modul matematika ipa · pdf filesiap ujian nasional 2013/2014 modul matematika ipa milik amc:...
Post on 06-Feb-2018
963 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SIAP UJIAN NASIONAL
2013/2014
MODUL MATEMATIKA IPA
Milik AMC:Tidak untuk dijual
I Komang Witarsa, S.Pd.
Materi Disusun Per IndikatorSesuai SKL UN 2014
DAFTAR ISI
1. Pangkat, Akar dan Logaritma................................................................................................. 1
2. Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat ......................................................... 18
3. Sistem Persamaan Linear ..................................................................................................... 42
4. Trigonometri I ...................................................................................................................... 53
5. Trigonometri II ....................................................................................................................64
6. Logika Matematika .............................................................................................................. 85
7. Dimensi Tiga ...................................................................................................................... 101
8. Statistika ............................................................................................................................ 132
9. Peluang .............................................................................................................................. 148
10. Lingkaran ........................................................................................................................... 162
11. Suku Banyak ...................................................................................................................... 170
12. Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi ................................................................................. 184
13. Limit Fungsi ....................................................................................................................... 197
14. Turunan Fungsi (Derivatif) ............................................................................................... 214
15. Integral (Anti Turunan) ...................................................................................................... 230
16. Program Linear .................................................................................................................. 276
17. Matriks ............................................................................................................................... 288
18. Vektor ................................................................................................................................ 300
19. Transformasi ..................................................................................................................... 325
20. Barisan Dan Deret ............................................................................................................. 336
21. Fungsi Eksponen dan Logaritma....................... ......... ..... ..................................................354
1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional
1) Pangkat negatif dan nol
Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:
a) a–n = na
1atau an =
na−1
b) a0 = 1
2) Sifat–Sifat Pangkat
Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:
a) ap × aq = ap+q
b) ap : aq = ap–q
c) ( )qpa = apq
d) ( )nba× = an×bn
e) ( )n
n
b
an
ba =
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13
Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 2
1.
Nilai 21)( −a x 3
4
−c
b = …..
A. 2
1 D.
16
1
B. 4
1 E.
32
1
C. 8
1 Jawab : C
21)( −a x 3
4
−c
b = a – 2⋅b4⋅c3 =
2
34
a
cb ⋅
= ( )2
3
214
4
2 ⋅
= 16
16 81⋅
= 81 ………..(C)
2. UN 2012/C37
Diketahui ,2,2
1 == ba dan c = 1
.Nilai dari 12
32 ..−
−
cab
cba adalah ….
A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 E. 96 Jawab: B
12
32 ..−
−
cab
cba =
122
3
−⋅⋅⋅⋅
bbaa
cc
= ba
c
⋅3
4
= ( ) 2
13
21
4
⋅=
2
1
81 ⋅
= 41
1= 4 …….. (B)
MODUL AMC SIAP UN 2014
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
2
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2012/B25
Nilai dari 22
132
bca
cba−
−, untuk a = 2, b = 3
dan c = 5 adalah ...
A. 12581
B. 125144
C. 125432
D. 1251296
E. 1252596
Jawab : B
22
132
bca
cba−
− =
2
1322
cc
bbaa
⋅⋅⋅⋅ −
= 3
24
c
ba ⋅
= 3
24
5
32 ⋅
= 125
916⋅
= 125
144 ...................................(B)
4. UN 2012/E52 Jika di ketahui x = 3
1 , y = 51 dan z = 2
maka nilai dari adalah…..
A. 32 B. 60 C. 100 D. 320 E. 640 Jawab : B
= 1243
24
−−
−
⋅⋅⋅⋅
yyxx
zz
=
= 51
31
22
× =
151
4
= 4 × 15 = 60 ……………(B)
5. UN 2011 PAKET 12 Bentuk sederhana dari
417
643
84
7−−−
−−
zyx
zyx = …
a. 3
1010
12y
zx d.
4
23
12x
zy
b. 34
2
12 yx
z e.
23
10
12 zy
x
c. 2
510
12z
yx Jawab : e
417
643
84
7−−−
−−
zyx
zyx =
6441
73
127
7
zzyy
xx
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−
= 23
10
12 zy
x ……………….(e)
6. UN 2011 PAKET 46 Bentuk sederhana dari
632
27
6
24−−−
−−
cba
cba = …
a. 53
54
ba
c d.
5
74
a
bc
b. 55
4
ca
b e.
ba
c3
74
c. ca
b3
4 Jawab : d
632
27
6
24−−−
−−
cba
cba =
72
632
6
46
aa
ccbb
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
−
= 5
74
a
bc ……………………(d)
423
24
−−
−−
zyx
yzx 423
24
−−
−−
zyx
yzx
xy
z2
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
3
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2010 PAKET A
Bentuk sederhana dari 1
575
35
3
27−
−−
−−
ba
ba adalah …
a. (3 ab)2 b. 3 (ab)2 c. 9 (ab)2
d. 2)(
3
ab
e. 2)(
9
ab
Jawab : e
1
575
35
3
27−
−−
−−
ba
ba =
575
353
3
3
ba
ba−
−
= 3557
53 33−−
−
⋅⋅⋅⋅
bbaa
= 22
23
ba
= 2)(
9
ba ………………(e)
8. UN 2010 PAKET B Bentuk sederhana dari
254
423
)5(
)5(−−−
−
ba
ba adalah …
a. 56 a4 b–18 b. 56 a4 b2 c. 52 a4 b2 d. 56 ab–1 e. 56 a9 b–1 Jawab : a
254
423
)5(
)5(−−−
−
ba
ba =
1082
8124
5
5
ba
ba−
−
= 54+2 a12 – 8 b – 8 – 10
= 56 a4 b– 18 ……………….(a)
9. EBTANAS 2002
Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5 . Nilai dari a2 – b2 = … a. –3 b. –1
c. 2 5
d. 4 5
e. 8 5
Jawab : e
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a – b =2 + 5 – (2 – 5 )= 2 – 2 + 5 + 5 = 2 5
a + b = 2 + 5 + 2 – 5 = 2 + 2 + 5 – 5 = 4
jadi : a2 – b2 = (a – b)(a + b)
= 2 5 × 4
= 8 5 ……………………………….(e)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
4
B. Bentuk Akar 1) Definisi bentuk Akar
Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:
a) n aa n =1
b) n maa nm
=
2) Operasi Aljabar Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:
a) a c + b c = (a + b) c
b) a c – b c = (a – b) c
c) ba × = ba×
d) ba + = ab)ba( 2++
e) ba − = ab)ba( 2−+
3) Merasionalkan penyebut
Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak
dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:
a) b
ba
b
b
ba
ba =×=
b) ba
bac
ba
ba
bac
bac
−
−−−
++=×=
2
)(
c) ba
bac
ba
ba
bac
bac
−−
−−
++=×= )(
SOAL PEMBAHASAN 1. UN 2013
Bentuk sederhana dari √��√�√��√� = …
A. –6 – √35 B. –6 + √35 C. 6 – √35 D. 12 – 2√35 E. 12 + 2√35 Jawab : B
75
75
+−
= )75(
)75(
)75(
75
−−×
+−
= 75
35275
−−+
= 2
35212
−−
= –6 + √35………………………(B)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
5
SOAL PEMBAHASAN 2. UN 2013
Bentuk sederhana dari ��√��√ ekuivalen
dengan …
A. – �� �√3 + 1�
B. – � �√3 + 1�
C. – �� �√3 − 1�
D. – � �√3 − 2�
E. – �� �√3 − 2�
Jawab : A
324
31
−−
= )324(
)324(
324
31
++×
−−
= 1216
3264
−−−
= 4
322 −−
= – �� �√3 + 1�……………………(A)
3. UN 2013
Bentuk sederhana dari ���√���√� adalah …
A. –12 – 5√5 B. –12 + 5√5 C. 12 – 3√5 D. 12 + 3√5 E. 12 + 5√5 Jawab : B
52
521
+−
= )52(
)52(
52
521
−−×
+−
= 54
55102
−−+
= 1
5512
−−
= –12 + 5√5……………………(B)
4. UN 2013
Bentuk sederhana dari ��√��√ = …
A. �� �5 + 13√3�
B. �� �23 + 13√3�
C. ��� �5 + 13√3�
D. ��� �23 + 5√3�
E. ��� �23 + 13√3�
Jawab : E
337
32
−+
= )337(
)337(
337
32
++×
−+
= 2749
313914
−++
= 22
31323+
= )31323(22
1 + …………………(E)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
6
SOAL PEMBAHASAN 5. UN 2013
Bentuk sederhana dari ��√�√ adalah …
A. �� �3 + 5√3�
B. �� �9 + 5√3�
C. �� �9 + √3�
D. ��� �9 + √3�
E. ��� �3 + √3�
Jawab : B
33
32
−+
= )33(
)33(
33
32
++×
−+
= 39
3536
−++
= 6
359 +
= )359(6
1 + …………………(B)
6. UN 2013
Bentuk sederhana dari �√��√�√�√� adalah
… A. 5 + 2√6 B. 5 + 3√6 C. 10 + 2√6 D. 10 + 4√6 E. 10 + 6√6 Jawab : D
23
2232
−+
= )23(
)23(
)23(
2232
++×
−+
= 23
6446
−++
= 1
6410+
= 10 + 4√6…………………(D)
7. UN 2013
Bentuk sederhana dari √�√�√�√� = …
A. ���√��
B. ���√��
C. ����√��
D. ����√��
E. ���√��
Jawab : C
5334
53
−+
= )5334(
)5334(
5334
53
++×
−+
= 4548
1571512
−++
= 3
15727+…………………(C)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
7
SOAL PEMBAHASAN 8. UN 2013
Bentuk sederhana dari √�√��√�√� = …
A. �����√��
D. ��√��
B. ���√��
E. ����√��
C. ����√��
Jawab : A
5332
53
−+
= )5332(
)5332(
5332
53
++×
−+
= 4512
155156
−++
= 33
15521
−+
= 33
15521−−…………………(A)
9. UN 2012/A13
Bentuk sederhana dari 52
532
−+
adalah…..
A. )10417(3
1 −
B. )10415(3
2 −−
C. )10415(3
2 −
D. )10417(3
1 −−
E. )10417(3
1 +−
Jawab : E
52
532
−+
= 52
52
52
532
++×
−+
= 52
10310532
−++⋅+
= 3
10417
−+
= )10417(3
1 +− ………………...(E)
10. UN 2012/C37
Bentuk 327
733
−+
dapat disederhanakan
menjadi bentuk …
A. –25 – 5 21
B. –25 + 5 21
C. –5 + 5 21
D. –5 + 21
E. –5 – 21
Jawab : E
327
733
−+
= 327
327
327
337
++×
−+
= 347
213212367
⋅−++⋅+
= 127
215187
−++
= 5
21525
−+
= )215( +−
= 215 −− ………………...(E)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
8
SOAL PEMBAHASAN 11. UN 2012/D49
Bentuk sederhana dari 32
322
−−
adalah….
A.–4 – 3 6
B. –4 – 6
C. –4 + 6
D. 4 – 6
E. 4 + 6 Jawab : E
32
322
−−
= 32
32
32
322
++×
−−
= 32
626322
−−+⋅−
= 1
662
−−−
= )64( −−−
= 64 + ………………………….(E)
12. UN 2012/B25
Bentuk sederhana dari 235
25
+−
A. )10411(131 +−−
B. )1041(131 +−−
C. )10411(131 −
D. )10411(131 +−
E. )10411(131 +−
Jawab: E
235
25
+−
= 235
235
235
25
−−×
+−
= 295
10103235
⋅−−−⋅+
= 185
10465
−−+
= 13
10411
−−
= )10411(131 +− .....................(E)
13. UN 2011 PAKET 12
Bentuk sederhana dari 335
325
−+
= …
a. 22
15520+ d.
22
15520
−+
b. 22
15523− e.
22
15523
−+
c. 22
15520
−−
Jawab : e
335
325
−+
= ( )( )
( )( )335
335
335
325
++×
−+
= 275
181521535
−+++
= 22
15523
−+
………………..(e)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
9
SOAL PEMBAHASAN 14. UN 2011 PAKET 46
Bentuk sederhana dari 263
233
−+
= …
a. )6313(23
1 +−
b. )6313(23
1 −−
c. )611(23
1 −−−
d. )6311(23
1 +
e. )6313(23
1 +
Jawab : a
263
233
−+
= ( )( )
( )( )263
263
263
233
++×
−+
= 723
3663663
−+++
= 69
6939
−+
= )23(3
)6313(3
−+
= )6313(23
1 +− …………….(a)
15. UN 2010 PAKET A Bentuk sederhana dari
)53(
)32)(32(4
+−+
= …
a. –(3 – 5 )
b. –4
1(3 – 5 )
c. 4
1 (3 – 5 )
d. (3 – 5 )
e. (3 + 5 )
Jawab : d
)53(
)32)(32(4
+−+
= )53(
)34(4
+−
= )53(
)53(
)53(
4
−−×
+
= 59
)53(4
−−
= 4
)53(4 −
= (3 – 5 ) ……….……(d)
16. UN 2010 PAKET B Bentuk sederhana dari
62
)53)(53(6
+−+
=…
a. 24 + 12 6
b. –24 + 12 6
c. 24 – 12 6
d. –24 – 6
e. –24 – 12 6
Jawab : b
62
)53)(53(6
+−+
= 62
)59(6
+−
= )62(
)62(
62
)4(6
−−×
+
= 64
)62(24
−−
= 2
)62(24
−−
= – 12( 2 – 6 )
= –24 + 12 6 …………(b)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
10
SOAL PEMBAHASAN 17. UN 2008 PAKET A/B
Hasil dari 32712 −+ adalah …
a. 6 d. 6 3
b. 4 3 e. 12 3
c. 5 3 Jawab : b
32712 −+ = 33934 −⋅+⋅
= 2 3 + 3 3 – 3
= (2 + 3 – 1) 3
= 4 3 …………………….(b)
18. UN 2007 PAKET A Bentuk sederhana dari
( )24332758 +−+ adalah …
a. 2 2 + 14 3
b. –2 2 – 4 3
c. –2 2 + 4 3
d. –2 2 + 4 3
e. 2 2 – 4 3
Jawab : b
( )24332758 +−+
⇔ ( )38121632524 ⋅+⋅−⋅+⋅
⇔ ( )392432524 +−⋅+⋅
⇔ 2 2 + 5 3 – 4 2 – 9 3
⇔ (2 – 4) 2 + (5 – 9) 3
⇔ –2 2 – 4 3 …………………………….(b)
19. UN 2007 PAKET B Bentuk sederhana dari
( )( )323423 +− = …
a. – 6 – 6
b. 6 – 6
c. – 6 + 6
d. 24 – 6
e. 18 + 6
Jawab : a
( )( )323423 +−
⇔ )32(34)32(23 +−+
⇔ )3(46463)2(3 −−+
⇔ 6)43(126 −+−
⇔ – 6 – 6 ……………………………….. (a)
20. UN 2006
Bentuk sederhana dari 73
24
− adalah …
a. 18 – 24 7
b. 18 – 6 7
c. 12 + 4 7
d. 18 + 6 7
e. 36 + 12 7
Jawab : e
73
24
− =
)73(
)73(
73
24
++×
−
= 79
)73(24
−+
= 2
)73(24 +
= 12(3 + 7 )
= 36 + 12 7 …………………….(e)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
11
SOAL PEMBAHASAN 21. EBTANAS 2002
Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36.
Nilai dari 3
21
31
⋅⋅ −−cba = …
a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18
Jawab : c
321
31
⋅⋅ −−cba =
3
36169 21
31
⋅⋅ −−
= ( ) ( ) 23
21
31
2242 2323
⋅⋅⋅−−
= 23
23
23
24
23
32 22
2323⋅⋅⋅−⋅− ⋅⋅⋅
= 3331 2323 ⋅⋅⋅ −−
= 3331 23 +−+− ⋅ = 32 = 9 …………………..(c)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
12
C. Logaritma a) Pengertian logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif
(a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: glog a = x jika hanya jika gx = a
atau bisa di tulis :
(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx
(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a
b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:
(1) glog (a × b) = glog a + glog b
(2) glog ( )ba = glog a – glog b
(3) glog an = n × glog a
(4) glog a = glog
alogp
p
(5) glog a = glog
1a
(6) glog a × alog b = glog b
(7) mg alogn
= nm glog a
(8) ag alogg=
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui 2log 3 = a dan 2log 5 = b. Nilai dari 9log 150 dalam a dan b adalah …
A. 1 + b
B. �����
C. ������
D. ������
��
E. �����
�
Jawab : D
9log 150 = 9log
150log2
2
= 22
22
3log
)532log( ⋅⋅
= 3log2
5log3log2log2
2222
⋅++
= 3log2
5log23log2log2
222
⋅⋅++
=a
ba
2
21 ++ ……………..……..(D)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
13
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Diketahui 2log 3 = p dan 3log 5 = q. Hasil
dari 5log 12 = …
A. �����
B. �����
C. ������
D. ����
E. ����
Jawab : D
5log 12 = 5log
12log3
3
= 5log
)23log(3
23 ⋅
= 5log
2log23log3
33 ⋅+
= p
p
q
p ×⋅+ 1
21
…… penyebut pecahan p
= pq
p 2+…….……..(D)
3. UN 2013 Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = q. Bentuk 3log 10 dinyatakan dalam p dan q adalah …
A. ����
B. �����
C. ����
D. �����
E. �����
Jawab : B
3log 10 = 3log
10log5
5
= 3log
)25log(5
5 ⋅
= 3log
2log5log5
55 +
= p
p
q
p ×+ 1
1
…… penyebut pecahan p
= pq
p 1+………………….……..(B)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
14
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Diketahui 5log 3 = a dan 3log 2 = b.
Nilai 6log 10 adalah …
A. �������
B. �������
C. ��������
D. ��������
E. �������
Jawab : C
6log 10 = 6log
10log3
3
= )23log(
)25log(3
3
⋅⋅
= 2log3log
2log5log33
33
++
= a
a
b
ba ×
+
+
1
1
…… penyebut pecahan a
= )1(
1
ba
ab
++
…………………….(C)
5. UN 2013 Diketahui 3log 5 = a dan 2log 3 = b. 6log 10 adalah …
A. ������
B. ������
C. ������
D. �������
E. �������
Jawab : D
6log 10 = 6log
10log3
3
= )23log(
)25log(3
3
⋅⋅
= 2log3log
2log5log33
33
++
= b
b
b
ba
×+
+
11
1
…… penyebut pecahan b
= 1
1
++
b
ab……………...(D)
6. UN 2013 Bentuk sederhana dari
ab
ba
log
loglog2
2222 − adalah …
A. 2log ���� B. 2log (ab) C. 2log (a – b) D. 2log (a + b) E. 2log (a + b)2 Jawab : A
ab
ba
log
loglog2
2222 −
⇔ ab
ba
log
)log()log(2
2222 −
⇔ ab
baba
log
)loglog)(loglog(2
2222 −+
⇔ ab
b
aab
log
)log)(log(
2
22
= 2log ���� ….…..(A)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
15
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Nilai dari 18log
3log6log2
2222 −= …
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -2
Jawab : B
18log
3log6log2
2222 −
⇔ 18log
)3log()6log(2
2222 −
⇔ 18log
)3log6log)(3log6log(2
2222 −+
⇔ 18log
)2log)(18log(2
22
= 2log 2
= 1 …………….…..(B)
8. UN 2013
Bentuk sederhana dari ba
ba
loglog
loglog 22
+−
adalah … A. -1 B. 1 C. log
��
D. log a – b E. log (a – b)
Jawab : C
ba
ba
loglog
loglog 22
+−
⇔ ba
ba
loglog
)(log)(log 22
+−
⇔ )log(log
)log)(loglog(log
ba
baba
+−+
⇔ log a – log b = log �� …………….…..(C)
9. UN 2012/C37
Diketahui a=3log5 dan ,4log3 b= Nilai
....15log4 =
A. ab
a+1 D.
a
ab
−1
B. b
a
++
1
1 E.
b
ab
−1
C. a
b
−+
1
1 Jawab : A
4log15 = 4log
15log3
3
= 4log
)53log(3
3 ⋅
= 4log
5log3log3
33 +
= a
a
ba ×
+ 11…….penyebut pecahan a
= ab
a 1+ ……..........................….(A)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
16
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2012/B25
Diketahui 2log 3 = x dan 2log 10 = y. Nilai 6log 120 = ...
A. 1
2
+++
x
yx
B. 2
1
+++yx
x
C. 2+xy
x
D. x
xy 2+
E. 1
2
+x
xy
Jawab : A
6log 120 = 6log
120log2
2
= )32log(
)3210log(2
22
⋅⋅⋅
= 3log2log
3log2log10log22
2222
+++
= 3log2log
3log2log210log22
222
++⋅+
= x
xy
+++
1
2 ……………………(A)
11. UN 2012/E52
Diketahui p=6log3 , q=2log3 .
Nilai ...288log24 =
A. qp
qp
2
32
++
B. qp
qp
2
23
++
C. qp
qp
32
2
++
D. qp
qp
23
2
++
E. qp
pq
32
2
++
Jawab : A
24log 288 = 24log
288log3
3
= )62log(
)62log(23
233
⋅⋅
= 6log2log
6log2log323
2333
++
= 6log2log2
6log22log333
33
+⋅⋅+⋅
= pq
pq
++
2
23 ……………………(A)
12. UN 2010 PAKET A
Nilai dari ( ) ( )2323
3
2log18log
6log
− = …
a. 81
b. 21
c. 1
d. 2
e. 8
Jawab : a
( ) ( )2323
3
2log18log
6log
−
⇔ ( )( )2log18log2log18log
6log3333
3 21
+−
⇔ )218log(log
6log3
2183
321
⋅×
⇔ 2323
321
6log3log
6log
×
⇔ 6log22
6log3
321
×× =
421
= 81 ………………..(a)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
17
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2010 PAKET B
Nilai dari 18log2log
4log3log9log33
3227
−⋅+
= …
a. 3
14−
b. 6
14−
c. 6
10−
d. 6
14
e. 3
14
Jawab : b
18log2log
4log3log9log33
3227
−⋅+
⇔ 1823
23223
log
2log3log3log21
3⋅+
⇔ 2313
32
21
332
log
2log3log2
3log ⋅+
⇔ 23
32
3log
4−
+ =
3
3
23
14
×−
…penyebut pecahan 3
= 614− …………………..…(b)
14. UN 2008 PAKET A/B Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …
a. ba
a
+
b. 1
1
++
b
a
c. )1(
1
++
ba
a
d. 1
1
++
a
b
e. )1(
1
++
ab
b
Jawab : c
6log 14 = 6log
14log2
2
= 3log2log
7log2log22
22
++
= a
a
ba ×
+
+
1
1 1
………..penyebut pecahan a
= )1(
1
++
ba
a…………………..……..(c)
15. UN 2007 PAKET B Jika diketahui 3log 5 = m dan 7log 5 = n, maka 35log 15 = …
a. n
m
++
1
1
b. m
n
++
1
1
c. m
nm
++
1
)1(
d. ( )
)1(
1
nm
mn
++
e. 1
1
++
m
mn
Jawab : c
35log 15 = 35log
15log5
5
= 7log5log
3log5log55
55
++
= mn
mn
n
m ×+
+1
1
1
1…….penyebut pecahan mn
= mmn
nmn
++
= ( )
)1(
1
++
nm
mn……………………… (c)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Pangkat, Akar, dan Logaritma
18
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2005
Nilai dari qrp
pqr 1log
1log
1log
35⋅⋅ = …
a. 15 b. 5 c. –3
d. 151
e. 5
Jawab : a
qrp
pqr 1log
1log
1log
35⋅⋅
⇔ 135 logloglog −−− ⋅⋅ qrp pqr
⇔ (–5)(–3)(–1) rlog p ⋅ plog q ⋅ qlog r
⇔ –15 rlog r = –15 ……………………..(a)
17. UN 2004 Diketahui 2log5 = x dan 2log3 = y.
Nilai 43
300log2 = …
a. 23
43
23 ++ yx
b. 223
23 ++ yx
c. 2x + y + 2
d. 23
432 ++ yx
e. 22 23 ++ yx
Jawab : a
43
300log2 = 43 2log (25 × 4 × 3)
= 43 2log (52 × 22 × 3)
= 43 (2log 52 + 2log 22 + 2log 3)
= 43 (2 2log 5 + 2 2log 2 + 2log 3)
= 43 (2x + 2 + y)
= yx 43
23
23 ++ …………………(a)
Komang Witarsa, S.Pd.
2. Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
2) Akar–akar persamaan kuadrat (semua nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat bernilai
benar) dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:
a
Dbx
22,1±−= , D = b2 – 4ac ( D = determinan)
3) Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat
Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : abxx −=+ 21
b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a
Dxx =− 21 , x1 > x2
c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac
21 xx =⋅
d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar
persamaan kuadrat
a. 22
21 xx + = )(2)( 21
221 xxxx ⋅−+
b. 32
31 xx + = ))((3)( 2121
321 xxxxxx +⋅−+
Catatan:
Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka
1. x1 + x2 = – b
2. Dxx =− 21
3. x1 · x2 = c
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/E25
Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2. Jika
221
221 xxxx + = 32, maka nilai p = ...
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8 Jawab : C
x2 + 4px + 4 = 0 ............ a = 1, b = 4p, c = 4
221
221 xxxx + = x1x2(x1+x2)
=
−×a
b
a
c
= 21
44 p⋅
32 = 16p
p = 16
32 = 2 …………………..(C)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
20
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/C37
Akar–akar persamaan kuadrat 042 =−+ axx
adalah p dan q. Jika ,82 22 aqpqp =+− maka nilai a = … A. –8 B. –4 C. 4 D. 6 E. 8 Jawab : C
p2 – 2pq + q2 = 8a... kedua ruas di tambah 4pq p2 + 2pq + q2 = 8a + 4pq
(p + q)2 = 8a + 4pq a2 = 8a + 4(–4)
a2 – 8a + 16 = 0 (a – 4)2 = 0
a = 4 …………….……….(C)
3. UN 2012/D49 Persamaan kuadrat x2 + (m – 1)x – 5 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2. Jika
21x + 2
2x – 2x1 x2 = 8m,maka nilai m = …. A. – 3 atau – 7 B. 3 atau 7 C. 3 atau – 7 D. 6 atau 14 E. – 6 atau – 14 Jawab : B
21x + 2
2x – 2x1 x2 = 8m ... kedua ruas di tambah 4x1 x2
21x + 2
2x + 2x1 x2 = 8m + 4x1 x2
(x1 + x2)2 = 8m + 4x1 x2
(m – 1)2 = 8m + 4(–5) m2 – 2m + 1 = 8m – 20
m2 – 10m + 21 = 0 (m – 3)(m – 7) = 0
m = {3, 7} ...................(B)
4. UN 2010 PAKET A/ UN 2011 PAKET 12 Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m = … a. –12 b. –6 c. 6 d. 8 e. 12 Jawab : a
� α ⋅ β = a
c
2β ⋅ β = 2
16…….. ………….. α = 2β
2β2 = 8 β2 = 4 β = 2 , ………..………… β positif
Cara I Diketahui α = 2β = 2(2) = 4
α + β = a
b−
4 + 2 = 2
m−
6 = 2
m−
m = – 12 ……………………….(a) Cara II Substitusi nilai β = 2 ke persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 2(2)2 + m(2) + 16 = 0
8 + 2m + 16 = 0 2m = –24 m = – 12
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
21
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2009 PAKET A/B, UN 2010 PAKET B,
UN 2013 Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8
Jawab : c
(i) α ⋅ β = a
c
2β⋅β = 1
2…….. ………….. α = 2β
2β2 = 2 β2 = 1 β = ±1= {–1, 1}
maka α = 2β = 2(±1) = {–2, 2}
(ii) α + β = a
b−
±2 ± 1 = 1
)1( −− a
± 3 = – a + 1 a = 1 ± 3 = { –2, 4}
karena a > 0, maka a = 4 …....……….(c) 6. UAN 2003
Jika akar–akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + 1 = 0 adalah α dan β, maka nilai
22
11
βα+ sama dengan …
a. 19 b. 21 c. 23 d. 24 e. 25 Jawab : a
• α + β = a
b− =
3
5−
• α β = a
c =
3
1
22
11
βα+ =
22
22
βαβα +
= 2
2
)(
2)(
αβαββα −+
= 9
9
)(
)(2)(2
31
312
35
×−−
= 1
625−= 19 …………………..(a)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
22
B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan
kuadrat baru dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan cara
sebagai berikut:
1. Menggunakan rumus, yaitu:
x2 – (α + β)x + α β = 0
catatan :
Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :
a. ab
21 xx −=+
b. ac
21 xx =⋅
2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:
0)()( 121 =++ −− cba ββ , dengan β–1 invers dari β
catatan:
Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12
akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α + 2) dan (β + 2). adalah … a. 3x2 – 24x + 38 = 0 b. 3x2 + 24x + 38 = 0 c. 3x2 – 24x – 38 = 0 d. 3x2 – 24x + 24 = 0 e. 3x2 – 24x + 24 = 0
Jawab : a
Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 = α + 2 , x2 = β + 2
Karena x1 dan x2 simetri dan berbentuk penjumlahan, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah dicari dengan metode invers. Metode invers a. Invers dari x = α + 2 adalah α = x – 2
b. Persamaan kuadrat baru
Substitusikan nilai α ke persamaan kuadrat awal: 3α 2 – 12α + 2 = 0 ⇔ 3(x – 2)2 – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3(x2 – 4x + 4) – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 12 – 12x + 24 + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 24x + 38 = 0 ………………..(a)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
23
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2011 PAKET 46
Persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 akar–akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah … a. x2 – 11x – 8 = 0 b. x2 – 11x – 26 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. x2 + 9x – 8 = 0 e. x2 – 9x – 26 = 0 Jawab : a
Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 3x1 + 1, β = 3x2 + 1
Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 3x1 dan 3x2, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) x1 + x2 = – b = – (–3) = 3
(ii) x1· x2 = c = –2
b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 3x1 + 1 + 3x2 + 1 = 3(x1 + x2) + 2 = 3(3) + 2 = 11 (ii) α·β = (3x1 + 1) (3x2 + 1) = 9x1· x2 + 3x1 + 3x2 + 1 = 9x1· x2 + 3(x1 + x2) + 1 = 9(–2) + 3(3) + 1 = –8
c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0
x2 – 11x – 8 = 0 ………………………(a)
3. UN 2010 PAKET A/B Jika p dan q adalah akar–akar persamaan x2 – 5x – 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2p + 1) dan (2q + 1) adalah … a. x2 + 10x + 11 = 0 b. x2 – 10x + 7 = 0 c. x2 – 10x + 11 = 0 d. x2 – 12x + 7 = 0 e. x2 – 12x – 7 = 0 Jawab : d
Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2p + 1, β = 2q + 1
Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 2p dan 2q, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) p + q = – b = – (–5) = 5
(ii) p·q = c = –1
b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 2p + 1 + 2q + 1 = 2(p + q) + 2 = 2(5) + 2 = 12 (ii) α·β = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 4pq + 2(p + q) + 1 = 4(–1) + 2(5) + 1 = 7
c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0 x2 – 12x + 7 = 0 ……………………….(d)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
24
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2009 PAKET A/B
akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan
kuadrat baru yang akar–akarnya βα
dan αβ
adalah … a. 4x2 + 17x + 4 = 0 b. 4x2 – 17x + 4 = 0 c. 4x2 + 17x – 4 = 0 d. 9x2 + 22x – 9 = 0 e. 9x2 – 22x – 9 = 0
Jawab : b .
Karena persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 2 = 0 dapat difaktorkan maka akan lebih mudah jika di cari akar–akarnya terlebih dahulu, kemudian persamaan kuadrat baru dicari dengan menggunakan metode rumus
2x2 + 3x – 2 = 0
Menggunakan rumus Akar–akar persamaan kuadrat baru
x1 = βα
= 21
2− = –4
x2 = αβ
= 2
21
− = –
41
Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru
(i) x1 + x2 = –4 – 41
= )(4
17−
(ii) x1· x2 = –4 (– 41 )
= 1
Persamaan kuadrat baru : x2 – (x1 + x2)x + x1· x2= 0
x2 – 4
17 x + 1 = 0 …… kedua ruas dikali 4
4x2 – 17x + 4 = 0………………………(b)
– 4
4
2×(– 2)
–1 3 +
(2x + 4)(2x – 1) = 0
⇔ (x + 2)(2x – 1) = 0
x = {–2, } Jadi, α = –2, β =
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
25
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2007 PAKET A
Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan x2 – x + 2 = 0, persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 – 2 dan 2x2 – 2 adalah … a. x2 + 8x + 1 = 0 b. x2 + 8x + 2 = 0 c. x2 + 2x + 8 = 0 d. x2 – 8x – 2 = 0 e. x2 – 2x + 8 = 0 Jawab : c
Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2x1 – 2, β = 2x2 – 2
Karena α dan β memuat bentuk perkalian yaitu 2x1 dan 2x2, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan rumus Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal (i) x1 + x2 = – b = – (–1) = 1
(ii) x1· x2 = c = 2
b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru (i) α + β = 2x1 – 2 + 2x2 – 2 = 2(x1 + x2) – 4 = 2(1) – 4 = –2 (ii) α·β = (2x1 – 2) (2x2 – 2) = 4x1· x2 – 4x1 – 4x2 + 4 = 4 x1· x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 4(2) – 4(1) + 4 = 8
c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + α·β = 0
x2 – (–2)x + 8 = 0 x2 + 2x + 8 = 0………………………….(c)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
26
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2007 PAKET B
Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah … a. 2x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + 9x + 8 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 e. x2 + 9x – 8 = 0 Jawab : b
Karena persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 dapat difaktorkan maka akan lebih mudah jika di cari akar–akarnya terlebih dahulu kemudian persamaan kuadrat baru dicari dengan menggunakan metode rumus
2x2 + 3x – 5 = 0
Menggunakan rumus Akar–akar persamaan kuadrat baru:
α = 2x1 – 3 = 2(–25 ) – 3 = –5 – 3 = –8
β = 2x2 – 3 = 2(1) – 3 = – 1 Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru
(i) α + β = –8 + (–1) = –9
(ii) α· β = –8 (–1) = 8 Persamaan kuadrat baru : x2 – (α + β)x + (α · β) = 0 x2 – (– 9)x + 8 = 0 x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b)
– 10
5
2×(– 5)
–2 3 +
(2x + 5)(2x – 2) = 0
⇔ (2x + 5)(x – 1) = 0
x = {– , 1}
Jadi, x1 = – , x2 = 1
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
27
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2005
Diketahui akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan
kuadrat baru yang akar–akarnya βα
dan αβ
adalah … a. x2 – 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 – 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x – 1 = 0 e. x2 – 8x – 1 = 0
Jawab : a
Akar–akar persamaan kuadrat baru
x1 = βα
, x2 = αβ
Karena x1 dan x2 tidak simetri, maka persamaan kuadrat baru hanya bisa dicari dengan 1 cara. Menggunakan rumus a. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat awal
(i) α + β = a
b−=
2
)4(−− = 2
(ii) α·β = a
c =
2
1
b. Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat baru
(i) x1 + x2 = βα
+ αβ
= αβ
βα 22 +
= αβ
αββα 2)( 2 −+
= 2
2)(22
21
212
×−
= 8 – 2 = 6
(ii) x1· x2 = βα
⋅αβ
= 1
c. Persamaan kuadrat baru : x2 – (x1 + x2)x + x1· x2= 0 x2 – 6x + 1 = 0 …………………………(a)
8. UN 2004 Persamaan kuadrat yang akar–akarnya – 2 dan
21 adalah …
a. 2x2 – 3x – 2 = 0 b. 2x2 + 3x – 2 = 0 c. 2x2 – 3x + 2 = 0 d. 2x2 + 3x + 2 = 0 e. 2x2 – 5x + 2 = 0
Jawab : b
Cukup diselesaikan dengan menggunakan rumus • Persamaan kuadrat:
x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0 ⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 · ½ ) = 0 ⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0
⇔ x2 – ( 23− )x – 1 = 0 ………… kedua ruas
dikali 2 menjadi: ⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……………………….(b)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
28
C. Pertidaksamaan Kuadrat 1) Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah
ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0 Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:
No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan
a >
Hp = {x | x < x1 atau x > x1}
• Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau
• x1, x2 adalah akar–akar
persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0
b ≥
Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}
c <
Hp = {x | x1 < x < x2}
• Daerah HP (tebal) ada tengah
• x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0
d ≤ Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}
Karakteristik persamaan dan grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a, b, c, dan D
Persamaan
kuadrat
Grafik fungsi kuadrat
a > 0; Kurva membuka ke atas a < 0; Kurva membuka ke bawah b > 0
Puncak di kiri sumbu Y
b < 0 Puncak di kanan
sumbu Y
b > 0 Puncak di kiri
sumbu Y
b < 0 Puncak di kanan
sumbu Y
D = 0
Memiliki dua akar kembar
c > 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y positif
c < 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y negatif
D > 0
Memiliki dua akar real berbeda
c < 0; ordinat titik potong pada sumbu Y negatif
c > 0 ; ordinat titik potong pada sumbu Y positif
D < 0 Memiliki akar–akar imajiner
Definit positif; (Nilai fungsi selalu positif)
Definit negatif (Nilai fungsi selalu negatif)
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + +
x1 x2
+ + + – – – + + +
Y
X
Y
X
X
Y
X
Y
X
Y Y
X X
Y
X
Y
Y
X
Y
X
X
Y
X
Y
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
29
SOAL PEMBAHASAN 1. UN 2013
Diketahui persamaan kuadrat x2 + (a – 3)x + 9 = 0. Nilai a yang menyebabkan persamaan tersebut mempunyai akar–akar kembar adalah … A. a = 6 atau a = –6 B. a = 3 atau a = –3 C. a = 6 atau a = 3 D. a = 9 atau a = –3 E. a = 12 atau a = –3 Jawab : D
Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (a – 3)2 – 4(1)(9) = 0 (a – 3)2 = 36 ... ke–2 ruas di akar
a – 3 = ± 6 a = 3 ± 6 = {– 3, 9}............. (D)
2. UN 2013 Salah satu nilai a yang menyebabkan persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 1 = 0 mempunyai akar kembar adalah … A. –3 B. –5 C. –6 D. –9 E. –12 Jawab : B
Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (a + 3)2 – 4(1)(1) = 0 (a + 3)2 = 4 ... ke–2 ruas di akar
a + 3 = ± 2 a = –3 ± 2 = {– 5, –1}............. (B)
3. UN 2013 Agar persamaan kuadrat x2 + (p –2)x + 4 = 0 mempunyai akar–akar kembar, maka nilai p yang memenuhi adalah … A. p = –6 atau p = 4 B. p = –2 atau p = 6 C. p = –3 atau p = 4 D. p = –3 atau p = –4 E. p = 1 atau p = –12 Jawab : B
Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (p – 2)2 – 4(1)(4) = 0 (p – 2)2 = 16 ... ke–2 ruas di akar
p – 2 = ± 4 p = 2 ± 4 = {– 2, 6}............. (B)
4. UN 2013 Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 memiliki akar–akar kembar. Salah satu nilai m yang memenuhi adalah … A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Jawab : D
Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (m – 2)2 – 4(1)(9) = 0 (m – 2)2 = 36 ... ke–2 ruas di akar
m – 2 = ± 6 m = 2 ± 6 = {– 4, 8}............. (D)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
30
SOAL PEMBAHASAN 5. UN 2013
Salah satu nilai p yang menyebabkan persamaan kuadrat 2x2 + (p + 1)x + 8 = 0 memiliki akar kembar adalah … A. –8 B. –7 C. 6 D. 7 E. 9 Jawab : D
Kedua akar kembar → D = 0 D = b2 – 4ac = (p + 1)2 – 4(2)(8) = 0
(p + 1)2 = 4(16) ...ke–2 ruas di akar p + 1 = ± 8
p = –1 ± 8 = {– 9, 7}............. (D)
6. UN 2013 Diketahui persamaan kuadrat mx2 – (2m – 3)x + (m – 1) = 0. Nilai m yang menyebabkan akar–akar persamaan kuadrat tersebut real dan berbeda adalah …
A. m > ���, m ≠ 0
B. m < ��, m ≠ 0
C. m > ��, m ≠ 0
D. m < �, m ≠ 0
E. m > �, m ≠ 0
Jawab : B
Kedua akar real dan berbeda → D > 0 D = b2 – 4ac = (2m – 3)2 – 4(m) (m – 1) > 0 4m2 – 12m + 9 – 4m2 + 4m > 0
– 8m + 9 > 0 – 8m > –9
m < ��
.............. (B)
(tanda pertidaksamaan di balik)
7. UN 2013 Batas–batas nilai m yang menyebabkan persamaan kuadrat mx2 + (2m – 1)x + m – 2 = 0 mempunyai akar–akar real adalah …
A. m ≥ – � dan m ≠ 0
B. m ≥ – � dan m ≠ 0
C. m ≥ – � dan m ≠ 0
D. m > �
E. m > �
Jawab : C
Kedua akar real → D ≥ 0 D = b2 – 4ac = (2m – 1)2 – 4(m)( (m – 2) ≥ 0 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 8m ≥ 0
4m + 1 ≥ 0 4m ≥ –1
m ≥ – � …….(C)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
31
SOAL PEMBAHASAN 8. UN 2013
Agar persamaan kuadrat 4x2 – (p – 3)x + 1 = 0 mempunyai dua akar tidak nyata, maka nilai p yang memenuhi adalah … A. –1 < p < 7 B. –7 < p < 1 C. 1 < p < 7 D. p < – 1 atau p > 7 E. p < 1 atau p > 7 Jawab : A
Kedua akar tidak nyata → D < 0 D = b2 – 4ac = (p – 3)2 – 4(4)(1) < 0 ((p – 3) + 4)((p – 3) – 4) < 0
(p + 1)(p – 7) < 0
karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai p = {–1, 7} ……………(A) catatan: ingat bentuk : x2 – y2 = (x + y)(x – y)
9. UN 2013 Fungsi f(x) = 2x2 – ax + 2 akan menjadi definit positif bila nilai a berada pada interval … A. a > –4 B. a > 4 C. –4 < a < 4 D. 4 < a < 6 E. –6 < a < 4 Jawab : C
Fungsi definit positif → D < 0 D = b2 – 4ac = (– a)2 – 4(2)(2) < 0 (a + 4)(a – 4) < 0
karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai p = {–4, 4} ……………(C) catatan: ingat bentuk : x2 – y2 = (x + y)(x – y)
10. UN 2013 Agar fungsi f(x) = mx2 + 2mx + (m + 2) definit positif, maka nilai m yang memenuhi adalah … A. –3 < m < 0 B. –1 < m < 0 C. m < –3 D. m < –1 E. m > 0 Jawab : E
Fungsi definit positif → D < 0, m > 0 D = b2 – 4ac = (2m)2 – 4(m)(m+2) < 0 4m2 – 4m2 – 8m < 0
– 8m < 0 m > 0 .................(E)
11. UN 2013 Grafik fungsi kuadrat f(x) = px2 + (2p + 3)x + p + 6 selalu bernilai positif, maka nilai p adalah … A. p < 0
B. p >
C. p > 3
D. p > 4
E. 0 < p <
Jawab : B
Fungsi Selalu bernilai positif atau definit positif → D < 0, p > 0 D = b2 – 4ac = (2p + 3)2 – 4(p)(p+6) < 0 4p2 + 12p + 9 – 4p2 – 24p < 0
– 12p + 9 < 0 – 12p < –9
p >
sehingga nilai p yang memenuhi syarat p > 0 dan
p > adalah : p >
………………….(B)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
32
SOAL PEMBAHASAN 12. UN 2013
Grafik fungsi f(x) = mx2 + (2m – 3)x + m + 3 berada di atas sumbu X. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m > 0
B. m > �
C. m < 0
D. 0 < m < �
E. – � < m < 0
Jawab : B
Grafik berada di atas sumbu X atau definit positif → D < 0, m > 0 D = b2 – 4ac = (2m – 3)2 – 4(m)(m + 3) < 0 4m2 – 12m + 9 – 4m2 – 12m < 0
– 24m + 9 < 0 – 24m < –9
m > �
sehingga nilai m yang memenuhi syarat m > 0
dan m > � adalah : m >
� …………….(B)
13. UN 2013 Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 – 2mx + (m – 3) definit negative adalah …
A. m < – �
B. m < –1
C. m > �
D. m > 1
E. 1 < m < �
Jawab : A
definit negatif → D < 0, ( m + 1) < 0 → m < –1 D = b2 – 4ac = (–2m)2 – 4(m + 1)(m – 3) < 0 4m2 – 4(m2 –2m – 3) < 0 4m2 – 4m2 + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0 8m < –12
m < – �
sehingga nilai m yang memenuhi syarat m < –1
dan m < – � adalah : m < –
� ………….(A)
14. UN 2013 Agar fungsi f(x) = (m + 3)x2 + 2mx + (m + 1) definit positif, batas–batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m > –3
B. m > –
C. m < 3
D. m < –
E. –3 < m < –
Jawab : E
definit positif → D < 0, ( m + 3) > 0 → m > –3 D = b2 – 4ac = (2m)2 – 4(m + 3)(m + 1) < 0 4m2 – 4(m2 + 4m + 3) < 0 4m2 – 4m2 + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0 8m < –12
m < – �
sehingga nilai m yang memenuhi syarat m > –3
dan m < – � adalah :
–3 < m < – � ……………………….….(E)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
33
SOAL PEMBAHASAN 15. UN 2013
Nilai a yang memenuhi fungsi kuadrat f(x) = (a – 1)x2 + 2ax + (a + 4) definit positif adalah …
A. a <
B. a < 1
C. a > 1
D. a >
E. 1 < a <
Jawab : D
definit positif → D < 0, (a – 1) > 0 → a > 1 D = b2 – 4ac = (2a)2 – 4(a – 1)(a + 4) < 0 4a2 – 4(a2 + 3a – 4) < 0 4a2 – 4a2 – 12a + 16 < 0
–12a < –16
a >
(karena a negatif maka tanda di balik)
sehingga nilai a yang memenuhi syarat a > 1 dan
a > adalah : a >
……………….….(D)
16. UN 2013 Interval nilai p yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (p – 2)x2 + 2px + p + 3 definit positif adalah … A. p < 2 B. p < 6 C. p > 2 D. p > 6 E. 2 < p < 6 Jawab : D
definit positif → D < 0, (p – 2) > 0 → p > 2 D = b2 – 4ac = (2p)2 – 4(p – 2)(p + 3) < 0 4p2 – 4(p2 + p – 6) < 0 4a2 – 4p2 – 4p + 24 < 0
–4p < –24 p > 6
(karena p negatif maka tanda di balik)
sehingga nilai p yang memenuhi syarat p > 2 dan p > 6 adalah : p > 6 ……………….….(D)
17. UN 2012/C37 Persamaan kuadrat
042)2(2 =−+−+ mxmx mempunyai akar–akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ – 10 atau m ≥ –2 C. m < 2 atau m > 10 D. 2 < m < 10 E. –10 < m ≤ –2 Jawab : A
Persamaan kuadrat
042)2(2 =−+−+ mxmx
memiliki akar–akar real, sehingga D ≥ 0 D = b2 – 4ac
= (m – 2)2 – 4(1)(2m – 4) = m2 – 4m + 4 – 8m + 16 = m2 – 12m + 20 sehingga: m2 – 10m + 20 ≥ 0 (m – 2)(m – 10) ≥ 0
karena tanda pertidaksamaan adalah ≥, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai m = {2, 10} yaitu ………………………………………(A)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
34
SOAL PEMBAHASAN 18. UN 2012/E25
Persamaan kuadrat x2 – (2 + 2m)x + (3m + 3) = 0 mempunyai akar–akar tidak real. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah ... A. m ≤ – 1 atau m ≥ 2 B. m < – 1 atau m > 2 C. m < – 2 atau m > 2 D. –1 < m < 2 E. –2 < m < 1 Jawab : D
Persamaan kuadrat x2 – (2 + 2m)x + (3m + 3) = 0 memiliki akar–akar tidak real, sehingga D < 0 D = b2 – 4ac
= (2 + 2m)2 – 4(1)(3m + 3) = 4m2 + 8m + 4 – 12m – 12 = 4m2 – 4m – 8 sehingga: 4m2 – 4m – 8 < 0
⇔ m2 – m – 2 < 0 ⇔ (m + 1)(m – 2) < 0
karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai a = {–1, 2} ……………(D)
19. UN 2012/E52
Persamaan kuadrat 2x2 – 2 x + p= 0 mempunyai dua akar real berbeda.batas–batas nilai p yang memenuhiadalah….
