modelización de sólidos por ordenador
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MODELIZACIÓN DE SÓLIDOS POR ORDENADOR
Trabajo realizado por: Álvaro Guillén Llópiz
Eloy Izquierdo Sánchez
DEBUXO E DESEÑO ASISTIDO POR COMPUTADOR
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
¿QUÉ ES UN MODELADOR DE SÓLIDOS? Es una aplicación informática que nos permite definir
íntegramente cualquier objeto en un ordenador para su posterior análisis, fabricación,…
Nos permite dotar al modelo de la forma, dimensiones y características deseadas
En la actualidad: Nos permiten realizar ensamblajes entre sólidos para analizar el
funcionamiento y mejorar la comprensión de un conjunto Incorpora herramientas de calculo estructural …
DESARROLLO HISTÓRICO DEL MODELADO SOLIDO
Las universidades de Hokkaido y Cambridge desarrollaron los primeros sistemas gráficos basados en esquemas de Modelado Sólido: TIPS y BUILD, respectivamente que fueron presentados en Budapest en 1.973
TIPS utiliza figuras básicas (primitivas) y operaciones booleanas para definir sólidos en tres dimensiones. Actualmente es conocida como Geometría Constructiva de Sólidos
BUILD define los objetos como un conjunto de superficies, más la información topológica que las relaciona (cómo se conectan las caras, aristas y vértices). Hoy se conoce esta técnica como la Representación por Fronteras
En 1977 se desarrolló en la universidad de Rochester (Estados Unidos) el sistema gráfico PADL-1, que utiliza CSG para definir los objetos, pero que puede convertir automáticamente las representaciones a B-Rep. La conversión en sentido contrario presenta muchos problemas
Desde entonces han surgido otros muchos modeladores, pero la gran mayoría usan conceptos de los dos anteriores o incluso de ambos (Modeladores Híbridos)
PROPIEDADES DESEABLES DE UN MODELO
Dominio de representación: el conjunto de objetos que se pueden representar mediante el modelo ha de ser suficientemente amplio
Completitud (no ambigüedad) y unicidad: una representación ha de ser claramente identificable y representar un y sólo un objeto
Unicidad: Una representación es única si cualquier sólido se puede representar de una única forma, dentro del marco del modelo
Imprescindible para poder decidir si dos objetos son iguales
Precisión: Un modelo es preciso si no es necesario realizar aproximaciones, como por ejemplo líneas curvas aproximadas por una series de segmentos rectilíneos
Validez : Un modelo no debiera permitir crear una representación inválida. Por ejemplo si estamos modelando sólidos, no debiera ser posible crear un objeto que no sea sólido
Facilidad: Debe ser fácil crear representaciones válidas y precisas.
Clausura: Las operaciones definidas sobre objetos válidos deben producir otros objetos válidos. Por ejemplo bajo rotaciones, transformaciones geométricas, etc.
Compacidad: El uso de memoria debe ser lo más pequeño posible.
Eficiencia: Los algoritmos necesarios para representar sus propiedades y apariencia gráfica han de ser eficientes en términos de tiempo de cálculo.
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
OPERACIONES BOOLEANAS
PROBLEMA EN 3D
SOLUCION
OPERADORES BOOLEANOS REGULARIZADOS + SOLIDOS REGULARIZADOS
REGULARIZACION DE SOLIDOS• Consideramos los sólidos como un
conjunto de puntos Interiores y puntos de Frontera
• Los puntos de frontera pueden pertenecer o no al solido
• La unión de sus puntos con los de frontera se llama Cerradura
• REGULARIZACION = CERRADURA DEL INTERIOR
REGULARIZACION DE OPERADORES• A op* B = cerradura(interior(A op B))• Las op* de Sol Reg. = Sol Reg.
A * B A * B A -* B
AiBi Ai-B Bi-A AfBi BfAi Af-B Bf-A AfBf (=) AfBf ()
OPERACIONES BOOLEANAS
Arista extra
1 2 3 4
Intersección regularizada
Incluye la frontera si ambos están del mismo lado (1-2), la excluye si están en lados opuestos (3-4).
La común (2-3) siempre se incluye.
