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Modèles de files d’attente

Modèle général de files d’attente, étude des lois d’arrivées et de service dusystème, distribution exponentielle, propriétés d’un système de file d’attente.Processus de naissance et de mort. Étude de cas particuliers : une ou plusieursfiles, une ou plusieurs stations, un nombre limité ou non de clients, distributionsnon exponentielles, etc. Politiques de service. Aspect économique desphénomènes d’attente. Applications.

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Généralités

Nous sommes souvent en présence d’un phénomène de files d’attente.

CONGESTION :

Lorsque la demande de service dépasse la capacité de service,il y a formation de files d’attente.

Caractéristiques d’un tel phénomène :

Arrivées d’unités à des intervalles de temps irréguliers ou non,à un centre de service.

Exemple : arrivée de camions à un poste de chargement,entrée de clients dans un magasin,arrivée de bateaux dans un port,etc.

Un ou plusieurs canaux de service ou stations.

Exemple : guichet, vendeur, etc.

Les unités doivent éventuellement attendre qu’une station soit disponiblepour être servies.

Les intervalles de temps de service des unités sont irréguliers ou non.

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Généralités

Cas non intéressant :

Des intervalles constants des entrées et des temps de service,avec une durée de service plus élevée que l’intervalle entre 2 entrées,

La file d’attente augmente régulièrement et indéfiniment.

Schéma de file d’attente :

Source 1

Source 2

Source U

File d’attente 1

File d’attente 2

File d’attente F

Processusd’arrivéed’unités

Processusde servicedes unités(durée et ordre de service, …)

Station 1

Station 2

Station S

Système d’attente

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Modèle général de file d’attente

Posons

M nombre d’unités dans l’ensemble du phénomène (peut être infini)(dans les sources, les files et les stations),

N nombre d’unités dans le système (dans les files et les stations),

Q nombre d’unités dans les files d’attente,

R nombre d’unités en cours de service,

S nombre de stations,

SI nombre de stations inoccupées,

SO nombre de stations occupées,

F nombre de files d’attente,

Qmax nombre maximum d’unités dans les files d’attente,

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Quelques résultats préliminaires ….

Trivialement, N =R si N ≤ S

S + Q sinon.

En général, N N(t), Q Q(t) et R R(t) varient en fonction du temps et sontaléatoires suivant une loi de probabilité que nous chercherons à connaître.

Posons maintenant

pn = Prob(N = n) la probabilité qu’il y ait n unités dans le système.

En général, pn pn(t) varient aussi en fonction du temps.

On obtient alors :M

E[N] = k pk

k = 0

Dans le cas d’une seule file d’attente (F = 1),M

E[Q] = (k – S) pk

k = S+1

le nombre moyen d’unités dans le système.

désigne le nombre moyen d’unités dans la file.

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Quelques résultats préliminaires ….

SE[SI] = (S – k) pk

k = 0

désigne le nombre moyen de stations inoccupées.

On peut vérifier assez facilement que :

E[N] = E[Q] + S – E[SI] (en exercice)

Afin de poursuivre plus avant notre étude d’un phénomène d’attente, il nous fautconnaître les probabilités pn qu’il y ait n unités dans le système.

Pour y arriver, il nous faut étudier les lois d’arrivées et de service du système.

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Arrivée d’une unité dans le système

Considérons un intervalle de temps de durée t et n le nombre d’unités qui arriventdans le système dans cet intervalle,

n est une variable aléatoire.

Hypothèses :

La probabilité qu’il y ait n arrivées dans l’intervalle de durée t ne dépend quede t et non de l’instant initial à partir duquel on a comptabilisé les arrivéesdans le système.

Homogénéité ou stationnarité dans le temps.

La probabilité qu’une arrivée se produise plus d’une fois dans un intervallede temps infinitésimal dt est infiniment petite par rapport à dt.

Il n’y a pas d’arrivées en groupe (plusieurs arrivées simultanées).

La probabilité qu’une arrivée se produise une fois exactement dans unintervalle de temps infinitésimal dt est proportionnelle à dt, disons dt.

Il n’y a pas d’heures de pointe (répartition uniforme).

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Arrivée d’une unité dans le système

Nous pouvons poser

pn(t) la probabilité qu’il y ait n arrivées dans l’intervalle de durée t.

Sous les hypothèses précédentes, on peut montrer que le nombre d’arrivées dansun intervalle de temps t, soit N(t), suit une distribution de Poisson de paramètre tégal au nombre moyen d’arrivées pendant un temps t i.e.

pn(t) ( t)n e-t

n! n = 0, 1, 2, …

On a aussi que : E[N] = t et Var[N] = t.

