matematika lembar kerja siswa program liniereprints.uny.ac.id/44675/9/guru worksheet.pdf ·...
Post on 03-Feb-2018
231 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PROGRAM LINIER
Pendekatan Saintik
MATEMATIKA
LEMBAR KERJA SISWA
X
Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)
IBROHIM AJI KUSUMA
Nama
Kelas
No. AbsenBuku Guru
Matematika Lembar Kerja Siswa Program Linier
Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP – Standar Isi 2006)
Berdasarkan Pendekatan Saintifik
untuk Siswa SMK Kelas X
Penulis : Ibrohim Aji Kusuma
Cover Designer : Ibrohim Aji Kusuma
Pembimbing : Drs. Sahid, M.Sc.
Penilai : Nur Insani, M.Sc.
Nur Hadi Waryanto, S.Si., M.Eng.
Anis Widiyanti, S.Si.
Ukuran buku: 21 x 29,7 cm (A4)
LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis
Dengan menggunakan Microsoft Office Word 2013
i
Tujuan Pembelajaran
• Siswa mampu membuat grafik himpunanpenyelesaian sistem pertidaksamaanlinier.
• Siswa mampu menentukan modelmatematika dari soal cerita (kalimatverbal).
• Siswa mampu menentukan nilai optimumdari permasalahan program liniermenggunakan titik pojok.
• Siswa mampu menentukan nilai optimumdari permasalahan program liniermenggunakan garis selidik.
• Menyelesaikan masalah program linier.
Standar Kompetensi
• Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.
• Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).
• Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier.
• Menerapkan garis selidik.
Kompetensi Dasar
ii
Kata Pengantar
Lembar Kegiatan Siswa (LKS) berbasis Pendekatan Saintifik pada materi Program Linier
ini dapat dijadikan sebagai acuan dalam pembelajaran bagi siswa Sekolah Menengah kejuruan
(SMK) dan Madrasah Aliyah (MA) kelas X. LKS ini dikemas untuk bisa digunakan sebagai
lembar kegiatan agar siswa dapat menemukan konsep-konsep pada materi Program Linier.
Agar mudah dipelajari, LKS ini disajikan secara sistematis dengan pendekatan saintifik
dan tampilan yang menarik. LKS ini menitikberatkan pada penemuan konsep-konsep dengan
kemampuan manipulasi aljabar dan penerapannya dalam persoalan-persoalan nyata di
kehidupan sehari-hari. Selain itu, LKS ini memfokuskan pada aktivitas siswa dalam
mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Masalah diberikan kepada siswa bertujuan untuk
mengetahui sejauh mana pemahaman siswa. Aktivitas kelas bertujuan agar siswa denga
aktivitas yang dilakukannya dapat memahami konsep dan mengkonstruksi sendiri
pengetahuannya. Latihan bertujuan agar siswa dapat berlatih soal-soal dari mengenai konsep
yang sedang dipelajari. Rangkuman berisi ringkasan dari materi yang sedang dipelajari dan
masih ada berbagi fitur yang terdapat pada LKS ini.
Penyusun meyadari bahwa LKS ini masih memiiki kekurangan. Namun, peyusun
berharap LKS ini dapat bermanfaat bagi siswa SMK yang menggunakannya. Kritik dan saran
sangat diharapkan guna mengembangkan LKS ini ke arah yang lebih baik lagi.
Penyusun,
Ibrohim Aji Kusuma
iii
FITUR LKS
D. NILAI OPTIMUM
Pembuka Pertemuan
Pembuka pertemuan berisi
topik pembelajaran,
kompetensi dasar, indikator,
tujuan pembelajaran,
petunjuk pembelajaran dan
identitas pembelajaran.
Judul Sub-Bab
Judul sub-bab menerangkan
tentang sub-bab yang akan
dipelajari dalam materi
program linier.
Masalah
Masalah digunakan sebagai
sarana untuk memfasilitasi
peserta didik dalam proses
menemukan konsep.
iv
Ingat Kembali
Ingat kembali berfungsi
sebagai apersepsi yang
membantu peserta didik
untuk mengingat materi yang
pernah dipelajari.
Catatan
Catatan bertujuan untuk
membantu peserta didik
untuk memahami materi yang
dipelajari.
Aktivitas Kelas
Aktivitas kelas menuntun peserta
didik agar dapat memahami
penyelesaian masalah yang
disajikan dan mengkonstruksi
sendiri pengetahuannya melalui
langkah-langkah yang runtut dan
rinci.
Latihan Soal
Latihan soal bertujuan untuk
memberikan penguatan tentang
materi yang telah dipelajari serta
menambah pemahaman peserta
didik tentang materi tersebut.
v
Ringkasan
Ringkasan berisi kesimpulan
umum yang didapat setelah
menyelesaikan semua masalah
yang disajikan pada LKS
Uji Kompetensi
Uji kompetensi merupakan bagian
yang berisi soal terkait kompetensi
pengetahuan materi yang telah
dipelajari, hal ini berguna sebagai
evaluasi pembelajaran harian.
vi
HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i
KATA PENGANTAR ..................................................................................................... ii
FITUR LKS ..................................................................................................................iii
DAFTAR ISI .................................................................................................................. vi
PETA KONSEP ............................................................................................................ vii
LKS 1 A PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................................ 1
LKS 2 B SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................. 13
LKS 3 C MODEL MATEMATIKA ................................................................................ 23
LKS 4 D NILAI OPTIMUM ......................................................................................... 53
LKS 5 E GARIS SELIDIK ............................................................................................. 83
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 94
DAFTAR ISI
vii
`
Peta Konsep
Dalam menjalankan aktivitas produksi dalam suatuperusahaan pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja,sarana produksi dan sebagainya. Seorang pengusaha harusmengkombinasikan semua faktor-faktor tersebut untukmenghasilkan suatu produk yang berkualitas namun palingmenguntungkan bagi perusahaannya. Pemahaman yangbaik tentang konsep program linier sangat membantunyauntuk menyelesaikan permasalahan-permasalahantersebut.
Model Matematika
Nilai Optimum:Titik Pojok
Nilai Optimum:Garis Selidik
MOTIVASI
Program Linier
Prasyarat:
Sistem Pertidaksamaan Linier
viii
Program Linier | Matematika SMK
1
Pertidaksamaan Linier
Kompetensi Dasar
•Membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.
Indikator
•Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.
Tujuan Pembelajaran
•Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier.
Petunjuk Pembelajaran
•Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.
•Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.
•Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.
A
Program Linier | Matematika SMK
2
Pada semester sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier baik yang
menggunakan satu variabel maupun dua variabel. Kali ini akan kita bahas kembali mengenai
pertidaksamaan linier secara lebih detail dengan ditambah grafik daerah penyelesaiannya.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan
suatu hal. Contohnya, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus, lowogan
pekerjaan yang mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas kecepatan maksimal
kendaraan pada jalan raya dan sebagainya. Perhatikan masalah berikut!
Alternatif Penyelesaian:
Pertama, kamu dapat memisalkan variabel-variabelnya sebagai berikut:
Harga motor Andi = A Harga motor Doni = D
Harga motor Budi = B Harga motor Roni = R
Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut.
a. Motor Andi lebih mahal dibanding motor Doni A > D atau D < A
b. Motor Andi lebih murah daripada motor Roni A < R atau R > A
c. Motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni B > D atau D < B
d. Motor Budi lebih murah daripada motor Andi B < A atau A > B
Dengan mengamati pola di atas, yaitu A > D, R > A, B > D, dan A > B atau D < A, A < R, D < B
dan B < A
Urutan harga motor mereka dari termahal ke termurah adalah R > A > B > D.
Jadi, kesimpulannya adalah motor Roni lebih mahal dibanding motor Andi, motor Andi lebih
mahal daripada motor Budi dan motor Budi lebih mahal dibanding motor Doni.
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER
Harga motor Andi lebih mahal daripada harga motor Doni, tetapi lebih murah dibanding
harga motor Roni. Harga motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni. Harga
motor Budi lebih murah daripada harga motor Andi.
Anton berencana mengurutkan harga motor Andi, Budi, Doni, dan Roni berdasarkan
harga motor yang lebih mahal.