Intersección
A
B
A
B
AiBi
A
B
Ai-B
A
B
Bi-A
AfBi
A
B
BfAi
A
B
A
B
Af-B
A
B
Bf-A
A
B
AfBf (=)
A
B
AfBf ()
No son Conmutativas
PRIMITIVAS Conjunto de formas solidas relevantes en el área de aplicación
definidas en el sistema agrupadas en jerarquías Descripción algebraica
de las primitivas
Las Primitivas están parametrizadas según: En función de las transformaciones
Translación (de los ejes ligados al solido respecto a los del espacio) Rotación (sobre uno de sus ejes o sobre el espacio) Escalado (en una o todas las direcciones)
En función de sus características Nº de lados de una pirámide Nº de dientes de un engranaje Longitud de paso de un tornillo Longitudes clave que no se logran mediante
escalado (longitud del diente) …
Por ejemplo una esfera
ax^2 + by^2 + cz^2 − r^2 ≤ 0parámetros: a, b, c, rPor ejemplo el cilindroA través de operaciones booleanas básicas intersecamos el cilindroax^2 + by^2 − r^2 ≤ 0 con dos planos z ≤ c z ≥ d
BARRIDOS El Barrido es una operación que permite definir nuevos
objetos a través de dos componentes El Generador (o perfil de barrido):
es un solido, o una superficie que al trasladarse origina el solido
La Trayectoria (o directriz): es el camino que seguirá el generador para formar el solido
Según la Trayectoria pueden ser: Barridos Translacionales (Extrusiones)
Directriz es una línea recta Barridos Rotacionales (Revolución)
Directriz es un circulo alrededor del eje de giro Barridos Generales
Directriz es una curva arbitraria Generador varia de forma u orientación
BARRIDOS Problemas del barrido
Intersecciones internas
Obtención de áreas
No posee formulación simple del resultado por tanto: Los cálculos de momentos,
volumen… son complejos No se pueden aplicar
operadores booleanos
Características Modelador potente y
versátil Dominio amplio Escasa utilidad por si solo
Habitualmente se convierten a otras representaciones mediante algoritmos
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS) Las primitivas se combinan
a través de operadores booleanos de conjuntos regularizados
CARACTERISTICAS: Muy intuitivo y sencillo Calculo sencillo de
propiedades físicas del objeto Resuelve con facilidad
interacciones entre objetos Maneja de igual forma
superficies curvas y poliédricas
Representaciones limitadas PROPIEDADES
Dominio Validez Ambigüedad Unicidad
Los objetos se almacenan como un árbol binario En el nodo raíz tenemos el
objeto resultante En los nodos intermedios
tenemos las distintas operaciones booleanas
En los nodos finales o hojas tenemos: Las primitivas Las matrices de
transformación Traslada Gira Escala
Problema:La generación y visualización de escenas complejas puede ser lenta
CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS)
Biblioteca de Primitivas Conjunto de primitivas de las que dispone el
modelador Dominio o poder expresivo
Def: Capacidad que posee para modelar diferente objetos
No depende del numero de primitivas sino de: La variedad de subespacios utilizados para
construirlas El conjunto de operadores booleanos desarrollados El total de operaciones de transformación disponible
Potencia de modelado Se evalúa en función del nº de primitivas
diferentes del conjunto y del numero de transformaciones disponibles
CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS)
Dominio
Potencia de modelado
Operadores disponible
Recursos de modelado del sistema
El modelador CSG almacena las operaciones realizadas y el solido final
Soluciones Modelado con características Modelado paramétrico Modelado variacional Modelado por arboles históricos
CSG (GEOMETRÍA CONSTRUCTIVA DE SÓLIDOS)
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
B-REP. (REPRESENTACIÓN DE FRONTERAS)
Describen un objeto en función de sus fronteras superficiales: Vértices: punto único en el espacio Aristas: curva finita, orientada, delimitada por dos vértices que no se
autointersecta Caras: región finita, no autointersectante de una superficie orientable, limitada
por uno o más bucles (lista ordenada de aristas)
