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Nome da Escola Ano letivo 20 - 20 Matemática A | 11.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
Professor - - 20
1. Na figura está representado o triângulo [ABC] retângulo em A.
■ e
■
1.1. Determine .
1.2. Calcule e .
Apresente os valores pedidos na forma de fração com denominador racional.
2. Na figura está representado o triângulo [ABC] retângulo em A.
Sabe-se que:
■ e
■
2.1. Calcule .
2.2. Determine um valor aproximado à décima de grau do ângulo ACB.
3. Na figura está representado o triângulo isósceles [ABC].
Sabe-se que:
■ e
■
Determine:
3.1. 3.2. 3.3.
4. Na figura está representado o retângulo [ABCD] tal que:
■ ;
■ a área é igual a 32;
■ [DB] é uma diagonal;
Página 1
Ficha de revisão 1 FR1
Ficha de revisão 1
Soluções
■ e .
4.1. Determine um valor aproximado à décima de grau do ângulo e um valor aproximado
à décima de grau do ângulo .
4.2. Determine as razões trigonométricas do ângulo .
Página 2
Ficha de revisão 1
5. Construa um triângulo retângulo em que um dos ângulos agudos tem amplitude , tal que:
5.1. e a medida de um dos catetos é 8;
5.2. e a medida de um dos catetos é 2;
5.3. e a medida da hipotenusa é 6.
6. Em relação a um ângulo agudo de amplitude e sabendo que:
6.1. , calcule ;
6.2. , calcule ;
6.3. , calcule .
7. Na figura está representada a circunferência de centro O e raio .
Sabe-se que:
■ os pontos A, B e C pertencem à circunferência;
■ [AB] é um diâmetro da circunferência;
■ e .
7.1. Determine, em graus, a amplitude do ângulo CAB.
7.2. Determine um valor aproximado à décima da unidade do raio da circunferência.
8. Calcule o valor exato de:
8.1. 8.2.
8.3. 8.4.
9. Tendo em conta os dados da figura, determine os valores de x.
9.1. 9.2.
Página 2
10. Na figura está representado um pentágono regular [ABCDE] inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 8 unidades.
Determine a área do pentágono regular [ABCDE], com arredondamento à décima da unidade quadrada.
Ficha de revisão 1 1.1. Pelo Teorema de Pitágoras:
Como , então .
Portanto, .Resposta: 6
1.2. Por definição das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente:
Portanto, e .
Resposta: e .2.1. Pelo Teorema de Pitágoras:
Como , então:
Portanto, .
Resposta:
2.2. Por exemplo, , ou seja, .
Resposta: 22,6º
3.1. Seja M o ponto médio do segmento de reta [AB].
Resposta:
3.2. . Pelo Teorema de Pitágoras:
Como , então .
Assim, .
Resposta:
3.3.
Resposta: 4.1. A área, A, do retângulo [ABCD] é igual a 32.
Assim, .
Portanto, .
A amplitude do ângulo é igual a , isto é,
.
Então, e .
Resposta: e
4.2.Pelo Teorema de Pitágoras:
Como , .
Portanto, e .
Resposta: e 5. Por exemplo:5.1.
Página 3
Proposta de resoluções
22 2 2 228 2 7BC AB AC AC
2 264 28 36AC AC
0AC 6AC
6AC
6 3sin sin sin8 4
ACBC
2 7 7cos cos cos
8 4
ABBC
2
6 6 7tan tan tan2 7 2 7
ACAB
3 7sin , cos4 4
3 7tan
7
3 7sin , cos4 4
3 7tan
7
2 22 2 2 213 2 5 2BC AC AB AC
2 2338 50 288 AC AC
0AC
288 12 2AC AC 12 2 12sin sin sin
1313 2
ACBC
5 2 5cos cos cos1313 2
ABBC
12 5 17sin cos13 13 13
173
1 12sin13
67,4º
ˆ 90º 22,6ºACB
3cos cos5
MBBC
35
sin MCBC
2 2 2 2 22 25 3 16 BC MB CM CM CM0CM 4CM
4sin5
45
43
32 4 8 A AB AD AB AB8
tan tan tan 24
ABAD
1tan 2 63,4º
90º
190º tan 2 26,6º
63,4º 26,6º
63,4º 26,6º
4 1tan tan tan8 2
ADAB
2 2 2 2 22 28 4 80 BD AB AD BD BD0BD 80 4 5 BD
4 5sin sin sin54 5
ADBD
8 2 2 5cos cos cos cos54 5 5
ABBD
1 5tan , sin2 5
2 5cos
5
1 5tan , sin2 5
2 5cos
5
5.2.
