modellazione delle performance a livello di componenti
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Modellazione delle Performance
a Livello di Componenti
- Cenni di reti di code
- MVA per reti di code aperte, chiuse
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Tipi di risorse in una rete di code
Load independent
Load dependent
Delay
S(n)R(n)
S(n)R(n)
S(n)R(n)
n
n
n
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Reti di code aperte
DISK
TAPE
uscite
arrivi
CPU
DISK
TAPE
CPUM clienti
Reti di code chiuse
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Nomenclatura
K: numero di codeX0: throughput medio della rete. Nel caso di rete aperta in
regime stazionario X0 = Vi: numero medio di visite al servente i da parte di una richiesta
generica da quando viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta)
Si: tempo medio di servizio di una richiesta del servente iWi: tempo medio di attesa in coda di una richiesta nella coda iRi: tempo medio di risposta di una richiesta nella coda i.
Ri = Si + Wi
Xi: throughput della coda i-esima Xi = X0 Vi
R’i: tempo medio di residenza di una richiesta generica nella
coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) R’
i = Vi Ri
Di: la domanda di servizio che una richiesta effettua ad un servente di una coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta) Di = Vi Si
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Qi: tempo totale speso da una richiesta in attesa nella coda i dall’istante in cui viene generata all’istante in cui viene soddisfatta (esce dal sistema nel caso di rete aperta)
Qi = Vi Wi
-------------------------------R’
i = Vi Ri =Vi (Wi + Si) = Wi Vi + Si Vi = Qi + Di
-------------------------------
R0: tempo medio di risposta ad una richiesta dell’intero sistemaR0 = k i=1 R’
i
ni: numero medio di richieste alla coda i in attesa o che stanno ricevendo un servizio
N: numero medio di richieste nel sistemaN = k i=1 ni
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Trattazione Reti Aperte (Single Class)
Equazioni:
Arrival theorem (for open networks): il numero medio di richieste residenti in una coda i trovate da una richiesta entrante nella stessa coda (na
i) è pari al numero medio di richieste nella coda i (ni) .
. Ri(n) = Si + Wi(n) = Si + ni Si
Applicando la legge di Little (ni = Xi Ri) e Ui = XiSi si ha:
. Ri = Si _ (1-Ui)
Quindi:
. R’i = Vi Ri = Di _
(1-Ui)Inoltre:
. ni = Ui _ (1-Ui)
Ri = Si (1 + ni) = Si + Si Xi Ri
Ri (1- Ui) = Si
Dato che Ui = Xi Si
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Trattazione Reti Aperte (Single Class)
Calcolo del massimo :
Ricordiamo che in una rete aperta la frequenza media di utenti che entrano nella rete viene fissata a priori; dato che per troppo alto la rete diventerà instabile, siamo interessati al massimo valore di che possiamo applicare alla rete.
Dato che:
. Ui = Xi Si = Vi Si
vale la
. = Ui / Di dato che Di = Vi Si
Sapendo che in condizioni di massimo utilizzo della coda i Ui sarà pari a 1, possiamo calcolare il massimo che non destabilizza il sistema:
. 1 _ maxk
i=1 Di
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Esempio DB Server(Example 9.1)
10800 request per hour = X0
DCPU = 0,2 sec Service demand at CPU
VDISK1 = 5VDISK2 = 3SDISK1 = SDISK2 = 15 msec
DDISK1 = VDISK1 * SDISK1 = 5 * 15 msec = 75 msec Service demand at disk 1 DDISK2 = VDISK2 * SDISK2 = 3 * 15 msec = 45 msec Service demand at disk 2
.Service Demand LawUCPU = DCPU * X0 = 0,2 sec/req * 3 req/sec = 0,6 Utilization of the CPU
UD1 = DDISK1 * X0 = = 0,225 Utilization of the disk 1
UD2 = = 0,135 Utilization of the disk 1
R’CPU = DCPU / (1- UCPU ) = 0,5 sec Residence times
R’D1 = DDISK1 / (1- UDISK1 ) = 0,097 sec
R’D2 = DDISK2 / (1- UDISK2 ) = 0,052 sec
CPU DISK1 DISK2
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Total response time
R0 = R’CPU + R’D1 + R’D2 = 0,649 sec
Average number of requests at each queuenCPU = UCPU / (1- UCPU ) = 0,6 / (1-0,6) = 1,5nDISK1 = = 0,29nDISK2 = = 0,16
