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MM442 - Introdução aos SistemasDinâmicos
Segundo semestre de 2020
Ricardo M. Martins
rmiranda@unicamp.br
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 9: Formas normais
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
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Formas normais
A ideia principal da teoria de formas normais é “simplificar” a
expressão do campo vetorial (ou do difeomorfismo) na vizinhança
de um ponto de equiĺıbrio.
Ela permite estudar o campo vetorial sobre a variedade central.
A grande vantagem da teoria de formas normais é o uso de
mudanças de coordenadas polinomiais.
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Formas normais
Dado um campo vetorial
ẋ = X (x)
de classe C∞ e um ponto de equiĺıbrio x0 (junto com algumas
hipóteses de não-degenericidade), efetuando sucessivas mudanças
de coordenadas polinomiais, eliminaremos todos os termos
“desnecessários” da série de Taylor de X ao redor de x0.
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Exemplo
Exemplo: ẋ = εx + f (x), com f : R → R de classe C∞ comf (0) = f ′(0) = 0 e ε ∈ R.
Considere que numa vizinhança de origem temos
f (x) = ax2 + o(|x |3). Assim, a equação terá a forma
ẋ = εx + ax2 + . . . , (1)
onde . . . contém somente termos de ordem superior.
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Exemplo
ẋ = εx + ax2 + . . .
Mudança de coordenadas: x = y + αy2
ε(y + αy2) + a(y + αy2)2 = ẋ = ẏ + 2αy ẏ ,
ou seja,
ẏ =εy + εαy2 + ay2 + . . .
1 + 2αy
= εy + (a− αε)y2 + . . . ,(2)
onde em (2) usamos a expansão em séries de Taylor
∞∑k=0
(−r)k = 11 + r
, |r | < 1.
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Exemplo
ẏ = εy + (a− αε)y2 + . . .
Se ε 6= 0 podemos escolher α = a/ε, obtendo
ẏ = εy + o(y3),
ou seja, eliminamos os termos quadráticos da equação original.
Veremos agora como construir estas mudanças de coordenadas no
caso geral.
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Equação homológica
Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada, f : U ⊂ Rn → Rn de classeC∞ com f (0) = 0 e Df (0) = 0 e considere a equação diferencial
ẋ = Ax + f (x). (3)
Introduzindo a mudança de variáveis
x = y + h(y),
com h : V ⊂ Rn → Rn diferenciávei, com h(0) = 0 e Dh(0) = 0,ficamos com
ẋ = ẏ + Dh(y)ẏ = (Id + Dh(y))ẏ .
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Equação homológica
Usando a expansão
∞∑k=0
(−B)k = (Id + B)−1,
que vale para matrizes quadradas com ||B|| < 1, obtemos
ẏ = (Id + Dh(y))−1ẋ
= (Id + Dh(y))−1(A(y + h(y)) + f (y + h(y)))
= (Id − Dh(y))(Ay + Ah(y) + f (y + h(y)))
(4)
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Equação homológica
Vamos considerar f , h escritas em termo de suas séries de Taylor,
f (x) = f2(x) + f3(x) + . . . ,
h(x) = h2(x) + h3(x) + . . . ,(5)
onde fr , rk ∈ Hnr , o conjunto das funções Rn → Rn em que cadacomponente é um polinômio homogêneo de grau r .
Um elemento de Hnr é uma combinação linear de monômios
vetoriais
xmej = xm11 x
m22 . . . x
mnn ej ,
com m1 + . . .+ mn = r e mj ≥ 0. Note ainda que Hnr é um espaçovetorial de dimensão
dimHnr = n
(n + r − 1
r
).
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Equação homológica
Bbtemos então
ẏ = Ay + [Ah2(y) + f2(y)− Dh2(y)Ay ]
+∞∑k=3
[Ahk(y) + gk(y)− Dhk(y)Ay ],(6)
onde gk depende somente de h2, . . . , hk−1 e f2, . . . , fk−1.
