matematikai b¶vésztrükkök · 2013-03-26 · bevezetés b¶vész? "a b¶vész nem...

Matematikai B¶vésztrükkök

Mészáros Gábor

Central European University, Budapest

Apáczai Napok2013. Március 27.

Mészáros Gábor Matematikai B¶vésztrükkök

BevezetésB¶vész?

"A b¶vész nem varázsló, csak színész aki a varázsló szerepét játssza."

"Csak a kezemet �gyeljék, mert csalok!"

Rodolfo al. Gács Rezs® (1911-1987)

BevezetésB¶vész?

BevezetésMatematikus "B¶vészet" ?!

266× 5 =?

19× 21 =?

292 =?

266× 5 = 266×102

= 26602

= 1330,

19×21 = (20−1)×(20+1) = 202−12 = 400−1 = 399,292 = (30− 1)2 = 302 + 12 − 2× 30× 1 = 900+ 1− 60 = 841.

a = b (1)

a2 = ab (2)

a2 + (a2 − 2ab) = ab + (a2 − 2ab) (3)

2(a2 − ab) = a2 − ab (4)

2 = 1 (5)

Bevezetés

Miért érdekes egy b¶vésztrükk?LátványosVáratlan"Hogy csináltad?!"...

Nem feltétlenül szükséges kártya vagy cilinder a fenti hatásokeléréséhez. Lássunk néhány példát!

BevezetésNincs b¶vésztrükk közönség nélkül

BevezetésHangolódjunk rá...

1 Gondolj egy egész számra 1 és 10 között! Szorozd meg a gondoltszámot 9-cel!

2 Add össze a jegyeket! Vonj le a számból 5-öt!3 Válaszd ki a kapott számhoz tartozó bet¶t a táblázatból!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!

Gondolatolvasás (?)

A gondolt szavak sorrendben:

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

2 Add össze a jegyeket! Vonj le a számból 5-öt!

3 Válaszd ki a kapott számhoz tartozó bet¶t a táblázatból!1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!

5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!

6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKAMészáros Gábor Matematikai B¶vésztrükkök

BevezetésHangolódjunk rá...Megfejtés

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

n egész szám jegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva,mint az eredeti szám.

Számunk szorzást követ®en 9-cel osztható, így n ≤ 10 miatt a kapottjegyösszeg 9, a kivonást elvégezve az eredmény 4.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

n egész szám jegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva,mint az eredeti szám.

Számunk szorzást követ®en 9-cel osztható, így n ≤ 10 miatt a kapottjegyösszeg 9, a kivonást elvégezve az eredmény 4.

Mindenki a D bet¶t választja!!!

Európai ország D-vel: DÁNIA (Európán kívüli jelöltek?)

Szín N-nel: NARANCS (neonzöld?)

Négylábú eml®s R-rel: rozsomák, rackajuh, rozmár... de leginkábbRÓKA.

Összefoglalás

Az áldozat döntésének nincsen beleszólása a kimenetelbe.

Megjegyzés

A b¶vész fegyvertárának egyik f® eleme az irányítás átvétele a színfalakmögül. Lássunk néhány példát!

Összefoglalás

Megjegyzés

Összefoglalás

Megjegyzés

Összefoglalás

Megjegyzés

Összefoglalás

Megjegyzés

Néhány Egyszer¶ Trükk

Néhány Egyszer¶ TrükkDUPLA FORDULAT

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!

2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add

össze az eredetit és a megfordítottat.5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!

Csiribí, csiribá!A véletlenül sorsolt két szám azonos!

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!

3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!

4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal addössze az eredetit és a megfordítottat.

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add

össze az eredetit és a megfordítottat.

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!abc = 100a + 10b + c .

2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!|abc − cba| = |100a + 10b + c − 100c − 10b − a| = |99a − 99c | =99× |a − c | ∈ {99, 198, 297, 396, . . . , 891}.

4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal addössze az eredetit és a megfordítottat. x9y + y9x

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)! Az eredmény:

2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!

3 Vedd a szám abszolút értékét!|abc − cba| = |100a + 10b + c − 100c − 10b − a| = |99a − 99c | =99× |a − c | ∈ {99, 198, 297, 396, . . . , 891}.

Néhány Egyszer¶ TrükkVÁRATLAN UTAZÁS

1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!

2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?

1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!

3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?

1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!

4 Isten hozott... HOL IS?

1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?

Road Coloring ProblemA "VÁRATLAN UTAZÁS" matematikai hátterér®l

FeladatAdott G = (V ,A) er®sen összefügg® irányított gráf, melyben minden csúcs"ki"-foka adott k egész. Színezzük az éleket k színnel, úgy, hogy megfelel®"szó" mentén utazva minden csúcsból ugyanoda érkezzünk.

