metode simpleks diperbaiki revised simplex method simpleks yang diperbaiki •metoda simplex...
Post on 11-May-2018
324 Views
Preview:
TRANSCRIPT
4/7/2008
1
TI2231 Penelitian Operasional I 1
Metode Simpleks Diperbaiki
(Revised Simplex Method)
Kuliah 05
TI2231 Penelitian Operasional I 2
Materi Bahasan
① Dasar-dasar aljabar dari metode simpleks
② Metode simpleks yang diperbaiki
4/7/2008
2
TI2231 Penelitian Operasional I 3
① Dasar-dasar Aljabar Metode Simpleks
TI2231 Penelitian Operasional I 4
Dasar-dasar Metode Simpleks
• Dalam PL, ruang solusi layak (feasible solution
space) dikatakan membentuk himpunan konveks
(convex set) jika segmen garis yang menghubungkan
dua titik yang layak terletak dalam himpunan tersebut.
• Suatu titik ekstrem (extreme point) dari himpunan
konveks adalah titik layak yang tidak dapat terletak
pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua
titik sebarang yang layak dalam himpunan tersebut.
• Titik ekstrem sama dengan titik pojok (corner point).
4/7/2008
3
TI2231 Penelitian Operasional I 5
Convex dan Nonconvex Set
x’
x”
x”
x’
Convex set Nonconvex set
TI2231 Penelitian Operasional I 6
Convex Combination
• Dalam solusi PL secara grafis, telah
ditunjukkan bahwa solusi optimal selalu
berkaitan dengan titik ekstrem (pojok) yang
layak dari ruang solusi.
• Tiap titik yang layak dapat ditentukan sebagai
fungsi dari titik-titik ekstrem.
4/7/2008
4
TI2231 Penelitian Operasional I 7
• Diberikan titik-titik ekstrem x1, x2, x3, x4, x5
dan x6 titik yang layak x dapat dinyatakan
sebagai kombinasi konveks (convex
combination) dari titik-titik ekstrem
menggunakan
dimana
665544332211 xxxxxxx
1654321 0,,,,, 654321
TI2231 Penelitian Operasional I 8
• Notasi matriks dari PL
x : vektor n dari variabel
A : matriks (m x n) dari koefisien pembatas
c : vektor n dari koefisien fungsi tujuan
• Masalah PL
cxz (Min)Max
bAx
0x
Dari Titik-Titik Ekstrem ke Solusi Basis
4/7/2008
5
TI2231 Penelitian Operasional I 9
• Solusi basis dari Ax = b ditentukan dengan
menetapkan n – m variabel sama dengan 0 dan
memecahkan m persamaan dalam m variabel yang tak
diketahui.
• Hubungan antara definisi geometris dari titik-titik
ekstrem dan definisi aljabar dari solusi basis:
Titik-titik ekstrem {x| Ax = b} Solusi basis Ax = b
• Dengan menetapkan pembatas tak negatif x 0,
TI2231 Penelitian Operasional I 10
• Sistem Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk vektor
• Vektor Pj adalah kolom ke j dari A.
• Himpunan bagian dari m vektor dikatakan membentuk suatu basis B jika dan hanya jika m vektor adalah independen linier.
• Matriks B adalah nonsingular.
• Jika xB adalah himpunan dari m variabel yang berkaitan dengan vektor nonsingular B, maka xBharus merupakan solusi basis.
n
j
j x1
bP
4/7/2008
6
TI2231 Penelitian Operasional I 11
• Dalam kasus ini
• Diberikan B-1 adalah invers dari B, solusi basis
dinyatakan dengan
• Jika B-1b 0, maka xB adalah layak.
bBx B
bBx1B
TI2231 Penelitian Operasional I 12
• Definisi mengasumsikan bahwa terdapat n – m
variabel sebagai nonbasis pada level 0.
• Sistem dengan m persamaan dan n variabel tak
diketahui, jumlah maksimum dari solusi basis (layak
dan tak layak) adalah
!!
