modul kuliah matematika/kalkulus 1
Post on 24-Feb-2016
401 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
MODUL KULIAHMATEMATIKA/KALKULUS 1
1
Pokok Bahasan : Kalkulus I2 1) Sistem Bilangan Real
2) Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri3) Limit Fungsi, Fungsi Kontinu4) Turunan Fungsi5) Penggunaan Turunan, Grafik Fungsi6) Limit Bentuk Tak Tentu, Penggunaan Turunan7) UTS8) Integral Tak Tentu dan Integral Tentu9) Penggunaan Integral Tentu10) Fungsi-fungsi Transenden11) Metode Integrasi, 12) Penggunaan Tabel Integral13) UAS
3
SISTEM BILANGAN REALBilangan Kompleks z = a + bi
Bilangan Real ( R )
Bilangan Immajiner, i = 1
Bilangan Rasional Bilangan Irrasional
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q)
Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
Bilangan desimal tidak berulang
4
Garis Bilangan Real Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang
sebuah garis bilangan real
───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Bidang Bilangan KompleksBilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks
Im(z)
Ra(z)a
b P
=3,14e
4/5
x < -2
Pengertian Pertidaksamaan5
Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > <.
(1) p < q artinya p lebih kecil dari pada q
(2) p > q artinya p lebih besar dari pada q
(3) p q artinya p lebih kecil atau sama dengan q
(4) p q artinya p lebih besar atau sama dengan q
Sifat-sifat Sederhana :(1) Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, mk x+2<10+2 (2) Perkalian/pembagian dengan
bilangan positip. Untuk, a > 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2)
(3) Perkalian/pembagian denan bilangan negatif. Untuk a < 0,
Jika x < y, maka ax > ayMisal, jk x < 4, mk -2x > -2(4)
6
Pertidaksamaan dan Interval Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis
bilangan R (x1 = –4, x2 = 2) Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup,
interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2}) Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan
tertentu Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya.
Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan
Contoh Tentukan HP dari :x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0
Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0 + + + ─┼────┼────┼───> R –3 1 4HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4}
Contoh Tentukan HP dari :dg, x 8, x –4 48
2
xx
xx
Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - - ─┼────┼────┼────┼──> R –4 –1 4 8HP = {x: x <–4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x ≥ 8}
Pertidaksamaan Sederhana7
Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan.
Contoh : Solusi dari : x + 4 > 7Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh, x + 4 – 4 > 7 – 4 x > 3Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 0 1 2 3
Contoh : Cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, 3 + 4x 6x + 7 Tulis pertidaksamaan menjadi, 4x – 6x 7 – 3 –2x 4 2x –4 x –2 Jadi semua nilai x lebih kecil atau sama dengan –2 yang memenuhi pertidaksamaan. Garis bilangannya : ---------+----+----+----+--------- x –3 –2 –1 0
Pertidaksamaan Kuadratik (1)
8
Pertidaksamaan kuadratik adalah pertidaksamaan yang memuat persamaan kuadratik.
Tahap-tahap menentukan solusinya adalah :(1) Ubah bentuk pertidaksamaan
menjadi persamaan(2) Carilah akar-akar persamaan
kuadratnya, jika mungkin dengan faktorisasi
(3) Selidikilah nilai-nilai yang mungkin dengan menggunakan garis bilangan
(4) Tentukan solusinya dari langkah (3).
Contoh :Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0Faktor dari, x2 – 4x – 12 = 0 adalah,(x + 2)(x – 6) = 0, dan akar-akarnya x=–2, x=6. Perhatikan garis bilangan
- - -0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ –2 6 - - - - - - - - - - 0 + + +(x–6) -----+------------+------ –2 6 + + 0 - - - - - -0++ +(x+2)(x–6) -----+------------+----- –2 6HP, –2 < x < 6.
Pertidaksamaan Kuadratik (2)
9
Contoh :Tentukan HP dari 2x2 + 3x – 9 0Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah,(2x – 3)(x + 3) = 0, dan akar-akarnya x=3/2, x=–3. Perhatikan garis bilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- –3 3/2 - - - - - - - - - 0 + + (2x–3) -----+----------+------ –3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ +(2x+3)(x–3) -----+-----------+-----Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, x –2 v x 6.
