modelos estocásticos

Procesos de simulación en

sistemas estocásticos Juan Carlos Aldana B.

Objetivo

• Reconocer como desarrollar adecuadamente un modelo de simulación estocástica, y las variables que los definen.

Proceso de simulación estocástica

Recolección de datos

Asignación de números aleatorios

Formulación del modelo

Análisis

Simulación con

computadora

Recolección de datos

Da

tos

de

cost

os,

ca

pa

cid

ad

es,

dis

trib

uci

on

es d

e p

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Registros históricos cuando la información existe en

informes

Procedimiento de muestreo estadístico, cuando no se tiene información precisa

Variables aleatorias

• Cuando en un experimento, las cantidades de interés son determinadas por el resultado de este experimento.

• La función de distribución acumulada o función de probabilidad F, de las variables aleatorias X, es dada algún número real x para:

• F(x) = P(X ≤ x) • Una variable discreta sólo puede tomar un número

finito de valores, por lo tanto la probabilidad de la función es: p(x) = P(X=x)

• Y por lo tanto 𝑝 𝑥𝑖 = 1∞𝑡=1

Generación de Números Pseudo-

Aleatorios • Un número aleatorio es aquel que tiene la misma

probabilidad de ser seleccionado que cualquier otro número.

• Como en la naturaleza no se puede garantizar la completa aleatoriedad de un número se generan los números pseudo-aleatorios.

• Estos constituyen una secuencia de valores, los cuales son determinísticamente generados, tienen la apariencia de ser uniformemente independientes (0,1) de variables aleatorias.

Generación de números Pseudo-

aleatorios • La aproximación más común para generar números

pseudo-aleatorios, empieza con un valor inicial 𝑣0 llamado semilla, y entonces recursivamente se computan valores sucesivos 𝑥𝑛 con n≥ 1, para permitir que:

• 𝑥𝑛 = 𝑎𝑥𝑛−1 , modulo m • Donde a y m son enteros positivos, y donde la media 𝑑𝑒 𝑎𝑥𝑛−1 , es divido por m y el remanente es tomado como .

• Esta ecuación es llamada el método congruencial multiplicativo.

Generación de Números Pseudo-

Aleatorios • Se pueden generar números pseudo-aleatorios a

través de:

▫ Las tablas de números aleatorios de los libros

▫ Las calculadoras

▫ Las hojas de cálculo de los computadores

▫ Aplicaciones especificas

Formulación del modelo

Insumos incontrolables (Parámetros)

Insumos controlables (Variables de

decisión)

Modelo Matemático

Salidas (Resultados previstos)

Análisis

• Es un método para ensayar hipótesis, en el cual el resultado de un conjunto de simulaciones, proporcionan datos de muestra que pueden analizarse estadísticamente.

• Se comparan con otros conjuntos de simulación para determinar consistencia de los datos.

• También se pueden utilizar para analizar alternativas y casos extremos y determinar si son estadísticamente significativos.

Simulación por computadora

En estado estable

Si son manuales pueden consumir mucho tiempo

Mejora las alternativas de la simulación y la eficiencia

Ejercicio. Venta de vehículos • La distribuidora de carros Best vende vehículos nuevos.

El Gerente considera que la distribución de probabilidad de vehículos vendidos por semana es:

Ventas semanales Frecuencia relativa (prob)

0 0,05

1 0,15

2 0,20

3 0,30

4 0,20

5 0,10

Total 1,0

Si el precio de venta por vehículo es de 20 (mill), diseñe un modelo de simulación que determine las distribuciones de probabilidad y la media de las próximas 20 semanas

Variables aleatorias

• Sólo puede asumir una secuencia finita o infinita de valores

• 1, 2, 3,…..100

Discreta

• Pueden asumir cualquier valor en un intervalo determinado

• Números reales Contínua

Una variable aleatoria es la descripción numérica del resultado de un experimento

Distribuciones de probabilidad de una

variable aleatoria discreta

• Si la función de probabilidad f(x) determina la probabilidad que una variable aleatoria tome un valor especifico.

• Se requiere que:

0≤ f(x) ≤ 1

∑ f(x) = 1

Valor esperado de una V.A.D. • El Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta es

un promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas a los valores.