Para eliminarmos os termos quadráticos em (6) basta escolher
h2 ∈ Hn2 tal que
f2(y) = Dh2(y)− Ah2(y). (7)
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Equação homológica
Se mostrarmos que é posśıvel resolver todas as equações
gk(y) = Dhk(y)Ay − Ahk(y), (8)
para k ≥ 3, então será posśıvel linearizar o sistema (6) utilizandomudanças de coordenadas polinomiais (e, portanto, o sistema (3)).
As equações (7) e (8) são chamadas de equações homológicas.
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Operador homológico
Para cada m ≥ 2 e r ∈ N, defina Lr ,nA : Hnr → Hnr como
Lr ,nA (h)(y) = Dh(y)Ay − Ah(y).
O operador Lr ,nA é uma transformação linear. As equações
homológicas podem ser escritas como
L2,nA (h2) = f2, Lk,nA (hk) = gk .
Um monômio w de grau r será eliminado de uma expansão como
(4) se, e só se, estiver na imagem de Lr ,nA .
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Operador homológico
Lema
Se Lr ,nA : Hnr → Hnr for invert́ıvel então a equação diferencial
ẋ = Ax + Xr (x) + o(|x |r+1),
com Xr ∈ Hnr pode ser transformada na equação
ẏ = Ay + o(|y |r+1)
usando uma mudança de coordenadas polinomial da forma
x = y + hr (y)
onde hr (y) = (Lr ,nA )−1(Xr (y)).
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Operador homológico
No caso geral, precisamos estudar condições para a invertibilidade
de Lr ,nA , ou pelo menos entender bem qual é sua imagem, já que os
monômios que não estiverem na imagem não aparecerão na
expressão após a mudança de coordenadas.
Assim, uma boa estratégia seria obter um complemento ortogonal
para a imagem de Lr ,nA em Hnr .
Produto interno usual em Hnr :
〈xmei , x sej〉 = δi ,jδm,sα!.
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Operador homológico
Corolário
Com respeito ao produto interno usual em Hnr temos que (Lr ,nA )∗ =
Lr ,nA∗ . Logo,
Hnr = Lr ,nA (H
nr )⊕ Ker(L
r ,nA∗ ).
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Operador homológico
Teorema (Poincaré-Dulac)
Considere a equação diferencial
ẋ = Ax + f2(x) + . . .+ fm(x) + o(|x |m+1), (9)
com fk ∈ Hnk . Então existe uma mudança de coordenadas polino-mial, da forma x = y + h(y), que transforma o sistema (12) num
sistema da forma
ẏ = Ay + w2(y) + . . .+ wm(y) + o(|y |m+1)
com wk ∈ Ker(Lk,nA∗ ).
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Forma normal de Poincaré-Dulac
A equação diferencial
ẋ = Ax +m∑j=1
Xj(x) + o(|x |m+1)
é dita estar na forma normal de Poincaré-Dulac até ordem m se
Lk,nA∗ (fk) = 0,
para todo k entre 2 e m.
Observação: A escolha de Ker(Lk,nA∗ ) como complemento ortogonal
de Lk,nA (Hnk ) é, de certa forma, particular.
É posśıvel provar versões diferentes do Teorema 1 considerando
outras opções de complementos ortogonais e isto dá origem a
outras formas normais.
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Exemplo
Exemplo: Considere um sistema de equações diferenciais da forma{ẋ = y + F (x , y),
ẏ = G (x , y),(10)
com F ,G de classe C∞, F (0, 0) = G (0, 0) = 0 e
∇F (0, 0) = ∇G (0, 0) = (0, 0).
Vamos construir uma forma normal até ordem 2. Uma base para
H2k é dada por
{xke2, xk−1ye2, . . . , xyk−1e2, yke2, xke1, xk−1ye1, . . . , xyk−1e1, yke1}.