A. p ≤ 2 atau p ≥ 8 B. p < 2 atau p > 8
C. p < – 8 atau p > –2 D. 2 ≤ p ≤ –2 E. –8 ≤ p ≤ –2 Jawab : B
Persamaan kuadrat
2x2 – 2 x + p = 0 memiliki akar–akar real berbeda, sehingga D > 0 D = b2 – 4ac
= (2(p – 4))2 – 4(2)(p) = 4(p2 – 8p + 16) – 8p sehingga: 4(p2 – 8p + 16) – 8p > 0
⇔ p2 – 8p + 16 – 2p > 0 ⇔ p2 – 10p + 16 > 0 ⇔ (p – 2)(p – 8) > 0
karena tanda pertidaksamaan adalah >, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai p = {2, 8} yaitu ………………………………………(B)
20. UN 2011 PAKET 12 Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4, memotong sumbu X di dua titik. Batas–batas nilai p yang memenuhi adalah …
a. p < – 2 atau p > 52−
b. p < 52 atau p > 2
c. p < 2 atau p > 10
d. 52 < p < 2
e. 2 < p < 10 Jawab : b
Grafik memotong sumbu X di dua titik, D > 0 D = (p +2)2 – 4(p)(–p + 4)
= p2 + 4p + 4 + 4p2 – 16p = 5p2 – 12p + 4 > 0
karena tanda pertidaksamaan adalah >, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan
kata ATAU dengan batas nilai p = {2, 52 }
yaitu ………………………………………(b)
( )4−p ( )4−p
20
–10
5×4
–2 –12 +
(5p – 10)(5p – 2) = 0
⇔ (p – 2)(5p – 2) = 0
p = {2, }
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
35
SOAL PEMBAHASAN 21. UN 2011 PAKET 46
Grafik fungsi kuadrat
f(x) = ax2 + 2 2 x + (a – 1), a ≠ 0 memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas–batas nilai a yang memenuhi adalah … a. a < – 1 atau a > 2 b. a < – 2 atau a > 1 c. –1 < a < 2 d. –2 < a < 1 e. –2 < a < –1 Jawab : (d)
Grafik memotong sumbu X di dua titik, D > 0 D = (2 2 )2 – 4(a)(a – 1) > 0
⇔ 8 – 4a2 – 4a > 0
⇔ {– 4a2 – 4a + 8 > 0} )(41−×
⇔ a2 + a – 2 < 0 ⇔ (a + 2)(a – 1) < 0 a = {–2, 1}
karena tanda pertidaksamaan adalah <, maka jawaban yang benar adalah tanpa kata atau dengan batas nilai a = {–2, 1} ……………(d)
22. UAN 2003 Persamaan kuadrat (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…
a. 8
9
b. 9
8
c. 2
5
d. 5
2
e. 5
1
Jawab : d
Akar–akarnya nyata dan sama, maka x1 = x2 dan D = 0
(i) D = b2 – 4ac 0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1) 0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2) 0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8 0 = –8k + 9
8k = 9 ⇒ k = 89
(ii) x1 + x2 = a
b− =
2
12
+−
k
k =
( )2
12
8989
+−
= 825
88
818 −
= 258
810 ×
= 52 ……….(d)
Dik
alik
an
nega
tive
tand
a be
rbal
ik
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
36
D. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):
2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2008 PAKET A/B
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, – 6) adalah … a. y = 2x2 + 8x – 6 b. y = –2x2 + 8x – 6 c. y = 2x2 – 8x + 6 d. y = –2x2 – 8x – 6 e. y = –x2 + 4x – 6
Jawab : b
Karena grafik memotong sumbu X di A(1, 0),
B(3, 0), dan memotong sumbu Y di C(0, – 6),
maka gunakan rumus:
y = a(x – x1)(x – x2)
(i) tentukan nilai a
y = a(x – x1)(x – x2)
– 6 = a(0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = –2
(ii) substitusikan nilai a ke rumus
y = a(x – x1)(x – x2)
y = –2 (x – 1)(x – 3)
= –2 (x2 – 4x + 3)
= –2x2 + 8x – 6…………………(b)
X
(xe, ye)
(x, y)
0 y = a(x – xe)
2 + ye
Y
X (x1, 0)
(x, y)
0 y = a(x – x1) (x – x2)
(x2, 0)
Y
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
37
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2007 PAKET A
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah … a. y = –2x2 + 4x + 3 b. y = –2x2 + 4x + 2 c. y = –x2 + 2x + 3 d. y = –2x2 + 4x – 6 e. y = –x2 + 2x – 5
Jawab : c
Karena grafik memiliki titik ekstrim (1, 4) dan melalui itik (0, 3), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 3 = a(0 – 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1
(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)
2 + ye y = –1 (x – 1)2 + 4
= – (x2 – 2x + 1) + 4 = – x2 + 2x – 1 + 4 = – x2 + 2x + 3 ………………….(c)
3. UN 2007 PAKET B Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …
a. y = 2x2 + 4 b. y = x2 + 3x + 4 c. y = 2x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 + 2x + 4 e. y = x2 + 5x + 4 Jawab : c
Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 2) dan
melalui itik (0, 4), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 4 = a(0 + 1)2 + 2 4 – 2 = a a = 2
(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)
2 + ye y = 2 (x + 1)2 + 2
= 2(x2 + 2x + 1) + 2 = 2x2 + 4x + 2 + 2 = 2x2 + 4x + 4 ………………….(c)
4. UN 2006
Grafik fungsi pada gambar di atas mempunyai persamaan … a. y = 2x2 – 12x + 8 b. y = –2x2 + 12x – 10 c. y = 2x2 – 12x + 10 d. y = x2 – 6x + 5 e. y = –x2 + 6x – 5 Jawab : b
Karena grafik memiliki titik ekstrim (3, 8) dan melalui itik (5, 0), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 0 = a(5 – 3)2 + 8 0 – 8 = 4a a = –2
(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)
2 + ye y = –2(x – 3)2 + 8
= –2(x2 – 6x + 9) + 8 = –2x2 + 12x – 18 + 8 = –2x2 + 12x – 10 ………………(b)
X
(0,4)
0
Y
2
–1
X 0
Y (3, 8)
(5, 0)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
38
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2004
Persamaan grafik parabola pada gambar adalah … a. y2 – 4y + x + 5 = 0 b. y2 – 4y + x + 3 = 0 c. x2 + 2x + y + 1 = 0 d. x2 + 2x – y + 1 = 0 e. x2 + 2x + y – 1 = 0 Jawab : e
Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 2) dan melalui itik (0, 1), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 1 = a(0 + 1)2 + 2 1 – 2 = a a = –1
(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)
2 + ye y = –1(x + 1)2 + 2
= – (x2 + 2x + 1) + 2 = –x2 – 2x – 1 + 2 = –x2 – 2x + 1
⇔ x2 + 2x + y – 1 = 0 ……………………..(e)
6. EBTANAS 2003 Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu Y di titik … a. (0, 3) b. (0, 2½ ) c. (0, 2) d. (0, 1½ ) e. (0, 1) Jawab : a
Karena grafik memiliki titik balik (–1, 4) dan melalui itik (–2, 3), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 3 = a(– 2 + 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1
(ii) titik potong grafik dengan sumbu Y grafik memotong sumbu Y, saat x = 0, maka y = a(x – xe)
2 + ye y = –1(0 + 1)2 + 4 = –1 + 4 = 3 Jadi, grafik memotong sb Y (0, 3) .…….(a)
7. EBTANAS 2002 Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah … a. f(x) = ½ x2 + 2x + 3 b. f(x) = – ½ x2 + 2x + 3 c. f(x) = – ½ x2 – 2x – 3 d. f(x) = –2x2 + 2x + 3 e. f(x) = –2x2 + 8x – 3 Jawab : b
Grafik memiliki nilai maksimum 5 untuk x = 2, artinya grafik memiliki titik ekstrim (2, 5) dan nilai f(4) = 3, artinya grafik melalui itik (4, 3), maka gunakan rumus:
y = a(x – xe)2 + ye
(i) tentukan nilai a y = a(x – xe)
2 + ye 3 = a(4 – 2)2 + 5 3 – 5 = 4a 4a = –2
a = 21−
(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)
2 + ye
y = 21− (x – 2)2 + 5
= 21− (x2 – 4x + 4) + 5
= 21− x2 + 2x – 2 + 5
= 21− x2 + 2x + 3 ………………….(b)
X 0
Y
(–1, 2)
(0, 1)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
39
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2008 PAKET A/B
Pak Bahar mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang, dengan lebar 10 m kurangnya dari setengah panjangnya. Apabila luasnya 400 m2, maka lebarnya adalah … meter a. 60 b. 50 c. 40 d. 20 e. 10
Jawab : e
L = p × l 400 = p(½p – 10) 400 = ½p2 – 10p 800 = p2 – 20p 0 = p2 – 20p – 800 0 = (p + 20)(p – 40) p = {–20, 40} Karena ukuran panjang tidak mungkin negatif maka p = 40 l = ½p – 10 = ½ (40) – 10 = 10 ……………………………….(e)
9. UAN 2004 Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (2x2 – 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya minimum diperoleh bila per hari diproduksi sebanyak … unit a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : b
y = 2x2 – 8x + 15
xe = a
b
2− =
)2(2
8
−−
= 2 ……………………(b)
p
L = 400 m2 l = ½p – 10
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
40
E. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola
Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.
TEOREMA
Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c.
Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:
yh = yg
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + bx – mx+ c – n = 0
ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru
Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:
D = (b – m)2 – 4a(c – n)
Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:
1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.
A(x1, y1) g
X 0
Y
B(x2, y2)
X0
Y
A(x1, y1)
h h
g
X 0
Y
h
g
g memotong h di dua titik g menyinggung h g tidak memotong dan tidak menyingggung h
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Persamaan, Pertidaksamaan, dan Fungsi Kuadrat
41
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2009, 2010 PAKET A/B
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah … a. –4 b. –3 c. 0 d. 3 e. 4 Jawab : d
Tentukan Persamaan kuadrat baru f(x) = y
x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx – 3x = 0 x2 + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru
Agar f(x) menyinggung y maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol D = 0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0 = b – 3 b = 3 ……………………….…………….(d)
2. PRA UN 2010 soalmatematik.com P–1
Parabola y = (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 menyinggung sumbu X, nilai a yang memenuhi adalah … . a. – 5 atau 3 b. 5 atau – 3
c. 1 atau –5
3
d. – 1 atau 5
3
e. 1 atau – 3
5
Jawab : d
Tentukan Persamaan kuadrat baru Parabola y = (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 bersinggungan dengan sumbu X (y = 0), maka:
y1 = y2 (a + 1)x2 + (3a + 5)x + a + 7 = 0
Agar y1 dan y2 bersinggungan maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol
D = 0 D = (3a + 5)2 – 4(a + 1)( a + 7) 0 = 9a2 + 30a + 25 – 4(a2 + 8a + 7) 0 = 5a2 – 2a – 3 0 = (5a + 3)(a – 1)
a = {1, 53− }…………………………….(d)
3. PRA UN 2010 soalmatematik.com P–2 Agar garis y = –2x + 3 menyinggung parabola y = x2 + (m – 1)x + 7, maka nilai m yang memenuhi adalah … . a. –5 atau −3 b. −5 atau 3 c. −3 atau 5 d. – 1 atau 17 e. 1 atau 17
Jawab : b
Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 dan y2 bersinggungan, sehingga :
y1 = y2 x2 + (m – 1)x + 7 = –2x + 3 x2 + (m – 1)x + 2x + 7 – 3 = 0 x2 + (m + 1)x + 4 = 0
Agar y1 dan y2 bersinggungan maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol
D = 0 D = (m + 1)2 – 4(1)(4) 0 = (m + 1)2 – 16
(m + 1)2 = 16 m + 1 = ± 4
m = –1 ± 4 = {–5, 3} ......................(b)
Komang Witarsa, S.Pd.
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1. Bentuk umum :
=+=+
222
111
cybxa
cybxa
2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.
3. Metode determinan:
D = 22
11
ba
ba= a1b2 – a2b2;
Dx = 22
11
bc
bc; Dy =
22
11
ca
ca;
x = D
Dx ; y = D
Dy
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga Rp48.000,00, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga Rp37.000,00. Jika Ani membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar … A. Rp24.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp17.000,00 D. Rp14.000,00 E. Rp13.000,00 Jawab : D
Misal : x = buku gambar
y = buku tulis
diket : 2x + 8y = 48.000…… (1) 3x + 5y = 37.000…….(2)
dit : x + 2y = …. ? dari (2) dan (1) 3x + 5y = 37.000 2x + 8y = 48.000 ⇔ x + 4y = 24.000 _ 2x + y = 13.000 …….(3) dari (1) dan (3) 2x + 8y = 48.000 2x + y = 13.000 _ 7y = 35.000 y = 5.000 dari (2) 3x + 5y = 37.000 …. ke-2 ruas di tambah y 3x + 5y + y = 37.000 + 5.000 3x + 6y = 42.000….. ke-2 ruas di bagi 3 x + 2y = 14.000 ………………………..(D)
Komang Witarsa, S.Pd.
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
43
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Harga 1 pensil dan 4 buku adalah Rp9.200,00. Sedangkan harga 2 pensil dan 3 buku yang sama adalah Rp8.400,00. Toni membeli 2 pensil dan 1 buku, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp6.800,00 B. Rp5.600,00 C. Rp4.800,00 D. Rp4.400,00 E. Rp3.200,00 Jawab : D
Misal : x = pensil
y = buku diket: x + 4y = 9.200 ………………..(1) 2x + 3y = 8.400 ………………..(2) dit : 2x + y = ….? dari (1) dan (2) x + 4y = 9.200 ⇔ 2x + 8y = 18.400 2x + 3y = 8.400 _
5y = 10.000 y = 2.000 2y = 4.000
dari (2) 2x + 3y = 8.400 … ke-2 ruas di kurangi 2y 2x + 3y – 2y = 8.400 – 4.000 2x + y = 4.400 …………………(D)
3. UN 2013 Utami membeli 2 buku tulis dan 1 pulpen dengan harga Rp4.000,00. Nisa membeli 4 buku tulisdan 3 pulpen yang sama dengan harga Rp9.000,00. Fauzi membeli 1 buku tulis dan 2 pulpen, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp2.000,00 B. Rp2.500,00 C. Rp3.000,00 D. Rp3.500,00 E. Rp4.000,00 Jawab : D
Misal x = buku tulis
y = pulpen diket : 2x + y = 4.000………….…(1)
4x + 3y = 9.000 ……………(2) dit : x + 2y = ….
dari (2) dan (1) 4x + 3y = 9.000 2x + y = 4.000 _ 2x + 2y = 5.000 ………….………..(3) x + y = 2.500 ………….………...(4)
dari (1) dan (4) 2x + y = 4.000 x + y = 2.500 _ x = 1.500 y = 2.500 – 1.500 = 1.000
∴x + 2y = 1.500 + 2(1.000) = 3.500 ……………………………(D)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
44
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Harga 2 buah dompet dan 3 buah tas adalah Rp140.000,00, sedangkan harga 3 buah dompet dan 2 buah tas adalah Rp110.000,00. Siti membeli dompet dan tas masing-masing 1 buah, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp35.000,00 B. Rp40.000,00 C. Rp50.000,00 D. Rp55.000,00 E. Rp75.000,00 Jawab : C
Misal x = dompet
y = tas
diket : 2x + 3y = 140.000 ………….…(1) 3x + 2y = 110.000 ………….…(2)
dit : x + y = …
dari (1) dan (2)
2x + 3y = 140.000 3x + 2y = 110.000 + 5x + 5y = 250.000 ….. ke-2 ruas di bagi 5 x + y = 50.000 ………………………..(C)
5. UN 2013 Harga 3 buah tas dan 2 buah dompet adalah Rp100.000,00, sedangkan harga 1 buah tas dan 3 buah dompet yang sama adalah Rp62.500,00. Gladis membeli tas dan dompet masing-masing 1 buah, untuk itu ia harus membayar sebesar … A. Rp27.500,00 B. Rp32.500,00 C. Rp35.000,00 D. Rp37.500,00 E. Rp42.500,00 Jawab : D
Misal x = tas
y = dompet
Diket : 3x + 2y = 100.000 ………………..(1) x + 3y = 62.500 ………………..(2)
Dit : x + y = …. ? Dari (1) dan (2) 3x + 2y = 100.000 ⇔ 6x + 4y = 200.000
x + 3y = 62.500 + 7x + 7y = 262.500 Ke-2 ruas di bagi 7 diperoleh : x + y = 37.500 …………….(D)
6. UN 2013 Intan membeli 2 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp36.000,00. Nia membeli 1 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp27.000,00. Putri membeli 2 kg mangga dan 3 kg jeruk, maka Putri harus membayar … A. Rp45.000,00 B. Rp50.000,00 C. Rp52.000,00 D. Rp54.000,00 E. Rp72.000,00 Jawab :
Misal x = mangga
y = jeruk
Diket : 2x + y = 36.000 ………………….(1) x + y = 27.000 ………………….(2)
Dit : 2x + 3y = ….. ? Dari (1) dan (2) 2x + y = 36.000 x + y = 27.000 _ x = 9.000 y = 27.000 – 9.000 = 18.000 ∴ 2x + 3y = 2(9.000) + 3(18.000)
= 18.000 + 54.000 = 72.000 ………………………..(E)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
45
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Amir, Budi, dan Citra membeli buku dan pulpen yang sama di sebuah toko. Amir membeli 3 buku dan 4 pulpen seharga Rp30.500,00. Budi membeli 5 buku dan 2 pulpen seharga Rp27.500,00. Citra membeli 4 buku dan 1 pulpen, maka untuk itu ia harus membayar seharga … A. Rp14.500,00 B. Rp18.000,00 C. Rp19.000,00 D. Rp19.500,00 E. Rp23.500,00 Jawab : C
Misal x = buku
y = pulpen Diket : 3x + 4y = 30.500 …………………(1)
5x + 2y = 27.500 …………………(2) Dit : 4x + y = ….? Dari (1) dan (2) 3x + 4y = 30.500 5x + 2y = 27.500 ⇔ 10x + 4y = 55.000 _
7x = 24.500 x = 3.500 3x = 10.500
Dari (2) 5x + 2y = 27.500 …. Ke-2 ruas di tambah 3x 5x + 3x + 2y = 27.500 + 10.500 8x + 2y = 38.000……ke-2 ruas di bagi 2 4x + y = 19.000 ………………………(C)
8. UN 2013 Lima tahun yang akan datang, jumlah umur kakak dan adik adalah 6 kali selisihnya. Sekarang, umur kakak 6 tahun lebih dari umur adik. Umur kakak sekarang adalah … A. 21 tahun B. 16 tahun C. 15 tahun D. 10 tahun E. 6 tahun Jawab : B
diket : (k + 5) + (a + 5) = 6(k – a)
k = a + 6 dit : k = …? Jawab : (k + 5) + (a + 5) = 6(k – a) ⇔ k + a + 10 = 6(k – a)… ingat k = a + 6 ⇔ (a + 6) + a + 10 = 6(a + 6 – a) ⇔ 2a + 16 = 6(6) ⇔ 2a = 36 – 16 = 20
a = 10 Jadi, k = a + 6 = 10 + 6 = 16 ………………….(B)
9. UN 2010 PAKET A Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun a. 4 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Jawab : c
1) A – 3 = 2(B – 3) A – 3 = 2B –6 A – 2B = –6 + 3 = –3 2) 4(A + 2) = (B + 2) + 36 4A + 8 = B + 38 4A – B = 38 – 8 = 30 dari 1) dan 2) diperoleh: 4A – B = 30 | × 2 | 8A – 2B = 60 A – 2B = –3 | × 1 | A – 2B = –3 _ 7A = 63 A = 9 …………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
46
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2010 PAKET B
Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar … a. RP 3.500.000,00 b. RP 4.000.000,00 c. RP 4.500.000,00 d. RP 5.000.000,00 e. RP 5.500.000,00 Jawab : c
Misal jumlah sepeda jenis I = x dan jenis II = y, maka: 5x + 4y = 5.500.000 ……………...A 3x + 2y = 3.000.000 _ ……………B
2x + 2y = 2.500.000 _ x = 500.000 Belanjaan C : 6x + 2y dihitung dari belanjaan B
3x + 2y = 3.000.000 … Kedua ruas ditambah 3x
3x + 3x + 2y = 3.000.000 + 3x
6x + 2y = 3.000.000 + 3(500.000)
= 3.000.000 + 1.500.000
= 4.500.000 …………………………..(c) 11. UN 2009 PAKET A/B
Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Surya adalah … a. RP 24.000,00 d. RP 76.000,00 b. RP 42.000,00 e. RP 80.000,00 c. RP 67.000,00 Jawab : d
Misal jumlah apel = x dan jumlah jeruk = y, maka: 3x + 5y = 90.000 ………………Ade 2x + 3y = 57.000 _ …………….Irma
x + 2y = 33.000 _ x + y = 24.000 ……………… Surya uang kembalian yang diterima Surya: 100.000 – 24.000 = 76.000 …………………..(d)
12. EBTANAS 2002 Jika suatu sistem persamaan linear
=+=−
232
6
byax
byax mempunyai penyelesaian
x = 2 dan y = 1, maka a2 + b2 = … a. 2 b. 4 c. 5 d. 8 e. 11
Jawab : d
(i) Substitusikan nilai x dan y ke pers. Semula
=+=−
2)1(3)2(2
6)1()2(
ba
ba
⇔
=+=−
)2...(..........234
)1...(..........62
ba
ba
(ii) gunakan metode eliminasi berulang
+=−
−=−−
=+=−
105442
234
62
bba
ba
ba
………….(1) ………….(2) ……….…(3) …….(1) dan (3)
b = – 2 (iii) Substitusikan nilai b = – 2 ke pers. (1)
2a – b = 6 2a – (– 2) = 6 2a + 2 = 6 2a = 4
a = 2 ∴ a2 + b2 = (2)2 + (– 2)2
= 4 + 4 = 8 ……………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
47
B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1. Bentuk umum :
=++=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.
