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Beamerfolien zu Mathematik II fur Maschinenwesen und VerkehrsingenieurwesenAndreas Fischer SS 2014 Version vom 27. 5. 2014

Mathematik II

fur Maschinenwesen und Verkehrsingenieurwesen

Sommersemester 2014

Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.

Symmetrische reelle Matrizen und ihre Eigenwerte

SatzSeiA ∈ Rn×n symmetrisch. Dann gilt

• Alle Eigenwerte vonA sind reell.

• Eigenvektoren xj, xk, die zu verschiedenen Eigenwerten λj, λkvonA gehoren, stehen senkrecht aufeinander, d.h. x>j xk = 0.

• Geometrische und algebraische Vielfachheit stimmen bei jedemEigenwert vonA uberein.

Orthonormalbasis

DefinitionEine Basis v1, . . . , vn des Rn heißt Orthonormalbasis, wenn

|vi| = 1, v>i vj = 0

fur alle i, j mit i 6= j gilt.

Orthonormalbasis aus Eigenvektoren

Zu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es Eigenvektorenx1, ..., xn, die eine Orthonormalbasis des Rn bilden.

Diagonalisierung symmetrischer Matrizen

SatzZu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Rn×n gibt es eine regulareMatrixQmit

Q>AQ = diag(λ1, ..., λn).

Dabei sind λ1, ..., λn ∈ R die Eigenwerte von A. Jeder Eigenwertkommt dabei so oft vor, wie seine algebraische Vielfachheit angibt.Außerdem istQ = (q1, . . . , qn) eine orthogonale Matrix, d.h.

Q>Q = E.

Folglich bilden die Spalten von Q eine Orthonormalbasis des Rn.Die Spalte qj von Q ist ein zu λj gehorender normierter Eigenvek-tor vonA.

Quadratische Formen

Eine Funktion : Rn→ R mit

q(x) :=n∑

i,j=1(i≤j)

αijxixj fur x := (x1, ..., xn)> ∈ Rn

heißt quadratische Form, wobei αij ∈ R fur alle i, j gegeben ist.

Mit der symmetrischen MatrixA = (aij) ∈ Rn×n gegeben durch

aii := αii und aij := aji =αij

2(fur i ≤ j).

kann man q(x) auch durch

q(x) = x>Ax

darstellen.

Hauptachsen quadratischer Formen

Die quadratische Form q : Rn → R sei durch die symmetrischeMatrixA ∈ Rn×n gegeben.Die Spalten der orthogonalen MatrixQ = (q1, . . . , qn) aus

Q>AQ = diag(λ1, ..., λn),

also die zu den Eigenwerten λ1, ..., λn von A gehorenden ortho-normalen Eigenvektoren q1, ..., qn, bezeichnet man als Hauptach-sen der quadratischen Form q.

Hauptachsentransformation

Koordinatensysteme

Sei (c1, . . . , cn) eine Basis des Rn und u ∈ Rn. Dann heißt

(u; c1, . . . , cn)

Koordinatensystem mit dem Ursprung u.

Fur einen Vektor x ∈ Rn gibt es dann stets eindeutig bestimmteα1, . . . , αn ∈ R, so dass

x = u+n∑i=1

αici.

Die Zahlen α1, . . . αn heißen Koordinaten des Vektors x bzgl. desKoordinatensystems (u, c1, . . . , cn).

Quadriken

SeienA ∈ Rn×n symmetrisch, b ∈ Rn und β ∈ R. Die Menge allerx ∈ Rn mit

x>Ax + b>x + β = 0

bezeichnet man als Quadrik im Rn.

Transformation von Quadriken auf Normalform

Wichtige Klassen von Quadriken im R2

Normalform Bezeichnung

a2 + y2

b2 − 1 = 0 Ellipse mit den Halbachsen a, b

a2 −y2

b2 − 1 = 0 Hyperbel

x2 − 2py = 0 Parabel

Lineare Abbildungen

DefinitionSeien V undW Vektorraume uber dem Korper K.Eine Abbildung f : V →W heißt linear, wenn fur beliebigex, y ∈ V und λ ∈ K

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(λx) = λf(x)

Eine lineare Abbildung wird auch Homomorphismus genannt.Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Seien V undW Vektorraume uber K mit den Basen

(v1, . . . , vn) bzw. (w1, . . . ,wm).

Weiter sei f : V →W eine lineare Abbildung.

Dann existiert genau eine MatrixA = (aij) ∈ Km×n, so dass

f(vj) =m∑i=1

aijwi, j = 1, . . . , n .

A heißt die Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von f

bezuglich der Basen (v1, . . . , vn) und (w1, . . . ,wm).

Definition einer linearen Abbildung mittels Darstellungsmatrix

Sei A ∈ Km×n. Weiter seien V und W Vektorraume uber K mitden Basen (v1, . . . , vn) bzw. (w1, . . . ,wm). Durch

f(vj) :=m∑i=1

aijwi, j = 1, . . . , n

ist dann vermoge

f(v) = f(n∑j=1

xjvj) =n∑j=1

xjf(vj).

eine lineare Abbildung f : V → W definiert. Diese hat bzgl. derBasen (v1, . . . , vn) und (w1, . . . ,wm) die DarstellungsmatrixA.

Transformation von Koordinatenvektoren unter linearen Abbildungen

Sei A die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f : V → W

bzgl. der Basen (v1, . . . , vn) und (w1, . . . ,wm) .Weiter sei x = (x1, . . . , xn)> der Koordinatenvektor von v bzgl.der Basis (v1, . . . , vn), d.h.

v =n∑j=1

Dann ist y := Ax der Koordinatenvektor von f(v) bzgl. der Basis(w1, . . . ,wm), d.h.

f(v) =m∑i=1

Transformation der Darstellungsmatrix beim Basiswechsel

Seien B ∈ Kn×n und C ∈ Km×m Matrizen eines Basiswechsels,d.h., vj =

∑nk=1 bjkvk j = 1, . . . , n,

wi =∑mk=1 cikwk i = 1, . . . ,m.

(i) Sei x der Koordinatenvektor von v bezuglich der Basis(v1, ..., vn) und x der Koordinatenvektor von v bezgl. der Ba-sis (v1, . . . vn). Dann gilt

x = (B>)−1x.

(ii) Sei f : V → W linear und A die Darstellungsmatrix von fbezuglich (v1, ..., vn) und (w1, ...,wm). Dann ist

A := (C>)−1AB>

die Darstellungsmatrix von f bezuglich (v1, ..., vn) und(w1, ..., wm).

Kern einer Matrix

DefinitionSeiA ∈ Km×n. Dann heißt

kerA := {x ∈ Kn |Ax = o}

Kern der MatrixA.

Kern einer lineraren Abbildung

DefinitionSei f : V →W eine lineare Abbildung. Dann heißt

ker f := {v ∈ V | f(v) = o}

Kern der linearen Abbildung f .

SatzSei f : V → W eine lineare Abbildung, A die Darstellungsmatrixvon f bzgl. der Basen (v1, . . . , vn) und (w1, . . . ,wm). Dann gilt

ker f = {n∑j=1

xjvj |Ax = o}.

Bild einer Matrix

DefinitionSeiA ∈ Km×n. Dann heißt

imA := {Ax | x ∈ Kn}.

Bild der MatrixA.

Bild einer linearen Abbildung

DefinitionSei f : V →W eine lineare Abbildung. Dann heißt

im f := f(V ) := {f(v) | v ∈ V }

Bild der linearen Abbildung f .

Sei f : V → W eine lineare Abbildung und A ∈ Km×n ihreDarstellungsmatrix bzgl. der Basen (v1, ..., vn) und (w1, . . . ,wm).Dann gilt

im f = {w = y1w1 + · · ·+ ymwm | y = Ax, x ∈ Kn}.

