matematika i - unizg.hr...matematika i inverz matrice i determinanta katedra za matematiku, fsb...

Matematika IInverz matrice i determinanta

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 15

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pojam invertiranja-jedincna matrica kao neutralni elementOperacija nad retcima-algoritam trazenja inverza matriceDeterminante-svojstva i efektivno racunanjeRegularnost matrice

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 15

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Inverz i determininanta matriceInverzna matricaAlgoritam za trazenje inverzaDeterminanta matriceSvojstva determinante

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Inverzna matrica

INVERZNA MATRICA KVADRATNE MATRICE A JE MATRICA A−1

TAKVA DA JE:AA−1 = A−1A = I

Inverzna matrica ne mora postojati, a ako postoji jedinstvena je.PRIMJENA:

Ax = b

⇒ A−1Ax = A−1b

⇒ x = A−1b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Zadatak 1.

Je li matrica A =

[1/3 1/3−2/3 1/3

]inverzna matrici

[1 −12 1

]?

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 15

Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Zadatak 2.

Zadana je matrica A =

[1 99 1

]. Je li neka od sljedecih matrica njezin

inverz?

B =

[−1 99 −1

],C = 1

80

[−1 99 −1

],D = 1

81

[−1 99 −1

]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Nadite inverz matrice

A =

3 −1 1−15 6 −5

5 −2 2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0

−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0

−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0

0 1 0 5 1 00 −1

313 −5

3 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0

0 1 0 5 1 00 −1

313 −5

3 0 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 3 0 1 6 1 0

0 1 0 5 1 00 0 1

3 0 13 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje.

3 0 1 6 1 00 1 0 5 1 0

0 013

0 13 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1

0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1

0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3

Inverz matrice A je

A−1 =

2 0 −15 1 00 1 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Zadatak 3.

Nadi inverzne matrice A−1, B−1 ako je

A =

[1 23 4

], B =

1 −1 02 −2 −1−2 3 1

Provjerite dobivene rezultate!

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Zadatak 4.

Nadite A−1, B−1, C−1 ako je

A =

[1 −10 −1

], B =

1 −2 70 1 −20 0 1

, C =

2 0 00 3 00 0 −5

Provjerite dobivene rezultate!

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 15

Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Zadatak 5.

Neka je A =

1 2 11 1 02 0 −1

, B =

−1 3 20 2 −13 1 0

.Ako je A−1 =

1 −2 1−1 3 −12 −4 1

nadite matricu X tako da vrijedi

AX = B. Takoder, nadite matricu Y tako da je YA = B.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:2×2 matrice

det(

a bc d

)=

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣= a ·d −b ·c

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=a(−1)1+1∣∣∣∣ e f

h i

∣∣∣∣+b(−1)1+2∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+c(−1)1+3∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= a∣∣∣∣ e f

h i

∣∣∣∣−b∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+c∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=b(−1)1+2∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+e(−1)2+2∣∣∣∣ a c

g i

∣∣∣∣+h(−1)3+2∣∣∣∣ a c

d f

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= −b∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+e∣∣∣∣ a c

g i

∣∣∣∣−h∣∣∣∣ a c

d f

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i(−1)3+1

∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣+ j(−1)3+2

∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k(−1)3+3

∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣+ l(−1)3+4

∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i

∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣− j

∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k

∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣− l

∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Primjer.Izracunajte determinantu:∣∣∣∣∣∣∣∣

4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4

∣∣∣∣∣∣3 0 0−6 −2 04 1 5

∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3∣∣∣∣ −2 0

1 5

∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.

Sada cemo navesti svojstva determinate koja nam olaksavaju njezinoracunanje, naprimjer svodenjem na determinantu trokutaste matrice.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Svojstva determinante

1 Ako za kvadratnu matricu A vrijedi det(A) 6= 0 onda A ima inverznumatricu. Ako je det(A) = 0 onda A nema inverznu matricu

2 Mnozenjem retka (stupca) brojem i dodavanjem nekom drugomretku (stupcu) ne mjenja se vrijednost determinante

3 Zamjenom dva retka (stupca) mijenja se predznak determinante4 Determinantu mnozimo brojem c tako da samo jedan njezin redak

(ili stupac) pomnozimo brojem c5 det(AB) = detAdetB, posebno det(Ak ) = (detA)k , k ∈ N6 Determinanta koja ima dva jednaka retka ili stupca jednaka je nuli

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Primjer.Izracunajte determinantu: ∣∣∣∣∣∣

1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Rjesenje.

∣∣∣∣∣∣1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣= 125

∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−9 3 12

∣∣∣∣∣∣== 125 ·3·

∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−3 1 4

∣∣∣∣∣∣= 125 ·3 ·4 ·

∣∣∣∣∣∣1 1 −20 −2 5−3 1 1

∣∣∣∣∣∣= 1500·

(1 ·∣∣∣∣ −2 5

1 1

∣∣∣∣−3 ·∣∣∣∣ 1 −2−2 5

∣∣∣∣)=1500 · (−7−3 ·1) =−15000

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 15

Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Zadatak 6.Izracunaj determinatu ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 5 −1 13 −2 2 2−1 3 2 34 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 15