método matricial de la rigidez
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Método matricial de la rigidezEl método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de
barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness
method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los
desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computerizado de cualquier
estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en
estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos
mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de
los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación
matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se
desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados
resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo
de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).
El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores
consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones
simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas
ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla.
Índice
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1 Introducción
2 Fundamento teórico
3 Descripción del método
o 3.1 Matrices de rigidez elementales
3.1.1 Barra recta bidimensional de nudos rígidos
3.1.2 Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
3.1.3 Barra recta bidimensional con dos nudos articulados
3.1.4 Arco circular bidimensional de nudos rígidos
3.1.5 Barra recta tridimensional de nudos rígidos
o 3.2 Fuerzas nodales
3.2.1 Ejemplo
o 3.3 Cálculo de desplazamientos
o 3.4 Cálculo de reacciones
o 3.5 Cálculo de esfuerzos
o 3.6 Análisis dinámico
4 Referencia
o 4.1 Bibliografía
o 4.2 Enlaces externos
o 4.3 Programas
Introducción[editar · editar código]
El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de
rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos,
con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes
de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de
rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura,
mediante la siguiente ecuación:
(1)
Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la
estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los
desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de la
estructura.
La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez
mediante la relación:
Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:
Fundamento teórico[editar · editar código]
En general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un
número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un
sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus puntos.
Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de parámetros, y por
tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito de grados de libertad.
Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el
área de su sección transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamadacurva
elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto, fijados
los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica, queda completamente
determinada su forma. Así, para una estructura formada por barras largas elásticas, fijados los
desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha
estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente
mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un número
finito de ecuaciones algebráicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema
matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de
las fuerzas exteriores.
Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones
internas y deformaciones involucra la resolución de complejos sistemas de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.
Descripción del método[editar · editar código]
El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez,
llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo
(articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del
material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del
conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en
cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona
los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.
Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas
nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas
fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o
enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).
Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El
número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a
3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema
siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:
Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen
desplazamientos incógnita.
Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y
substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones
incógnita.
Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el
subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales
equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a
partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus
tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
Matrices de rigidez elementales[editar · editar código]
Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra
individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:
1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-
articulada, barra biarticulada).
2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos
de inercia de la sección) y las características geométricas generales como la longitud de la
barra, curvatura, etc.
3. El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas
bidimensionales (planos) o tridimensionales.
La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra
con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la
deformada de la barra).
Barra recta bidimensional de nudos rígidos[editar · editar código]
Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras
después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aún
estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar
respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones
rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida
rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su
comportamiento viene dada por:
Donde:
son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia).
la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).
Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más
abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:
Donde: es la es esbeltez mecánica característica.
Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro
rígido[editar · editar código]
En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia
el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la
sección anterior, viene dada por:
Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría que
permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:
Barra recta bidimensional con dos nudos articulados[editar · editar
código]
Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo largo de
su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes diferentes para
los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma
notación que en la sección anterior, viene dada por:
Arco circular bidimensional de nudos rígidos[editar · editar código]
Barra recta tridimensional de nudos rígidos[editar · editar código]
Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3
de orientación), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12.
Además una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también flexión y esfuerzo
cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de comportamiento estructural es
lo que hace que una barra tridimensional requiera más grados de libertad y un matriz de rigidez
más compleja para describir su comportamiento, esta matriz está compuesta de 3 submatrices:
Donde las submatrices son:
Y las magntiudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:
son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal,
momentos de área en las direcciones y y z y módulo de torsión, respectivamente.
la el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.
son signos relativos.
Fuerzas nodales[editar · editar código]
Para cada barra se define un vector elemental de fuerzas nodales
generalizadas, que sea estáticamente equivalente, a las fuerzas
aplicadas sobre la barra. El tamaño del vector de fuerzas nodales
depende de la dimensionalidad de la barra:
Las componentes de este vector conforman un sistema de
fuerzas y momentos de fuerza, tal que la fuerza resultante y el
momento resultante de las mismas coinciden con la fuerza y
momento del sistema de fuerzas original sobre la barra.
Ejemplo[editar · editar código]
Ejemplo de carga sobre una viga, P es una carga puntual,
y q representa una carga por unidad de longitud.
