modeliranje dinamike sustava prostor stanja

Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja

Studeni 2013

Modeliranje dinamickih sustava

Model je reprezentacija dinamike sustava (procesa) koji se koristi u svrhu:• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) simulacijama, • analiticke/numericke analize odredjenih svojstava sustava (npr. analiza stabilnosti sustava, odredjivanje “najgoreg moguceg” ponasanja sustava)• sintezu i) strukture ili parametara sustava, ii) regulatora, • …

Modeliranje ima svoju svrhu!Kakav model cemo koristiti ovisi prvenstveno o tome na koja pitanja trazimo odgovore.

Modeliranje dinamickih sustava

Matematicki modeli – opis sustava jednadzbama

1) Algebarske jednadzbe

-“trenutan” odnos medju varijablama (f=k q sila u opruzi)

2) Differencijalne jednadzbe

-Važno je vremensko ponašanje varijabli- Stvari se ne dešavaju trenutno (imaju memoriju, spremike (energije), “za promjenu treba vremena”)

Primjeri: - glavobolja ne nestaje odmah cim uzmemo aspirin - kondenzator se moze isprazniti spajanjem otpornika – ali ne trenutno - stiskanjem pedale gasa postize se veca brzina – ali ne trenutno - temperatura u sobi ne naraste isti tren kad smo ukljucili grijanje - investicije ne nose trenutnu zaradu, vec ovaj proces ima svoju dinamiku

Za dinamicke sustave ima smisla pitati “u kojem su trenutno stanju”?

U sirem smislu, i ucenje je dinamicki proces…

Modeliranje dinamickih sustava

U ovom predavanju: - zanimaju nas dinamicki modeli (prvenstveno elektricnih sustava) - zanima nas ponasanje sustava u smislu: kako ulazne varijable odredjuju vrijednosti izlaznih varijabli (tj. izlazne varijable = one koje nas iz nekog razloga zanimiju) - modele cemo prikazivati u prostoru stanja uvode se varijable stanja, kao “unutrasnje” varijable sustava (ulaz i izlaz su “vezani” preko “unutrasnjih” varijabli)

Modeliranje dinamickih sustava

“Nasljeđe mehaničara” (povijesno):

Jedan od trijmufa Newtonove mahanike: gibanje planeta moze se predvidjeti uz poznavanje trenutnih polozaja i brzina (to je dovoljno informacija za proracunati buducnost, a sve sto trebamo znati o proslosti “sadrzano je” u polozajima i brzinama.)

Napomena: ovdje se radi o autonomnom sustavu; nema vanjskih pobuda (ulaza)

Kepler, Newton: gibanje planeta, gravitacija, Newtonovi aksiomi

( ) 0mq c q kq

Modeliranje dinamickih sustava

Stanje sustava (vektor stanja sustava; varijable stanje sustava): = skup svih varijabli koje koje potpuno definiraju gibanje sustava (koje su dovoljne za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:

( ) 0mq c q kq

( )vektor stanja: ( )

( )

q tx t

q t

Skup svih mogucih vrijednosti vektora stanja: prostor stanja

fazni portret(phase portrait)

Modeliranje dinamickih sustava

Modeliranje dinamickih sustava

( ) 0mq c q kq

fazni portret(phase portrait)

Autonoman sustav:

Neautonoman sustav (ima vanjske ulaze; vanjske pobude, poremecaje):

( )mq c q kq f

Modeliranje dinamickih sustava

“Nasljeđe elektricara” (povijesno):

-Sinteza elektronickih pojacala naglasavala je promatranje/definiranje sustava kao ponasanje izmedju ulaznih i izlaznih varijabli- Sustavi su promatrani kao “uredjaji” koji transformiraju ulaze u izlaze- Pogodno za “slaganje” kompliciranih sustava od jednostavnijih djelova (televizor od prijeminika, demodulatora, pojacala, zvucnika,…)

Modeliranje dinamickih sustava

Metode analize ulazno-izlaznih (linearnih, vremenski invarijantnih) modela: - odziv na “step funkciju”; odziv u frekvensijskom podrucju

Prostor stanja

Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.

( )vektor stanja: ( )

( )

q tx t

q t

u

y qizlaz

1

2

x qx

x q

1

2

x qx

x q

mq cq kq u ulaz

Prostor stanja

Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.

mq cq kq u

( )vektor stanja: ( )

( )

q tx t

q t

u

ulaz

y qizlaz

1

2

x qx

x q

21

2 2 1

xx q

x c kx q x x u

m m

1y x

Prostor stanja

Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.

mq cq kq u

( )vektor stanja: ( )

( )

q tx t

q t

u

ulaz

y qizlaz

1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

x Ax Bu

y Cx Du

Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja

Prostor stanja

x Ax Bu

y Cx Du

Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja

( ) ( )

( ) ( )

x A t x B t u

y C t x D t u

Model linearnog vremenski promjenjvog sustava u prostoru stanja

( , )

( , )

x f x u

y g x u

Model nelinearnog sustava u prostoru stanja

nx = vektor prostora stanja

n = red sustava

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

1

2

( )vektor prostora stanja: ( )

( )

x q tx t

x q t

Red sustava?

Koliko ovaj sustav ima spremnika energije?

