130 -647 3228 R= -16115
Del anterior resultado podemos obtener el polinomio )(xC cociente y el residuo de la
división los cuales son:
)(xC = 7 4x -26 3x +130 2x -647 x +3228 el residuo será el último valor
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Dado un polinomio P(x) dividendo y un binomio divisor d(x) y se obtiene como
resultado otro polinomio cociente C(x) como resultado con residuo R, entonces se
cumple que:
P(x) = C(x) . d(x) + R
TEOREMA DEL RESIDUO
El teorema del residuo me permite calcular el residuo sin hacer la división y
establece que en un polinomio dividendo nn
nnn axaxaxaxaxP 1
2
2
1
10 ...)(
y un binomio divisor bmxxd )( , el residuo R está dado por la expresión R=
nn
nnn ambambambambambP )/(...)/()/()/()/( 1
2
2
1
10 .
Veamos un ejemplo: tomemos como referencia el polinomio del ejemplo 1 de la
división sintética, es decir a 77497)( 235 xxxxxP y 32)( xxd y
-5
ELVER OVIEDO VERGARA
134
comprobemos el residuo que se obtuvo en aquella oportunidad. El valor de mb / = -
(-3)/2 = 3/2 si remplazamos a x por 3/2 en 77497)( 235 xxxxxP se tiene:
R= 72
37
2
34
2
39
2
37
2
3235
P = 72
3.7
2
3.4
2
3.9
2
3.72
2
3
3
5
5
= 72
21
4
36
8
243
32
1701=
32
32.716.218.364.2431701
32
2243362889721701
32
2497 que fue el resultado que se obtuvo
¡o no es así?
Probemos también el segundo ejemplo:
Allí 257397)( 245 xxxxxP y 5)( xxd . El valor de mb / =-(5)/1=-5
Entonces si remplazamos a x por -5 en 257397)( 245 xxxxxP se tiene:
R= 2557535957)5(245
P
= 7.(-3125)+9.(625)+3.(25)+35+25
= - 21875 + 5625 + 75 + 35 + 25 = - 21875 + 5760 = - 16115= R
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que m
br es Raíz de un polinomio nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)( si
el residuo R de dividir a )(xP entre bmxxd )( es igual a cero esto es si R
0)/()( mbPrP En este caso se diría que el polinomio
nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)( es divisible entre el binomio bmxxd )( , o que
bmxxd )( es un divisor del polinomio nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)(
Ejemplo de raíces de un polinomio. Comprobemos que r = - 2 es raíz del polinomio
107161357)( 2345 xxxxxxP
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
135
Si r = -2 es raíz de 107161357)( 2345 xxxxxxP entonces R=
0)2()( PrP veamos: Sustituyamos a x por -2 en
107161357)( 2345 xxxxxxP
R= 10272162132527)2()(2345
PrP
= 7.(-32) +5.(16)-13.(-8)+16.(4)+7.(-2)-10
= - 224 + 80 + 104 + 64 – 14 - 10 = 80 + 104 + 64 – 224 – 24
= 248 – 248 = 0
Por lo tanto podemos decir que el binomio 2)( xxd es un divisor de
107161357)( 2345 xxxxxxP
Es importante tener en cuenta que podríamos conseguir un polinomio que se divida
exactamente entre un binomio cualquiera si restamos el residuo R al polinomio )(xP .
Esto es teniendo en cuanta el algoritmo de la división para polinomio.
Veamos un ejemplo al dividir 257397)( 245 xxxxxP entre 5)( xxd , el
residuo fue R= -16115 entonces es sencillo probar que 5r es una raíz de )(xP -
R, es decir de 257397 245 xxxx - (-16115) = 161407397 245 xxxx
Veamos 1614057535957245
= 7.(-3125)+9.(625)+3.(25)+35+16140
= - 21875 + 5625 + 75 + 35 + 16140= - 21875 + 21875 = 0.
Continuamos con otros resultados relacionados con los temas vistos que serán de gran
importancia en su formación matemática, ellos son:
TEOREMA DE LAS RAÍCES RACIONALES
Se dice que un polinomio de la forma nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)( tiene raíces
racionales q
pr si p es un divisor de na y q es un divisor de 0a , veamos un
ejemplo:
ELVER OVIEDO VERGARA
136
Las raíces 5
2r , 2r son por lo menos dos raíces del polinomio
12202985)( 234 xxxxxp , para comprobarlo verificamos la teoría de las
raíces racionales para lo cual 05
2p ; veamos: Para
5
2r
125
220
5
229
5
28
5
25
5
2234
p
= 125
220
25
429
125
88
625
165
= 125
40
25
116
125
64
625
80
= 625
)625.(12)125.(40)25.(116)5.(6480
= 625
75005000290032080 = 0
625
79007900
Por su parte 2r también lo es
1222022928252234
p
= 1222042988)16.(5 = 12401166480 = 0156156
Nota: Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n - raíces, es posible que tenga
menos o incluso que no tenga raíces racionales ni reales.
En el ejemplo que se acaba de presentar el polinomio es de grado cuatro (4) y tiene
exactamente cuatro raíces racionales ellas son las dos que comprobamos y además
3r y 1r estas dos últimas las debe comprobar Usted en su libreta de apuntes.
Procedimiento para buscar las raíces racionales de un polinomio.
Para un polinomio de la forma nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)( procedemos de la
siguiente manera:
Primero: Buscamos todos los divisores p de na y todos los divisor q de 0a
Segundo: Construimos todas las posibles raíces q
pr dividiendo todos los divisores
p de na entre todos los divisor q de 0a (es posible que salgan un número grande de
posibles raíces)
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
137
Tercero: por último queda buscar cuáles r de las construidas cumplen con la
definición de raíz de un polinomio, es decir R 0)/()( qpPrP
Ejemplo:
Sea 242 xxxxxP 101913)( 244 entonces procedemos a
Primero: Buscamos todos los divisores p de na que en este caso es -24 y todos los
divisor q de 0a que en este caso es 2 de la siguiente manera, los
64,8,3,12,2,24,1 yp y los 21yq .