Rang einer linearen Abbildung

DefinitionSeien V,W Vektorraume mit dimW < ∞ und f : V → W einelineare Abbildung. Dann heißt

rg f := dim(im f)

Rang von f .

Rangkriterium

SatzSeien V,W endlichdimensionale Vektorraume und f : V → W

eine lineare Abbildung. Dann gilt

rg f + dim(ker f) = dimV.

Orthogonal- und Orthonormalsysteme

Seien V ein Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und v1, . . . , vn

Vektoren aus V \ {o}. Sind diese Vektoren paarweise orthogonal,gilt also

〈vi, vj〉 = 0 (i 6= j),

so heißt (v1, . . . vn) Orthogonalsystem. Gilt zusatzlich

‖vi‖ :=√〈vi, vi〉 = 1 (i = 1, . . . , n),

dann spricht man von einem Orthonormalsystem. Ist (v1, . . . vn)

eine Basis von V , so wird das System dann Orthogonalbasis bzw.Orthonormalbasis genannt.

Orthogonalisierungsverfahren nach Schmidt

Seien V ein Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und (v1, . . . , vn)

ein System linear unabhangiger Vektoren aus V .Weiter sei ‖ · ‖ :=

√〈·, ·〉

Setze e1 := v1‖v1‖

Fur r := 2, . . . , n setze

er := vr −r−1∑k=1

< vr, ek > ek und er :=er

‖er‖.

Dann bildet (e1, . . . , en) ein Orthonormalsystem und es gilt

lin(e1, . . . , en) = lin(v1, . . . , vn).

Geometrie im R3

axayaz

∈ R3, b =

bxbybz

∈ R3, c =

cxcycz

∈ R3

Das Standardskalarprodukt von a ∈ R3 und b ∈ R3 ist durch

a · b := a>b = axbx + ayby + azbz

gegeben. Der Betrag (oder die Lange) eines Vektors a ist durch

|a| :=√

a · a

definiert und es gilt

a · b = |a||b| cos(a, b).

Das Vektorprodukt

DefinitionDas Vektorprodukt oder außere Produkt der Vektoren a ∈ R3 undb ∈ R3 ist definiert durch

a× b :=

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx

∣∣∣∣∣∣∣i j k

ax ay az

bx by bz

∣∣∣∣∣∣∣ ,| · | ist hiersymbolischzu verstehen

, j :=

, k :=

die kanonischen Basisvektoren desR3 bezeichnen.

Eigenschaften des Vektorproduktes

• a× b ∈ R3

• a× b steht senkrecht auf a und b

• |a× b| = |a||b| sin(a, b)

(= Flacheninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms)

• a× b = o gilt genau dann, wenn a, b parallel sind

• a× b = −(b× a)

• a, b und a× b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem

• a× (b + c) = a× b + a× c, (a + b)× c = a× c + b× c

• (αa)× b = α(a× b) = a× (αb)

Spatprodukt

DefinitionDie Zahl

(a, b, c) := (a× b) · cheißt Spatprodukt der Vektoren a, b, c und ist gleich dem vorzei-chenbehafteten Volumen des durch a, b, c aufgespannten Paralle-lotops (Spates).

Gerade

DefinitionSeien p, r ∈ R3 gegeben. Dann heißt die Menge

G := G(p, r) := p + Rr := {p + αr |α ∈ R}

Gerade mit dem Richtungsvektor r.Diese Darstellung wird auch Paremeterdarstellung genannt.

Grundaufgaben

• Ermittlung einer Parameterdarstellung

• Lage von zwei Geraden zueinander

• Abstand Punkt zu Gerade, Gerade zu Gerade, Lotfußpunkte

DefinitionSeien p, r, s ∈ R3 gegeben mit r ∦ s. Dann heißt die Menge

E := E(p, r, s) := p + Rr + Rs := {p + αr + βs |α, β ∈ R}

Ebene mit den Richtungsvektoren r und s.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.

Eine Ebene E kann in parameterfreier Form durch eine Gleichung

nxx+ nyy + nzz − c = 0

beschrieben werden. Dabei heißt der Vektor

nxnynz

Normalenvektor von E und ist senkrecht zu r und s.

Grundaufgaben

• Ermittlung der Parametdarstellung bzw. parameterfreien Form

• Umwandlung der paramterfreien Darstellung in die Parameter-form und umgekehrt

• Lagebeziehungen zwischen Ebenen, Punkten und Geraden

• Abstand Punkt Ebene, Lotfußpunkt

Hessesche Normalform

Sei die Ebene E als Losungsmenge der Gleichung

nxx+ nyy + nzz − c = 0

gegeben (parameterfreie Darstellung). Dann heißt

(nxx+ nyy + nzz)− c|n|

Hessesche Normalform der Ebenengleichung.

Die Zahl

d :=(nxx+ nyy + nzz)− c

|n|gibt den (vorzeichenbehafteten) Abstand von (x, y, z)> zur EbeneE an.

Gewohnliche Differentialgleichungen (DGL)

DefinitionEine Gleichung der Art

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (implizite Form)

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (explizite Form)

heißt gewohnliche Differentialgleichung (DGL) n-ter Ordnung.

Dabei ist y : [a, b]→ R eine (von x ∈ [a, b] abhangige) Funktion.

Eine n-mal differenzierbare Funktion y∗ : [a, b]→ R heißt Losungder DGL, wenn die DGL fur y := y∗ fur alle x ∈ [a, b] erfullt ist.

Anfangswertaufgaben

Bedingungen an den Wert von y, y′, . . . y(n) an einer Stelle x ∈[a, b] heißen Anfangsbedingungen, z.B.

y(a) = 0 oder y′(a) = 1, y′′(a) = 2.

Eine DGL mit Anfangsbedingung(en) heißt Anfangswertaufgabe(AWA).

Randwertaufgaben

Bedingungen an den Wert von y, y′, . . . , y(n) an verschiedenenStellen aus [a, b] heißen Randbedingungen, z.B.

y(a) = 1, y(b) = 7 oder y′(a) = 0, y(b) = 2

Eine DGL mit Randbedingung heißt Randwertaufgabe (RWA).

Ordnung einer DGL

Die Ordnung einer DGL ist definiert als die hochste in der DGLvorkommende Ableitung der gesuchten Funktion.

Partielle Differentialgleichungen

Falls die gesuchte Funktion in einer Differentialgleichung von mehrals einer Variablen abhangt, dann spricht man von einer partiellenDifferentialgleichung (PDGL)→ 2. Studienjahr

Lineare Differentialgleichungen

Lasst sich eine DGL in der Form

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = b(x)

mit gegebenen Funktionen b, a0, a1, . . . , an : [a, b] → R schrei-ben, dann heißt sie linear.

Eine lineare DGL wird homogen genannt, falls b die Nullfunktionist. Andernfalls heißt die lineare DGL inhomogen.

Ist eine DGL nicht linear, so wird sie nichtlinear genannt.

Richtungsfeld einer Differentialgleichung

Differentialgleichungen erster Ordnung

Existenz und Eindeutigkeitssatz

Seien x0, y0 ∈ R und r1, r2 > 0 sowie

D := {(x, y) ∈ R× R | |x− x0| ≤ r1, |y − y0| ≤ r2}

gegeben. Weiter sei f : D → R stetig undM := max(x,y)∈D

f(x, y)

Dann besitzt die Anfangswertaufgabe (AWA)

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

im Intervall I := {x ∈ R | |x−x0| ≤ min{r1, r2/M}mindestenseine Losung y : I → R.