Para las cargas mostradas en la figura adjunta sobre una barra
o viga bidimensional el vector de fuerzas nodales consiste en
dos fuerzas verticales (FVd, FVi) aplicadas en cada uno de los
dos extremos, dos fuerzas horizontales (FHd, FHi) aplicadas en
cada uno de los extremos y dos momentos de fuerza (Md, Mi)
aplicados en cada uno de los extremos. Esas seis
componentes forman el vector de fuerzas nodales. Es sencillo
comprobar que la fuerza y el momento resultantes de estas
seis componentes son estáticamente equivalentes al sistema
de fuerzas original formado por P y q si se toman los siguientes
valores:
Cálculo de desplazamientos[editar · editar
código]
Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector
de fuerzas nodales global se construye un sistema de
ecuaciones como (1). Este sistema tiene la propiedad de
que puede descomponerse en dos subsistemas de
ecuaciones:
1. El primero de estos sistemas relaciona
únicamente los desplazamientos incógnita con
algunas de las componentes del vector de
fuerzas nodales global y constituye siempre
un sistema compatible determinado
2. El segundo subsistema contiene también las
reacciones incógnita y una vez resuelto el primer
subsistema es de resolución trivial.
Resolviendo el primer subsistema compatible determinado,
se conocen los desplazamientos incógnita de todos los
nudos de la estructura. Insertando la solución del primer
subsistema en el segundo resultan las reacciones.
Podemos ilustrar el cálculo de desplazamientos con un
ejemplo. Por ejemplo si consideramos la flexión en el plano
XY de la viga recta de la sección anterior considerando
que se trata de una viga biarticulada unida en sus
extremos a dos rótulas fijas tendríamos que el sistema
general (1) tendría la forma para este caso particular:
Las filas 3 y 6 contienen los giros (desplazamientos)
incógnita de los extremos de la viga y tomadas en conjunto
conforman el primer subsistema para los desplazamientos.
Ignorando los términos nulos y reescrito en forma matricial
el subsistema de ecuaciones para los desplazamientos es
simplemente:
Cuya solución nos da el valor del ángulo girado por el
extremo derecho e izquierdo de la viga bajo esas cargas:
Una vez conocidos estos valores e insertados en la matriz
las filas 1, 2, 4 y 5 nos proporcionan en valor de las cuatro
reacciones hiperestáticas desconocidas previamente.
Cálculo de reacciones[editar · editar
código]
Una vez calculados los desplazamientos resolviendo un
sistema de ecuaciones, el cálculo de las reacciones es
sencillo. A partir de la ecuación (1) tenemos simplemente:
Tomando el mismo ejemplo que en la última sección el
cálculo de reacciones sobre la viga biarticulada con
carga P y q sería:
Introduciendo los valores de los giros en los extremos y
multiplicando la matriz de rigidez por el vector de
desplazamientos se tiene finalmente que:
Esto completa el cálculo de reacciones.
Cálculo de esfuerzos[editar · editar código]
El cálculo de esfuerzos se realiza examinando en
coordenadas locales de las barras el esfuerzo axial,
los esfuerzos cortantes, los momentos flectores y
el momento torsor generados en cada una de las barras,
conocidos los desplazamientos de todos los nudos de la
estructura. Esto puede hacerse usando las matrices de
rigidez expresadas en coordenadas locales y los
desplazamientos nodales expresados también en
coordenadas locales.
Análisis dinámico[editar · editar código]
Artículo principal: Análisis dinámico.
El análisis estático discutido anteriormente puede
generalizarse para encontrar la respuesta dinámica de una
estructura. Para ello se require representar el
comportamiento inercial de la estructura mediante
una matriz de masa , modelizar las fuerzas disipativas
mediante una matriz de amortiguamiento , que junto con
la matriz de rigidez permiten plantear un sistema de
ecuaciones de segundo orden del tipo:
La solución del sistema anterior pasa por un cálculo de las
frecuencias propias y los modos propios. Admitiendo que
las fuerzas disipativas son poco importantes las
frecuencias propias se pueden determinar resolviendo la
siguiente ecuación polinómica en :
Esas magnitudes permiten realizar un análisis modal que
reproduce el comportamiento de la estructura bajo
diferentes tipos de situaciones.