Segundo: Construimos todas las posibles raíces q
pr dividiendo todos los divisores
p de na entre todos los divisor q de 0a ; ellos son
23
21,24,12,8,6,4,3,2,1 yr
Tercero: por último queda buscar cuáles r de las construidas cumplen con la
definición de raíz de un polinomio, así:
1. 6)1(10)1(19)1(13)1()1( 244 242P
2. 0)1(10)1(19)1(13)1()1( 244 242P -1 es raíz
3. 0)2(10)2(19)2(13)2()2( 244 242P 2 es raíz
4. ???)2(10)2(19)2(13)2()2( 244 242P
5. ???)3(10)3(19)3(13)3()3( 244 242P
6. ???)3(10)3(19)3(13)3()3( 244 242P
.
.
.
. 02
3102
3192
3132
32
3244
242P 3/2 es raíz
Si termina de comprobar, de estas 20 posibles raíces
23
21,24,12,8,6,4,3,2,1 yr sólo -1, 2, 4 y
23 son raíces
verdaderamente, pudiendo ser menos de cuatro.
Otra forma de buscarlas es a través del método de división sintética. Teniendo gran
importancia porque además podemos factorizar el polinomio conociendo el siguiente
teorema.
ELVER OVIEDO VERGARA
138
TEOREMA DEL FACTOR
Sea q
pr una raíz del polinomio nn
nn axaxaxaxP 1
1
10 ...)( , entonces el
binomio )( pqx , y el polinomio cociente )(xC que resulte de dividir a )(xP entre
)( pqx son factores del polinomio )(xP .
En el ejemplo anterior )1(x , 2x , 4x y 32x son factores del polinomio
242 xxxxxP 101913)( 244 . Al dividir el polinomio por división sintética entre
)1(x tenemos:
2 -13 19 10 -24
-2 15 -34 24
2 -15 34 -24 0
Así 2434152 23 xxxxC y según el teorema él con )1(x son factores de P(x)
es decir: 242 xxxxxP 101913)( 244 = ( 2434152 23 xxx ). )1(x
- Si se divide entre 2x entonces tenemos:
2 -13 19 10 -24
4 -18 2 24
2 -9 1 12 0
Así 1292 23 xxxxC y según el teorema él con )2(x son factores de P(x) es
decir: 242 xxxxxP 101913)( 244 )1292( 23 xxx . )2(x
Si dividimos entre los otros dos binomios podemos conseguir sus respectivos )(xC y
podemos factorizar al polinomio.
Pero además podemos factorizar a P(x) como
242 xxxxxP 101913)( 244 = )1(x . 2x . 4x . 32x
Puede comprobarlo haciendo un poco de algebra.
2
-1
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
139
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
La siguiente teoría nos sirve para aprender a identificar cuándo una SUMA O UNA
DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES ( nn yx ) es divisible entre las sumas o las
diferencias de las raíces “n-ésimas” de las potencias, siendo n el grado de
potencialidad en mención.
La divisibilidad de la suma o la diferencia de una potencia entre la suma o
la resta de las raíces n-ésimas puede depender de la condición del grado n,
si es par o si es impar.
A continuación analizaremos cada uno de los cuatro casos posibles a partir del
teorema del residuo y la definición de las raíces racionales.
PRIMER CASO
Consideremos el polinomio nn yxxP )( ¿será divisible entre el binomio yx ?
Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)( yP
veamos
0)()( nnnn yyyyyP Sólo si n es impar
Ejemplo 1: Es posible esta división 3
3
3
2187 777
x
x
x
x? Si lo es, ya que
0218721873)3()3( 77P
Y ¿cuánto da el resultado de esa división? Esté atento, al final se la daré:………………
Ejemplo 2: Es posible esta división 3
3
3
6561 888
x
x
x
x? Noooooooooooooooo
exactamente, porque el exponente es par y el residuo no da cero, veamos
013122656165613)3()3( 88P
Ejemplo 3: Es posible esta división mx
mx 5151
? Sí y mx
mx 5252
Noooooooooooooo
ELVER OVIEDO VERGARA
140
SEGUNDO CASO
Consideremos el polinomio nn yxxP )( ¿será divisible entre el binomio yx ?
Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)(yP
veamos
02)()( nnnnn yyyyyyP Para cualquier n, sea par o impar
Conclusión: La suma de potencias iguales nunca es divisible entre la
diferencia de las raíces n-ésimas
Ejemplo 1: Es posible esta división 3
3
3
2187 777
x
x
x
x? No lo es, ya que
4374218721873)3()3( 77P
Ejemplo 2: Es posible esta división 3
3
3
6561 888
x
x
x
x? Noooooooooooooooo
exactamente, porque el exponente es par y el residuo no da cero, veamos
013122656165613)3()3( 88P
Ejemplo 3: Es posible esta división mx
mx 5151
? NOOOOooooo y mx
mx 5252
Menos
TERCER CASO
Consideremos el polinomio nn yxxP )( ¿será divisible entre el binomio yx ?
Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)( yP
veamos
0)()( nnnn yyyyyP Sólo si n es par
Ejemplo 1: Es posible esta división 3
3
3
729 666
x
x
x
x? Si lo es, ya que
0218721873)3()3( 76P
Y ¿cuánto da el resultado de esa división? ESPERE, al final se la daré:………………
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
141
Ejemplo 2: Es posible esta división 3
3
3
6561 888
x
x
x
x? TAMBIEN, porque el
exponente es par y el residuo no da cero, veamos 0656165613)3()3( 88P
Ejemplo 3: Es posible esta división mx
mx 5151
? No y mx
mx 5252
Claro que sí
CUARTO CASO
Consideremos el polinomio nn yxxP )( ¿será divisible entre el binomio yx ?
Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)(yP
veamos
0)()( nnnn yyyyyP Para todo n , sea par o impar
Ejemplo 1: Es posible esta división 3
3
3
2187 777
x
x
x
x? Si lo es, ya que
0218721873)3()3( 77P
Y ¿cuánto da el resultado de esa división? No se desespere, muy pronto le
diré:………………
Ejemplo 2: Es posible esta división 3
3
3
6561 888
x
x
x
x? También es posible, porque
el exponente, veamos 0656165613)3()3( 88P
Ejemplo 3: Es posible esta división mx
mx 5151
y mx
mx 5252
? Claro, AMBOS
Conclusión, cuándo es divisible y qué da la división cada uno de los casos?
1. Sólo si n es impar 12322321 ... nnnnnn
nn
yxyyxyxyxxyx
yx
2. yx
yx nn
Nunca es posible exactamente, para ningún n
3. Sólo si n es par 123221 ... nnnnn
nn
yxyyxyxxyx
yx
ELVER OVIEDO VERGARA
142
4. Siempre es posible 12322321 ... nnnnnn
nn
yxyyxyxyxxyx
yx
Ejemplos 1: Cuanto da la siguiente división px
px
2
32 55
?