Ist f außerdem Lipschitz-stetig bzgl. y, d.h. es gibt L > 0, so dass

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1− y2| fur alle (x, y1), (x, y2) ∈ D,

dann besitzt die AWA genau eine Losung in I .

Trennung der Veranderlichen

Eine Losungsmethode fur gewisse DGLn 1. Ordnung

• Falls moglich, schreiben Sie die DGL in folgenden Formen auf

h(y)y′(x) = g(x) und h(y)dy = g(x)dx.

• Intergieren Sie die letzte Form auf beiden Seiten(nach y bzw. nach x)

• Dadurch entsteht eine Gleichung der Form

H(y) = G(x) + C.

Wenn moglich, losen Sie diese Gleichung nach y = y(x) auf.Andernfalls ist y(x) implizit durch die Gleichung gegeben.

Lineare DGLn 1. Ordnung

a(x)y′ + b(x)y = c(x)

mit stetigen Funktionen a, b, c : I → R und a(x) 6= 0 in I .

y′ + p(x)y = q(x)

mit p(x) :=b(x)

a(x), q(x) :=

a(x)fur x ∈ I

Losungsmethode fur lineare DGLn 1. Ordnung

1. Allgemeine Losung der homogenen DGL

y′ + p(x)y = 0

Trennung der Veranderlichen liefert (fur C ∈ R beliebig)

yh = Ce−P (x) mit einer Stammfunktion P von p

yh heißt allgemeine Losung der homogenen DGL

2. Variation der Konstanten

Einsetzen des Ansatzes

y := C(x)e−P (x)

in die inhomogene lineare DGL

y′ + p(x)y = q(x)

liefertC(x) =

∫q(x)eP (x)dx

3. Allgemeine Losung der inhomogenen DGL

yA = e−P (x)∫q(x)eP (x)dx

Berucksichtigung der Anfangsbedingung y(x0) = y0

• Wahle Stammfunktion P von p.Zum Beispiel so, dass P (x0) = 0:

P (x) =

p(t)dt

• Wahle Darstellung der allgemeinen Losung yA, z.B.

yA = e−P (x)

(∫ x

q(t)eP (t)dt + C1

)• Die Anfangsbedingung liefert yA(x0) = y0 und damit C1 = y0

Die Bernoullische Differentialgleichung

y′ + p(x)y = q(x)yn

• nichtlineare DGL

• mit n ∈ R \ {0, 1} und stetigen Funktionen p, q

• falls n /∈ N mit der zusatzlichen Bedingung y > 0

• fur n ∈ {0, 1} ist die DGL eine homogene lineare DGL,Losung dann mit TdV

Losung durch Uberfuhrung in lineare DGL 1. Ordnungmittels Substitution

z := y1−n

Spezielle Typen von DGLn 2. Ordnung

F (x, y′, y′′) = 0

y kommt nicht vor

Losung mittels Substitution z := y′

F (y, y′, y′′) = 0

x tritt nicht explizit auf (sondern nur als Argument von y, y′, y′′)

Losung mittels Substitution v(y) := y′

Eine Klasse linearer Differentialoperatoren

Cn – VR der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen y : R→ RC – VR der stetigen Funktionen y : R→ R

Seien an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C. Die Abbildung

L : Cn→ C,

die jeder Funktion y ∈ Cn die Funktion L[y] ∈ C mit

L[y] := an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y

zuordnet, wird als linearer Differentialoperator bezeichnet.

Fur beliebige y, z ∈ Cn und α ∈ R gilt

L[y + z] = L[y] + L[z], L[αy] = αL[y],

d.h. der Operator L : Cn→ C ist tatsachlich linear.

Inhomogene lineare DGL

L[y] = b(x)

yp sei eine Losung (partikulare Losung)

Zugehorige homogene lineare DGL

L[y] = 0

yh sei eine Losung (homogene Losung)

L[yp + yh] = b(x)

Die Summe aus einer partikularen Losung und einer homogenenLosung ist wieder eine partikulare Losung.

L[yp1 − yp2] = 0

Die Differenz von zwei partikularen Losungen ist eine homogeneLosung.

Sei yp eine partikulare Losung. Falls in yh noch alle Integrations-konstanten frei wahlbar sind, so heißt

yA := yp + yh

allgemeine Losung der inhomogenen DGL.

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

mit konstanten Koeffizienten

Seien an−1, . . . , a1, a0 ∈ R und eine stetige Funktion g : I → R.Dann heißt

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = g(x)

lineare DGL n−ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Das Polynom p : R→ R mit

p(λ) := λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0

heißt zugehoriges charakteristisches Polynom und

p(λ) = 0

zugehorige charakteristische Gleichung.

Definiert man den Differentialoperator Ln : Cn→ C durch

Ln[y] := y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y,

so kann man die DGL

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = g(x)

schreiben alsLn[y] = g(x)

Die zugehorige homogene DGL lautet damit

Ln[y] = 0.

Fundamentalsystem einer homogenen linearen DGL

Als Fundamentalsystem der homogenen linearen DGL L[y] = 0

bezeichnet man jede Basis des Kerns

ker L := {y ∈ Cn |L[y] = 0}

des linearen Differentialoperators L : Cn→ C.

Offenbar ist ker L die Losungsmenge der homogenen DGLL[y] = 0.

Konstruktion eines Fundamentalsystems fur diehomogene DGL mit konstanten Koeffizienten Ln[y] = 0

1. Ist λ relle Nullstelle des charakteristischen Polynoms p mit deralgebraischen Vielfachheit r, so sind die Funktionen y1, . . . , yr mit

y1(x) := eλx, y2(x) := xeλx, . . . , yr(x) := xr−1eλx

Losungen der DGL Ln[y] = 0.

2. Ist (λ, λ) = (a+ bi, a− bi) ein Paar konjugiert komplexer Null-stellen des charakteristischen Polynoms pmit der Vielfachheit r, sosind die Funktionen y1, . . . , y2r mit

y1(x) := eax cos bx, yr+1(x) := eax sin bx,... ...

yr(x) := xr−1eax cos bx, y2r(x) := xr−1eax sin bx

reelle Losungen der DGL Ln[y] = 0.

SatzDie fur alle reellen Nullstellen des charakteristischen Polynoms pnach 1. und fur alle Paare konjugiert komplexer Nullstellen von pnach 2. konstruierten Funktionen sind linear unabhangig und bil-den ein reelles Fundamentalsystem der homogenen linearen DGLLn[y] = 0.

Methoden zur Bestimmung einer partikularen Losungfur inhomogene lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten

• Variation der Konstanten (analog zu linearen DGLn 1. Ordnung)

• Ansatzmethode fur spezielle Inhomogenitaten

• Laplace-Transformation (nicht Bestandteil der Vorlesung)

Ansatzmethode fur spezielle Inhomogenitaten

Gestalt der Inhomogenitat g

g(x) = rm(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm

rm ist gegebenes Polynom vom Gradm

⇒ Zugehoriger Ansatz fur partikulare Losung yp

yp(x) := Rm(x) := A0 +A1x+ · · ·+Amxm

Rm ist Polynom vom Gradmmit unbekannten Koeffizienten

g(x) = rm(x)eαx

yp(x) := Rm(x)eαx

g(x) = rm(x)eαx sin(βx) oder g(x) = rm(x)eαx cos(βx)

yp(x) := Sm(x)eαx sin(βx) + Tm(x)eαx cos(βx)

Sm, Tm sind Polynome vom Gradm

Resonanz

Bei einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten

Ln[y] = g(x)

spricht man von Resonanz, wenn der Ansatzes fur yp oderein nichttrivialer Summand dieses Ansatzes die homogene DGLLn[y] = 0 lost.