3. Metode determinan:
D =
333
222
111
cba
cba
cba
=
= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –
(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
Dx =
333
222
111
cbd
cbd
cbd
; Dy =
333
222
111
cda
cda
cda
; Dz =
333
222
111
dba
dba
dba
;
x = D
Dx ; y = D
Dy; z =
D
Dz
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/C37
Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. A. 86 tahun B. 74 tahun C. 68 tahun D. 64 tahun E. 58 tahun Jawab : C
P = A + 28 ⇔ A = P – 28
B = P – 6 + A + B = 2P – 34 ……………….(1)
A + B + P = 119 …………………………...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh : (A + B) + P = 119 2P – 34 + P = 119
3P = 153
P = 3
153 = 51
Jadi, A + B = 2P – 34 = 2(51) – 34 = 68 .............................(C)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
48
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/E52
Umur deksa 4 tahun lebih tua dari umur Elisa.Umur Elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda.Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah Umur Deksa dan Firda adalah…. A. 52 tahun B. 45 tahun C. 42 tahun D. 39 tahun E. 35 tahun Jawab : D
D = 4 + E E = 3 + F ⇔ F = E – 3 +
D + F = 1 + 2E …………(1) D + E + F = 58 ……………….…..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh : (D + F) + E = 58 1 + 2E + E = 58
3E = 57
E = 3
57 = 19
Jadi, D + F = 1 + 2E = 1 + 2(19) = 39 .....................(D)
3. UN 2012/B25 Bimo membeli 3 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan ia membayar Rp20.000,00. Santi membeli 1 bungkus kecap manis, 2 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus kecap ikan ia harus membayar sebesar Rp12.500,00. Dan Darmin membeli 2 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan ia harus membayar sebesar Rp16.000,00. Jika Tamara membeli 1 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus kecap ikan maka ia harus membayar ... A. Rp11.500,00 B. Rp12.000,00 C. Rp12.500,00 D. Rp13.000,00 E. Rp14.000,00 Jawab : -
Misal : 1 bungkus kecap manis = a
1 bungkus kecap asin = b 1 bungkus kecap ikan = c
i. 3a + b + 2c = 20.000 ii. a + 2b + c = 12.500 iii. 2a + b + 2c = 16.000 dari persamaan ii dan iii diperoleh : a + 2b + c = 12.500 2a + b + 2c = 16.000 + 3a + 3b + 3c = 28.500
a + b + c = 3
500.28 = 9.500
(tidak ada jawaban)
4. UN 2011 PAKET 12 Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah … a. 90 kg b. 80 kg c. 75 kg d. 70 kg e. 60 kg Jawab : a
Posisi hasil panen miliki Pak Ahmad, Pak Yadi, dan pak Badrun adalah seperti di bawah ini
A>Y>B • Y = A – 15 …………………………(1) • Y = B + 15 …………………………(2) • A + B + Y = 225……………………(3)
Dari (1) dan (2) Y = A – 15 Y = B + 15 + 2Y = A + B ………………………………(4) Dari (3) dan (4) A + B + Y = 225 2Y + Y = 225 3Y = 225 Y = 75 Dari (1) diperoleh : A = Y + 15 = 75 + 15 = 90 …………………………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
49
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2011 PAKET 46
Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah … a. Rp5.000,00 b. Rp7.500,00 c. Rp10.000,00 d. Rp12.000,00 e. Rp15.000,00 Jawab : c
2m + 2j + a = 70.000 ………………………..(1) 1m + 2j + 2a = 90.000 ……………………….(2) 2m + 2j + 3a = 130.000……………………….(3) dari (3) dan (2) 2m + 2j + 3a = 130.000 1m + 2j + 2a = 90.000 _ m + a = 40.000 ⇔ 3m + 3a =120.000 ……………………..(4) dari (1) dan (2) 2m + 2j + a = 70.000 1m + 2j + 2a = 90.000 + 3m + 4j + 3a = 160.000 ……………………..(5) 4j + 120.000 = 160.000 j + 30.000 = 40.000
j = 10.000 …………………….(C)
6. UN 2007 PAKET A Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar? a. Rp 6.000,00 b. Rp 7.000,00 c. Rp 8.000,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00 Jawab : c
Misal jumlah buku tulis = x, jumlah pena = y dan jumlah pensil = z, sehingga: 3x + y + 2z = 11.000 ………………………… 1) 2x + 3y + z = 14.000 ………………………….2) x + 2y + 3z = 11.000 ………………………….3) 2x + y + z = ……? Dari pers. 1), 2) dan 3) diperoleh 3x + y + 2z = 11.000 2x + 3y + z = 14.000 x + 2y + 3z = 11.000 + 6x + 6y + 6z = 36.000 x + y + z = 6.000 …………………………4) dari 1) dan 4) diperoleh: 3x + y + 2z = 11.000 x + y + z = 6.000 _ 2x + z = 5.000 ...........................................5) dari 2) dan 5) diperoleh 2x + 3y + z = 14.000 2x + z = 5.000 _
3y = 9.000 y = 3.000 ..........................................6)
dari persamaan 5) dan 6) diproleh 2x + z = 5.000 y = 3.000 + 2x + y + z = 8.000
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
50
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2007 PAKET B
Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah … a. Rp 700,00 b. Rp 800,00 c. Rp 850,00 d. Rp 900,00 e. Rp 1.200,00
Jawab : d
Misal jumlah pisang = x, jumlah apel = y dan jumlah mangga = z, sehingga: 2x + 2y + z = 1.400 ……….. 1) x + y + 2z = 1.300 ………...2) x + 3y + z = 1.500 ..……….3) x + y + z = ……? Dari 1) dan 2) 2x + 2y + z = 1.400 x + y + 2z = 1.300 _
x + y – z = 100 _ 3z = 1.200
z = 400 Dengan menggunakan persamaan 2 bisa dihitung
x + y + z
x + y + 2z = 1.300 …………. kedua ruas di kurangi z x + y + 2z – z = 1.300 – z x + y + z = 1.300 – 400 = 900 ……………….(d)
8. UN 2006 Jika {(xo, yo, zo)}memenuhi sistem
persamaan
−=+−=−+
=−−
4
32
5323
zyx
zyx
zyx, maka nilai zo
adalah … a. –3 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5 Jawab : a
Gunakan metode eliminasi (i) 2) dan 3) eliminasi (hilangkan) y
+−=−−=+−
=−+
12
4
32
zx
zyx
zyx
………….(2) ………….(3)
……….…(4)
(ii) 1) dan 3) eliminasi (hilangkan) y
2
1
4
5323
××
−=+−=−−
zyx
zyx
⇔ −=−
−=+−=−−
135
8222
5323
zx
zyx
zyx
………….(1) ………….(3)
……….…(5)
(iii) 4) dan 5) eliminasi x,
−=−
−−=+
=−−=−
279144
135
12
zzx
zx
zx
………….(4) ………….(5)
……….…(6) …..(5) dan (6)
z = – 3 ……………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
51
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2008 PAKET A/B
Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan
41 dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan
pertamanya adalah … a. 15 b. 20 c. 30 d. 35 e. 40 Jawab : e
Misal ketiga bilangan tersebut adalah x, y, z, maka x + y + z = 75 ………………….…………….1) x = y + z + 5 ⇔ x – y – z = 5…………….…..2)
y = 41 (x + z) ⇔ 4y = x + z …………………..3)
Dari 1) dan 2) diperoleh
x + y + z = 75 x – y – z = 5 + 2x = 80 x = 40………………………(e)
10. UN 2005 Diketahui sistem persamaan linear
=−
−=−
=+
211
312
211
zx
zy
yx
. Nilai x + y + z = …
a. 3 b. 2 c. 1
d. 21
e. 31
Jawab : e
Gunakan permisalan
Misal ax
=1, b
y=1
, cz
=1 maka persamaan
awal menjadi:
=−−=−
=+
)3...............2
)2...........32
)1.............2
ca
cb
ba
gunakan metode eliminasi (i) 1) dan 3) eliminasi (hilangkan) a
−=+
=−=+
0
2
2
cb
ca
ba
b = – c ……………………..4) (ii) substitusi 4) ke 2)
2b – c = – 3 2(– c) – c = – 3
3c = 3 ⇒ c = 1 = z
1 ⇒ z = 1
(iii) substitusi c = 1 ke 4) b = – c
= – 1 = y
1 ⇒ y = – 1
(iv) substitusi b = – 1 ke 1) a + b = 2 a – 1 = 2
a = 3 = x
1 ⇒ x =
31
∴ Nilai x + y + z = 31 – 1 + 1 =
31 ..……(e)
SIAP UN IPA 2014 Sistem Persamaan Linear
52
SOAL PENYELESAIAN 11. UAN 2004
Penyelesaian dari sistem persamaan
=−−=−+
=++
1446
19524
8273
zy
zyx
zyx
adalah …
a. x = 5, y = 3, dan z = 1 b. x = 4, y = –5, dan z = 1 c. x = –3, y = 4, dan z = 1 d. x = –5, y = 3, dan z = 2 e. x = –5, y = 3, dan z = 1
Jawab : e
Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x, y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap jawaban yang di sediakan. (i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti
kebenarannya, Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang
paling sederhana 6y – 4z = 14 ⇔ 3y – 2z = 7
a. y = 3 dan z = 1 3y – 2z = 7 3(3) – 2(1) = 7
7 = 7 …..(OK)
Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama, maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e
(ii) Gunakan pers. 1 untuk memeriksa kebenaran
jawaban a a. x = 5, y = 3 dan z = 1
3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah
karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah yang benar adalah ……………………….(e)
4. TRIGONOMETRI I
A. Trigonometri Dasar
� sin α = ry
� cos α = rx
� tan α = xy
B. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º) Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku–siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2)
αº sin cos tan
gambar 1 gambar 2
30 ½ ½ 3 331
45 ½ 2 ½ 2 1
60 ½ 3 ½ 3
C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi
Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3 1. Sudut berelasi (90º – α)
a) sin(90º – α) = cos α b) cos(90º – α) = sin α c) tan(90º – α) = cot α
2. Sudut berelasi (180º – α)
a) sin(180º – α) = sin α b) cos(180º – α) = – cos α c) tan(180º – α) = – tan α
3. Sudut berelasi (270º – α)
a) sin(270º – α) = – cos α b) cos(270º – α) = – sin α c) tan(270º – α) = cot α
4. Sudut berelasi (– α)
a) sin(– α) = – sin α b) cos(– α) = cos α c) tan(– α) = – tan α
gambar 3
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
54
D. Rumus–Rumus dalam Segitiga
1. Aturan sinus : rC
cB
bA
a 2sinsinsin ===
Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:
2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:
3. Luas segitiga
a) L = ½ a · b sin C : ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi”
b) L = )CBsin(
CsinBsina
+⋅⋅
2
2 : ∆ dengan kondisi “sudut sisi sudut”
c) L = )cs)(bs)(as(s −−− , s = ½(a + b + c) : ∆ dengan kondisi “sisi sisi sisi”
4. Luas segi n beraturan : L = o
×n
rn360
sin221
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui segi–8 beraturan dengan panjang
jari–jari lingkaran luar r cm. Panjang sisi
segi–8 tersebut adalah …
A. ��2 − √2 cm
B. ��2 + √2 cm
C. 2��2 − √2 cm
D. 2��1 + √2 cm
E. 2��2 + √2 cm
Jawab : A
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos α
= 2r2 – 2r2 ⋅ 221
= 2⋅r2 – r2⋅ 2
= r2(2 – 2 )
s = )22(2 −r
= r 22 − .............................................(A)
β
α
b
c
β b
a. 2 sudut dan satu sisi b. 2 sisi dan satu sudut di depan sisi sisi
c
b
cα
b
a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi
a
r r 45°
s
α = =45°
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
55
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Diketahui jari–jari lingkaran luar segi–12
beraturan adalah r cm. Panjang sisi segi–12
beraturan tersebut adalah …
A. ��2 − √3 cm
B. 2��2 − √2 cm
C. ��1 + √3 cm
D. ��2 + √3 cm
E. 2��1 + √3 cm
Jawab : A
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = 2r2 – 2r2 cos α
= 2⋅r2 – 2⋅r2 ⋅ 321
= 2⋅r2 – r2⋅ 3
= r2(2 – 3 )
s = )32(2 −r
= r 32 − .............................................(A)
3. UN 2013 Dalam sebuah lingkaran yang berjari–jari 6
cm dibuat segi–12 beraturan. Panjang sisi
segi–12 beraturan tersebut adalah …
A. 6�2 − √3 cm
B. 6�2 − √2 cm
C. 6�3 − √2 cm
D. 6�3 + √3 cm
E. 6�3 + √2 cm
Jawab : A
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = 2r2 – 2r2 cos α
= 2⋅62 – 2⋅62 ⋅ 321
= 2⋅62 – 62⋅ 3
= 62(2 – 3 )
s = )32(62 −
= 6 32 − .............................................(A)
4. UN 2013 Diketahui segi–12 beraturan dengan sisi s cm
dan jari–jari lingkaran luarnya r cm. Keliling
segi–12 tersebut adalah …
A. ��2 − √3 cm
B. 6��2 − √3 cm
C. 12��2 − √3 cm
D. 6��2 + √3 cm
E. 12��2 + √3 cm
Jawab : C
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = 2r2 – 2r2 cos α
= 2⋅r2 – 2⋅r2 ⋅ 321
= 2⋅r2 – r2⋅ 3
= r2(2 – 3 )
s = )32(2 −r
= r 32 −
k = 12s = 12 r 32 − .................................(C)
r = 6r = 6 30°
s
α = = 30°
r r 30°
s
α = = 30°
r r 30°
s
α = = 30°
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
56
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Diketahui segi–8 beraturan dengan panjang
jari–jari lingkaran luar r cm. Keliling segi–8
tersebut adalah …
A. ��2 − √2 cm
B. 4��2 − √2 cm
C. 8��2 − √2 cm
D. 4��2 + √2 cm
E. 8��2 + √2 cm
Jawab : C
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos α
= 2r2 – 2r2 ⋅ 221
= 2⋅r2 – r2⋅ 2
= r2(2 – 2 )
s = )22(2 −r
= r 22 −
k = 8s = 8 r 22 − ....................................(C)
6. UN 2013 Luas segi–12 beraturan dengan panjang jari–
jari lingkaran luarnya r adalah …
A. 2��
B. 2��√3
C. 3��
D. 3��√3
E. 6��
Jawab : C
L = αsin221 rn×
= 12 × o30sin221 r
= 2126 ×r
= 3�� ………………………………..(C)
7. UN 2013 Diketahui jari–jari lingkaran luar suatu segi–8
beraturan adalah r. Luas segi–8 yang dapat
dibuat adalah …
A. ���√2
B. ���√2
C. ����√2
D. ��√2
E. 2��√2
Jawab : E
L = αsin221 rn×
= 8 × o45sin221 r
= 24 212 ×r
= 2��√2 …………………………..(E)
r r 45°
s
α = =45°
r r 30°
s
α = = 30°
r r 45°
s
α = =45°
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
57
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2012/C37
Diketahui segi enam beraturan. Jika jari–jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, Maka luas segienam beraturan tersebut adalah … A. 150 satuan luas B. 150 2 satuan luas
C. 150 3 satuan luas D. 300 satuan luas
E. 300 2 satuan luas Jawab : C
Luas segi–6
L = o
×n
rn360
sin221
= o
××6
360sin106 2
21
= o60sin300×
= 330021×
= 150 3 ………………………………..(C)
9. UN 2012/D49 Panjang jari–jari lingkaran luar segi delapan beraturan adalah 6 cm. Keliling segi delapan tersebut adalah ….
A. 6 22 − cm
B. 12 22 − cm
C. 36 22 − cm
D. 48 22 − cm
E. 72 22 − cm Jawab : D
Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos 45° = 62 + 62 – 2⋅62 ⋅ 2
21
= 2⋅62 – 62⋅ 2
= 62(2 – 2 )
s = )22(62 −
= 6 22 − sehingga keliling segi–8 adalah
k = 8 × s = 8 × 6 32 −
= 48 32 − …………………….(D)
10. UN 2012/B25 Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segi enam tersebut adalah ...
A. 432 3 cm2 B. 432cm2
C. 216 3 cm2
D. 216 2 cm2 E. 216 cm2 Jawab : C
panjang sisi segi–6 s = 6
72 = 12
besar sudut segi–6 α = 6
360o = 60°
karena besar α = 60° sehingga jari–jari lingkaran luarnya = s = 12 cm Dengan demikian, luas segi–6 adalah
L = o60sin221 rn×
= 6 × 21 × 122 × 3
21
= 3 × 144 × 321 = 216 3 ..........................(C)
r = 6r = 6 45°
s
α= =45°
r = 12r = 12 60°
s =12
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
58
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/E52
Luas segi–12 beraturan adalah 192 cm2. keliling segi–12 beraturan tersebut adaah….
A. 96 32 + cm
B. 96 32 − cm
C. 8 32 + cm
D. 8 32 − cm
E. 3128− cm Jawab : B
L = o
×n
rn360
sin221
192 = o
×12
360sin12 2
21 r
192 = 6 ⋅ r2 ⋅ 21
r2 = 3
192 = 64
r = 8 Dengan menggunakan aturan kosinus di peroleh s2 = r2 + r2 – 2r ⋅ r cos 30° = 82 + 82 – 2⋅82 ⋅ 3
21
= 2⋅82 – 82⋅ 3
= 82(2 – 3 )
s = )32(82 −
= 8 32 − sehingga segi–12 adalah
k = 12× s = 12× 8 32 −
= 96 32 − …………………….(B)
12. UN 2011 PAKET 12 Dalam suatu lingkaran yang berjari–jari 8 cm, dibuat segi–8 beraturan. Panjang sisi segi–8 tersebut adalah …
a. 364128− cm
b. 264128− cm
c. 216128− cm
d. 216128+ cm
e. 316128+ cm Jawab : b
Dengan mengguanakan aturan kosinus dapat di cari panjang sisi s s2 = 82 + 82 – 2·8·8 cos 45°
= 64 + 64 – 2·64· 221
= 128 – 64 2
s = 264128− ………………………..(b)
r = 8 r = 8α
s
α = = 45°
r = 8 r = 8 30°
s
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
59
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar!
Panjang BC adalah …
a. 4 2 cm
b. 6 2 cm
c. 7 3 cm
d. 5 6 cm
e. 7 6 cm Jawab : d
Untuk memperoleh panjang BC langkahnya adalah: (i) menentukan panjang AC
dengan menggunakan aturan sinus
C
AD
D
AC
sinsin=
⇔ oo 45sin
10
30sin=AC
⇔ AC = 2
10
2121
⋅
⋅ = 2
2
10= 5 2
(ii) menentukan panjang BC dengan menggunakan aturan cosinus
BC2 = AC2 + AB2 – 2 AC·AB cos A
= 2)25( + 2)210( – 2· 21025 ⋅ cos 60°
= 50 + 200 – 200·21 = 150 = 25 · 6
BC = 625⋅ = 5 6 ………………………..(d)
14. UN 2010 PAKET A/B Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari–jari lingkaran luar 8 cm adalah … a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2 Jawab : a
L = 12 × L∆
= 12 × 21 × r2 ×
12
360sin
o
= 6 × 82 × sin 30° = 6 × 64 ×
21
= 192 ………………………………..(a)
15. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut SPQ = 90°, dan besar sudut SQR = 150°. Luas PQRS adalah … a. 46 cm2 b. 56 cm2 c. 100 cm2 d. 164 cm2 e. 184 cm2
Jawab : b
(i) Tentukan panjang sisi QS
QS = 22 125 + = 14425+ = 169= 13 (ii) Tentukan luas ∆PQS dan ∆QRS
• luas ∆PQS = L1
L1 = 21 ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
• luas ∆QRS = L2
L2 = 21 ⋅ QS ⋅ QR sin 150°
= 21 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30)
= 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30
= 13 ⋅ 4 ⋅ 21
= 26
Jadi: Luas PQRS = L1 + L2 = 30 + 26 = 56 ………..…(b)
10 cm
60°
30°
10 cm
45°D C
B
A
P
Q
R
S
P
Q
R
S
150°L1
L25
12 8
INGAT sin 30° =
sin 45° =
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
60
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui ∆ PQR dengan PQ = 4642 m, ∠PQR = 105º, dan ∠RPQ = 30º. Panjang QR = … m
a. 464 3 b. 464 c. 332 2
d. 232 2 e. 232
Jawab : b
Gunakan aturan
sinus karena
kondisi
segitiganya
“sudut sisi sudut”
∠R = 180° – ( 30° + 105°) = 45°
oo 45sin30sin
PQQR =
⇔ 2
2464
21
21
=QR
QR = 464 …………………………..…….(b)
17. UN 2007 PAKET A Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40° dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil A. 30 2
B. 30 5
C. 30 7
D. 30 10
E. 30 30
Jawab : c
Berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat
dicari dengan menggunakan aturan kosinus.
AC2 = 602 + 902 – 2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60
= 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 21
= 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 900
BC = 7900⋅ = 30 7 ……………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
61
SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2007 PAKET B
Dua buah mobil A dan B, berangkat dari tempat yang sama. Arah mobil A dengan mobil B membentuk sudut 60°. Jika kecepatan mobil A = 40 km/jam, mobil B = 50 km/jam, dan setelah 2 jam kedua mobil berhenti, maka jarak kedua mobil tersebut adalah … km a. 10 21
b. 15 21
c. 20 21
d. 10 61
e. 20 61
Jawab : c
Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sudut sisi”
Jarak AC dan BC setelah 2 jam adalah AC = 40 km/jam × 2 jam = 80 km BC = 50 km/jam × 2 jam = 100 km Sehingga jarak AB setelah 2 jam adalah: AB2 = 802 + 1002 – 2 ⋅ 80 ⋅ 100 cos 60°
= 6.400 + 10.000 – 2 ⋅ 8.000 ⋅ 21
= 16.400 – 8.000 = 8.400 = 21 ⋅ 4 00
AB = 21400⋅
= 20 21 ………………………..…….(c) 19. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin ∠BAC = …
a. 7
5
b. 67
2
c. 49
24
d. 7
2
e. 67
1
Jawab : b
Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sisi sisi”
BC2 = AC2 + AB2 – 2 ⋅ AC ⋅ AB cos A 52 = 62 + 72 – 2 ⋅ 6 ⋅ 7 cos A 25 = 36 +49 – 84 cos A 25 = 85 – 84 cos A
84 cos A = 85 – 25 = 60
cos A = 84
60=
734
534
⋅⋅⋅⋅
= 7
5:
r
x, maka
y = 22 57 −
= 24 = 62
Jadi: sin A = 7
62
= 67
2 …………………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
62
SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm, panjang garis tinggi BD adalah … A. 7 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 11 cm E. 12 cm
Jawab : e
Gunakan bantuan luasan segitiga
i) Luas ∆ dengan panjang tiga sisi diketahui
L = ))()(( csbsass −−− , s = ½(a+b+c)
= )1521)(1421)(1321(21 −−−
= 67821 ⋅⋅⋅
= 3274273 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
= 222 473 ⋅⋅ = 3 · 7 · 4
ii) L ABC = L ABC
½ AC·BD = 3·7·4
½ ·14·BD = 3·7·4
7 BD = 3·7·4
BD = 12 …………………… (e) 21. UN 2004
Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm, dan sudut A = 60°. Panjang sisi BC = …
a. 192
b. 193
c. 194
d. 2 29
e. 3 29
Jawab : a
Gunakan aturan
kosinus karena
kondisi segitiganya
‘sisi sudut sisi”
BC2 = AC2 + AB2 – 2 ⋅ AC ⋅ AB cos 60°
= 102 + 62 – 2 ⋅ 10 ⋅ 6 cos 60°
= 100 + 36 – 120 ⋅ 21
= 136 – 60 = 76 = 4 ⋅ 19
BC = 194⋅
= 192 …………………………….....(a)
A B
C
a = 13b = 14
c = 15
D
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri I
63
SOAL PENYELESAIAN 22. UAN 2003
Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi
AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 54 ,
maka cos C = …
a. 53
b. 741
c. 43
d. 731
e. 721
Jawab : b
cos B = 54 =
r
x, maka
y = 22 45 − = 3
jadi: sin B = 5
3
Gunakan aturan sinus
B
b
C
c
sinsin=
Csin
5=
53
4
4sin C = 3
sin C = 4
3 :
r
y, maka x = 22 34 − = 7
jadi: cos C = 4
7 = 7
41 ……………….(b)
23. UAN 2003 Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang
sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21cm adalah …
a. 51 21
b. 61 21
c. 51 5
d. 61 5
e. 31 5
Jawab : e
� Sudut terkecil dari suatu segitiga adalah sudut
yang ada di depan sisi terpendek: � Dengan bantuan aturan kosinus dapat dicari
nilai dari sinusnya 2)21( = 52 + 62 – 2·5·6 cos A
21 = 25 + 36 – 60 cos A
cos A = 6040 =
32 =
rx ⇒ y = 5
sin A = 35 = 5
31 ………………….. (e)
24. EBTANAS 2002 Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠CAB = 60°. CD adalah tinggi segitiga ABC. Panjang CD = … cm
a. 32 3
b. 3 c. 2
d. 23 3
e. 2 3
Jawab : e
Panjang CD dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan luasan segitiga.