La loi des arrivées est entièrement déterminée par le nombre moyen des arrivées par unité de temps.

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Temps de service d’une unité dans le système

Après une période d’attente, les entités dans le système reçoivent le service.

Le service est aléatoire; il est donc décrit par une distribution de probabilité.

Si le nombre d’arrivées dans un intervalle de temps obéit à une loi dePoisson, alors la durée séparant deux arrivées est exponentielle.

Nous considérerons donc que la durée de service suit une loi exponentiellede paramètre dont la fonction de densité est :

f(t) = e-t t [0, ), > 0.

La loi des services est entièrement déterminée par le taux moyen des services égal à l’inverse de la durée moyenne d’un service.

Note : Nous supposons que < sans quoi la file va augmenter indéfiniment.

À moins d’avis contraire, les premiers arrivés sont les premiers servis.

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Processus de naissance et de mort

Une arrivée : une naissance, un départ : une mort.

Hypothèses :

Soit N = n, le temps écoulé jusqu’à la prochaine naissance suitune loi exponentielle de paramètre n,

le temps écoulé jusqu’à la prochaine mortalité suitune loi exponentielle de paramètre n,

seul une naissance ou une mort arrive à la fois,

n : taux d’arrivée lorsqu’il y a n clients dans le système,n : taux de service lorsqu’il y a n clients dans le système.

Problème :

Trouver une formule pourunités dans le système au temps t.

pn(t) = Prob(N(t) = n) la probabilité qu’il y ait n

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Processus de naissance et de mort : résolution

Régime transitoire : pn(t) dépend de t (résolution difficile).

Régime stationnaire : pn(t) est indépendant de t.

En supposant le régime transitoire très court, notre intérêt va porter sur le régimestationnaire.

PRINCIPE PERMETTANT D’ÉCRIRE UNE ÉQUATION D’ÉQUILIBRE POURTOUT ÉTAT n :

pour tout état n = 0, 1, 2, …, le taux d’entrée moyen de clients doit êtreégal au taux de départ moyen.

diagrammed’états

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Calcul de Pn pn(t)

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Calcul de Pn pn(t)

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1er cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1//

Une file d’attente de capacité illimitée, une station, une source illimitée.

diapositivesuivante

Intensitéde trafic

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Modèle 1/1// : calcul de P0

Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer jusqu'à ce qu'apparaisse "Pile" pour la première fois. Le nombre L de lancers nécessaires est donc une variablealéatoire dont la distribution est géométrique.

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Modèle 1/1// : intensité de trafic

Max Pn correspond à = n . n + 1

Exemple :

La probabilité la plus élevée de rencontrer 3 unités dans le systèmea lieu lorsque = 3 / 4 et a pour valeur : 27 / 256 0.1054.

Pour calculer Prob(N ≤ n), on a :

Pi = (1 - ) i = 0 i = 0

n nn

= 1 - n+1

Par conséquent, Prob(N > n) = n+1 et la probabilité qu’il y ait au moins uneunité dans le système est Prob(N > 0) = = intensité de trafic = 1 – probabilitéde ne pas attendre.

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Modèle 1/1// : nombre moyen d’unités dans le système

N

N = / (1 - )

Note : Si , alors 1 et N .

La quantité est l’essence même du problème; cela reflète un compromisentre le gain issu de la réduction de N et le coût associé des installationset du personnel constituant le service.

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Modèle 1/1// : nombre moyen d’unités dans la file d’attente

Q

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Modèle 1/1// : temps moyen passé dans le système

Formule de Little :

Temps moyen passé dans le système (temps de service inclus) :

N / = [ / (1 - )] / = 1 / ( - ) = [1 / (1 - )] /

Temps d’attente moyen dans la file :

Q / = [2 / (1 - )] / = / [( - )]= [ / (1 - )] / = N /

Note : N / - Q / = 1 / ce qui représente bien le temps moyen de service.

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Modèle 1/1// : exemple I

Dans une usine de fabrication de meubles, on peint 20 unités à l’heure.

Celles-ci arrivent à la salle de peinture à un rythme moyen de 12 à l’heure.

= 12

= 20N = / (1 - ) = (12 / 20) / (1 – 12 / 20) = 1.5 meuble.

Nombre moyen de meubles dans la salle de peinture

Temps moyen passé dans la salle de peinture

N / = 1.5 / 12 = 1/8 heure = 7.5 minutes.