Tétel[Kari, 2003] Ha G = (V ,A) er®sen összefügg® (aperiodikus) irányított gráf,melyben minden csúcs "ki"-foka és "be"-foka ugyanazon k egész, létezikmegfelel® "szinkronizáló" színezés.

Tétel[Trahtman, 2009] Ha G = (V ,A) er®sen összefügg® (aperiodikus)irányított gráf, melyben minden csúcs "ki"-foka adott k egész, létezikmegfelel® "szinkronizáló" színezés.

Néhány Egyszer¶ TrükkSTOP

1 Keverjük meg a paklit!

2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

"kis" paklit tegyük el szem el®l!6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?

1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!

3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!

4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!

5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik"kis" paklit tegyük el szem el®l!

6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?

1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

"kis" paklit tegyük el szem el®l!

6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?

"kis" paklit tegyük el szem el®l!6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.

7 A keresett lap: ?

Hangsúly az El®készületen

Hangsúly az El®készületenPACÁK

1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!

2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!3 A gondolt szám...

1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!

3 A gondolt szám...

1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!3 A gondolt szám...

Hangsúly az El®készületenPACÁK - Megoldás

A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.

Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD

A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!

Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD

A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD

Következmény

Az els® n szám kódolásához legalább dlog2 ne pacára van szükség. Ennyielegend®, a bináris kódolás egy lehetséges megoldás.

Megjegyzés

Az közölt megoldás mellett számos további csoportosítás is elképzelhet®,pl. bináris eltoltja és/vagy komplementere.

Következmény

Az els® n szám kódolásához legalább dlog2 ne pacára van szükség. Ennyielegend®, a bináris kódolás egy lehetséges megoldás.

Megjegyzés

Az közölt megoldás mellett számos további csoportosítás is elképzelhet®,pl. bináris eltoltja és/vagy komplementere.

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: PAKLIK

A b¶vész az {1, 2, . . . , 99, 100} lapokból álló paklit három kisebb paklirabontja. Egy önkéntes két tetsz®les lapot húz, a b¶vésznek megmondja ahúzott számot összegét. A b¶vész rámutat a választott paklikra.

A b¶vész az {1, 2 . . . , 100} lapokból álló paklit három kisebb paklirabontja. Egy önkéntes két tetsz®les lapot húz, a b¶vésznek megmondja ahúzott számot összegét. A b¶vész rámutat a választott paklikra.

Megoldás:

Szortírozás 3-as maradék alapján. 0+ 1 = 1, 0+ 2 = 2, 1+ 2 = 0, akódolás egyértelm¶.

Matematikai Diákolimpia, 2000./4.(Dobos Sándor)

Összesen két olyan csoportosítás létezik, mellyel a trükkelvégezhet®!

1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}

Megoldás:

1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}

Megoldás:

1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}

2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}

Megoldás:

1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}

Kérdés:Kivitelezhet®-e a trükk, ha 4 blokkba szeretnénk szétrakni a kártyákat?

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: AZ ÖTÖDIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 5 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd az ötb®l négy lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja az ötödik lapot.

Ötlet 1.Az 52 lapot rendezzük, négy lappal kódoljuk az 5. sorszámát.

ROSSZ!A 4 lap sorrendje 4! = 24 féle lehet, nekünk legalább 52− 4 = 48 kódralenne szükségünk.

Ötlet 1.Az 52 lapot rendezzük, négy lappal kódoljuk az 5. sorszámát.

ROSSZ!A 4 lap sorrendje 4! = 24 féle lehet, nekünk legalább 52− 4 = 48 kódralenne szükségünk.

Ötlet 2.A segéd az els® lappal az 5. lap színét kódolja, a további három lappal asorszámot.

ROSSZ!A 3 lap sorrendje 3! = 6 féle lehet, nekünk legalább 11 kódra lenneszükségünk.

Ötlet 2.A segéd az els® lappal az 5. lap színét kódolja, a további három lappal asorszámot.

ROSSZ!A 3 lap sorrendje 3! = 6 féle lehet, nekünk legalább 11 kódra lenneszükségünk.

Megoldás

A segéd az els® lappal az 5. lap színét kódolja, a további három lappal az1. és 5. lapok ciklikus távolságát. Skatulya elv miatt az 5 lap közül 2azonos szín¶. válasszunk két ilyen lapot, tartsuk meg azt, melynek ciklikustávolsága társától legfeljebb 6. A 2.,3. és 4. lapok sorrendjével kódoljuk atávolságot.

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: A HARMADIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 3 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a háromból két lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

A kályhától...

A maradék két lap 2! = 2 sorrendet kódolhat.

A három lap színe lehet páronként különböz®.