Como si es posible, se trata del primer caso, podemos desarrollar dicha división
43223455
248162
32pxppxpxx
px
px
Ejemplos 2: Cuanto da la siguiente división 5
588
x
x? R/ta. No es posible dividir
exactamente, se trata del caso II
Ejemplos 3: Cuanto da la siguiente división 5
588
x
x? R/ta. Sí es posible dividir
exactamente, se trata del caso IV y da
781251562531256251252555
5 53456788
xxxxxxxx
x
Ejemplos 3: Cuanto da la siguiente división 5
588
x
x? R/ta. Sí es posible dividir
exactamente, se trata del caso III y da
781251562531256251252555
5 53456788
xxxxxxxx
x
FRACCIONES PARCIALES
Si el denominador de una expresión racional (expresión algebraica fraccionaria
donde el numerador y el denominador son polinomios) se puede expresar como
productos de factores lineales no repetitivos, cada término de la descomposición tiene
forma de ax
A
Ejemplo 1
Halla la descomposición de 6
672 xx
x
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
143
23)2)(3(
67
6
672 x
B
x
A
xx
x
xx
x
6
672 xx
x
)2)(3(
)3()2(
xx
xBxA
67x = )3()2( xBxA
Si 2x entonces cancelamos la A y podemos hallar el valor de B
)32()22(6)2(7 BA
BA 5)0(614
B520
B5
20
B4
Ahora 3x utilizamos entonces cancelamos la B y podemos hallar el valor de A
)33()23(6)3(7 BA
)0(5621 BA
A515
B5
15
A3
Entonces
2
4
3
3
6
672 xxxx
x
Otro ejemplo resuelto de forma distinta es el siguiente:
Expresemos como suma de fracciones 5
62 xx
x
)2)(3(
6
5
62 xx
x
xx
x Así podemos expresar ahora la fracción como la suma
ELVER OVIEDO VERGARA
144
23)2)(3(
6
x
B
x
A
xx
x (1)
Se multiplicada cada miembro de la igualdad (1) por el M.C.D de la fracción
)2)(3( xx y se simplifica obteniendo entonces
)3()2(6 xBxAx
BBxAAxx 326 (destruyendo paréntesis)
BABxAxx 326
)32()(6 BAxBAx (2) (obtenemos (2) asociando de una forma
adecuada)
Como (2) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben ser iguales a
los coeficientes correspondientes del miembro derecho. De tal manera que:
1BA (3)
632 BA (4)
Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (3) y (4) y obtenemos que:
222 BA
5
445 BB (5)
Si se sustituye (5) en (3) y haciendo aritmética se tiene:
5
9A (6)
Sustituyendo (5) y (6) en (1) obtenemos
)2)(3(
6
xx
x
)2(5
4
)3(5
9
xx
Si el denominador de una expresión racional se puede expresar como productos de
factores lineales repetitivos, cada término de la descomposición tiene forma de
m
m
qpx
A
qpx
A
qpx
A
)(...
)( 2
21
Ejemplo 2: Halla la descomposición de 43
1015223
2
xx
xx
632 BA
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
145
43
1015223
2
xx
xx=
2
2
)2)(1(
10152
xx
xx
Como el denominador se factoriza 2)2)(1( xx entonces tenemos que considerar
tanto )2(x como 2)2(x posibles factores en la posible descomposición.
22
2
)2()2()1()2)(1(
10152
x
C
x
B
x
A
xx
xx
222
2
2
2
)2)(1(
)1(
)2)(1(
)2)(1(
)2)(1(
)2(
)2)(1(
10152
xx
xC
xx
xxB
xx
xA
xx
xx
10152 2 xx = 2)2(xA + )2)(1( xxB + )1(xC
Si utilizamos 2x entonces cancelamos tanto A como B y podemos hallar el valor
de C
)12()22)(12()22(10)2(15)2(2 22 CBA )3()0)(3()0(1030)4(2 CBA
C310308 C312
C3
12
C4
Ahora utilizamos 1x entonces cancelamos B y C y podemos hallar el valor de A
)11()21)(11()21(10)1(15)1(2 22 CBA
)0()3)(0()21(1015)1(2 2 CBA A927
A9
27
3A
ELVER OVIEDO VERGARA
146
Ya tenemos el valor de A y C, nos falta el valor de B, para hallarlo utilizamos 0x , y
utilizamos los valores de A y C ya encontrados. Al sustituir el 0 por la x, eliminamos
los dos primeros términos del polinomio de la izquierda
)10()20)(10()20(10)0(15)0(2 22 CBA
)1(4)2)(1()2(310 2 B 42)4(310 B
B21210
B2
2
1B
Fialmente obtenemos el resultado el cual es:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
147
EJERCICIOS UNIDAD Nº 4
Del 1 al 6. Determine el polinomio cociente xC y el residuo R por medio de la
división sintética de las divisiones dadas y compruebe el valor de R a través del
teorema del residuo.
1. 1054685 23456 xxxxxxP entre 4)( xxd
2. 12103468 2345 xxxxxxP entre 62)( xxd
3. 854682 2346 xxxxxxP entre 13)( xxd
4. 1254757 23456 xxxxxxP entre 7)( xxd
5. 234567 24567 xxxxxxP entre 4)( xxd
6. 854685 23456 xxxxxxxP entre 23)( xxd
Del 7 al 14. Determine las raíces de los polinomios dados y factorícelos
7. 751255352 234 xxxx
8. 75205123272 234 xxxx
9. 611784 234 xxxx
10. 12442343 234 xxxx
11. 2420263 234 xxxx
12. 3660143 234 xxxx
13. 751403250116 2345 xxxxx
14. 754115691612 2345 xxxxx
Del 15 al 22. Realice las divisiones indicadas (si es posible) y pruebe el resultado
15. mx
mx 55
16. 2
266
t
t
17. 2
266
t
t
18. 2
277
y
y
19. 2
277
t
t
20. 6
279936 77
m
m
21. 6
279936 77
p
p
22. mx
mx
34
72940969 66
ELVER OVIEDO VERGARA
148
Del 23 al 28. Descomponga como fracciones simple
23. 2
3 2
3 7
6 11 6
x x
x x x
24. 3 2
1
3t t
25. 2 2
1, .a cte
x a
26. 2
3 2
3 3
1
z z
z z z
27. 2
5 3
2 2
2
x x
x x x
28. 2
12
16xe
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
149
OBJETIVOS:
Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas referidos a la
ingeniería.
