micro 3a(profit maximization) 2013 - 京都大学...1 b.4. 利潤最大化問題 b.4.1....
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1
§B.4. 利潤最大化問題§B.4.1. 利潤最大化問題と利潤関数
短期利潤関数:総収入
固定要素費用可変要素費用
総生産費用
s.t. F (xv
, y; x̄f
) = 0:生産技術制約
(p, w, xf
) ⇥ maxxv,y0
p · y − [wv
· xv
+ wf
· xf
]
(p, w) ⇥ maxx,y0
p · y − w · x s.t. F (x, y) = 0
長期利潤関数:
2
L(x, y,) = p · y w · x F (x, y)ラグランジュ関数:
F (x, y) = 0x
y1
y2
例:1種類の生産要素・2種類の生産財の場合:
投入・産出が明確に区別できる場合
}
3
F (x⇤, y
⇤) 0
⇤F (x⇤, y⇤) = 0
[w − ⇤⇥x
F (x⇤, y⇤)] · x⇤ = 0
[p− ⇤⇥y
F (x⇤, y⇤)] · y⇤ = 0
p ⇤ry
F (x⇤, y⇤)
1階条件:
w ≥ ⇤rx
F (x⇤, y⇤)
2階条件:
v ·D2F (x⇤
, y
⇤)v 0 ⇤v ⇥ R
m+n :(x*,y*)周辺でFが凹関数
4
pi
pj
=F (x⇤, y⇤)/y
i
F (x⇤, y⇤)/yj
pi
wj
=F (x⇤, y⇤)/y
i
F (x⇤, y⇤)/xj
wi
wj
=F (x⇤, y⇤)/x
i
F (x⇤, y⇤)/xj
内点解:
λ⇤ =pi
⇥F (x⇤, y⇤)/⇥yi
= wj
⇥F (x⇤, y⇤)/⇥xi
:限界生産物価値の一致
:限界生産物価値と生産財価格が整合
:生産財価値が同等
5
(p, w) ⇥ maxx0
p · f(x)− w · x
単一生産財の場合:
y = f(x)無制約化
1階条件:
v ·D2f(x⇤)v 0 ⇤v ⇥ R
n
p ·⇥f(x⇤) ≤ w
[p ·⇥f(x⇤)− w] · x⇤ = 0
2階条件:
F (x, y) ⌘ y − f(x) 0
12
§B.4.2. 供給関数
生産財が1種類の場合の(長期)利潤最大化問題:maxy0
py C(y;w)
1階(内点解)条件:C
0y
(y⇤;w) = p
2階条件: C
00y
(y⇤;w) > 0 i.e., MC
0y
(y⇤;w) > 0
14
y
O
w2x2/pBE
(i.e., ⇡ = 0)
y = f(x1, x2)
x1
損益分岐価格:短期利潤=固定費
w1/pBE
y =w2x2
p
BE
+w1
p
BE
x1
x
BE
1
y
BE
pf
01(x
BE
1 , x2) = w1
15
y
O
y = f(x1, x2)
x1
操業停止価格:短期利潤=0
(i.e., = w2x2)y =w1
p
SD
x1
w1/pSD
w1/pBE
y
SD
x
SD
1
⇒ 固定費を回収できない
pf
01(x
SD
1 , x2) = w1
p
p
MC
y(p) y
MCAC
pBEpSD
y'(p)
AC
AVC
16
損益分岐価格:
生産中止価格:
限界・平均費用と利潤最大化
p > MC(y;w)
p = MC(y⇤;w)
y
⇤
投入要素が1種類の場合:
17
s(p, w) =
8<
:
0 if p < p
SD
{0, y(p)} if p = p
SD
y(p) if p > p
SD
定義B.39(供給関数)
pMC
y
MCAC
pSD
AVCs(p, w)
24
§B.4.3. 利潤関数と要素需要関数の性質
定理B.33(価格に対する反応)
w0 wp0 ≥ p
) (p0, w0) ≥ (p, w)
