mecanica 2 cursuri itul
Post on 24-Apr-2015
168 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC
MECANICA II
DINAMICA
CURS
CLUJ-NAPOCA, 2012
Mecanica
DINAMICA 197
10. Dinamica punctului material 197 10.1. Dinamica punctului material liber 197 10.2. Mişcarea unui punct sub acţiunea unei forţe centrale 201 10.3. Dinamica punctului material supus la legături 206 10.4 Pendulul simplu 209 10.5. Dinamica mişcării relative a punctului material 211
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale Dinamicii 215
11.1. Lucrul mecanic 215 11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra
unui punct material 215 11.1.2. Lucrul mecanic al forţelor conservative 217 11.1.3. Lucrul mecanic al unei forţe elastice 218 11.1.4. Lucrul mecanic al unui sistem de forţe care acţionează
10
Cuprins
asupra unui solid rigid 219 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare 220
11.2. Puterea mecanică 221 11.3. Randamentul mecanic 222 11.4. Energia cinetică 223
11.4.1. Definiţii 223 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică 224 11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale solidului rigid 225
11.5. Energie potenţială. Energie mecanică 230 11.6. Impusul 231 11.7. Momentul cinetic 233
11.7.1. Definiţii 233 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic 234 11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale solidului rigid 235
11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice 239 11.9. Teorema de variaţie a impulsului 241 11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix 243 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor 245
12. Dinamica rigidului 247 12.1. Dinamica rigudului cu axă fixă 247 12.2. Pendulul fizic 251 12.3. Dinamica mişcării plane 255 12.4. Dinamica rigidului cu punct fix 256
12.4.1. Ecuaţiile dinamice ale lui Euler 256 12.4.2. Mişcarea de precesie regulată 259 12.4.3. Giroscopul 261
13. Ciocniri şi percuţii 262 13.1. Forţă de percuţie (forţă percutantă). Percuţie 262 13.2. Ipoteze simplificaţoare în timpul fenomenului de ciocnire 264 13.3. Teoremele fundamentale ale ciocnirilor 266 13.4. Ciocnirea oblică a două sfere 270 13.5. Ciocnirea unei sfere cu un corp aflat în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe 272 13.6. Determinare percuţiilor de legătură în cazul unui rigid cu ax fix supus unei percuţii exterioare. Centru de percuţie 273
11
Mecanica
14. Noţiuni de Mecanică analitică 277 14.1. Legături 277 14.2. Principiul lui D’Alembert 280
14.2.1. Forţă de inerţie. Torsorul forţelor de inerţie 280 14.2.2. Principiul lui D’Alembert. Metoda cinetostatică 282
14.3. Principiul lucrului mecanic virtual 284 14.4. Ecuaţiile lui Lagrange 287
14.4.1. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a 287 14.4.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a 288 14.4.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a
în cazul forţelor conservative 291 14.5. Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton 292
15. Vibraţii liniare ale sistemelor cu un grad de libertate 295 15.1. Vibraţia liniară liberă, neamortizată 295 15.2. Vibraţia liniară liberă, amortizată 297 15.3. Vibraţia liniară forţată, fără amortizare 301 15.4. Vibraţia liniară forţată, cu amortizare 304
BIBLIOGRAFIE 309
12
10. Dinamica punctului
DINAMICA
Dinamica studiază mişcarea sistemelor de corpuri materiale luând în
considerare masele corpurilor şi forţele care acţionează asupra lor. Problemele generale ale adinamicii sunt două: a) Fiind dată mişcarea sistemului material să se determine forţele care imprimă
sistemului mişcarea prescrisă; b) Cunoscând forţele care acţionează asupra unui sistem material şi condiţiile
iniţiale ale mişcării (configuraţia geometrică şi distribuţia vitezelor în momentul iniţial) să se determine mişcarea sistemului.
10. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 10.1 Dinamica punctului material liber
Problemele generale ale dinamicii punctului material se rezolvă folosind principiul al doilea al mecanicii, sub forma:
Fam = (10.1)
unde “m” este masa punctului material, a - acceleraţia sa şi F - rezultanta forţelor care acţionează asupra lui. Relaţia este cunoscută şi sub numele de “ecuaţia fundamentală a dinamicii”.
În dinamică se admite că forţa F depinde, în cazul general, de vectorul de poziţie r al punctului, de viteza v şi explicit de timpul t:
t),v,r(FF = (10.2) Deoarece ra &&= , rv &= , ecuaţia (4.1) devine: t),r,r(Frm &&& = (10.3) Cele mai multe probleme de dinamica punctului liber se referă la determinarea ecuaţiei vectoriale sau ecuaţiilor scalare ale traiectoriei punctului, presupunând cunoscută expresia forţei F , poziţia şi viteza punctului la un moment dat. Determinarea ecuaţiei vectoriale a traiectoriei,
197
Dinamica
(t)rr = (10.4) se obţine prin integrarea ecuaţiei vectoriale (10.3). De obicei se recurge la scalarizarea ecuaţiei (10.3) proiectând-o pe axele unui sistem de referinţă cartezian, sistem de coordonate cilindrice, sau pe axele triedrului lui Frenet (fig. 10.1). Se obţin astfel ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în diferite sisteme de coordonate:
a) în coordonate carteziene (10.5) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
z
y
x
FzmFy mFxm
&&
&&
&&
b) în coordonate cilindrice (10.6) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==ϕ+ϕ=ϕ−
z
n
r2
FzmF)'r2(r'mF)r''r(m
&&
&&&&
&&&
c) în coordonate intrinseci
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
β
ν
2τ
F0
Fρsm
Fsm&
&&
(10.7)
x,y,z
Mr, ,z
sm
r
yx
z
ϕ
ϕ
r
t
M t 0( )=
s
τ
ν
β
aF
Mr
(Γ)
Fig. 4.1
Dacă traiectoria punctului este plană (z=0), în sistemele de ecuaţii
(10.5), (10.6) şi (10.7) nu mai apar ultimele ecuaţii. Dacă traiectoria este rectilinie avem o singură ecuaţie:
198
10. Dinamica punctului
Fxm =&& (10.8) Cu ajutorul ecuaţiilor (10.5)-(10.7) putem rezolva cele două probleme fundamentale (generale) ale dinamicii. a) Prima problemă fundamentală a dinamicii punctului material
Se dau ecuaţiile de mişcare ale punctului, sub una din formele:
z(t)zy(t)yx(t)x
===
; (10.9a)
z(t)z
(t)(t)r'r'
=ϕ=ϕ
=; (10.9b)
)t(ss = (10.9c)
şi se cere să se determine forţa F care imprimă punctului cu masa m mişcarea dată.
Din ecuaţiile (10.5)-(10.7) rezultă corespunzător proiecţiile forţei şi în continuare modulul şi orientarea acesteia:
xmFx &&= ; ymFy &&= ; zmFz &&=
2z
2y
2x FFFF ++= ; ( )
FF
Ox,Fcos x= ; FF
Ox),Fcos( y= ; FF
Oz),Fcos( z= (10.10)
( )2
r r'rmF ϕ−= &&& ' ; ( )ϕ+ϕ= &&&& 'r2r'mFn ; zmFz &&=
2z
2n
2r FFFF ++= ; ( )
FFOR,Fcos r= ; ( )
FFON,Fcos n= ;
FFOz),Fcos( z= (10.11)
smFτ &&= ; ρsmF
2
υ&
= ; 0Fβ =
2υ
2τ FFF += ; ( )
FF
M,Fcos τ=τ ; ( )FF
M,Fcos υ=υ ; ( ) 0M,Fcos =β (10.12)
199
Dinamica
b) A doua problemă fundamentală a dinamicii punctului material Se consideră cunoscută variaţia forţei F în funcţie de timp, poziţia şi
viteza punctului: ( )t,r,rFF &= (10.13)
respectiv variaţiile proiecţiilor acestei forţe pe cele trei axe ale sistemului de referinţă ales.
Se studiază această problemă în sistemul de referinţă cartezian, în celelalte sisteme de referinţă rezolvarea fiind similiară:
( )(( )z,y,xz,y,x,t,FF
z,y,xz,y,x,t,FFz,y,xz,y,x,t,FF
zz
yy
xx
&&&
&&&
&&&
===
) (10.14)
Sunt date şi condiţiile iniţiale ale mişcării, sau la un moment dat, respectiv coordonatele punctului şi proiecţiile vitezei pe cele trei axe:
; (10.15) 0t =000
000
zz,yy,xxzz,yy,xx&&&&&& ===
===
Se cere să se determine ecuaţiile de mişcare ale punctului: x(t)x = ; y(t)y = ; z(t)z = (10.16) Problema se rezolva utilizând ecuaţiile diferenţiale (10.5):
( )(( )z,y,xz,y,x,t,Fzm
z,y,xz,y,x,t,Fymz,y,xz,y,x,t,Fxm
z
y
x
&&&&&
&&&&&
&&&&&
===
)
)
(10.17)
Prin integrarea sistemului de 3 ecuaţii diferenţiale de ordin II rezultă coordonatele punctului în funcţie de timp şi de 6 constante de integrare:
( )(( )654321
654321
654321
C,C,C,C,C,Ct,zzC,C,C,C,C,Ct,yyC,C,C,C,C,Ct,xx
===
(10.18)
În scopul determinării celor 6 constante de integrare se derivează în raport cu timpul relaţiile (10.18):
200
10. Dinamica punctului
( )( )( )654321
654321
654321
C,C,C,C,C,Ct,zzC,C,C,C,C,Ct,yyC,C,C,C,C,Ct,xx
&&
&&
&&
===
(10.19)
Pentru aflarea celor 6 constante de integrare se impune condiţia ca relaţiile (10.18) şi (10.19) să verifice condiţiile iniţiale ale mişcării (10.15). Rezulta un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute:
( )( )( )6543210
6543210
6543210
C,C,C,C,C,C0t,zzC,C,C,C,C,C0,yyC,C,C,C,C,C0,xx
===
(10.20a)
( )( )( )6543210
6543210
6543210
C,C,C,C,C,C0,zzC,C,C,C,C,C0,yyC,C,C,C,C,C0,xx
&&
&&
&&
===
(10.20b)
Prin rezolvarea sistemului (10.20) se determină cele 6 constante de
integrare în funcţie de condiţiile iniţiale ale mişcării:
( )000000ii z,y,x,z,y,xCC &&&&= ; 1,2,...,6i = (10.21) Se introduc aceste constante de integrare în (10.17) rezultând ecuaţiile de mişcare :
( )( )( )000000
000000
000000
z,y,x,z,y,xt,zzz,y,x,z,y,xt,yyz,y,x,z,y,xt,xx
&&&
&&&
&&&
===
sau: x(t)x = ; y(t)y = ; z(t)z = (10.22)
10.2. Mişcarea unui punct sub acţiunea unei forţe centrale O forţă ce acţionează asupra unui punct material este numită centrală dacă suportul ei trece în permanenţă printr-un punct fix numit centrul forţelor. Mişcarea punctului sub acţiunea unei forţe centrale se numeşte mişcare centrală. Se notează cu M poziţia punctului la un moment dat, cu O centrul forţelor, cu ρ versorul vectorului de poziţie OMr = şi cu F scalarul forţei. Se poate scrie: ρ= FF (10.23)
201
Dinamica
Dacă forţa 0F > F este repulsivă (de respingere), iar dacă 0F < forţa centrală se numeşte de atracţie sau atractivă. Pentru demonstrarea unor proprietăţi ale mişcarii centrale se pleacă de la ecuaţia fundamentală a dinamicii: Fam = (10.24) care se înmulţeşte vectorial la stânga cu r . Deoarece r şi F sunt vectori coliniari: 0F r am r =×=× (10.25) Întrucât,
( ) a ra rv vv rv rv rdtd
×=×+×=×+×=× &&
relaţia (10.25), după împărţire cu m devine:
( ) 0v rdtd
=×
(10.26) Rezultă că Cv r =× ; ( )constantvector C = (10.27) Dacă se înmulţeşte scalar relaţia (4.27) cu r obţinem ecuaţia vectorială a unui plan: ( ) 0v rrCr =×⋅=⋅ (10.28) Fie , , proiecţiile vectorului constant xC yC zC C şi x, y, z coordonatele punctului M într-un sistem de referinţă cu originea în centrul forţelor. Atunci ecuaţia (10.28) mai poate fi scrisă: 0zCyCxC zyx =++ (10.29) Relaţia (10.29) reprezinta ecuaţia unui plan care trece prin origine şi care este normal la vectorul C .
Deducem următoarea proprietate a mişcării centrale: a) Traiectoria unui punct material liber acţionat de o forţă centrală este
plană, mişcarea având loc într-un plan ce conţine centrul forţelor.
202
10. Dinamica punctului
În continuare pentru studiul mişcării se poate alege un sistem de coordonate polare ca în figura 10.2.
n ρ
Mr, ϕm
M t 0( )=
(Γ)
a
r
ϕ
t F
α
r0
α
0
0
Fig. 10.2
Proiectând ecuaţia (10.23) pe direcţiile versorilor ρ şi n se obţin
ecuaţiile diferenţiale ale mişcării centrale :
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=ϕ+ϕ=ϕ−
0r2rmFrrm 2
&&&&
&&& (10.30)
A doua ecuaţie a sistemului (10.30) se poate pune sub forma:
( ) ( ) 0rdtd
r1r2rr
r1r2r 22 =ϕ=ϕ+ϕ=ϕ+ϕ &&&&&&&&& (10.31)
Cum “r” este finit rezultă:
( ) 0rdtd 2 =ϕ& (10.32)
de unde, (10.33) (constant) Cr2 =ϕ&
Mărimea vr21Ω ×= , respectiv nvr
21αsinvr
21Ω ⋅=⋅⋅= se numeşte
viteză areolară. Înlocuind în expresia vitezei areolare ϕ= &rvn rezultă:
C21r
21 2 =ϕ=Ω & (10.34)
Relaţia (10.34) exprimă cea de a doua proprietate a mişcării centrale:
203
Dinamica
b) În mişcarea centrală viteza areolară este constantă, sau raza vectoare mătură arii egale în intervale de timp egale. Constanta C care intervine în relaţiile (10.33) şi (10.34) poartă numele de constanta ariilor şi se determină ţinând seama de condiţiile iniţiale ale mişcării: (10.35) 000
2 sinα vrsinα r vrC ==ϕ= &
Se înlocuieşte a doua ecuaţie a sistemului (10.30) cu ecuaţia (10.33):
(10.36) ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
=ϕ
=ϕ−
Cr
Frrm2
2
&
&&&
Soluţiile ( )trr = şi ( )tϕ=ϕ ale acestui sistem reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sau ecuaţiile de mişcare în coordonate polare. Elimnând timpul t se obţine ecuaţia traiectoriei sub formă explicată sau implicită
( )ϕ= rr( ) 0 r,f =ϕ .
Atunci când se urmăreşte determinarea ecuaţiei polare a traiectoriei este mai practic să se înlocuiască sistemul de ecuaţii diferenţiale cu o singură ecuaţie diferenţială având funcţia r şi varabilaϕ . Sistemul (10.36) se pune sub forma:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=ϕ
mF
rcr
rC
3
2
2
&&
&
(10.37)
Ţinând seama de prima ecuaţie (10.37) avem succesiv:
ϕ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=ϕ
⋅=ϕϕ
=ϕϕ
⋅==d
r1d
Cddr
rC
ddr
dd
dtdr
dtdrr 2
&& (10.38)
2
2
2
2
dr1d
rC
drd
dd
dtrd
dtrdr
ϕ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=ϕϕ
=ϕϕ
⋅== &&&&
&& (10.39)
Înlocuind (10.39) în ecuaţia a doua din (10.37) şi făcând notaţia:
204
10. Dinamica punctului
r1u = (10.40)
rezultă o ecuaţie diferenţială de ordinul II cunoscută sub numele de ecuaţia lui Binet:
222
2
umCFu
dud
−=+ϕ
(10.41)
Această ecuaţie rezolvă problema determinării directe a ecuaţiei polare a traiectoriei. Prin integrare rezultă: ( )21 C ,C ,uu ϕ= (10.42) Determinarea constantelor de integrare se face impunând condiţiile iniţiale: la 0t = , 0ϕ=ϕ , 0rr = , 0vv = Una din ecuaţiile pentru calculul constantelor de integrare rezultă imediat:
( )2100 C ,C ,u
1rϕ
= (10.43)
Expresia vitezei la un moment dat în funcţie de unghiul polar ϕ este:
22
4
22
222222
n2r u
dduC
rCr
dduCrrvvv +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
=ϕ+=+= & (10.44)
A doua ecuaţie necesară determinării constantelor de integrare va fi:
( )[ ] ([ )]22102
2100 C ,C ,uC ,C ,uCv ϕ+ϕ′= (10.45)
Din (10.43) şi (10.45) se obţin constantele de integrare funcţie de . Înlocuindu-le în (10.42) rezultă ecuaţia polară a traiectoriei:
21 C iş C
000 , v,r ϕ
( )000 , v,r ,u1r
ϕϕ= , sau ( )ϕ= rr (10.46)
205
Dinamica
Dacă intersectează şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei atunci prima relaţie din (10.37) se pune sub forma:
ϕ= drC1dt 2 (10.47)
care prin integrare conduce la:
( ) 32 Cdr
C1t +ϕϕ= ∫ (10.48)
Constanta de integrare se deduce impunând condiţia ca la
. Introducând expresia 3C
0 0,t ϕ=ϕ= ( )033 CC ϕ= în (10.48) se obţine: ( )ϕ= tt sau ( )tϕ=ϕ (10.49) A doua ecuaţie de mişcare rezultă înlocuind (10.49) în (10.46):
( )trr = (10.50) 10.3. Dinamica punctului material supus la legături Studiul mişcării punctului material supus la legături se reduce la studiul mişcării unui punct material liber, înlocuind legăturile, conform axiomei legăturilor, cu elemente mecanice corespunzătoare, numite forţe de legătură sau reacţiuni, care se consideră că acţionează asupra punctului alături de forţele date. Legăturile punctului material sunt aceleaşi ca în Statică, adică rezemarea pe o suprafaţă sau pe o curbă. În dinamică se pot întâlni şi legături mobile sau deformabile, adică legături ai căror parametrii geometrici variază în timp. În cele ce urmează se vor considera numai legături fixe şi indeformabile.
R
R
r
legatura
x,y,zM m
tT
N
a
F(Γ)
206
10. Dinamica punctului
Fig. 10.3 Forţa de legătură, în cazul unui punct material rezemat pe o suprafaţă
aspră (fig. 10.3) are o componentă normală N , numită reacţiune normală, având direcţia normalei la suprafaţă şi mărimea N necunoscută şi o componentă tangenţialăT , numită forţă de frecare, având direcţia şi sensul contrar vectorului viteză şi mărimea T egală, conform legilor lui Coulomb în cazul frecării uscate, cu produsul dintre coeficientul frecării de alunecare şi mărimea reacţiunii normale (T= ).