• De denota como: E(x) = μ = ∑ x f(x)

x F(x) X f(x)

0 0,18 0*0,18 = 0

1 0,39 1*0,39= 0,39

2 0,24 2*0,24= 0,48

3 0,14 3*0,14= 0,42

4 0,04 4*0,04= 0,16

5 0,01 5*0,01= 0,05

E(x) = 1,5

Varianza de una V.A.D. • La varianza es la variabilidad de los valores que asume

una variable aleatoria.

• Se denota como:

Var(x) = σ2 = ∑ (x – μ)2f(x)

x x – μ (x – μ)2 F(x) (x – μ)

2f(x)

0 0-1,5 = -1,5 2,25 0,18 0,4050

1 1-1,5 = -0,5 0,25 0,39 0,0975

2 2 – 1,5 = 0,5 0,25 0,24 0,06

3 3 – 1,5 = 1,5 2,25 0,14 0,315

4 4 – 1,5 = 2,5 6,25 0,04 0,25

5 5 – 1,5 = 3,5 12,25 0,01 0,1225

σ2 = 1,25

La desviación estándar es la raiz cuadrada positiva de la varianza σ

Distribución de probabilidad binomial

Es el experimento que cumple las siguientes características:

1. Consiste en una secuencia de n eventos idénticos.

2. Dos resultados son posibles en cada ensayo. Éxito y fracaso; cara y sello.

3. Las probabilidades de los dos resultados no cambian de un ensayo a otro.

4. Los ensayos son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta el resultado del otro.

Notación de la Distribución Binomial

• Si cumple las condiciones 2,3 y 4 se conoce como un proceso de Bernoulli.

• Función de probabilidad binomial:

f(x) = 𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 con x= 0, 1, 2…n

Donde: n: número de ensayos P: probabilidad de éxito en un ensayo x: número de éxitos en n ensayos f(x): probabilidad de x éxitos en n ensayos n! = n(n-1)(n-2)….(1)

Valor esperado y varianza

• El valor esperado es:

E(x) = μ = ∑ x f(x)

Para esta distribución binomial se cumple que:

μ = np

• La varianza es:

Var(x) = σ2 = np (1 - p)

Distribución de Probabilidad de Poisson

Es aplicable cuando:

1. La probabilidad de una ocurrencia del evento es la misma para dos intervalos de igual longitud

2. La ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo

La función de probabilidad es:

f(x) = λ𝑥𝑒−λ

𝑥! para x= 1,2,3…

λ = media o número medio de ocurrencias en un intervalo

e = 2,71828

X = número de ocurrencias en el intervalo

f(x) = probabilidad de x ocurrencias en el intervalo

Ejercicio. Poisson

• Se desea conocer la cantidad de clientes que llegan a un cajero electrónico durante 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Si se asume que la probabilidad de llegada de un cliente es igual en intervalos de tiempos iguales, y que la llegada de clientes es independiente, la distribución de Poisson es aplicable. Si se conoce que el número medio de clientes que llega es de 10 durante los 15 minutos, se aplica la función de probabilidad con λ = 10 clientes.

Ejercicio. Poisson

• f(x) = λ𝑥𝑒−λ

𝑥! =

10𝑥𝑒−10

𝑥! para x= 1,2,3…

• Si

• f(0) = = 100𝑒−10

0! = 0,00

• f(1) = = 101𝑒−10

1! = 0,005

• Calcule la probabilidad para x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Cuál es la probabilidad que al menos lleguen 5 clientes?

Variables aleatorias contínuas

• Se presentan en modelos en los cuales

▫ No se conoce el comportamiento de las variables, es incierto.

▫ Esta definido para todo instante de tiempo, en un intervalo de observación.

▫ El comportamiento de las variables esta asociado a una distribución de probabilidad.

Distribución de probabilidad Uniforme

• Se define cuando la variable tiene la misma probabilidad de ocurrencia en cualquier intervalo de tiempo.

• La variable puede tomar cualquier valor en el intervalo (por esto es contínua).

0

2

4

6

0 5 10 15

Valores Y

Valores Y

Notación de la Distribución Uniforme

• Función de probabilidad Uniforme:

f(x) = 1

𝑏−𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏𝑥

0 en cualquier otro valor

Como la variable x puede tomar un número de valores infinitos se asume la probabilidad en función de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo dado.

Ejemplo: Distribución Uniforme

• Una persona demora en llegar a su casa en la noche mínimo 1 hora y máximo 1 hora y 20 minutos.

• Defina la función de probabilidad

• Dibuje la gráfica de distribución de probabilidad.

• Cuál es la probabilidad que se demore entre 1 hora y 1 hora y un minuto?