(p0, w0) ⇥ p0 · y0 − w0 · x0
⇤ p0 · y − w0 · x⇤ p · y − w · x [* p0 ⇤ p]
= (p, w)
証明:
x 2 d(p, w), y 2 s(p, w)x
0 2 d(p0, w0), y0 2 s(p0, w0)
)
等号:端点解を含む場合
25
定理B.34(1次同次性)
(tp, tw) = t(p, w) 8t ≥ 0
x 2 d(p, w)y 2 s(p, w)
) (p, w) ⇥ p · y − w · x ⇤ p · y0 − w · x0 ⇧(x0, y0) ⌅ Y
両辺に t かける
t(p · y − w · x) ⇥ t(p · y0 − w · x0) ⇤t ⇥ 0
) (tp, tw) = tp · y − tw · x ⇥ t(p, w)
証明:
tp · y − tw · x ⇥ tp · y0 − tw · x0 ⇤t ⇥ 0
26
定理B.35(価格に関する凸性)
(p00, w00) ⌘ t(p, w) + (1− t)(p0, w0), t 2 [0, 1]
8(p, w), (p0, w0) > 0
(p00, w00) t(p, w) + (1− t)(p0, w0)
証明:
(p00, w00) ⇥ [tp+ (1− t)p0] · y00 − [tw + (1− t)w0] · x00
= t (p · y00 − w · x00)| {z }(p,w)
+(1− t) (p0 · y00 − w0 · x00)| {z }(p0,w0)
⇤ t(p, w) + (1− t)(p0, w0)
27
定義B.42(等利潤曲線)
�(p, w) Rm+n
+ |(p, w) =
利潤水準 の下での等利潤曲線:⇡
生産関数・利潤関数間の双対性
(x,y)が最適投入産出量となる価格(p,w)
最大化利潤水準: ⇡
生産関数 等利潤曲線(利潤関数)価格(p,w)の下で最適となる投入産出量(x,y)
p
w
x
y
x*
B
A
y − f(x)
w*y*
x*/y*
w*/p*
π = py
π = p*y − w*x
π /p*
π = py* − wx*
πy*
p*
π −p*y*=wx
28
① 生産関数を描く② 利潤水準を設定する
④ 点Aが最適となる価格比 → w*
③ 生産関数上の投入産出ベクトルを決める: 利潤最大化 → p*
⑤ 価格平面の等利潤線切片確定
⑥ 傾きx*/y*の等利潤線を描く
⑦ (x*,y*)が最適生産点となる価格(p*,w*)
29
p
w
x
y
x*
w'
B'
B
x'A'
A
y − f(x)
w*y*
w'/p'
x*/y*
w*/p*
y'π = py
π = p*y − w*x
π /p'π /p*
π = py* − wx*
π = py' − wx'
x'/y'
p'
πy'
πy*
p*
π −p*y*=wxπ −p'y'=wxπ = p'y − w'x
⑧ 生産関数上の別の投入産出ベクトルを決める
⑨ 価格比の決定
⑩ 切片確定
⑪ 傾き の等利潤線を描くx
0/y
0
⑫ が最適生産点となる価格(x0, y
0) (p0, w0)
30
p
w
x
y
x*
w'
B'
B
x'A'
A
y − f(x)
w*y*
w'/p'
x*/y*
w*/p*
y'
π = p*y − w*x
π /p'π /p*
π = py* − wx* π = py' − wx'x'/y'
p'
πy'
πy*
p*
π = p'y − w'x
(p’,w’)下で(x*,y*)で生産→利潤
(p*,w*)下で(x’,y’)で生産→利潤
∴等利潤曲線上の価格ベクトル・その点を通る(接する)等利潤線上・その他の等利潤線より下方に位置{)
p
w
x
y
x*
w'
B'
B
x'A'
A
y − f(x)
w*y*
w'/p'
x*/y*
w*/p*
y'