!
nmm
nCm
n
4/7/2008
7
TI2231 Penelitian Operasional I 13
Tentukan dan klasifikasikan (sebagai layak dan tak layak)
dari semua solusi basis untuk sistem persamaan linier
berikut:
2
4
222
131
3
2
1
x
x
x
TI2231 Penelitian Operasional I 14
2
4
22
31
2
1
x
x
4/3
4/7
2
4
8/14/1
8/34/1
2
1
x
x
2
4
22
13
3
2
x
x
4/7
4/3
2
4
8/34/1
8/14/1
3
2
x
x
(P1, P2)
(P2, P3)
(P1, P3) Bukan basis
Layak
Tak layak
B BxB = b Solusi Status
4/7/2008
8
TI2231 Penelitian Operasional I 15
a2
a1
bP1
P2P3
2
4
2
1
2
3
2
1321 xxx
TI2231 Penelitian Operasional I 16
Tabel Simpleks dalam Bentuk Matriks (1)
• Misalkan diberikan PL sebagai berikut:
• Misalkan B adalah basis layak dari sistem Ax = b, x 0.
• Misalkan xB berkaitan dengan himpunan variabel basis dengan cB adalah vektor koefisien fungsi tujuannya.
cxzMax
bAx
0x
4/7/2008
9
TI2231 Penelitian Operasional I 17
BxjPB
1
jBjc PBc1
bB1
bBc1
B
Basis xj Solusi
• Diberikan Pj adalah vektor ke j dari A, kolom tabel
simpleks yang berkaitan dengan variabel xj dapat
dinyatakan dengan
Tabel Simpleks dalam Bentuk Matriks (2)
TI2231 Penelitian Operasional I 18
② Metode Simpleks yang Diperbaiki
4/7/2008
10
TI2231 Penelitian Operasional I 19
Metoda Simpleks yang Diperbaiki
• Metoda simplex melakukan perhitungan pada
seluruh tabel pada tiap iterasi.
• Padahal, informasi yang dibutuhkan hanya:
– Koefisien fungsi tujuan relatif
– Kolom yang berkaitan dengan variabel yang
masuk basis (kolom pivot)
– Variabel basis saat ini dan nilainya (konstanta ruas
kanan)
TI2231 Penelitian Operasional I 20
Masalah PL
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 6
2x1 + x2 8
– x1 + x2 1
x2 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
4/7/2008
11
TI2231 Penelitian Operasional I 21
Rumusan Bentuk Baku
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 + x3 = 6
2x1 + x2 + x4 = 8
– x1 + x2 + x5 = 1
x2 + x6 = 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0
TI2231 Penelitian Operasional I 22
Solusi Basis Layak Awal (1)
0
1
2
1
1P
1
1
1
2
2P
0
0
0
1
3P
0
0
1
0
4P
0
1
0
0
5P
1
0
0
0
6P
2
1
8
6
b
4/7/2008
12
TI2231 Penelitian Operasional I 23
Solusi Basis Layak Awal (2)
IPPPPB
1000
0100
0010
0001
6543
1000
0100
0010
0001
1IB
xB = (x3, x4, x5, x6)
Maka,
2
1
8
6
1bBb
0,0,0,0Bc
TI2231 Penelitian Operasional I 24
Pemeriksaan optimalitas (1)
Pengali simplex (simplex multiplier):
0,0,0,0
1000
0100
0010
0001
0,0,0,0,,, 1
6543
Bcπ B
4/7/2008
13
TI2231 Penelitian Operasional I 25
Pemeriksaan optimalitas (2)
Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis:
3
0
1
2
1
0,0,0,03111
πPcc
2
0
1
2
1
0,0,0,02222
πPcc
Karena terdapat maka solusi belum optimal.0jc
TI2231 Penelitian Operasional I 26
Penentuan variabel yang masuk basis
Variabel yang masuk basis: x1 karena mempunyai
koefisien fungsi tujuan relatif paling positif
4/7/2008
14
TI2231 Penelitian Operasional I 27
Penentuan variabel yang keluar basis
0
1
2
1
0
1
2
1
1000
0100
0010
0001
1
1
1 PBP
4,,2
8,
1
6min
bersesuaian dengan variabel x4
2
1
8
6
2
1
8
6
1000
0100
0010
0001
1bBb
TI2231 Penelitian Operasional I 28
Penentuan basis baru
01000
10100