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

1

2

( )vektor prostora stanja: ( )

( )

x q tx t

x q t

Red sustava? 2

Koliko ovaj sustav ima spremnika energije? 2

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

1

2

( )vektor prostora stanja: ( )

( )

x q tx t

x q t

21

2pE kq

21

2kE mq

je varijabla stanjaq

je varijabla stanjaq

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

1

2

( )vektor prostora stanja: ( )

( )

x q tx t

x q t

Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)

Prostor stanja

u1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

1

2

( )vektor prostora stanja: ( )

( )

x q tx t

x q t

Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)

mq cq kq u = diferencijalna jednadzba drugog reda (nije slucajnost)

Jos o modeliranju

Jos o modeliranju

Jos o modeliranju

Kojeg reda je ovaj sustav?

Sto su varijable stanja?

Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene?

Kojeg reda je ovaj sustav?

Sto su varijable stanja?

Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene? – NISU. Vidjet cemo zasto (i primjere) kasnije

Jos o modeliranju

Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)

• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping

Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)

• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping

110

10

c c

L L

v vC iCi iR

L L

0 1 0c

L

vy i

i

x Ax Bu

y Cx du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, ,cL

L

vx u i y i

i

110

10

c c

L L

v vC iCi iR

L L

0 1 0c

L

vy i

i

x Ax Bu

y Cx du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, ,cL

L

vx u i y i

i

, ,c LL

c L

v ix u i y i

v i

Jednadzbe prostora stanja?

110

10

c c

L L

v vC iCi iR

L L

0 1 0c

L

vy i

i

x Ax Bu

y Cx du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, ,cL

L

vx u i y i

i

, ,c LL

c L

v ix u i y i

v i

Jednadzbe prostora stanja?

1 1, ,

1 1c

LL

vx u i y i

i

, je regularna matrican nx Tx T

x Ax Bu

y Cx Du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, je regularna matrican nx Tx T

x Ax Bu

y Cx Du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, je regularna matrican nx Tx T

1 1,x Tx x T x x T x

x Ax Bu

y Cx Du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, je regularna matrican nx Tx T

1 1,x Tx x T x x T x

1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu

x Ax Bu

y Cx Du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, je regularna matrican nx Tx T

1 1,x Tx x T x x T x

1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu

1y Cx Du y CT x Du

x Ax Bu

y Cx Du

Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

, je regularna matrican nx Tx T

1 1,x Tx x T x x T x

1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu

1y Cx Du y CT x Du

x Ax Bu

y Cx Du

1

1

,

,

A TAT B TB

C CT D D

110

10

c c

L L

v vC iCi iR

L L

0 1 0c

L

vy i

i

x Ax Bu

y Cx du

, ,c

LL

vx u i y i

i

, ,c LL

c L

v ix u i y i

v i

11 1 0.5 0.5

, , ,1 1 0.5 0.5

cL

L

T

vx u i y i T

i

1

1 1 1 1 1 1

2 2,

1 1 1 1 1 1

2 2

R R

L L C L L CA TAT

R R

L L C L L C

1

,1CB TB

C

1 1 1

2 2C CT

0D D

110

10

c c

L L

v vC iCi iR

L L

0 1 0c

L

vy i

i

x Ax Bu

y Cx du

, ,c

LL

vx u i y i

i

1

2

, ,c LL

c L

v ixx u i y i

v ix

11

22

1 1 1 1 1 1 12 2 2

11 1 1 1 1 122 2

R RxL L C L L Cx

ixx R R

L L C L L C

1

2

1 10

2 2

xy i

x

x Ax Bu

y Cx Du

ODE viseg reda i prostor stanja

u

1 1

2 2

0 10

,1

x xuk c

x xm m

1

2

0 1 0x

y ux

mq cq kq u = diferencijalna jednadzba drugog reda

Prostor stanja dimenzije 2.

Model drugug reda.

ODE viseg reda i prostor stanja

1 2

1 21 2

n n n

nn n n

d y d y d ya a a y u

dt dt dt

1

2 2

3 2

1

1

n n

n

y

dyxdtxd y

x xdt

xd y

dt

22

23

34

3

1 2 1 1

0

0

0

1n n nn

n

dy

dtxd yxdt

x x ud y

dt

a x a x a x

d y

dt

1y x

Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)

ODE viseg reda i prostor stanja

1 2

1 21 2

n n n

nn n n

d y d y d ya a a y u

dt dt dt

1 1

2 2

3 3

1 1

1 2 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0

0

0 0 0 0 1 0

1n n

n n n n n

Bx xA

x x

x x

x xx u

x x

x a a a a a x

1 0 0 0 0

C

y x

Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)

1

2

3

4

( )

( )( ) 1 0 0 0 0 ( )

( )

( )

x t

x ty t u t

x t

x t

Primjer

Modeliranje dinamickih sustava

Modeli u zapisu prostora stanja imaju neka znacajna svojstva, npr.: - kad stanja imaju fizikalnu interpretaciju, daju dublji uvid u strukturu sustava - mnoge simulacijske metode (numericki ODE rjesavaci) temelje se na ovakvom zapisu - razvijene numericke metode analize (npr. stabilnost) i sinteze regulatora (LQR, H_inf, MPC)