L ABC = L ABC
21 AB ⋅ CD = 2
1 AB ⋅ AC sin A
CD = 4 sin 60° CD = 4 ⋅ 2
1 3
= 2 3 ………………..…………(e)
5. TRIGONOMETRI II
A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
2) cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B
3) tan (A ± B) = BtanAtan1
BtanAtan
⋅±
m
SOAL PENYELESAIAN • UN 2012/D49
Diketahui nilai sin α cos β = 5
1 dan sin
(α – β ) = 5
3 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan
0° ≤ β ≤ 90°. Nilai sin (α + β ) = ….
A. – 5
3 D.
5
1
B. – 5
2 E.
5
3
C. – 5
1 Jawab : C
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
5
3 =
5
1 – cos α sin β
cos α sin β = 5
1 –
5
3 = –
5
2
sehingga diperoleh : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= 5
1 + (–
5
2)
= – 5
1 ………………….(C)
• UN 2012/C37
Diketahui 3
πβα =− dan sin α sin β =
dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = … A. 1
B. 4
3
C. 2
1
D. 4
1
E. 0 Jawab : E
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
cos 3
π = cos α cos β +
4
1
2
1 = cos α cos β +
4
1
cos α cos β = 2
1 –
4
1 =
4
1
sehingga diperoleh : cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= 4
1 –
4
1
= 0 ......................................(E)
• UN 2012/B25
Jika A + B = 3π dan cos A cos B =
85 , maka
cos(A – B) = ...
A. 41
B. 21
C. 43
D. 1
E. 45
Jawab : C
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos 3
π =
85 – sin A sin B
2
1 =
8
5 – sin A sin B
sin A sin B = 2
1
8
5 − = 8
45 − =
8
1
sehingga diperoleh : cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= 8
5 +
8
1 =
8
6 =
4
3 ................ (C)
4
1
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
65
SOAL PENYELESAIAN • UN 2012/E52
Diketahui sin α = 5
3 dan cos β =
13
12 (α dan
β sudut lancip). Nilai sin(α + β)=….
A. 65
56 D.
65
20
B. 65
48 E.
65
16
C. 65
36 Jawab : A
sin α = 5
3 :
r
y ⇒ x = 4 sehingga cos α =
5
4
cos β = 13
12 :
r
x ⇒ y = 5 sehingga sin β =
13
5
maka diperoleh : sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= 5
3 ×13
12 +
5
4 ×13
5
= 65
2036+=
65
56 ………………..(A)
• UN 2011 PAKET 12
Diketahui (A + B) = dan sinA sinB = .
Nilai dari cos (A – B) = … a. –1
b. –21
c. 21
d. 43
e. 1 Jawab : e
(i) cos (A + B) = cosA cosB – sinA sinB
⇔ cos = cosA cosB –
⇔ cosA cosB = cos + 41 =
21 +
41 =
43
(ii) cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB
= 43 +
41 = 1 ………………..(e)
• UN 2010 PAKET B Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan
p – q = 30°. Jika cos p sin q = 61 , maka nilai
dari sin p cos q = …
A. 61 D.
64
B. 62 E.
65
C. 63 Jawab : d
sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q
sin 30° = sin p cos q – 61
21 = sin p cos q –
61
sin p cos q = 61
21 +
= 613+
= 64 ……………………….(d)
• UN 2009 PAKET A/B
Diketahui tan α = 43 dan tan β = 12
5 ; α dan β
sudut lancip . Maka nilai cos (α + β) = …
A. 6564 D.
6533
B. 6563 E.
6530
C. 6536 Jawab : d
i) tan α = 43 :
xy
⇒ r = 22 43 + = 5
sin α = ry =
53 ; cos α = r
x = 54
ii) tan β = 125 :
xy
⇒ r = 22 125 + = 13
sin β = ry =
135 ; cos β = r
x = 1312
iii) cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= 54 ×
1312 –
53 ×
135
= 65
1548− = 6533 …………….(d)
3
π41
3
π41
3
π
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
66
SOAL PENYELESAIAN • UN 2009 PAKET A/B
Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 54
dan sin B = 1312 , maka sin C = …
a. 6520
b. 6536
c. 6556
d. 6560
e. 6563
Jawab : e
i) cos A = 54 : r
x ⇒ y = 22 45 − = 3
• sin A = ry =
53
ii) sin B = 1312 :
ry ⇒ r = 22 1213 − = 5
• cos B = rx =
135
iii) Besar sudut dalam segititiga 180°, maka: A + B + C = 180° C = {180° – (A + B)} sin C = sin {180° – (A + B)} = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 53 ×
135 +
54 ×
1312
= 65
4815+ = 6563 …………….(e)
• UN 2008 PAKET A/B
Diketahui sin A = 54 dan sin B =
257 , dengan A
sudut lancip dan B sudut tumpul. Nilai cos (A – B) = …
a. 125117−
b. 125100−
c. 12575−
d. 12544−
e. 12521−
Jawab : d
i) sin A = 54 :
ry ⇒ y = 22 45 − = 3
• cos A = rx =
53
ii) sin B = 25
7 : ry ⇒ r = 22 1213 − = 5
• cos B = rx =
135
iii) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
= )( 2524
53 −⋅ +
257
54 ⋅
= 12528
12572 +−
= 12544− ……………….……(d)
• UN 2004 Nilai sin 45º cos 15º + cos 45º sin 15º sama dengan …
A. 21 D. 2
1 6
B. 21 2 E.
31 3
C. 21 3 Jawab : c
sin 45º cos 15º + cos 45º sin 15º
⇔ sin(45 + 15) = sin 60º
= 21 3 ……………………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
67
B. Perkalian Sinus dan Kosinus 1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}
2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)
cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}
4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)
sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}
SOAL PENYELESAIAN 1. UAN 2003
Nilai dari oo
o
5040
10
coscos
cosadalah …
a. 3 b. 2 c. 1
d. 21
e. 41
Jawab : b
oo
o
5040
10
coscos
cos
⇔ )}4050cos()5040{cos(
10cos
21 oooo
o
−++
⇔ 10cos90cos
10cos2
+
o
⇔ 10cos0
10cos2
+
o
= 2 ……………………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
68
C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen 1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)
2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)
3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)
4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)
5) tan A + tan B = BA
BA
coscos
)sin( +
6) tan A – tan B = BA
BA
coscos
)sin( −
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Nilai dari oo
oo
5sin115sin
5cos115cos
++
= …
A. −√3
B. –1
C. − �√3
D. �√3
E. √3
Jawab : D
Misal :
• A = ½ (115 + 5)° = 60° • B = ½ (115 – 5)° = 55°
• oo
oo
5sin115sin
5cos115cos
++
= BA
BA
cossin2
coscos2
= A
A
sin
cos
= o
o
60sin
60cos
= 32
121
= �√3 .................(D)
2. UN 2013
Nilai dari oo
oo
35cos125cos
35sin125sin
−+
= …
A. –1
B. − �√2
C. �√2
D. 1
E. 2
Jawab : A
Misal :
• A = ½ (125 + 35)° = 80° • B = ½ (125 – 35)° = 45°
• oo
oo
35cos125cos
35sin125sin
−+
= BA
BA
sinsin2
cossin2
−
= B
B
sin
cos−
= o
o
45sin
45cos−
= 2
2
2121
= – 1 .................(A)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
69
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Nilai oo
oo
45sin195sin
45cos195cos
−−
= …
A. √3
B. �√3
C. �√3
D. − �√3
E. −√3
Jawab : A
Misal :
• A = ½ (195 + 45)° = 120° • B = ½ (195 – 45)° = 75°
• oo
oo
45sin195sin
45cos195cos
−−
= BA
BA
sincos2
sinsin2−
= A
A
cos
sin−
= o
o
120cos
120sin−
= 21
21 3
−− = √3 .................(A)
4. UN 2013
Nilai dari oo
oo
15cos105cos
15sin105sin
−−
= …
A. √3
B. �√3
C. − �√3
D. −1
E. −√3
Jawab : C
Misal :
• A = ½ (105 + 15)° = 60° • B = ½ (105 – 15)° = 45°
• oo
oo
15cos105cos
15sin105sin
−−
= BA
BA
sinsin2
sincos2
−
= A
A
sin
cos−
= o
o
60sin
60cos−
= 32
121
− = − �√3 .................(C)
5. UN 2013
Nilai dari oo
oo
102cos168cos
12sin78sin
−−
= …
A. –1
B. − �√2
C. 0
D. �√2
E. 1
Jawab : A
Misal :
• A = ½ (78 + 12)° = 45° • B = ½ (78 – 12)° = 33° • C = ½ (168 + 102)° = 135° • D = ½ (168 – 102)° = 33°
• oo
oo
102cos168cos
12sin78sin
−−
= DC
BA
sinsin2
sincos2
−
= oo
oo
33sin135sin
33sin45cos−
= 2
2
2121
− = –1 .................(A)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
70
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Nilai dari oo
oo
15cos75cos
15sin105sin
−−
adalah …
A. −√3
B. –1
C. �
D. �√3
E. √3
Jawab : B
Misal :
• A = ½ (105 + 15)° = 60° • B = ½ (105 – 15)° = 45° • C = ½ (75 + 15)° = 45° • D = ½ (75 – 15)° = 30°
• oo
oo
15cos75cos
15sin105sin
−−
= DC
BA
sinsin2
sincos2
−
= oo
oo
30sin45sin
45sin60cos−
= 2121
− = –1 .................(B)
7. UN 2012/C37
Nilai dari sin 75°– sin 165° adalah …
A. 24
1 D. 2
2
1
B. 34
1 E. 6
2
1
C. 64
1 Jawab : D
Misal : • A = ½ (75 + 165)° = 120° • B = ½ (75 – 165)° = –45°
sin 75°– sin 165° = 2cos A · sin B
= 2 cos 120° sin (–45)°
= )2()(221
21 −×−×
= 22
1 ………………………(D)
8. UN 2011 PAKET 12
Nilai oo
oo
100sin140sin
100cos140cos
−−
= …
a. – 3
b. – 321
c. –
d. 331
e. Jawab : e
Misal : • A = ½ (140 + 100)° = 120° • B = ½ (140 – 100)° = 20°
Jadi:
oo
oo
100sin140sin
100cos140cos
−−
= BA
BA
sincos2
sinsin2−
= o
o
120cos
120sin−
= 21
21 3
−−
= ……………………..(e)
331
3
3
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
71
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2011 PAKET 46
Nilai = …
a. – 331
b. – 221
c. –1
d. 21
e. 1 Jawab : c
Misal : • A = ½ (75 + 15)° = 45° • B = ½ (75 – 15)° = 30° • C = ½ (105 + 15)° = 60° • D = ½ (105 – 15)° = 45°
Jadi:
= DC
BA
sinsin2
cossin2
−
= oo
oo
45sin60sin
30cos45sin−
= 3
3
2121
−
= –1 ………………………(c) 10. UN 2010 PAKET A
Hasil dari oo
oo
102cos138cos
63sin27sin
++ = …
a. – 2
b. – 21 2
c. 1
d. 21 2
e. 2
Jawab : a
Misal : • A = ½ (63 +27)° = 45° • B = ½ (63 – 27)° = 18° • C = ½ (138 + 102)° = 120° • D = ½ (138 – 102)° = 18°
Jadi:
oo
oo
102cos138cos
63sin27sin
++ =
oo
oo
102cos138cos
27sin63sin
++
= DC
BA
coscos2
cossin2
= oo
oo
18cos120cos
18cos45sin
=
21
21 2
− = – 2 …………..(a)
11. UN 2010 PAKET A
Diketahui tan α – tan β = 31 dan
cos α cos β = 6548 , (α , β lancip).
Nilai sin (α – β) = …
A. 6563 D.
4816
B. 6533 E.
6516
C. 6526 Jawab : e
tan α – tan β = βα
βαcoscos
)sin( −
31 =
6548
)sin( βα −
sin (α – β) = 6548
31 ×
= 6516 ………………..……………..(e)
oo
oo
15cos105cos
15sin75sin
−
+
oo
oo
15cos105cos
15sin75sin
−
+
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
72
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2010 PAKET B
Hasil dari oo
oo
)45sin()45sin(
)45cos()45cos(
αααα
−++++− =
… a. – 2 b. 1
c. 21 2
d. 1 e. 2
Jawab : d
Misal : (45 – α)° = A; (45 + α) = B • A + B = (45 – α)° + (45 + α) = 90°
½(A + B) = 45°
• A – B = (45 – α)° – (45 + α) = –2α° ½(A – B) = – α°
Jadi:
oo
oo
)45sin()45sin(
)45cos()45cos(
αααα
−++++− =
oo
oo
)45sin()45sin(
)45cos()45cos(
αααα
++−++−
= )cos(45sin2
)cos(45cos2oo
oo
αα
−− = 1 ……(d)
13. UN 2008 PAKET A/B Nilai dari cos 195º + cos 105º adalah …
a. 621
b. 321
c. 221
d. 0
e. 621−
Jawab : e
cos 195º + cos 105º
⇔ 2cos½ (195º + 105º) · cos ½(195º – 105º)
⇔ 2cos½ (300º) · sin ½(90º)
⇔ 2cos 150º · sin 45º
⇔ 2cos (180 – 30) · 221
⇔ – 2cos 30 · 221
⇔ – 2 · 321 · 22
1 = 621− ………………(e)
14. UN 2007 PAKET A
Nilai dari oo
oo
15cos105cos
15sin75sin
++
= ….
a. – 3
b. – 2
c. 31 3
d. 2
e. 3
Jawab : e
oo
oo
15105
1575
coscos
sinsin
++
⇔ )90(cos)120(cos2
)60(cos)90(sin2
21
21
21
21
oo
oo
⋅
⋅
⇔ oo
oo
45cos60cos
30cos45sin
⋅⋅
⇔ 21
21 3
= 3 ………………..……………(e)
15. UN 2007 PAKET B Nilai dari cos 25º + cos 95º + cos 145º = …. a. –1
b. – 21
c. 0
d. 21
e. 1
Jawab : c
cos 25º + cos 95º + cos 145º ⇔ (cos 95º + cos 25º ) + cos 145º ⇔ 2cos½ (120º) · cos ½( 70º) + cos 145º ⇔ 2cos60º · cos 35º + cos 145º
⇔ 2 · 21 · cos 35º + cos 145º
⇔ cos 35º + cos 145º ⇔ cos 145º + cos 35º ⇔ 2cos½ (180º) · cos ½( 110º) ⇔ 2cos90º · cos ½( 110º) ⇔ 2 · 0 · cos 55 = 0…………………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
73
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2006
Nilai dari sin 75º + cos 75º = …
a. 41 6
b. 21 2
c. 21 3
d. 1
e. 21 6
Jawab : e
sin 75º + cos 75º
⇔ sin (30º + 45º) + cos (30º + 45º)
⇔ {sin 30º cos 45º + cos 30º sin 45º } +
{cos 30º cos 45º – sin 30º sin 45º}
⇔ { 21 ⋅ 22
1 + 321 ⋅ 22
1 } + { 321 ⋅ 22
1 – 21 ⋅ 22
1 }
⇔ 241 + 64
1 + 641 – 24
1 = 621 ……..(e)
17. UAN 2003
Nilai oo
oo
171sin69sin
21sin81sin
−+
= … .
a. 3
b. 21 3
c. 31 3
d. – 21 3
e. – 3
Jawab : a
oo
oo
171sin69sin
21sin81sin
−+
⇔ )102(sin)240(cos2
)60(cos)102(sin2
21
21
21
21
oo
oo
−⋅
⋅
⇔ oo
oo
51sin120cos
30cos51sin
⋅−⋅
⇔ o
o
)60180cos(
30cos
−−
⇔ )60cos(
30coso
o
−−
⇔ 21
21 3
= 3 ……….……………(a)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
74
D. Sudut Rangkap 1) sin 2A = 2sinA·cosA
2) cos 2A = cos2A – sin2A
= 2cos2A – 1
= 1 – 2sin2A
3) tan 2A = Atan1
Atan22−
4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui
sin�� − 60°� + sin�� + 60°� = �. Hasil
dari sin 2x = …
A. −2��1 − ��
B. ��1 − ��
C. 2��1 − ��
D. 2�� − 2�
E. −2�� + 2�
Jawab : C
Misal : x – 60° = A; x + 60° = B • A + B = (x – 60°) + (x + 60°) = 2x
½(A + B) = x
• A – B = (x – 60°) – (x + 60°) = –120° ½(A – B) = –60°
• sin�� − 60°� + sin�� + 60°� = � ⇔ sin A + sin B = p ⇔ 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B) = p ⇔ 2sin x · cos (– 60) = p ⇔ 2sin x · ½ = p
⇔ sin x = p = 1
p =
r
y⇒ x = 21 p−
• Cos x = r
x= 21 p−
• Sin 2x = 2sin x cos x
= 2p 21 p− ……………………(C)
2. UN 2013
Diketahui 5
3cos =x untuk 0° < x < 90°. Nilai
dari sin 3x + sin x = …
A. �� ��
B. �� ��
C. �� ��
D. �� ��
E. �� ��
Jawab : E
• 5
3cos =x =
r
x ⇒ y = 22 xr −
= 22 35 −
= 16= 4
• r
yx =sin =
5
4
• sin 3x + sin x = (3sin x – 4sin3x) + sin x = 4sin x – 4sin3x
= 3
5
44
5
44
×−×
= 3
4
2
22
5
4
55
54 −⋅⋅
= 125
256400−
= 125
144…………………..(E)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
75
SOAL PENYELESAIAN 3. UAN 2003
Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = 31 .
Nilai tan A = …
a. 331
b. 221
c. 631
d. 552
e. 632
Jawab : b
cos 2A = 1 – 2sin2 A
31 = 1 – 2sin2 A
(2sin2 A = 1 – 31 =
32 ) × 2
1
sin2 A = 31
sin A = 3
1=
r
y ⇒ x = ( ) 22
13 −
= 2
maka tan A = x
y =
2
1
= 221 ……………..…….(b)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
76
E. Persamaan Trigonometri 1. sin xº = sin p
x1 = p + 360k x2 = (180 – p) + 360k
2. cos xº = cos p x1 = p + 360k x2 = – p + 360k
3. tan xº = tan p x1 = p + 180k x2 = (180 + p) + 180k
4. Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 60°, 180°} B. {30°, 180°, 300°} C. {30°, 90°, 150°} D. {60°, 180°, 300°} E. {60°, 120°, 270°} Jawab : D
cos 2x + cos x = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) + cos x = 0 ⇔ 2cos2 x + cos x – 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x + 2)(2cos x – 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x + 1) (2cos x – 1) = 0
i) cos x + 1 = 0 cos x = –1
x = {180°}
ii) 2cos x – 1 = 0 cos x = ½
x = {60°, 300°}
Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} …………(D)
2. UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x – 3cos x + 2 = 0 untuk 0° < x < 360° adalah … A. {60°, 120°} B. {150°, 210°} C. {30°, 330°} D. {120°, 240°} E. {60°, 300°} Jawab : E
cos 2x – 3cos x + 2 = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) – 3cos x + 2 = 0 ⇔ 2cos2 x – 3cos x + 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x – 2)(2cos x – 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x – 1) (2cos x – 1) = 0
i) cos x – 1 = 0 cos x = 1
x = {0°} …………. Bukan HP
karena di luar interval
ii) 2cos x – 1 = 0 cos x = ½
x = {60°, 300°}
Jadi, HP = {60°, 300°} …………(E)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
77
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x + 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° … A. {60°, 120°, 270°}
B. {120°, 240°, 270°}
C. {90°, 240°, 270°}
D. {120°, 180°, 240°}
E. {120°, 150°, 270°}
Jawab : D
cos 2x + 3cos x + 2 = 0 ⇔ (2cos2 x – 1) + 3cos x + 2 = 0 ⇔ 2cos2 x + 3cos x + 1 = 0 ⇔ ½ (2cos x + 2)(2cos x + 1) = 0 …. Ingat cara memfaktorkan ⇔ (cos x + 1) (2cos x + 1) = 0
i) cos x + 1 = 0 cos x = –1
x = {180°}
ii) 2cos x + 1 = 0 cos x = – ½
x = {120°, 240°}
Jadi, HP = {120°, 180°, 240°} …………(D) 4. UN 2013
Nilai x memenuhi persamaan cos 2x – sin x = 0 untuk 0° < x < 360° adalah … A. {30°, 150°}
B. {30°, 270°}
C. {30°, 150°, 180°}
D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
Jawab : E
cos 2x – sin x = 0 (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0 – 2 sin2 x – sin x + 1= 0 2sin2 x + sin x – 1 = 0
½ (2sin x – 1)(2sin x + 2) = 0…. Ingat cara memfaktorkan
(2sin x – 1)(sin x + 1) = 0
i) 2sin x – 1 = 0 sin x = ½
x = {30°, 150°}
ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1
x = {270°}
Jadi, HP = {30°, 150°, 270°} ………..….(E)
5. UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x° – sin x° – 1 = 0 untuk 0 < x < 360 adalah … A. {180°, 210°, 330°} B. {30°, 150°, 180°} C. {150°, 180°, 330°} D. {60°, 120°, 180°} E. {120°, 240°, 300°} Jawab : A
cos 2x – sin x – 1= 0 (1 – 2 sin2 x) – sin x – 1= 0 – 2 sin2 x – sin x = 0 2sin2 x + sin x = 0
sin x (2 sin x + 1) = 0.............…. Ingat cara memfaktorkan
i) sin x = 0 x = {180°}
ii) 2sin x + 1 = 0
sin x = –½ x = {210°, 330°}
Jadi, HP = {180°, 210°, 330°} ………..….(A)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
78
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {120°, 240°} D. {210°, 330°} E. {240°, 300°} Jawab : D
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0 (1 – 2 sin2 x) + 3sin x + 1= 0 – 2 sin2 x + 3sin x + 2 = 0 2sin2 x – 3sin x – 2 = 0
½ (2sin x + 1)(2sin x – 4) = 0…. Ingat cara memfaktorkan
(2sin x + 1)(sin x – 2) = 0
i) 2sin x + 1 = 0 sin x = –½
x = {210°, 330°}
ii) sin x – 2 = 0 sin x = 2 ............ TM
Jadi, HP = {210°, 330°} ………..….(D)
7. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari persamaan 4 sin x =1 + 2 cos 2x, 0° ≤ x ≤ 360° adalah … A. {30°, 150°} B. {30°, 210°} C. {150°, 210°} D. {210°, 330°} E. {240°, 300°} Jawab : A
4 sin x =1 + 2 cos 2x ⇔ 2 cos 2x – 4 sin x + 1 = 0 ⇔ 2 (1 – 2 sin2 x) – 4 sin x + 1 = 0 ⇔ – 4 sin2 x – 4 sin x + 3 = 0 ⇔ 4 sin2 x + 4 sin x – 3 = 0 ⇔ ½ (4 sin x + 6) ½ (4 sin x – 2) = 0 ⇔ (2 sin x + 3) (2 sin x – 1) = 0
i) 2sin x + 3 = 0
sin x = 23− .............TM
ii) 2sin x – 1= 0
sin x = ½ Jadi, HP = {30°, 150°} ………..….(A)
