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Introducción al pensamiento matemáticoUnidad 3. Teoría de conjuntos

Evidencia de aprendizaje. Demostración de un enunciado matemático con conjuntos

Instrucciones: Demuestra el siguiente enunciado matemático.

Sean A, B y C conjuntos.

Demuestre que si:

A = {x ≠ 0 | x es un múltiplo de un número primo}; B = {-100, -99, - 98, …, 0, 1, 2, …, 100} y; C = {-x | x ∈ A}

Entonces

a) A ∪ (B ∪ C) = Zb) Z – (A ∪ B) = C – Bc) A – (B ∪ C) = A – B = A – (A ∩ B)

Donde Z es el conjunto de los números enteros.

Demostración

A = {x ≠ 0 | x es un múltiplo de un número primo}

B = {-100, -99, - 98, …, 0, 1, 2, …, 100}

C = {-x | x ∈ A}

a) A ∪ (B ∪ C) = Z

Por propiedad conmutativa u asociativa tenemos que A∪ (B∪C )=( A∪C )∪B

A∪C=TODOS LOS ENTEROS EXCEPTO {−1,0,1}

Puesto que

C={-2.-3.-4,…}

( A∪C )∪B=Z

Ya que B contiene los elementos {-1,0,1} elementos que faltaban

b) Z – (A ∪ B) = C – B

A∪B= {−100 ,−99 ,…,0,1,2,3,… }

Z−(A∪B )={…,−102 ,−101 }

Z−(A∪B )=C−B

c) A – (B ∪ C) = A – B = A – (A ∩ B)

B∪C={…−2,−1,0,1 ,…,100 }

A−(B∪C )={101,102 ,…}

A−B={101,102 ,… }

( A∩B )={2,3 ,…,100 }

A−(A ∩B )={101,102 }

A−(B∪C )=A−B=A−(A∩B)