μNμ
În cazul unui punct aflat în mişcare pe o curbă aspră (Γ), forţa de legătură are componenta normală N situată în planul normal la curbă, determinarea ei necesitând cunoaşterea a doi parametrii care să-i precizeze direcţia şi mărimea, şi componenta tangenţială T dirijată în sens contrar vitezei, de modul NμT = . În amândouă cazurile ecuaţia vectorială a mişcării este: TNRrm ++=&& (10.51) unde ( )zyx R,R,RR este rezultanta forţelor exterioare date care acţionează asupra punctului. a) Dacă punctul se mişcă pe o suprafaţă aspră de ecuaţie ( ) 0zy,x,f = , atunci:
fλN ∇⋅= (10.52)
vvNμT ⋅−= (10.53)
Ecuaţiile diferenţiale scalare ale mişcării, rezultate din proiectarea ecuaţiei (10.51) pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vor fi în acest caz:
222
222
xzyx
xzf
yf
xfμλ
xfλRxm
&&&
&&&
++⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−∂∂
+=
222
222
yzyx
yzf
yf
xfμλ
yfλRym
&&&
&&&
++⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−∂∂
+= (10.54)
207
Dinamica
222
222
zzyx
zzf
yf
xfμ
zfλRzm
&&&
&&&
++⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
λ−∂∂
+=
la care se adaugă ecuaţia suprafeţei, ( ) 0zy,x,f = (10.55) b) Dacă punctul se mişcă pe o curbă de ecuaţii: ( ) 0zy,x,f1 = , ,
atunci: ( ) 0zy,x,f2 =
2211 fλfλN ∇⋅+∇⋅= (10.56)
vvNμT ⋅−= (10.57)
Ecuaţiile diferenţiale scalare ale mişcării, rezultate din proiectarea
ecuaţiei (4.51) pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vor fi în acest caz:
222
22
21
1
22
21
1
22
21
12
21
1x
zyx
x
zfλ
zfλ
yfλ
yfλ
xfλ
xfλμ
xfλ
xfλRxm
&&&
&
&&
++⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
+=;
222
22
21
1
22
21
1
22
21
12
21
1y
zyx
y
zfλ
zfλ
yfλ
yfλ
xfλ
xfλμ
yfλ
yfλRym
&&&
&
&&
++⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
+=;
222
22
21
1
22
21
1
22
21
12
21
1z
zyx
z
zfλ
zfλ
yfλ
yfλ
xfλ
xfλμ
zfλ
zfλRzm
&&&
&
&&
++⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
+=
(10.58) la care se adaugă ecuaţiile curbei ( ) 0zy,x,f1 = ; ( ) 0zyxf2 =,, (10.59)
208
10. Dinamica punctului
Prin integrarea ecuaţiilor (10.54) sau (10.58), fiind luate în considerare condiţiile iniţiale ale mişcării, se obţin atât ecuaţiile de mişcare:
( )txx = ; ( )tyy = ; ( )tzz = , (10.60)
cât şi parametri λ sau cu ajutorul cărora se calculează, ca în Statică, mărimea reacţiunii normale N:
,λ ,λ 21
a) în cazul punctului pe suprafaţă
222
zf
yf
xfN ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
λ= (10.61)
b) în cazul punctului pe curbă
2
22
11
22
21
1
22
21
1 zf
zf
yf
yf
xf
xfN ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
λ+∂∂
λ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
λ+∂∂
λ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
λ+∂∂
λ= (10.62)
Dacă legăturile sunt lucii în ecuaţiile (10.54) sau (10.58) se ia 0μ = . 10.4. Pendulul simplu
Pendulul matematic, sau pendulul simplu, este constituit dintr-un punct material (un corp mic) suspendat printr-un fir ideal (perfect flexibil, inextensibil şi fără greutate), care oscilează într-un plan vertical în jurul punctului de suspensie sub acţiunea propriei greutăţi, în ipoteza neglijării forţelor de frecare. Dacă pendulului i se imprimă o mişcare de balans (oscilaţie) se va putea observa că perioada de oscilaţie este aceeaşi pentru o lungime dată şi nu este influenţată de greutatea suspendată sau (în anumite limite) de amplitudinea oscilaţiei. Această proprietate a făcut posibilă aplicarea pendulului simplu în construcţia unor instrumente de măsurare a timpului cunoscute sub numele de pendule. Prin măsurarea perioadei oscilaţiilor, care este influenţată de gravitaţie, poate fi calculată valoarea acceleraţiei gravitaţionale.
209mg
τ
ν
αϕ
S
(m)M
M (t=0)
M
Dinamica
Fig. 10.4 Se consideră în figura 10.4 un pendul matematic de masă „m” şi
lungime „l”. Se notează cu „ϕ ” unghiul de rotaţie faţă de verticală. Pendulul este lăsat să oscileze din poziţia în care α=ϕ , fără viteză iniţială. Se urmăreşte obţinerea ecuaţiei mişcării oscilatorii şi perioadei oscilaţiilor.
Asupra punctului acţionează pe lângă greutatea gm şi tensiunea din fir S . În vederea obţinerii ecuaţiei diferenţiale a mişcării şi a tensiunii din fir, se proiectează pe tangentă şi normală ecuaţia:
Sgmam += (10.63) Rezultă: ϕ−=ϕ sinmgml && (10.64)
(10.65) ϕ−=ϕ cosmgSml 2&
S-a ţinut seama că: ϕ=ε=τ &&lla şi 22 lla ϕ=ω=ν &
În cazul micilor oscilaţii ( °≤ϕ 5 ) putem face aproximaţiile: ; şi ecuaţia (2) devine:
ϕ≈ϕsin1cos ≈ϕ
0lg
=ϕ−ϕ&& (10.66)
Facem notaţia:
lgp = (10.67)
Soluţia ecuaţiei (10.66) este: )ptsin(C)ptcos(C 21 +=ϕ (10.68) ptcospCptsinpC 21 +−=ϕ& (10.67) Impunând condiţiile iniţiale: la t=0, 0, =ϕα=ϕ & , deducem constantele
de integrare 0C,C 21 =α= şi ecuaţia mişcarii oscilatorii armonice: (10.68) )ptcos(α=ϕ
210
10. Dinamica punctului
unde parametrul „p” se dovedeşte a fi pulsaţia mişcării şi α amplitudinea unghiulară. Perioada micilor oscilaţii ale pendulului este:
gl2
p2T π=π
= (10.69)
Se observă că micile oscilaţii sunt izocrone (au aceeaşi perioadă) şi că perioada variază liniar cu radicalul lungimii pendulului. Din ecuaţia (3) se poate calcula tensiunea din fir: (10.70) 2mlcosmgS ϕ+ϕ= &
Dacă , conform [15], perioada oscilaţiilor se aproximează cu: °>α 5
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α+π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α+π≅ 22
1611
gl2
2sin
411
gl2T (10.71)
Notăm cu , amplitudinea metrică. Deoarece 10MMA =l2
A2
sin =α , obţinem
expresia perioadei în cazul oscilaţiilor mari, sub forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π= 2
2
lA
1611
gl2T (10.72)
Din (9) putem calcula valoarea acceleraţiei gravitaţionale în cazul
micilor oscilaţii,
2
2
Tl4g π
= (10.73)
iar din (12) în cazul oscilaţiilor mari:
2
2
2
2
2
lA
1611
Tl4g ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π= (10.74)
10.5. Dinamica mişcării relative a punctului material
211
Dinamica
Se consideră în figura 10.5 un punct material M de masă m, asupra căruia acţionează un sistem de forţe ( )n1,2,...,iFi = având rezultanta F , şi două sisteme de referinţă: unul fix şi altul mobil Oxyz, aflat într-o mişcare oarecare. Presupunând cunoscută mişcarea sistemului de referinţă mobil în raport cu sistemul de referinţă fix
1111 zyxO
( )ε,ω,a,v,r 000 , se cere să se studieze mişcarea punctului material faţă de sistemul de referinţă mobil, adică să se determine ecuaţiile mişcării relative ale punctului material: ( ) ( ) ( )tzz;tyy;txx === (10.75)
rω
ε
0
a0
r10
r1
Faa
m(M )
Fig. 10.5
Pentru aceasta se scrie ecuaţia mişcării absolute a punctului material:
Fam a = (10.76) unde, aa este acceleraţia punctului M în raport cu sistemul de referinţă fix, numită acceleraţie absolută.
Conform legii de compunere a acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului material avem: ctra aaaa ++= (10.77) Se înlocuieşte semnificaţia acceleraţiei absolute aa în (10.76) şi se obţine: Famamam ctr =++ (10.78) sau ctr amamFam −−= (10.79) În continuare notăm
212
10. Dinamica punctului
( )[ ] jt0t Frxωxωrxεamam =++−=− (10.80) [ ] jcrc Fvxω2mam =−=− (10.81) Cu notaţiile (10.80) şi (10.81) ecuaţia (10.79) devine: jcjtr FFFam ++= (10.82) Ecuaţia (10.82) se numeşte ecuaţia diferenţială fundamentală a mişcării relative a punctului material. Cei doi vectori jtF şi jcF se numesc, respectiv forţă inerţială de transport şi forţă inerţială Coriolis. Comparând (10.82) cu (10.76) rezultă că mişcarea relativă a punctului se tratează analog cu mişcarea absolută cu deosebirea că în membrul doi al ecuaţiei diferenţiale vectoriale trebuie plasate pe lângă rezultanta forţelor efectiv aplicate şi de legătură şi forţele inerţiale de transport şi Coriolis. În cazul punctului material supus la legături forţa F conţine atât rezultanta forţelor date R cât şi reacţiunea lR :
lRRF += ; ∑=
=n
1iiFR ; TNRl += ;
r
rvvNT μ−= (10.83)
Proiectând ecuaţia diferenţială vectorială (10.82) pe axele sistemului de referinţă mobil, ţinând seama de (10.83), se obţin trei ecuaţii diferenţiale scalare:
cztzlzz
cytylyy
cxtxlxx
FFRRzm
FFRRymFFRRxm
+++=
+++=+++=
&&
&&
&&
, (10.84)
la care se adaugă ecuaţia sau ecuaţiile legăturii. Din integrarea ecuaţiilor (10.84), ţinând seama de condiţiile iniţiale ale mişcării:
t=0 (10.85) ⎩⎨⎧
======
;zz ,yy ,xx;zz ,yy ,xx
000
000&&&&&&
obţinem ecuaţiile mişcării relative a punctului
213
Dinamica
( )( )( )tzztyytxx
===
, (10.86)
iar în cazul punctului material legat, luând în considerare ecuaţiile legăturii, şi
forţa de legătură 22l TNR += .
Dacă viteza relativă şi acceleraţia relativă sunt nule ( 0vr = şi 0a r = ) spunem că punctul material se găseşte în repaus relativ faţă de sistemul de referinţă mobil. Deoarece ( )rjc vω2mF ×−= rezultă în acest caz 0Fjc = . Ecuaţia (10.82) devine în acest caz: 0FFjt =+ (10.87) Relaţia (10.87) exprimă condiţia vectorială a repausului relativ, adică în cazul repausului relativ suma vectorială dintre rezultanta forţelor date şi de legătură care acţionează asupra punctului şi forţa inerţială de transport este nulă. În continuare ne propunem să stabilim în ce condiţii ecuaţia diferenţială (10.82) are forma ecuaţiei diferenţiale absolute Fam r = (10.88) Aceasta înseamnă că 0FF jcjt =+ (10.89) sau ( )[ ] 0vω2rωωrεam r0 =×+××+×+− (10.90) Ecuaţia (10.90) este satisfăcută dacă 0ε 0;ω 0;a0 === (10.91) Aceasta înseamnă că dacă mişcarea de transport a sistemului de referinţă mobil este o translaţie rectilinie şi uniformă, ecuaţia mişcării relative a punctului material are aceeaşi structură ca şi în cazul mişcării absolute. Din această cauză sistemul de referinţă mobil care satisface condiţiile (10.70) se numeşte sistem de referinţă inerţial.
214
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE
GENERALE ALE DINAMICII
Rezolvarea problemelor de dinamică se face cu ajutorul unor teoreme, numite teoreme generale, deduse prin aplicarea principiilor mecanicii, folosind câteva noţiuni fundamentale: lucrul mecanic, puterea mecanică, randamentul mecanic, energia cinetică, energia potenţială, energia mecanică, impulsul sau cantitatea de mişcare, momentul cinetic.
11. 1. Lucrul mecanic
11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra unui punct material
Se consideră în figura 11.1 un punct material M care se deplasează pe traiectoria sub acţiunea unei forţe variabile F. La momentul t punctul material se află în poziţia M definită de vectorul de poziţie
( )Γr , iar la momentul
punctul se află în poziţia definită de vectorul de poziţie dt t + 1M rdr + .
r
M t 0( )= M t dt( )+
r dr+
M t( ) τs ds
(Γ)
A(t )A
B(t )B
aF
dr
α
i j k
Fig. 11.1 Se numeşte lucru mecanic elementar al forţei F , corespunzător deplasării elementare rd , o mărime egală cu produsul scalar dintre forţa dLF şi deplasarea elementară rd rdFdL ⋅= (11.1) Deoarece dtvrd = şi vdtdsrd == expresia lucrului mecanic elementar mai poate fi scrisă:
215
Dinamica
cosα ds Fcosαdt vFdt vFdL ==⋅= (11.2) undeα este unghiul dintre vectorul forţă şi vectorul viteză. Folosind expresia analitică a vectorilor F şi rd relaţia (11.1) devine: (11.3) dtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFdL zzyyxxzyx ++=++= Din definiţia lucrului mecanic elementar rezultă câteva proprietăţi importante: - Lucrul mecanic elementar este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional de unităţi joule-ul [J] ( mN1J1 ⋅= ).
- Lucrul mecanic elementar este pozitiv când ⎢⎣
⎡⎟⎠⎞∈
2π0,α şi se numeşte
lucru mecanic motor.
- Lucrul mecanic elementar este negativ când ]π,2πα ⎜
⎝⎛∈ şi se numeşte
lucru mecanic rezistent.
- Dacă 0dL ,2
α =π
= şi se numeşte lucru mecanic nul.
Corespunzător unei deplasări finite a punctului între două poziţii A şi B pe traiectoria curbilinie ( )Γ sub acţiunea forţei variabile F , lucrul mecanic finit sau total are expresia:
(11.4) α cosdtvF
α cosdsFdtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFrdFL
B
A
B
A
t
t
B
A
B
A
B
A
t
tzzyyxxzyxBA
∫
∫ ∫ ∫∫
=
==++=++=⋅=−
Se demonstrează că lucrul mecanic elementar al unui cuplu de moment
0M , corespunzător unei rotaţii elementare θd este egal cu:
( )dtωMωMωMdtωMθdMdL zzyyxx00 ++=⋅=⋅= (11.5)
iar lucrul mecanic total sau finit:
216
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
( )dtωMωMωMβ dtcosωMβ cosθdMθdML2
1
2
1
2
1
2
1
21
t
t
t
tzzyyxx0
θ
θ
θ
θ00θθ ∫ ∫∫ ∫ ++====−
(11.6) S-a notat cu β unghiul dintre 0M ( momentul cuplului) şi ω (viteza unghiulară) şi s-a ţinut seama că dtωθd = . În general, lucrul mecanic finit al unei forţe depinde atât de modul cum variază forţa cât şi de forma traiectoriei. 11.1.2 Lucrul mecanic al forţelor conservative O forţă este conservativă dacă derivă dintr-o funcţie de forţă, adică
kzUj
yUi
xUU UgradF
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇== (11.7)
se numeşte funcţie de forţă a forţei ( zy,x,UU = ) F şi depinde numai de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei. Din (11.7) rezultă că:
zUF ;
yUF ;
xUF zyx ∂
∂=
∂∂
=∂∂
= (11.8)
Pentru ca o forţă să admită o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:
zF
xF ;
yF
zF
; xF
yF xzzyyx
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂
∂
∂
∂=
∂∂
(11.9)
În acest caz lucrul mecanic al forţei F este:
dUdzzUdy
yUdx
xUrdFdL =
∂∂
+∂∂
+∂∂
== (11.10)
Lucrul mecanic total va fi:
∫ ∫ −===−
B
A
B
AABBA UUdUrdFL (11.11)
217
Dinamica
unde ( ) ( BBBBAAAA z,y,xU U, z,y,xUU )== Rezultă că lucrul mecanic total al unei forţe conservative este independent de forma traiectoriei, depinzând numai de poziţiile iniţială şi finală a punctului de aplicaţie al forţei. Un exemplu de forţă conservativă este forţa gravitaţională (fig. 11.2).
i j k
G
A
Bz
z
Fig.11.2
În acest caz:
.zUGG ; 0GG zyx ∂
∂=−===
Rezultă: CGzU +−= (11.12)
( ) GhzzGL ABBA ±=−−=− (11.13) Prin urmare lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma
traiectoriei pe care se deplasează punctul ei de aplicaţie, ci depinde numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile iniţială şi finală şi având semnul (+) când deplasarea se face în sensul forţei şi semnul (-) când deplasarea se face în sens contrar.
11.1.3 Lucrul mecanic al unei forţe elastice Se consideră în figura 11.3 un arc ideal cu constanta elastică k. Se notează cu x -alungirea şi cu -forţa elastică. kxFe =Putem scrie: dx-kxdL ; idxrd ; ikxFe ==−= (11.14)
218
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
ix
x
0 x dx
FeBM
A
Fig. 11.3
Lucrul mecanic total corespunzător unei alungiri x este:
∫ −=−=x
0
2kx21dxkxL (11.15)
iar lucrul mecanic total între 2 poziţii A şi B ale capătului arcului:
(∫ −−=−=−
B
A
x
x
2A
2BBA xxk
21kxdxL ) (11.16)
11.1.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forţe care acţionează
asupra unui solid rigid
Se consideră în figura 11.4 un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe ( n1,2,3,...,i Fi = ) care se reduce în punctul O al corpului la un torsor având elementele:
∑ ∑= =
×==n
1i
n
1iii0i FrM ; FR (11.17)
La un moment dat t rigidul are viteza unghiulară ω şi punctul O viteza 0v . Se cere determinarea lucrului mecanic elementar al sistemului de forţe corespunzător deplasării elementare 10rd a punctului O şi rotaţiei elementare θd a rigidului. Prin definiţie:
∑ ∑= =
⋅=⋅=n
1i
n
1iii1ii dtvFrdFdL (11.18)
219
Dinamica
r1i
ri(C)
O
r10
i
ω
dθ
dr10
OMR
Fi
Fn
F1
An
AiA1
A.I.R.
dr1i
Fig. 11.4
Dar, i0i rωvv ×+= (11.19) Rezultă:
( ) ( )∑ ∑ ∑= = =
=×⋅+⋅=×+⋅=n
1i
n
1i
n
1iii0ii0i dtrωFdtvFdtrωvFdL
θdMrdRdtωMdtvRdtωFrdtvF 01000
n
1iii0
n
1ii ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
==
(11.20) 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare
Fij
Mi
ri
rj
Mj
Fji
O
Fig. 11.5
220
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
Două puncte materiale Mi şi Mj aparţinând unui sistem de puncte materiale interacţionează, forţele interioare fiind notate corespunzător cu ijF ,
respectiv jiF . Vectorii de poziţie ai punctelor în raport cu punctul fix O sunt
ri şi jr (fig. 11.5). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii ijji FF −= .
Lucrul mecanic elementar aferent forţelor ijF şi jiF corespunzător deplasărilor elementare ale celor două puncte este:
( )
( ) ( )jiijijij
jiijjijiijjjiiijint
MMdFMMdF
rrdFrdFrdFrdFrdFdL
⋅−=⋅=
=−⋅=⋅−⋅=⋅+⋅= (11.21)
Deoarece jiij MMλF = , rezultă:
( ) ( ) 2ji
2jijiji
int MMd2λMMd
2λMMdMMλdL −=−=⋅−= (11.22)
Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid distanţa dintre puncte jiMM = constant şi ca urmare . Putem spune că în cazul unui
sistem material rigid suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare este nulă pentru orice deplasare a sistemului.
0dLint =
11. Puterea mecanică
Prin puterea mecanică a unei maşini se înţelege cantitatea de lucru
mecanic produsă de maşină în unitatea de timp.
ωMvRdtdLP 00 ⋅+⋅== (11.23)
Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este watt-ul [W];
sJ11W = . În practică se mai foloseşte şi calul putere (CP); 1 kW=1,36CP.
Puterea este o mărime scalară pozitivă, negativă sau nulă constituind o caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice şi oricărei maşini.
În cazul motoarelor liniare: vRP = iar a celor rotative: (s-a notat Mc momentul cuplului).
MP c ω⋅=
Dacă este cunoscută puterea unui motor P[W] şi turaţia n[rot/min], momentul motor Mc [N.m] se obţine cu relaţia:
221
Dinamica
Pnπ
30Mc = (11.24)
Dacă puterea P este dată în CP, turaţia n în rot/min, momentul motor Mc
în N.m este
nP7027Mc = (11.25)
11.3. Randamentul mecanic
Orice maşină în timpul funcţionării ei în regim permanent primeşte un lucru mecanic motor mL , respectiv o putere motoare mP , care îi permite să dezvolte un lucru mecanic util , respectiv o putere utilă , măsurate la ieşirea din maşina respectivă. Diferenţa
uL uP LL-L pum = se numeşte lucru
mecanic pierdut, iar PP-P pum = se numeşte putere pierdută. Raportul dintre lucrul mecanic util şi cel motor, egal cu raportul dintre puterile utilă şi motoare se numeşte randament mecanic.
ϕ−=−
=−
=== 1P
PPL
LLPP
LL
ηm
pm
m
pm
m
u
m
u (11.26)
Coeficientul
m
p
u
p
PP
LL
==ϕ
se numeşte coeficient de pierdere. Randamentul total al unui lanţ de n maşini sau mecanisme legate în serie este egal cu produsul randamentului maşinilor lanţului:
(11.27) ∏=
=n
1iiη η
Randamentul total al unui agregat format din n maşini sau instalaţii montate în paralel este egal cu suma produselor dintre randamentele maşinilor şi cotele părţi din puterea absorbită de fiecare maşină din totalul puterii motoare ce alimentează întregul agregat.
(11.28) ∑ ∑= =
==n
1i
n
1iiii 1α;αηη
222
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
11.4. Energia cinetică 11.4.1. Definiţii
x,y,zM m
r
y x
z
t
(Γ)a
F
M m
y
t
(Γ)a
x ,y ,z i i ii
z i
ix i
rii
Fi
i
n
1
m ,t(M )n n
m ,t(M )1 1
Fig. 11.6 Fig. 11.7
Se consideră în figura 11.6 un punct material M de masă m care se
deplasează sub acţiunea forţei F pe o traiectorie curbilinie având la momentul t viteza
( )Γv .