TEMAS Y SUBTEMAS:
Ángulos, sistemas de medidas de ángulos, conversiones, Funciones trigonométricas,
identidades trigonométricas básicas, Ecuaciones trigonométricas, Aplicaciones.
INTRODUCCIÓN
La trigonometría por si solo compone una asignatura en esta parte de la
programación, brevemente se hace un recorrido por ella y queda a voluntad y
disposición del estudiante los siguientes temas presentados.
DEFINICIONES CLÁSICAS DE ÁNGULO
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se
encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un
ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue
utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta;
el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las
líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus
definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los
ángulos del plano son:
FUNCIONES
TRIGONOMETRÍA
ELVER OVIEDO VERGARA
150
Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el
cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo
graduado, etc.
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PLANOS
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de
2/ rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a 2/ rad (equivalente a 90º).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 2/ rad y menor a rad
(mayor a 90º y menor a 180º).
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
151
Ángulo llano o extendido
El ángulo llano tiene una amplitud de rad (equivalente a 180º).
Ángulo cóncavo o reflejo
El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de rad y menos de rad
(esto es, más de 180º y menos de 360°)
Ángulo completo o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad (equivalente a 360º)
SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad.
SISTEMA CENTESIMAL.- Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales,
llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada
minuto tiene 100 "segundos centesimales".
Los símbolos para esta unidad son:
grado g, minutos m, segundos s
SISTEMA CIRCULAR.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado
"radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es
igual al radio de la circunferencia.
Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes,
dándole a el valor de 3.14
Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 )
SISTEMA SEXAGESIMAL.- Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes
iguales. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y
cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.
Los símbolos para esta unidad son:
grado °, minuto ´, segundo "
ELVER OVIEDO VERGARA
152
CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES12
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo
de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos
que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales
ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π
radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese
que la x va arriba, en la posición de los
radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente
decimal con calculadora:
EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a
grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese
que la x va abajo, en la posición de los
grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente
12
http://www.amschool.edu.sv/Paes/t1.htm
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
153
x = 0.6632 radianes decimal con calculadora:
x = 137.5099o
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO13
Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que
son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones solamente
dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.
Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas
aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que
tracemos sólo dependen del ángulo.
Ejemplo
Tenemos un triángulo como el de la figura y
queremos saber sus razones trigonométricas así que
medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c=
100mm
13
http://es.wikibooks.org/
ELVER OVIEDO VERGARA
154
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL MISMO
ÁNGULO
Las razones trigonométricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere
decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa
sino así Es conveniente que
se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la
literatura matemática usa esa notación.
Demostración
Aplicamos Pitágoras:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
155
Ejemplos
Se conoce el cos 53°=0,6 y se quiere calcular cuánto valen
Se conoce la tangente de un ángulo y se quiere calcular cuánto valen
UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta
dos factores de interés:
En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de
la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace
justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se
introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente
=) nos muestra el resultado en la pantalla.
Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los
radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es
muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo sin(100o) =
0,984807753 que sin(100rad) = − 0,506365641 o sin(100gra) = 1. La
conversión entre los sistemas es la siguiente: 180o = πrad = 200gra
ELVER OVIEDO VERGARA
156
UN ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CON CABRI
Taller N° 1
1. Muestre los ejes coordenados
2. Circunferencia con centro en el origen y radio hasta el punto (1,0)
3. Punto P sobre la circunferencia, recomendamos en el primer cuadrante
4. L1 Recta perpendicular al eje “x” por el punto P
5. L2 Recta perpendicular al eje “y” por el punto P
6. L3 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (1,0)
7. L4 Recta que pasa por el origen y el punto P
8. S1 Segmento, del origen hasta intersección entre el eje “x” y L1
9. S2 Segmento, del origen hasta intersección entre el eje “y” y L2
10. S3 Segmento, del punto (1,0) hasta intersección entre L3 y L4 (Punto K)
11. S4 Segmento, del origen al punto P (radio)
12. Resalte con grosor y colores diferentes los segmentos S1,S2, y S3
13. Marcar ángulo A entre (1,0), el origen y el punto P
14. Calcular medida del ángulo A
15. Calcule las coordenadas del puntos P y la ordenada del punto K
16. Calcule las funciones seno, coseno y tangente del ángulo A
17. Compare los valores obtenidos con los de las coordenadas de los puntos P y K
18. Oculte las rectas L1, L2, L3 y L4
19. Mueva el punto P sobre toda la circunferencia para determinar los signos en
cada cuadrante de las funciones seno, coseno y tangente; determinar el valor de
las funciones para …
20. L5 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (2,0) que simule al eje “y”
21. Transfiera el valor de la medida del ángulo A en (2,0) al punto R en el eje “x”
22. Transfiera ordenada del punto P en (2,0) al punto T1 en el eje “y”
23. L6 Recta perpendicular a L5 por el punto T1
24. L7 Recta perpendicular al eje “X” por el punto R
25. S, Punto de intersección entre L6 y L7
26. Oculte las rectas L6 y L7
27. Activa traza del punto S
28. Activa animación del punto P
29. Realice análogamente los paso del 22 al 28 para el coseno y la tangente.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
157
Taller N° 2
1. Muestre los ejes coordenados
2. Circunferencia con centro en el origen y radio hasta el punto (1,0)
3. Punto P sobre la circunferencia, recomendamos en el primer cuadrante
4. S1 Segmento, del origen al punto P (radio)
5. Marcar ángulo A entre (1,0), el origen y el punto P
6. L1 Recta Perpendicular al eje “y” por el punto (0,1)
7. L2 Recta perpendicular a S1 por el punto P
8. L3 Recta que pasa por el origen y el punto P
9. Ct Punto de intersección entre L1 y L3
10. Sc Punto de intersección entre L2 y el eje ”x”
11. Cc Punto de intersección entre L2 y el eje “y”
12. S2 Segmento entre los puntos (0,1) y Ct
13. S3 Segmento entre los puntos (0,0) y Sc
14. S4 Segmento entre los puntos (0,0) y Cc
15. Oculte las rectas L1, L2 y L3
16. Resalte con grosor y colores diferentes los segmentos S1,S2, y S3
17. Calcule la absisa de los puntos Ct y Sc, y la ordenada del punto Cc
18. Calcule medida del ángulo A
19. L4 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (2,0) que simule al eje “y”
20. Transfiera el valor de la medida del ángulo A en (2,0) al punto R en el eje “x”
21. Transfiera la absisa del punto Ct en (0,2) al punto T1en L4.
22. L5 Recta perpendicular a L4 por el punto T1
23. L6 Recta perpendicular al eje “X” por el punto R
24. Ct, Punto de intersección entre L5 y L6
25. Oculte las rectas L5 y L6
26. Activa traza del punto Ct
27. Activa animación del punto P
28. Realice análogamente los paso del 21 al 27 para el Cosecante y la Secante.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus
magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres
ángulos, a partir de las conocidas.