Der Ansatz ist dann so oft mit x zu multiplizieren bis dieses Verhal-ten nicht mehr auftritt.

Ist die Inhomogenitat eine Linearkombination obiger Funktionen g,so verwendet man als Ansatz eine Linearkombination der entspre-chenden Ansatze yp

Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung

Seien FunktionenA : I → Rn×n und g : I → Rn gegeben.Dann heißt

y′ = A(x)y + g(x)

lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung.Dabei ist y : I → Rn die gesuchte Funktion und y′ : I → Rn ihreAbleitung.

Ausfuhrlich schreibt man das lineare DGL-System wie folgt: y′1...y′n

a11(x) · · · a1n(x)... ...

an1(x) · · · ann(x)

g1(x)...

Losbarkeit linearer Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung

SatzDie FunktionenA : I → Rn×n und g : I → Rn seien in I := [a, b]

stetig. Weiter seien x0 ∈ I und y0 := (y01, . . . , y0n)> ∈ Rn.Dann hat die Anfangswertaufgabe

y′ = A(x)y + g, y(x0) = y0

genau eine Losung auf ganz I .

Homogene lineare DGL Systeme 1. Ordnung

SatzSei A : [a, b] → Rn×n stetig. Dann besitzt das homogene lineareDifferentialgleichungssystem

y′ = A(x)y

auf [a, b] ein Fundamentalsystem von genau n linear unabhangi-gen Losungen y1, y2, . . ., yn.

Jede Losung y des homogenen Systems kann als Linearkombinationdieser Fundamentallosungen dargestellt werden, d.h.

y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn (�)

mit reellen oder komplexen Zahlen c1, . . . , cn.Die Darstellung (�) heißt auch allgemeine Losung des homogenenSystems.

Wronski–Determinante

DefinitionSeien y1, y2,. . . , yn Losungen des homogenen Systems

y′ = A(x)y.

Dann heißt die Matrix

Y (x) := (y1(x) · · · yn(x))

Wronski–Matrix und

W (x) := det Y (x)

Wronski–Determinante.

Wronski–Test

SatzSeien y1, y2, . . . , yn Losungen des homogenen Systems

y′ = A(x)y

auf dem Intervall [a, b].FallsA : [a, b]→ Rn×n stetig ist, dann gilt entweder

•W (x) = 0 fur alle x ∈ [a, b]

•W (x) 6= 0 fur alle x ∈ [a, b] und die Losungen y1, y2, . . . , yn

bilden ein Fundamentalsystem auf [a, b].

Homogene Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Sei A ∈ Rn×n, λ ein Eigenwert von A und v ein zu λ gehorenderEigenvektor. Dann ist die Funktion y : R→ Rn mit

y(x) := eλxv

eine Losung des homogenen DGLsystems

y′ = Ay.

BesitztA die paarweise verschiedenen Eigenwerte λ1, . . . , λn mit zu-gehorigen Eigenvektoren v1, . . . , vn, dann bilden die Losungen

y1(x) := eλ1xv1, . . . , yn(x) := eλnxvn

ein Fundamentalsystem fur y′ = Ay und die allgemeine Losungdes homogenen DGLsystems ist gegeben durch

y(x) = c1eλ1xv1 + · · ·+ cne

λnxvn.

Fundamentalsystem fur homogene DGLsysteme

SatzSei λ ein Eigenwert der Matrix A ∈ Rn×n mit der algebraischenVielfachheit r. Dann hat das lineare Gleichungssystem

(A− λE)rv = 0,

linear unabhangige Losungen v1, . . . , vr (sog. Hauptvektoren).Die Funktionen yk : R→ Rn mit

yk(x) := eλxr−1∑j=0

j!(A− λE)j vk, k = 1, . . . , r

sind linear unabhangige Losungen des homogenen Systems

y′ = Ay.

Diese Losungen fur alle Eigenvektoren vonA bilden ein Fundamen-talsystem des homogenen Systems.

Inhomogene Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung

SatzSei yp eine spezielle Losung des inhomogenen Systems

y′ = A(x)y + g(x)

und sei y1, y2, . . . , yn ein Fundamentalsystem des homogenen Sy-stems y′ = A(x)y. Dann ist

yh := c1y1 + · · ·+ cnyn

die allgemeine Losung des homogenen Systems und

y := yp + c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn

die allgemeine Losung des inhomogenen Systems, wobei c1,c2, . . . , cn reelle oder komplexe Konstanten sind.

Variation der Konstanten bei inhomogenen Systemen 1. Ordnung

SatzSei y1, . . . , yn ein Fundamentalsystem von y′ = A(x)y auf [a, b]

und Y (x) := [y1(x) · · · yn(x)] . Falls g : [a, b] → Rn stetig, soist

yp(x) := Y (x) · c(x)

eine partikulare Losung des inhomogenen Systems y′ = A(x)y+g

auf [a, b]. Dabei gilt

c(x) =

∫c′(x) dx,

wobei c′(x) = (c′1(x), . . . , c′n(x))> Losung des linearen Glei-chungssystems

Y (x) · c′(x) = g(x)

fur x ∈ [a, b] ist.

Reduktion der Ordnung von linearen DGLn

durch Umformung in ein lineares System 1. Ordnung

Die lineare DGL

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a0(x)y = g(x)

ist aquivalent zum linearen System 1. Ordung

y′ = A(x)y + g(x),

A(x):=

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0... ... ... ...0 0 0 . . . 1

−a0(x) −a1(x) −a2(x) · · · −an−1(x)

, g(x):=

y′′

...y(n−1)

Numerische Verfahren

zur Losung von Anfangswertaufgaben 1. Ordnung

(AWA) y′ = f(x, y), y(x0) = y0

Eine grundlegende Herangehensweise

• Wahle Stutzstellen x0, x1, x2, . . . auf x-Achse durch

xk+1 := xk + h, h > 0 (feste Schrittweite)

• Bestimme Naherungen yk fur y(xk) durch Ausnutzung von

y(xk+1)− y(xk) =

xk+1∫xk

f(x, y(x)) dx

fur k = 0, 1, 2, . . .

y(xk+1)− y(xk) =xk+1∫xk

f(x, y(x)) dx

y(xk+1) = y(xk) +xk+1∫xk

f(x, y(x)) dx

y(xk+1) ≈ yk +xk+1∫xk

f(x, y(x)) dx

y(xk+1) ≈ yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h)

Einschrittverfahren

yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h)

Beispiele fur Einschrittverfahren

Explizites Euler-Verfahren (Polygonzugverfahren)

Φ(x, y, z, h) := f(x, y)

⇓yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h) = yk + hf(xk, yk)

Implizites Euler-Verfahren

Φ(x, y, z, h) := f(x+ h, z)

⇓yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h) = yk + hf(xk+1, yk+1)

Lokaler Diskretisierungsfehler an der Stelle xk

`k(h) := y(xk+1)−[y(xk) + hΦ(xk, y(xk), y(xk+1), h)

Globaler Diskretisierungsfehler an der Stelle xk

gk(h) := y(xk)− yk

Konsistenzordnung

DefinitionEin Einschrittverfahren hat die Konsistenzordnung p ≥ 1, falls esKonstanten c, h0 > 0 gibt, so dass fur den lokalen Diskretisierungs-fehler `k(h) die Abschatzung

|`k(h)| ≤ c · hp+1 fur alle h ∈ [0, h0]

Explizites und implizites Euler-Verfahren haben Konsistenzordnung 1.