Se numeşte energie cinetică a punctului material mărimea scalară egală cu semiprodusul dintre masa şi pătratul vitezei punctului:
( )22222c zyxm
21mv
21vm
21E &&& ++=== (11.29)
Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă care caracterizează starea de mişcare a punctului la un moment dat. Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este joule-ul [J]. Prin definiţie energia cinetică a unui sistem de puncte materiale de mase (fig.11.7) având vitezele
iM
im iv n) ..., 2, 1,(i = este egală cu suma energiilor cinetică ale punctelor componente:
( )∑ ∑∑= ==
++===n
1i
n
1i
2i
2i
2ii
n
1i
2ii
2iic zyxm
21vm
21vm
21E &&& (11.30)
Un solid rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă elementară având viteza dm v (fig. 11.8). Pentru calculul
223
Dinamica
energiei cinetice se poate utiliza relaţia (5.30) în care semnul ∑ se înlocuieşte
cu semnul viteza ∫ , iv cu viteza v şi masa cu dm. im
( ) ( )
∫∫ ==C
2
C
2c dmv
21dmv
21E (11.31)
x,y,zM dm
r
y xz
t
(Γ)
(C)
Fig. 11.8 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică
C
dm(M )
ω
ωx rr
r
α
(C)
δ
(Δ ) A.I.R.
Fig. 11.9
În figura 11.9 este reprezentat un solid rigid (C ) aflat în mişcare generală. Se cunoaşte masa M a corpului, viteza cv a centrului de masă, viteza
224
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
unghiulară instantanee ω şi momentul de inerţie mecanic al corpului faţă suportul vectorului
cΔJω plasat în centrul C de masă al corpului.
Se demonstrează relaţia:
2Δ
2cc ωJ
21Mv
21E
c+= (11.32)
numită teorema lui König pentru energia cinetică:’’Energia cinetică a unui solid rigid în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică a centrului de masă al solidului rigid în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului şi energia cinetică a solidului rigid în mişcarea relativă faţă de centrul maselor’’.
Din Cinematică se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.33) Folosind relaţiile (11.31) şi (11.33) se obţin succesiv
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
+⋅×+=×+
+×⋅+=×+==
C C
222c
C
2c
2
C C C Cc
2c
2c
2c
dmαsinrω21dmrωvdmv
21dmrω
21
dmrωvdmv21dmrωv
21dmv
21E
∫C
(11.34)
S-a ţinut seama că ( ) αsinrωrωrω 22222 =×=× Întrucât,
( )( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ ==α===C C C C
Δ222
c CJdmδdmsinr ; 0rMdmr ; Mdm
relaţia (11.34) devine:
2Δ
2cc ωJ
21Mv
21E
C+= (11.35)
11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale unui solid rigid
225
Dinamica
a) Solid rigid în mişcare de translaţie Fie un solid rigid (C) , având masa M şi viteza centrului de masă cv ,
aflat în mişcare de translaţie (fig. 11.10).
r
C
(C)
Fig. 11.10
Deoarece 0ω = , expresia (11.35) devine
2cc Mv
21E = (11.36)
În conformitate cu (11.36) energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare translaţie este egală cu energia centrului de masă şi care se consideră concentrată întreaga masă a corpului. b) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe
În figura 11.11 este reprezentat unui solid rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe ( )Δ cu viteza unghiulară ω . Se presupune de asemenea cunoscut şi momentul de inerţie mecanic al corpului în raport cu axa ( . ΔJ )Δ
Din Cinematică se cunoaşte că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia:
rωv ×= (11.37)
226
ω rα
δO
O
dm=ωx r
(C)
(Δ)
O
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
Fig. 11.11
( )( )
( )( )( )
( )(11.38)ωJ
21dmδω
21
dm αsinrω21dmrω
21dmrω
21 dmv
21E
C
2Δ
22
C C C
22222
C
2c
∫
∫ ∫ ∫∫
==
==×=×==
c) Solid rigid în mişcare de roto-translaţie
ω
r
α
O
dm=ωx r
(C)
(Δ)
δ
= +ωx r
O
O
O
Fig. 11.12
Se consideră în figura 11.12 un solid rigid aflat în mişcare elicoidală în lungul şi în jurul axei ( )Δ cu viteza liniară cv şi viteza unghiulară ω . Se cunoaşte masa M a corpului şi momentul de inerţie mecanic al acestuia faţă de axa mişcării de roto-translaţie ( .
ΔJ)Δ
Se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.39)
Energia cinetică a rigidului în acest caz este:
227
Dinamica
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )∫∫∫∫
∫∫∫∫
×+×+=×+
+×+=×+==
C0
C
2
C
20
C0
C
2
C
20
C
20
C
2c
dmrωvrω21dmv
21dmrωv
dmrω21dmv
21dmrωv
21dmv
21E
(11.40) Deoarece,
( ) ( ) ( ) ( ) 0ωv ; Jωdmδωdm αsinrωdmrω ; Mdm 0Δ
2
C
22
C
222
C
2
C
=×===×= ∫∫∫∫
expresia energiei cinetice dată de (11.40) devine:
2Δ
20c ωJ
21Mv
21E += (11.41)
Se poate afirma că energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare de roto-translaţie este egală cu suma dintre energia cinetică de translaţie cu viteza
0v şi cea provenită din mişcarea de rotaţie în jurul axei fixe cu viteza unghiulară ω . d) Placă aflată în mişcare plană O placă având masa M şi momentul de inerţie mecanic în raport cu axa , normală în centrul de masă C pe planul plăcii, se află în mişcare într-un plan fix cu viteza centrului de masă
cJΔ
cΔ
cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.13).
ω ω
C I
(Δ )
(Δ ) A.I.R.
rI
r
(P )m
Fig. 11.13 Energia cinetică plăcii este dată de formula lui König:
228
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
2cΔ
2cc ωJ
21Mv
21E += (11.42)
Între şi ω subzistă relaţia: cv dωICωvc ⋅=⋅= (11.43) Înlocuind (11.43) în (11.42) se obţine relaţia:
( ) 2Δ
2Δc
2c ωJ
21MdJω
21E
I=+= (11.44)
în care este momentul de inerţie mecanic al plăcii în raport cu axa
instantanee de rotaţie IΔJ
IΔ .
e) Solid rigid în mişcare sferică (mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix)
ωrα
δdm
=ωx r(C)
(Δ) A.I.R.
Fig. 11.14
Se consideră în figura 11.14 un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O cu viteza unghiulară ω ( )zyx ω ,ω ,ω . Se presupun cunoscute momentele de inerţie mecanice ale rigidului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy. În mişcarea sferică viteza unui punct oarecare are expresia:
rωv ×= (11.45) Energia cinetică a rigidului cu punct fix se determină cu relaţia:
229
Dinamica
( )
( )( ) ( )
=×=×== ∫∫∫C
2
C
2
C
2c rω
21dmrω
21dmv
21E
( )
2Δ
22
C
222 ωJ21dmδω
21dmαsinrω
21
== ∫∫ (11.46) Ţinând seama de legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice în raport cu axe concurente, , (11.47) γα2Jβγ2J-βα2JγJβJαJJ zxyzxy
2z
2y
2xΔ −−++=
unde sunt cosinusurile directoare ale suportului Δ al vectorului γβ, α, ω , şi de relaţiile: zyx ωωγ ;ωωβ ;ωωα === (11.48) se obţine:
( )xzzxzyyxyxxy2zz
2yy
2xxc ωω2Jωω2Jωω2JωJωJωJ
21E −−−++= (11.49)
Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, momentele de inerţie centrifugale sunt nule, iar (11.49) ia forma simplificată:
2zz
2yy
2xxc ωJ
21ωJ
21ωJ
21E ++= (11.50)
11.5. Energie potenţială. Energie mecanică Se întâlnesc sisteme materiale (o greutate situată la o anumită înălţime, un arc întins sau comprimat, un recipient cu gaz sub presiune, etc.) care au energie datorită poziţiei pe care o ocupă, fiind capabil să producă lucru mecanic dacă se suprimă legăturile ce menţin sistemul în poziţia respectivă. Energia de poziţie a unor astfel de sisteme se numeşte energie potenţială. Energia potenţială a unui corp aflat într-o poziţie oarecare este egală cu lucrul mecanic consumat pentru a aduce corpul dintr-o poziţie în care energia potenţială se consideră nulă în poziţia dată, luat cu semn schimbat.
(11.51) ( )∑ ∑∫=
−=−=++−=−=n
1iiiiziiyiixp UUdzFdyFdxFLE
230
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
unde U este funcţia de forţe a sistemului. Unitatea de măsură pentru energia poteniţială în SI este joule-ul [ . ]J În cazul unui sistem material suma dintre energia cinetică şi energia potenţială se numeşte enrgie mecanică. pcm EEE += (11.52)
11.6. Impulsul Se consideră un punct material M de masă m care se deplasează pe traiectoria , având la un moment dat viteza ( )Γ v (fig. 11.15). Se defineşte impulsul sau cantitatea de mişcare a punctului material un vector egal cu produsul dintre masa punctului şi viteza sa. vmp = (11.53)
r
kO
p=m m(M )
(Γ)
Fig. 5.15
Alegând un sistem de referinţă cartezian Oxzy şi proiectând (11.53) pe axele acestuia se obţin relaţiile: zmp ;ymp ;xmp zyx &&& === (11.54) în care sunt componentele carteziene ale vitezei punctele M. z ,y ,x &&&
Unitatea de măsură a impulsului în SI este metrukilogram ⋅ pe scundă . [ ]m/skg ⋅
rri
p =m
P=M
m(M )n n
m(M )i i
m(M )1 1C
ii ii
1
231 K O n
Dinamica
Fig. 11.16 În cazul unui sistem de puncte matriale aflat în mişcare (fig.5.16)
impulsul sistemului este egal cu suma impulsurilor punctelor.
∑=
=n
1iii vmP (11.55)
Această relaţie se poate pune şi sub o altă formă ţinând seama că viteza instantanee a punctului este egală cu derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului.
( )∑∑==
=====n
1icccii
n
1i
ii vMrMrM
dtdrm
dtd
dtrdmP && (11.56)
Aşadar impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de masă al sistemului în care se presupune concentrată în întreaga masă a acestuia. Componentele carteziene ale impulsului se obţin proiectând relaţia (11.56) pe axele sistemului de referinţă Oxzy. czcycx zMP ;yMP ;xMP &&& === (11.57) Solidul rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă dm şi viteză v (fig. 11.17). Ca urmare impulsul total se obţine cu relaţia
( )∫=C
dmvP (11.58)
232
r1
(C)ω
C
K
P=M K O1
rdm
r
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
Fig. 11.17
Ca şi în cazul precedent
( ) ( )
( ) c1C1cC
1C
1 vMrMrMdtddmr
dtddm
dtrdP ===== ∫∫ & (11.59)
Relaţia (11.59) arată că impulsul unui rigid este egal cu impulsul centrului de masă în care ar fi concentrată întreaga masă a rigidului. 11.7. Momentul cinetic 11.7.1. Definiţii a) Momentul cinetic al unui punct material Prin definiţie momentul cinetic al unui punct material aflat în mişcare (fig. 11.15) în raport cu un pol fix O este egal cu momentul vectorului impuls faţă de acelaşi pol O.
vmrkO ×= (11.60) Proiecţiile acestui vector pe axele unui sistem de axe cu originea în
punctul O vor fi:
( ) ( ) ( )xyyxmk ;zxxzmk ;yzzymk zyx &&&&&& −=−=−= (11.61) Unitatea de măsură pentru momentul cinetic în SI este
. secundăpemetrukilogram 2⋅ /s]m[kg 2⋅ b) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale
Prin definiţie momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare (fig. 11.16) în raport cu un punct fix O este egal cu suma momentelor cinetice ale punctelor în raport cu acelaşi O.
∑=
×=n
1iiiiO vmrK (11.62)
c) Momentul cinetic al unui solid rigid
233
Dinamica
În cazul unui solid rigid (fig. 11.17) se defineşte momentul cinetic faţă de punctul fix , prin relaţia: 1O
( )
dmvrKC
1O1 ∫ ×= (11.63)
şi momentul cinetic al rigidului în mişcarea relativă faţă de centrul maselor prin relaţia:
( )( )
( )( )∫∫ ××=−×=CC
cC dmrωrdmvvrK (11.64)
Relaţia (11.64) poate fi transcrisă matriceal:
[ ] [ ] [ ]ωJKsau ;ωωω
JJJJJJJJJ
KKK
C
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
⋅=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ (11.65)
Matricea:
(11.66) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
JJJJJJJJJ
]J[
se numeşte matricea momentelor de inerţie sau tensor inerţial. 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare generală faţă de un sistem de referinţă fix , având la un moment dat t viteza centrului de masă 1111 zyxO cv şi viteza unghiulară ω (fig.11.17). Fiind cunoscută masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice ale acestuia în raport cu sistemul de axe Oxyz , legate de corp, se cere determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului faţă de punctul fix şi momentul cinetic al corpului în mişcarea relativă faţă de centrul de masă.
1O
Înlocuim în (11.63) egalităţile rωvv ;rrr C1c1 ×+=+=
234
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )=××+×+
+××++×=×ω+×+=
∫∫
∫∫∫
CCc
C1c
Ccc1
Ccc1O
dmrωrdmvr
dmrωrdmvrdmrvrrK1
( ) ( ) ( )
( )( )∫∫∫∫ ××+×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛××+×=
Cc
CC1c
Cc1c dmrωrvdmrdmrωrdmvr
(11.67) Întrucât,
( ) ( )( )
( )c
CC
CC
Kdmrωr 0;rMdmr M;dm =××=== ∫∫∫ ,
relaţia (11.67) devine: cc1cO KvMrK
1+×= (11.68)
Relaţia (11.68) exprimă teorema lui König pentru momentul cinetic conform căreia, momentul cinetic al unui solid rigid (sistem material) în raport cu un punct fix este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de masă în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului (sistemului material) şi momentul cinetic
1O
cK rezultat din mişcarea relativă a corpului (sistemului material) în raport cu centrul maselor. 11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale rigidului a) solid rigid aflat în mişcare de translaţie
Fie un solid rigid aflat în mişcare de translaţie (fig.11.18), având masa M şi viteza instantanee a centrului de masă cv .
(C)
C
K O1 r
Fig. 11.18
235
Dinamica
Întrucât 0=ω 0Kc = (11.69)
c1cO vMrK1
×= (11.70) b) Solid ridig aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix
Se consideră un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O (fig.11.19) cu viteza unghiulară ω . Se cunosc momentele de inerţie mecanice ale corpului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy, solidar cu rigidul.
Conform (11.63), dacă şi OO1 = rr1 = ,
( )∫ ×=C
O dmvrK (11.71)
Având în vedere legea distribuţiei vitezelor în mişcarea sferică a
rigidului rωv ×= (11.72)
( )( )
( )( )( )
∫ ∫∫ ⋅−=××=C C
2
CO dmrrωdmωrdmrωrK (11.73)
ωr
(C)
(Δ) A.I.R.
x,y,zM dm
K O
Fig. 11.19 Expresiile analitice ale vectorilor care intervin (11.73) sunt
236
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
kωjωiωω
;kzjyixr
;kKjKiKK
zyx
zyxO
++=
++=
++=
(11.74)
Înlocuind (11.74) în (11.73) şi ţinând seama de expresiile momentelor de inerţie mecanice axiale şi centrifugale, prin identificarea coeficienţilor versorilor din cei doi membri, se obţin proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de rferinţă mobil Oxzy. Acestea pot fi exprimate sub formă matriceală:
(11.75) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
ω
ωω
JJJJJJJJJ
K
KK
sau restrâns [ ] [ ] [ ]ωJKO ⋅= (11.76) Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale sunt nule şi: zzzyxyxxx ωJK ;ωJK ;ωJK === (11.77) c) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix
În figura (11.20) este reprezentat un solid rigid aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix oarecare ( )Δ . Se cunosc viteza unghiulară ω şi momentele de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu sistemul de referinţă Oxzy, legat invariabil de solidul rigid.
Momentul cinetic al rigidului în raport cu punctul fix O de pe axa se poate calcula ca şi în cazul mişcării sferice deoarece mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix este un caz particular al mişcării sferice în care axa instantanee de rotaţie devine fixă. Astfel, proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de referinţă mobil Oxzy sunt date de (11.75) sau (11.77), după cum acest sistem nu este sau este sistem de axe principale de inerţie.
( )Δ
237
ωr
(C)
(Δ)
x,y,zM dm
K O
Dinamica
Fig. 5.20
Dacă axa ( )Δ coincide cu axa Oz, atunci ωJK ;ωJK ;ωJK zzyzyxzx =−=−= (11.78) Dacă în plus axa ( ) Oz≡Δ este axă principală de inerţie, atunci: kωJK ω;JK 0;KK zOzzyx ==== (11.79) d) Placă aflată în mişcare plană
Se consideră o placă mobilă ( )mP în mişcare în planul fix cu viteza centrului de masă
1111 zyxO
cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.21). Se cunoaşte masa plăcii şi momentul de inerţie faţă de axa Cz, normală în centrul de masă al plăcii pe planul plăcii.
zJ
Din punctul de vedere al distribuţiei de viteze mişcarea plană reprezintă o suprapunere a două mişcări: o mişcare de translaţie cu viteza cv a centrului de masă C şi o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe perpendiculare în C pe planul mişcării.
Fig. 11.21
CI
(Δ ) A.I.R.
r
(P )m
ω
K O1
K
x
y ϕ
k 1
i1
j 1
j
k
i
ϕ
238
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
Momentul cinetic în mişcarea relativă faţă de centrul de masă este dat de relaţia (11.79)
ωJK ;kωJK zCzC == (11.80)
iar momentul cinetic faţă de de formula lui König. 1O ( )[ ] kωJvyvxMKvMrK zCx1CCy1CCC1CO 111
+−=+×= (11.81)
11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice
ri
m(M )n n
m(M )i i
m(M )1 1
F iint Fi
ext+
Fiext
F iint
Fnext
F1ext
a1
ai
an
(Γ)
i
Fig. 11.22
Se consideră un sistem de puncte materiale , având masele ,
vitezele iM im
iv , acceleraţiile ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă Oxyz, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
extiF (i=1,2,…,n). Asupra punctului acţionează forţa iM ext
iF şi rezultanta
forţele interioare ,FFn
1jij
inti ∑
== n,1j ÷= ij ≠ , cu care celelalte n-1 puncte
interacţionează cu punctul (fig. 11.22). iM Pentru fiecare punct material putem scrie legea fundamentală a dinamicii: int
iext
iii FFam += (11.82)
239
Dinamica
Înmulţind scalar ambii membri ai relaţiei (11.82) cu ird şi însumând relaţiile obţinute pentru n1i ÷= , rezultă
∑∑∑===
⋅+⋅=⋅n
1ii
inti
n
1iii
n
1iiii rdFrdFrdam (11.83)
Dar
C
n
1i
2ii
n
1i
2ii
n
1iiii
n
1ii
ii
n
1iiii dEvm
21
dtdvm
21
dtdvdvmrd
dtvdmrdam ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅=⋅=⋅ ∑∑∑∑∑
=====
(11.84)
extn
1iii dLrdF =⋅∑
=; int
n
1ii
inti dLrdF =⋅∑
=, (11.85)
unde şi reprezintă reprezintă lucrul mecanic al forţelor exterioare, respectiv al forţelor interioare.
extdL intdL
Se obţine: (11.86) intext
C dLdLdE += relaţie ce exprimă matematic teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară sau diferenţială în cazul unui sistem de puncte materiale: variaţia elementară a energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare şi lucrul mecanic al forţelor interioare, corespunzător deplasării elementare a sistemului material în intervalul de timp dt. Integrând relaţia (11.86) se obţine forma finită sau integrală a teoremei de variaţie a energiei cinetice. (11.87) int
21ext
21C1C2 LLEE −− +=− în care este energia cinetică a sistemului la momentul , este energia
cinetică a sistemului la momentul , reprezintă lucrul mecanic total al
forţelor exterioare în intervalul de timp
C1E 1t C2E
2text
21L −
12 tt − şi reprezintă lucrul mecanic total al forţelor interioare în acelaşi interval de timp.
int21L −
În cazul solidului rigid, având în vedere că
240
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
(11.88) 0dL ; 0dL int21
int == − forma diferenţială a teoremei de variaţie a energiei cinetice este: (11.89) ext
C dLdE =iar cea finită: (11.90) ext
21C1C2 LEE −=− 11.9. Teorema de variaţie a impulsului
ri
m(M )n n
m(M )i im(M )1 1 F iint Fi
ext+
Fiext
F iint
Fnext
F1ext
ai
i
C ar
OMK O=
P=M a R=ext
ext
Fig. 11.23
Această teoremă va fi demonstrată tot în cazul unui sistem de puncte
materiale, rezultatele fiind apoi extinse pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. Fie un sistem de puncte materiale de mase aflat în mişcare cu vitezele
iM im
iv şi acceleraţiile ia sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare ext
iF ( n1i ÷= ) . Asupra punctului acţionează atât forţa iM extiF cât şi rezultanta
∑=
=n
1jij
inti FF ( )ijn,1j ≠÷= a forţelor interioare cu care celelalte puncte
interacţionează cu punctul (fig. 11.23). iM Pentru fiecare punct separat din sistem este valabil principiul al doilea al mecanicii scris sub forma: int
iextiii FFam += (11.91)
241
Dinamica
Scriind relaţii de forma (11.91) pentru toate punctele sistemului şi însumându-le membru cu membru obţinem:
∑∑∑===
+=n
1i
inti
n
1i
exti
n
1iii FFam (11.92)
Dar,
( ) ( ) PPdtdvm
dtdvm
dtd
dtvdmam
n
1iii
n
1iii
n
1i
ii
n
1iii
&===== ∑∑∑∑====
, adică derivata
în raport cu timpul a vectorului impuls total; ext
n
1i
exti RF =∑
= -vectorul rezultant al forţelor exterioare;
0Fn
1i
inti =∑
= -deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,
având acelaşi suport şi sensuri contrarii. Rezultă: extRP =& (11.93) Relaţia (11.93) exprimă teorema de variaţie a impulsului pentru un sistem de puncte materiale: derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al unui sistem de puncte materiale este egală cu vectorul rezultant al forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului. Deoarece CvMP = , CC aMvMP == && , (11.94) unde: M-este masa sistemului de puncte materiale; Cv -este viteza centrului de masă al sistemului de puncte materiale; Ca -este acceleraţia aceluiaşi centru de masă, se obţine: ext
C RaM = (11.95) Teorema de variaţie a impulsului sub forma (11.95) poartă numele de teorema mişcării centrului de masă cu următorul enunţ: centrul de masă al unui sistem de puncte materiale are mişcarea unui singur punct a cărui masă este egală cu masa totală a sistemului când asupra căruia ar acţiona vectorul rezultant al forţelor exterioare.