Total number of requests at the serverN = nCPU + nDISK2 + nDISK2 = 1,95 requests
RMaximum arrival rate = 1 _ = 1 _ = 5 rich /sec
maxki=1 Di max (0,2; 0,075; 0,045)
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Trattazione Reti Aperte (Multiple Class)
r classi di utenti, k code
Input parametersDi,r , r
Equations
. Ui,r () = r Vi,r Si,r = r Di,r
. Ui () = Rr=1 Ui,r ()
. R’i,r () = Di,r delaying resource
Di,r / (1-Ui ()) queuing resource
. R0,r () = Ki=1 R’
i,r ()
. ni,r () = Ui,r () / (1-Ui ())
. ni, () = Rr=1 ni,r ()
Average residence time of class r request at resource i
Utilization
Average class r requests at resource i
Average class r request response time
Average number of requests at resource i
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Esempio DB server(example 9.2)
query – 5 tx per second (tps)2 classi di richieste
update – 2 tx per second (tps)
Servicedemand x
Query Updates
• CPU 0,1 0,15• DISK1 0,08 0,20• DISK2 0,07 0,10
Utilizations (%)
CPU 50 30
Disk1 40 40
Disk 2 35 20
Residence times (sec)
CPU 0,50 0.75
Disk1 0,40 1,00
Disk 2 0,016 0,22
Response times (sec) 1,06 1,97
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Trattazione Reti Chiuse (Mean Value Analysis)
• Permette di calcolare gli indici prestazionali (tempo medio di risposta, throughput, lunghezza media della coda, ecc…) di una rete chiusa
• Metodo iterativo basato sulla considerazione che i risultati di una rete di code possano essere calcolati a partire dai risultati della stessa rete con una popolazione ridotta di un’unità.
• Utilizzabile anche per reti di code ibride
Nomenclatura. X0: throughput medio della rete di code.. Vi: numero medio di visite di una richiesta ad una coda i.. Si: tempo medio di servizio di una richiesta del servente i.. Ri: tempo medio di permanenza di una richiesta alla coda i.. R’
i: tempo totale medio di permanenza di una richiesta alla coda i considerando tutte le sue visite alla coda. Pari a Vi Ri
. Di: tempo totale medio di servizio di una richiesta alla coda i considerando tutte le sue visite alla coda . Pari a Vi Si
. R0: tempo medio di risposta della rete di code. Pari alla somma degli
R’i
nia: numero medio di richieste che una richiesta trova al suo ingresso
in coda.
Forced Flow LawData la nomenclatura vista sopra, abbiamo:
. Xi = X0 Vi
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Mean Value Analysis (Single class)
Equazioni:
Ri(n) = Si + Wi(n) = Si + nia(n) Si = Si (1+ ni
a(n) )
Arrival Theorem: il numero medio di richieste (nia) residenti in una coda i che
vengono trovate da una richiesta entrante nella coda stessa è pari al numero medio di richieste in tutta la coda i nel caso in cui nella rete di code vi siano n-1 richieste (ni
(n-1) cioè n meno quella che vuole il servizio sulla coda i-esima)
In altri termini: nia(n) = ni
(n-1)
Quindi: Ri = Si(1+ni(n-1))
e moltiplicando entrambi i membri per Vi
=> R’i = Di(1+ni(n-1))
Applicando la legge di Little a tutto il sistema “rete di code” (n=X0R0), abbiamo che:
=> X0 = n / R0(n) = n / Kr=1 R’
i(n)
Applicando la legge di Little e la Forced Flaw Law:=> ni(n) = Xi(n) Ri(n) = X0(n) Vi Ri(n) = X0(n) R’
i(n)
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Mean Value Analysis (Single class)
Riassumendo, le tre equazioni sono:
-> Residence Time equationR’
i = Di[1+ni(n-1)]
-> Throughput equationX0 = n / K
r=1 R’i(n)
-> Queue lenght equationni(n) = X0(n) R’
i(n)
Procedimento iterativo:1. Sappiamo che ni(n) = 0 per n=0; infatti se non ci sono messaggi
nelle rete di code certamente non ci sono in ognuna delle singole code che la costituiscono.
2. Sapendo ni(0) si possono calcolare i vari R’i(1)
3. Sapendo gli R’i(1) si possono calcolare i vari ni(1) e X0(1)
4. Sapendo gli ni(1) si possono calcolare gli R’i(2)
5. Si continua finchè non si sono trovati gli ni(n) R’i(n) e X0(n) dove n
è il numero di richieste che circolano all’interno della rete in considerazione.