INTRODUCCIÓNEn los métodos matriciales para el cálculo de estructuras tantos hiperestáticos
como elementales siempre hay 2 variables, dependiendo del:
Método de la flexibilidad [2] , siendo las incógnitas las fuerzas, que se basa a
su vez en el método de los desplazamientos (abordado este tema por mi
compañero Lucas Pérez Monge
Método de la rigidez , siendo las incógnitas los desplazamientos. En el que
hay tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos.
Como muestra en un ejemplo la Imagen 1.1
Las barras de una estructura se las relaciona con los desplazamientos que
presentan en los nodos de las estructuras, con las fuerzas exteriores necesarias
para que se produzcan estos desplazamientos. Relacionando esta matriz de
rigidez las fuerzas nodales y desplazamientos sobre los nodos de la estructura a
estudiar, obtenemos la ecuación Imagen 1.2.:
= [3]
Donde:
Fi son las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son los
desplazamientos de la estructura; y di el número de grados de libertad de la
estructura.
La rigidez de una estructura consiste en que no sobrepasen un límite que están
íntimamente ligados con la funcionalidad o estabilidad en la elasticidad lineal de la
pieza a estudiar.
La deformación elástica se expresa también mediante esta matriz de rigidez
mediante la Imagen 1.3:
= · = [4]
Del teorema de Maxwell-Betti [5] se deduce que la matriz de rigidez debe ser
simétrica en el que deduce que:
Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que se
produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la
causa actuase en B. (J. C. Maxwell)
Con lo que interpreta que sólo existe la acción de una fuerza y no un conjunto de
éstas.
Este teorema es aplicable a la matriz de rigidez de una estructura lineal en el
que establece que ésta debe ser simétrica, como muestra en la Imagen 1.4:
[6]
ORIGEN
M. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad o de las fuerzas
para el análisis de estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por L.B. Wehle y
W. Lansing. Levy fue el primero también en proponer el método de la rigidez o
desplazamientos para su análisis estructural, en un artículo publicado en 1953, y
ya estableció las ecuaciones en forma matricial, resolviéndolas mediante el
ordenador. [7]
Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática lineal
en estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis de
estructuras más complejas incluyendo en este análisis el método de los elementos
finitos.
Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores para
los métodos de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este método
resurgió en aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el
comportamiento estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras que
en Ingeniería Estructural necesitaban otros métodos que contrastasen diseños
más complejos, por lo que se ha seguido estudiando este método. El mayor
inconveniente era su gran tiempo en la ejecución de sus cálculos. Pero con la
coincidencia en la misma época de la entrada de los ordenadores (en especial con
la utilización del programa informático MATLAB u Octave, éste último con licencia
libre) facilitaron la resolución de estas ecuaciones de forma rápida y directa.
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULOEl procedimiento de cálculo, según la demostración obtenida de Roberto Aguiar
Falconí. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS[8] para hallar
la matriz de rigidez de una estructura K se consigue mediante los siguientes
pasos:
1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.
2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos afiliado a
la deformada elemental.
3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en
cargas internas P a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la
ecuación matricial: P= k•p
4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la
estructura.
5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.
6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el vector
de las cargas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.
Ahora veremos (Imagen 3.1) un ejemplo[9] donde va siguiendo estos pasos:
Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las
siguientes ecuaciones:
-
-
La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado es:
=
Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial
Donde es de la siguiente forma:
=
De donde:
Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la
matriz de rigidez de cada elemento por su vector de deformaciones, obteniéndose:
Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:
=
Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la
matriz de rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo
resultado final es el siguiente:
=
MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICASEn el estudio de una estructura por el método de la rigidez[10] se establecen tres
conjuntos de ecuaciones que deben cumplir.
Ecuaciones de compatibilidad
Ecuaciones constitutivas
Ecuaciones de equilibrio
Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas
mediante matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas
conclusiones diferenciándola con la rigidez ya que, se calcula mediante un campo
vectorial y matricial de desplazamientos.
Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de grados
de libertad pudiéndose calcular mediante un numero definido con el mismo
número de ecuaciones que de incógnitas en forma algebraica.