242
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
Echivalenţele scalare ale ecuaţiilor vectoriale (11.93) şi (11.95) sunt: ; ; (11.96) ext
xCx RxMP == &&& extyCy RyMP == &&& ext
zCz RzMP == &&&
Integrând (11.93) pentru două configuraţii la momentele şi obţinem forma finită a teoremei de variaţie a impulsului:
1t 2t
∫=−2
1
t
t
ext12 dtRPP (11.97)
unde: 1C1 vMP = ,
2C2 vMP = Dacă vectorul rezultant al forţelor exterioare este nul sau proiecţia sa pe o axă fixă este permanent nulă ( 0Rext = , respectiv de exemplu ), impulsul total, respectiv proiecţia impulsului pe acea axă este invariabil în timp (se conservă).
0Rextx =
Se obţin astfel integralele prime: ct.vMP C == , respectiv ct.xMP Cx == & (11.98) În acest caz centrul de masă are o mişcare rectilinie şi uniformă sau, în particular, rămâne în repaus, respectiv proiecţia centrului maselor pe acea axă se mişcă uniform sau, în particular, rămâne pe loc. Rezultatele obţinute sunt valabile şi pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. 11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix
ri
m(M )n n
m(M )i im(M )1 1 F iint Fi
ext+
Fiext
F iint
Fnext
F1ext
ai
i
C ar
OMK O=
P=M a R=ext
ext
243
Dinamica
Fig. 11.24 Fie în figura 11.24 (aceeaşi cu Fig. 11.23) un sistem de puncte materiale
de mase , având vitezele şi acceleraţiile instantanee iM im iv şi ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă fix Oxyz. Punctele se află în mişcare
sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare ( )n1iFexti ÷= . Asupra punctului
acţionează forţa exterioară iM extiF şi rezultanta ( )ijn,1j,FF
n
1jij
inti ≠÷== ∑
=
a forţelor exterioare cu care celelalte n-1 puncte interacţionează cu . iM Scriem pentru punctul legea fundamentală a dinamicii iM int
iext
iii FFam += (11.99) Înmulţim vectorial la stânga cei doi membri ai relaţiei (11.99) cu ir şi însumăm relaţiile obţinute dând lui i valori de la 1 la n. Se obţine:
∑∑∑===
×+×=×n
1i
intii
n
1i
extii
n
1iiii FrFramr (11.100)
În relaţia (5.100):
( ) OO
n
1iiii
n
1iii
iiii
n
1iiii KK
dtdvmr
dtdvm
dtrdvmr
dtdamr &==×=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ×−×=× ∑∑∑
===,
adică derivata în raport cu timpul a momentului cinetic faţă de punctul O; extO
exti
n
1ii MFr =×∑
= - momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de polul O.
0Fr inti
n
1ii =×∑
= - deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,
având acelaşi suport şi sensuri opuse. Rezultă: ext
OO MK =& (11.101) Relaţia (11.101) exprimă teorema momentului cinetic în raport cu un punct fix pentru un sistem de puncte materiale, conform căreia: derivata vectorială în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale calculat faţă de un punct fix O este egală cu momentul rezultant al
244
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
sistemului forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului, calculat faţă de acelaşi punct fix O.
Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un punct fix este nul ( )0Mext
O = atunci
0KO =& şi deci ct.KO = (11.102) adică momentul cinetic se conservă. Ecuaţia (11.102) este o integrală primă a teoremei momentului cinetic. Echivalentele scalare ale ecuaţiei (11.101) sunt ; ; (11.103) ext
xx MK =& extyy MK =& ext
zz MK =&
Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu o axă fixă (de exemplu Oy) este nul atunci faţă de axa respectivă momentul cinetic se conservă: ; şi deci 0Mext
y = 0K y =& ct.K y = (11.104) Integrând (11.101) se ajunge la forma finită a teoremei de variaţie a momentului cinetic
∫=−2
1
t
t
extOO1O2 dtMKK (11.105)
Rezultatele obţinute sunt valabile şi în cazul sistemelor de corpuri rigide. 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor
r1
(C)
ω
C
K
PK O1
rdm
r
r1i
riAi
A1
AnFi
a
ε
CMK C=ext
Fn
P=M a R=ext
F1
K O1= M
extO1
245
Dinamica
Fig. 11.25 Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare în raport cu un sistem de referinţă fix sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare 1111 zyxO
( n1,2,...,iFexti = ) . De corp este invariabil legat de sistemul de referinţă Cxyz, cu
originea în centrul de masă (fig. 11.25). Se urmăreşte determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului în
mişcarea relativă faţă de centrul de masă şi momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de acelaşi punct. Scriem teorema lui König pentru momentul cinetic şi o derivăm în raport cu timpul CC1CC1CO KaMrvMrK
1&&& +×+×= (11.106)
Conform teoremei momentului cinetic faţă de punctul fix şi teoremei
mişcării centrului de masă se poate scrie: 1O
extOO
11MK =& ; ext
C RaM = (11.107)
unde:
∑=
×=n
1i
exti1i
extO FrM
1este momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de şi 1O
∑=
=n
1i
exti
ext FR este vectorul rezultant al forţelor exterioare.
Termenul, =× C1C vMr& 0vMv CC =× Astfel, relaţia (11.106) devine: C
ext1C
extO KRrM
1
&+×= sau ext1C
extOC RrMK
1×−=& (11.108)
Conform legii de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului de reducere :
extC
ext1C
extO MRrM
1=×− ; ∑
==
n
1i
extii
extC FxrM (11.109)
Se obţine: ext
CC MK =& , (11.110)
246
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
relaţie ce exprimă teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor conform căreia: derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem material în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului este egală cu momentul rezultant al forţelor exterioare calculat în raport cu acelaşi centru de masă.
247
12. Dinamica rigidului
12. DINAMICA RIGIDULUI 12.1. Dinamica rigidului cu axă fixă Se consideră în figura 12.1,a un solid rigid de masă M, care în punctele
şi are două articulaţii sferice şi asupra căruia acţionează un sistem de forţe exterioare date
1O 2O
iF (i=1,2,…,n). Singura mişcare posibilă pentru un asemenea corp este rotaţia în jurul axei definită de punctele fixe şi . Se adoptă sistemele de referinţă, fix şi mobil, cu axele cotelor suprapuse peste axa fixă şi originile în punctul .
1O 2O
1O
a) b)
k 1
i1
j 1
j
k
i
ϕ
ϕ
=
ωε(C) r1 r=
=
C(x ,y ,z )
a
R1x
R2x
R1y
R2y
R1z
R2z
h
R2x
R2yR2z
R1x
R1y
R1z
Ai
A1
An
Fi
Fn
F1
a) b)
Fig. 12.1 Sistemul de forţe exterioare date se compune din forţele şi cuplurile care produc mişcarea, denumite motoare şi din forţele şi cuplurile care se opun mişcării,denumite rezistente. Primele provin de la motorul de antrenare iar celelalte provin de la rezistenţele pe care trebuie să le învingă corpul pentru a pune în mişcare alte maşini precum şi de la rezistenţele datorate frecărilor din lagăre şi cu aerul. Se cere determinarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării corpului şi reacţiunile din cele două lagăre. În acest scop, se eliberează corpul de legături, fiecare din cele două articulaţii sferice fiind înlocuită cu câte o forţă de legătură cu punctul de aplicaţie în centrul geometric al cuplei şi a cărei determinare necesită trei
247
Dinamica
parametri independenţi, care de obicei se aleg proiecţiile reacţiunii respective pe axele sistemului cartezian Oxyz legat de corp. Se fac notaţiile:
kRjRiRFR zyx
n
1ii ++=≡ ∑
= - vectorul rezultant al forţelor exterioare date;
kMjMiMFOAM zyx
n
1iiiO ++=×≡ ∑
= - vectorul moment rezultant al forţelor
exterioare date faţă de punctul ; 1OO ≡kRjRiRR 1z1y1xl1 ++= - reacţiunea din lagărul ; 1O
kRjRiRR 2z2y2xl2 ++= - reacţiunea din lagărul ; 2O
jhRihRROOM 2x2yl22lO +−=×≡ - vectorul moment rezultant al reacţiunilor faţă de O, h fiind distanţa dintre centrele celor două lagăre;
cx , cy , cz - coordonatele centrului de masă al corpului în sistemul de referinţă Oxyz;. Se aplică teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic în raport cu punctul fix O.
l2l1C RRRaM ++= (12.1)
lOOO MMK +=& (12.2) unde: ( ) ( ) ( ) jyωxεixωyεrωωrεa C
2CC
2CCC −+−−=××+×=
=×+∂
∂= O
OO Kω
tK
K&
= ( ) ( ) =+−−×++−−∂∂ kωJjωJiωJkωkωJjωJiωJt zzyzxzzyzx
= ( ) ( ) kJjωJεJiωJεJ z2
zxzy2
zyzx ε+−−++− Proiectând cele două ecuaţii vectoriale (12.1) şi (12.2) pe axele sistemului cartezian de referinţă Oxyz obţinem un sistem de 6 ecuaţii scalare cu 7 necunoscute (proiecţiile reacţiunilor şi unghiul ϕ care defineşte legea de mişcare a rigidului ): (12.3) 2x1xxC
2C RRRxωMyM ++=−ε−
(12.4) 2y1yyC2
C RRRyωMxM ++=−ε
2z1zz RRR0 ++= (12.5)
248
12. Dinamica rigidului
(12.6) 2yx2
zyzx RhMωJεJ −=+−
(12.7) 2xy2
zxzy RhMωJεJ +=−−
zz MεJ = (12.8) Ultima ecuaţie scrisă sub forma:
0JM
z
z =−ϕ&& (12.9)
reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării de rotaţie . Integrând această ecuaţie şi determinând constantele de integrare cu ajutorul condiţiilor iniţiale ale mişcării,
00 ω ; 0;t =ϕϕ=ϕ= & , se obţine legea mişcării de rotaţie a solidului rigid,
( )00 ,ω t, ϕϕ=ϕ (12.10)
Rezolvând primele cinci ecuaţii ale sistemului se obţin componentele scalare ale reacţiunilor:
2C
zxC
zyx
y1x ωxM
hJεyM
hJ
Rh
MR ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−= (12.11)
2C
zyC
zxy
x1y ωMy
hJ
εMxh
JRh
MR ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−= (12.12)
2zxzyy2x ω
hJ-ε
hJ
hM
R −−= (12.13)
2zyzxx2y ω
hJ
-εh
Jh
MR += (12.14)
z2z1z RRR −=+ (12.15) Pentru a elimina nedeterminarea se adoptă o nouă soluţie constructivă constând din înlocuirea articulaţiei sferice cu o articulaţie cilindrică (fig. 12.1,b). În acest caz:
2O
0R ;RR 2zz1z =−= (12.16) Modulele reacţiunilor vor fi în acest caz: 2
2y22xl2
21z
21y
21xl1 RRR ;RRRR +=++= (12.17)
Problema reacţiunilor în funcţionarea maşinilor având piese în mişcare de rotaţie este deosebit de importantă datorită influenţei pe care o au asupra
249
Dinamica
uzurii lagărelor ca urmare a frecării. Se urmăreşte ca valorile acestor reacţiuni să fie cât mai mici posibil, adică egale cu valoarea lor în starea de repaus. Valorile statice ale reacţiunilor se obţin din relaţiile 12.11-12.14, facând
şi : 0=ω 0=ε
zS1zy
xS1yx
yS1x RR ;R
hM
R ;Rh
MR −=−−=−= (12.18)
0R ;h
MR ;
hM
R S2z
xS2y
yS2x ==−= (12.19)
În timpul mişcării de rotaţie a rigidului în lagăre apar aşa numitele componente dinamice ale reacţiunilor, care au expresiile:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
0R
ωMyh
JεMx
hJR
ωMxh
JεMyh
JR
D1z
2C
zyC
zxD1y
2C
zxC
zyD1x
;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=
−−=
0R
ωh
Jε
hJR
ωh
Jεh
JR
D2z
2zyzxD2y
2zxyzD2x
(12.20)
Un solid rigid aflat în mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix la care componentele dinamice ale reacţiunilor din articulaţii sunt nule se spune că este echilibrat dinamic. Egalând cu zero componentele dinamice ale reacţiunilor se obţin două sisteme de ecuaţii liniare şi omogene în necunoscutele ε şi . Condiţiile ca sistemele respective să admită şi alte soluţii şi afară de cele banale, care nu convin, sunt:
2ω
0Mxh
JMy
hJ
Myh
JMx
hJ
Mxh
JMy
hJ
2
czx
2
czy
czy
czx
czx
czy
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
−− (12.21)
0h
JJ
hJ
hJ
hJ
hJ
2zx
2yz
zyzx
zxzy
=+
=−
−− (12.22)
Aceste condiţii sunt îndeplinite dacă:
250
12. Dinamica rigidului
0y x0;JJ CCzyzx ==== , (12.23)
adică dacă axa de rotaţie este axă principală centrală de inerţie. Aşadar condiţia ca un rigid în mişcare de rotaţie să fie echilibrat dinamic
este ca axa de rotaţie să fie axă principală centrală de inerţie. Dacă numai corpul este echilibrat static. 0yx CC ==
12.2. Pendulul fizic Un pendul fizic sau un pendul compus este constituit dintr-un corp solid care se poate roti fără frecare în jurul unei axe orizontale fixe ce nu trece prin centrul de greutate al corpului. Dacă este scos din poziţia de echilibru, corpul execută oscilaţii în jurul axei de suspensie. Pendulul fizic este de fapt o aplicaţie a mişcării de rotaţie a rigidului cu axă fixă.
Mg
d
ϕC
O
R x
R y Fig. 12.2 Alegem sistemele de referinţă, fix şi mobil, ca în figura 12.2, astfel încât axa Ox să treacă prin centrul de greutate C. Notăm cu φ unghiul de rotaţie pe care axa Ox îl face cu O1x1. Se presupun cunoscute: masa M a corpului, momentul de inerţie Jz faţă de axa de rotaţie şi distanţa d dintre centrul de greutate C al corpului şi axa de rotaţie (d = OC).
Se urmăreşte deducerea ecuaţiei diferenţiale a mişcării oscilatorii, ecuaţia mişcării în cazul micilor oscilaţii şi reacţiunea axei.
Punem în evidenţa greuatea pendulului, componentele reacţiunii axei şi aplicăm teorema momentului cinetic faţă de axa fixă de rotaţie:
(12.24) zz MK =&
Deoarece,
ω= zz JK ; ϕ=ω & ; ϕ−= sindgMMz , (12.25)
251
Dinamica
ecuaţia (12.24) devine:
ϕ−=ϕ sindgMJz && (12.26)
sau,
0sinJ
Mgd
z=ϕ+ϕ&& (12.27)
şi se numeşte ecuaţia diferenţială a mişcării. Făcând notaţia
zJ
Mgdp = (12.28)
Obţinem ecuaţia: (12.29) 0sinp2 =ϕ+ϕ&&
În cazul micilor oscilaţii ( ) sinusul unghiului se poate aproxima
cu unghiul şi ecuaţia diferenţială (12.29) va fi de forma:
o5≤ϕ
(12.30) 0p2 =ϕ+ϕ&&care are soluţia generală:
)ptsin(C)ptcos(C 21 +=ϕ (12.31) Dacă la t=0, α=ϕ şi 0=ϕ& , ecuaţia de mişcare este: (12.32) )ptcos(α=ϕ Ca şi în cazul pendulului simplu avem de a face cu o mişcare oscilatorie
armonică de perioadă:
gl2
MgdJ
2p
2T'
z π=π=π
= (12.33)
S-a notat cu =OO’ lungimea pendulului simplu sincron cu pendulul
fizic. 'l
MdJl z' = (12.34)
252
12. Dinamica rigidului
Pentru oscilaţii mari se poate folosi formula:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α+π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α
+π= 2'
2'
1611
gl2
2sin
411
gl2T 12.35)
Conform teoremei lui Steiner: (12.36) 2
Cz MdJJ +=
Înlocuind (12.36) în relatia (12.34) obţinem: (12.37) ''' ldl +=
unde,
MdJ
l C'' = (12.38)
Din (12.37) deducem că distanţa este mai mare ca d (centrul de
greutate este situat între O şi O’). Dacă punctul O’ ar fi considerat liber ar avea aceeaşi mişcare ca şi pendulul simplu sincron cu pendulul fizic. Punctul O se numeşte centru de suspensie, iar O’ centru de oscilaţie. Axele orizontale corespunzătoare se numesc respectiv axă de suspensie şi axă de oscilaţie.
'l
Relaţia (12.38) sub forma:
MJ
dl C'' =⋅ (12.39)
arată că distanţele d şi l” îşi pot schimba rolurile, adică dacă axa de oscilaţie devine axă de suspensie atunci axa de suspensie devine axă de oscilaţie, sau altfel spus în raport cu cele două axe pendulul este reversibil. Pentru determinarea componentelor reacţiunii din O aplicăm teorema mişcării centrului de masă: lylxC RRgMaM ++=⋅ (12.40) care proiectată pe axele sistemului de referinţă mobil Oxy duce la:
(12.41)
lz
ly
lx2
R0
RsinMgdMRcosMgdM
=
+ϕ−=ϕ+ϕ=ϕ−
&&
&
253
Dinamica
Din (18) se obţin proiecţiile reacţiunii din O:
(12.42)
0R
dMsinMgRdMcosMgR
lz
ly
2lx
=
ϕ+ϕ=ϕ−ϕ−=&&
&
Se multiplică relatia (12.27) cu şi se integrează: ϕd
CcosJ
Mgd2 z
2+ϕ=
ϕ& (12.43)
Constanta de integrare C se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării. Dacă la 00 ,,0t ω=ϕϕ=ϕ= & atunci,
)cos'l
g2(21)cos
JMgd2(
21C 0
200
z
20 ϕ−ω=ϕ−ω= (12.44)
şi
)cos(cosJ
Mgd2 0z
20
22 ϕ−ϕ⋅+ω=ω=ϕ& (12.45)
Tinând seama de (12.27) şi (12.45) expresiile (12.42) devin:
)cos
JMgd2(Mdcos)
JMd21(Mg
)cos(cosJ
Mgd2(MdcosMgR
0z
20
z
2
0z
20lx
ϕ−ω−ϕ+−
=ϕ−ϕ⋅+ω−ϕ−=
(12.46)
ϕ−=ϕ−ϕ= sin)J
Md1(MgsinJ
MgdMdsinMgRz
2
zly (12.47)
0R lz = (12.48) Înlocuind în (12.46) şi (12.47) 'lMdJz = şi tînând seama că , expresiile componentelor reacţiunii din articulţia O vor fi:
''' ldl =−
ϕ=
−ϕ+
−=
sin'l''lMgR
MdC2cos'ld2'lMgR
ly
lx (12.49)
254
12. Dinamica rigidului
Se observă că proiecţia nu depinde de condiţiile inţiale şi că amândouă proiecţiile sunt funcţii de deci periodice de timp.
lyR,ϕ
Din (12.43) rezultă că dacă zJ
MgdC > , viteza unghiulară îşi păstrează
sensul şi pendulul devine rotatoriu, adică se roteşte necontenit în jurul axei de suspensie. 12.3. Dinamica mişcării plane Se consideră în figura 12.3 o placă plană (Pm) de masă M aflată în mişcare într-un plan fix sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare iF , coplanare cu placa, aplicate în punctele iA ( ),n,2,1i …= .