π = p*y − w*x
π /p'π /p*
π = py* − wx*
π = py' − wx'
x'/y'
p'
πy'
πy*
p*
π(p,w) = π
π = p'y − w'x
31
∴等利潤曲線:等利潤線の下方包絡線
※ 生産関数の凹性 → 利潤関数の凸性
p
w
x
y
x*
B
A
y − f(x)
y*
x*/y*
w*/p*
π = p*y − w*x
π /p*
π = py* − wx*
πy*
π(p,w) = π
x*/y*
tπ = py* − wx*
tπy*
π(p,w) = tπ
32
1次同次性
t 倍
最適投入産出ベクトルは不動
(p⇤, w⇤)
(tp⇤, tw⇤)
34
π = py' − wx'x'/y'x*/y*
π(p,w) = π
π = py* − wx*
πy'
πy*
p*
π /p'π /p*y*y ww* w'
x*
x'
p'
p
B'
B
A
w*/p*
w'/p'
π = p*y − w*x
y − f(x)
y'
αに漸近
α
π = py
π −p*y*=wxπ −p'y'=wx
x
生産可能集合が非凸な場合
利潤関数は生産関数の凸包の情報のみを持つ
定理B.33-35:生産関数の凹性に依存しない
as p %
35
minp,w>0
(p, w)
s.t. p · y⇤ − w · x⇤ ⇥ ⇤
maxx,y≥0
p
⇤ · y w
⇤ · x
s.t. y − f(x) 0
利潤最大化問題双対問題
x
⇤ ⌘ d(p, w)
y
⇤ ⌘ s(p, w)
⇤ ⇥ p⇤ · y⇤ − w⇤ · x⇤
(w⇤, p
⇤)
(x⇤, y⇤),⇤
f(x) = y
w
⇤/p
⇤
(x⇤, y
⇤)
x
y
⇤ = p⇤ · y w⇤ · x
x
⇤/y
⇤
(w⇤, p
⇤)
w
p
(p, w) = ⇤
⇤ = p · y⇤ w · x⇤
36
定理B.36(ホテリングの補題)⇥
⇥pπ(p, w) = s(p, w)
⇥
⇥wi
π(p, w) = d(p, w)
(p, w) = ps(p, w) C(s(p, w), w)
0p
(p, w) = s(p, w) +⇥p C 0
y
(y⇤;w)⇤
| {z }=0
s0p
(p, w)
証明:
= h(y⇤;w) ⌘ d(p, w)
0wi(p, w) =
⇥p C 0
y
(y⇤;w)⇤
| {z }=0
s0wi(p, w) C 0
wi(y⇤;w)
| {z }
∵シェパードの補題
37
双対問題の1階条件として
L(p, w, µ) = (p, w) + µ(⇤ p · y⇤ + w · x⇤)
0wi(p⇤, w⇤) = −µ⇤x⇤
i
= −x⇤i
⌘ −di
(p, w)
0p
(p⇤, w⇤) = µ⇤y⇤
= y⇤ [* (p⇤, w⇤) ⌘ ⇤ ) µ⇤ ⌘ 1]
⌘ s(p, w)
38
定理B.37(要素需要・供給関数の性質)
(i) 0次同次性
d(p, w) = d(tp, tw)
s(p, w) = s(tp, tw)8t > 0} 利潤関数の1次同次性
ホテリングの補題* }
y = f(x)
y
x
O
y =⇤
p⇤+
w⇤
p⇤x
x
⇤
y
⇤
p
w
O
(p, w) = ⇤
(p, w) = t⇤
p =⇤
y⇤+
x⇤
y⇤w
p =t⇤
y⇤+
x⇤
y⇤w
⇤/y⇤
t⇤/y⇤⇤/p⇤ =t⇤/tp⇤ (w⇤
, p
⇤)
(tw⇤, tp
⇤)
39
(ii)利潤関数の2階連続微分可能性+要素価格に関する凸性
:半正値定符号D2(p, w) 対称
wi
di
(p, w) 0
ps(p, w) 0
供給・要素需要の価格効果:
wj
di
(p, w) =
wi
dj
(p, w)
交叉価格効果の対称性:
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