20010
10001
01000
0012/10
1002/10
0002/11
1000
012/10
002/10
002/11
1B
6513 ,,, xxxxB x 0,0,3,0Bc
4/7/2008
15
TI2231 Penelitian Operasional I 29
Solusi baru
6513 ,,, xxxxB x 0,0,3,0Bc
2
5
4
2
2
1
8
6
1000
012/10
002/10
00211
1
6
5
1
2
bBbxB
x
x
x
x
12
2
1
8
6
1000
012/10
00210
00211
0,0,3,01
bBcBZ
TI2231 Penelitian Operasional I 30
Pemeriksaan optimalitas (1)
Pengali simplex (simplex multiplier):
0,0,2/3,0
1000
012/10
002/10
002/11
0,0,3,0,,, 1
6513
Bcπ B
4/7/2008
16
TI2231 Penelitian Operasional I 31
Pemeriksaan optimalitas (2)
Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis:
2/1
1
1
1
2
0,0,2/3,02222
πPcc
2/3
0
0
1
0
0,0,2/3,00444
πPcc
Karena terdapat maka solusi belum optimal.0jc
TI2231 Penelitian Operasional I 32
Penentuan variabel yang masuk basis
Variabel yang masuk basis: x2 karena mempunyai
koefisien fungsi tujuan relatif paling positif
4/7/2008
17
TI2231 Penelitian Operasional I 33
Penentuan variabel yang keluar basis
1
2/3
2/1
2/3
1
1
1
2
1000
012/10
002/10
002/11
2
1
2 PBP
3/41
2,
2/3
5,
2/1
4,
2/3
2min
bersesuaian dengan variabel x3
2
5
4
2
2
1
8
6
1000
012/10
002/10
002/11
1bBb
TI2231 Penelitian Operasional I 34
Penentuan basis baru
11000
2301210
2100210
2300211
103132
0111
003231
003132
1B
6512 ,,, xxxxB x 0,0,3,2Bc
0103132
00111
0003231
1003132
4/7/2008
18
TI2231 Penelitian Operasional I 35
Solusi baru
6512 ,,, xxxxB x 0,0,3,2Bc
32
3
310
34
2
1
8
6
103132
0111
003231
003132
1
6
5
1
2
bBbxB
x
x
x
x
338
2
1
8
6
103132
0111
003231
003132
0,0,3,21
bBcBZ
TI2231 Penelitian Operasional I 36
Pemeriksaan optimalitas (1)
Pengali simplex (simplex multiplier):
0,0,3/4,3/1
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
0,0,3,2,,, 1
6512
Bcπ B
4/7/2008
19
TI2231 Penelitian Operasional I 37
Pemeriksaan optimalitas (2)
Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis:
3/1
0
0
0
1
0,0,3/4,3/10333
πPcc
3/4
0
0
1
0
0,0,3/4,3/10444
πPcc
Karena semua maka solusi optimal.0jc
TI2231 Penelitian Operasional I 38
Solusi optimal
3/2
3
3/10
3/4
2
1
8
6
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
1
6
5
1
2
bBbx
x
x
x
x
B
3/38
3/2
3
3/10
3/4
0,0,3,2
bcBZ
4/7/2008
20
TI2231 Penelitian Operasional I 39
Keuntungan Metode Simpleks yang Diperbaiki
• Mengurangi waktu komputasi
• Menghemat memori komputer
• Mempermudah pemahaman untuk topik
lanjutan dari pemrograman linier (teori
dualitas, analisis sensitivitas)
TI2231 Penelitian Operasional I 40
Hubungan Tabel Simpleks dengan Matriks B-1 (Iterasi 0)
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 1 2 1 0 0 0 6
0 x4 2 1 0 1 0 0 8
0 x5 -1 1 0 0 1 0 1
0 x6 0 1 0 0 0 1 2
3 2 0 0 0 0 Z = 0
Basis
cj
c Baris
4/7/2008
21
TI2231 Penelitian Operasional I 41
Hubungan Tabel Simpleks dengan Matriks B-1 (Iterasi 1)
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
3 x1 1 1/2 0 1/2 0 0 4
0 x5 0 3/2 0 1/2 1 0 5
0 x6 0 1 0 0 0 1 2
0 1/2 0 -3/2 0 0 Z = 12
Basis
cj
c Baris
TI2231 Penelitian Operasional I 42
Hubungan Tabel Simpleks dengan Matriks B-1 (Iterasi 2)
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 122/3
Basis
cj
c Baris
top related