• Cuál es la probabilidad que demore entre 1 hora y 1 hora y 10 minutos?

• Se puede conocer la probabilidad por el área, cómo?

Diferencias entre las variables

aleatorias discretas y continuas

• La probabilidad de la variable toma un valor en particular.

• La probabilidad es representada como un punto instantáneo en una gráfica.

Discretas

• La probabilidad que la variable tome un valor dentro de un intervalo dado.

• La probabilidad en ese intervalo se define como el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad en el intervalo. Entonces la probabilidad de que la variable tome un valor particular es cero.

Continuas

Distribución de probabilidad normal

• Es muy utilizada, porque existen muchos fenómenos de la vida real y variables que se pueden expresar así.

• La función de densidad de probabilidad es una curva con forma de campana de gauss.

Notación de la Distribución Normal

• Función de probabilidad normal:

f(x) = (1/σ 2𝜋) 𝑒−(x− μ) 2/ 2 σ2 con -∞ ≤ x ≤ ∞

Donde:

μ : Media o valor esperado de la variable aleatoria x

σ2: Varianza de la variable aleatoria x

σ : desviación estándar de la variable aleatoria x

𝜋 : 3,1416

e = 2,71828

Distribuciones de probabilidad con la

misma media

Distribución Normal Estándar

• Se presenta cuando:

▫ μ = 0 ▫ σ = 1

• Z : variable aleatoria con distribución normal estándar

• La probabilidad también corresponde al área bajo la curva

• Los valores de z negativos y positivos se consultan en las tablas.

Cálculo de probabilidades para

distribuciones normales

• Se puede convertir cualquier función con media μ y desviación estándar σ, a una distribución normal estándar utilizando la fórmula:

• Z = x - μ / σ

• En este caso z es el número de desviaciones estándar que x está alejada de μ

Ejercicio Distribución Estándar

• Una fábrica esta probando el recorrido promedio de una nueva llanta que se calcula en μ=35.500 km y con una desviación estándar de σ= 5.000 km. Se identifica que este comportamiento sigue una distribución normal.

• Qué porcentaje de llantas se puede esperar dure más de 40.000 km?

• Cuál es la probabilidad que al menos dure 30.000 km? • Si se da un descuento a las llantas que no cumplan con el

recorrido mínimo y se quiere que este no sea de más del 10% de las llantas, cuál debe ser el kilometraje de garantía de las llantas?

Distribución de probabilidad

exponencial • Es una distribución empleada usualmente para

identificar el tiempo de completar una tarea.

• Llegada entre clientes

• Tiempo para prestar un servicio

• Tiempo entre errores medios en una línea

Notación de la Distribución

Exponencial

• Función de probabilidad normal:

f(x) = 1

μ 𝑒

−𝑥

μ

para x ≥ 0, μ ≥ 0

Donde:

X : Variable aleatoria continua

μ : Media o valor esperado de la variable aleatoria x

e = 2,71828

Cálculo de probabilidades para la

distribución exponencial • La probabilidad es el

área bajo la curva.

• P ( x ≤ 𝑋0) = 1 - 𝑒−𝑋0

μ

• P ( x ≤ 𝑋1) = 1 - 𝑒−𝑋1

μ

• 𝑡2

Ejercicio Distribución Exponencial

• Si los tiempos de atención a un cliente en un banco son μ = 15 minutos, cuál es la probabilidad que se requieran menos de 6 minutos para atender a un cliente?

• Cuál es la probabilidad que se demore entre 6 y 15 minutos?

• Cuál es la probabilidad que se demore más de 18 minutos?

Bibliografía • MORA, Héctor M.,Temas de Optimización. . Facultad De Ciencias

Universidad Nacional 2009.

• TAHA Handy. Investigación de operaciones. Pearson Educación. México. 2004.

• EPPEN G.D. y otros. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. Pearson Educación. México. 2.000.

• HILLIER Fredery y LIEBERMAN. Investigación de operaciones. McGraw Hill. México. 2.001.

• ANDERSON David y otros. Métodos cuantitativos para los negocios. Ed. Cengage Learning , 11ª. Ed. 2010.

• HEIZER Jay, Dirección de la Producción y Operaciones, 8ª. Edición, Prentice Hall, 2007.

• KRAJEWSKI Lee, Administración de Operaciones, 8ª. Edición, PrenticeHall, 2008.

• DUARTE Oscar, Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales, Universidad Nacional de Colombia.