Verbessertes Polygonzugverfahren

Φ(x, y, z, h) := f(x+h

2, y +

2f(x, y))

yk+1 := yk + h f(xk +h

2, yk +

2f(xk, yk))︸︷︷︸

Φ(xk,yk,yk+1,h)

Konsistenzordnung 2

Ansatz fur ein Runge-Kutta Verfahren

Φ(x, y, h) = c1f(x, y)

+ c2f(x+ h2, y(x+ h2))

+ c3f(x+ h3, y(x+ h3))

≈ c1f(x, y) + c2f(x+ h2, y2) + c3f(x+ h3, y3)

y2 := y + hb21f(x, y)

y3 := y + hb31f(x, y) + hb32f(x+ h2, y2)

Parameter c1, c2, c3, b1, b2, b3, h, h1, h2

Hohe Konsistenzordnung durch geeignete Wahl der Parameter

zum Beispiel liefert

c1 := 14, c2 := 0, c3 := 3

h2 := 13h, h3 := 2

b21 := 13, b31 := 0, b32 := 2

Konsistenzordnung 3

Eine Klasse von Eigenwertaufgaben

Seien a0, a1, α0, α1, a2, β0, β1 : [a, b]→ R stetig.Dann heißt die DGL

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = λy

x ∈ [a, b]

mit den Randbedingungen

α0(x)y(a) + α1(x)y′(a) = 0, β0(x)y(b) + β1(x)y′(b) = 0

Eigenwertaufgabe. Falls diese (Randwert-)Aufgabe fur ein λ ∈ Reine nichttriviale Losung y besitzt, dann heißt λ Eigenwert und yEigenfunktion zum Eigenwert λ.

Grundlagen fur die Analysis im Rn

Der Betrag

DefinitionSei x = (x1, . . . , xn)> ∈ Rn. Dann heißt

|x| :=√x2

1 + · · ·+ x2n

Betrag oder Lange des Vektors x.Der Euklidische Abstand der Vektoren x, y ∈ Rn wird durch

|x− y|

definiert, also als Betrag des Differenzvektors x− y.

Kugelumgebung

Die Menge

Kr(x0) := {x ∈ Rn | |x− x0| < r}

heißt offene Kugelumgebung des Punktes x0 mit demRadius r > 0.

Die Menge

Kr(x0) := {x ∈ Rn | |x− x0| ≤ r}

heißt abgeschlossene Kugelumgebung des Punktes x0 mitdem Radius r > 0.

Innere Punkte und offene Mengen

Definition

Ein Punkt x ∈ M ⊆ Rn heißt innerer Punkt der Menge M , wennr > 0 existiert, so dassKr(x) ganz zuM gehort.

Die MengeM heißt offen, wenn sie nur innere Punkte enthalt.

intM bezeichnet die Menge aller inneren Punkte vonM .

Haufungspunkt

DefinitionEin Punkt x ∈ Rn heißt Haufungspunkt der Menge M ⊆ Rn,wenn in jeder Umgebung des Punktes x ein Punkt der MengeM \ {x} liegt. Das bedeutet, x ist Haufungspunkt von M genaudann, wenn

Kr(x) ∩ (M \ {x}) 6= ∅ fur alle r > 0.

Randpunkt

DefinitionEin Punkt x ∈ Rn heißt Randpunkt der Menge M , wenn in je-der Umgebung von x sowohl ein Punkt der Menge M als auch einPunkt der Menge Rn \M liegt.

∂M bezeichnet die Menge aller Randpunkte der MengeM .

Abgeschlossene Mengen

DefinitionEine MengeM ⊆ Rn heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Rand-punkte enthalt, d.h. wenn ∂M ⊆M gilt.

SatzDie Menge Rn und die leere Menge ∅ sind sowohl offen als auchabgeschlossen.

Beschrankte und kompakte Mengen

DefinitionEine Menge M ⊂ Rn heißt beschrankt, wenn es eine KonstanteC > 0 gibt, so dass

|x| ≤ C fur alle x ∈M.

Eine Menge M ⊂ Rn heißt kompakt, wenn sie beschrankt undabgeschlossen ist.

Verbindungsstrecke und Polygonzug

DefinitionSeien x, y ∈ Rn sowie x0, . . . xp ∈ Rn.Dann heißt

[x, y] := {x + s(y − x) | s ∈ [0, 1]}

Verbindungsstrecke von x und y und

[x0, . . . , xp] :=

p⋃j=1

[xj−1, xj]

Polygonzug, der x0, . . . , xp (in dieser Reihenfolge) verbindet.

Konvexe Mengen

DefinitionEine Menge M ⊆ Rn heißt konvex, falls zu jedem Paar (x, y)

von Punkten aus M auch ihre Verbindungsstrecke [x, y] ganz zuM gehort.

Folgen

DefinitionSei K ⊆ N ∪ {0}. Eine Abbildung f : K → Rn, die jeder naturli-chen Zahl k ∈ K genau ein ak ∈ Rn zuordnet, heißt Folge im Rn

und wird durch (a1, a2, . . . , ak, . . .) oder kurz durch

(ak)k∈K oder (ak)K

bezeichnet. Falls klar ist, um welche Menge K es sich handelt,schreibt man auch nur

Grenzwert einer Folge

DefinitionSei (ak)k∈K eine Folge im Rn. Der Vektor a ∈ Rn heißt Grenzwertoder Limes dieser Folge, wenn fur jedes ε > 0 ein Index kε ∈ Nexistiert, so dass

|ak − a| < ε fur alle k ∈ K mit k ≥ kε.

Man schreibt dann

a = limk→∞, k∈K

ak oder ak → a fur k→∞, k ∈ K

bzw., falls N \K nur endlich viele Elemente besitzt,

a = limk→∞

ak oder ak → a fur k→∞.

SatzDer Grenzwert einer Folge (ak) im Rn existiert genau dann, wenndie Grenzwerte der Koordinatenfolgen (aik) fur i = 1, . . . , n exi-stieren. Es gilt dann

limk→∞

...limk→∞

Funktionen

DefinitionEine Funktion oder eine Abbildung

f : D ⊆ Rn→ Rm

ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ D genau ein Element y ∈ Rm

zuordnet, man schreibt y = f(x).

D heißt Definitionsbereich der Funktion f . Die Menge

W := f(D) := {f(x) | x ∈ D} ⊆ Rm

heißt Wertebereich von f .

Stetigkeit von Funktionen

DefinitionSei D ⊆ Rn. Eine Funktion f : D → Rm heißt stetig in x0 ∈ D,wenn fur alle Folgen (xk) ⊂ Daus

limk→∞

xk = x0

die Beziehunglimk→∞

f(xk) = f(x0)

folgt.

f heißt stetig aufA ⊆ D, wenn f fur alle x ∈ A stetig ist.

f heißt stetig, wenn f auf dem DefinitionsbereichD stetig ist.

Supremum und Infimum einer Funktion

DefinitionSeienD ⊆ Rn und f : D → R.

Die ZahlM heißt Supremum der Funktion f , wenn

• f(x) ≤M fur alle x ∈ D und

• eine Folge (xk) ⊂ D existiert mit

limk→∞

f(xk) = M =: supx∈D

Die Zahlm heißt Infimum der Funktion f , wenn

• f(x) ≥ m fur alle x ∈ D und

• eine Folge (xk) ⊂ D existiert mit

limk→∞

f(xk) = m =: infx∈D

Maximum und Minimum einer Funktion

DefinitionSeienD ⊆ Rn und f : D → R.

Die ZahlM heißt Maximum der Funktion f , wenn

• f(x) ≤M fur alle x ∈ D und

• ein xM ∈ D existiert mit f(xM) = M =: maxx∈D

Die Zahlm heißt Minimum der Funktion f , wenn

• f(x) ≥ m fur alle x ∈ D und

• ein xm ∈ D existiert mit f(xm) = m =: minx∈D

Existenz von Supremum und Infimum

SatzSeienD ⊆ Rn und f : D → R.