ELVER OVIEDO VERGARA
158
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una
cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta
menos información para resolverlo. Podemos resolver un
triángulo rectángulo si conocemos:
Dos lados
o Podemos calcular el tercer lado con el
Teorema de Pitágoras
o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los
ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los
ángulos de un triángulo.
Ejemplo Tenemos este triángulo y sabemos que
Un ángulo y un lado
o Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que
tenemos y con la longitud del lado que tenemos
o El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un
triángulo suman entre los tres 180º siempre.
Ejemplo consideremos un triangulo y conocemos
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
159
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. ESTRATEGIA DE
LA ALTURA
Ahora el triángulo Sabemos que miden dos de sus lados a=273 b=326 y el ángulo
Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura x, obtenemos así dos
triángulos rectángulos:
Del primer triángulo (el 1) conocemos obtendremos x e y.
Del segundo triángulo:
Finalmente para encontrar c aplicamos Pitágoras:
Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale b y c sabemos
que a=30 A=40° B=60°
ALGUNOS RESULTADOS MUY ÚTILES
Esto que viene a continuación uno podría deducirlo. Pero igual que las tablas de
multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor
memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.
ELVER OVIEDO VERGARA
160
Proyección de un segmento
Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es
la misma que la del segmento multiplicado por el coseno del ángulo que formar
segmento y recta.
Altura de un triangulo
Si tomamos cualquier lado del triangulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el
seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triangulo.
AREA DE UN TRIÁNGULO
El área del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados
multiplicado por el seno que forman
Ejemplos
El Sr. Amon Pep de Sasini ha creado una escultura de un gusano gigante y quiere
ponerlo en su jardín circular de 10 metros de diámetro, ¿le cabe?
El gusano está formado por 4 segmentos de y los ángulos
que forman con el suelo son .
El gusano cabrá si la suma de las proyecciones cabe:
Por lo tanto el Sr. de Sasini puede poner el gusano tranquilamente.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
161
Depués de la creación del gusano el Sr. de Sasini y satisfecho con suestros servicios de
proyecciones nos encarga calcular los metros cuadrados de cesped que debe comprar
para embellecer su jardín triangular como el que muestra este boceto.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver
triángulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos
teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos
como con la estrategia de la altura.
TEOREMA DEL SENO
Intuitivamente uno puede ver que el ángulo mayor de un triangulo tiene enfrente el
lado mayor, y el ángulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.
El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:
Si tenemos un triangulo de lados y ángulos
Se cumple que:
Demostración
Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.
Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BCH son rectángulos
los dos.
Tenemos que:
ELVER OVIEDO VERGARA
162
Para encontrar la igualdad trazamos h desde el vértice B y
procedemos igual que antes.
Aplicaciones
Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incógnita sea uno de los
ángulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los
ángulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las
soluciones son validas.
Triángulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos
Ejemplo
Tenemos un triangulo con las siguientes medidas, y queremos resolverlo.
Conocemos un lado y dos ángulos
Podríamos aplicar el teorema del seno si tuviésemos Para encontrarlo recordemos
que todos los ángulos de un triangulo deben sumar
Dos lados y el ángulo opuesto de uno de ellos conocido
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
163
Ejemplo
Ahora nos encontramos con el siguiente problema:
Conocemos tenemos que encontrar
Solo tiene una solución, pero podría haber tenido dos o ninguna, juega con los valores
de a y investiga, haciendo dibujos, el por qué de todo esto.
TEOREMA DEL COSENO
Si cogemos un triangulo rectángulo y el ángulo de 90° circulo disminuimos es intuitivo
de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más
grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos
decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0
Tenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:
Demostración
Dibujamos la altura h, perpendicular a b
ELVER OVIEDO VERGARA
164
Aplicamos Pitágoras a AHB y BHC
Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma
fórmula.
Aplicaciones
Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno
Conocemos tres lado y queremos conocer cualquier ángulo
Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer
el otro lado
Conocemos dos lados y el ángulo que forman y queremos saber el otro lado
Conocemos dos lados y el ángulo que forman y queremos conocer otro ángulo.
Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para
saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el ángulo
Ejemplo
El señor Vuy Pam Boli aconsejado por el senyor de Sasini, decide hacernos una
consulta sobre caza. El tiene una escopeta que alcanza 200m y resulta que desde su
puesto de caza el ve dos árboles donde suelen parar los pájaros, sin embargo uno de
ellos (el C) es difícil medir la distancia que le separa de A. Sin embargo el segundo
árbol si es accesible así que medimos la distancia que resulta ser de 220m. Desde
donde estamos vemos que existe una senda así que podemos medir el segmento
que resulta ser de 90 m y el ángulo que forman es de . Nos queda entonces
por saber si el Sr. Pam Boli le alcanza el arma al árbol C
GARCIA DUMBO Por lo
tanto puede disparar solo al árbol C
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
165
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Relaciones básicas
Relación pitagórica
Identidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese
que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ or −). Por
ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que
, aunque es posible que . Para obtener la única
respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométrica en función de las otra cinco.
Funci
ón sin cos tan csc sec cot
sin
cos
tan
csc
sec
cot
DE LAS DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ELVER OVIEDO VERGARA
166
Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrico (tiene
radio=1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas
senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda
senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de
otro modo:
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas
operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas
introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las
restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
167
y análogamente con las restantes funciones .
TEOREMAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos
consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las
restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
ELVER OVIEDO VERGARA
168
Para ángulos opuestos:
Fórmula de De Moivre:
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las
identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil
expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando
la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmula del ángulo doble
Fórmula el ángulo triple
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
169
Fórmula del ángulo medio
Producto infinito de Euler
Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno
Coseno
Otros
Identidades del medio ángulo
Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).