Para poder representar un sólido mediante B-Rep, éste debe cumplir las siguientes propiedades básicas: Cada arista está delimitada por dos vértices Cada arista separa dos caras (sólidos múltiples) Las aristas solo se intersectan en los vértices Las caras solo se intersecan en los vértices y aristas
Trataremos el modelado mediante la aproximación con poliedros planos (Aristas rectas)
ESTRUCTURA WIMGED-EDGE (ARISTA ALADA)
Desarrollada por Baumgart en 1972 Es un modelo de representación por fronteras basado en las aristas
orientadas Se representan las caras mediante secuencias de aristas que forman un
camino cerrado en sentido horario visto desde el exterior El poliedro debe considerarse visto desde fuera del objeto Se consideran vértices incidentes, caras adyacentes a izquierda y derecha y
las aristas incidentes (precedentes y sucesoras) en la definición de las caras adyacentes
La información se ordena y almacena en tres tablas. Una para vértices, otra para aristas y una última para las caras
Caracterización de arista a: Aristas incidentes (Según el orden de los bucles que definen las caras):
Precedente en cara Izquierda (PR-): b Sucesora en cara izquierda (R-): d Precedente en cara derecha (PR+): e Sucesora en cara derecha (R+): c
Vértices incidentes: Desde 2 hacia 1
Caras adyacentes: Izquierda: A Derecha: B
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Aristas
Vertices
CR+ CR- R+ PR+ R- PR-
A1 (V1,V2) C1 C2 A2 A4 A5 A6
A2 (V2,V3) C1 C3 A3 A1 A6 A7
A3 (V3,V4) C1 C4 A4 A2 A7 A8
A4 (V4,V1) C1 C5 A1 A3 A8 A5
A5 (V1,V5) C2 C5 A9 A1 A4 A12
A6 (V2,V6) C3 C2 A10 A2 A1 A9
A7 (V3,V7) C4 C3 A11 A3 A2 A10
A8 (V4,V8) C5 C4 A12 A4 A3 A11
A9 (V5,V6) C2 C6 A6 A5 A12 A10
A10 (V6,V7) C3 C6 A7 A6 A9 A11
A11 (V7,V8) C4 C6 A8 A7 A10 A12
A12 (V8,V5) C5 C6 A5 A8 A11 A9
Vertices
Arista de
inicio
Coordenadas
V1 A1 X1 Y1 Z1
V2 A2 X2 Y2 Z2
V3 A3 X3 Y3 Z3
V4 A4 X4 Y4 Z4
V5 A9 X5 Y5 Z5
V6 A10 X6 Y6 Z6
V7 A11 X7 Y7 Z7
V8 A12 X8 Y8 Z8
Caras Arista de
inicio
C1 A1
C2 A9
C3 A6
C4 A7
C5 A12
C6 A9
Para crear la tabla de aristas en la winged-edge se opera como sigue:
• Se identifican las aristas
• Se identifican las dos caras que separa la arista y se establece el sentido de recorrido positivo de la arista (Va, Vb), tal que Va es el inicio y Vb el fin
• Se identifica R+ como la siguiente arista recorriendo el bucle y la arista en sentido positivo. Si repetimos la operación recorriendo la arista en sentido negativo obtenemos R-
• PR+ y PR- corresponden a las aristas precedentes cuando recorremos la arista en sentido positivo o negativo respectivamente
• CR+ y CR- corresponde a la cara cuyo bucle recorre a la arista en sentido positivo o negativo respectivamente
NOTA: El bucle siempre se recorre en sentido positivo.
A6(V2,V6
)C3 C2 A10 A2 A1 A9
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Para crear la tabla de caras en la winged-edge se opera como sigue:
• Se ha de incluir el identificador de cualquiera de sus aristas, más un bit que indique la orientación de la arista elegida (en la tabla de aristas), cuando se recorre la cara en el sentido horario
Para crear la tabla de vértices en la winged-edge se opera como sigue:
• Se anotan las coordenadas espaciales de cada vértice
• A cada vértice se le asocia la arista en la que dicho vértice es punto de partida en el sentido positivo
En esta modalidad de B-rep se utiliza información redundante pero se obtiene un buen compromiso entre ocupación en disco y agilidad de calculo
Aristas
Vertices
CR+ CR- R+ PR+ R- PR-
A1 (V1,V2) C1 C2 A2 A4 A5 A6
A2 (V2,V3) C1 C3 A3 A1 A6 A7
A3 (V3,V4) C1 C4 A4 A2 A7 A8
A4 (V4,V1) C1 C5 A1 A3 A8 A5
A5 (V1,V5) C2 C5 A9 A1 A4 A12
A6 (V2,V6) C3 C2 A10 A2 A1 A9
A7 (V3,V7) C4 C3 A11 A3 A2 A10
A8 (V4,V8) C5 C4 A12 A4 A3 A11
A9 (V5,V6) C2 C6 A6 A5 A12 A10
A10 (V6,V7) C3 C6 A7 A6 A9 A11
A11 (V7,V8) C4 C6 A8 A7 A10 A12
A12 (V8,V5) C5 C6 A5 A8 A11 A9
Vertices
Arista de
inicio
Coordenadas
V1 A1 X1 Y1 Z1
V2 A2 X2 Y2 Z2
V3 A3 X3 Y3 Z3
V4 A4 X4 Y4 Z4
V5 A9 X5 Y5 Z5
V6 A10 X6 Y6 Z6
V7 A11 X7 Y7 Z7
V8 A12 X8 Y8 Z8
Caras Arista de
inicio
C1 A1
C2 A9
C3 A6
C4 A7
C5 A12
C6 A9
V6 A10 X6 Y6 Z6
C2 A9
CARAS CON VARIAS FRONTERAS (CARAS CON AGUJEROS)
