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Matrices de Rotación. Ángulos de Euler

Transformaciones Ortogonales

( e1 , e2 , e3 ) base del cuerpo, solidaria o ligada

( i , j , k )base fija o del espacio

ke3

e2

e311 12 13e e eª º

« »

e3 = e1 x e2

j21 22 23E e e e« » « »

« »¬ ¼j

i e1

31 32 33e e e« »¬ ¼i e1 E ortonormal de determinante = 1

Transformaciones OrtogonalesCambio de baseCambio de base

kke3

e2

j

i e1

Transformaciones OrtogonalesCambio de base

11 21 31 1xp e e e pª º ª º ª º« » « » « »

Cambio de base

12 22 32 2yp e e e p« » « » « » �« » « » « »« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

ke

13 23 33 3zp e e e p« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼e2

e3

j

2

j

i e

1 tE E�

i e1

E E por ser E ortonormal

RotacionesGiro de un ángulo α alrededor de eje XGiro de un ángulo α alrededor de eje X

ke3 α

e2j

e2α

i1 0 0ª

«º»i e1 Ex,D 0 cosD senD

0 �senD cosD¬

«««

¼

»»»0 senD cosD¬ ¼

RotacionesGiro de un ángulo θ alrededor de eje Y

cos 0 senT Tª º

Giro de un ángulo θ alrededor de eje Y

cos 0 sen0 1 0yE T

T T�ª º« » « »k ,

sen 0 cosy T

T T« »« »¬ ¼

kθe3

j

ie2

i θ e1

RotacionesGiro de un ángulo ψ alrededor de eje Z

cos sen 0\ \ª º

Giro de un ángulo ψ alrededor de eje Z

,

cos sen 0sen cos 0 zE \

\ \\ \

ª º« » �« »k e3

0 0 1« »« »¬ ¼

e2

3

jψ

e2

i

ψ

ψi ψ e1

Teorema de Euler

Leonhard Paul Euler(Basilea, Suiza, 15/07/1707 - San Petersburgo, Rusia, 18/09/1783)

“Rotando una esfera de formaRotando una esfera de formaarbitraria alrededor de su centro,siempre es posible encontrar unsiempre es posible encontrar undiámetro cuya posición tras larotación es igual que la inicial”rotación es igual que la inicial

Teorema de Euler

El movimiento más general de un SR con punto fijose puede replicar mediante un único giro alrededorde un eje que pasa por el punto fijo

11 12 13e e eE e e e

ª º« » « »Como las rotaciones con punto fijo son

matrices E ortonormales:

21 22 23

31 32 33

E e e ee e e

« »« »¬ ¼

Toda matriz ortonormal con determinante unidadtiene un autovalor igual a 1 (y solo uno)

• El eje de la rotación es el autovector del autovalor λ=1:

Si Pϵ al eje, queda invariante: E P P PO� JJG JJG JJG

• El ángulo de giro T vale: )1 (21 )cos( 332211 ��� eeeT

Ángulos de Euler

Expresan la posición más general de un SR cont fij di t 3 á l L i iópunto fijo mediante 3 ángulos. La posición se

alcanza mediante 3 rotaciones sucesivas:

1 ‐ Precesión: giro alrededor de un eje fijo: φ2‐Nutación: giro alrededor del eje

φ

θperpendicular al fijo y a otro solidario:

3 ‐ Rotación propia (Spin): giro alrededor ψθ

3 Rotación propia (Spin): giro alrededordel eje solidario al cuerpo:

ψ

Ángulos de Euler Precesión : T≈25800 añosóNutación : T≈18.6 años

Spin: T≈24 horas

Ángulos de Euler: Primer giro: ángulo de precesión ϕ

i1§¨¨

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cosI senI 0ª««

º»»

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j1k

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¸¸¸¸̧ k=k1

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yi1

Ángulos de Euler: Segundo giro: ángulo de nutación θ

i2§¨¨¨

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k

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0 cosT senT0 �senT cosT

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j2Ik2©¨

¹¸ ¬« ¼»

k1©¨

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§ · § ·

1

j1i2j

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k2

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ExT � j1k1©

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iy

© ¹ © ¹

yi2=i1 T

Ángulos de Euler: Tercer giro: ángulo de spin ψ

e1§¨¨¨

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cos\ sen\ 0ª«««

º»»»

i2§¨¨¨

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k=k1 e

e2

e

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�sen\ cos\ 00 0 1

««««

»»»»