C
r (P )m
ωϕ
k 1
i1
j 1
j
i
ϕ
k 1k=
ε x
yA1
F1
a
AnFnAi
Fi
Fig. 12.3 Pentru studiul mişcării se alege, ca în figura 12.3, un sistem de referinţă fix, , şi un altul mobil legat de placă, , C fiind centru de masă al plăcii, cu planele şi suprapuse.
1111 zyxO Cxyz
111 yxO Cxy Fiind date condiţiile iniţiale ale mişcării:
001C1C
01C1C0
01C1C
01C1C ω;yy;xx;;yy;xx0;t =ϕ==ϕ=ϕ=== &&&&&
(12.50) se cere determinarea ecuaţiilor de mişcare ale plăcii:
; ( )txx 1C1C = ( )tyy 1C1C = ; ( )tϕ=ϕ (12.51) Aplicând teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic în raport cu axa Cz, normală în centrul de masă pe planul mişcării, se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcări plăcii:
255
Dinamica
(12.52) (∑∑∑===
−=ϕ==n
1iixiiyiz
n
1iiy1C
n
1iix1C FyFxJ;FyM;FxM
11&&&&&& )
S-au făcut notaţiile: M-masa plăcii; -momentul de inerţie al plăcii în raport cu axa Cz; -coordonatele punctului C în planul ; -unghiul de rotaţie dintre axa Cx şi ; - proiecţiile forţei
zJ
1C1C y,x 111 yxO ϕ
11xO11 iyix F,F iF pe axele
sistemului ; - proiecţiile forţei pe axele sistemului Cxy, -coordonatele punctului în planul Cxy.
111 yxO iyix F,F iF
ii y,x iA Prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale (12.52), luând în considerare condiţiile iniţiale ale mişcări se obţin legile de mişcare (12.51). În cazul în care placa este supusă la legături în ecuaţiile (12.26) se introduc şi reacţiunile corespunzătoare ce se constituie în elemente necunoscute. Pentru a completa numărul de ecuaţii la sistemul (12.26) se mai adaugă restricţiile geometrice impuse de legături (ecuaţiile legăturilor). 12.4. Dinamica rigidului cu punct fix 12.4.1 Ecuaţiile dinamice ale lui Euler
θ
ϕψ
k 1
j 1
k
iθ,θ
ψ,ψϕ,ϕ
ni1
ω
j
pq
Q
=
(C)
θϕ
ψ
P
ωx
ωy
ωz
A1
F1
Fn
Ai
Fi
An
R
jR
R
OMjOM
a) b)
(C)
Fig. 12.4 Se consideră în figura 12.4a un rigid (C) aflat în mişcare sferică în jurul
unui punct fix O sub acţiunea unui sistem de forţe )n,...,2,1i(Fi = echivalent, în punctul O, cu un torsor (fig. 12.4b) având ca elemente:
256
12. Dinamica rigidului
∑∑==
×==n
1iiiO
n
1ii FrM ; FR (12.53)
Presupunând că legătura din O este o cuplă sferică cu frecare neglijabilă se cere determinarea ecuaţiilor de mişcare ale rigidului şi reacţiunea legăturii.
Pentru rezolvarea problemei utilizăm teorema de mişcare a centrului de masă şi teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu punctul fix O:
⎩⎨⎧
=+=
OO
lCMK
RRaM& (12.54)
care puse sub forma:
⎩⎨⎧
=−−=
OO
ClMK
aMRR& (12.55)
şi proiectate pe axele reperului mobil conduc la:
(12.56)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−++−+−=
−++−++−=
++−++−+−=
])zωω()yεωω()xεωω[(MRR])zεωω()yωω()xεωω[(MRR])zεωω()yεωω()xωω([MRR
C2x
2ycxyzCyxzzlz
Cxzyc2z
2xCzxyyly
CyzxczyxC2y
2zxlx
(12.57) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=−+
zyxxyzz
yxzzxyy
xzyyzxx
Mω)ωJ(JεJMω)ωJ(JεJMω)ωJ(JεJ
S-a considerat ca sistemul de referinţă Oxyz, legat de corpul rigid, este sistem principal de inerţie. În capitolul 14 se va arăta că vectorul CaM− este vectorul rezultant al
forţelor de inerţie jR iar oK&− este momentul rezultant al aceloraşi forţe în raport cu punctul fix O. Ecuaţiile (12.31) se numesc ecuaţiile diferenţiale ale mişcării rigidului cu punct fix sau ecuaţiile dinamice ale lui Euler. Cu ajutorul lor se rezolvă cele doua probleme fundamentale:
a) Se dau momentele axiale:
257
Dinamica
(12.58) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕϕ=ϕϕ=ϕϕ=
),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM) ,θ,ψ,θ,ψ,(t,MM
zz
yy
xx
&&&
&&&
&&&
şi condiţiile iniţiale ale mişcării:
000
000
θθ;;ψψθθ;;ψψ
0t &&&&&& =ϕ=ϕ==ϕ=ϕ=
= (12.59)
Se cer ecuaţiile de mişcare:
(t) θ(t);θ ψ(t);ψ ϕ=ϕ== (12.60) Viteza unghiulară ω poate fi exprimată în două moduri:
kωjωiωω zyx ++= ; knθkψθψω 1 ⋅ϕ+⋅+⋅=ϕ++= &&&&&& (12.61) Formula a doua (12.35) care exprimă faptul că viteza unghiulară a rigidului este egală cu suma dintre viteza unghiulară de precesie, nutaţie şi de rotaţie proprie a fost obţinută pe baza compunerii rotaţiilor concurente: 32211030 ωωωω ++= ; ϕ==== &&&
32211030 ω ; θω ; ψω ; ωω (12.62) Egalând cele două expresii (12.31) şi înmulţindu-le succesiv cu versorii
k ,j ,i obţinem proiecţiile vitezei unghiulare pe axele mobile (a se vedea şi relaţia (8.141):
(12.63) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕ+=ϕ−ϕ=ϕ+ϕ=
&&
&&
&&
cosθψωsinθcossinθψωcosθsinsinθψω
z
y
x
Proiecţiile acceleraţiei unghiulare ε pe axele mobile rezultă din
derivarea relaţiilor (12.63) în raport cu timpul (a se vedea şi relaţia (8.144):
(12.64) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−ϕ+=ϕϕ−ϕϕ−ϕ+ϕ−ϕ=ϕϕ+ϕϕ−ϕ+ϕ+ϕ=
sinθθψcosθψεsinsinθψcosθcoscosθθψsinθcossinθψεcossinθ ψsin θsincosθθψcosθsinsinθψε
z
y
x
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
258
12. Dinamica rigidului
Înlocuind (12.58),(12.63) şi (12.64) în (12.57) se obţin 3 ecuaţii diferenţiale de forma:
(12.65) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=ϕϕϕ=ϕϕϕ=ϕϕϕ
0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f
3
2
1
&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
Prin integrarea sistemului (12.65), ţinând seama de condiţiile iniţiale (12.59), rezultă ecuaţiile de mişcare: (t) ; θ(t)θ ; ψ(t)ψ ϕ=ϕ== (12.66) Sistemul (12.65) nu a fost integrat analitic decât în trei cazuri particulare: 1) Cazul Euler-Poinsot care presupune 0MMM zyx === , 2) Cazul Lagrange-Poisson în care se consideră yxCC JJ;0yx === , 3) Cazul Sofia Kovalevskaia în care zyxC J2JJ;0z === .
b) Se dau ecuaţiile de mişcare de forma (12.66) şi se cer: ; )M,M,(MM zyxO ).R,R,(RR lzlylxl
Problema se rezolvă cu relaţiile (12.56) şi (12.57), în care se introduc expresiile (12.63) şi (12.64).
12.4.2. Mişcarea de precesie regulată
A.I.R.
ω
ω1ω2
OM
xM
yM
(C)
=
axoida
axoida fixa
mobila
Fig. 12.4
259
Dinamica
Un rigid execută o mişcare sferică de precesie regulată (fig. 12.4) dacă viteza unghiulară de precesie este constantă, viteza unghiulară de rotaţie proprie este constantă şi unghiul de nutaţie θ ramâne constant:
(12.67) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==ϕ=
(ct) θθ(ct) ω(ct) ωψ
0
2
1&
&
Prin integrare obţinem: 00201 θθ;tω;ψtωψ =ϕ+=ϕ+= (12.68)
Se urmăreşte determinarea momentului OM al forţelor ce trebuie aplicate rigidului astfel încât să execute o mişcare sferică având legile de mişcare (12.42). Utilizând relaţiile (12.37) şi (12.38) obţinem:
; (12.69) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=ϕ⋅=ϕ⋅=
21z
1y
1x
ωcosθωωcossinθωωsinsinθωω
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=ϕ⋅−=ϕ⋅=
0εsinsinθωωε
cossinθωωε
z
21y
21x
Înlocuind (12.43) în (12.31) rezultă:
(12.70) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕ⋅ϕ⋅−=
ϕ⋅+−+−=ϕ⋅+−+=
cossinθsinω)J(JMsinθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM
cosθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM
221xyz
121xz2yy
121yz2xx
Considerând că xy JJ = , relaţiile (12.70) se pot pune sub forma:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
ϕ⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
ϕ⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
0M
sinθsinωωθcosωω)J(JJM
cosθsinωωθcosωω)J(JJM
z
212
1xzzy
212
1xzzx
(12.71)
Relaţiile (12.71) arată că vectorul OM este dirijat după axa nodurilor. Într-adevăr:
260
12. Dinamica rigidului
ϕ=−
tgMM
x
y (12.72)
Vectorul OM poate fi exprimat prin produsul vectorial:
, ωωθcosωω)J(JJM 21
2
1xzzO ×⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= (12.73)
modulul lui fiind
θsinωωθcosωω)J(JJM 21
2
1xzzO ⋅⋅⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= (12.74)
Dacă , atunci momentul rezultant poate fi aproximat cu: 12 ωω >>
21zO ωωJM ×= ; θsinωωJM 21zO ⋅⋅= (12.75) Aşadar, pentru a avea o mişcare de precesie regulată a unui rigid de
revoluţie care se roteşte în jurul unui punct fix de pe axa de revoluţie, este necesar ca momentul rezultant al forţelor ce acţionează asupra rigidului să fie plasat pe axa nodurilor, având expresia (12.74) sau (12.75), atunci când
.02
1 ≅ωω
12.4.2 Giroscopul
θ
ϕψ
k
i
θ
ψϕ
n
j
=OM
h
G
C
Giroscopul este un rigid cu un punct fix O al cărui elipsoid de inerţie corespunzător acestui punct este de rotaţie faţă de axa mobilă Oz, solidară cu rigidul ( yx JJ = ) în jurul careia are o mişcare relativă de rotaţie cu viteza unghiulară 2ω foarte mare şi asupra căruia acţionează numai greutatea proprie G (fig. 6.5). Adesea centrul de greutate corespunde cu punctul fix.
Fig. 6.5
261
Dinamica
Se observă că:
( ) θsinhGnkGkhGOCM 1O =−×=×= (12.76) (12.77) θsinhGMO =
Prin urmare momentul OM acţionează după axa nodurilor şi respectă condiţia de precesie regulată. Notând cu OjO KM &−= (12.78) teorema de variaţie a momentului cinetic poate fi scrisă sub forma: 0MM jOO =+ (12.79)
Vectorul jOM se numeşte momentul rezultant al forţelor de inerţie, iar ecuaţia (12.53) ecuaţie de echilibru cineto-static (a se vedea capitolul 14). Vectorul 0jg MM = se numeşte moment giroscopic şi este momentul cu care giroscopul acţionează prin legăturile sale asupra sistemului în care este montat. Luând în considerare (12.49) rezultă 12z21zg ωωJωωJM ×=×−= (12.80)
(12.81) sinθωωJM 12zg = Egalând (12.81) cu (12.77) rezultă
2z
1 ωJhGω
⋅⋅
= (12.82)
Viteza unghiulară de precesie este cu atât mai mică cu cât viteza unghiulară de rotaţie proprie
1ω
2ω este mai mare şi cu cât centrul de greutate al giroscopului va fi mai apropiat de punctul O. În realitate frecările din lagăre conduc la micşorarea vitezei unghiulare 2ω şi creşterea vitezei unghiulare . 1ω Dintre aplicaţiile tehnice ale giroscopului se pot enumera: restabilizator în cazul trenurilor monorai; combaterea tangajului şi ruliului în navigaţie; menţinerea direcţiei avioanelor şi rachetelor. În calculul şi proiectarea arborilor turbinelor, momentul giroscopic are o pondere apreciabilă.
262
13. Ciocniri şi percuţii
13. CIOCNIRI ŞI PERCUŢII Fenomenul mecanic în care vitezele liniare şi/sau unghiulare ale sistemelor materiale au o variaţie finită semnificativă într-un interval de timp foarte scurt se numeşte ciocnire sau şoc. Exemple: un automobil în viteză care se loveşte de un obstacol, aplicarea unei legături rigide unui corp aflat în mişcare, forjarea şi ştanţarea, angrenarea bruscă a două mecanisme din care unul se află în mişcare şi celălalt în repaus, lovirea cu berbecul sonetei a capătului pilotului pentru a-l înfige în pământ, etc. 13.1. Forţă de percuţie (forţă de percutantă). Percuţie
Δ =F1
F
H(Γ)
(Γ )
m(M )
Fig. 13.1 Se consideră în figura 7.1 o particulă materială M de masă m, izolată
dintr-un sistem aflat în mişcare, care se ciocneşte de un perete fix. La momentul , când începe ciocnirea, punctul are viteza 1t v , iar la momentul , când se
sfârşeşte ciocnirea, punctul are viteza 2t
u . În timpul ciocnirii, asupra punctului acţionează rezultanta 1F a forţelor date şi reacţiunea F a obstacolului. Aplicăm, în cazul acestei particule teorema impulsului sub formă finită:
∫ +=2
1
t
t1 dt)FF(vm-um (13.1)
Forţele care apar în timpul fenomenului de ciocnire sunt foarte mari în
comparaţie cu forţele date sau efectiv aplicate care nu se datoresc ciocnirii şi de aceea în (13.1) putem neglija rezultanta 1F :
∫=2
1
t
t
dtFvm-um (13.2)
263
Dinamica
În timpul foarte scurt cât durează ciocnirea, intensitatea forţei 12- tt F creşte la început foarte repede (faza de comprimare) atingând o valoare foarte mare, după care descreşte până la valoarea zero (faza de destindere). Dacă notăm cu mF forţa medie din intervalul , dată de relaţia: 12- tt
) t-(tFdtF 12m
t
t
2
1
=∫ , (13.3)
rezultă:
)( 12m t-tFvm-um = (13.4)
Întrucât într-o ciocnire intervalul este foarte mic, forţa 12- tt mF trebuie să fie foarte mare pentru ca înmulţită cu să dea o mărime finită. Forţele care apar într-o ciocnire se numesc forţe de percuţie sau percutante, iar vectorul:
12- tt
) t-t(FdtFH 12m
t
t
2
1
== ∫ (13.5)
se numeşte percuţie. 13.2. Ipoteze simplificatoare utilizate în timpul fenomenului de
ciocnire În studiul fenomenului de ciocnire se fac câteva ipoteze simplificatoare:
a) Se neglijează forţele care nu se datoresc ciocnirii cum sunt: greutăţile corpurilor, rezistenţa aerului, fortele elastice, etc. b) În timpul foarte scurt cât durează ciocnirea corpurile nu au mişcări rigide (translaţii, rotaţii, etc.) ci numai se deformează. c) Pentru două materiale date raportul dintre componentele normale ale percuţiilor din faza de destindere ( ) şi de compresiune ( ) este constant: ndH ncH
kHH
nc
nd = (13.6)
Constanta k se numeşte coeficient de restituire a percuţiei sau coeficient de elasticitate la ciocnire şi este cuprins între 0 şi 1. Pentru k 1= ciocnirea este considerată perfect elastică (caz ideal) iar pentru k 0= ciocnirea este perfect plastică (caz ideal), cele două corpuri rămânând în contact după terminarea fenomenului de ciocnire.
264
13. Ciocniri şi percuţii
τ
1O 2O 1O 2O1O 2O 1 21 2
t1 t2Hnd12 Hnd
21Hnc12 Hnc
21
Fig. 13.2
Pentru determinarea coeficientului de restituire a percuţiei se consideră
în figura 13.2 ciocnirea centrică a două sfere având mişcări de translaţie. Vitezele 1v şi 2v ale centrelor sferelor înainte de ciocnire, respectiv 1u şi
2u după ciocnire, sunt situate pe suportul determinat de centrele celor două
sfere. Se notează cu 12ncH şi 21
ncH percuţiile interioare dintre sfere în timpul de
comprimare şi cu 12ndH şi 21
ndH percuţiile interioare din timpul destinderii (relaxării). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii:
2121dn
12ndnc
12nc HH;HH −=−= (13.7)
Perioada de comprimare şi cea de destindere sunt separate de momentul când vitezele celor două sfere devin egale. Din scrierea teoremei impulsului pentru faza de comprimare:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
−=−=
nc21nc222
nc12nc111
HHvm-vm
HHvm-vm ( )( )9.13
8.13
şi faza de destindere:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
−=−=
nd21nd222
nd12nd111
HHvm-um
HHvm-um ( )( )11.13
10.13
rezultă:
21
2211
21
2211
mmumum
mmvmvmv
++
=++
= (13.12)
265
Dinamica
şi în continuare:
21
2121nc mm
)vv(mmH
+−
= ; 21
1221nd mm
)uu(mmH
+−
= (13.13)
În acest caz coeficientul de restituire a percuţiei este:
21
12
nc
ndvvuu
HH
k−−
== (13.14)
În general la ciocnirea a două corpuri:
nr
nr
2n1n
1n2n
v
u
vvuuk =
−−
= , (13.15)
în care şi sunt proiecţiile pe normala comună a vitezelor celor două puncte care vin în contact, înainte de ciocnire, iar şi sunt proiecţiile pe normala comună a vitezelor aceloraşi două puncte, după ciocnire.
1nv n2v
n1u n2u
13.3. Teoremele fundamentale ale ciocnirilor
ri
m(M )n n
m(M )i im(M )1 1 iint
iext
Hiext
iint
next
1extH
H
H
H H+
Fig. 13.3
În figura 7.3 este reprezentat un sistem de puncte materiale supus
acţiunii unui sistem de forţe percutante exterioare extiF cărora le corespund
percuţiile exterioare extiH ( ),...,n2,1i = . Asupra punctului de masă iM im
266
13. Ciocniri şi percuţii
acţionează percuţia exterioară extiH şi rezultanta
intiH a percuţiilor interioare cu
care celelalte 1n − puncte acţionează asupra punctului . iMPentru fiecare punct se poate scrie teorema impulsului: iM
inti
extiiiii HHvmum +=− (13.16)
Se scriu relaţii de tipul (13.16) pentru toate punctele sistemului şi se sumează membru cu membru:
∑∑∑∑====
+=−n
1i
inti
n
1i
exti
n
1iii
n
1iii HHvmum (13.17)
În relaţia (13.17) termenul ∑=
n
1iiivm reprezintă impulsul total sau
cantitatea de mişcare totală a sistemului la momentul - începutul ciocnirii ,
iar termenul
1t
∑=
n
1iii um este impulsul total la momentul - sfârşitul ciocnirii.
Termenul
2t
∑=
n
1i
intiH este nul, deoarece forţele de percuţie interioare, conform
principiului acţiunii şi reacţiunii sunt două câte două egale şi direct opuse. Ţinând seama de relaţiile:
∑ ∑ ∑= = =
===n
1i
n
1i
n
1i
inti2ii1ii 0H ;Pum ;Pvm , (13.18)
expresia (13.17) devine:
∑=
=−n
1i
exti12 HPP (13.19)
Relaţia (13.19) exprimă I-a teoremă fundamentală a ciocnirilor conform
căreia: “Variaţia cantităţii de mişcare a unui sistem de puncte materiale în timpul unei ciocniri este egală cu suma percuţiilor exterioare care acţionează asupra lui”.