La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz de
rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los
desplazamientos con las cargas que actúan (Imagen 4.1).
= [11]
Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra será
de orden 4 como muestra la Imagen 4.2.
=
y los vectores de carga y de movimientos (Imagen 4.3):
[12]
Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como
muestra en la Imagen 4.4.
=
[
13]
Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados debido
a los g.d.l. resultndoa la siguiente matriz simplificada (Imagen 4.5)
= [14]
Este método dependerá de una serie de condiciones que se designará a cada
barra elástica de la estructura a estudiar, estos factores dependen [15] de:
las condiciones de enlace en su extremo (articulación, nudo rígido, etc.)
la forma de la barra: si es recta, curvada, etc.
Las constantes elásticas del material de la barra, ya sea longitudinal o
transversal.
También podremos decir que a partir de las fuerzas aplicadas sobre la barra se
forma el vector de fuerza que equivale a las acciones exteriores sobre la
estructura. Las únicas incógnitas que nos encontraremos serán las posibles
reacciones sobre la estructura en sus apoyos. En el que con todos estos datos
construimos un sistema lineal de ecuaciones para los desplazamientos que se
produzcan y las incógnitas de sus apoyos. Este número de desplazamientos y
reacciones incógnitas dependerán del número de nodos; siendo:
Si es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un
problema tridimensional. Este sistema se divide en dos subsistemas de
ecuaciones que cumplen:
Subsistema 1: Agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original
que sólo tiene desplazamientos como incógnita.
Subsistema 2: Agrupa al resto de ecuaciones, en el que resuelto el
subsistema 1 y sustituido en el subsistema 2 obtendremos el resultado de
las reacciones incógnita.
En el que finalmente una vez obtenidas las reacciones, fuerzas nodales
equivalentes y desplazamientos; podemos conocer los esfuerzos que
pasa en cualquier punto de la estructura, sus tensiones máximas y
dimensionar las secciones de la estructura.
MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL
Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:
1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada,
barra empotrada-articulada, barra biarticulada).
2. Las características de la sección transversal de la barra: área,
momentos de inercia de la sección y las características geométricas
(longitud de la barra, curvatura, etc.)
3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son
problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. Esto relaciona a
su vez la deformada de la barra al relacionar las fuerzas nodales
equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros en
sus extremos.
Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras
dependen directamente del tipo de estructura que se va a resolver:
a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo
b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.
En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.
c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el
plano del pórtico y dos traslaciones), y como acciones en el extremo de
una barra existen tres acciones (una fuerza axial, un esfuerzo de corte y
un momento flector).
d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y
tres rotaciones, y como acciones en el extremo de una barra existen
cuatro acciones (una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos
flectores y un momento torsor).
e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento
normal al plano de la grilla y dos rotaciones alrededor de los ejes
contenidos en el plano). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos
(un torsor y un flector).
En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de la
dimensionalidad de la barra como muestra en la Imagen 4.1.1[16]:
:
En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una
orientación arbitraria α, que conviertes los vectores y matrices entre los
sistemas de referencia absoluto y local, en los distintos tipos de
estructuras como en:
Reticulado plano en una barra : Imagen 4.1.2:
= [17]
Vigas : al ser horizontales no hace falta su transformación mediante la
matriz de rotación.
Pórtico plano en una barra : Imagen 4.1.3
= [18]
Entramado o parrilla Imagen 4.1.4:
= [19]
Barra recta bidimensional de nudos rígidos
Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el
ángulo formado por las dos barras después de la deformación no varía
con el ángulo que formaba antes de su deformación. Este conjunto
permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que
mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de barras
unidas rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental
viene dado como muestra en la Imagen
4.1.1.1http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/skins/common/
images/button_math.png:
= [20]
Donde:
L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de
inercia).
E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).
Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada más
abreviada, introducimos la esbeltez mecánica característica, para reducir
su matriz:
= =
Donde: es la esbeltez mecánica característica.
= [21]
Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo de
la barra (f) con los desplazamientos nodales (d).
Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin transmitir
esfuerzos al nudo rígido. En este caso la matriz de rigidez, viene dada
por (Imagen 4.1.2.1 y 3.1.2.2):
=
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