Dapatkah kamu membantu Anton dalam mengatasi permasalahan tersebut?
Masalah 1.1
Diskusikan masalah urutan berikut menggunakan caramu sendiri!
Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di
sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung
banyak ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih
daripada banyak ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap
Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan
Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka
berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap?
Diskusi 1
Program Linier | Matematika SMK
3
Kamu pasti sudah sering menjumpai soal di atas atau sejenisnya. Itulah yang disebut dengan
pertidaksamaan linier. Kerjakanlah aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2 supaya kamu
lebih memahami pertidaksamaan linier!
Aktivitas Kelas 1.1. Pertidaksamaan linier satu variabel.
Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.
Perhatikan gambar berikut ini!
Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-
pertanyaan mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Jika panjang kawat yang digunakan untuk membuat kerangka balok tidak lebih dari 156
cm, tentukan nilai 𝑦 dan gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier
tersebut menggunakan garis bilangan!
Jawab:
Aktivitas Kelas 1.1
Tulislah panjang, lebar dan tinggi dari
kerangka balok tersebut!
Panjang = 𝑦 + 8 cm
Lebar = 𝑦 cm
Tinggi = 𝑦 − 5 cm
Berapa nilai 𝑦?
4𝑝 + 4𝑙 + 4𝑡 ≤ 156
4(𝑦 + 8) + 4(𝑦) + 4(𝑦 − 5) ≤ 156
4𝑦 + 32 + 4𝑦 + 4𝑦 − 20 ≤ 156
12𝑦 + 12 ≤ 156
12𝑦 ≤ 144
𝑦 ≤ 12
Program Linier | Matematika SMK
4
Ingat Kembali
Pertidaksamaan Linier adalah kalimat terbuka yang
variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda
hubung " <, >, ≤, ≥ ".
Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari balok tersebut?
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Karena 𝑦 ≤ 12 maka,
𝑝 ≤ 12 + 8 → 𝑝 ≤ 20
𝑙 ≤ 12
𝑡 ≤ 12 − 5 → 𝑡 ≤ 7
𝑦 ≤ 12,
panjang maksimum adalah 20 cm
lebar maksimum adalah 12 cm
tinggi maksimum adalah 7 cm
Catatan
Pertidaksamaan linier yang mengandungsatu variabel yang tidak diketahui disebutdengan pertidaksamaan linier satuvariabel. Sedangkan pertidaksamaan linierdua variabel adalah pertidaksamaan linieryang mengandung dua variabel yang tidakdiketahui.
Program Linier | Matematika SMK
5
Aktivitas Kelas 1.2. Pertidaksamaan linier satu variabel.
Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.
Perhatikan gambar berikut ini!
Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-
pertanyaan mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Jika keliling persegi panjang tidak lebih dari 50 cm, tentukan nilai 𝑥 dan gambarlah
himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis
bilangan!
Jawab:
Aktivitas Kelas 1.2
Tulislah panjang dan lebar persegi panjang
tersebut!
Panjang = 𝑥 + 8 cm
Lebar = 𝑥 − 2 cm
Berapa nilai 𝑥?
2 (𝑝 + 𝑙) ≤ 50
2𝑝 + 2𝑙 ≤ 50
2(𝑥 + 7) + 2(𝑥 − 2) ≤ 50
2𝑥 + 14 + 2𝑥 − 4 ≤ 50
4𝑥 + 10 ≤ 50
4𝑥 ≤ 40
𝑥 ≤ 10
Program Linier | Matematika SMK
6
Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2. Apa yang kamu ketahui
mengenai pertidaksamaan linier? Ada berapa variabel dalam aktivitas-aktivitas tersebut?
Nah, karena hanya ada satu variabel, maka disebut dengan pertidaksamaan linier satu
variabel. Mudah kan? Bagaimana jika pertidaksamaan liner memiliki dua variabel? Ya, kalian
tahu itu disebut dengan pertidaksamaan linier dua variabel.
Mari kita lanjutkan tentang pertidaksamaan linier dua variabel.
Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari persegi panjang tersebut?
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Karena 𝑥 ≤ 10 maka,
𝑝 ≤ 10 + 8 → 𝑝 ≤ 17
𝑙 ≤ 10 − 2 → 𝑙 ≤ 8
𝑥 ≤ 10,
panjang maksimum adalah 17 cm
lebar maksimum adalah 8 cm
Program Linier | Matematika SMK
7
Alternatif Penyelesaian:
Dengan memisalkan harga satu pensil = x rupiah dan harga satu buku = y rupiah, sehingga jika
Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku dan mendapatkan uang kembalian, maka permasalahan
di atas dapat dimodelkan menjadi 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000.
Kamu dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variable tersebut
menggunakan metode grafik, caranya adalah sebagai berikut.
1. Gambarlah terlebih dahulu garis 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menggunakan langkah-langkah
sebagai berikut.
a. Ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menjadi 2𝑥 + 5𝑦 = 13.000.
b. Carilah titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat kartesius,
kamu akan mendapatkan titik (6.500,0) dan (0,2.600). Hubungkan kedua titik
tersebut seperti pada gambar di bawah ini.
𝑥 0 2.600
𝑦 6.500 0
Sehingga, titik potongnya adalah
(0, 6.500) dan (2.600, 0)
Sandi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang dimiliknya sebesar Rp
13.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang
sehingga Sandi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup ia beli
dengan uang yang dimilikinya. Berdasarkan daftar harga, jika Sandi membeli 2 pensil dan
5 buku tulis maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan
harga belanjaan Sandi tersebut?
Masalah 1.2
6500
2600
Ingat Kembali
Titik potong dengan sumbu x, syaratnya adalah 𝑦 = 0.
Titik potong dengan sumbu 𝑦, syaratnya adalah 𝑥 = 0.
Program Linier | Matematika SMK
8
2. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Gunakan beberapa titik uji
untuk menentukannya. Daerah yang diarsir itulah daerah penyelesaiannya
Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua varibel tersebut seperti
terdapat pada gambar dibawah ini.
Kerjakanlah aktivitas kelas 1.3 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier dua
variabel!
Catatan
Akan lebih mudah jika kamu menggunakan 0,0 sebagai titik uji. Cobalah!
6500
2600
Subtitusikan titik (0,0) pada
pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000.
2(0) + 5(0) < 13.000
0 < 13.000 (Benar)
Program Linier | Matematika SMK
9
Aktivitas Kelas 1.3. Pertidaksamaan linier dua variabel.
Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-
pertanyaan mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Buatlah bentuk pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalahan tersebut!
Aktivitas Kelas 1.3
Mencoba
Menanya
Mengamati
Gambar 1.5
Di sebuah toko, Ani membeli permen dan
lampu seperti gambar disamping. Ani
membayar dengan menyerahkan uang Rp
6.000,00 dan masih mendapatkan
kembalian.
Jumlah permen yang dibeli Ani adalah 6
Jumlah lampu yang dibeli Ani adalah 2
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa harga masing-masing permen dan lampu?
Misal x = harga permen dan y = harga lampu
Model matematikanya menjadi: 6𝑥 + 2𝑦 < 6.000
Gambarlah daerah penyelesaiannya!
6𝑥 + 2𝑦 = 6.000
X 0 1.000
Y 3.000 0
Rp? Rp?
Program Linier | Matematika SMK
10
Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!
1. 4 − 2𝑥 > 5𝑥 − 3.
2. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12.
Jika harga satu permen adalah Rp500,00. Tentukan harga maksimum dari lampu
tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas mencoba yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-
katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan linier!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Mengasosiasi
6𝑥 + 2𝑦 < 6.000
6 (500) + 2𝑦 < 6.000
3000 + 2𝑦 < 6.000
2𝑦 < 3.000
𝑦 < 1.500 Jadi, harga maksimum lampu adalah Rp 1.500,00
Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel
menggunakan metode grafik.
a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua
variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi
sama dengan “=”.
b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan
linear dua variabel.
c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua
variabel tersebut.
d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan linier dua variabel.
e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel tersebut.
Latihan 1
Program Linier | Matematika SMK
11
1. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat
dilakukan dengan cara menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.
2. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, dapat
dilakukan menggunakan metode grafik.
3. Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua
variabel menggunakan metode grafik.
a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua
variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi
sama dengan “=”.
b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan
linear dua variabel.
c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua
variabel tersebut.
d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan linier dua variabel.
e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel
tersebut.
Ringkasan
Program Linier | Matematika SMK
12
Program Linier | Matematika SMK
13
Sistem Pertidaksamaan Linier
B
Kompetensi Dasar
• Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.
Indikator
• Sistem pertidaksamaan linier dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya.
Tujuan Pembelajaran
• Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel.
Petunjuk Pembelajaran
• Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.
• Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.
• Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.
Program Linier | Matematika SMK
14
Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier satu variable
dan pertidaksamaan linier dua variabel. Kali ini kita akan membahas sistem pertidaksamaan
linier dengan dua variabel serta menggambar daerah penyelesaiannya di bidang koordinat
kartesius. Perlu diingat, sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah gabungan dua atau
lebih pertidaksamaan linier dua variabel. Sebelum kamu mempelajari materi program linier,
kamu perlu untuk memahami sistem pertidaksamaan linier dua variable terlebih dahulu.
Alternatif penyelesaian:
Pertama, misalkan 𝑥 = banyaknya motor matik dan 𝑦 = banyaknya motor biasa.
Dari tabel di atas kamu dapat mengubah ongkos perbaikan kendaraan menjadi sistem
pertidaksamaan linier sebagai berikut.
100.000𝑥 + 50.000𝑦 ≤ 150.000 dan 50.000𝑥 + 100.000𝑦 ≤ 200.000, atau dapat
disederhanakan menjadi 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4.
Kedua, ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 menjadi 2𝑥 + 𝑦 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 menjadi
𝑥 + 2𝑦 = 4.
Selanjutnya, carilah titik potong kedua pertidaksamaan tersebut terhadap sumbu x dan
sumbu y.
2𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 0 3
2 𝑥 0 4
𝑦 3 0 𝑦 2 0
(3
2, 0) dan (0,3) dari 2𝑥 + 𝑦 = 3 serta titik (4,0) dan (0,2) dari 𝑥 + 2𝑦 = 4.
B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
Perhatikan tabel ongkos perbaikan kendaraan berikut ini!
Jenis Motor Ongkos maksimal (Rp)
Bengkel Motor Matic (Rp) Motor Biasa (Rp)
A 100.000 50.000 150.000
B 50.000 100.000 200.000
Tentukanlah grafik daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Masalah 2.1
Program Linier | Matematika SMK
15
Ketiga, gambarlah grafik dari sistem pertidaksamaan linier menggunakan titik potong yang
kamu dapatkan.
Keempat, dengan menggunakan beberapa titik uji, tentukanlah daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier dua variabel sebagai berikut.
Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variable ditunjukkan seperti
pada gambar di atas.
Kerjakanlah aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas kelas 2.2 supaya kamu lebih memahami
bagaimana menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.
Program Linier | Matematika SMK
16
Aktivitas Kelas 2.1. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel.
Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah
penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin
membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus
Aberry dan jus Apstra. Komposisi pembuatan jus tersebut disajikan dalam bentuk tabel
sebagai berikut.
Jenis Jus Persediaan (Kg)
Buah Jus Aberry Jus Apstra
Apel (Kg) 1 2 12
Strawberry (Kg) 2 1 12
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah
1 : 2.
Persediaan Apel sebanyak 12 kg.
Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra
adalah
2 : 1.
Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 2.1
Menanya
Mengamati
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
17
Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra.
Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi:
𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
2𝑥 + 𝑦 ≤ 12
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
𝑥 + 2𝑦 = 12
X 0 12
Y 6 0
2𝑥 + 𝑦 = 12
X 0 6
Y 12 0
Program Linier | Matematika SMK
18
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear dua variabel!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
linear dua variabel.
a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan
mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.
b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari
sistem persamaan linear.
c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan
tersebut.
d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier.
e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel
tersebut.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
19
Aktivitas Kelas 2.2. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel.
Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah
penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3
unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin
B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan
17 unit vitamin C.
Jenis Tablet Kebutuhan (unit)
Vitamin I (unit) II (unit)
B 3 2 18
C 2 3 17
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2.
Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit.
Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3.
Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 2.2
Menanya
Mengamati
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
20
Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan?
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II.
Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi:
3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
3𝑥 + 2𝑦 = 18
X 0 6
Y 9 0
2𝑥 + 3𝑦 = 17
X 0 17
2
Y 17
3
0
Program Linier | Matematika SMK
21
Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas 2.2. Apa yang kamu ketahui
tentang sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Bagaimana langkah-langkah menentukan
daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel?
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut dengan baik dan
benar.
1. 4𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 2. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 + 5𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear dua variabel!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
linear dua variabel.
a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan
mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.
b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari
sistem persamaan linear.
c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan
tersebut.
d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier.
e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel
tersebut.
Latihan 2
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
22
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut!
a. 𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. c. 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. d. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. e. 6𝑥 + 5𝑦 ≥ 30; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Sistem pertidaksamaan linear adalah himpunan pertidaksamaan linear yang
saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-bilangan real.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem
pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel dengan koefisien bilangan
real.
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear dua variabel.
a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan
mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.
b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari
sistem persamaan linear.
c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan
tersebut.
d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier.
e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel
tersebut.
Ringkasan
Program Linier | Matematika SMK
23
Model Matematika
Kompetensi Dasar
•Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).
Indikator
•Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika.
•Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Tujuan Pembelajaran
•Siswa mampu membuat model matematika dari soal cerita (kalimat verbal) dan menentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Petunjuk Pembelajaran
•Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.
•Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.
•Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.
C
Program Linier | Matematika SMK
24
Setelah kalian memahami cara menentukan daerah penyeleseian dari sistem pertidaksamaan
linier, sekarang kita akan memasuki materi utama yaitu program linier.
Sering kita jumpai banyak sekali permasalahan sehari-hari dalam bidang industri,
perdagangan, pertanian dan sejenisnya yang memiliki hubungan yang sangat erat dengan
sistem pertidaksamaan linier. Kita dapat menggunakan penerapan dari sistem
pertidaksamaan linier untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Penerapan dari
penyelesaian sistem pertidaksamaan linier inilah yang disebut dengan program linier.
Sebagai contoh permasalahan program linier adalah, dalam produksi, suatu perusahan
dengan jumlah bahan yang terbatas dapat menentukan variasi produk apa saja yang akan
diproduksi untuk menghasilkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Batasan-batasan yang
terdapat dalam permasalahan program linier diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam bentuk
bahasa matematika yang disebut model matematika. Dengan model matematika, kita dapat
menentukan penyelesaian dengan mencari nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier tersebut.
Oleh karena itu, pada LKS ini kamu akan belajar membuat model matematika dari
permasalahan program linier.
Agar lebih memahami cara membuat model matematika, perhatikan masalah 3.1 kemudian
kerjakanlah aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8!
Definisi
Program linier adalah suatu program untuk menyeleseikan permasalahan yangbatasan-batasannya berbentuk pertidaksamaan linier.
C. MODEL MATEMATIKA
Suatu mesin produksi A menghasilkan 100 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan
150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih
dari 2.600 unit barang. Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih
dari 20 jam. Misalkan x = jam kerja mesin A dan y = jam kerja mesin B. Buatlah model
matematika dari permasalahan tersebut!
Masalah 3.1
Program Linier | Matematika SMK
25
Alternatif penyelesaian:
Persoalan di atas dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut.
Jenis Mesin Jam kerja (jam) Produksi (unit)
Mesin A x 100x
Mesin B y 150y
≤ 20 ≤ 2.600
Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, kamu harus merubah data tersebut
menjadi bentuk pertidaksamaan, sebagaimana berikut.