În timpul 12 tt − extrem de scurt se consideră că poziţiile punctelor materiale care formează sistemul nu se modifică. Înmulţind relaţia (13.17) cu vectorul de poziţie ir al punctului şi sumând membru cu membru pentru valori ale indicelui de la 1 la n obţinem:
iM
267
Dinamica
∑ ∑∑∑= ===
×+×=×−×n
1i
n
1i
intii
n
1i
extiiiii
n
1iiii HrHrumrvmr (13.20)
În relaţia (13.20):
∑=
=×n
1iO1iii Kvmr , (13.21)
adică momentul cinetic faţă de punctul fix O al sistemului de puncte materiale înainte de ciocnire;
∑=
=×n
1iO2iii Kumr , (13.22)
adică momentul cinetic faţă de punctul fix O al sistemului de puncte materiale dupa ciocnire;
∑=
=×n
1i
intii 0Hr , (13.23)
deoarece percuţiile interioare sunt perechi, egale în modul şi de sensuri contrarii. Ţinând seama de (13.21) - (13.23), relaţia (13.20) devine:
∑=
×=−n
1i
extiiO1O2 HrKK (13.24)
şi exprimă cea de-a II-a teoremă fundamentală ciocnirilor cu umătorul enunţ : “Variaţia momentului cinetic total în timpul unei ciocniri este egală cu suma momentelor percuţiilor exterioare ale sistemului faţă de acelaşi punct fix”. Se înmulţeşte scalar relaţia (13.17) cu iu :
iintii
extiiii
2ii uHuHuvmum ⋅+⋅=− , (13.25)
se pune sub forma:
( ) iintii
exti
2iii
2ii
2ii uHuHvum
21vm
21um
21
⋅+⋅=−+−
268
13. Ciocniri şi percuţii
şi se aplică operatorul : ∑=
n
1i
( ) ∑∑∑∑∑=====
⋅+⋅=−+−n
1ii
inti
n
1ii
exti
n
1i
2iii
n
1i
2ii
n
1i
2ii uHuHuvm
21vm
21um
21 (13.26)
În relaţia (13.26):
C1n
1i
2ii Evm
21
=∑=
(13.27)
- este energia cinetică a sistemului de puncte materiale la începutul ciocnirii;
∑=
=n
1iC2
2ii Eum
21 (13.28)
– este energia cinetică a sistemului la sfârşitul ciocnirii;
CPn
1i
2iii E)uv(m
21
=−∑=
, (13.29)
– este energia cinetică a sistemului corespunzătoare vitezelor pierdute. În cazul când membrul drept este nul:
0uHuHn
1i
n
1ii
intii
exti =⋅+⋅∑ ∑
= =, (13.30)
relaţia (13.26) devine:
CPC2C1 EEE =− (13.31)
şi este cunoscută sub numele de teorema lui Carnot: “Energia cinetică pierdută prin ciocnire este egală cu energia cinetică
corespunzătoare vitezelor pierdute”. Relaţia (13.30) are loc atunci când: a) sistemul nu are percuţii exterioare iar cele interioare corespund unor legături care nu produc lucru mecanic .
b) sistemul este rigid ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅∑
=0uH
n
1ii
inti şi i se introduce brusc condiţia ca unul
sau mai multe puncte să se mişte pe curbe sau suprafeţe fără frecare sau cu frecare dar mişcarea ulterioară să fie o rostogolire fără alunecare .
269
Dinamica
13.4. Ciocnirea oblică a două sfere
1O 2O n2
α 2α
1
t2
2
t1
n1
1
Fig. 13.4
Considerăm două sfere şi de mase şi (fig. 13.4) care au
vitezele înainte de ciocnire vitezele 1O 2O 1m 2m
1v şi 2v . Vitezele fac cu direcţia unghiurile respectiv
21OO
1α 2α . Se cer vitezele centrelor sferelor după ciocnire.
Presupunând că la contactul dintre sfere nu apar forţe de frecare şi ca urmare, nici percuţii tangenţiale, percuţia interioară va avea direcţia centrelor sferelor. Descompunem vitezele 1v şi 2v în două componente, una după direcţia normalei comune şi cealaltă în planul tangent comun:
22t222n2
11t111n1
αsinv v;αcosvvαsinv v;αcosvv
==
== (13.32)
Prin ciocnire componentele şi nu se modifică şi ca urmare: 1tv 2tv
t2t2t1t1 vu ;vu == (13.33)
Scriem teorema impulsului pentru cele două faze ale ciocnirii, de compresiune şi de destindere:
(13.34) ⎩⎨⎧
=−−=−
⎩⎨⎧
=−−=−
ndn2n22
ndn1n11
ncn22n2
ncn11n1HvmumHvmum
HvmvmHvmvm
la care ataşăm:
nc
ndHH
k = (13.35)
270
13. Ciocniri şi percuţii
Din (13.34) şi (13.35) obţinem componentele normale şi ale vitezelor centrelor după ciocnire:
1nu 2nu
21
2n21n21n1 mm
vk)m(1)vkm(mu
+++−
= (13.36)
21
1n12n12n2 mm
vk)m(1)vkm(mu+
++−= (13.37)
1O 2O n2
β 2β
1t2
2
t1
n1
1
Fig. 13.5
Vitezele vor face după ciocnire, cu direcţia , unghiurile ,
respectiv (fig.13.5), unghiuri ce pot fi determinate din relaţiile: 21OO 1β
2β
n2
t22
n1
t11 u
uβ tg;
uu
βtg == (13.38)
Caz particular:
α
β
1
1
Fig. 13.6
O bilă care loveşte un perete cu viteza făcând un unghi cu normala în punctul de contact (fig.13.6). Componenta
1v ααsin1v după direcţia
peretelui nu se modifică, cealaltă îşi schimbă sensul şi devine . αcosvk 1
271
Dinamica
După ciocnire bila va avea viteza:
122
122
1222
11 vαkcosαsinvαcosvkαsinvu ≤+=+= , (13.39)
care face unghiul 1β cu normala:
tgαk1tgβ1 = (13.40)
13.5. Ciocnirea unei sfere cu un corp aflat în mişcare de rotaţie
în jurul unei axe fixe
l=r s
inψ r
O
H
ω
ψ
ω
ω rω r
(C)
A
Fig. 13.7
Se consideră în figura 13.7 un corp (C) care se roteşte cu viteza unghiulară “ ω” în jurul axei Oz, având momentul de inerţie în raport cu axa de rotaţie este . Corpul este ciocnit în A de o sferă de masă “m”, care are viteza “v” conţinută în planul Oxy şi dirijată după normala comună în punctul de contact. Direcţia vitezei face cu direcţia determinată de punctele A şi O unghiul
. În urma ciocnirii bila va avea viteza “u” iar corpul viteza unghiulară “ ω”. Valoarea coeficientului de restituire este “k”.
zJ
ψ
Se urmăreşte determinarea vitezei u a bilei după ciocnire şi vitezei unghiulare a corpului după ciocnire. ,ω
În timpul ciocnirii asupra sistemului corp-bilă acţionează percuţia interioară dintre bilă şi corp şi percuţia exterioară H din articulaţia O. Pentru a elimina percuţia de legătură H se aplică teorema momentului cinetic faţă de axa de rotaţie ţinându-se seama că percuţiile din punctul de contact sunt egale în modul şi direct opuse:
0KK 1Oz2Oz =− (13.41)
272
13. Ciocniri şi percuţii
Relaţia (13.41) se explicitează şi se adaugă expresia coeficientului de restituire:
0sinrvmωJsinrumω J zz =ϕ⋅⋅⋅−−ϕ⋅⋅⋅+′ (13.42)
ϕ⋅−
−ϕ⋅=
sinrωvusinr'ωk (13.43)
Vom nota cu l distanţa de la O la normala comună:
ϕ⋅= sinrl (13.44)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (13.42), (13.43) cu luarea în considerare a notaţiei (13.44) obţinem:
( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−+=′
2z
ml
J1l
k1lωvωω (13.45)
( )( )
z
2
Jml1
k1lωvvu+
+−−= (13.46)
13.6. Determinarea percuţiilor de legătură în cazul rigidului cu ax fix supus unei percuţii exterioare. Centru de percuţie
ω
ε
=
h
C(x ,0,z )A(x ,y ,z )
r
z
x
1H
2H
AHr
Fig. 13.8
273
Dinamica
Se consideră în figura 13.8 un rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe , cu viteza unghiulară 21OO ω . Sistemul de referinţă Oxyz legat de corp se alege astfel încât centrul de greutate C al corpului să fie conţinut în planul . Se cunosc: masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale: , , , , , , ale corpului faţă de axele şi respectiv planele sistemului de referinţă ales.
zOxxJ yJ zJ xyJ yzJ zxJ
La momentul , în punctul A, este aplicată corpului percuţia 1t AH . Se cere determinarea vitezei unghiulare 'ω a corpului la momentul - sfârşitul ciocnirii şi a percuţiilor
2t
1H şi 2H din cele două articulaţii. În acest scop vom utiliza expresiile teoremei impulsului şi momentului cinetic în cazul ciocnirilor:
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+×=−
++=−
22AAO1O2
21A12
HOOHrKK
HHHPP (13.47)
unde:
jxωMz0xω00kji
MrωMvMP C
CC
CC1 ⋅==×== ;
jxωMz0xω00kji
MrωMuMP C
CC
CC2 ⋅′=′=×′== ;
kHjHiHH AzAyAxA ++= ;
kHjHiHH 1z1y1x1 ++= ; kHjHiHH 2z2y2x2 ++= ;
kωJjωJiωJK zzyzxO1 +−−= ; kωJjωJiωJK zzyzxO2 ′+′−′−= ;
( ) ( ) ( )kHyHxjHxHziHzHyHr AxAAyAAzAAxAAyAAzAAA −+−+−=× ;
274
13. Ciocniri şi percuţii
jhHihHHHH
h00kji
HOO 2x2y
2z2y2x
22 +−==×
Proiectând ecuaţiile (13.47) pe axele reperului Oxyz obţinem:
(13.48) (( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−′=−
−′−=+−
−′−=−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++=++
ωωJ HyHx
ωωJhHHxHz
ωωJhHHzHy
0HHH
0HHH0HHH
zAxAAyA
zy2xAzAAzA
zx2yAyAAzA
2z1zAz
2y1yAy
2x1xAx
)
Din sistemul de ecuaţii (13.48) rezultă:
z
AxAAyA
JHyHx
ωω−
+=′ (13.49)
( )[ ]ω-ωJHxHzh1H zyAzAAxA2x ′+−−= (13.50)
( )[ ]ω-ωJHzHyh1H zxAyAAzA2y ′+−= (13.51)
( )[ ] AxzyAzAAxA1x Hω-ωJHxHzh1H −′+−= (13.52)
( )[ ] ( ωωMHω-ωJHzHyh1H
CxAyzxAxAAzA1y −′+−′+−−= ) (13.53)
Az2z1z HHH −=+ (13.54)
Componentele şi sunt nedeterminate dacă axa de rotaţie este rigidă (are două cuple sferice). Dacă una din cele două cuple sferice se înlocuieşte cu o articuaţie cilindrică, ce permite deplasarea de-a lungul axei Oz, problema devine determinată. Dacă în articulaţia este cilindrică atunci:
z1H z2H
2O
275
Dinamica
Az1z2z HH 0,H −== (13.55)
În practică se pune problema eliminării percuţiilor din cele două articulaţii. Din relaţiile (7.50-7.53) şi (7.55) rezultă că 1H şi 2H sunt nule dacă:
1. ( )ωωMxH 0;H 0;H cAyAzAx −′=== adică percuţia să fie perpendiculară pe planul determinat de axa de rotaţie şi centrul maselor.
2. 0J yz = adică axa de rotaţie trebuie să fie axă principală de inerţie pentru punctul în care planul dus prin percuţie perpendicular pe axa de rotaţie, intersectează axa.
3. === Ac
xzA
c
zA y ;
MxJz ;
MxJx nedeterminat
adică punctul de aplicaţie al percuţiei exterioare trebuie să se găsească pe o dreaptă perpendiculară pe planul determinat de axa de rotaţie şi centrul maselor, dreaptă rezultată din intersecţia planelor.
c
xz
c
zMxJz ;
MxJx == (13.56)
Orice punct al acestei drepte se este centru de percuţie.
276
14. Noţiuni de Mecanică analitică
14. NOŢIUNI DE MECANICA ANALITICĂ
Mecanica analitică utilizează metode directe de determinare a ecuaţiilor diferenţiale de mişcare în care nu mai apar forţele de legătură. În Mecanica analitică sunt studiate sistemele materiale supuse indeosebi la legături ideale (fără frecare) ceea ce restrânge în oarecare măsură domeniul ei de aplicabilitate. Legăturile sunt tratate diferit de modul folosit în statică. 14.1. Legături
În Mecanică legătura reprezintă o constrângere geometrică a poziţiilor
punctelor materiale ce alcătuiesc sistemul. Aceste restricţii pot fi exprimate analitic sub forma unor relaţii fie între coordonate (deplasări finite) fie între deplasări infinitezimale. De exemplu obligaţia unui punct material de coordonate x, y, z de a rămâne pe o suprafaţă se poate exprima fie prin ecuaţia suprafeţei:
0z) y, f(x, = (14.1)
care impune o restricţie coordonatelor punctului, fie prin relaţia diferenţială:
0dzzfdy
yfdx
xf
=∂∂
+∂∂
+∂∂ ; 0rdf =⋅∇ (14.2)
care impune o restricţie deplasării infinitezimale rd a punctului. Relaţiile (14.1) şi (14.2) sunt echivalente, relaţia (14.2) obţinându-se din (14.1) prin diferenţiere, respectiv (14.1) se obţine din (14.2) prin integrare. Şi relaţii de forma:
0dz z)y,R(x,dy z)y,Q(x,dx z)y,P(x, =++ (14.3)
exprimă tot o legătură. Pentru ca (14.3) să fie integrabilă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:
,zP
xR ;
yR
zQ ;
xQ
yP
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂ (14.4)
adică funcţiile P, Q şi R trebuie să fie derivatele parţiale ale aceleiaşi funcţii f(x,y,z):
zfR ;
yfQ ;
xfP
∂∂
=∂∂
=∂∂
= (14.5)
277
Dinamica
În cazul unui sistem de puncte materiale legăturile se exprimă în cazul cel mai general prin p relaţii diferenţiale de forma:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++++++
=++++++
=++++++
−−
−−
−−
0dzadyadxadzadyadxa
0dzadyadxadzadyadxa0dzadyadxadzadyadxa
nn3,pn1n3,pn2n3,p13p12p11p
nn3,2n1n3,2n2n3,2123122121
nn3,1n1n3,1n2n3,1113112111
L
M
L
L
(14.6)
unde: 3np 1,2,...3n;j p;1,2,...,i );z,y,x,,z,y,(xaa nnn111ijij ≤=== K (14.7)
Pentru ca relaţiile (14.6) să fie independente rangul matricei coeficienţilor deplasărilor infinitezimale:
(14.8)
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n3,p2p1p
n3,22221
n3,11211
aaa
aaaaaa
K
M
K
K
trebuie să fie egal cu “p”, adică trebuie să existe cel puţin un determinant cu “p” linii şi “p” coloane diferit de zero. Se întâlnesc trei posibilităţi:
a) Legăturile sunt olonome, când cele “p” ecuaţii (14.6) sunt independente şi integrabile, adică exprimabile printr-un număr de “p” relaţii de forma:
p1,2,...,i );z,y,x,,z,y,x nnn111 =K(if (14.9)
Teoretic, din aceste relaţii “p” coordonate pot fi exprimate în funcţie de celelalte 3n-p. Din relaţiile (14.6) tot “p” mărimi diferenţiale pot fi calculate în funcţie de celelalte 3n-p. Rezultă că în cazul legăturilor olonome numărul gradelor de libertate în deplasări finite este egal cu numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale (h=3n-p).
b) Legăturile sunt neolonome, când toate sau o parte din relaţiile independente (14.6) sunt neintegrabile, deci neexprimabile prin relaţii de forma (14.9).
Să presupunem că există k < p relaţii integrabile, restul p – k fiind neintegrabile. Din cele k relaţii un număr de k coordonate pot fi determinate în funcţie de celelalte 3n-k, deci în deplasări finite numărul gradelor de libertate
278
14. Noţiuni de Mecanică analitică
este =3n-k. În deplasări infinitezimale numărul gradelor de libertate este =3n-p. Deoarece k < p rezultă >
h′h ′′ h′ h ′′ , adică în cazul legăturilor neolonome numărul gradelor de libertate în deplasări finite este mai mare decât numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale.
c) Legăturile sunt critice, când numărul gradelor de libertate în deplasări finite este mai mic decât numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale.
Să presupunem că între coordonatele punctelor există p relaţii independente de forma (14.9) şi ca urmare numărul gradelor de libertate în deplasări finite este pn3h −=′ . Prin diferenţiere se obţin p relaţii de forma (14.6). Dacă rangul matricei (14.8) este k < p atunci numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale este kn3h −=′′ . Întrucât k < p rezultă
> . h ′′ h′În funcţie de dependenţa de timp legăturile se clasifică în scleronome şi
reonome. Legăturile independente de timp se numesc scleronome iar cele care depind de timp se numesc reonome. Un exemplu de legătură olonomă – scleronomă a unui punct material este sfera fixă de ecuaţie:
(14.10) 0rzyx 2222 =−++
Un exemplu de legătură olonomă – reonomă a unui punct poate fi o sferă cu centrul mobil şi raza variabilă:
(14.11) 0ut)rct)zbt)yat)(x 2222 =+−−+−+− (((
O legătură exprimată printr-o relaţie neintegrabilă de forma (14.3) este numită legătură neolonomă – scleronomă iar o relaţie neintegrabilă de forma:
0dt t)z,y,T(x, dz t)z,y,R(x,dy t)z,y,Q(x,dx t)z,y,P(x, =+++ (14.12)
este numită legătură neolonomă – reonomă a punctului. Relaţiile (14.6) în cazul legăturilor reonome devin:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+++++++
=+++++++
=+++++++
−−
−−
−−
0dtbdzadyadxadzadyadxa
0dtbdzadyadxadzadyadxa0dtbdzadyadxadzadyadxa
pnn3,pn1n3,pn2n3,p13p12p11p
2nn3,2n1n3,2n2n3,2123122121
1nn3,1n1n3,1n2n3,1113112111
L
M
L
L
(14.13)
279
Dinamica
în care: 3np 1,2,...3n;j p;1,2,...,i t);,z,y,x,,z,y,(xb b
t);,z,y,x,,z,y,(xaa
nnn111ii
nnn111ijij
≤===
=
K
K
(14.14)
Dacă relaţiile (14.13) sunt neintegrabile legăturile sunt neolonome –
reonome iar dacă sunt integrabile şi se exprimă sub forma:
p1,2,...,i t);,z,y,x,,z,y,x nnn111 =K(if (14.15)
este posibil să fie olonome – reonome sau critice – reonome. În relaţiile (14.13) şi (14.15) timpul nu trebuie considerat ca un grad de libertate suplimentar. În consecinţă discuţia privind tipul legăturilor se face tot pe matricea (14.8). 14.2. Principiul lui D’Alembert
14.2.1. Forţa de inerţie. Torsorul forţelor de inerţie
ri
m(M )n n
m(M )i im(M )1 1
F iint Fi
ext+
Fnext
F1ext
OMext
-m ai i
a1
-m a1 1
a n
-m an n
Rext
jR
jOM
Fig. 14.1 Se numeşte forţă de inerţie în cazul mişcării unui punct material, forţa
egală cu produsul dintre masa şi acceleraţia punctului luată cu semn schimbat:
amFj −= (14.16)
Forţa de inerţie nu acţionează asupra punctului material ci asupra agentului motor.
280
14. Noţiuni de Mecanică analitică
Sistemul de n puncte materiale: , din figura 8.1 se află în
mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare n21 M ..., ,M ,M
extiF date şi de legătură.