Hasta el momento solo hemos tratado poliedros simples (sin agujeros) que cumplen la fórmula de Euler: V-E+F-2=0 V: Vértices E: Aristas F: Caras
Los sólidos con agujeros van a cumplir la fórmula de Euler-Poincaré: V-E+F-2(1-G)=0 G: genero (nº de agujeros)
Soluciones para este tipo de objetos: Transformar los modelos no eulerianos en objetos de Euler, subdividiendo las
superficies agujereadas en discos topológicos, mediante la introducción de aristas auxiliares. Deberemos marcar estas aristas de algún modo para que no sean visualizadas en la representación en pantalla del objeto
Crear tantos bucles cerrados como fronteras tenga la cara, y asociar a cada cara una lista con los bucles (fronteras) que posee
Problema con objetos no múltiples: En ocasiones nos encontramos con objetos en los que una arista es
compartida por mas de dos caras (objeto no euleriano). En este caso debemos considerar la arista como varias superpuestas que nos permiten la interpretación de objeto euleriano
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep. (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
DESCOMPOSICION ESPACIAL
Objetivo: Modelar objetos complejos mediante piezas fáciles de definir.
Objetos compuestos por celdas que no tienen por que ser idénticas.
Celdas: No pueden contener huecos ni agujeros Han de ser disjuntas, es decir, su intersección es el vacio. Se combinan mediante el operador pegado (versión restringida
de la unión)
Tipos: Descomposición en celdas Enumeración de ocupación espacial Árbol de Octantes (Octree)
DESCOMPOSICIÓN EN CELDAS
El sólido se descompone en celdas irregulares
Cada par de celdas adyacentes comparte vértice, arista o cara y debe adaptarse perfectamente a las de su entorno para no dejar huecos y seguir siendo disjunta.
Estas restricciones son muy complejas con este tipo de celdas → Modelado muy complejo
La representación se obtiene mediante otro modelo (CSG, B-Rep.,…) y luego se malla mediante un algoritmo apropiado
Utilidad: Cálculos analíticos en los sólidos mediante elementos finitos
ENUMERACIÓN DE OCUPACIÓN ESPACIAL
Descompone el solido en un número prefijado de celdas idénticas dispuestas sobre una malla regular fija
Las celdas se denominan “elementos de volumen” (voxeles)
El tipo más común de celda es el cubo y la representación del espacio como una matriz regular de cubos se denomina cuberil
Los objetos se codifican con una lista única y no ambigua de celdas ocupadas.
No existe el concepto de ocupación
parcial ▬►Aproximación de los sólidos
Mayor aproximación ▬► Mucha
mayor ocupación de disco
ÁRBOLES DE OCTANTES (OCTREES)
Variante jerárquica de la enumeración de ocupación espacial, diseñada para optimizar sus exigentes requisitos de almacenamiento
Partimos de una celda regular que contenga al solido, si esta parcialmente ocupada, la dividimos en ocho celdas iguales y comprobamos el estado de ocupación de las nuevas celdas repitiendo el proceso con las parcialmente ocupadas
Dejamos de dividir una celda cuando este totalmente incluida/excluida en el solido o cuando sea del tamaño mínimo limite establecido
ARBOLES DE OCTANTES (QUADTREES): EXPLICACIÓN EN EL PLANO
Los árboles de octantes se derivan de los árboles de cuadrantes, un formato de representación bidimensional
Un árbol de cuadrantes se forma dividiendo sucesivamente un plano bidimensional en sus dos direcciones (X, Y) para formar cuadrantes
Cada cuadrante puede estar lleno, parcialmente lleno o vacío Un cuadrante parcialmente lleno se subdivide recursivamente en
subcuadrantes El proceso continua hasta que no haya cuadros parcialmente llenos Cualquier nodo parcialmente lleno en la profundidad limite (escala mínima) se
considera lleno Si 4 cuadrantes hermanos (tienen algo en común: vértice o arista) están
llenos/vacios se eliminan y su padre se remplaza por un nodo totalmente lleno/vacio.
DESCOMPOSICIÓN ESPACIAL:
Descomposición
celularEnumeración de
ocupación espacialOctrees
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep. (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
COMPARACIÓN DE MODELOS:
CSG B-Rep D.E.
