matematika s statistiko študijsko gradivo fakulteta za farmacijo vsŠ laboratorijska biomedicina
Post on 17-Jan-2016
149 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Matematika s statistikoMatematika s statistikoštudijsko gradivo
Fakulteta za farmacijo
VSŠ Laboratorijska biomedicinaVSŠ Laboratorijska biomedicina
verzija: junij 2006
Topnost kisika v vodi pri pritisku 760 mmHgTečaji valut
Sestavljanje funkcij
Grafična predstavitev/podajanje
Podajanje s formulo
Graf
Graf funkcije dveh spremenljivk
PVT-diagram idealnega plina
Enačba idealnega plina:
PVT-diagram realne snovi
Odsekoma
definirana
funkcija
Definicijsko območje
&
Zaloga vrednosti
Naraščanje in padanje funkcije
naraščajoča
padajoča
Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina manjši pritisk)
Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti
pri b je funkcija naraščajoča
pri a je funkcija padajoča
Globalni ekstremi
(globalni) minimum
(globalni) maksimum
Lokalni ekstremi
lokalni minimum
lokalni maksimum
ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov
Konveksnost & konkavnostFunkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.
konveksna
konkavna
PrevojiPrevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.
konveksna konkavna
prevoji
Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.
Trend funkcije na robu - asimptote
Logistična krivulja
(vodoravna asimptota)
Dušeno nihanje
Poševna asimptota
Periodičnost in simetrija
Soda in liha funkcijaPeriodične funkcije
Graf funkcije
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti
2. Naraščanje in padanje, ekstremi
3. Ukrivljenost
4. Trend na robu definicijskega območja
5. Periodičnost in simetrije
Elementarne funkcije
Kotne funkcije
Polinomi
Racionalne funkcije
Algebrajske funkcije
Eksponentne in logaritmske funkcije
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih
funkcij.
Osnovne funkcije:
Osnovne značilnosti:
• Definicijsko območje, zaloga vrednosti
• Naraščanje in padanje, ekstremi
• Ukrivljenost
• Trend na robu definicijskega območja
• Periodičnost in simetrije
Polinomi povsod definirani
polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov
trend je določen z najvišjo potenco
vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija
Racionalne funkcije definirane povsod, razen v ničlah imenovalca
ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli
če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem
Algebrajske funkcije koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente
koren je bližje številu 1 kot njegov argument
asimptote dobimo z limitami...
Eksponentna funkcija f(x)=ex
povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel)
za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča
Logaritemska funkcija f(x)=ln x definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1
pol pri x=0, zelo počasi narašča
Kotne funkcije sin(x), cos(x) povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1]
periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija
sin(x) ima ničle pri x=kcos(x) ima ničle pri x=/2+k cos(x)=sin(/2-x), sin2x+cos2x=1
sin(kx+a) k: frekvenca, a: fazni zamik
Funkcija tangens tg(x) definirana povsod, razen za x=/2+k, zaloga vrednosti so vsa realna števila
periodična, liha
ničle pri x=kpoli pri x=/2+k tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x
Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc sin(x) ‘arkus
sinus’ inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)
definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-/2,/2 ]
Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc tg(x) ‘arkus
tangens’ inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x)
definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-/2,/2)
asimptoti y=-/2, y=/2
LIMITE
y=f(x)
l
)(lim xflx
l je limita funkcije f, ko x narašča čez vse
meje
a
l
d
y=f(x)
)(lim xfdax
d je limita funkcije f, ko x pada proti a
)(lim xflax
l je limita funkcije f, ko x narašča proti a
Funkcija f je zvezna v točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.
)()(lim)(lim afxf xfax ax
a
y=f(x)
Računanje limit
če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti
za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a
z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)
11
0
x
ex
xlim
)(lim xfax
10
x
xx
)sin(lim
(eksponentne in logaritemske) (kotne in ciklometrične)
)(
)(lim
1
221
xx
xx))((
))((lim
11
2121
xxx
xxx)(
)(lim
1
233
2
1
x
xxx 3
1
xxxxxx )())(( 111
xxx
1limxx
xxx
1
1)(lim
xxx
1
1lim 0
Primeri
x y ln
11 xx
x
lnlim
10
yy e
ylim 1
xy 3
xx
x
30
tglim x
xxx 3
310 cos
sinlim y
yyy cos
sinlim
30
3
?lim
3 1
11
1
1
xx
e
3 1
1
1
1
xe
xf
)(x 0.5 0.9 0.99 0.999
f(x) 0.2209874833 0.1039175446 0.0095502780 0.0000453978
x 1.5 1.1 1.01 1.001
f(x) 0.7790125166 0.8960824553 0.9904497219 0.9999546021
0
1
1
3 1
11
xx
e
lim 1
1
1
3 1
11
xx
e
lim
1
1y=f(x)
Asimptote
Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x), če je 0
)()(lim lkxxfx
kxxfl xxf
k xx
)(lim)(
lim
Primer 554 2 xxxf )(
255
4554554
22
22
xxx
xxx
xxk
xxxlimlimlim
4
5
255
4
55
2554
55
2554
45542554
2
2
2
222
xx
x
xxx
x
xxx
xxxxxxl
xx
xx
limlim
)(limlim
asimptota je: 4
52 xy
554 2 xxy
4
52 xy
ZVEZNE FUNKCIJE
Funkcija f je zvezna, če je za vsak a, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a.
Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.
Grafi zveznih funkcij
Grafa nezveznih funkcij
Lastnosti zveznih funkcij
1) Vse elementarne funkcije so zvezne.
Osnovne funkcije
xxxxe
xxxfkonstxfx
n
arctg,arcsin,sin,ln,
,,)(.,)(
so zvezne.
Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija.
Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.
2) Zvezna funkcija na intervalu [a,b] zavzame vse vmesne vrednosti med f(a) in f(b).
a b
f(a)
f(b) Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike.
Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine.
Če je bila jutranja temperatura 6oC, opoldanska pa 15oC, potem je tisto jutro bilo tudi 10oC.
Če je etanol pri 40oC tekoč, pri 80oC pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre.
3 6
Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij
55 23 xxxf )(
4.5
5.25
4.85
4.67
4.76
4.80
Ničla je ≈ 4.78
Palico oblike primemo za en konec in vržemo proti steni.
Kdaj bo zadela steno?
Primer
Fizikalno ozadje: težišče telesa se giblje enakomerno in premočrtno, palica pa se enakomerno vrti okoli težišča.
V trenutku t je težišče v točki vt, kot vrtenja pa je enak kt. En konec palice je od štarta oddaljen za vt+l sin kt, drugi pa za vt-l sin
kt.
l sin
- l sin
l
t
s
s=vt+l sin kt
s=vt- l sin kt
d
Poiskati moramo manjšo izmed rešitev enačb vt+l sin kt=d in vt- l sin kt=d.
d je razdalja do stene
Rešimo nalogo pri pogojih: v=1 m/s k=1 obrat/s
l=0.2 m d=5 m
t+0.2 sin t=5 f(t)=t+0.2 sin t-5
začetni interval: f(5)=-0.1918, f(5.5)=0.3588 ⇒ rešitev je med 5 in 5.5
f(5.25)= 0.0782 ⇒ rešitev je med 5 in 5.25 f(5.12)=-0.0636 ⇒ rešitev je med 5.12 in 5.25 f(5.18)= 0.0014 ⇒ rešitev je med 5.12 in 5.18 f(5.15)=-0.0311 ⇒ rešitev je med 5.15 in 5.18 f(5.17)=-0.0094 ⇒ rešitev je med 5.17 in 5.18
račun:
5 5.5
Podobno se lotimo druge enačbe t - 0.2 sin t=5 in dobimo za rešitev t=4.80.
Palica zadane steno s spodnjim koncem po 4.80 sekundah.
3) Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum in maksimum.
a
R),(: af
a b
R],[: baf
max
min
Odvod
Primer
Alternativni zapis:
Fizikalni pomen odvoda
Geometrični pomen odvoda
padajočaDf negativen
naraščajočaDf pozitiven
x)x(
xxhx
xhxh
xhx
h
xhxxfxxf
h
hh
2
1
2
1
)(
1lim
)(limlim)()(
0
00
Računanje odvodov
I. korak: funkcija odvod
odvod funkcije f
Primeri
Predpis x ↦ Df(x) določa funkcijo f ' : A → ℝ .