8. UN 2012/A13 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah….
A. {0, πππ 2,2
3, }
B. {0, πππ 2,2
4, }
C. {0, ππππ 2,,3
2, }
D. {0, ππ 2, }
E. {0,2
3,
ππ }
Jawab : A
cos 2x – 2sin x = 1 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 0 sin2 x + sin x = 1
sin x (sin x + 1) = 0
i) sin x = 0 x = {0, π, 2π}
ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1
x = { π2
3}
Jadi, HP = {0, πππ 2,2
3, } ………..…….(A)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
79
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/C37
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2cos x = –1; 0 ≤ x ≤ 2π adalah …
A. {0, 2
1 π, 2
3 π, 2π}
B. {0, 2
1 π, 3
2 π, 2π}
C. {0, 2
1 π, π, π2
3}
D. {0, 2
1 π, 3
2 π}
E. {0, 2
1 π, π}
Jawab : A
cos 2x – 2cos x = –1
2cos2 x – 1 – 2cos x = –1 2cos2 x – 2cos x = 0
cos2 x – cos x = 0 cos x (cos x – 1) = 0
i) cos x = 0
x =
ππ
2
3,
2
ii) cos x – 1 = 0 cos x = 1
x = {0, 2π}
Jadi, HP =
πππ 2,
2
3,
2
1,0 ……………(A)
10. UN 2012/D49 Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah …. A.{120°,150°} B. {150°,165°} C. {30°,150°} D. {30°,165°} E. {15°,105°} Jawab : –
cos 4x + 3 sin 2x = – 1
1 – 2sin2 2x + 3 sin 2x = –1 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0
21 (2sin 2x – 4) (2 sin 2x + 1) = 0
(sin 2x – 2) (2 sin 2x + 1) = 0 i) sin 2x – 2 = 0 sin 2x = 2 ..... tidak mungkin krn nilai maks
fungsi sinus = 1 ii) 2 sin 2x + 1 = 0
sin 2x = 21− = sin 210°
a) 2x = 210° x = 105°
b) 2x = 180° – 210° + k⋅360° x = –15 + k⋅180° untuk k = 1 ⇒ 180° – 15° = 165°
Hp = {105°, 165°}
11. UN 2011 PAKET 12 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah … a. {45°, 120°} b. {45°, 135°} c. {60°, 135°} d. {60°, 120°} e. {60°, 180°}
Jawab : e
cos 2x + cos x = 0
⇔ 2 cos2 x – 1 + cos x = 0
⇔ 2 cos2 x + cos x – 1 = 0
⇔ (2 cos x – 1)(cos x + 1) = 0
(i) 2 cos x – 1 = 0
cos x = 21 → x = 60°
(ii) cos x + 1 = 0 cos x = –1 → x = 180°
Jadi, x = {60°, 180°} …………………………(e)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
80
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2011 PAKET 46
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 3 cos x + 2 = 0, 0° ≤ x ≤ 360° adalah … a. {60°, 300°} b. {0°, 60°, 300°} c. {0°, 60°, 180°, 360°} d. {0°, 60°, 300°, 360°} e. {0°, 60°, 120°, 360°}
Jawab : d
cos 2x – 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x – 3cos x + 1 = 0
⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0
(i) 2 cos x – 1 = 0
cos x = 21 → x = {60°, 300°}
(ii) cos x – 1 = 0 cos x = 1 → x = {0°, 360°}
Jadi, x = {0°, 60°, 300°, 360°} ………………(d)
13. UN 2010 PAKET A Himpunan penyelesaian persamaan: sin 2x + 2cos x = 0, untuk 0 ≤ x < 2π adalah … a. { }π,0
b. { }ππ ,2
c. { }ππ ,23
d. { }2
32 , ππ
e. { }2
3,0 π
Jawab : d
sin 2x + 2cos x = 0 ⇔ 2 sin x cos x + 2cos x = 0 ⇔ 2 cos x (sin x + 1) = 0
i) 2 cos x = 0 cos x = 0
x = 90°, 270° = 2π , 2
3π
ii) sin x + 1 = 0 sin x = – 1
x = 270° = 23π
Jadi Hp = {2π , 2
3π } ………………(d)
14. UN 2010 PAKET B
Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x – sin x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah …
a. { }632 ,, πππ
b. { }23
65
6 ,, πππ
c. { }67
62 ,, πππ
d. { }611
34
67 ,, πππ
e. { }πππ 2,, 611
34
Jawab : b
cos 2x – sin x = 0 ⇔ 1 – 2 sin2 x – sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0
i) 2 sin x – 1 = 0
sin x = 21
x = 30°, 150° = 6π ,
65π
ii) sin x + 1 = 0 sin x = – 1
x = 270° = 23π
Jadi Hp = {6π ,
65π , 2
3π } ………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
81
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2008 PAKET A/B
Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x° + 7 sin x° + 3 = 0, untuk 0 < x < 360 adalah … a. {0, 90} b. {90, 270} c. {30, 130} d. {210, 330} e. {180, 360}
Jawab : d
cos 2xº + 7 sin xº + 3 = 0 ⇔ (1 – 2sin2 xº) + 7 sin xº + 3 = 0 ⇔ – 2sin2 xº + 7sin xº + 4 = 0 ⇔ 2sin2 xº – 7sin xº – 4 = 0 ⇔ (2sin xº +1)(sin xº – 4) = 0
(i) sin xº – 4 = 0 sin xº = 4 ……………tidak mungkin xº = {}
(ii) 2sin xº +1 = 0 …………rumus E.1 2sin xº = – 1
sin xº = – 21 …. di kwadran III dan IV
sin xº = sin (– 30º) • xº = (180 + 30)º = 210º … kwadran III • xº = (360 – 30)º = 330° … kwadran IV
Jadi, HP = {210º, 330º} ………………….(d) 16. UN 2009 PAKET A/B
Himpunan penyelesaian persamaan: sin 4x – cos 2x = 0, untuk 0° < x < 360° adalah … a. {15°, 45°, 75°, 135°} b. {135°, 195°, 225°, 255°} c. {15°, 45°, 195°, 225°} d. {15°, 75°, 195°, 255°} e. {15°, 45°, 75°, 135°, 195°,225°, 255°,315°}
Jawab : e
sin 4x – cos 2x = 0 ⇔ sin 2(2x) – cos 2x = 0 ⇔ 2sin 2x · cos 2x – cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2sin 2x – 1) = 0
(a) cos 2x = 0 cos 2x = cos 90° Lihat rumus .E.2 (i) 2x° = 90° + k · 360°
x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°) = 45º untuk k = 1 ⇒ xº = 45° + (1 · 180°) = 225º (ii) 2x° = –90° + k · 360°
x° = –45° + k · 180° untuk k = 1 ⇒ xº = –45° + (1 · 180°) = 135º untuk k = 2 ⇒ xº = –45° + (2 · 180°) = 315º
(b) 2sin 2x – 1 = 0
sin 2x = 21
sin 2x = sin 30º Lihat rumus E.1 (i) 2xº = 30° + k · 360°
x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°) = 15° untuk k = 1 ⇒ xº = 15° + (1 · 180°) =195°
(ii) 2x° = 180° – 30 ° + k · 360° x° = 90° – 15° + k · 180° x° = 75° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 75° + (0 · 180°) = 75° untuk k = 1 ⇒ xº = 75° + (1 · 180°) =225°
Dari langkah (a) dan (b) diperoleh: HP = {15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°, 315°} …………………………………………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
82
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2004
Nilai x yang memenuhi persamaan
2 cos xº + 2sin xº = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah … a. 15 atau 135 b. 45 atau 315 c. 75 atau 375 d. 105 atau 345 e. 165 atau 285
Jawab : d
Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 2cos xº + 2sin xº = 2
⇔ {2cos xº + 2sin xº = 2 }× 241
⇔ 221 cos xº + 22
1 sin xº = 21
⇔ sin xº · 221 + cos xº · 22
1 = 21
⇔ sin xº · cos 45° + cos xº · sin 45° = sin 30° ⇔ sin (xº + 45°) = sin 30° Lihat rumus E.1 (i) xº + 45º = 30° + k · 360°
x° = –15° + k · 360° untuk k = 1 ⇒ xº = –15° + (1 · 360°) = 345°
(ii) x° + 45° = 180° – 30 ° + k · 360° x° = 105° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 105° + (0 · 360°) = 105°
Jadi, HP = {105°, 345°} ………….…………(d)
18. UN 2006 Diketahui persamaan
2cos2x + 3 sin 2x = 1 + 3 , untuk
0 < x < 2π . Nilai x yang memenuhi adalah …
a. 6π dan
2π
b. 3π dan
125π
c. 12π dan
125π
d. 12π dan
4π
e. 6π dan
4π
Jawab : d
Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut
2cos2x + 3 sin 2x = 1 + 3
⇔ 1 + cos 2x + 3 sin 2x = 1 + 3
⇔ {cos 2x + 3 sin 2x = 3 }× 21
⇔ 21 cos 2x + 2
1 3 sin 2x = 21 3
⇔ cos 2x · 21 + sin 2x · 32
1 = 321
⇔ sin 2x · 321 + cos 2x · 2
1 = 321
⇔ sin 2x · cos 30° + cos 2x · sin 30° = sin 60° ⇔ sin (2x + 30°) = sin 60°
Lihat rumus A.1) (i) 2xº + 30º = 60° + k · 360°
2xº = 30° + k · 360° x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°)
= 15° = πo
o
18015 = 12
π
(ii) 2x° + 30° = 180° – 60 ° + k · 360° 2x° = 90° + k · 360° x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°)
= 45° = πo
o
18045 = 4
π
Jadi, HP = {12π , 4
π } ………….…………(d)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
83
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2005
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2xº + 3 sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah … a. {30, 90} b. {30, 150} c. {0, 30, 90} d. {30, 90, 150} e. {30, 90, 150, 180}
Jawab : d
cos 2xº + 3sin xº = 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360
untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah menjadi fungsi sinus.
cos 2xº + 3sin xº = 2 ⇔ (1 – 2 sin2xº) + 3sin xº = 2 ⇔ 2 sin2xº – 3sin xº + 1 = 0 ⇔ (2 sin xº – 1) (sin xº – 1) = 0
Lihat rumus E.1 (i) 2 sin xº – 1 = 0
2 sin xº = 1
sin xº = 21
xº = 30º xº = (180º – 30º)= 150º
(ii) sin xº – 1 = 0 sin xº = 1
xº = 90º
Jadi, HP = {30º, 90º, 150º} ………………(d)
20. UN 2004 Nilai x yang memenuhi
3 cos x + sin x = 2 , untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah …
a. π121 dan π12
11
b. π121 dan π12
23
c. π125 dan π12
7
d. π125 dan π12
19
e. π125 dan π12
23
Jawab : e
Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 3 cos x + sin x = 2 ,
↔ ( 3 cos x + sin x = 2 ) × 21
↔ 321 cos x +
21 sin x = 22
1
↔ cos 30º cos x + sin 30º sin x = cos 45º ↔ cos (x – 30º) = cos 45º Lihat rumus E.2
(i) x – 30º = 45º + k·360º, x = 75º + k·360º,
untuk k = 0 ⇒ x = 75º = π18075 = π12
5
(ii) x – 30º = – 45º + k·360º x = –15 + k·360º untuk k = 1 ⇒ x = 345º = π180
345 = π1223
Jadi, HP = { π125 , π
1223 } ………..…….(e)
SIAP UN IPA 2014 Trigonometri II
84
SOAL PENYELESAIAN 21. UAN 2003
Untuk 0 ≤ x ≤ 360, himpunan penyelesaian
dari sin xº – 3 cos xº – 3 = 0 adalah … a. {120,180} b. {90,210 c. {30, 270} d. {0,300} e. {0,300,360}
Jawab : a
Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut
sin xº – 3 cos xº – 3 = 0
⇔ {sin xº –3 cos xº = 3 } × 21
⇔ 21 sin xº – 32
1 cos xº = 321
⇔ sin xº · 21 – cos xº · 32
1 = 321
⇔ sin xº · cos 60º – cos xº · sin 60º = sin 60º ⇔ sin (xº – 60º) = sin 60º Lihat rumus A.1) (i) xº – 60º = 60° + k · 360°
x° = 120° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 120° + (0 · 360°) = 120°
(ii) x° – 60° = 180° – 60° + k · 360° x° = 180° + k · 360° untuk k = 0 ⇒ xº = 180° + (0 · 360°) = 180°
Jadi, HP = {120°, 180°} ………….……..………(a)
22. EBTANAS 2002 Jika a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º untuk setiap x, maka a3 + b = … a. –1 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : d
a sin xº + b cos xº = sin(30 + x)º
⇔ bcos xº + a sin xº = sin30º⋅cos xº +cos30º⋅sin xº
= 21 cos xº + 32
1 sin xº
dari kesamaan dua ruas di atas diperoleh:
b = 21 dan a = 32
1 , maka:
a 3 + b = 21
21 33 +×
= 21
23 + = 2 …………………….…..(d)
6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p
p ~ p B S S B
B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.
p ∧∧∧∧ q : p dan q
2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨∨∨∨ q : p atau q
3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒⇒⇒⇒ q : Jika p maka q
4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔⇔⇔⇔ q : p jika dan hanya jika q
C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q P ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S S B B
Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal
1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Invers Konvers Kontraposisi
p ⇒ q ~ p ⇒ ~ q q ⇒ p ~ q ⇒ ~ p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi
E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen (Setara) 1) implikasi ≡ kontraposisi : p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2) konvers ≡ invers : q ⇒ p ≡ ~ p ⇒ ~ q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
86
F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca
“untuk semua nilai x” • Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x”
dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x” • Ingkaran dari pernyataan berkuantor
1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan “Jika persediaan barang banyak, maka harga barang turun” adalah … A. Persediaan barang banyak atau harga barang
naik B. Persediaan barang banyak dan harga barang
naik C. Persediaan barang tidak banyak atau harga
barang naik D. Persediaan barang tidak banyak atau harga
barang turun E. Persediaan barang tidak banyak dan harga
barang turun Jawab : D
Misal : p = persediaan barang banyak
q = harga barang turun sehingga : p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q …………………..………(D)
≡ Persediaan barang tidak banyak atau harga barang turun
2. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas maka tingkat polusi udara dapat diturunkan.” adalah … A. Kendaraan bermotor menggunakan bahan
bakar gas dan tingkat polusi udara tidak dapat diturunkan
B. Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas atau tingkat polusi udara dapat diturunkan
C. Jika tingkat polusi udara dapat diturunkan maka Kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas
D. Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas dan tingkat polusi udara dapat diturunkan
E. Jika tingkat polusi udara tidak dapat diturunkan maka Kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar gas
Jawab : B
Misal : p = kendaraan bermotor menggunakan
bahan bakar gas
q = tingkat polusi udara dapat diturunkan
sehingga : p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q ……………..……………(B)
≡ Kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar gas atau tingkat polusi udara dapat diturunkan
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
87
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Pernyataan “Jika hari hujan, maka upacara bendera dibatalkan” equivalen dengan pernyataan … A. Hari tidak hujan atau upacara bendera tidak
dibatalkan B. Jika hari tidak hujan maka upacara bendera
dibatalkan C. Jika upacara bendera dibatalkan, maka hari
hujan D. Hari hujan atau upacara bendera tidak
dibatalkan E. Hari tidak hujan atau upacara bendera
dibatalkan Jawab : E
Misal : p = hari hujan
q = upacara bendera dibatalkan
sehingga: p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q …………………………(E)
≡ Hari tidak hujan atau upacara bendera dibatalkan
4. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Ani tidak mengikuti pelajaran matematika atau Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.” adalah … A. Jika Ani mengikuti pelajaran matematika
maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
B. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
C. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
D. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
E. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
Jawab : A
Misal : p = Ani tidak mengikuti pelajaran
matematika
q = Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
sehingga: ~ p ∨ q ≡ p ⇒ q ………………..…………(A)
≡ Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
88
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Pernyataan setara dengan “Jika Budin sarapan pagi, maka ia tidak mengantuk di kelas” adalah … A. Jika Budin sarapan pagi maka ia mengantuk
di kelas B. Jika Budin mengantuk di kelas maka ia
sarapan pagi C. Jika Budin mengantuk di kelas maka ia tidak
sarapan pagi D. Jika Budin tidak sarapan pagi maka ia
mengantuk di kelas E. Jika Budin tidak sarapan pagi maka ia tidak
mengantuk di kelas Jawab : C
Misal : p = Budin sarapan pagi
q = Budin tidak mengantuk di kelas sehingga p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~p …………………..(C)
≡ Jika Budin mengantuk di kelas maka ia tidak sarapan pagi
6. UN 2013 Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah maka ia senang” setara dengan pernyataan … A. Jika Bagus tidak senang maka ia tidak
mendapat hadiah B. Bagus mendapat hadiah tetapi ia tidak
senang C. Bagus mendapat hadiah dan ia senang D. Bagus tidak mendapat hadiah atau ia tidak
senang E. Bagus tidak senang dan ia tidak mendapat
hadiah Jawab : A
Misal : p = Bagus mendapat hadiah
q = Bagus senang sehingga p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~p ………….……………..(A)
≡ Jika Bagus tidak senang maka ia tidak mendapat hadiah
7. UN 2013 Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika setiap orang menanam pohon maka udara bersih” adalah … A. Jika beberapa orang tidak menanam pohon
maka udara tidak bersih B. Jika udara bersih maka semua orang
menanam pohon C. Jika udara tidak bersih maka setiap orang
tidak menanam pohon D. Jika udara tidak bersih maka beberapa orang
tidak menanam pohon E. Jika semua orang tidak menanam pohon
maka udara tidak bersih Jawab : D
Misal : ∀p = setiap orang menanam pohon
q = udara bersih sehingga ∀p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ∃(~p) …………………..(D)
≡ Jika udara tidak bersih maka beberapa orang tidak menanam pohon
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
89
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Pernyataan yang setara dengan “Jika setiap siswa berlaku jujur dalam UN maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN.” adalah … A. Jika ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN
maka nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN
B. Jika nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN maka setiap siswa berlaku jujur dalam UN
C. Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN
D. Setiap siswa berlaku jujur dalam UN dan nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN
E. Ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN atau nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN
Jawab : C
Misal : ∀p = setiap siswa berlaku jujur dalam
UN
q = nilai UN menjadi pertimbangan masuk PTN
sehingga: ∀p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ∃(~p) …………………..(C)
≡ Jika nilai UN tidak menjadi pertimbangan masuk PTN maka ada siswa tidak berlaku jujur dalam UN
9. UN 2012/A13 Negasi dari dari pernyataan : “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan.”,adalah… A. Semua siswa SMA Mematuhi disiplin
sekolah dan Roy bukan siswa teladan B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin
sekolah dan Roy siswa teladan C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah
dan Roy bukan siswa teladan D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah
dan Roy siswa teladan E. Jika Siswa SMA disiplin maka Roy siswa
teladan Jawab : A
misal : p : siswa SMA mematuhi disiplin sekolah q : Roy siswa teladan sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(A)
≡ Semua siswa SMA Mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan
10. UN 2012/D25 Ingkaran pernyataan: “Jika semua mahasiswa berdemontrasi maka lalu lintas macet” adalah…. A. Mahasiswa berdemontrasi atau lalu lintas
macet. B. Mahasiswa berdemontrasi dan lalulintas
macet. C. Semua mahasiswi berdemontrasi dan
lalulintas tidak macet. D. Ada mahasiswa berdemontrasi E. Lalulintas tidak macet Jawab : C
misal : p : mahasiswa berdemontrasi q : lalu lintas macet sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(C)
≡ Semua mahasiswi berdemontrasi dan lalulintas tidak macet
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
90
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/C37
Ingkarkan pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat” adalah…. A. Jika ada anggota keluarga yang tidak pergi
maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat
B. Jika ada pintu rumah yang tidak di kunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi
C. Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi
D. Semua anggota keluarga pergi dan pintu rumah tidak dikunci rapat
E. Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi
Jawab : D
misal : p : anggota keluarga pergi q : pintu rumah dikunci rapat sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ ∀q) ≡ ∀p ∧ ∃(~q) ...........................(C)
≡ Semua anggota keluarga pergi dan pintu rumah tidak dikunci rapat
12. UN 2004 Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung” adalah … a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa
payung b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa
payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak
membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa payung e. Hari ini hujan atau saya membawa payung
Jawab : e
Misal : ~p : tidak hujan ~q : saya tidak membawa payung sehingga negasi pernyataan tersebut jika disajikan dalam kalimat matematika adalah:
)~(~~ qp∧ ≡ p ∨ q ………..…………..(e)
≡ Hari ini hujan atau saya membawa payung
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
91
G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:
1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme (MP) (MT)
p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 P : premis 2 ~ q : premis 2 q ⇒ r : premis 2 ∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ r : kesimpulan
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika panen melimpah, maka
penghasilan petani meningkat Premis 2 : Jika penghasilan petani meningkat,
maka mereka makmur Premis 3 : Petani tidak makmur Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Penghasilan petani tidak meningkat B. Penghasilan petani menurun C. Panen tidak melimpah D. Petani tidak panen E. Petani gagal panen Jawab : C
P1 : Jika panen melimpah, maka penghasilan
petani meningkat P2 : Jika penghasilan petani meningkat, maka
mereka makmur P3 : Petani tidak makmur
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Panen tidak melimpah ……………………(C)
2. UN 2013 Diberikan premis-premis berikut: Premis 1 : Jika hari Senin bertanggal genap
maka upacara bendera diadakan Premis 2 : Jika upacara bendera diadakan maka
guru matematika bertindak sebagai Pembina upacara
Premis 3 : Guru matematika bukan bertindak sebagai Pembina upacara
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Hari Senin bertanggal genap B. Hari Senin tidak bertanggal genap C. Upacara bendera tetap diadakan D. Upacara bendera tidak diadakan E. Upacara bendera berlangsung khidmat Jawab : B
P1 : Jika hari Senin bertanggal genap maka
upacara bendera diadakan P2 : Jika upacara bendera diadakan maka guru
matematika bertindak sebagai Pembina upacara
P3 : Guru matematika bukan bertindak sebagai Pembina upacara
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari Senin tidak bertanggal genap ………..(B)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
92
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika kesadaran akan kebersihan
meningkat maka sampah yang berserakan berkurang
Premis 2 : Jika sampah yang berserakan berkurang maka saluran air lancar
Premis 3 : Jika saluran air lancar maka masyarakat bahagia
Kesimpulan dari premis- premis tersebut adalah … A. Kesadaran akan kebersihan meningkat tetapi
masyarakat tidak bahagia B. Masyarakat bahagia dan kesadaran akan
kebersihan meningkat C. Jika masyarakat bahagia maka kesadaran
akan kebersihan meningkat D. Jika kesadaran akan kebersihan meningkat
maka masyarakat bahagia E. Jika sampah yang berserakan berkurang
maka masyarakat bahagia Jawab : D
P1 : Jika kesadaran akan kebersihan meningkat
maka sampah yang berserakan berkurang P2 : Jika sampah yang berserakan berkurang
maka saluran air lancar P3 : Jika saluran air lancar maka masyarakat
bahagia
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika kesadaran akan kebersihan meningkat maka masyarakat bahagia ……………………….(D)
4. UN 2013 Diberikan premis-premis berikut: Premis 1 : Jika siswa rajin belajar maka siswa
akan mendapat nilai baik Premis 2 : Jika siswa mendapat nilai baik maka
siswa tidak mengikuti kegiatan remedial
Premis 3 : Siswa rajin belajar Kesimpulan dari ketiga premis tersebut adalah … A. Siswa mengikuti kegiatan remedial B. Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial C. Siswa mendapat nilai yang baik D. Siswa tidak mendapat nilai yang baik E. Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial dan
nilainya tidak baik Jawab : B
P1 : Jika siswa rajin belajar maka siswa akan
mendapat nilai baik P2 : Jika siswa mendapat nilai baik maka siswa
tidak mengikuti kegiatan remedial P3 : Siswa rajin belajar
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ….(B)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
93
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik maka harga
sembako naik Premis 2 : Jika harga sembako naik maka tarif
tol naik Premis 3 : Tarif tol tidak naik Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … A. Jika harga BBM naik maka tarif tol naik B. Jika harga sembako naik maka tarif tol naik C. Harga BBM naik D. Harga BBM tidak naik E. Harga sembako tidak naik Jawab : D
P1 : Jika harga BBM naik maka harga sembako
naik P2 : Jika harga sembako naik maka tarif tol naik P3 : Tarif tol tidak naik
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Harga BBM tidak naik ………………….(D)
6. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Budi ulang tahun maka semua
kawannya datang Premis 2 : Jika semua kawannya datang maka
ia mendapatkan kado Premis 3 : Budi tidak mendapatkan kado Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Budi ulang tahun B. Semua kawannya datang C. Budi tidak ulang tahun D. Semua kawan tidak datang E. Ia mendapat kado Jawab : C
P1 : Jika Budi ulang tahun maka semua
kawannya datang P2 : Jika semua kawannya datang maka ia
mendapatkan kado P3 : Budi tidak mendapatkan kado
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Budi tidak ulang tahun …………………..(C)
7. UN 2013 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika mobil listrik di produksi massal
maka mobil listrik menjadi angkutan umum
Premis 2 : Jika mobil listrik menjadi angkutan umum maka harga BBM turun
Premis 3 : Harga BBM tidak turun Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Mobil listrik di produksi massal B. Mobil listrik tidak di produksi massal C. Mobil listrik menjadi angkutan umum D. Mobil listrik tidak menjadi angkutan umum E. Mobil listrik menjadi angkutan umum tetapi
tidak di produksi missal Jawab : B
P1 : Jika mobil listrik di produksi massal maka
mobil listrik menjadi angkutan umum P2 : Jika mobil listrik menjadi angkutan umum
maka harga BBM turun P3 : Harga BBM tidak turun
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Mobil listrik tidak di produksi massal ……..(B)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
94
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hujan turun maka jalan menjadi
licin Premis 2 : Jika jalan menjadi licin maka
pengendara sepeda motor menepi Premis 3 : Hujan turun Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Hujan turun B. Jalan menjadi licin C. Hujan tidak turun D. Pengendara sepeda motor tidak menepi E. Pengendara sepeda motor menepi Jawab : E
P1 : Jika hujan turun maka jalan menjadi licin P2 : Jika jalan menjadi licin maka pengendara
sepeda motor menepi P3 : Hujan turun
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah :
Pengendara sepeda motor menepi ……..…(E)
9. UN 2012/C37 Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona
tidak ke luar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah. Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah… A. Hari ini hujan deras. B. Hari ini hujan tidak deras. C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak
keluar rumah. D. Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar
rumah. E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar
rumah. Jawab : B
P1 : Jika hari ini hujan deras, kmaka Bona tidak
keluar rumah.