Falls f nach oben beschrankt ist, d.h. wenn esM ∈ R gibt, so dass

f(x) ≤M fur alle x ∈ D,

dann existiert supx∈D

f(x) in R. Andernfalls gilt supx∈D

f(x) = +∞.

Falls f nach unten beschrankt ist, d.h. wenn esm ∈ R gibt, so dass

f(x) ≥ m fur alle x ∈ D,

dann existiert infx∈D

f(x) in R. Andernfalls gilt infx∈D

f(x) = −∞.

Existenz von Maximum und Minimum

Satz von Weierstraß

SeiD ⊂ Rn eine kompakte Menge und f : D → R stetig.Dann existieren Maximum und Minimum der Funktion f auf D,d.h. f nimmt aufD Maximum und Minimum an.

Partielle Ableitung

DefinitionSeienD ⊆ Rn, x ein innerer Punkt vonD und f : D → R.

fxi(x) :=∂f(x)

∂xi:= lim

f(x + hei)− f(x)

in R existiert, dann heißt der Grenzwert partielle Ableitung von fnach xi an der Stelle x und man sagt, f ist in x partiell differen-zierbar nach xi.

Partielle Differenzierbarkeit

DefinitionSeienD ⊆ Rn und x innerer Punkt vonD. Eine Funktion f : D →R heißt partiell differenzierbar in x, falls in x die partiellen Ablei-tungen von f nach x1, . . . , xn existieren.

Ist D offen und ist f fur jedes x ∈ D partiell differenzierbar, soheißt f partiell differenzierbar.

Stetige partielle Differenzierbarkeit

DefinitionSeienD ⊆ Rn und x innerer Punkt vonD. Dann heißt f : D → Rn

stetig partiell differenzierbar in x, falls f in x partiell differenzier-bar ist und die partiellen Ableitungen

fxi : D → R fur i = 1, . . . , n

stetig in x sind.

Ist D offen und ist f fur jedes x ∈ D stetig partiell differenzierbar,so heißt f stetig partiell differenzierbar.

Der Gradient

DefinitionSeien D ⊆ Rn und f : D → R partiell differenzierbar in x. Dannheißt der Vektor

∇f(x) := gradf(x) :=

∂f∂x1

...∂f∂xn

∈ Rn

Gradient der Funktion f im Punkt x.

Ist f partiell differenzierbar, so definiert

∇f : D → Rn

damit eine vektorwertige Abbildung, die Gradient der Funktion fgenannt wird.

Hohere partielle Ableitungen

Sei f : D → R partiell differenzierbar. Existiert die Ableitung

fxixj :=∂

)von fxi nach xj, so heißt sie zweite partielle Ableitung von f nachxi und xj.

Falls alle zweiten partiellen Ableitungen fur i, j = 1, ..., n existie-ren (und stetig sind), so heißt f zweimal (stetig) partiell differen-zierbar.

k-te partielle Ableitungen (auch partielle Ableitungen k-ter Ord-nung genannt) werden entsprechend rekursiv definiert, sofern sieexistieren:

fxi1...xik:=

∂xik

(fxi1...xik−1

Satz von Schwarz

Seien D ⊆ Rn und f : D → R eine p-mal stetig partiell dif-ferenzierbare Funktion. Weiter seien i1, i2, . . . , ik aus {1, 2, ..., n}gewahlte Indizes mit 1 < k ≤ p. Bezeichnet (j1, j2, . . . , jk) einebeliebige Permutation von (i1, i2, . . . , ik), so gilt

fxj1xj2···xjk = fxi1xi2···xik,

d.h. die Reihenfolge des partiellen Differenzierens hat keinen Ein-fluss.

Partielle Differenzierbarkeit einer vektorwertigen Abbildung

Seien D ⊆ Rn und f1, . . . , fm : D → R gegeben. Weiter seif : D → Rm definiert durch

f(x) =

f1(x)...

.Die Abbildung f heißt (stetig) partiell differenzierbar in x ∈ D

bzw. (stetig) partiell differenzierbar, falls f1, . . . , fm (stetig) partielldifferenzierbar in x bzw. (stetig) partiell differenzierbar sind.

Jacobi-Matrix

Seien D ⊆ Rn und f : D → Rm in x ∈ D partiell differenzierbar.Dann heißt die Matrix

f ′(x) :=

(∂fi(x)

∂f1∂x1

(x) · · · ∂f1∂xn

... ...∂fm∂x1

(x) · · · ∂fm∂xn

Jacobi-Matrix (oder Ableitungsmatrix oder Ableitung) von f in x.Man schreibt auch

∇f(x) := f ′(x)>.

Hesse-Matrix

SeienD ⊆ Rn und f : D → R in x ∈ D zweimal partiell differen-zierbar. Dann heißt die Matrix

f ′′(x) :=

(∂2f(x)

∂xi∂xj

fx1x1(x) · · · fx1xn(x)... ...

fxnx1(x) · · · fxnxn(x)

Hesse-Matrix von f an der Stelle x oder Matrix der zweiten parti-ellen Ableitungen. Falls f zweimal stetig partiell differenzierbar ist,schreibt man auch

∇2f(x) := f ′′(x).

Differenzierbarkeit

DefinitionSeienD ⊆ Rn, f : D → Rm und x0 innerer Punkt vonD.Die Funktion f heißt in x0 differenzierbar, falls sie in x0 partielldifferenzierbar ist und

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + R(x− x0)

fur alle x aus einer Umgebung von x0 gilt, wobei R : Rn→ Rn derBedingung

limx→x0

|R(x− x0)||x− x0|

genugen muss. Die Funktion f heißt differenzierbar, falls D offenund f in jedem Punkt vonD differenzierbar ist.

f ′ (bzw. f ′(x0)) heißt dann Ableitung von f (an der Stelle x0)

SatzEine Funktion f : D → Rm ist in dem inneren Punkt x0 ausD ⊆ Rn differenzierbar, falls f in einer Umgebung von x0

partiell differenzierbar und in x0 stetig partiell differenzierbar ist.

Linearitat des Differenzierens

SatzSind f : D → Rm und g : D → Rm differenzierbar in x undλ, µ ∈ R, so ist auch die Abbildung λf + µg : D → Rm in x

differenzierbar und es gilt

(λf + µg)′(x) = λf ′(x) + µg′(x).

Kettenregel

SatzSeien h : C → Rp und g : D → Rm mit C ⊆ Rn und h(C) ⊆ D.Falls h in x ∈ C differenzierbar und g differenzierbar in h(x), dannist auch g ◦ h : C → Rm in x differenzierbar und es gilt

(g ◦ h)′(x) = g′(h(x))h′(x).

Richtungsableitung

DefinitionSeien D ⊆ Rn, f : D → R und ein Vektor d ∈ Rn gegeben. Fallsder Grenzwert

f ′(x; d) := limt↓0

f(x + td)− f(x)

existiert, dann nennt man ihn die Richtungsableitung der Funktionf an der Stelle x in Richtung d.

SatzSeien D ⊆ Rn und f : D → R. Falls f in x ∈ D differenzierbar,so gilt

f ′(x; d) = ∇f(x)>d

fur alle d ∈ Rn.

∇f(x) ist die Richtung des starksten Anstiegs von f im Punkt x

Notation

h1...hn

∈ Rn, ∇ :=

∂∂x1

...∂∂xn

(h • ∇) := h1∂

∂x1+ · · ·+ hn

∂xn=

n∑i=1

(h • ∇)k :=∑

(i1,...,ik)

hi1 · · ·hik∂k

∂xi1 · · · ∂xik

Sei f : D ⊆ Rn→ R partiell differenzierbar. Dann gilt

(h • ∇)f(x) =n∑i=1

hi∂f(x)

∂xi= ∇f(x)>h.