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
)(x h
xhxxf xf(x)
h11
0
)(lim)(
000
)(c h
ccxf cf(x)
hlim)(
)()()()(
)()()(lim)(
)()(lim
)()()()()()()()(lim
)()()()(lim))()((
xgxfxgxf h
xghxgxfhxg
hxfhxf
hxgxfhxgxfhxgxfhxghxf
hxgxfhxghxf
xgxf
hh
h
h
00
0
0
II. korak: računske operacije in sestavljanje
seštevanje(in odštevanje)
)()(
)()(lim
)()(lim
))()(())()((lim
))()(())()((lim))()((
xgxfh
xghxgh
xfhxf
hxghxgxfhxf
hxgxfhxghxf
xgxf
hh
h
h
00
0
0
gfgf )(
množenje:
gfgfgf )(
deljenje:
2g
gfgfgf
sestavljanje:)())(())(( xgxgfxgf
Primeri
10133 )'()'()( xx
5150555 xxxx )'()()'(
gfgf )(
gfgfgf )(
fcfc )(
xxxxxxxx 2112 )'()()'(
2g
gfgfgf
222 1
2
1
1111
1
1111
1
1
)()(
)()(
)(
)()()()(
xx
xx
x
xxxxxx
)())(())(( xgxgfxgf
)()()()()())((
25102525225 2
xxxxxgxgf
III. korak: osnovne funkcije
xx ee )(
1 rr rxx )(
xx
1)(ln
xx cos)(sin
xx sin)(cos
xx
2
1
cos)(tg
21
1
xx
)(arcsin
21
1
xx
)(arctg
xh
x
h
xhx
h
x eh
ee
hee
e
100
limlim)(
11 rxrxrr rxx
reex lnln )()(
xxxee ex xxx lnln)( lnlnln 1
xh
h x
hh
x
hxhxh x
hxhx
x
h
hh
cossin
cos)(cos
sinlim
sinsincoscossinlim
sin)sin(lim)(sin
10
00
011
110
2
00
)(cossinsin
lim)(cos
coslim
coslim
h h
hh
- h hh
hh
hhh
xx x x sin)(cossin)(cos
122
xx
xx
x
xxxxxx
x22
22
2
1
coscos
sincos
cos
)sin(sincoscoscossin
)(tg
)(arcsin)(arcsin)cos(arcsin))n(sin(arcsi)sin(arcsin x xxxx xx 211
)(arctg()(arctg)(arctgcos
))(tg(arctg)tg(arctg x )xxx
x xx 22
11
1
Primeri
xxxx
2
1
2
12
1
2
1
)()(
xxx xeexe )(
xxxx 6323 223 )'(
22
22
1
2
1
112
1 )()(
)(
x
x
x
xxxxx
xx
x 2)1(cos
1))1(tg(
222
)sin(
)cos(2)cos(
)sin(2
1)sin(
2
22
2
2
x
xxxx
xx
)()(
)()())((
1226
222232222
2232
xxx
xxxxx
Višji odvodi
ff
ff
)(
)(
0
6
6
23
42
4
2
3
)(
)(
)(
)(
)(
)( xf
xf
xxf
xxf
xxxfPrimeri
Vrednosti višjih odvodov v neki točki
f(x0), f '(x0), f ''(x0), f '''(x0), ...
določajo celotno funkcijo
xxx
xxxxxf
xxx
xxxxxf
xxxxf
xxxf
cossin3
cossinsin2)(
sincos2
sincoscos)(
cossin)(
sin)(
Parcialni odvodi
V
nRTP
i -ti parcialni odvod
2)(
V
nRTVP
:TP odvod po spremenljivki TV
nRTP )(
:VP odvod po spremenljivki V
),,,( 21 nxxxff funkcija n spremenljivk
h
xxxfxhxxfxxxf nini
hnxi
),,,,(),,,,(lim),,,( 11
021
Primer
z
yxzyxf sin),,(
z
yzyxf x sin),,(
z
y
z
x
zz
yxzyxf y cos
1cos),,(
z
y
z
xy
z
y
z
yxzyxf z coscos),,(
22
Lokalni ekstremiČe je f(x0) ≥ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0 lokalni maksimum.Če pa je f(x0) ≤ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0 lokalni minimum.
Odvedljiva funkcija ima pri lokalnem ekstremu vodoravno tangento.
V lokalnem ekstremu velja:
f '(x0)=0 (stacionarna točka)
Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem.
Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji.
lok. minimum
lok. maksimum
prevoj
Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.
globalni minimum(globalnega maksimuma ni)
ab
y=f(x)
Globalni ekstremiGlobalni ekstrem funkcije je bodisi pri
lokalnemu ekstremu, bodisi na robu definicijskega območja.
kandidati za ekstreme funkcije
f(x) na intervalu [a,b]:
globalni minimum
globalni maksimum
Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x) na intervalu [a,b]:
1. Izračunamo odvod f '(x);
2. Določimo ničle odvoda, npr. x1,x2,...;
3. Izmed vrednosti f (a), f (b), f (x1), f (x2),... določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.
Primer
Določi globalne ekstreme funkcije f(x)=x3-4x2+6 na intervalu [-1,4]. xxxf 831 2 )(.
3
800832 21
2 xx xx ,.
48327
94
3
86064113 .)(,)(,)(,)(. f f f f
Globalni maksimum je f(0)=f(4)=6, globalni minimum je f(8/3) ≈ -3.48
Optimizacijske naloge
1. Za katero pozitivno število je vsota števila in njegove recipročne vrednosti najmanjša?
?)(min,1
)( xfx
xxf
101
1,1
1)(22
xxx
xf
Najmanjšo vsoto dobimo pri x=1.
2. Kateri izmed pravokotnikov z obsegom 5m ima največjo ploščino?
baP
baO
m522
2
25)(
aaaP
4
5,
4
50
2
45,
2
45)1(
2
25)(
ba
aaa
aaP
Največjo ploščino ima kvadrat s stranico 1,25m.
3. Kakšne dimenzije mora imeti valjasta pločevinka s prostornino V, da bo za njeno izdelavo potrebno najmanj pločevine?
r
h
2
2
22 rhrP
hrV
222
22
22)( rr
Vr
r
VrrP
333
22
22,
2,
2
042
,42
)(
Vh
Vr
Vr
rr
Vr
r
VrP
Optimalna pločevinka ima višino enako premeru.
Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk
f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)
f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)
za vsako spremenljivko posebej
vsi parcialni odvodi so enaki 0
kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb
00021
nxxx fff ,,,
sedlolokalni maksimum
Stacionarne točke funkcije več spremenljivk
Primeri
22 yxyxf ),(
yyxf
xyxf
y
x
2
2
),(
),(0
02
02
yx
y
x
Edina stacionarna točka je (0,0).
23 22 yxyxyxf ),(
yxyxf
yxyxf
y
x
42
23 2
),(
),(
042
023 2
yx
yx
),(6
1
3
1Stacionarni točki sta (0,0) in .
3
10
3
22
x x
xx
yx
ali
Globalni ekstremi funkcij več spremenljivkf(x,y) je definirana na delu ravnine.
Če je odvedljiva, zavzame ekstrem bodisi v stacionarni točki v notranjosti območja, ali pa na robu.
Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x,y) na območju D ⊆ ℝ :
1. Izračunamo parcialna odvoda f x'(x,y) in f
y'(x,y);
2. Določimo stacionarne točke kot rešitve enačb f x'(x,y) =0 in f y'(x,y)=0;
3. Točke na robu območja D obravnavamo kot funkcijo ene spremenljivke in poiščemo pripadajoče stacionarne točke.
4. Izmed vrednosti funkcije f v vseh stacionarnih točkah določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.
Primer
Poišči minimum in maksimum funkcije
na trikotniku z oglišči A(0,0), B(3,0) in C(0,3).
yyxyxyxf 422 22 ),(
A B
C442
22
yxyxf
yxyxf
y
x
),(
),(
10220442
022
y x ,x yx
yx
yx,
notranjost trikotnika:
111 ),(f
-1daljica AB: xxfxxfy 20 2 )()(
stacionarna točka (0,0) ni v notranjosti daljice
daljica AC: 24220 2 yyfyyyfx )()(
2
1
2
10 ),(f
2
1
daljica BC:
41615
81610
121653232323 222
.,.)(
)()()()(
yxxxf
xxxxxxxxfxy
5
44161 ).,.(f
5
4
1230903000 ),(:),(:),(: fC fB fAoglišča:
0 9
12
minimum je f (1,1)= -1, maksimum je f (0,3)=12
Izravnavanje numeričnih podatkov
Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi,yi) določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema.
Primer:
v tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x).
Oceni vrednost y pri x =1.5 (interpolacija) in pri x=2 (ekstrapolacija).
x y1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90
Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu:
Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
y
Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi,yi), i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije
n
iii
nn
yBxA
yBxAyBxAyBxABAF
1
2
2222
211
)(
)(...)()(),(
Če ležijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A,B)=0, kar je najboljši možni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.
Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov
Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.
n
iii yBxABAF
1
2)(),(
n
iiiA yBxABAF
1
2 )(),(
i
n
iiiB xyBxABAF
1
2 )(),(
02
02
1
1
i
n
iii
n
iii
xyBxA
yBxA
)(
)(
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxBxAx
yBxAn
11
2
1
11
x y
1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303
ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354
Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:
V praksi sistem rešujemo takole:
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxBxAx
yBxAn
11
2
1
11
n
iix
nx
1
1 povprečje argumentov
n
iiy
ny
1
1 povprečje funkcijskih vrednosti
n
iix
nx
1
22 1 povprečje kvadratov argumentov
n
iiiyx
nxy
1
1 povprečje produktov
xyBxAx
yBxA
2
xByA
xxx
yxxyB
2
Nelinearne zvezet(s) c (mol/l) t(s) c (mol/l)100 2,19 1600 0,85200 2,05 1700 0,80300 1,92 1800 0,75400 1,81 1900 0,70500 1,70 2000 0,66600 1,59 2100 0,62700 1,50 2200 0,58800 1,41 2300 0,54900 1,33 2400 0,511000 1,25 2500 0,481100 1,17 2600 0,461200 1,10 2700 0,431300 1,03 2800 0,411400 0,97 2900 0,391500 0,91 3000 0,37
V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. c je koncentracija N2O5 po preteku t sekund.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
(zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna)
Dobimo:
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: BtAec
Računanje s testno funkcijo
je zamudno, zato raje lineariziramo.
n
ii
Bt yAeBAF i
1
2),(
BtAc lnln
Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule.cc ln
tec 000603152 ..
tc 0006094751 ..
Računanje limit
Velja:
L’Hospitalovo pravilo
axavxv
axauxu
avxvauxu
xvxu
)()(
)()(
)()()()(
)()(
Računamo pri pogoju )()(
limxvxu
ax0 )()( avau
(Nedoločena oblika )
0
0
)()(
lim)()(
limxvxu
xvxu
axax
Primeri:
L’Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za
2
1
22
10020
xxx
x
xxxx
coslim
sinlim
coslim
01
2
1
22
x
x
x
xx
coslim
sinlim
in ko je )()(
limxvxu
x ,
)()(
limxvxu
ax
)(lim)(lim xuxu
axax
12
2
111
1
12
2 2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxxlimlimlim
)arctg(lim)arctg(lim
01
1
1 02
000
)(limlim
lnlimlnlim x
x
x
x
xxx
xxxx
Risanje grafov
1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij.