ELVER OVIEDO VERGARA
170
Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2)
por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el
denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo
doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y
simplificando mediante la identidad pitagórica.
Paso de Producto a Suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
¿De dónde se origina ?
Esta explicación muestra cómo obtener la formula anterior paso por paso (en otras
palabras, es una demostración)
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
171
1): cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
2): cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3): cos(x)cos(y) = cos(x + y) + sin(x)sin(y)
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la
ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2)
en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos
lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:
cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) + cos(x)cos(y) = cos(x + y) + sin(x)sin(y) + cos(x
− y)
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)
Y por ultimo multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
Nota: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las
otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Paso de Suma a Producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a
suma, se tiene:
ELVER OVIEDO VERGARA
172
Eliminar seno y coseno
A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar
libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS14
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más
funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo
común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general
que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en
transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las
funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a
senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función
trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas
para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir,
conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a
determinar cuál es ese ángulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación
de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2,
el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1,
14
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id396.htm
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
173
1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas
que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes,
hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la
solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las
seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función).
Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo
se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un
múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.
Ejemplo ilustrativo1:
03344 22 tgxxsentgx.xsen
03344 22 )tgx()xsentgx.xsen( Asociamos convenientemente
01314 2 )tgx()tgx.(xsen Factorizando
0134 2 )tgx)(.xsen( Factorizando
12
301034 2 tgxsenx)tgx( ó ).xsen(
12022545 x ó 60x ó,x ó,x
120120
60
225
4545
k ó
k ó 60
k ó 225
k ó
x oluciónS Zk
ELVER OVIEDO VERGARA
174
Ejemplo ilustrativo2:
Ejemplo ilustrativo3:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
175
EJERCICIOS UNIDAD Nº 5
1. El ángulo de elevación de de la parte superior del Empire State
de Nueva York, desde una distancia de una milla de la base
del edificio, se ha determinado que es de 11º sobre el nivel del
piso. Con base en la información determine la altura del
Empire State.
2. Un aeroplano que está volando a una altura de 35,000 pies
tiene a la vista el Arco Gateway, en St. Louis Missouri. El
piloto desearía estimar a qué distancia está del Arco de
Gateway. Encuentra que el ángulo de depresión respecto a
un punto sobre la Tierra abajo del arco es de 22°.
(a) ¿Cual es la distancia entre el aeroplano y el arco?
(b) ¿Cual es la distancia entre un punto sobre la Tierra directamente par
debajo del aeroplano y el arco?
3. Un rayo laser debe ser dirigido hacia el centro de la Luna pero el rayo se
desvía 0.5 grados de su trayectoria.
(a) ¿Cuánto se ha desviado de su objetivo cuando llegue a la Luna? (La
distancia de la Tierra a la Luna es de 240,000 millas.)
(b) El radio de la Luna es de aproximadamente 1,000 millas. ¿Impactará el
rayo sobre la Luna?
4. Desde la parte superior de un faro de 200 pies de altura, el ángulo de
depresi6n hasta un barco sobre el océano es de 23°. ¿A qué distancia esta
el barco de la base del faro?
5. Una escalera de 20 pies está apoyada contra un edificio. de manera que el
ángulo entre el piso y la escalera es de 72°. i. altura alcanza la escalera sobre
el edificio?
6. Una escalera de 20 pies está apoyada contra un edificio. Si la base de la
escalera esta a 6 pies de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo de elevaci6n de
la escalera? ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio?
7. Un árbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. ¿cuál es el
ángulo de elevaci6n del Sol?
8. Un cable guía de 600 pies está sujeto a la parte superior de una torre de
comunicaciones. Si el cable forma un ángulo de 65° con la Tierra ¿Cuál es la
altura de la torre de comunicaciones?
ELVER OVIEDO VERGARA
176
9. Un hombre esta tendido sobre la playa, haciendo volar una
cometa. Sujeta el extremo de la cuerda de la cometa al
nivel del piso y estima que el ángulo de elevaci6n de la
cometa es de 50°. Si la longitud de la cuerda es de 450 pies,
¿a qué altura está volando la cometa sobre el nivel del piso?
10. Se debe medir la altura de un acantilado a
partir de un punto del lado opuesto del rio.
Determine la altura del acantilado
partiendo de la informaci6n que se da en
la figura.
11. Un depósito de agua está a 325 pies de un
edificio (véase la figura) Desde una
ventana del edificio se observa que el
ángulo de elevaci6n hasta la parte superior
del dep6sito es de 39° y el ángulo de
depresi6n a la parte inferior es de 25º
¿Cuál es la altura del depósito? ¿A qué
altura está la ventana?
12. Un aeroplano vuela a una altura de 5,150 pies directamente por encima de
una carretera recta. Dos automovilistas están manejando automóviles sobre la
carretera en lados opuestos del aeroplano, si el ángulo de depresi6n de un
autom6vil es de 35° y de 52° el del otro. ¿A qué distancia estan los auto-
móviles entre sí?
13. Si ambos automóviles del ejercicio anterior estan a un solo lado del aeroplano
y si el ángulo de depresión a uno de ellos es de 38° y al otro de 52°, ¿a qué
distancia estan entre sí los automóviles?
14. Un globo de aire caliente flota por encima de una carretera recta. Para
calcular su altura sobre el nivel del piso. Los aeronautas miden
simultaneamente el angulo de depresi6n a 2 postes consecutivos de marcaje
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
177
de kilómetros sobre la carretera del mismo lado del globo. Lo ángulos de de-
presi6n encontrados son 20° y 22°. ¿A que altura está el globo?
15. Para calcular la altura de una
montaña se determinan los
ángulos , y la distancia d
según se muestra.
a) Determine la longitud BC en
función de , y d
b) Demuestra que la altura h de
la montaña está dada por la
fórmula )(
..
aSen
SenSendh .
c) Sólo si resolvió el inciso anterior halle la altura para los valores específicos
20 , 25 y piesd 700 .
16. Cuando la Luna esta exactamente en medio
creciente, la Tierra, la Luna y el Sol forman un
triangulo rectangulo (vease la figura). En ese
momento el angulo formado por el Sol, la
Tierra y la Luna se mide y es de 89.85°. Si Ia
distancia de Ia Tierra a la Luna es de 240,000
millas, estime la distancia de la Tierra al Sol.