P2 : Bona keluar rumah.
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari ini hujan tidak deras …………………..(B)
10. UN 2012/A13 Diketahui premis-premis sebagai berikut : Premis I : “Jika Cecep lulus ujian maka saya
diajak kebandung.” Premis II : “Jika saya diajak ke Bandung maka
saya pergi ke Lembang.” Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….. A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka
Cecep lulus ujian. B. Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep
lulus ujian C. Jika Cecep Lulus Ujian maka saya pergi ke
Lembang. D. Cecep lulus ujian dan saya pergi ke
Lembang E. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep
tidak lulus ujian Jawab : C
PI : “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak
kebandung.”
PII : “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Cecep Lulus Ujian maka saya pergi ke Lembang ...................................................(C)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
95
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/B25
Diketahui premis-premis berikut: Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak
pergi. Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya
nonton sepak bola. Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah ... A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton
sepak bola B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak
bola C. Hari ini hujan dan saya nonton sepak bola D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari
tidak hujan E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi
saya nonton sepak bola Jawab : B
PI : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi.
PII : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola..............................................................(B)
12. UN 2012/D25 Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Tio kehujanan,maka Tio sakit. Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam Kesimpulan dari ke dua premis tersebut adalah…. A. Jika tio sakit maka ia kehujanan. B. Jika tio kehujanan maka ia demam C. Tio kehujanan dan ia sakit D. Tio kehujanan dan ia demam E. Tio demam karena karma kehujanan Jawab : B
P1 : Jika Tio kehujanan,maka Tio sakit.
P2 : Jika Tio sakit, maka ia demam
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika tio kehujanan maka ia demam…..........(B)
13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung (2) Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … a. Hari tidak hujan b. Hari hujan c. Ibu memakai payung d. Hari hujan dan Ibu memakai payung e. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung Jawab : a
(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
(2) Ibu tidak memakai payung
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Hari tidak hujan …………………..........(A)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
96
SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2011 PAKET 46
Diketahui premis-premis (1) Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian (2) Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat
diterima di PTN Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah … a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat
diterima di PTN b. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat
diterima di PTN c. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi tidak dapat
diterima di PTN d. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian e. Jika Adi tidak lulus ujian maka dapat
diterima di PTN Jawab : a
(1) Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian
(2) Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama Kesimpulan yang sah adalah : Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN……………………………………...(A)
15. UN 2010 PAKET A Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid
pandai 2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Jika Andi murid rajin, maka ia tidak lulus
ujian b. Andi murid rajin dan ia tidak lulus ujian c. Andi bukan murid rajin atau ia lulus ujian d. Jika Andi bukan murid rajin, maka ia tidak
lulus ujian e. Jika Andi murid rajin, maka ia lulus ujian Jawab : b
1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid
pandai
2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya Kesimpulan yang sah adalah : Jika Andi murid rajin maka ia lulus ujian
ingkarannya adalah: Andi murid rajin dan ia tidak lulus ujian …..(B)
16. UN 2010 PAKET B Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa
meraih juara 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya
boleh ikut bertanding Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah … a. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut
bertanding b. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut
bertanding c. Saya giat belajar maka saya bisa meraih
juara d. Saya giat belajar dan saya boleh ikut
bertanding e. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar
Jawab : a
1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih
juara
2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya
Kesimpulan yang sah adalah : Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding
ingkarannya adalah: Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding ………………………..(a)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
97
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2009 PAKET A/B
Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua
bahan pokok naik Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka
semua orang tidak senang Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Harga BBM tidak naik b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada
orang orang tidak senang c. Harga bahan pokok naik atau ada orang
tidak senang d. Jika semua orang tidak senang, maka harga
BBM naik e. Harga BBM naik dan ada orang yang
senang
Jawab : e
P1. Jika harga BBM naik, maka semua bahan
pokok naik
P2. Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya
Kesimpulan yang sah adalah : Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang
ingkarannya adalah: Harga BBM naik dan ada orang yang senang …………………………………………..…(e)
18. UN 2008 PAKET A/B Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak suka bermain air.” Adalah … a. Tidak ada anak-anak yang suka bermain air. b. Semua anak-anak tidak suka bermain air. c. Ada anak-anak yang tidak suka bermain air d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka
bermain air. e. Ada anak-anak suka bermain air.
Jawab : c
Jawaban sudah jelas
19. UN 2008 PAKET A/B Diketahui premis-premis: 1) Jika Marni rajin belajar atau patuh pada
orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.
2) Ibu tidak membelikan sepatu baru Kesimpulan yang sah adalah … a. Marni rajin belajar atau Marni patuh pada
orang tua. b. Marni rajin belajar dan Marni patuh pada
orang tua. c. Marni tidak rajin belajar atau Marni patuh
pada orang tua. d. Marni tidak rajin belajar dan Marni patuh
pada orang tua. e. Marni tidak rajin belajar dan Marni tidak
patuh pada orang tua.
Jawab : e
1) Jika Marni rajin belajar atau patuh pada
orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.
2) Ibu tidak membelikan sepatu baru Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama kemudian di cari ingkarannya
Kesimpulan yang sah adalah :
Ingkaran dari Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua
yaitu :
Marni tidak rajin belajar dan Marni tidak patuh pada orang tua
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
98
SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2007 PAKET A
Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik
kelas. Premis 2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan
dibelikan baju. Kesimpulan yang sah adalah … a. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan
dibelikan baju. b. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan
dibelikan baju. c. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan
baju. d. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan
dibelikan baju. e. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan
dibelikan baju. Jawab : d
P1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas.
P2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama
Kesimpulan yang sah adalah : Jika Dodi rajin belajar maka ia akan dibelikan baju
Kesimpulan di atas ekuivalen dengan Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju ……………………………………(D)
21. UN 2007 PAKET B Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah
di perguruan tinggi negeri. Premis 2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi
negeri, maka Anik jadi sarjana. Premis 3 : Anik bukan sarjana
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … a. Anik lulus ujian b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri c. Anik tidak lulus ujian d. Anik lulus ujian dan kuliah di perguruan
tinggi negeri e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah Jawab : c
P1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah di
perguruan tinggi negeri.
P2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Anik jadi sarjana.
P3 : Anik bukan sarjana
Untuk menyelesaikannya cukup anda coret dua pernyataan yang sama
Kesimpulan yang sah adalah : Anik tidak lulus ujian ……………………(C)
22. UN 2006 Perhatikan argumentasi berikut!
I. p → q ~ q ∨ r_ ∴r → p
IV. ~q → p ~r → ~q_ ∴ p → r
II. p → q ~q ∨ r_ ∴~ p → ~ r
IV. ~q → ~r ~r → ~q_ ∴ r → p
III. p → q ~q ∨ r_ ∴~ r → ~ p
Argumentasi yang sah adalah … a. I d. IV b. II e. V c. III Jawab : c
I. p → q
~ q ∨ r_ ≡ q → r ∴r → p …… tidak sah seharusnya p → r ≡ ~r → ~p
II. p → q ~ q ∨ r_ ≡ q → r
∴~ p → ~ r ……tidak sah III. p → q
~ q ∨ r_ ≡ q → r ∴~ r → ~ p …….sah ……………(c)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
99
SOAL PENYELESAIAN 23. UN 2005
Diketahui argumentasi: i : p ∨ q
~ p__ ∴~ q
iii : p ⇒ q ~q ∨ r___ ∴~ r ⇒~ p
ii : ~ p ∨ q ~ q___ ∴~ p
iv : ~ q ⇒ ~ p ~ r ⇒ ~ q_ ∴ p ⇒ r
Argumentasi yang sah adalah … a. i dan ii b. ii dan iii c. iii dan iv d. i, ii, dan iii e. ii, iii, dan iv Jawab : e
Cek pernyataan satu persatu i : p ∨ q ≡ ~p ⇒ q
~ p__ modus ponen ∴~ q …….tidak sah, seharusnya q
ii : ~ p ∨ q ≡ p ⇒ q ~ q___ modus tolen
∴~ p ………sah
iii : p ⇒ q ~q ∨ r ≡ q ⇒ r silogisme
∴~ r ⇒~ p ≡ p ⇒ r ………sah
iv : ~ q ⇒ ~ p ≡ p ⇒ q ~ r ⇒ ~ q_≡ q ⇒ r silogisme
∴ p ⇒ r ……. sah Jadi, jawaban yang benar adalah ……………(e)
24. UN 2005 Invers dari pernyataan p ⇒ (p ∧ q) adalah … a. (~ p∧ ~ q) ⇒ ~ P b. (~ p∨ ~ q) ⇒ ~ P c. ~ P ⇒ (~ p ∧ ~ q) d. ~ P ⇒ (~ p ∧ q) e. ~ P ⇒ (~ p ∨ ~ q) Jawab : e
Invers adalah implikasi yang dinegasi, maka: p ⇒ (p ∧ q) inversnya adalah : ~p ⇒ ~(p ∧ q) ≡ ~p ⇒ (~p ∨ ~q) ………….(e)
25. UN 2004 Diketahui beberapa premis berikut: Premis 1 : ~ p ⇒ ~ q Premis 2 : p ⇒ r Premis 3 : q a. ~ p benar b. p salah c. ~ r benar d. r salah e. r benar Jawab : e
(1) dan (3) …… modus ponen ~p ⇒ ~q ≡ q ⇒ p ……………….(1)
q ………………..(3) ∴p ……………..(4)
(2) dan (4) ……..modus ponen
p ⇒ r ……………….(2) p___ ………………..(4) ∴r ……………………………………(e)
26. UAN 2003 Kesimpulan dari 3 premis berikut adalah… P1 : p ⇒ q ……………….(1) P2 : q ⇒ r………………..(2) P3 : ~ r___ ………………(3) ∴……….
a. ~ q ⇒ p b. q ⇒ p c. ~ (q ⇒ p) d. ~p e ~q
Jawab : d
(1) dan (2) …… silogisme
p ⇒ q ……………….(1) q ⇒ r………………..(2) ∴p ⇒ r ……………..(4)
(4) dan (3) ……..modus tolen
p ⇒ r ……………….(4) ~r___ ……………….(3) ∴~p ………………………………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Logika Matematika
100
SOAL PENYELESAIAN 27. UAN 2003
Diketahui tiga premis sebagai berikut P1 : p ⇒ q ………………….(1) P2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P3 : ~ r___ …………………..(3) ∴………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah..... a. q ∨ r b. q c. p ∧ ~ q d. p ∨ q e. p ∨ ~ r Jawab : c dari data yang telah diperoleh kemudian cek jawabannya satu persatu a) q ∨ r
B ∨ S = B ………….rumus C.2)
b) q = B
c) p ∧ ~ q B/S ∧ S = S ………… rumus C.1)
Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c)
Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “kesimpulan suatu pernyataan akan bernilai benar jika semua premisnya adalah benar” sehingga P1, P2, dan P3 harus benar (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling
sederhana yaitu P3 P3 : ~r = B
(ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P2, P2 juga harus benar. Dari langkah (i) diperoleh hasil ~r = B P2 : (~r ⇒ q) = B
B ⇒ … = B supaya P2 benar, maka q = B
(ingat rumus C. 3)
(iii) terakhir ke P1, P1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B P3 : (p ⇒ q) = B
… ⇒ B = B supaya p3 benar, maka P = B atau S
(ingat rumus C. 3)
Uraian di atas jika diringkas adalah sbb: P1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii)
B/S ⇒ B = B
P2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii) B ⇒ B = B
P3 : ( ~ r )___ = B …………….(i)
Maka diproleh data ~r = B, q = B, dan p = B/S
28. EBTANAS 2002
Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah … P ⇒ q q ⇒ r ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r Jawab : e
Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme
P ⇒ q q ⇒ r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r ……………………(e)
7. DIMENSI TIGA A. JARAK
1) Garis Tegak Lurus Bidang Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu.
2) Jarak Titik dan Garis
Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’, dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g.
3) Jarak titik dan bidang
Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang.
4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.
5) Jarak Garis dan Bidang yang
Sejajar Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.
6) Jarak Antar titik sudut pada kubus
CATATAN PENTING Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari.
diagonal sisi AC = 2a
diagonal ruang CE = 3a
ruas garis EO = 62
a
a b
a c
a cb +
Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini
A B
C
D
AD =BC
ABCA×
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
102
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah … A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm Jawab : C
AE = a = 6
EG = 2a = 26
AG = 3a = 36 Sehingga diperoleh : ER × AG = AE × EG
⇔ ER × 36 = 6 × 26
⇔ ER × 3 = 26
⇔ ER = 3
3
3
26 × = 3
66= ……….(C)
2. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk
4 cm. Jarak titik A ke diagonal FH adalah …
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm Jawab : B
Berdasarkan gambar di ketahui jika jarak titik A ke diagonal FH adalah AO AE = a = 4
AO = 62
a= 6
2
4= ………………..(B)
A B
C
E
H G
D
F
4cm
O
A B
C
E
H GG
AD
E
F
R
6cm
R
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
103
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki
panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke
diagonal BE = …
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm Jawab : A
Berdasarkan gambar di ketahui jika jarak titik A ke diagonal FH adalah AO AE = a = 6
GO = 62
a= 6
2
6= ………………(A)
4. UN 2013 Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang AFH adalah…
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm
Jawab : E
OR = a = 4
AC = 2a = 24
AO = OC = 62
a= 6
2
4= 62
Sehingga
PC = AO
ORAC×=
62
424 ×
= 3
8= 3
3
8……………(E)
A B
C
E F
H G
OO
A C
D
P
R R
4cm
P
A B
C
E
H G
D
F
6cm
O
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
104
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok
berikut adalah …
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm
Jawab : E
Dengan tripel pytagoras (6, 8, 10) di ketahui sisi-sisi ∆ ABE masing-masing AE = 6, AB = 8 sehingga BE = 10 Maka diperoleh: AO × BE = AE × AB ⇔ AO × 10 = 6 × 8
⇔ AO = 10
86×=
5
24………………….(E)
6. UN 2013 Diketahui limas segiempat T.ABCD seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah … A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm
Jawab : B
Berdasarkan gambar di atas diperoleh: AB = a = 4
AC = 2a = 24
AO = ½ AC = 22 dan TC = 8 = 162 Dengan AO dan TC diperoleh
OT = 2162 − = 142 Sehingga : AP × TC = AC × OT
⇔ AO × 8 = 24 × 142
⇔ AO = 28 ………………………….(B)
O C
T
A C
P
O
P
8 cm A B
C D
E F
G H
4 cm
6 cm O
8 cm A B
C D
E F
G H
4 cm
6 cm
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
105
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = …
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
E. cm
Jawab : D
Berdasarkan gambar di atas diperoleh: AB = a = 4
AC = 2a = 24
AO = ½ AC = 22 dan AT = 6 = 92 Dengan AO dan AT diperoleh
OT = 292 − = 72 Sehingga : CP × AT = AC × OT
⇔ CP × 6 = 24 × 72 = 148
⇔ CP = 6
148= 14
3
4……………….(D)
8. UN 2012/A13
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah….
A. 33
2 cm
B. 33
4 cm
C. 33
11 cm
D. 33
8 cm
E. 33
13 cm
Jawab : D
OR = a = 4
FH = 2a = 24
OF = OH = 62
a= 6
2
4= 62
Sehingga
PH = OF
ORFH ×=
62
424 ×
= 3
8= 3
3
8……………(D)
T
A
CD
4 cm
6 cm
P
B
O
T
A C
P
O
A B
C
E F
H G
RO
F H
D
P
O R
4cm
P
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
106
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/C37
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah …
A. 8 5 cm
B. 6 5 cm
C. 6 3 cm
D. 6 2 cm E. 6 cm Jawab : D
HB = 3a = 312
CP = ½ a = ½ × 12 = 6 = 61
BC = a = 12 = 6 × 2 = 6 4
Diperoleh panjang BP = PH = 65 PR dapat dicari dengan mengunakan teorema pytagoras karena ∆ HPB sama kaki
PR2 = BP2 – BR2 = (6 5 )2 – (6 3 )2 = 62⋅5 - 62⋅3
= 62⋅2
PR = 262 ⋅ = 6 2 …………….(D)
10. UN 2012/B25 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap bidang BDG adalah ...
A. 2 2 cm
B. 2 3 cm
C. 3 2 cm
D. 4 2 cm
E. 4 3 cm Jawab : D
OR = a = 6
OE = OG = 62
a= 6
2
6= 63
GE = 2a = 26 Sehingga
PE = OG
ORGE×=
63
626 ×
= 3
12= 4 3 ….………(D)
A B
C
E F
H GO
G E
D
P
O R
6 cm
P
R
A B
C
EF
H G
R
B
H
D
P
R
12 cm
P
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
107
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/E52
Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm.Jarak tititk E ke bidang BGD adalah..
A. 3
13 cm
B. 3
23 cm
C. 3
43 cm
D. 3
83 cm
E. 3
163 cm
Jawab : D
OR = a = 8
OE = OG = 62
a= 6
2
8= 64
GE = 2a = 28 Sehingga
PE = OG
ORGE×=
64
828 ×
= 3
16=
3
163 …….…(D)
12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 8 cm. M titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …
a. 4 6 cm
b. 4 5 cm
c. 4 3 cm
d. 4 2 cm e. 4 cm Jawab : d
AM 2 = MG2 = AE2 + EM2 = 82 + 42 = 80 = 16 × 5
AQ = ½ AG = ½ × 8 3 = 4 3 AQ2 = 16 × 3 MQ dapat dicari dengan mengunakan teorema pytagoras karena ∆ AMG sama kaki MQ2 = AM2 – AQ2
= 16 × 5 – 16 × 3 = 16 × 2
MQ = 216× = 4 2 ……………………(d)
A B
C
E F
H GO
G E
D
P
O R
8 cm
P
R
A B
CD
EF
H GM
Q
G
A
M
Q
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
108
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFH adalah …
a. 661 a cm
b. 331 a cm
c. 631 a cm
d. 232 a cm
e. 332 a cm
Jawab: e
Berdasarkan gambar, jarak titik C ke bidang AFH adalah ruas garis CP Dengan menggunakan bantuan luas segitiga diperoleh: ⇔ AQ×CP = AC×QR
{2
6a × CP = 2a × a}6
2
a
CP = 3
2a = 3
32 a ………………(e)
14. UN 2010 PAKET A Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PQ adalah … a. 22cm
b. 21cm
c. 2 5cm
d. 19cm
e. 3 2 cm
Jawab : c
BQ = BP = 62
a = 6
2
4 = 2 6
PQ = 2OH = 22421 ×× = 4
Jarak titik B dengan garis PG adalah ruas garis BR
BR = 22 QRBQ −
= 22 2)62( −
= 424−
= 2 5…………………………..…….(c)
A B
C
EF
H G
P
A C
D
P
R R
a
A B
CD
EF
H G
P
QB
P QR
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
109
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah … a. 6 3cm
b. 6 2 cm
c. 3 6 cm
d. 3 3cm
e. 3 2 cm
Jawab : e
CE = AE = AC = 2a = 26 Jarak titik A ke garis CF adalah ruas garis AP
AP = 22 PEAE −
= 22 )23()26( −
= 2989 ×−×
= 63 ……………………………...(c)
16. UN 2009 PAKET A/B Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA
sehingga KA = 31 KD. Jarak titik K ke
bidang BDHF adalah … cm
a. 241 a
b. 243 a
c. 332 a
d. 343 a
e. 345 a
Jawab : d
Jika KA =
31 KD, maka AD = KD
32
{ }23
32 ×= aKD
KD = a23
KL = 2KD = 223 a
Berdasarkan gambar , Jarak titik K ke bidang BDHF adalah ruas garis KP, panjangnya adalah
KP = KL21 = 22
321 a⋅
= 343 a …………….…………(d)
A B
CD
E F
H G
P
A
C EP
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
110
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah … cm
a. 5 6
b. 5 2
c. 10 2
d. 310
e. 5 3
Jawab : a
Berdasarkan gambar , Jarak titik F ke garis AC adalah ruas garis FO, yang panjangnya :
FO = 62
a
= 6210 = 5 6 …………………..(a)
18. UN 2007 PAKET A Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah … cm
a. 3 3
b. 3 2
c. 2 3 d. 3
e. 2 2
Jawab : c
Berdasarkan gambar , Jarak bidang ACH dan bidang BEG adalah ruas garis PQ, yang panjangnya :
AO = DF3
1
= 3631 ⋅ = 2 3 …………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
111
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2007 PAKET B
Perhatikan gambar kubus di bawah ini! Jika titik K adalah titik potong EG dan FH, maka jarak K ke garis BG adalah ……
A. 3 6 D. 6
B. 3 2 E. 23 2
C. 23 6 Jawab : c
KM = BG
KGBK ×
= 26
2363 ×=
23 6 ……………(C)
20. UN 2006 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik G ke garis BD adalah …
A. 4 3 cm D. 4 10 cm
B. 4 6 cm E. 8 3 cm
C. 8 2 cm Jawab : B
Berdasarkan gambar , Jarak titik G ke garis AC adalah ruas garis GO, yang panjangnya :
GO = 62
a = 62
8 = 4 6 ………..(B)
21. UN 2005 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm.M pada pertengahan EG, jarak E ke garis AM adalah … cm
a. 4 2
b. 4 3
c. 6 2
d. 6 3
e. 6 6
Jawab : b
KM = AM
EMAE×
= 66
1226 ×
= 3
12
= 4 3 ……..............…..……(C)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
112
SOAL PENYELESAIAN 22. UN 2004
Diketahui limas segi empat beraturan
T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm
a. 5 b. 6 c. 7
d. 3 2
e. 2 3
Jawab : a
AC = 2)26( = 12
OC = AC21 = 6
OT = 22 OCCT −
= 22 610 −
= 36100− = 64 = 8
cos α = CT
OC=
10
6=
5
3
Berdasarkan gambar, jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah ruas OP yang panjangnya dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus sbb: OP2 = CP2 + OC2 – 2CP ⋅ OC cos α
= 52 + 62 – 2 ⋅5⋅ 6⋅ 5
3
= 25 + 36 – 36 = 25
OP = 25 = 5……………………(a)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
113
SOAL PENYELESAIAN 23. UN 2004
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm
a. 14
b. 9 2
c. 8 2
d. 7 2
e. 3 6
Jawab : c
PR = ( )223122 +
= 2343 222 ⋅+⋅
= )24(3 22 + = 243 2 +
= 183 = 29 Posisi benda dengan bayangannnya adalah selalu tegak lurus, maka proyeksi CP terhadap bidang BDP adalah PQ. Panjang ruas garis PQ dapat dicari dengan menggunakan bantuan kosinus sudut α ∆ PQR dan ∆ PCR sbb: Cos α ∆ PQR = cos α ∆ PCR
PC
PQ =
PR
PC
12
PQ =
29
12
12
PQ =
23
4
PQ23 = 12 × 4
PQ2 = 4 × 4
PQ = 2
16
= 2
216
= 8 2 ……………...…(c)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
114
SOAL PENYELESAIAN 24. UAN 2003
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik A ke garis CE adalah … cm
A. 232 D. 3
34
B. 234 E. 6
34
C. 332 Jawab : E
AP = EC
ACEA×
= 34
244× =
3
24
= 634 ………….…(E)
25. EBTANAS 2002 Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah a. jarak titik F ke bidang BEG sama dengan …
a. 3
6a
b. 33a
c. 26a
d. 23a
e. 32a
Jawab : b
PF = BO
FOBF ×
= 6
2
2
2a
aa× =
3
a
= 33
a….............……(b)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
115
B. SUDUT
1) Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang.