2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom.
(Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije.)
3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi približnih, metod za reševanje enačb.
Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne
spremeni, je v stacionarni točki prevoj.
funkcija
odvod
4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji.
5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak.
6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.
funkcija
odvod2. odvod
prevoj
Primeri
Natančno nariši graf funkcije 12
x
xxf )(
Definicijsko območje: imenovalec je pozitiven, funkcija je definirana povsod.
Obnašanje na robu:
011 22
x
x
x
xxx
limlim
f(x) ima vodoravno asimptoto y=0
Ničle: edina ničla števca je x=0.
Simetrije: funkcija je liha.
Naraščanje, padanje, ekstremi:
22
2
22
2
1
1
1
211
)()(
)()(
x
x
x
xxxxf
Ničli odvoda sta -1 in +1; odvod je negativen za x<-1 in x>1 in pozitiven za -1<x<1.
f narašča za -1<x<1 in pada sicer; v -1 ima lokalni minimum, v 1 pa lokalni maksimum.
Ukrivljenost:
32
2
42
2222
1
32
1
212112
)(
)(
)(
)()()()(
x
xx
x
xxxxxxf
f ima prevoje za
konveksna je za
konkavna je za
330 ,,x
in 303 xx
in 303 xx
asimptota y=0
ničla x=0
minimum x=-1, y=-0.5, maksimum x=1, y=0.5
prevoji x=0,-1.73,1.73
Definicijsko območje:
Nariši graf
Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:
f
g
Funkcija f je podana z grafom. Nariši graf njenega odvoda g.
Asimptota g je ‘odvod’ asimptote f.
Definicijsko območje g so točke, kjer je graf f gladek in tangenta ni navpična.
Ničle g so tam, kjer ima f stacionarno točko. g je pozitivna tam, kjer f narašča in negativna tam, kjer f pada.
g narašča kjer je f konveksna, pada pa kjer je f konkavna. g ima lokalni ekstrem v točkah, kjer ima f prevoj.
IntegrIntegralalrešujemo nalogo:
Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f.
Primeri:
Če je F’ (x)=f(x) pravimo, da je F(x) primitivna funkcija za funkcijo f(x).
xxf cos)( xxF sin)( xxf sin)( xxF cos)(
xexf )( xexF )(
3)(xf xxF 3)(
2xxf )(3
3xxF )(
primitivni funkciji za cos x sta tako sin x, kot sin x +3.
Za dano funkcijo obstaja več primitivnih funkcij:
xx cossin
xxxx coscossinsin 033
Če poznamo eno primitivno funkcijo za f, dobimo vse druge tako, da tej prištejmo vse možne konstante.
Množico vseh primitivnih funkcij za f(x) označimo z F(x)+c, kjer je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), c pa je poljubno realno število.
Postopek določanja primitivne funkcije imenujemo integriranje. Pišemo:
dxxfxF )()(pove po kateri spremenljivki integriramo in nastopa pri formulah za računanje integralov
integral
integrand
Pri računanju integralov uporabljamo pravila za integriranje in integrale osnovnih funkcij.
Integrali osnovnih Integrali osnovnih funkcijfunkcij
)11
1
rrx
dxxr
r (
xdxx
ln 1
xx edxe
xdxx cossin
xdxx sincos
xdxx
tgcos
2
1
xdxx
arcsin
21
1
xdxx
arctg
21
1
Pravila integriranjaPravila integriranja
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxfkdxxfk )()(
vsota
produkt s konstanto
Primeri
34
3423 xx
dxxx
32
3
2
1
3
2
2
3x
xdxxdxx
tt
tdt
ttdt
tt
12
3
12
1 3
22
2
)()( xFdxxf Če je , je
))(()())(( xgFdxxgxgf uvedba nove spremenljivke
pravilo: funkcija u(x)
dxxuxdu )()(
Novo spremenljivko u vpeljemo tako, da povsod, kjer v integralu nastopa spremenljivka x, jo zamenjamo z ustreznim izrazom v spremenljivki u.Primer:
dxx 412 )(12 xu
dxdu 2
dudx2
1
10
12
52
1
2
1 554 )(
xu
duu
)cos(cossin)sin( 344
1
4
1
4
134 xuduudxx
dxduxu 434
22
2
1
2
1
2
1 xuux eeduedxxe dxxduxu 22
)ln(coslncossin
tg xuduu
dxxx
dxx 1
dxxduxu sincos
dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()(')( integracija ‘po delih’
( Za integriranje produktov določene oblike.)
duvvudvu krajše:
Primeri: xxxxx exedxexedxxe
xx evdxedv
dxduxu
xxxdxx
xxxdxx lnlnln 1
xvdxdv
dxx
duxu
1
ln
Uporaba integralaUporaba integrala
Ploščine likov
Dolžine krivulj
Povprečja
Diferencialne enačbe
Hitrost ohlajanja nekega telesa je sorazmerna razliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice:
T’=k(T-T0)
Kako hitro se bo vrela juha v prostoru, kjer je 20oC ohladila do užitnih 50oC?
Verjetnost
Kolikšna je verjetnost, da bo žlica, ki pade na tla obležala na eni sami ploščici?
Integracijske Integracijske tehniketehnike
)11
1
rrx
dxxr
r (
xdxx
ln 1
xx edxe
xdxx cossin
xdxx sincos
xdxx
tgcos
2
1
xdxx
arcsin
21
1
xdxx
arctg
21
1
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxfkdxxfk )()(
duvvudvu
)(
)()())((
xgu
duufdxxgxgf
Racionalne funkcije )ln( bax
adx
bax
11
osnovna formula:
Primer:
?
dxx
xx
1
132
3
1.korak: če je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, zdelimo
)(,)(:)( 12113 23 xxxxx ost.
1111
12
xB
xA
xxx
))((
2.korak: preostali ulomek razcepimo na delne ulomke
))(( 11
12
1
132
3
xxx
xx
xx
)()()()( BAxBAxBxAx 1112
2
3
2
1
1
2
BA
BA
BA,
1
1
2
3
1
1
2
1
1
132
3
xxx
x
xx
3.korak: sumande v razcepu integriramo po formuli
)ln()ln( 12
31
2
1
21
1
2
3
1
1
2
1
1
13 2
2
3
xxx
dxxx
xdxx
xx
Če ima imenovalec dvojno ničlo vpeljemo novo spremenljivko:
?)(
dxx
x
212
1
dxduxu 212 ,
48
312
4
1
4
3
4
1
4
3
2
12
1
12
1222
xx
uudu
u
udu
u
u
dxx
x)ln(ln
)(
?
dxx
x
22
13 Če imenovalec nima realnih ničel, prevedemo na logaritem in arkus tangens:
dxx
dxx
xdx
x
x222 2
1
2
3
2
13
dxxduxu
xuduu
dxx
x
22
22
3
2
3
2
31
2
3
2
22
,
)ln(ln
dudxxuxu
xudu
udx
xdx
x
222
22
2
2
2
1
1
2
2
21
1
2
1
2
1
22
222
,,
arctgarctg
Kotne funkcije
dxxduxu
xuduudxxx
sin,cos
coscossin
55
5544
4
2
22
212 xxdx
xdxx
sincossin
formule za kvadrate: xx
xx
xx
x21
21
2
21
2
21 222
coscos
tg,cos
cos,cos
sin
Računanje ploščin
Želimo določiti ploščino pod grafom funkcije y=f(x)
P(x) je ploščina pod grafom na intervalu od a do x.
a x x+h
P(x)
)(max)()()(min],[],[
xfhxPhxPxfhhxxxhxxx
)(max)()(
)(min],[],[
xfh
xPhxPxf
hxxxhxxx
min f(x)
max f(x)
)()()(
lim xfh
xPhxPh
0
P(x) je primitivna funkcija za f(x) !
Če je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), potem je F(x)-P(x)=c.
Vstavimo x=a: F(a)-P(a)=c ⇒ c=F(a) ⇒ P(x)=F(x)-F(a).
Kako bi izračunali c?
a b
Če je F(x) poljubna primitivna funkcija za f(x), je ploščina pod grafom y=f(x) na intervalu [a,b]
enaka P=F(b)-F(a).
P=F(b)-F(a)
Ker je
običajno meje intervala vključimo v oznake in pišemo:
dxxfxF )()(
)()()()( aFbFxFdxxfP ba
b
a
določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b].
Primer
Določi ploščino lika, ki ga omejujeta abscisa in parabola y=1-x2.
-1 1
3
4
3
11
3
11
31
1
1
1
1
32
)()()(
x
xdxxP
Primer
Določi ploščino lika med x=y2 in y=x.
xy
xy
6
1
23
21
0
1
0
2
x
xxdxxxP )(
Dolžine krivulj
Želimo določiti dolžino krivulje, podane z y=f(x).
l(x) je dolžina grafa na intervalu od a do x.
a x x+h
2
22 1
h
xfhxfhxfhxfxhxxlhxl
)()())()(()()()(
2
01 ))((
)()(lim xf
hxlhxl
h
l(x) je primitivna funkcija za
21 ))(( xf
y=f(x)
Dolžina krivulje, podane z y=f(x) na intervalu [a,b] je
dxxflb
a 21 ))((
PrimerIzračunaj dolžino loka parabole y=1-x2 na intervalu [-1,1].
-1 1
95225
25
4
12
4124
141
2
1
41
1
1
22
1
1
2
.ln
)ln(
xxxx
dxxl
xxf 2 )(
Vrtenine
Vrtenina je telo, ki ga dobimo, ko dani lik zavrtimo okoli osi.
Izračunati želimo prostornino vrtenine.
y=f(x)Zavrtimo lik pod grafom krivulje y=f(x):
V(x) je prostornina na intervalu od a do x.
2
0)(
)()(lim xf
hxVhxV
h
hxfxVhxV 2)()()(
a x x+h
V(x) je primitivna funkcija za 2)(xf
Primer Prostornina krogle: kroglo dobimo,
če zavrtimo krožnico okoli abscisne osi.