Kapasitas produksi barang tidak lebih dari 2.600 unit sementara Mesin A dan mesin B
masing-masing dapat memproduksi barang sebesar 100 unit dan 150 unit, maka dapat
dinyatakan menjadi 100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600. … . (1)
Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam, maka
dapat dinyatakan menjadi 𝑥 + 𝑦 ≤ 20. … . (2)
x dan y menyatakan banyaknya mesin, sehingga nilainya tidak mungkin negatif, maka
dapat dinyatakan menjadi 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. … . (3)
Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di
atas adalah:
100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600; 𝑥 + 𝑦 ≤ 20; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Program Linier | Matematika SMK
26
Aktivitas Kelas 3.1. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seorang pedagang sepatu berencana membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu
wanita. Tiap sepatu terdiri atas 2 merk, merk A dan merk B. Harga beli sepatu ditampilkan
pada tabel berikut. Ia akan membelanjakan uangnya paling banyak Rp2.000.000,00 untuk
sepatu merk A dan Rp1.800.000,00 untuk sepatu merk B.
Harga (Rp) Modal (Rp)
Merk Sepatu Pria Sepatu Wanita
A 200.000 160.000 2.000.000
B 150.000 200.000 1.800.000
Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk A adalah 200.000 :
160.000
Modal untuk membeli sepatu merk A paling banyak adalah 2.000.000
Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk B adalah 150.000 :
200.000
Modal untuk membeli sepatu merk B paling banyak adalah 1.800.000
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.1
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
27
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misal x = Harga sepatu pria dan y = Harga sepatu wanita
Model matematikanya adalah:
200.000x + 160.000y ≤ 2.000.000
150.000x + 200.000y ≤ 1.800.000
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
0.
200.000x + 160.000y = 2.000.000
X 0 10
Y 12,5 0
150.000x + 200.000y = 1.800.000
X 0 12
Y 9 0
Program Linier | Matematika SMK
28
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
29
Aktivitas Kelas 3.2. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis mesin diesel, mesin A dan mesin B. Dalam
membuat mesin A dibutuhkan 1 kg besi super dan 2 kg besi biasa. Sedangkan untuk
membuat mesin B dibutuhkan 2 kg besi super dan 1 kg besi biasa seperti yang tertera
pada tabel berikut. Persediaan masing-masing besi super dan besi biasa adalah 12 Kg
dan 8 Kg.
Jenis Besi (Kg) Jenis Mesin Persediaan
(kg) A B
Super 1 2 12
Biasa 2 1 8 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan besi super yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah
1 : 2.
Persediaan besi super sebesar 12 kg
Perbandingan besi biasa yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah
2 : 1.
Persediaan besi biasa sebesar 8 kg
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.2
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
30
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misal x = Mesin A dan y = Mesin B
Model matematikanya adalah:
x + 2y ≤ 12
2x + y ≤ 8
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
0.
x + 2y = 12
X 0 12
Y 6 0
2x + y = 8
X 0 4
Y 8 0
Program Linier | Matematika SMK
31
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
32
Aktivitas Kelas 3.3. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Sekolah akan menerima kiriman buku dari Pemkot Semarang sebanyak 900 buku. Buku
yang nantinya diterima memiliki ukuran yang sama. Buku-buku tersebut rencananya akan
ditaruh di rak buku besar dan rak buku kecil. Satu rak buku besar mampu menampung
buku sebanyak 300 buku, sedangkan rak buku kecil mampu menampung buku sebanyak
100 buku. Perpustakaan tidak akan memuat lebih dari 5 rak buku besar dan kecil karena
alasan kenyamanan pengunjung perpustakaan.
Jenis Rak
Kapasitas Rak Besar Rak Kecil
Buku (buah) 300 100 900
Rak (buah) x y 5
Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300 : 100.
Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil.
Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y.
Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.3
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
33
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil
Model matematikanya adalah:
300x + 100y ≤ 900
x + y ≤ 5
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
300x + 100y = 900
X 0 3
Y 9 0
x + y = 5
X 0 5
Y 5 0
Program Linier | Matematika SMK
34
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
35
Aktivitas Kelas 3.4. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan
campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru
dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan
2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat
merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt.
Bahan cat (kg)
Jenis Campuran Persediaan (kg) A B
Merah 1 2 8
Biru 2 2 10
Hijau 3 2 12
Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B
adalah
1 : 2.
Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah
2 : 2.
Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah
3 : 2.
Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.4
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
36
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misal x = Campuran A dan y = Campuran B
Model matematikanya adalah:
x + 2y ≤ 8 3x + 2y ≤ 12
2x + 2y ≤ 10
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
x + 2y = 8
X 0 8
Y 4 0
3x + 2y = 12
X 0 4
Y 6 0
2x + 2y = 10
X 0 5
Y 5 0
Program Linier | Matematika SMK
37
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
38
Aktivitas Kelas 3.5. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3
unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin
B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan
17 unit vitamin C.
Jenis Tablet Kebutuhan (unit)
Vitamin I (unit) II (unit)
B 3 2 18
C 2 3 17
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2.
Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit.
Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3.
Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.5
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
39
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II.
Model matematikanya adalah:
3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
3𝑥 + 2𝑦 = 18
X 0 6
Y 9 0
2𝑥 + 3𝑦 = 17
X 0 17
2
Y 17
3
0
Program Linier | Matematika SMK
40
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
41
Aktivitas Kelas 3.6. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt dengan
jumlah yang diangkut minimum 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan colt
8 karung. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut.
Jenis
kendaraan
Jumlah kendaraan
(unit)
Kapasitas
muatan (karung)
Truk x 14x
Colt y 8y
≥ 25 ≥ 224
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan permisalan jumlah Truk dan Colt adalah x : y.
Jumlah minimal kendaraan yang dibutuhkan 25 unit.
Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 14x : 8y.
Jumlah minimal barang yang perlu diangkut 224 karung.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.6
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
42
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = jumlah truk dan y = jumlah colt.
Model matematikanya adalah:
𝑥 + 𝑦 ≥ 25
14𝑥 + 8𝑦 ≥ 224
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
𝑥 + 𝑦 = 25
X 0 25
Y 25 0
14𝑥 + 8𝑦 = 224
X 0 16
Y 28 0
Program Linier | Matematika SMK
43
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
44
Aktivitas Kelas 3.7. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Seorang peternak mengahadapi suatu masalah sebagai berikut.
Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan
30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan N dan M
diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan N mengandung unsur nutrisi jenis
A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan
M mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan.
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.
Nutrisi Jenis Makanan Kebutuhan
(satuan) N (satuan) M (satuan)
A 3 1 27
B 1 1 21
C 1 2 30
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan nutrisi A pada makanan N dan M adalah 3 : 1.
Kandungan vitamin A yang dibutuhkan paling sedikit 27 satuan.
Perbandingan nutrisi B pada makanan N dan M adalah 1 : 1.
Kandungan vitamin B yang dibutuhkan paling sedikit 21 satuan.
Perbandingan nutrisi C pada makanan N dan M adalah 1 : 2.
Kandungan vitamin C yang dibutuhkan paling sedikit 30 satuan.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.7
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
45
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = makanan N dan y = makanan M
Model matematikanya adalah:
3𝑥 + 𝑦 ≥ 27
𝑥 + 𝑦 ≥ 21
𝑥 + 2𝑦 ≥ 30 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
3𝑥 + 𝑦 = 27
X 0 9
Y 27 0
𝑥 + 𝑦 = 21
X 0 21
Y 21 0
𝑥 + 2𝑦 = 30
X 0 30
Y 15 0
Program Linier | Matematika SMK
46
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
47
Aktivitas Kelas 3.8. Model Matematika.
Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model
matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya
membutuhkan paling sedikit 12 kg unsur A, 1 kg unsur B dan 40 gram unsur C. Bila di
pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 0,6 kg unsur A, 0,02
kg unsur B, dan 0,001 kg unsur C. Sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya
mengandung 0,2 kg unsur A, 0,05 unsur B, dan 0,005 kg unsur C. Buatlah model
matematika dari permasalahan tersebut.
Unsur Jenis Makanan Kebutuhan
(gram) I (gram) II (gram)
A 600 200 12000
B 20 50 1000
C 1 5 40
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan unsur A pada makanan I dan II adalah 600 : 200.
Kandungan unsur A yang dibutuhkan paling sedikit 12000 gram.
Perbandingan unsur B pada makanan I dan II adalah 20 : 50.