Asupra fiecărui punct acţionează forţa iM extiF şi rezultanta forţelor interioare
intiF imprimându-i o acceleraţie ia conform principiului al II-lea al mecanicii:
ii
inti
exti amFF =+ (14.17)
Pentru a pune în evidenţă forţa de inerţie corespunzătoare punctului iM iiji amF −= , (14.18) scriem relaţia (8.17) sub forma:
0amFF iiinti
exti =−+ (14.19)
Torsorul de reducere al forţelor de inerţie în originea sistemului de
referinţă fix Oxyz are ca elemente vectorul rezultant al forţelor de inerţie:
∑ ∑= =
−==n
1i
n
1iiijij )am(FR (14.20)
şi momentul rezultant al forţelor de inerţie:
∑∑==
−×=×=n
1iiii
n
1ijiijO )am(rFrM (14.21)
Expresia vectorului rezultant al forţelor de inerţie se mai poate scrie:
C
n
1i
n
1i
n
1iii
iij aMPP
dtdvm
dtd
dtvdmR −=−=−=−=−= ∑∑ ∑
== =
& (14.22)
Din relaţia (14.22) rezultă că vectorul rezultant al forţelor de inerţie în
cazul unui sistem de puncte materiale este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al sistemului de puncte, luată cu semnul minus. Expresia vectorului moment rezultant al forţelor de inerţie în raport cu polul O se poate scrie sub forma:
281
Dinamica
OO
n
1iiii
n
1i
iiijO K)K(
dtdvmr
dtd)
dtvdm(rM &−=−=×−=−×= ∑∑
== (14.23)
Din relaţia (14.23) rezultă că: momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de polul fix O, în cazul unui sistem de puncte materiale, este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic în raport cu acelaşi pol fix, luată cu semn schimbat. Proprietăţile arătate la reducerea unui sistem de forţe sunt valabile şi în cazul reducerii forţelor de inerţie. Relaţiile (14.22) şi (14.23) sunt valabile şi în cazul unui solid rigid cu menţiunea că semnul sumă∑ se înlocuieşte cu semnul . ∫ Se demonstrează că momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de centrul de masă unui sistem de puncte materiale este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic în în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului de puncte materiale, luată cu semnul minus:
CjC KM &−= (14.24) 14.2.2. Principiul lui D’Alembert. Metoda cineto-statică
Se scriu relaţii de forma (14.19) pentru toate punctele sistemului şi se sumează:
0)am(FFn
1iii
n
1i
inti
n
1i
exti =−++ ∑∑∑
=== (14.25)
În (14.25): ext
n
1i
exti RF =∑
= este vectorul rezultant al forţelor exterioare date şi de legătură;
0Fn
1i
inti =∑
= deoarece, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele
interioare sunt două câte două egale în modul şi direct opuse;
j
n
1iii R)am( =−∑
= este vectorul rezultant al forţelor de inerţie.
Rezultă ecuaţia: 0RR j
ext =+ (14.26) Se înmulţeşte relaţia (14.19) vectorial la stânga cu ir şi se aplică operatorul ∑:
282
14. Noţiuni de Mecanică analitică
0)am(rFrFr ii
n
1ii
inti
n
1ii
exti
n
1ii =−×+×+× ∑∑∑
=== (14.27)
În (14.27): extO
n
1i
extii MFr =×∑
= este momentul rezultant al forţelor exterioare date şi de
legătură faţă de polul fix O;
0Frn
1i
intii =×∑
= deoarece, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele
interioare sunt două câte două egale în modul şi direct opuse;
jO
n
1iiii M)am(r =−×∑
= este momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de
acelaşi pol O. Rezultă ecuaţia:
0MM jOextO =+ (14.28)
Împreună, ecuaţiile (14.26) şi (14.28) se numesc ecuaţii de echilibru
cineto-static sau ecuaţii de echilibru dinamic fictiv şi exprimă principiul lui D’Alembert: “Un sistem de puncte materiale, un solid rigid sau un sistem de solide rigide în mişcare se află în fiecare moment în echilibru dinamic fictiv sub acţiunea forţelor exterioare date şi de legătură efectiv aplicate sistemului material, precum si a forţelor de inerţie fictiv aplicate sistemului material” sau “ În cazul unui sistem material în mişcare torsorul forţelor de inerţie echilibrează torsorul forţelor exterioare date şi de legătură”.
În locul ecuaţiei (14.28) se poate lua ecuaţia: 0MM jC
extC =+ (14.29)
unde C este centrul de masă al sistemului material.
Proiectând ecuaţiile vectoriale (14.26) şi (14.28 ) sau (14.29) pe axele unui sistem cartezian se obţin şase ecuaţii de echilibru diferenţiale scalare. Prin aplicarea principiului lui D’Alembert se obţine o metodă comodă de rezolvare a probemelor de dinamică cunoscută sub numele de metoda cineto-statică. Problema de dinamică este redusă la o problemă de echilibru, adică la o problemă de statică şi conţine următoarele etape: - se determină, pe baza analizei cinematice, relaţiile dintre parametrii
cinematici de ordinul I şi II (viteze şi acceleraţii) ai mişcărilor corpurilor; - se separă corpurile suprimând legăturile exterioare şi interioare; - se introduc forţele date şi de legătură care acţionează asupra fiecărui corp;
283
Dinamica
- în centrul de greutate al fiecărui corp se reprezintă elementele torsorului forţelor de inerţie funcţie de mişcarea acestuia;
- se scriu ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv; - se rezolvă sistemul de ecuaţii diferenţiale. 14.3. Principiul lucrului mecanic virtual
r
M(x,y,z)
y xz
i j k
F(F ,F ,F )x y z
r+δr
δrM (x+δx,y+δy,z+δz)1
Fig. 14.2 Se numeşte deplasare elementară virtuală sau deplasare virtuală
deplasarea unui punct M într-o poziţie infinit apropiată M1 presupusă (închipuită) dar neexecutată şi se notează rδ (fig. 14.2). Dacă în urma deplasării legăturile punctului rămân intacte, deplasarea se numeşte compatibilă cu legăturile. Dacă în urma deplasării legăturile punctului s-ar distruge deplasarea virtuală se numeşte incompatibilă cu legăturile. Astfel, în cazul unui punct obligat să rămână pe o suprafaţă orice deplasare virtuală în planul tangent este compatibilă cu legătura. Toate deplasările care nu sunt conţinute în acest plan sunt incompatibile cu legătura. În cazul unui punct situat pe o curbă deplasările virtuale pe tangenta la curbă sunt compatibile cu legătura, celelalte fiind incompatibile cu legătura. Într-un sistem de referinţă cartezian vectorul de poziţie r este, în general, o funcţie de coordonatele punctului şi explicit de timp:
t)z,y,(x,r=r (14.30)
Deplasarea virtuală este diferenţiala funcţiei (14.30) considerând timpul constant: k δzjδy iδx rδ ++= (14.31)
284
14. Noţiuni de Mecanică analitică
Se numeşte lucru mecanic virtual al unei forţe F corespunzător deplasării virtuale rδ a punctului de aplicaţie al forţei produsul scalar dintre vectorul forţă şi deplasarea virtuală: δzFδyFδx FrδFδL zy x ++=⋅= (14.32)
ri
m(M )n n
m(M )i i
m(M )1 1
F iext Fi
leg+
Fnext
F1ext
-m ai i
a1
a n
δr1
δrn
Fiint
+
δri
a i
F iext
F ileg
F iint
Fig. 14.3 În figura 14.3 este reprezentat un sistem de puncte materiale supus la legături: M1, M2, ..., Mi, ..., Mn cu masele m1, m2, ..., mi, ..., mn, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare:
extn
exti
ext2 F ..., ,F ..., ,F ,
ext1F .
Asupra punctului Mi acţionează forţa exterioară extiF , forţa de legătură
legiF şi
rezultanta forţelor interioare intiF cu care celelalte n-1 puncte interacţioneaza cu
punctul considerat. Forţa rezultantă +extiF leg
iF +intiF imprimă puctului Mi o
acceleraţie ia conform legii a II-a a mecanicii:
mi ia = +extiF leg
iF +intiF , (14.33)
care se pune sub forma: 0amFFF ii
intlegextiii
=−++ (14.34)
Se consideră o deplasare virtuală oarecare dată sistemului de puncte materiale. Punctul Mi se va deplasa virtual cu
irδ . Se înmulţeşte scalar relaţia
(14.34) cu delasarea virtuală i
rδ :
285
Dinamica
0rδ )a(mrδFrδFrδF iiiiintii
legii
exti =⋅−⋅+⋅+⋅ (14.35)
Se scriu relaţii de forma (14.36) pentru toate punctele sistemului şi se sumează membru cu membru:
0rδ )a(mrδFrδFrδFδL i
n
1ii
n
1i
inti
n
1i
legi
n
1i
exti =⋅−+⋅+⋅+⋅≡ ∑∑∑∑ (14.36)
Relaţia (14.36) exprimă principiul deplasărilor virtuale sau lucrului mecanic virtual pentru un sistem de puncte materiale în mişcare: În cazul unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare supus la legături suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare date, forţelor de legătură, forţelor interioare şi forţelor de inerţie este nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă sau incompatibilă cu legăturile.
Dacă sistemul material este unui solid rigid sau sistem de corpuri rigide supuse la legături interioare cu elemente indeformabile (de exemplu fire inextensibile, cuple fără frecare şi joc etc.), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor interioare este nulă şi principiul deplasărilor virtuale se exprimă matematic sub forma:
0rδ )a(mrδFrδFδL i
n
1ii
n
1i
legi
n
1i
exti =⋅−+⋅+⋅≡ ∑∑∑ (14.37)
Dacă în plus sistemul de corpuri rigide este supus la legături ideale, iar deplasările virtuale sunt compatibile cu legăturile atunci şi suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor de legătură este nulă şi principiul lucrului mecanic virtual devine:
0rδ )a(mrδFδL i
n
1ii
n
1i
exti =⋅−+⋅≡ ∑∑ (14.38)
Punctele unui sistem material aflat în echilibru (repaus) au acceleraţiile nule. Dacă sistemul de puncte este supus la legături ideale şi lucrul mecanic virtual al forţelor interioare este nul atunci pentru deplasări virtuale compatibile cu legăturile rezultă:
0rδFδLn
1i
exti =⋅≡ ∑ 14.39)
Relaţia (14.39) exprimă principiul deplasărilor virtuale pentru un sistem
de puncte materiale aflat în echilibru: În cazul unui sistem de de puncte
286
14. Noţiuni de Mecanică analitică
materiale aflat în echilibru, supus la legături ideale şi la care suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor interioare este nulă, suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare este nulă pentru orice deplasări virtuale compatibile cu legăturile. Relaţia (14.39) este valabilă şi în cazul unui rigid sau sistem de corpuri rigide aflate în echilibru. 14.4. Ecuaţiile lui Lagrange
Metoda care utilizează ecuaţiile lui Lagrange este în general aplicabilă sistemelor materiale supuse la legături fără frecare. Ecuaţiile vor fi deduse pentru un sistem de puncte materiale dar sunt valabile şi pentru un rigid sau un sistem de corpuri rigide.
14.4.1. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a
Se consideră un sistem de puncte materiale Mi de mase mi aflat în
mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare iF , (i = 1,2,...,n), supus unor legături olonome (fără frecare). Configuraţia sistemului la un moment dat este determinată de h parametri geometrici independenţi: q1, q2, ..., qk, ..., qh, care se numesc coordonate generalizate. Derivatele de ordinul întâi ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul: hk21 q ..., ,q ..., ,q ,q &&&& se numesc viteze generalizate, iar derivatele de ordinul doi: hk21 q..., ,q ..., ,q ,q &&&&&&&& se numesc acceleraţii generalizate.
Se urmăreşte determinarea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sistemului de puncte.
Vectorul de poziţie ir al punctului Mi depinde de coordonatele generalizate qk, (k =1,2, ...,h), iar în cazul legăturilor reonome şi explicit de timp: t),q ..., ,q ..., ,q ,(q hk21ii rr = (14.40) Deplasarea virtuală compatibilă cu legăturile a punctului Mi are expresia:
∑=
δ∂∂
=δ∂∂
+⋅⋅⋅+δ∂∂
+⋅⋅⋅+δ∂∂
+δ∂∂
=δh
1kk
k
ih
h
ik
k
i2
2
i1
1
ii q qrq
qrq
qrq
qrq
qrr (14.41)
Conform principiului deplasărilor virtuale se poate scrie că suma
lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare date şi de inerţie este nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă cu legăturile:
287
Dinamica
0rδ)amF( i
n
1iiii =⋅−∑
= (14.42)
Înlocuind (14.41) în (14.42) şi schimbând ordinea de însumare se obţine:
0ra i =δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
⋅−∑ ∑= =
k
h
1k
n
1i kiii q
q)mF( (14.43)
În cazul legăturilor olonome cele h deplasări virtuale sunt independente. Cum toate pot fi considerate nule cu excepţia a căte una:
kqδ
0δq ..., 0,δq 0,δq 0,δq ..., 0,δq 0,δq h1kk1k21 ==≠=== +− , relaţia (14.43) este echivalentă cu h ecuaţii diferenţiale, numite ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a:
h1,2,...,k 0;
q)mF(
n
1i kiii ==
∂∂
⋅−∑=
ira (14.44)
14.4.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a
Ecuaţiile (14.44) se pun sub forma:
h1,2,...,kq
F q
mk
n
1ii
n
1i kii =
∂∂
⋅=∂∂
⋅ ∑∑==
;rra ii (14.45)
Termenul din partea dreapta relaţiei (14.45) se numeşte forţă
generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate şi se notează kq kQ :
kk
in
1ii Q
qrF =
∂∂
⋅∑=
(14.46)
Înlocuind (14.46) în (14.45) şi ţinând seama că acceleraţia unui punct este egală cu derivata vitezei rezultă ecuaţia:
k
n
1i k
iii Q
qr
dtvdm =
∂∂
⋅∑=
(14.47)
Folosind regula de derivare a unui produs, ecuaţia (14.47) poate fi scrisă sub forma:
288
14. Noţiuni de Mecanică analitică
k
n
1i k
iii
n
1i k
iii Q)
qr(
dtdvm)
qrv(
dtdm =
∂∂
⋅−∂∂
⋅ ∑∑==
(14.48)
Viteza
iv a punctului se obţine derivând (14.40) în raport cu timpul: iM
trq
qrq
qrq
qrq
qrrv i
hh
ik
k
i2
2
i1
1
ii
∂∂
+∂∂
+⋅⋅⋅+∂∂
+⋅⋅⋅+∂∂
+∂∂
== &&&&& (14.49)
Derivata parţială a vitezei punctului în raport cu viteza generalizată este: iM kq&
k
i
k
iqr
qv
∂∂
=∂∂&
(14.50)
Pentru a demonstra că:
k
i
k
iqv
qr
dtd
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
, (14.51)
derivăm funcţia k
iqr
∂∂
în raport cu timpul şi expresia (14.49) în raport cu
variabila kq :
hhk
i2
kkk
i2
22k
i2
11k
i2
k
i qqqrq
qqrq
qqrq
qqr
qr
dtd
&&&&∂∂
∂+⋅⋅⋅+
∂∂∂
+⋅⋅⋅+∂∂
∂+
∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ ,
(14.52)
hkh
i2
kkk
i2
2k2
i2
1k1
i2
k
i qqqrq
qqrq
qqrq
qqr
qv
&&&&∂∂
∂+⋅⋅⋅+
∂∂∂
+⋅⋅⋅+∂∂
∂+
∂∂∂
=∂∂
(14.53)
Comparând (14.52) cu (14.53) rezultă egalitatea (14.51).
Luând în considerare relaţiile (14.50) şi (14.51) ecuaţia (14.48) devine:
k
n
1i k
iii
n
1i k
iii Q
qvvm)
qvv(
dtdm =
∂∂
⋅−∂∂
⋅ ∑∑== &
(14.54)
Înlocuind în (14.54):
)2
v(q
)2
v(qq
vv2i
k
2i
kk
ii &&& ∂
∂=
∂∂
=∂∂
⋅ şi )2
v(q
)2
v(qq
vv2i
k
2i
kk
ii ∂
∂=
∂∂
=∂∂
⋅ ,
289
Dinamica
rezultă:
k
n
1i
2i
ki
n
1i
2i
ki Q)
2v(
qm)
2v(
qm
dtd
=∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂ ∑∑
== &
sau:
k
n
11
2i
ik
n
1i
2i
ik
Q2
vmq2
vmqdt
d=
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂ ∑∑
==& (14.55)
Deoarece ∑=
n
1i
2i
i 2vm reprezintă energia cinetică ( ) a sistemului de puncte
materiale, forma finală a relaţiei (14.45) este:
cE
kk
c
k
c QqE
qE
dtd
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂&
; k=1,2,...,h (14.56)
Cele h ecuaţii diferenţiale diferenţiale (14.56) poartă numele de ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a. Observaţii:
1) Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a sunt ecuaţii diferenţiale scalare, comod de aplicat în probleme curente;
2) Pentru calculul energiei cinetice se exprimă în prealabil coordonatele: iii z ,y ,x ale punctelor sistemului în funcţie de coordonatele generalizate: h2 şi se derivează în raport cu timpul:
1 q ..., ,q ,q
∑∑∑=== ∂∂
=∂∂
=∂∂
=h
1kk
k
ii
h
1kk
k
ii
h
1kk
k
ii q
qzz ;q
qyy ;q
qxx &&&&&&
)2iz2
iy2ix( im
n
1i 21
cE &&& ++∑=
=
(14.57)
3) Forţa generalizată se poate determina cu relaţia:
)qzF
qyF
qx(FQ
k
iiz
k
iiy
n
1i k
iixk ∂
∂+
∂∂
+∂∂
= ∑=
290
14. Noţiuni de Mecanică analitică
sau se dă o deplasare virtuală sistemului în care variază numai coordonata generalizată după care se împarte lucrul mecanic virtual obţinut la : qk kqδ
k
kk δq
LδQ = (14.58)
Această formulă se bazează pe faptul că lucrul mecanic virtual al forţelor date este o funcţie liniară de deplasările virtuale kqδ :
∑∑ ∑∑== ==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅=⋅=h
1kkkk
h
1k k
in
1ii
n
1iii δq Qδq
qrFrδFδL
Lucrul mecanic virtual în condiţiile:
0δq ;..., 0δq 0;δq 0;δq ..., 0;δq 0;δq h1kk1-k21 ==≠=== + este:
kkk δqQLδ = , din care rezultă (14.58). 14.4.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a în cazul forţelor conservative
Dacă forţele date sunt conservative, adică dacă derivă dintr-o funcţie de forţă: iUi UgradiF ∇== , (14.59) unde , numită funcţie de forţă, depinde în general de coordonatele ale punctului de aplicaţie al forţei şi eventual de timp, atunci:
iU iii z ,y ,x
i
iiz
i
iiy
i
iix z
UF ;yUF ;
xUF
∂∂
=∂∂
=∂∂
= (14.60)
şi:
∑∑== ∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=n
1i k
in
1i k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
ik q
Uqz
zU
qy
yU
qx
xU
Q (14.61)
Se notează cu U funcţia de forţe corespunzătoare întregului sistem:
(14.62) ∑=
=n
1iiUU
Relaţia (14.61) se mai poate scrie:
291
Dinamica
k
n
1ii
k
n
1i k
ik q
UUqq
UQ∂∂
=∂∂
=∂∂
= ∑∑==
(14.63)
Înlocuim (14.64) în (14.56) şi obţinem:
kk
c
k
cqU
qE
qE
dtd
∂∂
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂&
(14.64)
Suma dintre energia cinetică şi funcţia de forţe, care se determină cu
aproximaţia unei constante, se numeşte funcţia lui Lagrange sau potenţial cinetic şi se notează cu L: UEc +=L (14.65) Funcţia de forţe nu depinde de vitezele generalizate şi de aceea:
0qU
k=
∂∂&
(14.66)
Luând în considerare (14.66) relaţia (14.64) poate fi pusă sub forma:
h1,2,...,k 0;qqdt
d
kk==
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ LL&
(14.67)
şi pentru: formează un sistem de ecuaţii numite ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a în cazul forţelor consevative.
h1,2,...,k =
14.5. Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton
Se consideră un sistem alcătuit din n puncte materiale: cu masele , supus la legături olonome (ideale) şi având h grade de libertate, aflat în mişcare sub acţiunea forţele conservative exterioare:
ni21 M ..., ,M ..., ,M ,M ni21 m ..., ,m ..., ,m ,m
ni21 F ..., ,F ..., ,F ,F . Pentru un asemenea sistem s-au dedus ecuăţiile lui Lagrange de speţa II-a:
h1,2,...,k 0;qqdt
d
kk==
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ LL&
(14.68)
Se notează :
292
14. Noţiuni de Mecanică analitică
kk
ck qq
Ep
&& ∂∂
=∂∂
=L (14.69)
o mărime scalară numită impuls generalizat, care poate fi impuls (cantitate de mişcare) sau moment cinetic în funcţie de dimensiunea coordonatei generalizate. Cu notaţia (14.69) ecuaţiile (14.68) devin:
h1,2,...,k ;q
pk
k =∂∂
=L
& (14.70)
şi împreună cu:
h1,2,...,k ;q
pk
k =∂∂
=&
L (14.71)
formează un sistem de 2h ecuaţii diferenţiale de ordinul I, cu 2h necunoscute: kq şi kp , ( ). h,...,2,1k = Ecuaţiile (14.70) şi (14.71) pot fi puse şi sub altă formă introducând funcţia lui Hamilton:
(14.72) L H −=∑=
h
1kkkqp &
Funcţia L depinde de cele h coordonate generalizate şi de cele h viteze
generalizate: (14.73) )q ..., ,q ,q ,q ..., ,q ,(q h21h21 &&&LL =
Considerând o deplasare virtuală dată sistemului de puncte, variaţia elementară a funcţiei lui Lagrange se determină prin diferenţierea virtuală a funcţiei L:
∑= ∂
∂+
∂∂
=h
1kk
kk
k)qδ
qδq
q(δ &
&
LLL 14.74)
Luând în considerare (14.70) şi (14.71), ecuaţia (14.74) devine:
(14.75) ∑=
+=h
1kkkkk )qδpδqp(δ &&L
Întrucât: kkkkkk δpq)qδ(pqδp &&& −= (14.76) rezultă,
(14.77) [ ]∑=
−+=h
1kkkkkkk δpq)qδ(pδqpδ &&&L
293
Dinamica
şi în continuare:
(14.78) )δqpδpq(qpδ kk
h
1kkk
h
1kkk &&& −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∑∑
==L
Cu notaţia (14.72) obţinem:
(14.79) )qppq( kkkk δ−δ=δ ∑=
&&h
1kH
Impulsurile generalizate depind ca şi energia cinetică sau funcţia lui
Lagrange de coordonatele şi vitezele generalizate:
)q ..., ,q ,q ,q ..., ,q ,(qpp h21h21kk &&&= ; k=1,2,...,h (14.80) Relaţia (8.80) poate fi privită ca un sistem de h ecuaţii cu necunoscutele
. Rezolvând sistemul obţinem: h) ..., 2, 1,(k ,qk =&
h1,2,...,k );p ..., ,p ,p ,q ..., ,q ,(qqq h21h21kk == && (14.81) Substituim vitezele generalizate din expresiile funcţiilor L şi H cu (60):
);p ..., ,p ,p ;q ..., ,q ,(q );p ..., ,p ,p ;q ..., ,q ,(q h21h21h21h21 HHLL == (14.82) Unei deplasări virtuale dată sistemului de puncte materiale îi corespunde o variaţie elementară virtuală a funcţiei lui Hamilton:
∑= ∂
∂+
∂∂
=h
1kk
kk
k)δp
pδq
q(δ HHH (14.83)
Din compararea relaţiilor (14.79) şi (14.83) rezultă ecuaţiile canonice
ale lui Hamilton:
h) ..., 2, 1,(k ,q
p ;p
qk
kk
k =∂∂
−=∂∂
=HH
&& (14.84)
Din integrarea celor 2h ecuaţii diferenţiale (14.84) cu luarea în
considerare a condiţiilor iniţiale ale mişcării puse în coordonate generalizate şi impulsuri generalizate se obţin coordonatele generalizate şi impulsurile generalizate ca funcţii de timp.