17. Un piloto mide los ángulos de depresión de dos
barcos como 45° y 60°. Si el piloto esta a una altura
de 30.000 pies, determine la distancia que separa
los barcos.
18. Un depósito de agua de 40m de altura
está en la cima de una colina. Desde
120m colina abajo se que el ángulo
formado entre la parte superior y la
base de la torre de agua es de 10°.
Determine el ángulo de inclinación de
la colina.
ELVER OVIEDO VERGARA
178
19. Determine el área del cuadrángulo de la
figura con dos cifras decimales.
20. Un topógrafo desea encontrar la distancia entre dos
puntos A y B del lado opuesto de un rio. En el lado del
rio en que él se encuentra selecciona dos puntos C y D
con una separación de 25m y mide los ángulos que se
muestran. Determine la distancia entre A y B.
21. La órbita de un satélite alrededor de la tierra, hace que
pase directamente por encima de dos estaciones de
rastreo que están separadas 50 millas. Cuando el satélite
está entre las dos estaciones, se miden los ángulos de
elevación desde A y desde B, y estos son de 80° y 74°,
respectivamente.
a) ¿A qué distancia está el satélite de la estación A?
b) ¿A qué altura sobre el nivel de la tierra está el
satélite?
22. La torre CN en Toronto, Canadá es la torra más
alta del mundo. Una señora en la plataforma de
observación a 1150 pies sobre el nivel del piso
desea determinar la distancia entre dos marcas
sobresaliente sobre el piso. Observa que el
ángulo entre las líneas de división a estas dos
marcas, es de 45°, también observa que el
ángulo entre la vertical y la línea de división de
una de las marcas es de 60° y a la otra es de 50°.
Determine la distancia entre las dos marcas
sobresalientes.
23. Demuestre:
a) xSenxTgxSenxTg 2222 .
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
179
b) SenXTgX
SenXTgX
SenXTgX
SenXTgX
.
.
c) CtgXCscXXTg )2/(
d) YSenXSenYXSenYXSen 22)().(
e) SenXCosX
SenXCosX
TgX
TgX
1
1
f) TgXSecXSenXSenX
.21
1
1
1
g) xSecxTgxTgxSec 2244
h) CtgCos
CscSen
Sen
Cos
1
24. Resuelva:
a) SenXCtgX.CosXTgX.SenX
b) 743 22 XCosXSec
c) 03323 TgXXTgXTg
d) 0273 2 SenXXSen
e) 03613 24 XTgXTg
f) 095 TgXXTg
g) 022 22 XSenXCos
ELVER OVIEDO VERGARA
180
CONCEPTOS FUNDAMENTALES15
La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos
y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los
puntos:
El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una
letra de imprenta mayúscula.
La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con
una letra de imprenta minúscula.
El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una
letra griega.
15
www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
181
RELACIONES FUNDAMENTALES
Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de
pertenencia e inclusión:
Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.
Las rectas están incluidas en los planos.
POSTULADOS
Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos
que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación.
1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.
2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas
rectas.
ELVER OVIEDO VERGARA
182
El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.
3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos
planos.
El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.
4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.
5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no
pertenecen a ella.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
183
6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto
pertenece al mismo y la recta está incluida en él.
7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.
También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan
una recta que está incluida en el plano.
8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no
pertenecen a ella.
ELVER OVIEDO VERGARA
184
DEFINICIÓN
Def: Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada
una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos
semirrectas opuestas se lo llama origen.
Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los
cuales pertenece a cada semirrecta:
Semirrecta de origen O que pasa por el punto A
Semirrecta de origen O que pasa por el punto B
CARACTERÍSTICAS DE LAS SEMIRRECTAS
Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el
origen.
La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.
La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
185
DEFINICIÓN
Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de
origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.
Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.
Se observa que:
Dos puntos pertenecientes a una misma semirrecta determinan un segmento que no
contiene al origen.
Dos puntos pertenecientes a distintas semirrectas determinan un segmento que
contiene al origen.
Se verifican las siguientes propiedades:
Igualdad de segmentos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.
Relación de orden de segmentos: forman un conjunto ordenado.
ELVER OVIEDO VERGARA
186
IGUALDAD DE SEGMENTOS
Carácter reflexivo: todo segmento es igual a sí mismo.
Carácter simétrico: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.
Carácter transitivo: Si un segmento es igual a otro y éste es igual a un tercero, el
primer segmento es igual al tercero.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
187
POLÍGONOS 16
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos
rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de
seis lados.
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς,
"muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y
limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo
comparten un vértice.
POLÍGONO SIMPLE
Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se
intersecan. Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como
isotéticos o rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que
conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular
característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e
Y.
Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el
interior de un polígono serán n(n − 3) / 2.
Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres
dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro
dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos.
16
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono
ELVER OVIEDO VERGARA
188
TIPOS DE POLÍGONOS
EL RAZONAMIENTO EN GEOMETRÍA17
Como se mencionó previamente, el sistema empleado en la geometría consiste de
un conjunto ordenado de proposiciones. Hasta ahora solo hemos examinado los
términos no definidos, así como los axiomas y definiciones anotados en el capítulo
anterior y a partir de esto y usando solo cadena de razonamientos y reglas de
la lógica, podrán probarse otra serie de proposiciones, llamados teoremas, hasta
formar esta importante rama de la matemática.
Existen dos métodos de razonamiento lógico para probar una proposición: El
método inductivo y el método deductivo.
EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Consiste en observar propiedades específicas de un número limitado de casos
particulares y luego concluir que esas propiedades son generales para todos los
casos. En este razonamiento se procede pues de lo particular a lo general.
Desafortunadamente, tal razonamiento no siempre nos conduce a resultados válidos,
pues esta conclusión inductiva, o conjetura, es solo una proposición tentativa de
lo que parece ser cierto en lo general, que queda desacreditado con solo un caso que
no cumpla con tal proposición.
17
http://docentes.uacj.mx/flopez/Cursos/Geometria/Unidades/Unidad%203/3.1%20El%20Razonamiento
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
189
Ejemplo de razonamiento inductivo.