Kandungan unsur B yang dibutuhkan paling sedikit 1000 gram.
Perbandingan unsur C pada makanan I dan II adalah 1 : 5.
Kandungan unsur C yang dibutuhkan paling sedikit 40 gram.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 3.8
Menanya
Mengamati
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
48
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan!
Jawab:
Mencoba
Misalkan x = makanan I dan y = makanan II
Model matematikanya adalah:
600𝑥 + 200𝑦 ≥ 12000
20𝑥 + 50𝑦 ≥ 1000
𝑥 + 5𝑦 ≥ 40 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
600𝑥 + 200𝑦 = 12000
X 0 20
Y 60 0
20𝑥 + 50𝑦 = 1000
X 0 50
Y 20 0
𝑥 + 5𝑦 = 40
X 0 40
Y 8 0
Program Linier | Matematika SMK
49
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata
menjadi model matematika!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Mengkomunikasikan
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
50
Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8. Apa yang kamu
ketahui mengenai model matematika? Bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita
atau permasalahan nyata menjadi model matematika?
Buatlah model matematika dan grafik daerah penyelesaian dari permasalahan berikut.
1. Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang.
Harga pembelian apel sebesar Rp10.000,00 per Kg dan pisang sebesar Rp4.000,00 per Kg.
Modal yang tersedia tidak lebih dari Rp2.500.000,00. Sedangkan muatan gerobaknya
tidak lebih dari 400 Kg.
2. Suatu mesin produksi A menghasilkan 120 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan
150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih
dari 3.300 unit barang, sedangkan jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin
itu tidak lebih dari 25 jam.
Latihan 3
Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi
model matematika.
a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan.
b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah
dipahami.
c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan.
d. Tentukanlah model matematikanya.
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari permasalahan
program linier.
a. Buatlah model matematika/ sistem pertidaksamaan linier dari
permasalahan program linier
b. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan
mengubah tanda peridaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”.
c. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari
sistem persamaan linear.
d. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan
tersebut.
e. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier.
f. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut.
Ringkasan
Program Linier | Matematika SMK
51
Kerjakanlah soal-soal berikut ini!
1. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp1.600.000,00 dan 360 lembar papan
kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah
lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 8 lembar papan.
Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-
masing adalah Rp80.000,00 dan Rp40.000,00. Buatlah model matematika dari
permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya!
2. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 300 kendaraan yang
terdiri dari sedan dan bus. Jika luas rata-rata Sedan 5 m2 dan Bus 15 m2, sedangkan luas
tempat parkir adalah 3.750 m2. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut
dan tentukan daerah penyelesaiannya!
Program Linier | Matematika SMK
52
Program Linier | Matematika SMK
53
Nilai Optimum
Kompetensi Dasar
• Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.
Indikator
• Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal
• Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Tujuan Pembelajaran
• Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui titik pojok.
Petunjuk Pembelajaran
• Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.
• Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.
• Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.
D
Program Linier | Matematika SMK
54
Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari secara rinci tentang daerah
penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dan menentukan model matematika dari
permasalahan program linier. Hal ini merupakan syarat mutlak dalam penentuan nilai
optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier. Menentukan nilai optimum fungsi
objektif secara grafik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode titik pojok dan metode
garis selidik. Sekarang, kamu akan belajar menentukan nilai optimum fungsi objektif dari
permasalahan program linier menggunakan metode titik pojok.
Alternatif penyelesaian:
Pertama, ingatlah kembali tentang permodelan matematika yang sudah kamu pelajari.
Misal x = banyaknya melon dan y = banyaknya jeruk, permasalahan tersebut dapat
dinyatakan dalam tabel sebagai berikut.
Melon (kg) Jeruk (kg) Kapasitas/Jumlah
Jumlah pembelian (kg) x y 400
Harga (Rp) 10.000 4.000 2.500.000
Keuntungan (Rp) 2.000 1.000
Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah:
𝑥 + 𝑦 ≤ 400 10.000𝑥 + 4.000𝑦 ≤ 2.500.000 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0.
Kedua, fungsi objektif dari permasalahan di atas dapat ditentukan dari keuntungan yang
diperoleh pedagang tersebut, sehingga fungsi objektif dari permasalahan diatas adalah
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦.
Definisi
Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier.
D. NILAI OPTIMUM
Seorang pedagang membeli melon dan jeruk dari seorang petani dengan harga Rp
10.000,00 untuk 1 kg melon dan Rp 4.000,00 untuk 1 kg jeruk. Modal yang dimiliki
pedagang tersebut tidak lebih dari Rp 2.500.000,00. Buah tersebut akan diletakkan di toko
yang hanya dapat menampung tidak lebih dari 400 Kg. Jika keuntungan yang didapatkan
dari menjual melon dan jeruk masing-masing adalah Rp2.000,00 tiap kg dan Rp1.000,00
tiap kg, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut?
Masalah 4.1
Program Linier | Matematika SMK
55
Ketiga, tentukanlah daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut seperti pada gambar
di bawah ini.
Keempat, carilah titik-titik pojok dari
daerah penyelesaian permasalahan
tersebut.
Titik pojok:
𝐴(0,400); 𝐵(0,0); 𝐶(250,0).
Karena titik pojok D merupakan titik
potong antara persamaan garis
𝑥 + 𝑦 = 400 dan
10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000
maka kamu dapat menggunakan cara
eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 400 dan 10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000
{10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 400000 10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000
→→
10.000𝑥 + 10.000𝑦 = 4.000.00010.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000
6.000𝑦 = 1.500.000 𝑦 = 250
Subtitusikan 𝑦 = 250 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 400. Kamu dapatkan
𝑥 = 150. Jadi 𝐷(150,250).
Kelima, subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2.000𝑥 + 1.000𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦. Optimum
𝐴(0,400) 2.000(0) + 1.000(400) 400.000
𝐵(0,0) 2.000(0) + 1.000(0) 0
𝐶(250,0) 2.000(250) + 1.000(0) 500.000
𝐷(150,250) 2.000(150) + 1.000(250) 550.000
Nilai optimum (maksimum) dari permasalahan tersebut adalah Rp 550.000,00 pada titik
𝐷(150,250).
Jadi, keuntungan maksimum dari permasalahan tersebut adalah sebesar Rp 550.000,00 dari
penjualan 150 kg melon dan 250 kg jeruk.
Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu
menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Kerjakanlah aktivitas kelas 4.1
sampai aktivitas kelas 4.8 supaya kamu lebih memahami mengenai fungsi objektif dan
langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan program linier.
Program Linier | Matematika SMK
56
Aktivitas Kelas 4.1. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut:
Jenis Minuman Jumlah pembelian (buah) Harga Beli (Rp) Harga Jual (Rp)
Minuman A 𝑥 600 750
Minuman B 𝑦 300 400
Seorang pedagang memiliki uang sebesar RP60.000,00 dan ia bermaksud membeli kedua
jenis minuman kotak tersebut, tetapi ia tidak mampu membeli lebih dari 150 buah karena
keterbatasan tempat yang dimilikinya. Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan,
tentukan:
Perbandingan harga beli minuman A dan minuman B adalah 600 : 300
Modal yang dimiliki sebesar 60.000
Perbandingan permisalan jumlah minuman A dan minuman B yang dibeli adalah x : y
Kapasitas tempatnya adalah 150
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.1
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
57
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misal x = Banyaknya minuman A dan y = Banyaknya minuman B
Model matematikanya adalah:
600𝑥 + 300𝑦 ≤ 60.000,
𝑥 + 𝑦 ≤ 150,
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) =150𝑥 +100𝑦
Mencoba
600𝑥 + 300𝑦 = 60.000
X 0 100
Y 200 0
𝑥 + 𝑦 = 150
X 0 150
Y 150 0
Program Linier | Matematika SMK
58
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝑈(0,150); 𝑊(100,0); 𝑍(0,0);
Karena titik pojok V merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 150
dan 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan
subtitusi. Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 150 dan 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000
{600𝑥 + 300𝑦 = 15000600𝑥 + 300𝑦 = 60.000
→→
300𝑥 + 300𝑦 = 45.000600𝑥 + 300𝑦 = 60.000
−300𝑥 = −15.000 𝑥 = 50
Subtitusikan 𝑥 = 50 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 150. Kamu dapatkan
𝑦 = 100. Jadi 𝑉(50,100).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
150𝑥 + 100𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 150𝑥 + 100𝑦. Optimum
𝑈(0,150) 150(0) + 100(150) 15.000
𝑊(100,0) 150(100) + 100(0) 15.000
𝑍(0,0) 150(0) + 100(0) 0
𝑉(50,100) 150(50) + 100(100) 17.500
Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 17.500,00 pada titik
V(50,100).