Prostornina vrtenine pod y=f(x) na
intervalu [a,b]:
b
a
dxxfV 2)(
33
33
3
3222
22
3
4
33
3
rr
rr
r
xxrdxxr
dxxrV
r
r
r
r
r
r
2
)
(r-r
22 xry
Integrand f(x) nadomestimo s približkom g(x), ki ga znamo dovolj preprosto integrirati.
Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov).
napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk
približna vrednost integrala
Približni izračun integrala
računamo numerično, če je določanje primitivne funkcije prezahtevno ali če je integrand znan le v posameznih
točkah.
b
a
dxxf )(
b
a
b
a
Rdxxgdxxf )()(
integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo.
[a,b] razdelimo na n enakih delov:
g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk,yk), k=0,1,...,n
trapezna formula
napaka trapezne metode
Metoda trapezov
)( kk
k
xfyn
abkax
21
1
kkx
x
yyn
abdxxg
k
k
)(
nn
b
a
yyyyyynab
dxxg
121102...)(
nnn
b
a
Ryyyyynab
dxxf
1210 2222
...)(
)(max)(
],[xf
n
abR
baxn
2
3
12
Primer
Izračunaj z napako < 0.01
1
01
1dx
x
693102121
1
1
11
1
0
.lnlnln,))(ln(
dxxx
x
50106
1
6
1
1
2
12
1
1
1
12
01
2
23102102
3
nn
nxnxn xx
.
)(maxmax
)(],[],[
69560500005555026250027143028333020000110
1
1
11
0
....... dx
x
dejanska napaka 0.0025
Primer
Oceni ploščino kosa pločevine:
2cm 482512502552512628
100P
Diferencialne enačbe
Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopa odvod neznane funkcije.
Primerixyy
012 yy
21 yyx
yxyy 2
yxeyyx y 2
xzz yxx
diferencialna enačba za y kot funkcijo x
diferencialna enačba 2. reda (Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa.)
diferencialna enačba 3. reda
parcialna diferencialna enačba (2. reda)
Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, kadar nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa parcialne diferencialne enačbe.
Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F( x , y(x) , y’(x) )=0 za vse x.
Primeri y=e2x je rešitev diferencialne enačbe y’=2y, saj je
splošna diferencialna enačba 1.
reda
0),,( yyxF
xx ee 22 2)(y’ 2y
y=x2 ni rešitev diferencialne enačbe y’=2y, čeprav je 2x2=2x2 za nekatere vrednosti x. Leva in desna stran morata biti enaki za vse vrednosti argumenta x.
(kadar se to izide pravimo, da gre za enačbo z ločljivimi spremenljivkami)
xydxdy
Najpreprostejši tip diferencialne enačbe:
)(xfy
Rešitev je: dxxfxy )()(
Tudi druge diferencialne enačbe skušamo prevesti na računanje integralov.
Primer xyy 1. korak: pišemo
dxdy
y
2. korak: enačbo preoblikujemo tako, da so vsi y na eni in vsi x na drugi strani enačbe
dxxydy
3. korak: integriramo obe strani enačbe dxxydy
cx
y 2
2
ln )( cx
eCeCy 2
2
Preskus:
)()( 2
2
2
2
2
2
2
2 xxx
eCxx
eCeC
Modeliranje z diferencialnimi enačbamiV fizikalnih in kemijskih zakonih praviloma nastopajo količine, ki so
odvodi (hitrost gibanja, pospešek, toplotni tok, električni tok, hitrost reakcije, ...), zato študij fizikalnih in kemijskih procesov sloni na reševanju diferencialnih enačb.
Audi TT pospeši do hitrosti 100 km/h v 6.4 sekundah. Koliko metrov pri tem prevozi?
Predpostavimo, da je pospešek konstanten:
t ..... čas
y(t) ..... prevožena pothitrost je v=y’(t)pospešek je a= v’(t)= y’’(t)
22 m/s m/s
m/s km/h
344467727
7727100
.
.
./.a
ctdtvdtdvv 344344344344 ....
Ker je na začetku v(0)=0, je c=0.
ct
dttydttdyty2
3443443443442
....
Ker je na začetku y(0)=0, je c=0.
Hitrost 100 km/h doseže po y(6.4)≈89m.
Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema.
y(0)=C, torej je C začetna količina opazovane snovi
Za 14C:
Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln
2
Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t
y’=-k y k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k =3.83 10-12 s-1)
ktCeycktydtkydy
dtkydy
kydtdy ln
let s 423014133368146210833
5108053
1253
.
.ln
kte kt
Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let.
Radioaktivni razcep
Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2.
Razmerje med 14CO2 in 12CO2
v atmosferi je dokaj stabilno.
kozmični žarki
Rastline absorbirajo CO2 v biosfero. Razmerje med 12C in
14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi.
Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in
14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.
stopnja radioaktivnosti
0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost
Datiranje s 14C
Mešanje tekočinV 50-litrsko posodo z 1% -raztopino soli začne s hitrostjo 2 l/min pritekati 3%-raztopina, obenem pa dobro premešana mešanica odteka z isto hitrostjo. Čez koliko časa bo v posodi 2%-raztopina?
3%
y=y(t) količina soli v sodu v trenutku t
dtydtdy 50
22030.
priteka 3% od 2l na enoto časa
odteka 2/50 od trenutne količine na enoto časa
sprememba količine soli v posodi
).(.
)..ln(..
. tCeyctydty
dy 04006025040
1040060
040060
-
tetyCy 04051040500 ..)(..)( l
s 20 min 17min 3317502550151 040040 ..ln.. .. tee tt
Metabolizem tripsina
Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo.
y0 ........... začetna koncentracija tripsina
y(t) ........... koncentracija tripsina v času t
y ’=ky ........... hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji
Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato sklenemo, da model ni ustrezen in ga skušamo popraviti.
To je ista diferencialna enačba, kot pri radioaktivnem razcepu. Rešitev je y=y0ekt.
Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo diferencialno enačbo:
y’=ky(C-y)y(0) =y0
Dobljeni graf se imenuje logistična krivulja: popravljeni model napoveduje, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.
CktyC
y
y
t
e
Ctykt
yy
yCyC
C
dtkyCy
dydtk
yCydy
)()(
)()(
ln
)()(
11
1
0
0
0
0
0
Teorija verjetnosti obravnava situacije, pravimo jim poskusi, pri katerih je izid odvisen od naključja.
Možni izidi nekega poskusa tvorijo prostor izidov.Primeri
Med vožnjo na faks pelje študent mimo treh semaforjev. Pri vsakem se bodisi ustavi (R) ali pa pelje brez ustavljanja (Z). Prostor izidov lahko predstavimo z
{ ZZZ , ZZR , ZRZ , RZZ , ZRR , RZR , RRZ ,RRR }
Letna količina padavin v nekem kraju je zelo odvisna od naključja. Če jo gledamo kot izid poskusa je prostor izidov množica vseh pozitivnih realnih števil
{t | t 0}
Uvrstitev tekmovalca na kolesarski dirki ‘Franja’ lahko gledamo kot na dogodek v poskusu - tekmi - in za prostor izidov vzamemo množico {1,2,...,N}, kjer je N število udeležencev. Ker se število udeležencev iz leta v leto spreminja, je še bolj smiselno vzeti za prostor izidov množico vseh naravnih števil {1,2,3,...}.
Osnove Osnove verjetnostiverjetnosti
Podmnožicam prostora izidov pravimo dogodki.Dogodek, da se študent ustavi pri drugem semaforju je {ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}.
Dogodek,da se kolesar uvrsti med prvih deset je {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
• dogodka A in B sta nezdružljiva, če je njun presek nemogoč dogodek, AB=N.
•gotov dogodek G tvorijo vsi možni izidi poskusa, nemogoč dogodek N pa je dogodek, ki ne vsebuje nobenega izida.
• presek dogodkov A in B je dogodek AB, da se zgodi tako A kot B.
Dogodek, da se študent ustavi na prvem in na drugem semaforju je AB={RRZ,RRR}.
• unija dogodkov A in B je dogodek A+B, da se zgodi vsaj eden izmed A in B.
A je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, B pa, da se ustavi na drugem semaforju. A+B je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, ali na drugem semaforju ali pa na obeh.
A={RZZ,RZR,RRZ,RRR}, B={ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}, A+B={RZZ,RZR, ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}
Z dogodki računamo enako kot z množicami:
•nasprotni dogodek za A je dogodek A, ki ga tvorijo vsi izidi, ki niso v A.
Dogodek, da se študent ne ustavi na prvem semaforju je A={ZRZ,ZZR,ZZZ,ZRR}.
G
Verjetnostna mera je funkcija, ki vsakemu dogodku A priredi število P(A)[0,1]
in za katero velja:
• P(G)=1
• AB=N P(A+B)=P(A)+P(B)
B
A
P(B)=P(A+(B-A))=
P(A)+P(B-A) ≥ P(A)
A BAB
BABA AB
• P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Sledi:
• P( A )=1-P(A)
P(A)+P(A )=P(G)=1
• P(N)=0
• A B P(A) P(B)
A A
Klasična definicija verjetnosti: če ima poskus končno število enako verjetnih izidov, potem je število izidov v dogodku A
P(A)=________________________________________
število vseh izidov
Statistična definicija verjetnosti: frekvenca dogodka A pri n ponovitvah poskusa je
število poskusov z izidom A ___________________________________________
n
P(A) je limita frekvenc dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa.
Primer Naj bo pri metu kocke A dogodek, da pade sodo število pik.
Klasična definicija: P(A)=½, ker je A={2,4,6} v množici izidov {1,2,3,4,5,6}, za katere privzamemo, da so enako verjetni.
Statistična definicija: P(A) dobimo kot frekvenco sodega števila pik pri velikem številu metov kocke.