294
15. Vibraţii liniare
15. VIBRAŢII LINIARE ALE SISTEMELOR CU UN GRAD DE LIBERTATE
Un sistem mecanic efectuează o vibraţie sau o oscilaţie dacă parametrii
care îi definesc configuraţia la un moment dat variază alternativ în timp faţă de valorile avute în starea de referinţă.
Sistemele liniare cu un grad de libertate sunt acelea a căror configuraţie geometrică la un moment dat poate fi determinată cu ajutorul unui singur parametru scalar (distanţă sau unghi) iar ecuaţia diferenţială a mişcări este o ecuaţie diferenţială liniară.
15.1. Vibraţia liniară liberă, neamortizată
Modelul mecanic al unui corp care efectuează o asemenea mişcare se compune dintr-un corp rigid ghidat astfel încât mişcarea să fie o translaţie rectilinie şi dintr-un arc cu caracteristică elastică liniară fixat la unul din capete şi legat la celălalt capăt de corpul rigid. (fig. 15.1)
i
0 x
j
G
NF = -k x ie
mk
Fig. 15.1
S-au făcut notaţiile: l0-lungimea arcului în stare nedeformată; k-
constanta elastică a arcului. Pe direcţia Ox singura forţă care acţionează este forţa elastică, celelalte
(greutatea G şi reacţiunea normală N ) fiind perpendiculare pe Ox . Ecuaţia fundamentală a dinamicii, scrisă pentru corpul rigid va fi:
xkxm −=&& (15.1) care se pune sub forma:
(15.2) 0xpx 2 =+&&S-a notat:
2pmk= (15.3)
295
Dinamica
Ecuaţia (15.2) este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi şi are soluţia:
ptsin Cpt cosCx 21 += (15.4)
Prin derivare obţinem viteza corpului:
pt cospCptsin pCx 21 +−=& (15.5)
Constantele de integrare se pot determina impunând condiţiile iniţiale
ale mişcării: 00 vx ,x x0,t === & . Rezultă: p
vC ,xC 0
201 == .
Ca urmare, relaţiile (15.4) şi (15.5) devin:
ptsin p
vpt cosxx 0
0 += (15.6)
pt cosvptsin xpx 00 +−=& (15.7)
Înseamnă că mişcarea corpului este o vibraţie armonică. Expresia (15.6) poate fi pusă şi sub forma:
( )ϕ= -pt cosax (15.8) unde,
0
02
202
0 pxv
arctg , pv
xa =ϕ+= (15.9)
Mărimile ce intervin în relaţia (15.8) sunt: a = amplitudine; p = pulsaţie proprie;
= elongaţie; ( ϕ−ptcosa ) ϕ−pt = fază; ϕ− = fază iniţială. Cazuri particulare (fig. 9.2): a) pt cosx x10, v0,x 000 ==≠
b) ptsin p
v x20, v0,x 0
00 =≠=
T
T
x
t
x (t)1x (t)2
Fig. 15.2
296
15. Vibraţii liniare
Perioada mişcării vibratorii
kmπ2
pπ2T == (15.10)
şi frecvenţa
mk
π21
π2p
T1ν === (15.11)
sunt independente de condiţiile iniţiale. Exemple de vibraţii liniare libere neamortizate: micile oscilaţii ale pendulului simplu sau matematic (fig. 15.3) şi ale pendulului compus sau fizic (fig. 15.4).
ϕ
Mg
C
ϕ
mg
Fig. 15.3 Fig. 15.4 15.2. Vibraţia liniară liberă, amortizată
0 x
F =k x em
F =c x r
c
k
i
j
Fig. 15.5
Modelul mecanic al unui sistem mecanic ce are o asemenea mişcare este
arătat în figura 15.5 şi are în plus faţă de modelul oscilatorului neamortizat un amortizor liniar care introduce o forţa rezistentă proporţională cu viteza de deformare. Se notează cu “c” coeficientul de amortizare. Ecuaţia fundamentală a dinamicii pentru corpul (C) va fi:
297
Dinamica
xckxxm &&& −−= (15.12) care se pune sub forma:
0xmkx
mcx =++ &&& sau , (15.13) 0xpxα2x 2 =++ &&&
în care s-a notat:
α2mc ; p
mk 2 == (15.14)
Ecuaţia (15.13) este liniară, cu coeficienţi constanţi şi omogenă. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice
0pλ α2λ 22 =++sunt:
221,2 pααλ −±−= (15.15)
Aceste rădacini pot fi: complexe, dacă pα < ; reale şi egale, dacă şi reale şi distincte dacă .
pα =pα >
Valoarea coeficientului de amortizare pentru care pα = se numeşte coeficient critic de amortizare şi se notează . Din egalitatea: 0c
mk
2mc0 =
rezultă: km2c0 = (15.16)
Raportul dintre coeficientul de amortizare şi coeficientul critic de amorizare se numeşte factor de amortizare 0c
0ccζ = (15.17)
Se studiază vibraţile amortizate în cele trei situaţi diferite:
. 000 cc , cc , cc >=<
a) Cazul 0cc < . În acest caz pα < şi rădăcinile sunt complexe. Se face notaţia
22222 α-pβ , βpα =−=− (15.18)
298
15. Vibraţii liniare
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice vor fi
iβαλ1,2 ±−= (15.19)
iar soluţia ecuaţiei (15.13) va fi de forma ( )tβsin Ctβ cosCeax 21
tα += − (15.20) sau
( )ϕ−= − tβcoseax tα (15.21)
Ecuaţia (15.21) arată că avem de a face cu o vibraţie modulată in amplitudine. Amplitudinile descresc în timp tinzâd către zero. Diagrama mişcării dată de (15.21) şerpuieşte înte curbele de ecuaţii: şi intersectează axa timpului în puncte echidistante
t2,1 eax α−±=
x
t
T x (t)1x (t)2
x (t)
Fig. 15.6 O astfel de mişcare se numeşte pseudoperiodică sau cvasiperiodică. Mărimea
β2πT = (15.22)
se numeşte cvasiperioadă sau pseudoperiodă. O mărime care caracterizează amortizarea vibraţiilor este raportul elongaţiilor la un interval de timp egal cu o pseudoperioadă:
( ) βπ2α
e
βπ2tx
tx=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
(15.23)
Logaritmul acestui raport se numeşte decrement logaritmic si se
notează : δ
299
Dinamica
βα2πδ = (15.24)
Decrementul logaritmic poate fi exprimat şi în funcţie de factorul de amortizare
: ζ
22
0
02
2
2 ζ1
ζπ2
cc1
cc
π2
4kmc1
km2c
π2
4mc
mk
2mc
π2βαπ2δ
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−
=
−
==
(15.25) b) Cazul , când şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi negative. Notând-le cu şi
0cc > pα <
1λ− 2λ− , soluţia va fi de forma: (15.26) tλ
2tλ
121 eCeCx −− +=
Mişcarea are un caracter aperiodic amortizat (fig.15.7).
Fig. 15.7
c) Cazul .cc 0= În acest caz pα = şi radacinile ecuaţiei caracteristice sunt egale cu α− . Soluţia generală a ecuaţiei (15.13) este:
( )21
tα CtCex += − (15.27) Deoarece în (15.27) lipsesc funcţiile periodice şi:
( ) 0eαC
lime
CtClimtxlim tα
1ttα
21tt
==+
=∞→∞→∞→
(15.28)
rezultă că mişcarea este amortizată şi aperiodică.
x
t
x (t)
300
15. Vibraţii liniare
15.3. Vibraţia liniară forţată, fără amortizare Modelul unui sistem mecanic care are această mişcare este prezentat în
figura 15.8. Asupra corpului rigid, care este legat de elementul fix printr-un arc de constantă k, acţionează o forţă perturbatoare
(15.29) tω cosFF 0=
Asemenea cazuri intervin in practică la maşinile cu piese în rotaţie, neechilibrate rezemate pe un corp elastic (grindă, stâlp, fundaţie, teren, de fundaţie).
i
0 x
j
G
NF = -k x ie
mk
F=F cos(ωt)0
Fig. 15.8
Ecuaţia diferenţială a mişcări va fi:
tω cosFkxxm 0+−=&& (15.30) care se pune sub forma:
(15.31) tω cosqxpx 2 =+&&S-au făcut notaţiile:
qmF
, pmk 02 == (15.32)
Soluţia ecuaţiei (15.31) este alcătuită din soluţia ecuaţiei omogene la care se adaugă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene:
tω cosωp
qptsin Cpt cosCx 2221−
++= (15.33)
301
Dinamica
Constantele şi se determină impunând condiţiile iniţiale ale mişcări:
1C 2C
0x 0, x0,t === & (15.34) Rezultă:
0C , ωp
qC 2221 =−
−= (15.35)
Soluţia generală devine:
( )pt cos-tω cosωp
qx 22 −= (15.36)
Se observă că mişcarea rezultantă este o suprapunere de două vibraţii armonice de aceeaşi amplitudine dar de pulsaţii diferite. Se studiază mişcarea rezultantă în trei cazuri.
a) Cazul pω << . Diagrama unui astfel de mişcări este aratată în figura 15.9. Se observă că aspectul mişcării este acela al unei vibraţii proprii x(t) de pulsaţie mare “purtată” de o vibraţie forţată de pulsaţie mică x1(t).
Amplitudinile celor două mişcări componente fiind egale, elongaţia maximă a mişcării rezultante atinge practic dublul amplitudinii uneia dintre mişcări, adică
( )22maxωp
q2x−
= (9.37)
Fig. 15.9 b) Cazul ω apropiat de p. În acest caz apare fenomenul de bătăi.
Ecuaţia (9.36) poate fi scrisă:
t2ωpsint
2ωpsin
ωp2qx 22
+−
−= (15.38)
Această ecuaţie este de tipul
t
x
t1x (t)
x (t)
302
15. Vibraţii liniare
( ) t2ωpsintΦx +
= (15.39)
unde funcţia ( ) t2ωpsin
ωp2qtΦ 22
−
−= variază foarte încet în raport cu funcţia
ptsin t2ωp
sin ≈+
.
Rezultă că mişcarea este o vibraţie, de pulsaţie egală practic cu sau p, modulată în amplitudine (fig. 15.10). Amplitudinea bătăilor este practic egală cu
ω
22 ωp2q−
. Când , amplitudinea tinde catre pω→ ∞ .
t 2qp -ω2 2
2qp -ω2 2
x (t)x
Fig. 15.10
c) azul pω = . În acest caz pentru a ridica nedeterminarea din relaţia (15.36) aplicăm regula lui l’Hospital
ptsin2pqt
ω2-tωsin tlimq
ωppt cos-tω coslimqx
pω22pω=
−=
−=
→→ (15.40)
Expresia (15.40) este de forma ( ) ptsintΦ în care ( ) t2pqtΦ = este o
funcţie liniară ce variază încet în raport cu funcţia . Deducem că mişcarea rezultantă este o vibraţie de pulsaţie p modulată în amplitudine de funcţia . Diagrama mişcări este prezentată în figura 15.11.
ptsin( )tΦ
t
xϕ (t)x (t)
−ϕ (t)
Fig. 15.11
303
Dinamica
Se observă că, teoretic, amplitudinea creşte nelimitat. Fenomenul poartă numele rezonanţă şi este deosebit de periculos pentru maşini şi pentru construcţii, care, supuse la asemenea vibraţii pot deveni inutilizabile sau se pot distruge prin depăşirea eforturilor unitare sau deformaţiilor admisibile.
15.4. Vibraţia liniară forţată cu amortizare
Modelul mecanic al unui sistem care execută o asemenea mişcare este prezentat în figura 15.12.
0 x
F =k x em
F =c x r
c
k
i
j
F=F cos(ωt)0
Fig. 15.12
Ecuaţia diferenţială a mişcării va fi:
ωt cosFxcknxm 0+−−= &&& (15.41)
care, dacă se fac notaţiile:
qmF
; 2αmc ; p
mk 02 === (15.42)
mai poate fi pusă sub forma: (15.43) ωt qcosxpx2αx 2 =++ &&&
Ecuaţia diferenţială (15.43) este liniară, cu coeficienţi constanţi şi
neomogenă. Soluţia ecuaţiei omogene corespunde celor trei cazuri:
( );tβcosea x cc , pα a) 1tα
110 ϕ−=<< − (15.44)
( );CtCe x cc , pα b) 21tα
10 +=== − (15.45)
(15.46) ,eCeC x cc , pα c) tλ2
tλ110
21 −− +=>>
304
15. Vibraţii liniare
unde:
pαλ , αpβ 221,2
22 −α=−= m Soluţia particulară va fi de forma: tωBsin tω Acosx2 += (15.47) tω cos ωBtωsin ωAx2 +−=& (15.48)
(15.49) tωsin ωBtω cos ωAx 222 −−=&&
Înlocuind (15.47)-(15.49) în ecuaţia diferenţială se obţine: ( )[ ] ( )[ ] tω cosqtωsin Aωα2Bωptω cosBωα2Aωp 2222 =−−+−− Egalând coeficienţii termenilor ce conţin funcţiile sinus şi cosinus rezultă sistemul: ( ) qBωα2Aωp 22 =−− (15.50)
( ) 0BωpAωα2 22 =−+− (15.51) din care deducem:
( )( ) 22222
22
ωα4ωp
qωpA+−
−= ; ( ) 2222 ωα4ωp
qωα2B+−
= (15.52)
În cazul a) soluţia generală este de forma: (15.53) ( ) tωBsin tω Acostβcoseaxxx 1
tα121 ++ϕ−=+= −
Aşadar, mişcarea sistemului este o suprapunere dintre o vibraţie proprie amortizată şi una forţată. După un interval de timp, din cauză că exponenţiala
descreşte destul de repede către zero, putem neglija primul termen. tαe−
( )ϕ=+≈ -tωacostωBsintω Acosx (15.54) unde:
( ) 22222
22
ωα4ωp
qBAa+−
=+= (15.55)
305
Dinamica
22 ωpωα2arctg
ABarctg
−==ϕ (15.56)
Vom introduce rapoartele adimensionale:
ccζ ,
aa
00= şi ,
pω
unde:
0a - este săgeata produsă de forţa perturbatoare când 0ω = (în condiţii statice)
20
0pq
mkq
kmg
kF
a ==== (15.57)
0c - este coeficientul de amortizare critic km2c0 = (15.58)
( )
2
2
2
22
2
22
22222
0
pω
pα4
pω1
1
pq
ωα 4ωp
q
aa
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=+−
= (15.59)
Luând în considerare notaţiile :
220
22
2
22 ζ
cc
4kmc
pα;α2
mc ;
mkp ===== (15.60)
expresia (9.59) devine:
2
2220
pωζ4
pω1
1aa
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (15.61)
306
15. Vibraţii liniare
În figura 15.13 se prezintă o familie de curbe, care, pentru diferite
rapoarte 0c
cζ = , dau legătura între variabilele adimensionale pω (în abscisă)
şi0a
a (în ordonată).
ω p
aa0
ζ=0,01ζ=0,2ζ=0,5ζ=1
4
3
2
1
5
1 2 3 4 50
Fig. 15.13 În cazul când nu există amortizare ( )0ζ = , curba corespunzătoare
prezintă o asimptotă rticală pentru 1pω= .
Expresia unghiului de fază ϕ poate fi scrisă şi ea în funcţie de
rapoartele adimensionale 0c
cζ = şi pω
2
2
pω1
pωζ2
arctg−
=ϕ (15.62)
În figura 15.14 sunt arătate, în funcţie de factorul de amortizare 0c
cζ = ,
o familie de curbe ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ=ϕ
pω .
307
Dinamica
ζ=0ζ=0,1ζ=0,5ζ=1
0,79
10
ω p
ϕ
1,57
2,36
3,14
2 3 4 5
Fig. 15.14 Din figura 15.14 deducem următoarele:
- Pentru 0=ζ , rezultă ϕ = 0 dacă 1pω< şi π=ϕ dacă
pω >1. Aşadar în lipsa
amortizării vibraţia este în fază cu forţa perturbatoare dacă p<ω şi în opoziţie de fază dacă ; p>ω
- Pentru , unghiul p=ω2π
=ϕ oricare ar fi 0≠ζ ;
- Pentru , defazajul dintre mişcarea vibratorie şi forţa perturbatoare creşte pe măsură ce amortizarea creşte;
p<ω
- Pentru , defazajul dintre mişcarea vibratorie şi forţa perturbatoare descreşte pe măsură ce amortizarea creşte. În acest ultim caz, dacă constant
şi
p>ω=ζ
=pω
foarte mare, defazajul creşte şi mişcarea are tendinţa să devină în
opoziţie de fază cu forţa perturbatoare.
308
Bibliografie
BIBLIOGRAFIE [1] ATANASIU, M., Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1973. [2] BRATU, P., Mecanica Teoretică, Editura Impuls, Bucureşti, 2006 [3] DEN HARTOG, J.P., Mechanics, Dover Publications, Inc., New York,
1961. [4] ISPAS, V., ş.a., Mecanica, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1997. [5] ITUL, T.P., Mecanica-Statica, Editura Risoprint, Cluj-Napoca, 2000. [6] ITUL, T.P., Mecanica-Cinematica şi Dinamica, Editura Risoprint, Cluj-
Napoca, 2004. [7] McGILL, D. J., KING, W.W., Engineering Mechanics, Georgia Institute of
Technology, Boston, USA, 1991. [8] OLARIU, V., SIMA, P., ACHIRILOAIE, V., Mecanica tehnică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1982. [9] POPESCU, P., Mecanica: Cinematica, Dinamica, Atelierul de multiplicare
al Institutului Politehnic Cluj, Cluj-Napoca, 1981. [10] RĂDOI, M., DECIU, E., Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977. [11] RIPIANU, A., Mecanica solidului rigid, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. [12] RIPIANU, A., POPESCU, P., BĂLAN, B., Mecanica tehnică, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973. [13] SARIAN, M., Mecanica şi Rezistenţa materialelor, Vol. I, Mecanica,
Ediţia III, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965. [14] STOENESCU, A. SILAŞI, G., Mecanica teoretică, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1963. [15] TARG, S., Élements de Mécanique Rationnelle, Editions MIR, Moscou,
1975. [16] TUDOSIE, C., Mecanică teoretică, Atelierul de multiplicare al Institutului
Politehnic Cluj, Cluj-Napoca, 1972. [17] VÂLCOVICI, V. BĂLAN, Ş., VOINEA, R., Mecanica teoretică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1968. [18] VOINEA, R., VOICULESCU, D., CEUŞU, V., Mecanica teoretică,
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. [19] VOINEA, R., VOICULESCU, D., FLORIAN-PAUL, S., Introducere în
Mecanica solidului rigid cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1989.
309
top related