Sei f : D ⊆ Rn zweimal partiell differenzierbar. Dann gilt

(h • ∇)2f(x) =∑

(i,j)hihj

∂2f(x)∂xi∂xj

= h>f ′′(x)h

(fallsn = 2) = h1h1∂2f(x)∂x1∂x1

h1h2∂2f(x)∂x1∂x2

+ h2h1∂2f(x)∂x2∂x1

h2h2∂2f(x)∂x2∂x2

Taylor-Formel

SatzDie Funktion f : D → R sei (p+ 1)-mal stetig differenzierbar unddie Strecke [x, x + h] liege im Inneren von D ⊆ Rn. Dann gilt dieTaylor-Formel

f(x + h) = f(x)

+ 11!(h • ∇)f(x)

+ 12!(h • ∇)2f(x) + · · ·+ 1

p!(h • ∇)pf(x)

mit dem Restglied

R(h) :=1

(p+ 1)!(h • ∇)p+1f(x + θh)

fur ein von x, h abhangiges θ ∈ (0, 1).

Taylor-Polynom

DefinitionDie Funktion f : D → R sei p-mal stetig differenzierbar und dieStrecke [x0, x0 + h] liege im Inneren vonD ⊆ Rn.Fur 0 ≤ k ≤ p heißt dann

Tk(x) := f(x0) +1

1!(h • ∇)f(x0) + · · ·+

k!(h • ∇)kf(x0)

Taylor-Polynom k-ten Grades der Funktion f an der Stelle x0,wobei

h := x− x0.

Taylor-Polynom vom Grad 0

T0(x) = f(x0)

T1(x) = f(x0) +∇f(x0)>(x− x0)

T2(x) = f(x0)+∇f(x0)>(x−x0)+1

2(x−x0)>∇2f(x0)(x−x0)

Mittelwertsatz

Sei f : D → R stetig differenzierbar und die Strecke [x, x+h] liegeim Inneren von D ⊆ Rn. Dann gibt es eine Zahl θ mit 0 < θ < 1,so dass

f(x + h)− f(x) = ∇f(x + θh)>h.

Außerdem gilt die Abschatzung

|f(x + h)− f(x)| ≤ |h| max0≤t≤1

|∇f(x + th)|.

Satz uber die implizite Funktion (n = 2)

Seien D ⊆ R2, f :D→R stetig differenzierbar und (x0, y0)>∈D.Falls

f(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) 6= 0,

dann gibt es offene Intervalle U um x0 und V um y0, so dass zujedem x ∈ U genau ein y ∈ V existiert mit

f(x, y) = 0.

Jedem x ∈ U ist damit eindeutig ein g(x) := y ∈ V zugeordnet.Die so definierte Abbildung g : U → V erfullt die Gleichung

f(x, g(x)) = 0 fur alle x ∈ U.

Außerdem ist g stetig differenzierbar mit

g′(x) = −fx(x, g(x))

fy(x, g(x))fur alle x ∈ U.

Satz uber die implizite Funktion

allgemeiner Fall

Seien D ⊆ Rn × Rm, f : D → Rm stetig differenzierbar und(x0, y0) ∈ D. Falls

f(x0, y0) = 0

und die Matrixfy(x0, y0)

regular ist, dann gibt es Umgebungen U um x0 und V um y0, sodass zu jedem x ∈ U genau ein y ∈ V existiert mit

f(x, y) = 0.

Jedem x ∈ U ist damit eindeutig ein g(x) := y ∈ V zugeordnet.Die so definierte Abbildung g : U → V erfullt die Gleichung

f(x, g(x)) = 0 fur alle x ∈ U.

Außerdem ist g stetig differenzierbar mit

g′(x) = −fy(x, g(x))−1fx(x, g(x)) fur alle x ∈ U.

Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen

Unrestringierte Optimierungsaufgaben

DefinitionDie Kurzschreibweise

f(x)→ min

bezeichnet die unrestringierten Optimierungsaufgabe:

Finde ein x∗ ∈ Rn, so dass

f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ Rn.

Jedes x∗ ∈ Rn mit dieser Eigenschaft heißt globale Losung oderglobale Minimalstelle.Der Wert f(x∗) wird globales Minimum von f genannt.

Die Funktion f : Rn→ R heißt Zielfunktion.

Lokale oder relative Extrema

DefinitionEin Punkt x∗ ∈ Rn heißt lokale Losung oder lokale Minimalstelleder Optimierungsaufgabe

f(x)→ min,

wenn es eine Umgebung U von x∗ gibt, so dass

f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ U.

Der Wert f(x∗) heißt dann lokales oder relatives Minimum.

Die Begriffe

• globale Losung,

• globale Maximalstelle,

• globales Maximum

• lokale Losung,

• lokale Maximalstelle,

• lokales Maximum

werden analog fur die Optimierungsaufgabe

f(x)→ max

definiert.

Jede globale Losung ist auch eine lokale Losung.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen aber nicht.

Die Existenz einer lokalen oder einer globalen Losung kann nur un-ter zusatzlichen Voraussetzungen garantiert werden.

Notwendige Optimalitatsbedingung

SatzSeien D ⊆ Rn offen und f : D → R partiell differenzierbar. Istx∗ ∈ D eine lokale Extremalstelle (d.h. Minimalstelle oder Maxi-malstelle) von f , dann gilt

∇f(x∗) = 0,

d.h. samtliche partiellen Ableitungen von f verschwinden in x∗.

DefinitionJeder Punkt x∗ mit∇f(x∗) = 0 heißt stationarer Punkt von f .

Hinreichende Optimalitatsbedingung

SatzSeien D ⊆ Rn offen, f : D → R zweimal stetig differenzierbarund∇f(x∗) = 0. Dann ist x∗ eine (isolierte)

• lokale Minimalstelle von f , falls∇2f(x∗) positiv definit ist, d.h.falls

h>∇2f(x∗)h > 0 fur alle h ∈ Rn \ {0},

• lokale Maximalstelle von f , falls∇2f(x∗) negativ definit ist, d.h.falls

h>∇2f(x∗)h < 0 fur alle h ∈ Rn \ {0}.

SatzEine symmetrische MatrixA ∈ Rn×n ist genau dann

• positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind,

• negativ definit, wenn alle ihre Eigenwerte negativ sind.

Im Fall n = 2 istA :=

)genau dann

• positiv definit, wenn

detA = ac− b2 > 0 und a > 0

• negativ definit, wenn

detA = ac− b2 > 0 und a < 0

Bedeutung der Konvexitat

SatzSei f : Rn → R konvex und differenzierbar. Dann ist jeder stati-onare Punkt von f eine globale Losung der Optimierungsaufgabe

f(x)→ min .

SatzSeien D ⊆ Rn konvex und f : Rn → R zweimal stetig differen-zierbar. Dann ist f genau dann konvex auf D, wenn ∇2f(x) furjedes x ∈ D positiv semidefinit ist.

Sattelpunkte

DefinitionSei f : Rn → R in einer Umgebung von x∗ ∈ Rn zweimal stetigdifferenzierbar und gelte∇f(x∗) = 0.Falls∇2f(x∗) sowohl positive als auch negative Eigenwerte besitzt,so wird x∗ Sattelpunkt der Funktion f genannt.

Extemwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Restringierte Optimierungsaufgaben

DefinitionDie Kurzschreibweise

f(x)→ min bei x ∈ G

bezeichnet die restringierte Optimierungsaufgabe:

Finde ein x∗ ∈ G ⊂ Rn, so dass

f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ G.

Jedes x∗ ∈ G mit dieser Eigenschaft wird als globale Losung oderglobale Minimalstelle bezeichnet.