Temps moyen d’attente avant d’être peint

N / = 1.5 / 20 = 3/40 heure = 4.5 minutes.

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Modèle 1/1// : exemple II

Dans un grand magasin, on a observé les arrivées suivantes de clients :

Arrivées pendantune période

de 5 min.(n)

Fréquencesobservées

(fn)

0123456

2934248410 Total sur 100

Nombre moyen d’arrivées par période de 5 minutes : 6

1 n fn = 1.27100 n=0

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Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ?

Effectuons donc un test du 2.

Règle à suivre : On doit retrouver 4 à 5 éléments par classe auminimum pour un échantillon de taille 100.

Regroupons les 3 dernières classes en une.

Arrivées pendantune période

de 5 min.(n)

Fréquencesobservées

(fn)

0123≥ 4

29342485

Fréquencesthéoriques(100 pn(t) )

où t = 1.27

28362394

100 – ce qui précède

Différence :|fn – 100 pn(t) |2

(fd)

14111

fd

100 pn

.0357

.1111

.0435

.1111

.2500

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Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ?

Nous avons alors exp2 = 0.0357 + 0.1111 + 0.0435 + 0.1111 + 0.2500 = 0.5514.

Étant donné que nous avons estimé un paramètre et que nous possédons5 classes, nous sommes en présence d’une 2 à 3 degrés de liberté.

À un niveau = 5 %, on obtient t2 = 7.8147 et vu que t

2 > exp2 on accepte

l’hypothèse que : = 1.27 / 5 minutes = 0.254 / minute.

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Durée des services

La durée des services s’est répartie comme suit :

Durée Fréquence[0, 1) 23[1, 2) 20[2, 3) 14[3, 4) 12[4, 5) 9[5, 6) 5[6, 7) 4[7, 8) 5[8, 9) 3[9, 10) 2[10, 11) 2[11, 12) 1[12, ) 0

Durée moyenne de service (1 / ) :

(0.5 x 23 + 1.5 x 20 + … + 11.5 x 1) / 100= 3.27

valeur médianede l’intervalle = 1 / 3.27 0.3 / minute

Vérifions par un test de 2 si cette hypothèseest fondée.

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Durée des services

Regroupons quelques classes :

Durée Fréquences Fréquences

observées théoriques (fn) (100 pn)

où 0.3

[0, 1) 23 26 9 .3962[1, 2) 20 19 1 .0526[2, 3) 14 14 0 0[3, 4) 12 11 1 .0909[4, 6) 14 14 0 0[6, 8) 9 7.5 2.25 .3000[8, ) 8 9 1 .1111

Différence :|fn – 100 pn |2

(fd)

fd

100 pn

exp2 = 0.9008

qui correspond à un 2 à 5 degrés de liberté. À 5 %, on a t2 = 11.1; on accepte

donc l’hypothèse.

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Caractéristiques de la file d’attente

N = / (1 - ) = 5.52

= / = 0.8467

S = 1

Temps moyen d’attente N / = 5.52 / 0.3 = 18.4 min.

Nombre moyen d’unités dans le système

Nombre moyen de clients

unejournéede 8 h.

0.254 x 8 x 60 = 121.92

Temps perdu en attente 121.92 x 18.4 min.

Temps pendant lequel le caissier est occupé 121.92 x 3.27 min.

Duréemoyennede service

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Modèle S/1//

Arrivée d’une unité

Les S stationssont occupées.

non

L’unitéest servieimmédiatement

oui

L’unité attend.

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Modèle S/1// : nombre moyen d’unités dans la file

Q

Q =

Temps d’attente moyen :

Q /

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Modèle S/1// : nombre moyen de stations inoccupées

SI

SI

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Modèle S/1// : nombre moyen d’unités dans le système

N = Q + S – SI

N = Q + /

Modèle S/1// : temps moyen passé dans le système

Q / + 1 /

Note : S P0 e - /

La probabilité qu’il y ait 0 unité dans la file lorsque S est égale à 1.

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Modèle S/1// : probabilité qu’une unité attende dans la file

Prob(N ≥ S) = pn

n = S

= p0 SS n

S! n = S

= p0 ( / )S

S! (1 - )

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Exemple : salle d’urgence d’un hôpital

Arrivées de patients suivent un processus de Poisson.

Durée de traitement par patient obéit à une loi exponentielle.

= 2 patients / heure

= 3 patients / heure

Question : Doit-on affecter un ou deux médecins ?