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: A HARMADIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 3 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a háromból két lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

A kályhától...

A maradék két lap 2! = 2 sorrendet kódolhat.

A három lap színe lehet páronként különböz®.

Nincs Megoldás (?)

A Segéd 3-féle módon választhatja ki a rejtett kártyát. A megmaradt kétlapot 2 sorrendben, mindegyiket két féle módon forgatva adhatja át ⇒legfeljebb 3× 2!× 22 = 24 lapot tudunk kódolni.

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: VARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA

4+1A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 4 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése után további 1 lapotválaszt. A közönség az 5 lapból 4-et átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész azátnyújtott lapok alapján kitalálja az ötödik lapot.

2+1A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 2 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése után további 1 lapotválaszt. A közönség a 3 lapból 2-t átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész azátnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

a+bA közönség a lapot, a segéd b lapot választ. A közönség az a+b lapbóla+b-1-t átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész kitalálja a hiányzó lapot.

Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: VARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA

2+1: A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 2 lapját ésátnyújtja a b¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése utántovábbi 1 lapot választ. A közönség a 3 lapból 2-t átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

Egyértelm¶ feladat

Olyan három elem¶ halmazokat kell képeznünk, hogy bármely 2 elemetpontosan egy hármas tartalmazzon. Lehet ilyet?

BlokkrendszerekVARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA � matematikai háttér

De�nícióEgy n elem¶ H halmazon megadott részhalmazok családja 2− (n, b, k, r , λ)blokkrendszer, ha:

minden részhalmaz k elem¶,

H minden x elemét pontosan r halmaz tartalmazza,

H bármely két elemét pontosan λ halmaz tartalmazza.

Fano-sík � példa 2-(7,3,1) blokkrendszerre

BlokkrendszerekVARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA � matematikai háttér

Nekünk egy 2− (52, 3, 1) blokkrendszerre lenne szükségünk. Vannak-e aFano-síknál nagyobb blokkrendszerek?

BlokkrendszerekSET � egy másik kártyajáték

Azok a hármasok formálnak halmazokat ("egyeneseket"), melyeknél akártyák mindegyik tulajdonságra nézve

vagy páronként különböz®ek,

vagy páronként azonosak.

BlokkrendszerekSET példa "egyenesre"

BlokkrendszerekSET

Állítás

A SET 34 = 81 kártyát tartalmaz, melyek összesen (812)

3= 1080 halmazt

tartalmaznak.

Állítás

Egy 2− (n, k , λ) blokkrendszer összesen b =(n2)

(k2)× λ halmazt tartalmaz.

?Miért egyenes?

BlokkrendszerekSET

De�nícióEgy 2− (n, k , 1) blokkrendszer véges projektív sík, ha bármely két halmazmetszete pontosan 1 elem¶.

PéldaA Fano sík projektív sík, a SET nem.

Hangsúly az El®készületenA HARMADIK KÁRTYA matematikai háttere

NADE AKKOR MEG TUDJUKCSINÁLNI A TRÜKKÖT???Tények

Máig nyitott kérdés, milyen elemszámokra léteznek véges projektívsíkok.

Nem létezik 52 elem¶ projektív sík.

Tudomásom szerint nem ismert 52 elem¶ blokkrendszer. (BOCS')

Már blokkrendszerek konstruálása is nehéz, t ≥ 3 esetén t − (n, k , λ)rendszerekre csak véges sok példa ismert.

Ott, ahol elkezdtük

Válaszd ki az alább feltüntetett 6 lap egyikét!

Gondolj er®sen a kiválasztott lapra!

Most eltüntetem a kiválasztott lapot a sorból!

Most pedig a többit is!

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!

(huss)

matematikai b¶vésztrükkök · 2013-03-26 · bevezetés b¶vész? "a b¶vész nem...

Documents

a szent korona nem csak -...

01b manierizmus csak kepek.pdf

ne csak unokáink lássák

„vonalak, csak vonalak”

emberre csak ezzel valok_shared

03 klasszizicmus csak kepek

10 romanika csak képek

iii. rész: ÚjÉv ünnepe(jan.1.) i. sorozat: vasárnapok...

csak úgy, hobbiból

thomas mann márió És a varázsló

jászay pál - a magyar nemzet napjai a mohácsi vész után...

szepesvármegye a mohácsi vész előtt / hradszky...

11 gótika csak képek

nem robbanas, csak osszeomlas

talanos iskola felso...

csak a győzelem

· magyarul 'l csak románul csak horvátul csak olaszul...

hradszky józsef-szepes vármegye a mohácsi vész előtt

ne csak szép legyen!

a kÉtbalkezes varÁzslÓ - 18pedagogia.hu · 4 ez a kvakk!...