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
59
Aktivitas Kelas 4.2. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut:
Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut
ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang
dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Jus Aberry dibuat dari 1 buah apel dan 2 buah
strawberry sedangkan jus Apstra dibuat dari 2 buah apel dan 1 buah strawberry.
Keuntungan dari penjualan Jus Aberry dan Jus Apstra masing-masing adalah Rp 500,00
dan Rp 400,00.
Jika disajikan dalam bentuk tabel, maka menjadi seperti berikut.
Jenis Jus Persediaan (Kg)
Buah Jus Aberry Jus Apstra
Apel (Kg) 1 2 12
Strawberry (Kg) 2 1 12
Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan:
Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah
1 : 2.
Persediaan Apel sebanyak 12 kg.
Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra
adalah
2 : 1.
Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.2
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
60
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra.
Model matematikanya adalah:
𝑥 + 2𝑦 ≤ 12,
2𝑥 + 𝑦 ≤ 12,
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 400𝑦
Mencoba
𝑥 + 2𝑦 = 12
X 0 12
Y 6 0
2𝑥 + 𝑦 = 12
X 0 6
Y 12 0
Program Linier | Matematika SMK
61
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝐴(0,6); C(6,0); D(0,0);
Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 12
dan 2𝑥 + 𝑦 = 12 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 2𝑥 + 𝑦 = 12 dan 𝑥 + 12𝑦 = 12
{2𝑥 + 𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 12
→ 4𝑥 + 2𝑦 = 24→ 𝑥 + 2𝑦 = 12
3𝑥 = 12 𝑥 = 4
Subtitusikan 𝑥 = 4 ke persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 = 12. Kamu dapatkan
𝑦 = 4. Jadi 𝐵(4,4).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
500𝑥 + 400𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 400𝑦. Optimum
𝐴(0,6) 500(0) + 400(6) 2.400
𝐵(4,4) 500(4) + 400(4) 3.600
𝐶(6,0) 500(6) + 400(0) 3.000
𝐷(0,0) 500(0) + 400(0) 0
Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.600,00 pada titik B(4,4).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
62
Aktivitas Kelas 4.3. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan tabel berikut!
Jenis Rak
Kapasitas Rak Besar Rak Kecil
Daya tampung buku (buah)
300 100 900
Banyaknya rak (buah)
x y 5
Harga (Rp) 750.000 500.000
Tentukan banyaknya rak buku besar dan rak buku kecil dengan biaya seminimum
mungkin namun buku-buku tetap dapat tertampung semua.
Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300: 100.
Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil.
Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y.
Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.3
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
63
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil.
Model matematikanya adalah:
300𝑥 + 100𝑦 ≤ 900
𝑥 + 𝑦 ≤ 5 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Fungsi Objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 750.000𝑥 + 500.000𝑦.
Mencoba
300𝑥 + 100𝑦 = 900
X 0 3
Y 9 0
𝑥 + 𝑦 = 5
X 0 5
Y 5 0
Program Linier | Matematika SMK
64
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝑀(0,5); O(3,0); P(0,0);
Karena titik pojok N merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 5
dan 300𝑥 + 100𝑦 = 900 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan
subtitusi.
Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 5 dan 300𝑥 + 100𝑦 = 900
{300𝑥 + 100𝑦 = 900 →
𝑥 + 𝑦 = 5 → 300𝑥 + 100𝑦 = 900 100𝑥 + 100𝑦 = 500
200𝑥 = 400
𝑥 = 2 Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 5. Kamu dapatkan
𝑦 = 3. Jadi N(2,3).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
750.000𝑥 + 500.000𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 750.000𝑥 + 500.000𝑦. Optimum
𝑀(0,5) 750.000(0) + 500.000(5) 2.500.000
𝑁(2,3) 750.000(2) + 500.000(3) 3.000.000
𝑂(3,0) 750.000(3) + 500.000(0) 2.250.000
𝑃(0,0) 750.000(0) + 500.000(0) 0
Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.000,00 pada titik N(2,3).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
65
Aktivitas Kelas 4.4. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan
campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru
dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan
2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat
merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Siswa mampu
menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Setelah dijual keuntungan
penjualan campuran A dan B tersebut masing-masing adalah Rp30.000,00 dan
Rp50.000,00
Bahan cat Jenis Campuran Persediaan
(lt) A B
Merah (lt) 1 2 8
Biru (lt) 2 2 10
Hijau (lt) 3 2 12
Keuntungan (Rp) 30.000 50.000
Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:
Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B
adalah 1 : 2.
Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah
2 : 2.
Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah
3 : 2.
Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.4
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
66
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misal x = Campuran A dan y = Campuran B
Model matematikanya adalah:
𝑥 + 2𝑦 ≤ 8, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.
Fungsi Objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦.
Mencoba
𝑥 + 2𝑦 = 8
X 0 8
Y 4 0
3𝑥 + 2𝑦 = 12
X 0 4
Y 6 0
2𝑥 + 2𝑦 = 10
X 0 5
Y 5 0
Program Linier | Matematika SMK
67
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝑄(0,4); S(3,0); T(0,0);
Karena titik pojok R merupakan titik potong antara 3 persamaan garis, cukup pilih
2 yaitu 𝑥 + 2𝑦 = 8 dan 2𝑥 + 2𝑦 = 10 maka kamu dapat menggunakan cara
eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 𝑥 + 2𝑦 = 8 dan 2𝑥 + 2𝑦 = 10
{𝑥 + 2𝑦 = 8
2𝑥 + 2𝑦 = 10−𝑥 = −2
𝑥 = 2
Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 8. Kamu dapatkan 𝑦 = 3. Jadi
R(2,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif
𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦. Optimum
𝑄(0,4) 30.000(0) + 50.000(4) 200.000
𝑅(2,3) 30.000(2) + 50.000(3) 210.000
𝑆(3,0) 30.000(3) + 50.000(0) 90.000
𝑇(0,0) 30.000(0) + 50.000(0) 0
Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 210.000,00 pada titik
R(2,3).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
68
Aktivitas Kelas 4.5. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut!
Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3
unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin
B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan
17 unit vitamin C. Jika harga tablet pertama Rp 1.500,00 per biji dan harga tablet kedua
Rp 1.200,00 per biji. Tentukan pengeluaran paling minimum untuk memenuhi kebutuhan
Rinto!
Jenis Tablet Kebutuhan (unit)
Vitamin I (unit) II (unit)
B 3 2 18
C 2 3 17
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2.
Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 18 unit.
Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3.
Kebutuhan vitamin C minimum sebanyak 17 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.5
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
69
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II.
Model matematikanya adalah:
3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.500𝑥 + 1.200𝑦.
Mencoba
3𝑥 + 2𝑦 = 18
X 0 6
Y 9 0
2𝑥 + 3𝑦 = 17
X 0 17
2
Y 17
3
0
Program Linier | Matematika SMK
70
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝐵(0,9); D(8,5 ,0);
Karena titik pojok C merupakan titik potong antara persamaan garis
3𝑥 + 2𝑦 = 18 dan 2𝑥 + 3𝑦 = 17 maka kamu dapat menggunakan cara
eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 3𝑥 + 2𝑦 = 18 dan 2𝑥 + 3𝑦 = 17
{𝑥3𝑥 + 2𝑦 = 18 2𝑥 + 3𝑦 = 17
→ 9𝑥 + 6𝑦 = 54→ 4𝑥 + 6𝑦 = 34
5𝑥 = 20
𝑥 = 4 Subtitusikan 𝑥 = 4 ke persamaan garis 3𝑥 + 2𝑦 = 18. Kamu dapatkan
𝑦 = 3. Jadi C(4,3).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1.500𝑥 + 1.200𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.500𝑥 + 1.200𝑦. Optimum
𝐵(0,9) 1.500(0) + 1.200(9) 10.800
𝐶(4,3) 1.500(4) + 1.200(3) 9.600
𝐷(8,5 ,0) 1.500(8,5) + 1.200(0) 12.750
Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 9.600,00 pada titik C(4,3).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
71
Aktivitas Kelas 4.6. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut!
Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk
peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi seperti
tertera pada tabel berikut
Makanan
Unsur A (gram) B (gram)
Protein 15 10
Lemak 2 4 Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein dan 4 gram lemak.
Apabila harga makanan A Rp 15.000 per kg dan makanan B Rp 20.000 per 400 gram.
Tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya!
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 15 : 10.
Kebutuhan protein paling sedikit 15 gram.
Perbandingan kandungan lemak pada makanan A dan makanan B adalah 2 : 4.
Kebutuhan lemak paling sedikit 4 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.6
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
72
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B
Model matematikanya adalah:
15𝑥 + 10𝑦 ≥ 15
2𝑥 + 4𝑦 ≥ 4
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 20.000𝑦.
Mencoba
15𝑥 + 10𝑦 = 15
X 0 1
Y 1,5 0
2𝑥 + 4𝑦 = 4
X 0 2
Y 1 0
Program Linier | Matematika SMK
73
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝐴(0, 1,5); C(2 ,0);
Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis
15𝑥 + 10𝑦 = 15 dan 2𝑥 + 4𝑦 = 4 maka kamu dapat menggunakan cara
eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 15𝑥 + 10𝑦 = 15 dan 2𝑥 + 4𝑦 = 4
{15𝑥 + 10𝑦 = 15 → 2𝑥 + 4𝑦 = 4 →
30𝑥 + 20𝑦 = 30 10𝑥 + 20𝑦 = 20
20𝑥 = 10 𝑥 = 0,5
Subtitusikan 𝑥 = 0,5 ke persamaan garis 2𝑥 + 4𝑦 = 4. Kamu dapatkan
𝑦 = 0,75. Jadi B(0,5, 0,75).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
15.000𝑥 + 12.000𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 12.000𝑦. Optimum
𝐴(0, 1,5) 15.000(0) + 12.000(1,5) 18.000
𝐵(0,5, 0,75) 15.000(0,5) + 12.000(0,75) 16.500
𝐶(2 ,0) 15.000(2) + 12.000(0) 30.000
Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 16.500,00 pada titik
B(0,5, 0,75).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
74
Aktivitas Kelas 4.7. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. sedangkan tablet kedua mengandung
10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan paling
sedikit 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tablet pertama Rp 800,00 per butir
dan tablet kedua Rp 400,00 per butir. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai
berikut.
Jenis Tablet Kebutuhan (unit)
Vitamin I (unit) II (unit)
A 5 10 20
B 3 1 5
Tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari!
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan vitamin A pada tablet I dan tablet II adalah 5 : 10.
Kebutuhan vitamin A minimum sebanyak 20 unit.
Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 1.
Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 5 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.7
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
75
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II
Model matematikanya adalah:
5𝑥 + 10𝑦 ≥ 20
3𝑥 + 𝑦 ≥ 5
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 800𝑥 + 400𝑦.
Mencoba
5𝑥 + 10𝑦 = 20
X 0 4
Y 2 0
3𝑥 + 𝑦 = 5
X 0 5
3
Y 5 0
Program Linier | Matematika SMK
76
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝐴(0,5); C(4 ,0);
Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis
5𝑥 + 10𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 = 5 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi
dan subtitusi.
Cara eliminasi: 5𝑥 + 10𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 = 5
{5𝑥 + 10𝑦 = 20 → 3𝑥 + 10𝑦 = 50 →
5𝑥 + 10𝑦 = 2030𝑥 + 10𝑦 = 50
−25𝑥 = −30 𝑥 = 1,2
Subtitusikan 𝑥 = 1,2 ke persamaan garis 5𝑥 + 10𝑦 = 20. Kamu dapatkan
𝑦 = 1,4. Jadi B(1,2, 1,4).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
800𝑥 + 400𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 800𝑥 + 400𝑦. Optimum
𝐴(0, 5) 800(0) + 400(5) 2.000
𝐵(1,2, 1,4) 800(1,2) + 400(1,4) 1.520
𝐶(4,0) 800(4) + 400(0) 3.200
Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 1.520,00 pada titik
B(1,2, 1,4).
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
77
Aktivitas Kelas 4.8. Nilai optimum.
Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum
dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.
Perhatikan permasalahan berikut!
Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan sedikitnya 32 unit karbohidrat dan 12 unit
protein. Makanan A mengandung 8 unit karbohidrat, dan 16 unit protein untuk setiap
satu kg. Makanan B mengandung 4 unit karbohidrat dan 4 unit protein untuk setiap satu
kg. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut.
Jenis makanan Kebutuhan (unit)
Nutrisi A (unit) B (unit)
Karbohidrat 8 16 32
Protein 4 4 12
Berapa jumlah masing-masing makanan yang harus dibeli setiap minggu agar kebutuhan
terpenuhi tetapi dengan biaya seminimum mungkin apabila satu kg makanan A harganya
Rp 34.000,00 dan satu kg makanan B harganya Rp 16.000,00.
Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan:
Perbandingan kandungan karbohidrat pada makanan A dan makanan B adalah 8 : 16.
Kebutuhan karbohidrat minimum sebanyak 32 unit.
Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 4 : 4.
Kebutuhan protein minimum sebanyak 12 unit.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Mengamati
Aktivitas Kelas 4.8
Menanya
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Program Linier | Matematika SMK
78
Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B
Model matematikanya adalah:
8𝑥 + 16𝑦 ≥ 32
4𝑥 + 4𝑦 ≥ 12
dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.
Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 34.000𝑥 + 16.000𝑦.
Mencoba
8𝑥 + 16𝑦 = 32
X 0 4
Y 2 0
4𝑥 + 4𝑦 = 12
X 0 3
Y 3 0
Program Linier | Matematika SMK
79
Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan
tersebut!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Titik pojok: 𝐴(0,3); C(4 ,0);
Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis
8𝑥 + 16𝑦 = 32 dan 4𝑥 + 4𝑦 = 12 maka kamu dapat menggunakan cara
eliminasi dan subtitusi.
Cara eliminasi: 8𝑥 + 16𝑦 = 32 dan 4𝑥 + 4𝑦 = 12
{ 8𝑥 + 16𝑦 = 32 → 4𝑥 + 4𝑦 = 1200 →
8𝑥 + 16𝑦 = 3216𝑥 + 16𝑦 = 48
−8𝑥 = −16
𝑥 = 2 Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 4𝑥 + 4𝑦 = 12. Kamu dapatkan
𝑦 = 1. Jadi B(2, 1).
Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) =
34.000𝑥 + 16.000𝑦.
Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 34.000𝑥 + 16.000𝑦. Optimum
𝐴(0, 3) 34.000(0) + 16.000(3) 48.000
𝐵(2, 1) 34.000(2) + 16.000(1) 84.000
𝐶(4,0) 34.000(4) + 16.000(0) 106.000
Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 48.000,00 pada titik A(0, 3).
Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Mengasosiasi
Program Linier | Matematika SMK
80
Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8. Apa yang kamu
ketahui mengenai fungsi objektif dan nilai optimum? Bagaimana langkah-langkah
menentukan nilai optimum atau nilai maksimum/minimum dari permasalahan program
linier?
Kerjakanlah permasalahan berikut dengan baik dan benar.
1. Dengan persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat
dua model pakaian jadi. Model 1 memerlukan kain 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.
Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual
setiap model 1 memperoleh untung Rp 15.000,00 dan model 2 memperoleh untung Rp
10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah ...
2. Suatu perusahaan ingin mengangkut barang-barang yang sedikitnya terdiri dari 480
kardus dan 352 peti dengan menyewa dua jenis kendaraan yaitu mobil bak kijang dan
mobil truk kecil. Sewa mobil untuk mobil bak kijang Rp 200.000,00 dan untuk mobil truk
kecil Rp 300.000,00. Jika mobil bak kijang dapat mengangkut sampai 40 kardus dan 16 peti
dan untuk truk kecil dapat mengangkut sampai 30 kardus dan 32 peti, tentukan
banyaknya mobil bak kijang dan truk kecil yang harus disewa agar biaya pengankutan
dapat ditekan sekecil mungkin. Tentukan pula besar biasa minimum tersebut.