Toma un conjunto finito de números impares y realiza las siguientes operaciones:
(1)² -1 = 0 = 8 (0)
(3)² -1 = 8 = 8 (1)
(5)² -1 = 24 = 8 (3)
(7)² -1 = 48 = 8 (6)
La conjetura que podemos hacer es que “El cuadrado de todo número impar
disminuido en la unidad, es múltiplo de 8”. Si podemos probar que esta conjetura
es cierta para todo impar 2n-1, la podríamos aceptar como verdadera, veamos:
(2n-1)² - 1 = 4n² - 4n = 4n (n-1)
y como (n) y (n-1) son factores consecutivos, entonces necesariamente uno de ellos
es un número par que multiplicado por 4 producirá un múltiplo de 8, con lo cual se
prueba la veracidad de nuestra conjetura.
El Razonamiento Deductivo.
Es un método que consiste en partir de ciertas leyes generales para aplicarlas
a casos particulares. En este proceso de razonamiento, hay un conjunto de hechos
conocidos y de suposiciones a partir de los cuales otros pueden ser deducidos. El
conjunto de hechos conocidos son los axiomas, las definiciones y los teoremas
previamente demostrados (que representan las leyes generales). El conjunto de
suposiciones son los datos de la proposición a demostrar y se llama hipótesis,
los hechos que han de ser deducidos se les denomina conclusión o tésis (que
representan
El razonamiento deductivo consiste en obtener conclusiones verdaderas a partir de
enunciados dados, a través de tres pasos:
Un enunciado general que se refiera a un conjunto completo o clase de cosas.
ELVER OVIEDO VERGARA
190
II. Un enunciado particular acerca de un o algunos miembros del conjunto o
clase de cosas a que se refiere el enunciado general.
III. Una deducción que se produce lógicamente cuando el enunciado general se
aplica al enunciado particular.
Ejemplo 1 :
Todas las aves tienen alas (Enunciado general)
El águila es una ave (Enunciado particular)
El águila tiene alas (Deducción)
A este arreglo de enunciados que nos permite deducir la tercera se le denomina
silogismo y a la técnica que consiste en usar un silogismo para llegar a una
conclusión se le llama razonamiento deductivo.
En un silogismo, al enunciado general se le llama premisa mayor, y al enunciado
particular premisa menor y la deducción es la conclusión.
Ejemplo 2 :
Premisa Mayor: Todos los perros son animales.
Premisa Menor: “Campeón” es un perro.
Conclusión : “Campeón” es un animal.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS18
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos
presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados iguales, aunque no
necesariamente en la misma posición.
18
http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_de_tri%C3%A1ngulos
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
191
CONDICIONES DE CONGRUENCIA
Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos se requiere que sus lados sean
iguales. Por lados iguales se refiere a que los tres lados del triángulo tengan
exactamente la misma medida en valores numéricos. Esta condición implica que los
ángulos también son iguales.
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o
correspondientes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo
son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se
sabe que algunas de sus partes correspondientes son homologas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes
se denominan criterios de congruencia, los cuales son:
Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes
con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces
los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente
congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Criterio LLA: si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de este, y
el ángulo superior del lado más largo del triangulo son congruentes con los del
otro triangulo.
ELVER OVIEDO VERGARA
192
DESIGUALDAD TRIANGULAR
El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud
de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de las longitudes de los otros
dos.
ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la
siguiente versión de la desigualdad triangular:
En todo espacio vectorial normado
Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la
suma de las normas de los dos vectores.
En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el
valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:
Para cualquiera dos números a y b,
cuya demostración es:
Demostración (caso real)
Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:
Sumando ambas inecuaciones:
A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en
la línea de arriba queda:
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
193
PARALELOGRAMO
Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por
cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.
Propiedades
Los paralelogramos tienen las siguientes propiedades:
En todo paralelogramo los ángulos y lados opuestos son iguales.
Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios ( suman 180º )
La suma de los ángulos internos de un paralelogramo es 360°.
Clasificación
Los paralelogramos se clasifican en:
Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos
ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen
o el rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud, y
o el cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud;
Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos
internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:
o el rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud.
o el Romboide que tiene sus lados iguales dos a dos.
Ley del paralelogramo
Existe una ley llamada ley del paralelogramo, definida por la siguiente fórmula
(caso diagonales iguales):
donde A, B, C, y D son los vértices consecutivos del paralelogramo (en ese orden).
ELVER OVIEDO VERGARA
194
TEOREMA DE THALES19
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias
rectas paralelas, los segmentos determinados en
una de las rectas son proporcionales a los
segmentos correspondientes en la otra.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1 - Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 - Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
19
http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_f.html
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
195
3 - Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos igual.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo
igual.
2- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos
proporcionales.
3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un
cateto.
SEMEJANZA DE POLÍGONOS Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos
iguales y los lados homólogos proporcionales.
ELVER OVIEDO VERGARA
196
TRIÁNGULO20
h: Altura b: Base
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos, cumpliendo la
propiedad de que la suma de todos sus ángulos siempre
es 180 grados.
Área: (Base x Altura) / 2
Perímetro: lado + lado + lado
TRAPECIO
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de
90º.
Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2
Perímetro: Suma de todos sus lados
20
http://www.telpin.com.ar/InternetEducativa/Proyectos/2007/GEOMETRIA/areasyperimetros.htm
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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ROMBO
El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro
ángulos son distintos de 90°.
Área del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 2
Perímetro: 4 x lado
21
21
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Elemental/Enelplano/Figgeopla
ELVER OVIEDO VERGARA
198
CUBO22
El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales,
también se le conoce con el nombre de hexaedro,
22
http://www.bbo.arrakis.es/geom/
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
199
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cubo = arista elevada al cubo
PRISMAS
Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales,
llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del prisma = área de la base . altura
A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal.
Observa el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular
el área lateral y total.
ELVER OVIEDO VERGARA
200
PIRÁMIDES
Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son
triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3
A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular.
Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro
triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede
ser la base.
Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las
caras laterales son triángulos isósceles.
Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado,
teniendo cuatro caras laterales.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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CONO
El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de
sus catetos.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3
CILINDRO
El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus
lados.
ELVER OVIEDO VERGARA
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Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base.altura
ESFERA
La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su
diámetro.
Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:
Área de la esfera = 4 x3'14xradio al cuadrado
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la esfera = 4/3 x3'14xradio al cubo
POLIEDROS REGULARES Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son
polígonos regulares iguales.
Sólo hay cinco poliedros regulares.
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CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS REGULARES 23
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. Tiene cuatro vértices y
cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados. Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular.
23
http://www.vitutor.com/geo/esp/f_2.html
ELVER OVIEDO VERGARA
204
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides
cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS
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