� j2k

¨¨¨¨¨

¸¸¸¸¸ 1

e3=k2

j2I

e2e3©¨

¹¸ 0 0 1

¬«« ¼

»»

k2©¨

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§ · § ·

j1

e3=k2 I\e1

e

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·¸¸¸ E

i2j

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e1

e2

e3©

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¹

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Ez\ � j2k2©

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¹

¸¸¸¸

xy

3© ¹ 2© ¹

yi2=i1 T

i§ · § · i§ · i§ · § · i§ ·

Ángulos de Euler. Matriz de rotación de los 3 giros

i1j1

§¨¨¨¨

·¸¸¸¸ EzI �

ij

§¨¨¨

·¸¸¸

i2j2

§¨¨¨¨

·¸¸¸¸ ExT �

i1j1

§¨¨¨¨

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e1

e2

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·¸¸¸¸ Ez\ �

i2j2

§¨¨¨¨

·¸¸¸¸

j1k1©

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¹

¸¸¸

EzI jk©

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¹

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j2k2©

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¹

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ExT j1k1©

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¹

¸¸¸

e2

e3©

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¹

¸¸¸

Ez\ j2k2©

¨¨¨

¹

¸¸¸

i 2

j

§¨¨

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ij

§¨¨

·¸¸

© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

j 2

k2©

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¹

¸¸¸¸̧

ExT �EzI jk©

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¹

¸¸¸¸̧k2

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i§¨¨

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e2

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Ez\ �ExT �EzI jk

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¸¸¸¸̧

� e2

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E � jk

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¸¸¸¸̧e3©

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¹

¸¸ k

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¹¸̧ e3©

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¹

¸¸ k

©¨̈

¹¸̧

Ángulos de Euler. Matriz de Euler

1 1e ei i§ · § ·§ · § ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸1 1

2 2E E E Ez x z

e ei ie j e j\ T I �

§ · § ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸

� � ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸

�

3 3k ke e¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹ © ¹

E

cos\ cosI�cosT senI sen\ cos\ senI�cosT cosI sen\ senT sen\�sen\ cosI�cosT senI cos\ �sen\ senI�cosT cosI cos\ senT cos\

ª«««

º»»»E sen\ cosI cosT senI cos\ sen\ senI�cosT cosI cos\ senT cos\

senT senI �senT cosI cosT¬

«««« ¼

»»»»

Ángulos de Euler. Problema Inverso

Los datos de partida, en lugar de ser los 3 ángulos I��T��\son los vectores e1 e2 e3 que representan la posición del SR1 2 3

11 12 131e e e e x§ · ª º § ·¨ ¸ ¨ ¸« »¨ ¸ ¨ ¸« »

¿ Cuánto valen I��T��\ ? 21 22 232e e e e ye e e ze

�¨ ¸ ¨ ¸« »

¨ ¸ ¨ ¸« »¨ ¸ ¨ ¸« »¨ ¸ ¨ ¸« »

¿ I \

¿Resolver el sistema de ecuaciones?(no lineal)31 32 333 e e e ze¨ ¸ ¨ ¸« »

¬ ¼ © ¹© ¹

ȼ

ǻ 131211 eee

(no lineal)

»»»»»

«««««

333231

232221

131211

eeeeeeeee

»»»º

«««ª

»¼

«¬

������

\T\ITI\\ITI\\T\ITI\\ITI\

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

333231

sensensensensensensensensensensen

eee

»»»

¼«««

¬� TITIT

\T\ITI\\ITI\coscos

coscoscoscoscoscoscossensensen

sensensensensen

Ángulos de Euler. Problema Inverso

Conocida la posición del SR dados e1 e2 e3¿Cuánto valen I��T��\ ?

k e

¿ I� � \

e2

e3

e1

ijj

Ángulos de Euler: Problema Inverso

k e22

ee3

e1

ijÖ Línea nodal

Tj

en=i1

Ángulos de Euler: Problema Inverso

k e2I e2

e3

e1

ij

Tj

en

Ángulos de Euler: Problema Inverso

k e2I

2\

e3

e1

ij

Tj

en

Ángulos de Euler: Velocidad angular

¡¡no es un triedro ortogonal!!

Ik eI e2\e3

e1

ij

Tj

en

Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2I

\

e1

e3

En base fijai

jen

Ten

Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2

e

I\

e1

e3

En base del cuerpo sin spin Ö (base 2)i

jen

T

Ángulos de Euler: Velocidad angular k e2I

\

e1

e3

En la base del cuerpoi

jen

Tp

Ángulos de Euler: Aceleración angular k e2

e

I\

e1

e3

ij

enT

Derivando la ω expresada en velocidades de Euler

Ángulos de Euler: Aceleración angular k e2

e

I\

e1

e3

ij

enT

Si ω en base fija

h d i l thay que derivar las componentes

Por ejemplo:Por ejemplo:

Ángulos de Euler: Aceleración angular z e2I

\

e1

e3=z2

Tx

yen=x2=x1en x2 x1

Si ω en base del cuerpo sin spín Ö (base 2)

Ángulos de Euler: Aceleración angular z e2I

\

e1

e3=z2

Tx

yen=x2=x1en x2 x1

Si ω en base del cuerpo

0

hay que derivar las componentes