Latihan 4
Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum
dari permasalahan program linier. Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam
program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.
Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari
permasalahan program linier adalah:
a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya;
b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan;
c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu
dapatkan;
d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah
penyelesaian tersebut;
e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi
objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.
Ringkasan
Program Linier | Matematika SMK
81
Kerjakanlah soal-soal berikut ini!
1. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan
menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan
mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan
satu unit barang B dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin
M2 selama 4 menit, Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dari
8 jam, Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp250,00
dan tiap unit barang B adalah Rp500,00. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat
diperoleh industri tersebut.
2. Seorang peternak ayam setiap harinya membutuhkan dua jenis makanan ayam.
Makanan jenis I dalam 1 Kg mengadung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan
makanan jenis II dalam 1 Kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Jumlah
makanan jenis I dan jenis II setiap harinya masing – masing minimal 5 Kg. Harga tiap
kilogram makanan jenis I adalah Rp1.000,00 dan makanan jenis II adalah Rp2.000,00.
Buatlah model matematika untuk permasalahan program linier tersebut, agar biaya
makanan jenis I dan jenis II setiap harinya semurah-murahnya. Berapa kilogram kedua
jenis makanan yang diperlukan ayam setiap harinya agar pengeluaran biaya sekecil
mungkin? Tentukan besarnya biaya minimum setiap harinya.
Program Linier | Matematika SMK
82
Program Linier | Matematika SMK
83
Garis Selidik
Kompetensi Dasar
• Menerapkan garis selidik
Indikator
• Garis selidik digambarkan dari fungsi objektif
• Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik
Tujuan Pembelajaran
• Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui garis selidik
Petunjuk Pembelajaran
• Berdoalah sebelum mengerjakan LKS.
• Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah.
• Kerjakanlah LKS denga baik dan benar.
E
Program Linier | Matematika SMK
84
Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan nilai
optimum dari permasalahan program liner menggunakan metode titik pojok. Pada bagian ini,
kamu akan mempelajari metode lain dalam menentukan nilai optimum dari permasalahan
program linier yaitu metode garis selidik.
Alternatif penyelesaian:
Pertama, Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang diketahui: 3𝑥 + 2𝑦
Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut:
3𝑥 + 2𝑦 = 𝑘.
Kedua, pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya.
Misal 𝑘 = 6 sehingga diperoleh garis 3𝑥 + 2𝑦 = 6.
Ketiga, Lukislah garis selidik 3𝑥 + 2𝑦 = 6.
Definisi
Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau minimum.
E. GARIS SELIDIK
Perhatikan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut!
Tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian di atas!
Masalah 5.1
Fungsi objektif: 3𝑥 + 2𝑦
Gambar 5.1 2𝑥 + 𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 18
Program Linier | Matematika SMK
85
Keempat, tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal yaitu titik
𝐵(2,8) dan O(0,0). (Gunakan eliminasi dan subtitusi yang sudah kamu ketahui untuk
mendapatkan titik B)
Kelima, lukislah garis yang sejajar dengan 3𝑥 + 2𝑦 = 6 dan melalui titik paling jauh B(2,8) dan
titik paling dekat O(0,0) seperti pada gambar dibawah ini.
Keenam, titik terjauh 𝐵(2,8) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi
objektif 3𝑥 + 2𝑦 maksimum. Dan titik terdekat 𝑂(0,0) adalah titik pada daerah penyelesaian
yang menyebabkan fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 minimum.
Nilai maksimum fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.2 + 2.8 = 22. Sedangkan nilai minimum
fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.0 + 2.0 = 0.
Apa yang kamu ketahui mengenai garis selidik pada masalah 5.1 di atas? Bagaimana
menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) menggunakan metode garis selidik?
Kerjakan aktivitas 5.1 supaya kamu lebih memahami langkah-langkah menentukan nilai
optimum (maksimum dan minimum) dari permasalahan program linier menggunakan
metode garis selidik.
2𝑥 + 𝑦 = 12 𝑥 + 2𝑦 = 18 3𝑥 + 2𝑦 = 22 3𝑥 + 2𝑦 = 6 3𝑥 + 2𝑦 = 0
Program Linier | Matematika SMK
86
Aktivitas Kelas 5.1. Garis Selidik.
Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari
permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik.
.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 5.1
Menanya
Mengamati
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping!
Tentukan:
Titik terjauh = G(3, 2)
Titik terdekat = E(0,0)
Garis selidik x + 2y = 2
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8 𝑥 + 3𝑦 ≤ 9
Fungsi objektif: 𝑥 + 2𝑦
Program Linier | Matematika SMK
87
Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Jawab:
Mencoba
Nilai maksimum: 3 + 2(2) = 0
Nilai Minimum: 0 + 2(0) = 0
Program Linier | Matematika SMK
88
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan
program linier menggunakan garis selidik!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada suatu
daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut:
a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui.
Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi
sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘.
b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis
selidiknya.
c. Lukislah garis selidik tersebut.
d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal.
e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik
paling jauh dan titik paling dekat.
f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan
fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah
penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
89
Aktivitas Kelas 5.2. Garis Selidik.
Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari
permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik.
.
Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu
mengenai permasalahan tersebut!
Jawab:
Aktivitas Kelas 5.1
Menanya
Mengamati
Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping!
Tentukan:
Titik terdekat = B(2,2)
Garis selidik 5x + 7y = 35
𝑥 + 𝑦 ≥ 4 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6
Fungsi objektif: 5𝑥 + 7𝑦
Program Linier | Matematika SMK
90
Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut?
Jawab:
Mencoba
Nilai minimum: 5(2) + 7(2) = 24
Program Linier | Matematika SMK
91
Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu
sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan
program linier menggunakan garis selidik!
Jawab:
Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!
Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada suatu
daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut:
a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui.
Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi
sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘.
b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis
selidiknya.
c. Lukislah garis selidik tersebut.
d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal.
e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik
paling jauh dan titik paling dekat.
f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan
fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah
penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.
Mengasosiasi
Mengkomunikasikan
Program Linier | Matematika SMK
92
Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 5.1 dan aktivitas kelas 5.2. Apa yang kamu ketahui
mengenai garis selidik? Bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari
permasalahan program linier menggunakan garis selidik?
Tentukan nilai optimum dari permasalahan berikut menggunakan metode garis selidik!
1. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 6𝑦 dengan syarat: 4𝑥 + 2𝑦 ≤
60, 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 48, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ...
2. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 3𝑦 dengan syarat: 𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 3𝑥 +
2𝑦 ≤ 9, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ...
Latihan 5
Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi
objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk
menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau
minimum.
Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada
suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut:
a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui.
Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya
menjadi sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘.
b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis
selidiknya.
c. Lukislah garis selidik tersebut.
d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal.
e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik
paling jauh dan titik paling dekat.
f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan
fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah
penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.
Ringkasan
Program Linier | Matematika SMK
93
Tentukan nilai optimum permasalahan berikut menggunakan garis selidik!
a. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 5𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, dengan fungsi objektif 100x + 150y
b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 1000x + 3500y
c. 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 30x + 70y
d. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 20x + 15y
Program Linier | Matematika SMK
94
Heryadi, Dedi. (2007). Modul MATEMATIKA untuk SMK Kelas X. Jakarta: Yudhistira.
Herynugroho, dkk. (2009). BILINGUAL MATHEMATICS For Senior High School Year XII Science
Program. Jakarta: Yudhistira
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK
Kelas X Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK
Kelas XI Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
Kuntarti, Sulistiyo, S. Kurnianingsih. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII
Semester 1 Program IPA. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Sukino. (2007). MATEMATIKA Jilid 3A untuk SMK Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. (2002). MATEMATIKA JILID 5 Untuk SMA Kelas XII SEMESTER 1.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
DAFTAR PUSTAKA
top related