Po 1000 metih kovanca dobimo 700 grbov
pri 1001. metu sta oba izida enako verjetna
pri 1001. metu je bolj verjetno, da pade grb
klasično
statistično
Geometrična definicija verjetnosti: če množico izidov lahko predstavimo geometrično, potem je P(A) razmerje med velikostjo (dolžino, ploščino, prostornino...) množice A in velikostjo množice vseh izidov.
Primer Kovanec s premerom 2 cm vržemo na tla pokrita s ploščicami s stranico 10 cm. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da kovanec pokrije stik dveh ploščic?
P(A)=82/102=0.64
Za uporabo je odločilna verjetnost, ‘izmerjena’ po statistični
definiciji. Klasična in geometrična definicija sta običajno
dobra približka.
Pogojna verjetnost
Primer Izvleček rastline digitalis je strupen, vendar lahko pomaga srčnim bolnikom. Ugotavljanje zastrupitve je zelo zahtevno. V neki raziskavi so primerjali koncentracijo digitalisa v krvi s prisotnostjo znakov zastrupitve.
K+/K-: visoka/nizka koncentracija digitalisa v krvi Z+/Z-: prisotnost/odsotnost znakov zastrupitve
relativne frekvence Verjetnost zastrupitve
P(Z+)=0.318
Verjetnost zastrupitve ob visoki koncentraciji digitalisa
P(Z+|K+)=0.185/0.289=0.640
Verjetnost nezastrupitve P(Z-)=0.682
Verjetnost nezastrupitve ob nizki koncentraciji digitalisa
P(Z-|K-)=0.578/0.711=0.848
A,B dogodka ( P(B)≠0 )
Pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B je
P(AB)
P(A|B)= ___________
P(B)
Pogojna verjetnost P(A|B) je delež dogodka A med poskusi, pri katerih se zgodi dogodek B.
Primer
Predpostavimo, da je verjetnost dežja (A) v oblačnem vremenu (B) enaka 0.4 in da je verjetnost oblačnega vremena 0.6. Tedaj je verjetnost, da bo deževalo P(A)=P(AB) = P(A|B).P(B)=0.4
. 0.6=0.24
PrimerIz škatle s petimi rdečimi in tremi modrimi kroglicami izvlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta iste barve?
? ?
M: prva kroglica je modra
R: prva kroglica je rdeča
A: druga kroglica je iste barve kot prva
baza
P(M)=3/8
P(R)=5/8
P(A|M)=2/7 P(A|R)=4/7
P(A)=6/56+20/56=13/28
formula o popolni verjetnosti
H1
H3
H2
H4
A
S pomočjo pogojne verjetnosti lahko izračunamo verjetnost dogodka, ki je rezultat dvostopenjskega poskusa:Izide na prvi stopnji razdelimo na nezdružljive dogodke H1,H2,...,Hn. Poznati moramo verjetnosti P(Hi) in pogojne verjetnosti P(A|Hi ). Tedaj je
)|()(...)|()()(...)(
)...())...(()(
nnn
nn
HAPHPHAPHPAHPAHP
AHAHPHHAPAP
111
11
)|()(...)|()()|()()( nn HAPHPHAPHPHAPHPAP 2211
H1,H2,...,Hn baza dogodkov
P(Hi|A)=P(AHi)/P(A)= P(A|Hi).P(Hi)/P(A)
Bayesova formula
Primer
Raziskave zanesljivosti poligrafov (detektorjev laži) kažejo, da naprava zazna lažen odgovor v 88% primerov in da zazna resničen odgovor v 86% primerov.
Ob testiranju večjega števila ljudi (npr. kandidatov za zaposlitev), na vprašanje, pri katerem velika večina (npr. 99%) nima razlogov lagati, poligraf pri enem od vprašanih zazna simptome lažnega odgovora. Kolikšna je verjetnost, da je vprašani govoril resnico?
L: vprašani laže
R: vprašani govori resnico
P: poligraf zazna laž
N: poligraf zazna resnico
P(L)=0.01
P(R)=0.99
P(P|L) =0.88 P(N|L) =0.12
P(N|R)=0.86 P(P|R)=0.14
P(R|P)=?
P(P|R).P(R) 0.14 . 0.99
P(R|P)= _________________________= _____________________________ = 0.94 P(P|R).P(R)+ P(P|L).P(L) 0.14 . 0.99 + 0.88 . 0.01
Verjetnost, da je vprašani govoril resnico, čeprav je poligraf zaznal laž, je 94%!
)()()|(
)|(AP
HPHAPAHP ii
i
A je neodvisen od B, če je P(A|B)=P(A).
A in B sta neodvisna ⇔ P(AB)=P(A).P(B)
P(A|B)=P(A) ⇔ P(AB)=P(A)P(B)
Primer Iz škatle, v kateri imamo 7 polnih in 3 prazne baterije naključno
vzamemo dve. Naj bo A dogodek, da je prva baterija polna, B pa dogodek, da je druga baterija polna. Ali sta dogodka A in B neodvisna?
P(B|A) )AP()A P(B|P(A)P(B|A)P(B)
)A P(B|) P(B|AP(A)
10
7
10
3
9
7
10
7
9
6
9
7
9
6
10
7
Dogodka A in B sta odvisna.
Primer• V sobi je n oseb. Kolikšna je verjetnost, da imata dve rojstni dan na isti dan?
Dogodek A: dve osebi imata rojstni dan na isti dan.
Nasprotni dogodek: vsi rojstni dnevi so različni.
Ai dogodek, da ima (i+1)-vi različen rojstni dan od prvih i;
Ai so medsebojno neodvisni ⇒
365
365 i)P(Ai
365
1365
365
363
365
364121121
)-n(APAPAPAAAP nn
)()...()()...(
365
1365
365
363
365
3641
)-n(-P(A)
23 oseb ⇒ P(A)>50%
32 oseb ⇒ P(A)>75%
47 oseb ⇒ P(A)>95%
Če vržemo dve kocki, dobimo za vsoto pik število med 2 in 12, vendar te vsote ne moremo vnaprej napovedati, saj je odvisna od slučaja. Podobno velja za število šestic v dveh metih.
Primeri količin odvisnih od slučaja:
• število potnikov mestnega avtobusa, ki izstopijo na postaji
• število metov potrebnih, da igralec z določene razdalje zadane koš
• število bonbonov v vrečki
• življenjska doba žarnice
• teža hlebca kruha
......Slučajna spremenljivka je funkcija, katere vrednosti so odvisne od slučaja.
Določa jo njena: zaloga vrednosti = nabor vrednosti, ki jih lahko zavzame, in porazdelitev = verjetnost, da zavzame eno ali več vrednosti iz zaloge
Slučajne spremenljivke
Primer
Pri metu dveh kock je možnih 36 različnih in enako verjetnih izidov. Če z V označimo vsoto pik, je pripadajoča porazdelitev verjetnosti:
36
67
36
586
36
495
36
3104
36
2113
36
1122
)P(V
)P(V)P(V
)P(V)P(V
)P(V)P(V
)P(V)P(V
)P(V)P(V
Vsi ostali izidi imajo verjetnost 0.
Funkcija pV(n) = P(V=n) je verjetnostna gostota slučajne spremenljivke V.
Slučajna spremenljivka X je diskretna, če zavzame končno ali največ števno mnogo vrednosti x1, x2, x3,...
Njena porazdelitev je povsem določena z gostoto pX(x)=P(X=x).
Običajno naštejemo le neničelne vrednosti: p(x1),p(x2),p(x3),...
Primeri diskretnih porazdelitev enakomerna porazdelitevenakomerna porazdelitev
• X zavzame vrednosti x1, x2,... xn
• pX (x)=1/n, če je x∈{x1, x2,... xn}
pX (x)=0, sicer
Število pik pri metu kocke je enakomerno porazdeljeno:
zaloga vrednosti je {1,2,3,4,5,6}, vse vrednosti imajo verjetnost 1/6.
110 i
ii xpxp )()( Velja:
binomska porazdelitevbinomska porazdelitev
Poskus ponovimo n-krat: naj bo vsakič verjetnost uspeha enaka p (in verjetnost neuspeha 1-p).
(npr. žogo vržemo 10-krat na koš; zadanemo z verjetnostjo 70%)
Slučajna spremenljivka B naj bo število uspešnih poskusov. Kako je porazdeljena?
(tj. kakšna je verjetnost, da bomo imeli k zadetkov?)
• Zaloga vrednosti spremenljivke B je {0,1,2,...,n} • Privzamemo, da so izidi poskusov medsebojno neodvisni.
Obstaja različnih zaporedij k uspešnih in (n-k) neuspešnih poskusov;
verjetnost vsakega zaporedja je pk(1-p)n-k .
k
n
n-kkB p)( p
k
nk) P(B(k) p
1
%.. . p 20200030706
106 46
)(npr. verjetnost, da koš zadanemo natanko 6-krat je
Porazdelitev spremenljivke B za n=10 in p=0.7:
binomska porazdelitev b(n,p)
b(20,0.4)
b(100,0.65)
Lastnosti binomske porazdelitve b(n,p):
značilna zvonasta oblika grafa
maksimum pri n.p (približno)
za velike n so vse verjetnosti zelo majhne ali celo zanemarljive
• tedaj je bolj smiselno verjetnosti opazovati
kumulativno: P(B ≤ k)
ali
intervalsko: P(j ≤ B ≤ k)
Primer
Žogo vržemo na koš 100-krat (verjetnost zadetka je 70%). Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65-krat?
83703070100
10065100
66
100 .. . k
) B P(k
kk
računanje je zelo zamudno in numerično zahtevno
83.7%
Kaj je bolj verjetno: da bomo v 10 metih zadeli 10-krat ali v 100 metih več kot 80-krat?
geometrična porazdelitevgeometrična porazdelitev
Ponavljamo poskus z verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G je število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena?
• Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1,2,3,... }
• P(G=k)=p.(1-p)k-1
p=0.2
Poissonova porazdelitevPoissonova porazdelitev
Poissonova porazdelitev p(a)
• zaloga: {0,1,2,3,... }
• porazdelitev:
-ak
ek!a
kp )(
Če je a=n.p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober približek za binomsko porazdelitev.
Uporaba:
modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem)
.......
Zvezne slučajne spremenljivke
Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti.
dx(x)pbXaPb
aX )(
V tem primeru opišemo porazdelitev s pomočjo funkcije pX(x), ki jo imenujemo gostota slučajne spremenljivke X.
Z njo računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali:
P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b
(npr. da je življenjska doba žarnice med
a in b ur)
Za funkcijo pX(x) velja:
110
)()( iX xpxp in
Primeri zveznih porazdelitev
enakomerna porazdelitevenakomerna porazdelitev
sicer0
101 xp(x)
na [0,1], gostota:
sicer0
1bxa
abp(x)
na [a,b], gostota:
0 1
1
a b
ab1
eksponentnaeksponentna porazdelitev porazdelitev
xea
xp(x) -ax 0
00
Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov...
a
Normalna porazdelitev Normalna porazdelitev N(a,N(a,))
2
2
1
2
1
σx-a
-e
πσp(x)podana z gostoto:
Primeri
zvonasta oblika
maksimum pri a
simetrična glede na a
gostota N(0,) za različne :
N(0,1) je standardizirana normalna porazdelitev;
njena gostota je 2
2
2
1 x
-e
π(x)
)σ
x-a(
σ(x)pN(a,σ
1) poljubno normalno porazdelitev
lahko izrazimo s pomočjo standardizirane
Pri kumulativni verjetnosti je težava, da integral gostote ni elementarna funkcija. Pomagamo si s tabelo za funkcijo
dteπ
Φ(x)x t
-
0
2
2
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 0.0000 0.0039 0.0079 0.0119 0.0159 0.0199 0.0239 0.0279 0.0318 0.03580.1 0.0398 0.0437 0.0477 0.0517 0.0556 0.0596 0.0635 0.0674 0.0714 0.07530.2 0.0792 0.0831 0.0870 0.0909 0.0948 0.0987 0.1025 0.1064 0.1102 0.11400.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1330 0.1368 0.1405 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1590 0.1627 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1843 0.1879
0.5 0.1914 0.1949 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2122 0.2156 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2290 0.2323 0.2356 0.2389 0.2421 0.2453 0.2485 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2733 0.2763 0.2793 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2938 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.31320.9 0.3159 0.3185 0.3212 0.3238 0.3263 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389
1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3484 0.3508 0.3531 0.3554 0.3576 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.3789 0.3809 0.38291.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.40141.3 0.4031 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.4130 0.4146 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.4250 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318
1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.44401.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4494 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45441.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.4590 0.4599 0.4607 0.4616 0.4624 0.46321.8 0.4640 0.4648 0.4656 0.4663 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.47061.9 0.4712 0.4719 0.4725 0.4731 0.4738 0.4744 0.4750 0.4755 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4777 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4807 0.4812 0.48162.1 0.4821 0.4825 0.4829 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4849 0.4853 0.48572.2 0.4860 0.4864 0.4867 0.4871 0.4874 0.4877 0.4880 0.4883 0.4886 0.48892.3 0.4892 0.4895 0.4898 0.4900 0.4903 0.4906 0.4908 0.4911 0.4913 0.49152.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4924 0.4926 0.4928 0.4930 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4937 0.4939 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4950 0.49522.6 0.4953 0.4954 0.4956 0.4957 0.4958 0.4959 0.4960 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4971 0.4972 0.49732.8 0.4974 0.4975 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4978 0.4979 0.4980 0.49802.9 0.4981 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986
3.0 0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989
Ker je funkcija xliha, so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x.
(1.02)=0.3461
(-0.89)=-(0.89)=-0.3132
Primer Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1.5,0.2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1.5?
493705252051120
511
20
5151 .).().)-() ()).X P(..-
..-. ((
Če je X standardizirano normalna N(0,1), je
)()()( 1221 xxxXxP
Če pa je X normalna N(a,), je
)()()(
axax
xXxP 1221
(dobimo z uvedbo nove spremenljivke v integral)
X porazdeljena po N(a,):
682601211 .)()-)- )σ
a-σ-σ)-
σσ-aa
)σaX P(a-σ
((((
954402222 .)()σaXσ P(a-
997203233 .)( )σaXσ P(a-
- 2-2 3-3
68%
95%
99.5%
Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve
b(100,0.02)
P(2)
N(2,1.4)
b(50,0.4)
P(20)
N(20,1.4)
Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova.
Ko je produkt n.p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši.
Povprečna vrednost
X diskretna, vrednosti xk, gostota p(xk) X zvezna, gostota p(x)
k
kk xpxE(X) )( povprečna vrednost
spremenljivke X
x p(x) dxE(X)
PrimerRuleta ima številke od 1 do 36 ter še 0 in 00. Če vložiš 1 Euro na sode, dobiš ali zgubiš 1 Euro glede na to ali kroglica pade na sodo oziroma liho številko.
Dobiček X je +1 z verjetnostjo 18/38 in -1 z verjetnostjo 20/38.
Povprečni dobiček je
19
1
38
201
38
181 )(E(X)
Če vložiš 1 Euro na izbrano številko (npr. 25) dobiš 36 Eurov če kroglica pade na 25, v nasprotnem pa zgubiš 1 Euro.
Povprečni dobiček je
38
1
38
371
38
136 )(E(X)
xe
xp(x) x- 0010
00010..
PrimerŽivljenjska doba žarnice je porazdeljena eksponentno. Kolikšna je, v povprečju, njena življenjska doba?
ur 100010
1
010
1
010
1
010
1010
010
0
010
0
010
0
010
0
010
..
...
.
.
..
.
e-
dx e
x e-
dxx eE(X)
x-
x-x-
x-
V vodiču smo prebrali, da je junija povprečna maksimalna dnevna temperatura v Rimu 77oF. Kolikšno je povprečje v Co?
)(TT oo FC 329
5
Povprečna temeperatura je 25oC.
Lastnosti povprečne vrednosti
bE(Y)aE(X)bY)E(aX
2532779
532
9
532
9
5
)()T(E)(TETE ooo FFC )()(
Za povprečno vrednost velja:
Poznamo , zanima nas :
)( oFTE )( oCTE
Razpršenost
Mera za odstop od povprečne vrednosti:
k
kk )p(xm)(xD(X) 2
p(x) dx(x-m)D(X) 2
m=E(X)
22222222 222 mm)E(XmmE(X))E(X)mmXE(X)m)E((XD(X)
računska formula:
2))(( XEXED(X) razpršenost (varianca, disperzija)
22 )()( XEXED(X)
D(X)σ(X) standardni odklon slučajne spremenljivke X
σ(X)ab)σ(aX
D(X)ab)D(aX
2
536
21
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11 .)( XE
6
91
6
136
6
125
6
116
6
19
6
14
6
112 )(XE
92212
35
6
21
6
912
.)(
XD
Primer Kako je razpršeno število pik pri metu kocke?
Primer Standardni odklon pri metu kocke je 711922 ..
Lastnosti razpršenosti in standardnega odklona
enakomerna
n,...,,21
]),[()( baxxpab
1
21n
1212 n
1212 n
binomska b(n,p) n,...,,, 210 knk ppk
nkp
)()( 1 np )( pnp 1 )( pnp 1
geometrijska ,...,, 321 11 kppkp )()( p1
2
1
pp
pp1
Poissonova P(a) ,...,, 210a
ka ekp
k !
)( a a a
enakomerna
],[ ba 2ba
12
2)( ab32
)( ab
eksponentna ),[ 0 axaexp )(
nkp 1)(
a1
a1
2
1a
normalna N(a,) ),( 2
21
21
ax
exp )( a 2
porazdelitev zaloga gostota E(X) D(X) (X)
Povprečna vrednost in razpršenost nekaterih porazdelitev
dis
kretn
ezv
ezn
e
Zakon velikih števil
Pri večjem številu poskusov je odklon od povprečja manj verjeten.
Primer
Igralec zadane v povprečju 70% metov na koš. Kaj je bolj verjetno:
da bo v 10 metih zadel 10-krat ali v 100 metih več kot 80-krat?
P(10 zadetkov iz 10 poskusov)=0.710=0.028
008803070100100
81
100 .. . kk
kk
P(več kot 80 zadetkov iz 100 poskusov)=
Prva možnost je trikrat (!) bolj verjetna. Zakaj je tako?
Statistika
Formulacija problema: opazujemo neko množico (končno ali neskončno), ki ji pravimo populacija;
(npr. prebivalci Slovenije, izdelki neke tovarne, bolniki z neko boleznijo, delnice na borzi) vsak element populacije ima neko merljivo lastnost X;
(npr. starost, kakovost izdelka, učinek zdravila, cena delnice)
vrednost X je zaradi nekega razloga (velikost populacije, način ugotavljanja,...)
znana le na delu populacije, ki mu pravimo vzorec;
Osnovni problem statistike:
Kaj lahko povemo o lastnosti X na podlagi njenih vrednosti na danem vzorcu?
V nekaterih primerih skušamo reprezentativnost doseči z dirigiranim vzorčenjem (npr. onesnaženje običajno merijo na stalnih lokacijah). Obstaja nevarnost, da je takšno vzorčenje pristransko.
Če je vzorec naključno izbran, so vrednosti X na vzorcu slučajna spremenljivka. Enako velja za vse količine (povprečja, standardni odkloni...), ki jih lahko izračunamo iz teh vrednosti.
Idealni vzorec je reprezentativen, tj. značilnosti X na vzorcu se ujemajo z značilnostmi na celotni populaciji. Pri naključnem vzorcu lahko določimo verjetnost, da je reprezentativen.