Contoh :Tentukan HP : 0 < x2 – 4x – 12 < 20
Solusi pertidaksamaan diatas adalah irisan HP : 0<x2 –4x–12 dan x2 – 4x – 12 < 20
Solusi dari, x2 – 4x – 12 >0, atau (x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6
Solusi dari, x2 – 4x – 12 < 20 atau x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0 adalah –4< x < 8
Irisan kedua solusi adalah – 4<x< –2 v 6 < x < 8
Pertidaksamaan dan Pecahan (1)10
Sifat-sifat :
positip harus maka ,0 Jika,(1)qp
qp
0 dan 0 syaratnya,0 (a). qpqp
0 dan 0 syaratnya,0 (b). qpqp
negatif harus maka ,0 Jika(2)qp
qp
0 dan 0 syaratnya,0 (a). qpqp
0 dan 0 syaratnya,0 (b). qpqp
Batas interval, solusinya adalah p=0, dan q0
Contoh :Hitunglah HP dari,Jawab
0932
xx
Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2–3. Perhatikanlah garis bilangan berikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x – 2) -----+-----------+----- –3 2 - - - 0 + + + + + + +(3x+9) -----+----------+------ –3 2 + + 0 - - - - - -0++ +HP -----+-----------+----- –3 2Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x 2
Pertidaksamaan dan Pecahan (2)11
Contoh :Hitunglah HP dari,JawabTulislah pertidakamaan menjadi,
0)3)(3()6)(1(
0)3)(3(65
0)3)(3()3(2)3(
032
3 3
23
2
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxx
x
32
3
xxx Perhatikanlah garis bilangan berikut,
- - - - - - - 0 + + + + + + +(x + 1) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + (x – 6) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - 0 + + + + + + + + + +(x + 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - 0 + + + +(x – 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6Jadi HP : –3 < x –1 v 3 < x 6
12
Nilai Mutlak Bilangan
Nilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan real x ditulis |x|, didefininisikan oleh :
0 xjika ,0 xjika,
||x
xx
───┼─────┼─────┼─> R –x 0 x
Kasus khusus,
aa
axax
ax xjika , xjika,
)(||
───┼─────┼─────┼─> R –(x-a) 0 x-a
Grafik persamaan, y = |x|
Y=xY=-xy
x0
Grafik persamaan, y = |x – a|
y
a
a
Y=a-x
x
Y=x-a
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1)
13
Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan,
0 jika ,
0 jika,||xx
xx
x
Dari definisi diatas nilai mutlak bilangan selalu bernilai positif.
Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting :
(1) | x | < a –a < x < a (2) | x | > a x<–a V x> a
Sifat (1) berlaku pula untuk (), sifat (2) berlaku pula untuk ()
Contoh :Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9 JawabMenurut definisi, |2x – 5| < 9 –9 < 2x – 5 < 9 –9+5 < 2x < 9+5 –4 < 2x < 14Jadi, HP : –2 < x < 7
Contoh :Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 JawabMenurut definisi,|2x + 3|>11 2x+3< –11 v 2x+3>11 2x<–11–3 v 2x >11–3 2x < –14 v 2x > 8Jadi, HP : x < –7 v x > 4
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (2)
14
Contoh :Hitung HP dari, |x2 – 4x – 25|< 20JawabMenurut definisi, |x2– 4x–25|<20 –20<x2– 4x – 25<20Jadi, HP merupakan irisan dari, (1) –20 <x2 – 4x – 25 dan (2) x2 – 4x – 25 < 20
Mengingat, –20 <x2 – 4x – 25 x2 – 4x – 5 > 0 (x + 1)(x – 5) > 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 5 Jadi HP (1) : x < –1 v x > 5
Demikian pula dari,x2 – 4x – 25 < 20 x2 – 4x – 45 <0 (x + 5)(x – 9) < 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –5 9Jadi HP (2) : –5 < x < 9
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
HP -----+------+------+-------+--- –5 –1 5 9Solusi : –5 < x < 1 v 5 < x < 9
Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (3)
15
Contoh :Hitung HP dari, |x2 – 5x – 21|> 15JawabMenurut definisi, |x2 – 5x – 21|> 15 x2 –5x – 21<–15 atau x2 – 5x – 21>15Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2 – 5x – 21 < –15 atau (2) x2 – 5x – 21 > 15
Mengingat, x2 – 5x – 21< –15 x2 – 5x – 6 < 0 (x + 1)(x – 6) <0 + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 6 Jadi HP (1) : –1 < x < 6
Demikian pula dari,x2 – 5x – 21 > 15 x2 – 5x – 36 >0 (x + 4)(x – 9) > 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –4 9Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9
Jadi solusi pertidaksamaan adalah :
HP -----+-------+---------+-------+--- –4 –1 6 9Solusi : x < –4 v –1< x < 6 v x > 9