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Exemplo
Seja (p(x , y), q(x , y)) ∈ H2k . Então
Lk,2A∗
(p(x , y)
q(x , y)
)=
(px(x , y) py (x , y)
qx(x , y) qy (x , y)
)(0 0
1 0
)(x
y
)
−
(0 0
1 0
)(p(x , y)
q(x , y)
)
=
(ypy (x , y)
xqy (x , y)− p(x , y)
)
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Exemplo
Em H22 temos a base
{(0, x2), (0, xy), (0, y2), (x2, 0), (xy , 0), (y2, 0)}.
Portanto:
L2,2A∗ (0, x2) = (0, 0)
L2,2A∗ (0, xy) = (0, x2)
L2,2A∗ (0, y2) = (0, 2xy)
L2,2A∗ (x2, 0) = (0,−x2)
L2,2A∗ (xy , 0) = (x2,−xy)
L2,2A∗ (y2, 0) = (2xy ,−y2)
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Exemplo
Portanto, a matriz de L2,2A∗ é dada por
L2,2A∗ =
0 1 0 −1 0 0
0 0 2 0 −1 0
0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0
e seu núcleo é gerado por
{(0, 1, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0, 0)},
ou seja, pelos monômios (x2, xy) e (0, x2).
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Exemplo
Desta forma, (10) é C 2-conjugado ao sistema{ẋ = y + αx2 + . . . ,
ẏ = αxy + βx2 + . . . ,
com α, β ∈ R dependendo do campo original.
É posśıvel provar ainda que a forma normal de (10) até ordem r é
da forma {ẋ = y + x2φ(x),
ẏ = x2ψ(x) + xyφ(x),(11)
com φ, ψ funções C r . Foi demonstrado em 2002 por Zoladek que a
mudança de coordenadas que transforma (10) em (11), no caso de
F ,G anaĺıticas, pode ser tomada anaĺıtica.
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Monômios ressonantes
Um caso em que o cálculo de Ker(Lk,nA∗ ) se torna bem simples é
quando a matriz A é diagonal (neste caso A∗ = A).
Lema
Seja A ∈ Rn×n uma matriz diagonal, com λ = (λ1, . . . , λn) seusautovalores. Então Lr ,nA é invert́ıvel se, e só se,
〈m, λ〉 − λi 6= 0
para todo m = (m1, . . . ,mn) ∈ Nn com m1 + . . .+ mn ≥ 2.
Prova: Vamos calcular a imagem por Lr ,nA de um monômio da base
de Hnr .
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Monômios ressonantes
Lr,nA (xmei ) = D(x
mei )Ax − A(xmei )
= D(0, . . . , 0, xm11 xm22 · · · x
mnn , 0, . . . , 0)(λ1x1, . . . , λnxn)
t
− (0, . . . , 0, λixm11 xm22 · · · x
mnn , 0, . . . , 0)
=
0 0 · · · 0 0...
m1x1
xmm2x2
xm · · · mn−1xn−1
xmmnxn
xm
...
0 0 · · · 0 0
λ1x1...
λixi...
λnxn
− (0, . . . , 0, λixm11 x
m22 · · · x
mnn , 0, . . . , 0)
=
{∑nj=1 λjxj
mjxj
xmei
}− λixmei
=
(〈m, λ〉 − λi
)xmei
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Monômios ressonantes
Assim, os números 〈m, λ〉 − λi são os autovalores de Lr ,nA e dáı Lr ,nA
é invert́ıvel se, e só se, todos eles são diferentes de zero. c.q.d.
Os autovalores de A, λ1, . . . , λn são ditos ressonantes de ordem r
se
λi =n∑
j=1
mjλj
para certos mj ∈ N com∑n
j=1mj = r e algum i ∈ {1, . . . , n}.
A cada relação do tipo λi =∑n
j=1mjλj associamos o monômio
xmei , chamado de monômio ressonante.
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Monômios ressonantes
Com isto, podemos re-enunciar o Teorema 1 da seguinte forma:
Teorema (Poincaré-Dulac)
Uma equação diferencial da forma
ẋ = Ax + f2(x) + . . .+ fm(x) + o(|x |m+1), (12)
com fk ∈ Hnk é Cm-conjugada a uma equação da forma
ẏ = Ay + w(y) + o(|y |m+1),
onde w(y) é formado somente por monômios ressonantes de or-
dem menor ou igual a m.
