meccanica 6 21 marzo 2011 cambiamento di sistema di riferimento trasformazioni di coordinate tra...

Meccanica 621 marzo 2011

Cambiamento di sistema di riferimento

Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz)

Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni

Trasformazioni con sistemi non inerziali

Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme

Sistemi di riferimento inerziali

• Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio di Newton

• Nella meccanica newtoniana i sistemi inerziali rivestono un ruolo speciale

• In essi infatti le leggi fisiche assumono la forma più semplice

• È spesso utile, nello studio dei sistemi fisici, cambiare sistema di riferimento

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Sistemi di riferimento inerziali

• Il cambiamento più frequente è quello che porta da un sistema inerziale ad un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso

• Vedremo tra breve che anche il nuovo sistema è inerziale

• Solitamente gli assi del secondo sistema si scelgono paralleli agli assi corrispondenti del primo

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Sistemi di riferimento inerziali

• Le equazioni che permettono di passare dal primo sistema (inerziale) S(O,x,y,z) al secondo S’(O’,x’,y’,z’) sono le seguenti

Rrr

'

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

R

rr’

Posizione del corpo in S’=Posizione del corpo in S – posizione dell’origine O’ (rispetto a S)

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Sistemi di riferimento inerziali

• Con la condizione che R sia• Ove R0 è la posizione dell’origine O’, rispetto

ad O al tempo t=0

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

RR0

V

R

R 0

V t

5

Sistemi di riferimento inerziali

O

z

x

y

O’

z’

x’

y’

R

V

• Per semplicità spesso si sceglie R0=0 e la velocità V parallela ad uno degli assi di S, p.e., l’asse x

tVrr

'

zz

yy

Vtxx

'

'

'

6

Trasformazioni di Galileo

• Ad esse possiamo aggiungere l’equazione di trasformazione del tempo t’=t che stabilisce che il tempo è sempre lo stesso (il tempo è assoluto) e che non cambia col sistema di riferimento

• Le equazioni di trasformazione trovate sono dette trasformazioni di Galileo

tt

zz

yy

Vtxx

'

'

'

'

7

Trasformazioni inverse

• Tali trasformazioni sono facilmente invertibili: basta scambiare le coordinate di S con quelle di S’ e cambiare il segno alla velocità

• Si vede quindi che c’è simmetria tra i due sistemi S e S’ e si intuisce che il sistema S’ debba essere anch’esso inerziale

'

'

'

'

tt

zz

yy

Vtxx

8

Trasformazioni di Lorentz• In relativita` le trasformazioni di Galileo sono

sostituite da quelle di Lorentz

xc

Vtt

zz

yy

Vtxx

2'

'

'

'

'2

'

'

'

'

xc

Vtt

zz

yy

Vtxx

2

1

1

cV

V

9

Inerzialità• Mostriamo ora che il nuovo sistema di

riferimento è davvero inerziale• A tal fine calcoliamo la velocità di un punto

materiale in entrambi i sistemi

zz

yy

xx

vdt

dz

dt

dzv

vdt

dy

dt

dyv

VvVdt

dx

dt

Vtxd

dt

dxv

'

''

'

''

'

''

'

'

'

Legge di trasformazionedelle velocità

10

Inerzialità• E l’accelerazione

zzz

z

yyy

y

xxxx

x

adt

dv

dt

dva

adt

dv

dt

dva

adt

dv

dt

Vvd

dt

dva

'

''

'

'

'

'

''

'

'

'

'

'

'

Legge di trasformazionedelle accelerazioni

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Inerzialità

• Quindi il punto materiale ha accelerazione nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’ se e solo se accade lo stesso nel sistema S

• Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale• Ciò significa anche che dato un sistema

inerziale possiamo trovare una triplice infinità di sistemi inerziali, tanti quante sono le possibili scelte della velocità di traslazione V

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Trasformazioni più generali• In linea di principio una qualunque

trasformazione di coordinate del tipo• non può cambiare la fisica di un

fenomeno, ma solo la descrizione che ne facciamo

• In pratica però esistono trasformazioni (cioè sistemi) per cui la descrizione del fenomeno è molto più semplice che per altre

• Sono questi, come già detto, i sistemi inerziali

tzyxhz

tzyxgy

tzyxfx

,,,

,,,

,,,

'

'

'

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Sistema di riferimento solidale con la terra

• A volte è però conveniente considerare trasformazioni, un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un sistema inerziale

• L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio non rettilineo uniforme e a moto di rotazione

• È questo, in particolare, il caso importantissimo del sistema di riferimento solidale con la terra, la quale ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema inerziale

• Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni atmosferici su larga scala

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Sistemi accelerati

• Invece di considerare il caso più generale, ci limiteremo a considerare – il caso di un sistema in moto rettilineo

uniformemente accelerato parallelamente ad un asse coordinato (p.e. z)

– Il caso di un sistema in moto rotatorio uniforme attorno ad un asse coordinato (p.e. z)

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Le equazioni di trasformazione sono

O

y

x

z

O’

y’

x’

z’

R

r

r’

Rrr

'

200

'

'

'

2

1AttVZztZzz

yy

xx

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè che accelera verso il basso (rispetto a S) con accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e che inizialmente (per t=0) è fermo con l’origine O’ coincidente con O

2'

'

'

2

1Atzz

yy

xx• In altri termini S’ è il sistema solidale con un grave in caduta libera

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Le equazioni di trasformazione per la velocità e l’accelerazione

Atvv

vv

vv

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

Aaa

aa

aa

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti, quindi le componenti della velocità in S’ sono identicamente nulle e lo stesso vale per l’accelerazione

• Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo che A=g)

Atvv

vv

vv

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

0

0

0

Aaa

aa

aa

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

0

0

0

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Dinamica in un sistema accelerato

• Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel sistema S’ il secondo principio di Newton non è valido

• Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre continui ad agire, abbiamo

• Si può però estendere il secondo principio ai sistemi accelerati introducendo opportune forze “d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg)

totigzzFFFmAmama '

'

gzFma 0'

'

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Dinamica in un sistema accelerato

• In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la forza di gravità, per cui in S’ (sistema che trasla di moto uniformemente accelerato con A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo

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Sistema in moto rotatorio uniforme

• Consideriamo un sistema S’ con asse z’ coincidente con l’asse z del sistema S, in rotazione (rispetto a S) con velocità angolare attorno a z

• Le equazioni di trasformazione sono

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

r(t)r(t+dt)

rdrdrd

'

Spostamento del corpo in S’=Spostamento del corpo in S – Spost. dovuto alla rotazione di S’ (rispetto a S)

drdr’

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O’

x’

y’

z’

r’(t)

r’(t+dt)

dr’

O

x

y

z

r(t) r(t+dt)

dr

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Sistema in moto rotatorio uniforme

• E per la velocità e l’accelerazione

rvrdt

d

dt

rd

dt

rdv

'

'

vadt

rd

dt

vd

dt

vda

''

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Sistema in moto rotatorio uniforme

• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S (trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme attorno a z

• In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’ e, di conseguenza, anche accelerazione nulla

• In tal caso le eqq. diventano

• Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme

rvv

'0vaa

'0

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Dinamica in un sistema accelerato

• Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono incompatibili col secondo principio di Newton

• Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad agire sul corpo in rotazione, abbiamo

• Si può però estendere il secondo principio al sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna forza “d’inerzia” Fi accanto alla forza “reale” Ff

• Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S

totif FFFvmamam

'

fFam

0'

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Dinamica in un sistema accelerato

• In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo

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