16
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Contoh Tentukan HP dari :
|x2 + 2x – 16| ≤ 8
–8 ≤ x2 + 2x – 16 x2 + 2x – 16 ≤ 8
+ 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –4 2
+ 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –6 4
Solusi :
─┼────┼────┼────┼──> R –6 –4 2 4HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4}
Bentuk grafik
8
Y=x2 + 2x – 16
x
–8
Grafik persamaan kuadrat,
Contoh Tentukan HP dari :|x2 – 6x – 16| ≥ 8
–6 – 4 2 4
Soal-soal latihan17
Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini :1. –13 < 3x – 7 < x+172. x2 – 10x + 24 < 03. 10 < x2 – 4x + 5 < 174. 8 < 2x2 – 5x + 5 < 305. –1< 3x2 – 4x – 5 < 10
04
21)9(
41
112)8(
012
2)7(
332)6(
2
2
xx
xxx
xx
xxx
2420)11(
24
10)10(
xx
x
xxx
12. |2x + 5| < 1713. |3x – 4| > 1414. |x2 – 5x – 32| 18 15. |x2 + 4x – 22| > 10
18
Soal-Soal Latihan : Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini
0).( 0)(
)2(2 ).( 22
2
2
baxx
abxbabxbax
xbaxa
xbaaxx
xxxfa)(2
23)( ).( 23
24
Soal 17. Diberikan,
a. Tentukan nilai x agar f(x) = 0b. Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0)c. interval f(x) > 0 dan f(x) < 0
2223
23 20249)( ).(abxbaxx
xxxxfb
19
Sistem Koordinat Kartesiusdan Grafik Garis Lurus (1)
Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius.
Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + cm disebut dengan gradien.
Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :
)(
)(
00
001010
0101
00
xxmyy
xxxxyyyy
xxyy
xxyy
0101 dimana,
xxyym
Grafik Garis Lurus (2)20
Contoh :Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut :
P(1,5)
Q(2,8)
31258
m
Garis Sejajar.Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama
Grafik Garis Lurus (3)21
Contoh :Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = –1, dan –x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya.JawabTitik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi.3x+y = –1 x 1 3x + y =–1–x+2y=5 x 3 –3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 =–1
Jadi titik potong kedua garis adalah (–1,2)
Sketsa grafik kedua garis
3x+y = –1,
–x+2y=5
Titik potong (–1,2)
Grafik Garis Lurus (4)22
Contoh :Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6)JawabDua garis saling tegak lurus, maka m1m2=–1. Dari, garis 3x+y=9, maka
diperoleh, m1= –3, dengan demikian,
dan persamaan garisnya adalah,
31
2 m
1731183
)1(316
yxxy
xy
Sketsa grafiknya adalah :
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
3x + y = 9
x – 3y = –17
(1,6)
Grafik Parabola (1)23
Grafik persamaan kuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebut dengan parabola
Sifat-sifat grafik parabola.1. Kecekungan. (a) a > cekung terbuka keatas (b) a < cekung terbuka kebawah.2. Sumbu simetri. Garis,
adalah sumbu simetri parabola3. Titik potong dengan sumbu y. Grafik memotong sumbu di titik
(0,c)
4. Titik potong dengan Sumbu x(a) Kasus D > 0. Grafik parabola memotpng sumbu di
dua tempat, yaitu :
(b) Kasus D = 0 Grafik parabola menyinggung sumbu
x di titik,
(c) Kasus D < 0Grafik parabola tidak memotong sumbu x
aacbbx 2
4212
abx 2
abx 2
Grafik Parabola (2)24
Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah :(1) Bilamana mungkin tentukanlah
pula titik potongnya dengan sumbu koordinat.
(2) Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.
(3) Buatlah diagram pencar titik-titik di bidang
(4) Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus
Contoh :Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x2 + 4x – 15 Jawab (a) Untuk x=0, y=–15, sehingga titik
potong dengan sumbu y adalah (0,–15)
(b) Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat,
4x2 + 4x – 15 =0, (2x + 5)(2x – 3) = 0 dimana akar-akarnya adalah : x1=–2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di
(–2,5,0) dan (1,5,0)
Grafik Parabola (3)25
(c) Sumbu simetri,
Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di (–0,5,–16)
(d) Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut,
x –3 –2 –1 0 1 2 ------------------------------------ y 9 –7 –15 –15 –7 9 (e) Sketsa grafik lihat gambar
sampingSumbu simetri
Titik potong
a=4> 05,0)4(2
4x
top related