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Exemplo
Exemplo: Considere o sistema de equações diferenciais{ẋ = x + f (x , y),
ẏ = 2y + g(x , y),(13)
onde p, q são funções C∞, f (0, 0) = g(0, 0) = 0,
∇f (0, 0) = ∇g(0, 0) = (0, 0).
Se λ1 = 1 e λ2 = −2 são os autovalores da parte linear, entãoλ2 = 2λ1 + 0λ2 é a única relação de ressonância existente.
Esta relação está associada ao monômio x2e2.
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Exemplo
Portanto, para todo r , o sistema (13) é C r -conjugado até ordem r
a um sistema da forma{ẋ = x + o(|(x , y)|r+1),ẏ = 2y + αx2 + o(|(x , y)|r+1),
onde α depende somente da série de Taylor de ordem 2 do sistema
original.
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Exemplo
Exemplo: Considere o sistema de equações diferenciais{ẋ = −y + p(x , y),ẏ = x + q(x , y),
(14)
onde p, q são funções C∞, p(0, 0) = q(0, 0) = 0,
∇p(0, 0) = ∇q(0, 0) = (0, 0).
Calculando as ressonâncias, podemos provar que (14) é
C r -conjugado a um sistema da forma{ẋ = −y +
∑rk=1(x
2 + y2)k(akx − bky) + . . . ,ẏ = x +
∑rk=1(x
2 + y2)k(aky + bkx) + . . . ,
onde ak , bk são coeficientes que dependem do sistema original.
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Teorema de Siegel
Um resultado muito interessante:
Teorema (Siegel)
Seja A ∈ Rn×n e suponha que o fecho convexo dos autovalores deA não contenha a origem (neste caso, dizemos que σ(A) está no
doḿınio de Poincaré). Seja f : U ⊂ Rn×Rn uma função anaĺıticacom f (0) = 0, Df (0) = 0 e f (x) = o(|x |2) quando x → 0.Então existe uma mudança de variáveis anaĺıtica x = y + h(y),
onde h(y) = o(|y |2) quando y → 0, que transforma o sistemaẋ = Ax + f (x) num sistema da forma ẏ = Ay +w(y), com w um
polinômio e tal que w(y) comuta com exp(S), onde S é a parte
semisimples de A.
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Referências
# S-N Chow, Chengzhi Li, Duo Wang, Normal forms andbifurcation of planar vector fields, Cambridge U. Press, 1994.
# James A. Murdock, Normal forms and unfoldings for localdynamical systems, Springer, 2003.
# A. D. Bruno, Local Methods in Nonlinear DifferentialEquations, Springer-Verlag, 1979.
# William F. Langford, Wayne Nagata, Normal Forms andHomoclinic Chaos, AMS Bookstore, 1995.
# Giampaolo Cicogna, Giuseppe Gaeta, Symmetry andPerturbation Theory in Nonlinear Dynamics, Springer, 1999.
# Michael Charles Irwin, Smooth dynamical systems, AcademicPress, 1980.
-
Referências
# G. Belitskii, C∞-normal form of local vector fields., In:Proceedings of Symmetry and Perturbation Theory. World
Scientific, Singapore (2002).
# C. Elphick, E. Tirapegui, M.E. Brachet, P. Coullet, G. Iooss,A simple global characterization for normal forms of singular
vector fields.,Physica D, 29:95-127(1987).
# E. Strózyna, H. Zoladek, The analytic and formal normal formfor the nilpotent singularity, JDE 179, 479-537.
# G. Gaeta, Normal forms for reversible dynamical systems,IJTP 33 1917-1928.
# G. Gaeta, Poincaré renormalized forms, Ann. Inst. HenriPoincaré 70, 461-514.
# C. Rousseau, Normal Forms, Bifurcations and FinitenessProperties of Vector Fields, 2002.
-
Próxima aula: Alguns teoremas de convergência de formas
normais, formas normais para difeomorfismos.
Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel.
Fique em casa.
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