me623a planejamento e pesquisa
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ME623APlanejamento e Pesquisa
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4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos e Aleatorizadosa) Definiçãob) Análise Estatísticac) Decomposição da Soma de Quadradosd) Tabela Anovae) Estimação dos Parâmetros
2. Quadrado Latino3. Quadrado Greco-Latino4. Blocos Balanceados Incompletos5. Delineamento Cruzados
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Experimentos em BlocosEm qualquer experimento, a
variabilidade devido a um fator ruído pode afetar os resultados
Fator ruído: fator que provavelmente tem um efeito na resposta, mas não estamos interessados no seu efeito
Típicos fatores ruídos são: fonte de máteria-prima, diferentes operadores, pacientes em um estudo, turno ou dia em que o experimento é realizado
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Experimentos em BlocosBloco: conjunto de UE similares ou
homogêneasNa agricultura: típico bloco é um conjunto
contíguo de terrenos em que todas as condições (fertilidade, umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são homogêneos
Estudos com humanos: sexo e faixa etária são geralmente definidos como blocosFator Ruído Técnica a ser
usadaDesconhecido e Incontrolável
Aleatorização
Conhecido mas Incontrolável
Análise de Covariância
Conhecido e Controlável Blocagem
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Experimentos Completamente Aleatorizados versus Blocos Completos AleatorizadosExperimentos Completamente
Aleatorizados
Blocos Completos Aleatorizados Cada retângulo pontilhado é um bloco
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ExemploConsidere um experimento em que uma
máquina de medir a dureza de um material pressiona uma ponteira em uma placa de metal com força conhecida
Medindo a profundidade do furo causado pela ponteira, podemos determinar a dureza da placa
Temos quatro ponteiras e queremos determinar se existe diferença entre as leituras produzidas pela máquina para essas quatro ponteiras
O experimentador irá obter quatro medições por ponteira
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ExemploUnidades Experimentais (UE): placas de
metalFator: tipo de ponteiraNum experimento completamente
aleatorizado, precisaríamos de 4x4=16 placas de metal
Possível problema: as placas de metal podem apresentar pequenas diferenças na sua dureza
Estas podem ter sido feitas por fundimentos que foram obtidos em diferentes aquecimentos
Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo para a variabilidade da resposta
O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório quanto a variabilidade entre as placas
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Exemplo da Ponteira
Iremos utilizar o delineamento “Blocos Completos Aleatorizados”
Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o erro experimental
Placas de Metal (Bloco)
1 2 3 4
Ponteira 3
Ponteira 3
Ponteira 2
Ponteira 1
Ponteira 1
Ponteira 4
Ponteira 1
Ponteira 4
Ponteira 4
Ponteira 2
Ponteira 3
Ponteira 2
Ponteira 2
Ponteira 1
Ponteira 4
Ponteira 3
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Blocos Completos AleatorizadosFator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b
1 y11 y12 y1b
2 y21 y22 . . . y2b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a ya1 ya2 yab
Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos
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Modelo Estatístico – Efeitos FixosAs observações são descritas através do
modelo:
Restrições:
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Hipóteses de InteresseAssim como no experimento com um
único fator, queremos testar se:
Como a média do i-ésimo tratamento é
podemos reescrever as hipóteses como:
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Notação
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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)
Exercício: Demonstrar!
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Graus de Liberdade das SSSoma de Quadrado
sGraus de
Liberdade (gl) ExplicaçãoSSA a – 1 a níveis do Fator A
SSBlocos b – 1 b blocos
SSE (a – 1) (b – 1) ab – 1 – (a – 1) – (b – 1)
SST N – 1 N=ab observações no total
Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que:
são v.a. qui-quadrado independentes
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Quadrados Médios (MS)Quadrado Médio do Erro (MSE)
Quadrado Médio do Fator A (MSA)
Quadrado Médio dos Blocos (MSBlocos)
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Valor Esperados dos MS
MSE é um estimador não viciado de σ2
Sob , MSA também é um estimador não viciado de σ2
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Construção do Teste FUm teste de hipótese para testar
igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA
Estatística do Teste
Calcula-se o p-valor =
Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se
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Tabela ANOVABlocos Completos Aleatorizados
• As SS podem ser simplificadas como:
• SSE é obtida pela subtração:
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Comparação das Médias dos Blocos?
Se comparássemos as médias dos blocos, poderí-amos verificar se a blocagem foi útil ou não
As hipóteses seriam:
Seria então natural usar como estatística do teste a razão entre MSBlocos e MSE
Porém, lembre-se que a aleatorização foi aplicada apenas aos tratamentos dentro de cada bloco, isto é, os blocos representam uma restrição na aleatorização
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Exemplo da PonteiraAs observações para cada ponteira e
placa de metal estão na Tabela abaixo
Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal
Ponteira
Placa de Metal(Bloco)
1 2 3 4
1 9.3 9.4 9.6 10.0
2 9.4 9.3 9.8 9.9
3 9.2 9.4 9.5 9.7
4 9.7 9.6 10.0 10.2
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Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras
Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada
ponteira
Queremos testar se:
1. Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE
2. Encontrar a tabela ANOVA
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Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras
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Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras
No R> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)> anova(fit)Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***Residuals 9 0.080 0.008889 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Análise EstatísticaExemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal
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Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras
No R, desconsiderando o efeito dos blocos> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)> anova(fit)
Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196Residuals 12 0.905 0.075417
Não Rejeita
H0
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Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22
Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento
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Exercícios
Exercícios do Montgomery, 6ª edição
Capítulo 3:3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-
16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32
Capítulo 4:4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18
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