Dominio Sol. Primitivas Caras planas Voxeles
Precisión Muy bueno Regular Mal/Regular
Op. Booleanas Muy Bueno Difícil Bueno
Creación Muy Bueno Malo Muy malo
Visualización Malo Muy Bueno Bueno/Regular
Unicidad No cumple No cumple Cumple
Validez Fácil Difícil Fácil
INDICE:
1. Introducción / Historia2. Herramientas básicas
1. Operadores Booleanos2. Primitivas3. Barridos
3. Modelos1. CSG (Geometría Solida Constructiva)2. B-Rep. (Fronteras)3. Descomposición Espacial
4. Comparación entre modelos5. Modelos híbridos6. Bibliografía
Creación fácil e intuitiva
Son los mas concisos (Fieles)
Algoritmos complejos de visualización Ray Casting Ray Tracing
Son lentos en el análisis numérico Evaluación de
fronteras
MODELOS HÍBRIDOS
Fácil visualización Pueden utilizar
los principales algoritmos de visualización
Son adecuados para los análisis numéricos Si los poliedros
se ajustan bien al modelo teórico
Su creación es difícil
B-Rep. CSG D.E.
CARACTERISTICAS CLAVE
Es el de mayor poder expresivo
Los algoritmos y operadores son sencillos
Difícil diseño de objetos con geometría irregular
La cantidad de información registrada puede ser grandes Llegan a ser
lentos
CSG
B-RepD.E.
MODELOS HÍBRIDOS
CONVERSIONES CONSISTENCIAS
Son consistentes si son capaces de representar
un mismo modelo en los diferentes esquemas que
soportan para lo que necesitan algoritmos de
conversión
Pero recorta la funcionalidad del modelador limitando las
posibilidades de los esquemas para que la conversión sea posible
SOLUCIONEstablecer un sistema
primario desde el que se van actualizando los demás
Hay dos tipos
CSG B-Rep
ALGUNOS DE LOS MODELADORES EXISTENTES EN EL MERCADO:
3DpowerToolshttp://www.3dpowertools.com
Intergraphhttp://www.intergraph.com
Algorhttp://www.algor.com
IMSIhttp://www.turbocad.com
Ashlarhttp://www.ashlar.com
IronCADhttp://www.ironcad.com
Autodeskhttp://www.autodesk.com
MechanicalDesktophttp://www.autodesk.com
Autodesk Inventorhttp://www.autodesk.com
Moldflowhttp://www.moldflow.com
auto.des.syshttp://www.formz.com
Parasolid (Unigraphics)http://www.parasolid.com
Bentleyhttp://www.bentley.com
PTChttp://www.ptc.com
CADKEYhttp://www.cadkey.com
Raindrop Geomagichttp://www.geomagic.com
CADMAXhttp://www.cadmax.com
Redsparkhttp://www.redspark.com
CATIAhttp://www.catia.com
Solid Edgehttp://www.solid-edge.com
CoCreatehttp://www.cocreate.com
SolidWorkshttp://www.solidworks.com
Dassault Systemeshttp://www.dsweb.com
Spatial Technology (ACIS)http://www.spatial.com
DesignCADhttp://www.designcad.com
SDRChttp://www.sdrc.com
Eagle Pointhttp://www.eaglepoint.com
T-Flexhttp://www.tflex.com
EMT Softwarehttp://www.emtsoft.com
Think3http://www.think3.com
Immersive Designhttp://www.immdesign.com
Unigraphicshttp://www.ugsolutions.com
IMSIhttp://www.imsisoft.com/
Varimetrixhttp://www.varimetrix.com
BIBLIOGRAFÍA: INTRODUCCIÓN A LA GRAFICACIÓN POR COMPUTADORA (1996)
J.D. FOLEY, J.C. VAN DAM, S.K. FEINER, J.F. HUGHES, R.L. PHILLIPS CAD-CAM, GRÁFICOS, ANIMACIÓN Y SIMULACIÓN POR COMPUTADOR
(2003)FÉLIX SANZ ADÁN, JULIO BLANCO FERNÁNDEZ
HTTP://WWW.YOUTUBE.COM HTTP://WWW.WIKIPEDIA.ES HTTP://WWW.GOOGLE.ES APUNTES
UNIVERSIDAD DE OVIEDO UNIVERSIDAD DE VALENCIA UNIVERSIDAD POMPEU FABRA DE BARCELONA UNIVERSIDAD DE GRANADA
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