G ⊂ Rn heißt zulassiger Bereich der Optimierungsaufgabe.Der Wert f(x∗) wird globales Minimum von f aufG genannt.

Lokale oder relative Extrema

DefinitionEin Punkt x∗ ∈ G heißt lokale Losung oder lokale Minimalstelleder Optimierungsaufgabe

f(x)→ min bei x ∈ G,

wenn eine Umgebung U von x∗ existiert, so dass

f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ G ∩ U.

Der Wert f(x∗) heißt dann lokales oder relatives Minimum

Beschreibung des zulassigen BereichesG

Mit Funktionen

g : Rn→ Rm und h : Rn→ Rp

kann manG beschreiben, z. B.

• mittels Ungleichungsrestriktionen

G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0},

• mittels Gleichungsrestriktionen

G := {x ∈ Rn | h(x) = 0},

• mittels Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen

G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, h(x) = 0}.

Lagrange Funktion

DefinitionSeien f : Rn → R, g : Rn → Rm und h : Rn → Rp gegeben.Dann heißt die Funktion L : Rn × Rm × Rp→ R mit

L(x, u, v) := f(x) + u>g(x) + v>h(x)

Lagrange Funktion zur Optimierungsaufgabe

f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.

Mit∇xL(x, u, v) := ∇f(x) +∇g(x)u +∇h(x)v

wird der Gradient der Lagrange Funktion bzgl. x bezeichnet.

Notwendige Optimalitatsbedingungim Falle von Gleichungsrestriktionen

SatzDie Funktionen f : Rn → R und h : Rn → Rp seien stetig diffe-renzierbar. Weiter sei x∗ eine lokale Losung der Aufgabe

f(x)→ min bei h(x) = 0.

Wenn die Matrix∇h(x∗) Vollrang besitzt, dann existiert ein Vektorv∗ = (v∗1, . . . , v

∗p)>, so dass

∇xL(x∗, v∗) = 0,(∗)

h(x∗) = 0.

Der Vektor v∗ (bzw. jedes seiner Elemente) heißt Lagrange Multi-plikator und x∗ stationarer Punkt. Die Bedingungen (∗) werden alsKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen oder als Lagrangesche Multi-plikatorenregel bezeichnet.

Aktive Ungleichungsrestriktionen

Die MengeI(y) := {i | gi(y) = 0}

wird als Indexmenge der in y aktiven Ungleichungsrestriktionenbezeichnet. Ist i ∈ I(y), so heißt die Nebenbedingung gi(x) ≤ 0 iny aktiv.

Notation:gI(y)(x) := (· · · gi(x) · · · )>i∈I(y)

∇gI(y)(x) := (· · · ∇gi(x) · · · )i∈I(y)

Notwendige Optimalitatsbedingungenim Falle von Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen

SatzDie Funktionen f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp seienstetig differenzierbar. Weiter sei x∗ eine lokale Losung der Aufgabe

f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.

Wenn die Matrix (∇h(x∗), ∇gI(x∗)(x∗)) Vollrang besitzt, dann

existieren u∗ ∈ Rm und v∗ ∈ Rp, so dass

∇xL(x∗, u∗, v∗) = 0,

h(x∗) = 0, (∗)g(x∗) ≤ 0, u∗ ≥ 0, g(x∗)>u∗ = 0.

Die Vektoren u∗, v∗ (bzw. deren Elemente) heißen Lagrange Multi-plikatoren und x∗ stationarer Punkt. Die Bedingungen (∗) heißenKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen.

Hesse-Matrix der Lagrange Funktion

Seien f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp zweimal stetigdifferenzierbar. Dann heißt

∇xxL(x, u, v) := ∇2f(x) +m∑i=1

ui∇2gi(x) +

p∑j=1

vj∇2hj(x)

Hesse-Matrix der Lagrange Funktion in (x, u, v).Man beachte, dass die Ableitung zweifach bzgl. x erfolgt.

Hinreichende Optimalitatsbedingungenim Falle von Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen

SatzSeien f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp zweimal stetigdifferenzierbar. Weiter erfulle (x∗, u∗, v∗) ∈ Rn × Rm × Rp dieKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen. Falls

dT∇xxL(x∗, u∗, v∗)d > 0

fur alle d ∈ Rn \ {0}mit

∇gI(x∗)(x∗)>d = 0 und ∇h(x∗)>d = 0,

dann ist x∗ ein lokale Minimalstelle der Optimierungsaufgabe

f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.

SatzSeien f, g1, . . . , gm : Rn → R konvex und stetig differenzierbar.Weiter seienA ∈ Rp×n und b ∈ Rp gegeben.Dann ist

G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, Ax = b}konvex und jeder stationare Punkt der Optimierungsaufgabe

f(x)→ min bei x ∈ G

ist eine globale Losung dieser Aufgabe.

Lineare Ausgleichsrechnung (Regression)

Gegeben: Messreihe

(ti, bi) ∈ R` × R i = 1, . . . ,m

Gegeben: Ansatzfunktionen

φ1, . . . , φn : R`→ R

Linearer Ansatz mit Parametervektor x := (x1, . . . , xn)>:

F (t; x) := x1φ1(t) + · · ·+ xnφn(t)

Gesucht: Parametervektor x∗ := (x∗1, . . . , x∗n)> ∈ Rn so, dass

m∑i=1

(bi − F (ti; x)

fur x = x∗ minimal ist

Lineares Quadratmittelproblem

f(x) :=m∑i=1

(bi − F (ti; x)

→ min

Dabei sind (ti, bi) ∈ R` × R fur i = 1, . . . ,m gegeben.

Matrixschreibweise

b1...bm

, x :=

x1...xn

, A :=

φ1(t1) · · · φn(t1)... ...

φ1(tm) · · · φn(tm)

F (ti; x) = (Ax)i,

m∑i=1

(bi − F (ti; x))2 =m∑i=1

(bi − (Ax)i)2 .

Lineares Quadratmittelproblem in Matrixschreibweise

|b−Ax|2→ min

Losbarkeit linearer Quadratmittelprobleme

a) Das lineare Quadratmittelproblem

|Ax− b|2→ min

ist fur beliebig gewahlteA ∈ Rm×n und b ∈ Rm losbar.

b) Jede Losung des linearen Quadratmittelproblems lost dasGaußsche Normalgleichungssystem

A>A x = A>b

und umgekehrt.

c) Falls rangA = n, dann ist A>A positiv definit und das lineareQuadratmittelproblem besitzt eine eindeutige Losung.

Das Newton-Verfahrenzur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme

Die Abbildung F : Rn→ Rn sei stetig differenzierbar und habe dieNullstelle x∗. Weiter sei xk eine Naherung fur x∗.Das nichtlineare Gleichunssystem

F(x) = 0

wird ersetzt durch die lineare Gleichung

F(xk) + F′(xk)(x− xk) = 0.

Falls diese Gleichung eine Losung besitzt, so verwendet man dieseals neue Naherung xk+1 und wiederholt das Vorgehen.

Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens

SatzSei D ⊆ Rn offen und F : D → Rn zweimal stetig differenzierbar.Weiter sei x∗ ∈ D eine regulare Nullstelle von F (d.h. F(x∗) = 0

und F′(x∗) regular).Dann gibt es eine Umgebung U von x∗, so dass das Newton-Verfahren fur jeden Startvektor x0 aus U wohldefiniert ist und dieFolge (xk) der erzeugten Iterierten gegen x∗ konvergiert. Außer-dem gibt es C > 0, so dass

|xk+1 − x∗| ≤ C|xk − x∗|2

fur k = 0, 1, 2, . . . gilt (quadratische Konvergenz).

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