5.3.
6.1. Pela fórmula fundamental da trigonometria:
Como é a amplitude de um ângulo agudo,
.
Por outro lado, , pelo que:
Resposta: 6.2. Pela fórmula fundamental da trigonometria:
Como é a amplitude de um ângulo agudo,
.
Por outro lado, , ou seja:
Assim:
Resposta: 6.3. Pela fórmula fundamental da trigonometria:
Portanto:
Como é a amplitude de um ângulo agudo,
.
Por outro lado, , ou seja:
Assim:
Resposta: 7.1. O ângulo CBA é inscrito na circunferência, pelo que
Resposta: 13º
7.2. O triângulo [ABC] é retângulo em C, uma vez que está inscrito numa semicircunferência e um dos seus lados é um diâmetro dessa circunferência.Portanto:
sendo r a medida do comprimento do raio da circunferência.
Resposta: 1,5
8.1. Resposta: 4
8.2. Resposta: 1
8.3.
Página 4
Proposta de resoluções
22 2 23 9 9cos 1 cos 1 cos 1
5 25 25
2 16 4 4cos cos cos25 5 5
4cos5
335tan tan4 4
5
4 3 31cos tan5 4 20
3120
22 2 22 4 4sin 1 sin 1 sin 1
3 9 9
2 5 5 5sin sin sin
9 3 3
5sin3
sintancos
553tan tan2 2
3
5 5 2 5 3 5 5sin tan3 2 6 6 6
56
2 22
2 2 2 2
sin cos 1 1tan 1cos cos cos cos
2 22 2
1 1 12 1 5 coscos cos 5
1 1cos cos5 5
5 5cos cos
5 5
5cos5
sintancos
sin 2 52 sin55
5
2 5 5 4 5 3 5 52sin 3cos 2 35 5 5 5 5
55
26º 13º2 2BCCAB CAB CAB
3cos cos 13º
2AC
CABrAB
3 1,5 1,5cos 13º cos 13º 1,52 cos 13º
r rr r
2
2 2 211 sin30º 1 2 1 1 2 42
32 122sin 60º tan 45º 3 1 1
1 tan 60º 1 3 1 3
2
1 3sin30º 2cos30º 22 2
21 1 133 3 3 3
2 4 4
Resposta:
8.4.
Resposta: 9.1. Tendo em consideração a figura abaixo:
Resposta: 3,22
9.2. Tendo em consideração a figura abaixo:
Portanto, . Resposta: 4,80
10. . Logo
Sendo M o ponto médio de [AB]:
Por outro lado:
Assim:Área [ABCDE] = 5 × Área [ABO] =
=
= =
Portanto, a área do pentágono regular [ABCDE] é aproximadamente igual a 152,2 unidades quadradas.
Resposta: 152,2
Página 5
Proposta de resoluções
13 34
2 2
2 3 3 3 27tan 60º cos30º 3
2 2 4
274
tan 32º
tan12º10
xyxy
tan32º
10 tan12ºx yx y
10 tan12º tan32º
10 tan12º
y y
x y
10tan12º tan12º tan32º
10 tan12ºy y
x y
tan 32º tan12º 10tan12º
10 tan12ºy yx y
tan32º tan12º 10 tan12º
10 tan12º
y
x y
10tan12º5,16tan 32º tan12º
10tan12º 3,2210 tan12ºtan 32º tan12º
yyxx
2,82,8tan 24ºtan 24º
tan 24º 4,54,5 tan 24º
yyx x
yy
2,8 2,84,5tan 24º tan 24º tan 24º
4,5 4,5tan 24º tan 24º
xy
x xy y
2,84,5 tan 24º
tan 24º
4,5tan 24º
4,80
4,5tan 24º
x
xy
xxy
4,80x
360º 72º5
AB
cos 36º cos 36º 8cos 36º8
OM OM OMOB
sin 36º sin 36º 8sin 36º8
MB MB
MBOB
25 52 2
AB OM MB OM
5 MB OM5 8sin36º 8cos36º
320sin36ºcos36º 152,2
Página 6
Proposta de resoluções
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