Omejili se bomo na primere, ko je izbira vzorca povsem naključna. To pomeni, da vzorec izbiramo zaporedoma in pri tem ima vsak element populacije enako verjetnost, da se znajde v vzorcu.
Vzorčenje
Populacijski parametri:
velikost populacije: N
vrednosti X na populaciji:
x1,x2,...,xN
N
kkx
Nm
1
1
populacijsko povprečje:
mxN
σN
kk
1
22 1
populacijska razpršenost:
Vzorčni parametri:
velikost vzorca: n
vrednosti X na vzorcu:
X1,X2,...,Xn
vzorčno povprečje:
n
kkX
nX
1
1
vzorčna razpršenost:
XXn-
sn
kk
1
22
1
1
Opisovanje podatkov in računanje parametrov
rezultati kolokvija
40196848592831302525363941886660573794449098592992556443545287343674618054
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
0
1
2
3
4
5
6
1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95
0
1
2
3
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
1622
9753
.
.
s
X
9521
8352
.
.
s
X
9321
1753
.
.
s
Xintervali dolžine 5
intervali dolžine 10
Običajno tvorimo 10-20 kategorij. Zaželjeno je, da je v večini kategoriji vsaj 5 enot. Pri računanju povprečja in razpršenosti upoštevamo sredine intervalov.
Intervalsko ocenjevanjeVzorčno povprečje in razpršenost sta približka za populacijsko povprečje in
razpršenost. Primer
simulirali smo 10 zaporedij po 100 metov kocke in dobili naslednjo tabelo:1.simulacija
5 5 6 3 2 6 4 6 4 3 5 4 5 4 2 6 6 1 4 2 6 6 5 2 5 4 3 5 1 5 6 6 3 2 2 6 6 6 1 3 3 6 4 1 4 1 3 6 4 1 6 2 1 2 1 4 6 5 3 1 1 4 6 1 4 5 4 6 4 2 3 6 3 3 4 2 6 3 2 6 4 5 3 1 1 4 1 6 1 6 3 5 1 1 1 3 2 2 2 2
2.simulacija 1 4 6 4 5 4 6 2 6 1 4 4 2 4 6 2 1 2 3 6 2 1 3 1 5 2 6 5 1 3 2 1 1 1 5 3 5 3 1 6 5 2 4 5 2 6 1 3 5 4 5 4 1 6 1 6 4 1 2 2 4 4 6 2 5 3 2 3 6 5 2 5 4 5 3 3 1 2 4 2 3 1 2 6 4 4 6 5 4 4 3 4 5 2 3 3 2 6 6 4
3.simulacija 4 5 5 4 6 6 3 5 6 2 2 5 5 4 6 1 6 4 5 5 4 1 5 2 6 3 3 5 5 4 4 2 4 5 4 4 2 6 6 5 2 6 4 4 5 5 6 1 2 5 2 5 6 6 6 3 6 4 4 2 5 1 6 3 4 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 2 2 5 5 4 6 6 4 6 5 3 1 3 6 1 4 5 4 4 5 5 3 2 4 1
4.simulacija 6 1 5 6 4 2 6 5 3 3 4 1 2 3 5 4 2 2 3 6 6 5 2 6 1 1 1 6 2 1 5 1 5 3 4 1 6 2 6 3 2 6 2 6 1 6 6 1 1 2 3 3 5 6 5 2 5 1 1 3 1 6 5 2 1 1 6 1 6 2 6 6 2 5 2 2 5 4 3 6 5 6 4 5 2 6 1 6 4 4 1 1 3 1 3 1 1 5 5 1
5.simulacija 2 3 3 5 5 1 4 4 4 1 6 6 6 4 3 5 6 3 3 5 5 2 3 5 3 3 6 2 5 4 2 4 2 4 2 5 4 5 1 1 2 3 5 4 4 1 4 5 4 4 2 5 2 5 4 5 4 1 3 5 6 4 5 1 1 2 3 4 6 2 5 6 5 1 6 6 5 5 1 4 5 4 6 4 2 5 2 2 5 2 1 2 5 2 4 5 4 2 6 3
6.simulacija 1 4 1 2 3 1 6 1 3 6 6 5 6 1 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 6 3 5 5 4 1 2 6 3 2 3 4 1 6 1 5 1 1 4 5 1 1 2 4 1 2 4 1 5 5 4 6 6 5 5 5 1 1 3 2 6 4 1 5 4 1 1 2 5 6 4 6 5 6 4 2 3 4 4 1 3 6 4 5 1 4 1 6 1 3 1 3 3 5 5
7.simulacija 4 2 4 4 2 5 5 2 3 1 1 6 4 3 1 6 6 6 4 1 6 2 4 5 4 5 4 1 5 6 3 2 3 6 4 2 3 4 6 5 1 5 4 4 5 5 2 4 5 1 5 2 2 1 1 3 3 4 2 5 5 2 4 3 3 5 5 3 3 5 2 5 1 1 4 3 5 4 2 2 6 1 4 6 3 5 2 2 2 2 3 6 6 4 6 2 4 3 4 1
8.simulacija 2 6 2 2 5 4 4 1 3 4 5 2 1 6 6 1 5 4 1 1 4 1 6 3 6 5 5 6 5 3 5 1 6 3 1 4 2 1 6 4 3 5 3 4 6 5 2 3 4 3 1 2 3 2 4 1 4 5 1 4 2 6 2 4 2 4 3 6 2 4 3 1 5 5 6 5 1 2 5 2 5 1 1 2 6 3 1 3 6 2 3 5 3 3 6 3 4 1 4 4
9.simulacija 2 5 5 3 2 3 2 1 3 5 3 5 6 6 3 3 2 5 2 3 6 2 2 6 5 4 6 6 3 2 4 2 1 6 5 2 3 2 2 1 1 6 3 1 1 4 1 2 4 2 5 2 5 2 6 4 6 1 3 5 1 5 1 4 4 2 3 5 6 2 2 3 2 4 5 6 3 5 6 4 3 3 2 5 6 3 2 3 3 4 6 1 1 4 2 2 5 1 6 4
10.simulacija 5 5 3 2 6 4 2 4 5 4 1 3 3 4 1 3 4 1 6 4 1 1 4 6 3 5 1 2 5 6 4 3 6 3 1 1 6 5 1 1 5 5 3 3 1 2 3 6 4 5 2 6 1 5 2 5 5 2 6 4 4 3 4 1 3 5 6 1 3 3 2 6 4 5 4 5 2 2 1 2 4 3 6 4 2 5 4 3 2 2 5 3 6 2 4 3 4 4 3 5
3.59 1.800
3.47 1.687
3.94 1.605
3.44 1.930
3.68 1.567
3.28 1.789
3.53 1.602
3.43 1.692
3.42 1.668
3.50 1.609
X s
Kolikšna sta povprečna vrednost in standardni odklon pri metu kocke?
...lahko pa določimo interval, za katerega je zelo
verjetno, da vsebuje iskani populacijski parameter.
Osnovno vprašanje:
kako na podlagi vzorčnih parametrov oceniti dejanske populacijske parametre?
(pri metu kocke je teoretično povprečje 3.5, standardni odklon pa 1.707)
Pri numeričnih metodah določimo približek in oceno za napako približka. Dejanska vrednost je nekje na intervalu okoli približka.
Na podlagi vzorca ni mogoče sklepati o parametrih populacije
s 100% zanesljivostjo...,
Velja: je normalno porazdeljena;
je porazdeljena po N(0,1).
X .n
σ)Xa, σ)XE( (
nσ-aX
95440222 .)Φ(nσ-aX
P
%.
n
σXa
n
σXP 4495
22
Z več kot 95% verjetnostjo lahko zagotovimo, da
je populacijsko povprečje na intervalu .
n
σX,
n
σX
22
XNa vzorcu velikosti n dobimo vrednosti X1,X2,...,Xn in izračunamo njihovo povprečje
Naj bo količina X normalno porazdeljena na celotni populaciji.
Privzamimo, da je standardni odklon znan, povprečje a pa ne.
997203233
.)Φ(n
σXa
n
σXP
Podobno dobimo:
Z več kot 99.7% verjetnostjo je populacijsko
povprečje vsebovano v intervalu .
n
σX,
n
σX
33
Verjetnost, s katero se iskani parameter nahaja na nekem intervalu je stopnja zaupanja.
Pripadajoči interval je interval zaupanja.
Večja stopnja zaupanja ali večja razpršenost ⇒ širši interval zaupanja.
Večji vzorec ⇒ ožji interval zaupanja.
Splošni postopek za določanje intervalazaupanja za populacijski parameter u:
1) določimo vzorčni parameter ū, ki je primerni približek za u
(npr. za povprečje ali s 2 za razpršenost)
2) določimo porazdelitveni zakon vzorčnega parametra ū
(npr. normalni, binomski,...; to je najzahtevnejši korak - praviloma se omejimo na standardne primere)
3) izberemo stopnjo zaupanja
(običajno =95% ali =99%)
4) na podlagi porazdelitve in vrednosti vzorčnega parametra ū na danem vzorcu določimo interval zaupanja [U1,U2] za u, ki pripada izbrani stopnji zaupanja
( tako, da velja P(U1 ≤ u ≤ U2) = ).
X
Primer
Na podlagi simulacij določimo intervale zaupanja s 95% stopnjo zaupanja za povprečno število točk pri metu kocke.