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Esempio DB Server(example 9.3)
• Richieste da 50 clients• Ogni richiesta necessita 5 letture di record da un disco• Average read time di un record = 9 msec• Ogni richiesta al DB necessita di 15 msec di CPU
DCPU = SCPU = 15 msec Service demand at CPUDDISK = SDISK * VDISK = 9 * 5 = 45 msec Service demand at the disk
Using MVA Equations
n = 0; Number of cuncurrent requestsR’CPU = 0; Residence time for CPUR’DISK = 0; Residence time for diskR0 = 0; Average response timeX0 = 0; ThroughputnCPU = 0; Queue lenght at CPUnDISK = 0 Queue lenght at disk
n = 1; R’CPU = DCPU = 15 msec;
R’DISK = DDISK = 45 msec; R0 = DCPU + DDISK = 60 msec;
X0 = n/ R0 = 0,0167 tx/msecnCPU = X0 * R’CPU = 0,250nDISK = 0,750
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Reti Chiuse (Single Class)Bounds
Identificazione del collo di bottiglia (1/2)
Normalmente il throughput generato da una rete di code tenderà a saturare al crescere delle richieste all’interno del sistema; siamo quindi interessati a individuare quale sia il componente all’interno del sistema (supposto che sia uno solo) che provoca la saturazione.
Ricordando che nel caso di reti aperte: 1 _
maxki=1 Di
e sostituendo con X0 (n): X0 (n) 1 _
maxki=1 Di
Ricordando la Throughput Equation di MVA e tenendo presente che R’
i Di per tutte le code i, abbiamo:
X0 (n) = n n _
Kr=1 R’
i Kr=1 Di
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Reti Chiuse (Single Class)Bounds
Identificazione del collo di bottiglia (2/2)
Combinando le due equazioni ottenute abbiamo:
-> X0 (n) min n _ , 1 _ K
r=1 Di maxki=1 Di
Quindi per n piccoli il throughput crescerà al più linearmente con n, dopo di che si appiattisce su un valore pari a 1/ maxk
i=1 Di
.
X0
n
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Reti Chiuse (Single Class)Bounds
Tempi medi di risposta (1/2)
Quando il throughput raggiunge il suo massimo valore (cioè per n grande) il tempo medio di risposta corrisponde a:
R0 (n) n _
max throughput
Quindi per grandi valori di n il tempo di risposta cresce linearmente con n:
-> R0 (n) n maxki=1 Di
Al contrario, per piccoli valori di n (n prossimo ad 1) il tempo medio di risposta sarà pari a .
-> R0 (n) = Kr=1 Di
dato che i tempi di attesa sono nulli.
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Reti Chiuse (Single Class)Bounds
Tempi medi di risposta (2/2)
Potremo quindi stabilire un lower bound sul tempo medio di risposta pari a:
-> R0 (n) max Kr=1 Di , maxk
i=1 Di
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Esempio DB Server(Example 9.4)
Nuovi scenari rispetto es.precedente:• Aumento degli indici nel DB• Disco 60% più veloce (average service time =
5,63 msec)• CPU più veloce (service demand = 7,5 msec)
Scenario Service demand DCPU
Service demand DDISK
Di 1/
maxDi
Bootleneck
a 15 2,5 * 9 = 22,5 37,5 0,044 disk
b 15 5*5,63 = 28,15 43,15 0,036 disk
c 15/2 = 7,5 45 52,5 0,022 disk
a+b 15 2,55*5,63 = 14,08 29,08 0,067 CPU
a+c 15/2 = 7,5 2,5 * 9 = 22,5 30,0 0,044 disk
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Mean Value Analysis (Multiple Class)
Denotati con:
. N: il vettore contenente il numero di richieste per ogni classe all’interno del sistema; Nr numero di richieste di classe r. lr : un vettore contenente 0 in ogni posizione diversa da r e 1 nella posizione r;
Le equazioni caratterizzanti il sistema sono:
-> Residence Time Equation for class rR’
i,r(N)= Di,r[1+ni(N – 1r)]
-> Throughput equation for class rX0,r = Nr / K
r=1 R’i,r(N)
-> Queue lenght equation for class rni,r(n) = X0,r(n) R’
i,r
-> Queue equation ni(N)= R
r=1 ni,r(N)
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Quando si usano molte classi, il calcolo della ni per un certo N richiede di calcolare tutte le ni,r; queste dipendenze rendono spesso molto oneroso il calcolo della MVA;
Per questo si usa un metodo approssimato basato sull’osservazione che il numero di richieste di una classe r presenti un una coda è proporzionale al numero di richieste di classe r nella rete di code. Da questo segue che:
ni,r ( N – lr) = Nr – 1 ni,r ( N ) Nr
E quindi la seguente equazione:
-> Approssimazione ni,r ( N – lr) = Nr – 1 ni,r ( N )
Nr
Tuttavia questa approssimazione si basa sulla conoscenza di: ni,r(N). Normalmente per risolvere questo problema si usa un metodo iterativo basato sull’utilizzare un valore ni,r(N) approssimato, ricavare iterativamente ni,r(N), e ripetere il procedimento finché la differenza fra i due valori non scende al di sotto di una soglia di errore precedentemente stabilita.
Mean Value Analysis (Multiple Class)
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