/ = 2/3 < 1 / 2 = 2/6 = 1/3 < 1

S = 1 S = 2

P0 1/3 1/2

P1 2/9 1/3

Pn (2/3)n/3 (1/3)n n ≥ 2

Q 4/3 1 / 12 Nombre moyen d’unités dans la file

N 2 3/4 Nombre moyen d’unités dans le système

2/3 1/24 Temps moyen d’attente dans la fileNette amélioration

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3ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1//q

Une file d’attente de capacité limitée q, une station, une source illimitée.

Lorsqu’il y a q + 1 unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sansrecevoir de service.

Ex. : Salle d’attente de capacité limitée.

Taux d’arrivée : n = si n = 0, 1, 2, …, q

0 si n > q

Taux de service : n = pour tout n.

Cn =(/)n = n si n = 0, 1, 2, …, q, q + 1

0 si n > q + 1

P0 = [ 1 - ] / [1 - q+2] et Pn = [ (1 - ) n] / [1 - q+2] n ≤ q + 1

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3ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1//q

N = n Pn

n = 0

q+1= [ (1 - )] / [1 - q+2] n n

n = 0

= [ / (1 - )] - [ (q + 2) q+2 / (1 - q+2)]

Q = N – (1 – P0).

= taux d’arrivée moyen = q n Pn

n = 0

= (1 – Pq+1)

Temps passé dans le système : N / .

Temps d’attente dans la file : Q / .

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4ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle s/1//q

Une file d’attente de capacité limitée q, s stations, une source illimitée.

Lorsqu’il y a q + s unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sansrecevoir de service.

Ex. : Salle d’attente de capacité limitée.

Taux d’arrivée : n = si n = 0, 1, 2, …, q + s - 1

0 si n ≥ q + s

Taux de service : n = n si n ≤ ss si n > s

Cn =(/)n / n! si n = 0, 1, 2, …, s

[(/)s (/s)n-s] / s! si n = s + 1, s + 2, …, q + s

0 si n > q + s

On peut alors calculer P0 et, ensuite, Pn pour tout n = 1, 2, …, q + s.

etc.

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5ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/

Une file d’attente de capacité illimitée, une station, une source limitée m.

Exemple :

Considérons un atelier dans lequel sont utilisées m machines identiques quifonctionnent indépendamment les unes des autres. Des pannes se produisentsur ces machines, d’une façon aléatoire selon une loi de Poisson avec un taux pour chacune.

Pour les réparer, on dispose d’un mécanicien qui constitue ainsi la station paroù doivent passer les machines. La durée des réparations est distribuée selonla loi exponentielle avec un taux .

Taux d’arrivée : n =(m - n) si n = 0, 1, 2, …, m

0 si n ≥ m

Taux de service : n = si n = 1, 2, …, m.

/ désigne le facteur de service ou facteur d’entretien.

où n désigne le nombre de machines dans le système (n ≤ m).

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5ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/

Cn = m!(/)n / [(m – n)!] si n = 1, 2, …, m.

Pn = Cn P0 si n = 1, 2, …, m.

Pour calculer P0, on se sert du fait que : P0 = 1 - P1 - … - Pm.

mLe nombre moyen d’unités dans la file est : (n – 1) Pn = m - (1 – P0) (1 + / )

n = 2

mLe nombre moyen d’unités dans le système est : n Pn = m - (1 – P0) /

n = 0

La probabilité d’une attente de durée quelconque est : m Pn = 1 – P0

n = 1

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5ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/

Le temps moyen d’attente dans la file est : nombre moyen d’unités dans la filetaux moyen des arrivées

c’est-à-dire, # moyen d’unités dans la file (m - # moyen d’unités dans le système)

Le temps moyen d’attente dans le système est :

# moyen d’unités dans le système (m - # moyen d’unités dans le système)

= [m / (1 – P0) - / ] /

= [m / (1 – P0) – (1 + / )] /

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6ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle s/1/m/

Taux d’arrivée : n =(m - n) si n = 0, 1, 2, …, m

0 si n ≥ m

Taux de service : n = n si n = 1, 2, …, s.s si n = s+1, s + 2, …, m.

où n désigne le nombre de machines dans le système (n ≤ m).

Généralisation du cas précédent : s mécaniciens au lieu d’un seul.

Pn = m n P0 si n = 1, 2, …, s

n

Pn = n! m n P0 si n = s + 1, s + 2, …, m

s! sn-s n etc.

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Conclusion

Il existe plusieurs autres types de phénomènes d’attente avec des lois d’arrivéeset/ou de service différentes. Mais les principes généraux demeurent les mêmes.

Exemples :

Un taux de service qui dépend de l’état du système (n).

Des durées de services non exponentielles.

etc.