1) populacijski parameter je povprečje , približek pa vzorčno povprečje
2) vzorec je sorazmerno velik (n=100), zato smemo privzeti, da je porazdeljen normalno po N(,0.8)
3) pri stopnji zaupanja =95% je rešitev enačbe
P(|Z| ≤ z)=0.95 (oziroma (z)=0.4750)
z0.95=1.96 (preberemo iz tablic)
4) Iz sledi , torej je
interval zaupanja
X
X
(standardizirano povprečje pa je porazdeljeno po N(0,1))10080.-μX
Z
961100 .s-μX
100
961100
961s
.Xμs
.-X
100
961100
961s
.X,s
.-X
Podobno dobimo z0.99=2.58 in interval
zaupanja na stopnji zaupanja 99% je
100
582100
582s
.X,s
.-X
X s
3.59 1.800 [3.237,3.942] [3.125,4.054]
3.47 1.687 [3.139,3.800] [3.034,3.905]
3.94 1.605 [3.625,4.254] [3.495,4.354]
3.44 1.930 [3.061,3.818] [2.941,3.938]
3.68 1.567 [3.372,3.987] [3.275,4.084]
3.28 1.789 [2.929,3.630] [2.818,3.741]
3.53 1.602 [3.215,3.844] [3.116,3.943]
3.43 1.692 [3.098,3.761] [2.993,3.866]
3.42 1.668 [3.092,3.747] [2.989,3.850]
3.50 1.609 [3.184,3.815] [3.084,3.915]
interval zaupanja
95% 99%
100100
szX,
s-zX
Pri manjših vzorcih in neznanem standardnem odklonu privzetek o normalni porazdeljenosti ni več upravičen. Običajno dobimo za približek porazdelitev, ki je odvisna od velikosti vzorca.
Primer
Količina X je porazdeljena normalno po N(a,), pri čemer sta oba parametra neznana.
Dobiti želimo interval zaupanja za populacijsko povprečje a.
Dan je vzorec velikosti n: parameter a ocenimo z , parameter 2 pa z s2 in tvorimo
novo spremenljivko
Velja: T je porazdeljena po t.im. Studentovem zakonu S(n-1)
Nadaljevanje je kot prej: za izbrano stopnjo zaupanja iz tabel določimo t,, da velja
P(|T| ≤ t)=
Interval zaupanja za a na stopnji zaupanja je
X
ns-aX
T
n
stX,
n
s- tX αα
Studentova porazdelitev S(n-1) ima gostoto22
11
n-
n n-x
kp(x)
...... .
)x(
): p(x)S(
)x(
): p(x)S(
)x(π): p(x)S(
2
52
2
32
2
3
363
2
12
1
11
S(1) S(2) S(3) S(4) ... N(0,1)
Tabela majhnih vrednosti porazdelitve S(n)
parameter n(‘stopnje prostosti’)
mejna vrednost na stopnji zaupanja 1- ( P(|T| ≤ t)=1- )
95% 99%
Intervalska ocena za standardni odklon pri normalni porazdelitvi
Populacijsko razpršenost 2 primerjamo z vzorčno s2:
Velja: 2 je porazdeljena po
zakonu ‘hi-kvadrat’ 2(n-1)
Porazdelitvena gostota ni simetrična,zato za izbrano stopnjo zaupanja poiščemo 2
a in 2b , da velja
P( 2 ≤ 2
a )=P( 2 ≥ 2
b )=1-/2
⇒ P(2a ≤ 2
≤ 2b )=
Interval zaupanja za 2 na stopnji zaupanja je
2
22 1
σs
)(nχ
2a 2
b
2
2
2
2 11
ab χsn
,χ
sn
Hi-kvadrat porazdelitev 2(n) ima gostoto (x > 0)
.....
ex): p(x)(χ
exπ
): p(x)(χ
e): p(x)(χ
x
e
π): p(x)(χ
x-
x-
x-
x-
22
22
22
22
4
14
2
13
2
12
2
11
21
2
x-
n
n exk p(x)
Za velike n (n > 30) je ), N( n- -χ 10122 2
Tabela majhnih vrednosti porazdelitve 2(n)
parameter n(‘stopnje prostosti’)
mejna vrednost 2
( P( 2 ≥ 2
)= )
Preskušanje statističnih domnev
Statistična domneva je trditev o porazdelitvenem zakonu slučajne spremeljivke, ki jo želimo potrditi ali ovreči na podlagi vrednosti, ki jih zavzame na nekem vzorcu.
parametrične domneve
(trditve o parametrih znanega porazdelitvenega zakona, npr. Poissonovo porazdeljena spremenljivka ima povrečje a)
neparametrične domneve
(trditve o naravi porazdelitvenega zakona, npr. spremenljivka je normalno porazdeljena)
Domneva je enostavna, če v celoti določa porazdelitev (tip in parametre), sicer pravimo, da je sestavljena.
(npr. če H0 trdi, da je porazdelitev Poissonova z neznanim parametrom - H1 pa, da ni Poissonova, sta obe sestavljeni)
Omejili se bomo na nekaj značilnih primerov preskušanja parametričnih domnev, ko je vsaj ničelna domneva enostavna.
primerjamo dve domnevi:
H0: ničelna domneva in H1: alternativna domneva
(npr. H0 trdi, da porazdelitev ustreza zakonu P(2), H1 pa, da ustreza zakonu P(3.5))
Primer
Leta 2003 je bilo v Sloveniji 17321 živorojenih otrok, od tega 8930 dečkov in 8391 deklic. Zanima nas, ali so te številke v nasprotju s privzetkom, da je rojstvo dečka enako verjetno kot rojstvo deklice.
Za slučajno spremenljivko X vzamemo število rojstev dečkov. Privzeti smemo, da je X porazdeljena po binomskem zakonu b(n,p).
Za H0 vzamemo enostavno domnevo, da je pri tem p=0.5, za alternativo H1 pa sestavljeno domnevo, da je p > 0.5.
Izberemo majhno število (npr. 0.05 ali 0.01) in poiščemo kritično vrednost c,da je pri pogoju p=0.5 verjetnost
P(X > c)=.
Če je število dečkov večje od c, bomo H0 zavrnili, v nasprotnem primeru pa ne.
je značilnost preskusa
. c ..
.c .
..c
Φ
..
.cΦ)cP(X)cP(X
...
...
587686518065
58660450
8065
58660
0508065
58660
2
111
050050050
050050050
Binomsko porazdelitev b(17321,0.5) aproksimiramo z N(a,), kjer je a=17321.0.5=8660.5, 2=17321.0.5.(1-0.5)=4330.25 in =65.80. Za značilnost preskusa vzamemo =0.05.
Ker je dejanska vrednost (8930) večja od c0.05, ničelno domnevo zavrnemo.
Pri 1% značilnosti preskusa bi dobili c0.01=8813.5, torej bi domnevo zavrnili tudi pritem ostrejšem preskusu.
Enostavna parametrična domneva u=u0 ima tri alternativne parametrične domneve:
u > u0
u < u0
u ≠ u0
Za prvo in drugo alternativo pravimo, da sta enostranski, za tretjo pa, da je dvostranska.
u0 c
sprejmemo zavrnemo
c u0
zavrnemo sprejmemo
c1 u0 c2
zavrnemo sprejmemo zavrnemo
Primer Pri preskušanju trdnosti nekega materiala je smiselna enostranska alternativa, saj nas ne moti, če je le-ta trdnejši kot pričakujemo. Pri preskušanju odstopov velikosti vijaka glede na matico pa raje oblikujemo dvostransko alternativo.
Z porazdeljena po N(0,1) - kako določimo c?
dvostranski preskus:
enostranski preskus:
2
1211
αc Φ cΦ )cZP()cZP(α αααα
-αc Φ cΦ )cP(Z)cP(Zα αααα 2
1
2
111
2
1
2
1 αc Φ cΦ)cP(Zα ααα
Podobno ravnamo pri drugih preskusih. Pri t-testu tvorimo
in upoštevamo, da je T porazdeljen po zakonu S(n-1).
Kritične vrednosti za dvostranski poskus pri značilnosti so v (n-1)-vi
vrstici in stolpcu, ki ustreza .
Kritične vrednosti za enostranski poskusa pa so v stolpcu, ki ustreza .
ns-aX
T
2
α
Primer
Povprečje 10 meritev gostote neke snovi nam je dalo 1.35 g/cm3, čeprav bi teoretično pričakovali gostoto 1.2 g/cm3. Na podlagi izkušenj vemo, da je pri tovrstnem merjenju standardna napaka =0.25. Ali na podlagi tega lahko zavrnemo H0(=1.2 g/cm3)? Značilnost preskusa naj bo 5%.
1.) H1(≠1.2) (dvostranski preskus)
89110250
21351.
...
nσ-ρX
Z
. c .cΦ .. 9614750 050050 Ničelne domneve ne zavrnemo.(testna vrednost je manjša od kritične)
2.) H1( > 1.2) (enostranski preskus)
. c .cΦ .. 651450 050050 Ničelno domnevo zavrnemo.(testna vrednost je večja od kritične)
Pri sestavljeni alternativi lahko manj verjetni del alternative zmanjša možnost za izključitev ničelne domneve.
Odvisna vzorca Bolnik Število dodatnih ur spanja
X (zdravilo A) Y (zdravilo B) 1 1.9 0.7 2 0.8 -1.6 3 1.1 -0.2 4 0.1 -1.2 5 -0.1 -0.1 6 4.4 3.4 7 5.5 3.7 8 1.6 0.8 9 4.6 0.0 10 3.4 2.0
PrimerNa bolnikih so preskušali vpliv dveh zdravil (A in B) proti nespečnosti. Ali lahko na podlagi podatka o dodatnem številu ur spanja sklepamo o tem, da je eno zdravilo bolj učinkovito od drugega?
Privzemimo, da imamo rezultate vpliva obeh zdravil na istih bolnikih.
(parni t-test)
Tvorimo razliko Z=X-Y, za katero lahko privzamemo, da je porazdeljena normalno, po zakonu N(a,).
Primerjamo H0(a=0) proti H1(a≠0).
Z Z2
1.2 1.44 2.4 5.76 1.3 1.69 1.3 1.69 0.0 0.00 1.0 1.00 1.8 3.24 0.8 0.64 4.6 21.16 1.4 1.96 15.8 38.58
231511
5812 .,
.
s.s
Z
06410231
0581.
..
t
0642620250 ... t
Pri 95% stopnji zaupanja domnevo, da sta zdravili enakovredni zavrnemo.
top related