2) B. Sudut Antara Dua
Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang α dan β
3) Jarak Antar titik sudut pada kubus
CATATAN PENTING Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga.
diagonal sisi AC = 2a
diagonal ruang CE = 3a
ruas garis EO = 62
a
a b
a c
a cb +
Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini
A B
C
D
AD =BC
ABCA×
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
116
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : E
AB = QR = a = 12
AC = 2a = 212
AR = ½ AC = 26
AQ = 62
a= 6
2
12= 66
Sehingga
cos α = AQ
AR=
66
26=
3
1= 3
3
1………….(E)
2. UN 2013 Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Nilai cosinus sudut antara bidang ABCD dan bidang DBG adalah … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : B
AB = CG = a
AC = 2a
OC = ½ AC = 221 a
OG = 621 a
Sehingga
cos α = OG
OC=
6
2
2121
a
a=
3
1= 3
3
1……….(B)
A B
C
E F
H G
D
O
a cm
α
A B
C
EF
H G
Q
D
R
12 cm
α
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
117
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Sudut α adalah sudut antara garis CG dan bidang BDG. Nilai cos α adalah … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : D
AB = CG = a = 6
OG = 621 a = 6
2
6= 63
Sehingga
cos α = OG
CG=
63
6=
6
2= 6
6
2= 6
3
1 …….(D)
4. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sudut α adalah sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF. Nilai tan α = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : D
AB = OP = a
EG = 2a
PG = ½ EG = 221 a
Sehingga
tan α = OP
PG=
a
a 221
= 22
1 ………….….(D)
A B
C
E F
H G
D
O
a cm
P
α
A B
C
E F
H G
D
O
6 cm
α
A B
CD
EF
GH
6 cm
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
118
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. sudut α adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH. Nilai dari tan α = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : D
AB = BF = a
HF = 2a
OF = ½ HF = 221 a
Sehingga
tan α = OF
BF=
221 a
a=
2
2 = 2 ……….….(D)
6. UN 2013 Nilai cosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : D
Berdasarkan gambar di ketahui jika: AB = a = 4
EG = AC = 2a = 24
CG = 8 = 162
OC = ½ AC = 22 , Perhatikan ∆ EOG Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh EG2 = EO2 + OG2 – 2EO·OG cosα
( 24 )2 = ( 26 )2 + ( 26 )2 – 2· 26 · 26 cos α 16·2 = 36·2 + 36·2 – 2· 36·2 cos α | ÷ 8 4 = 9 + 9 – 18 cos α 18 cos α = 18 – 4 = 14
cos α = 18
14=
9
7………………………..(D)
A B
C D
EF
G H
4 cm
4 cm
8 cm
O
α
A B
C
E F
H G
D
a cm
α
O
A B
CD
EF
G H
4 cm
4 cm
8 cm
OG = OE = 1622 +
= 182 = 26
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
119
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD seperti pada gambar. Sudut α adalah sudut antara bidang TAD dengan bidang TBC. Nilai cos α = … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : C
QC = ½ BC = 1
TQ = 22 QCTC − = 22 15 − = 24 = 62
Dengan menggunakan aturan kosinus didapat: PQ2 = QT2 + PT2 – 2QT·PT cosα
22 = ( 62 )2 + ( 62 )2 – 2· 62 · 62 cos α 4 = 4·6 + 4·6 – 2· 4·6 cos α | ÷ 4 1 = 6 + 6 – 12 cos α 12 cos α = 12 – 1 = 11
cos α = 12
11……………………………..(C)
8. UN 2013 Nilai cosinus sudut antara bidang ABC dan ABD dari gambar bidang-4 beraturan berikut adalah … A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : C
Dari CD = 6 = 43 dan PC = 3 = 13 diperoleh
PD = AP = 143 − = 33 Dengan menggunakan aturan kosinus didapat: AD2 = AP2 + PD2 – 2AP·PD cosα
62 = ( 33 )2 + ( 33 )2 – 2· 33 · 33 cos α 36 = 9·3 + 9·3 – 2· 9·3 cos α | ÷ 9 4 = 3 + 3 – 6 cos α 6 cos α = 6 – 4 = 2
cos α = 6
2=
3
1……………………………..(C)
A
B
C
D
6 cm
α
P
3 cm
3 cm
6 cm
A B
C
T
D
2 cm
5 cm
2 cm Q
P
α
A B
C
T
D
2 cm
5 cm
2 cm
A
B
C
D
6 cm
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
120
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/B25
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ...
A. 221
B. 321
C. 331
D. 232
E. 343
Jawab : C
AE = a = 4 = 2 4
ER = ½ EG = ½ × 4 2 = 2 2
Diperoleh panjang AR = 26
Sehingga sin α = AR
ER =
62
22=
3
1
= 331 .............(C)
10. UN 2012/C37 Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan
rusuk tegak 3 2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah …
A. 33
1
B. 2
C. 3
D. 2 2
E. 2 3 Jawab : C
TO = ½ TR = 22
1a = 2
2
3
PO2 = PT2 – TO2 = ( )2
22
2
323
−
= 9⋅2 - 249 ⋅ =
4
2989 ⋅−⋅=
4
69 ⋅
PO = 4
69 ⋅ = 6
2
3
Maka tan α = TO
PO=
2
6
2323
= 3 ……………..(C)
P
T
RS
3 cm
3 2 cm
α
Q
O
αT O
P
A B
C
E F
H G
RE
A
Dα
O
4cm
P α
R
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
121
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/D49
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan
rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai tagen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah ….
A. 24
1
B. 22
1
C. 23
2
D. 2
E. 2 2 Jawab : B
DO = ½ BD = 22
1a = 2
2
2= 2
TO2 = DT2 – DO2 = ( ) ( )2223 −
= 3 - 2 = 1 TO = 1
Maka tan α = DO
TO=
2
1
= 22
1…………………..(B)
12. UN 2012/E52 Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm.Nilai kosinus sudut antara garis TC dengan ABC adalah….
A. 6
13
B. 3
12
C. 3
13
D. 2
12
E. 2
13
Jawab : C
dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: TD2 = CD2 + CT2 – 2CD⋅CT cos α
( )233 = ( )233 + 62 – 2 ⋅ 33 ⋅ 6 cos α
0 = 36 - 36 ⋅ 3 cos α
36 ⋅ 3 cos α = 36 ………… kedua ruas dibagi 36
3 cos α = 1
cos α = 3
1=
3
13 = ……………….(C)
T
B
DA
2 cm
3 cm
α
C
O
αO D
T
T
A
B
C
D
6cm
6cm
α TB = 6 = 3 4
BD = 3 = 3 1
Maka TD = 3 3 = CD
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
122
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah …
a. 241
b. 21
c. 331
d. 221
e. 321
Jawab : a
Berdasarkan gambar diketahui: AT = CT = 12 cm ABCD adalah persegi, maka
AC = 6 2 cm Sudut antara bidang alas dengan TA adalah α Dengan mengguanakan aturan kosinus diperoleh: CT2 = AT2 + AC2 – 2 AT·AC cos α
122 = 122 + (6 2 )2 – 2 ·12·6 2 cos α
0 = 72 – 144 2 cos α
cos α = 2144
72 =
22
1 ×
2
2
= 241 ……………..(a)
14. UN 2010 PAKET A Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a satuan panjang. Titik T adalah titik tengah rusuk HG. Jika θ adalah sudut antara TB dan ABCD, maka nilai tan θ adalah …
a. 21
b. 552
c. 1
d. 332
e. 2
Jawab : b
BT = 22 TGBC +
= 2212 )( aa +
= 2412
44 aa + = 2
45 a = 52
1 a
tan θ = '
'
BT
TT =
521 a
a
= 5
2 = 5
52 …………(b)
A B
CD
EF
H G
P
T
T’a
T’
T
B
θ
T
A
CD
6 cm
12 cm
α
B
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
123
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus sudut antara CH dan bidang BDHF adalah
… a. 21
b. 331
c. 221
d. 321
e. 3
Jawab : b
sin θ = HB
BC
= 3a
a
= 331 …………………………(b)
16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …
a. 321
b. 3
c. 631
d. 632
e. 23
Jawab : c
CQ = 25
PQ = 22 CPCQ + = ( ) 22 525 +
= 22 525 +⋅
= )12(52 +
= 35 Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis PQ dan bidang alas adalah α. Sehingga:
cos α = PQ
CQ=
35
25
= 631 ……………………(c)
A B
C
EF
H G
P
a
θD
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
124
SOAL PENYELESAIAN
17. UN 2008 PAKET A/B Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika θ adalah sudut antara garis CG dengan bidang BDG, maka tan θ = …
a. 221 d. 3
b. 321 e. 6
21
c. 2 Jawab : a
Berdasarkan gambar di atas, maka tangens sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah :
tan θ = CG
OC =
a
a 221
= 221 ……………..………(a)
18. UN 2007 PAKET A Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut! Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah
a. 90º b. 75º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : a
TF =22 BFTB −
= ( ) 22 13 +
= 2
Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: EF2 = ET2 + FT2 – 2 ⋅ ET ⋅ FT cos α
22 = ( )22 + ( )22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2 cos α
4 = 2 + 2 – 4 cos α 4 cos α = 0 cos α = 0 α = 90º …………………………..(a)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
125
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2007 PAKET A
Perhatikan limas beraturan T.ABCD berikut! Besar sudut antara bidang TAD dan TBC adalah
a. 90º b. 75º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : a
TF =22 BFTB −
= ( ) 22 13 +
= 2
Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: EF2 = ET2 + FT2 – 2 ⋅ ET ⋅ FT cos α
22 = ( )22 + ( )22 – 2 ⋅ 2 ⋅ 2 cos α
4 = 2 + 2 – 4 cos α 4 cos α = 0 cos α = 0 α = 90º …………………………..(a)
20. UN 2007 PAKET B Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, besar sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah …
a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 135º Jawab : a
Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah α. Sehingga:
sin α = BE
EO=
2
221
a
a= 2
1
α = 30º …………..(a)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
126
SOAL PENYELESAIAN 21. UN 2006
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik p pada pertengahan CG. Jika α sudut antara bidang BDG dengan bidang BDP, maka nilai cos α = …
a.
61 2
b. 61 6
c. 21 2
d. 32 2
e. 32 6
Jawab : d
OP = 22 PCOC + = ( ) 22 222 +
= 22 222 +⋅
= )12(22 +
= 32 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: PG2 = OG2 + OP2 – 2 ⋅ OG ⋅ OP cos α
22 = ( )262 + ( )232 – 2 ⋅ 62 ⋅ 32 cos α
22 = 22 ⋅ 6 + 22 ⋅ 3 – 22 ⋅ 232 ⋅ cos α 1 = 6 + 3 – 29 cos α
26 cos α = 8
cos α = 26
8
= 26
28
⋅ =
32 2 ………………….(d)
22. UN 2005
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan
tinggi 3 cm dan panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara TAD dan alas adalah…
A. 30º D. 90º B. 45º E. 120º C. 60º Jawab : A
tan α = OP
OT =
3
3 = 3
31
α = 30º ………………(A)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
127
SOAL PENYELESAIAN 23. UN 2004
Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah … a. 15º b. 30º c. 45º d. 60º e. 75º
Jawab : c
AC = 2a
cos α = AT
AO =
a
a 221
= 221
α = 45º ……………..…(c)
24. EBTANAS 2002 Panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a. β adalah sudut antara sisi FG dan bidang BGE, maka tan β = …
A. 3 D.
21 2
B. 2 E. 41 3
C. 21 3 Jawab : d
Berdasarkan gambar di atas, misal sudut antara sisi FG dan bidang BGE adalah β, maka:
tan β = FG
OF =
a
a 221
= 21 2 ……….……(d)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
128
SOAL PENYELESAIAN 25. UAN 2003
Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah …
a. 52
b. 53
c. 54
d. 53 5
e. 54 5
Jawab : c
AC = 2a = 212
AK = KL = LM = MC = AC41 = 2
4
12= 23
KM = AL = LC = AC21 = 2
2
12= 26
TL = 22 ALAT − = ( )22 2612 −
= 2626 222 ⋅−⋅
= 26
KT = 22 KLTL + = ( ) ( )22 2326 +
= 2383 22 ⋅+⋅
= 103 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: KM 2 = KT2 + MT2 – 2 ⋅ KT ⋅ MT cos α
( )226 = ( )2103 + ( )2103 – 2 ⋅ 103 ⋅ 103 cos α
223 22 ⋅⋅ = 5232 2 ⋅⋅⋅ – 2 ⋅ 5232 ⋅⋅ cos α 2 = 5 – 5 cos α 5 cos α = 3
cos α = 5
3=
r
x, maka 22 35 −=y = 4
jadi: sin α = r
y=
5
4……………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
129
C. VOLUM BANGUN RUANG
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12
Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC =
2 7 cm, dan CF = 8 cm. Volum prisma tersebut adalah …
a. 96 3 cm3
b. 96 2 cm3 c. 96 cm3
d. 48 3 cm3
e. 48 2 cm3 Jawab : d
• Tentukan luas alas ABC
Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB⋅BC cos B
(2 7 )2 = 42 + 62 – 2⋅4⋅6 cos B 28 = 16 + 36 – 48 cos B
48 cos B = 52 – 28 = 24
cos B = 48
24 =
2
1 =
r
x
y = 22 12 − = 3
sin B = r
y=
2
3
LABC = BBCAB sin21 ×
= 23
21 64 ×××
= 36
• Volum = luas ABC × tinggi
= 36 × 8
= 48 3 ………………………(d)
A C
E
D F
B4 cm 6 cm
2 7 cm
8 cm
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
130
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2011 PAKET 46
Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm,
BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas T.ABC tersebut adalah …
a. 3035 cm3
b. 3034 cm3
c. 3032 cm3
d. 1532 cm3
e. 1531 cm3
Jawab: b
• Tentukan luas alas ABC
s = ½(4 + 7 + 5) = 8
L = )58)(78)(48(8 −−−
= 3148 ⋅⋅⋅
= 31442 ⋅⋅⋅⋅ = 64
• Volum = 31 L · t
= 31· 64 · 5
= 3034 ………………………..(b)
3. UN 2010 PAKET A
Diketahui prisma tegak ABC. DEF. Jika
panjang BC = 5cm, AB = 5cm, AC = 53 cm dan AD = 8cm. Volume prisma ini adalah … a. 12 cm3
b. 12 3 cm3
c. 15 3 cm3
d. 24 3 cm3
e. 50 3 cm3
Jawab : e
• Tentukan luas alas ABC
Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB⋅BC cos B
(5 3 )2 = 52 + 52 – 2⋅5⋅5 cos B 75 = 50 – 50 cos B
50cos B = –25
cos B = 21− :
r
x
y = 22 )1(2 −− = 3
sin B = r
y=
2
3
LABC = BBCAB sin21 ×
= 23
21 55 ×××
= 3425
• Volume = luas ABC × tinggi
= 83425 ×
= 50 3 ………………………(e)
A C
E
D F
B
A
B
C
T
7 cm5 cm
4 cm
5 cm
SIAP UN IPA 2014 Dimensi Tiga
131
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2010 PAKET B
Diketahui prisma tegak ABC. DEF. panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7cm, dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah … a. 100 cm3
b. 100 3 cm3 c. 175 cm3 d. 200 cm3
e. 200 15 cm3
Jawab : b
• Tentukan luas alas ABC
s = ½ keliling ABC
= ½ (5 + 7 + 8)
= 10
LABC = ))()(( csbsass −−−
= )810)(710)(510(10 −−−
= 23510 ×××
= 31010 ××
= 10 3
• Volume = luas ABC × tinggi
= 10 3 × 10
= 100 3 ……………………(b)
5. UN 2009 PAKET A/B
Diberikan prisma tegak ABC. DEF. dengan
panjang rusuk AB = 6cm, BC = 37 cm, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …
a. 55 2 cm3
b. 60 2 cm3
c. 75 3 cm3
d. 90 3 cm3
e. 120 3 cm3
Jawab : d
• Tentukan luas alas ABC Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: BC2 = AB2 + AC2 – 2 ⋅ AB ⋅ AC cos A
( 73 )2 = 62 + 32 – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 cos A 9 ⋅ 7 = 9 + 36 – 36 cos A
36 cos A = 45 – 63 = – 18
cos A = 3618− = – 2
1 : r
x
y = 22 )1(2 −− = 3
sehingga sin A = 2
3= 2
1 3
L ABC = 21 AC ⋅ AB ⋅ sin A
= 21 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 2
1 3
= 329
• (ii) Volume Prisma = luas alas × tinggi
= 329 × 20
= 90 3 ………….…(d)
A C
E
D F
B
A C
E
D F
B
8. STATISTIKA A. Ukuran Pemusatan Data
1) Rata-rata
a. Data tunggal: n
x...xxxX n321 ++++
=
b. Data terkelompok: Cara konvensional Cara sandi
∑
∑ ⋅=
i
ii
f
xfX c
f
ufsXX
i
ii
∑
∑ ⋅+=
Keterangan: f i = frekuensi kelas ke-i xi = Nilai tengah data kelas ke-i
sX = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi
terbesar
ui = …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk sX c = panjang kelas interval
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2005 Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah …
Berat (kg)
fi
35 – 39 4 40 – 44 11 45 – 49 12 50 – 54 7 55 – 59 4 60 – 64 2
a. 46,20 b. 47 c. 47,25 d. 47,50 e. 49,50
Jawab : c
Untuk menyelesaikannya, terlebih dahulu dibuat tabel distribusi frekuensinya
data xi fi ui fi·ui 35 – 39 4 -2 -8 40 – 44 11 -1 -11 45 – 49 47 12 0 0 50 – 54 7 1 7 55 – 59 4 2 8 60 – 64 2 3 6
Σ 40 2 c = 49,5 – 44,5 = 5
cf
ufsXX
i
ii
⋅+=
∑∑
= 47 + 540
2
= 47 + 104
10
×
= 47 + 0,25 = 47,25 …..……………………………..…(c)
SIAP UN IPA 2014 Statistika
2) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)
...
...
321
332211
++++⋅+⋅+⋅
=nnn
xnxnxnX g
dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst
...,, 111 xxx : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst
SOAL PENYELESAIAN 1. EBTANAS 2002
Siswa suatu kelas terdiri dari tiga kelompok penyumbang korban bencana banjir. Kelompok I, II, dan III masing-masing terdiri dari 10, 12, dan 18 siswa. Jika rata-rata sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00, rata-rata sumbangan kelompok II adalah Rp 11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah … a. Rp 7.500,00 b. Rp 8.000,00 c. Rp 8.500,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00
Jawab : b
Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua atau lebih kelompok data
321
332211
nnn
xnxnxnX g
++⋅+⋅+⋅
=
9.400 = 181210
18000.1112000.1010
++×+×+× a
9.400 = 40
18000.132000.100 a++
9.400 = 40
18000.232 a+
232.000 + 18a = 9.400 × 40 232.000 + 18a = 376.000
18a = 376.000 – 232.000 18a = 144.000
a = 18
000.144 = 8.000 ……………(b)
2. UAN 2003 Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah … a. 1 : 6 b. 1 : 3 c. 2 : 3 d. 3 : 2 e. 3 : 4 Jawab : b
Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua kelompok data
21
2211
nn
xnxnX g
+⋅+⋅=
58 = ba
ba
+⋅+⋅ 5664
58(a + b) = 64a + 56b 58a + 58b = 64a + 56b 58b – 56b = 64a – 58a
{2b = 6a}× b6
1
b
a
b
b
6
6
6
2 =
b
a=3
1
Jadi, a: b = 1 : 3 …………………………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Statistika
3) Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.
a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = )1n(
21X +
b. Data terkelompok: Me = Q2
Q2 = cLQ
k
f
fNQ
∑+−
2
21
2
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2010 PAKET B
Perhatikan tabel berikut! Data Frekuensi
10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 7 50 – 59 3
Median dari data pada tabel adalah …
a. 34,5 + 10121016 ×−
b. 34,5 + 9121016 ×−
c. 29,5 + 9121016 ×−
d. 29,5 + 10121016 ×−
e. 38,5 + 10121016 ×−
Jawab: c
Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 12 22 40 – 49 7 29 50 – 59 3 32
i) menentukan letak kuartil Median
XQ2 = N21 = 322
1 × = 16
Data ke-30 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-11 s.d data ke-22 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ2 = 30 – 0,5 = 29,5
N21 = XQ2 = 16,
∑ kf = 10
fQ2 = 12, c = 39,5 – 30,5 = 9
ii) Me = cLQ
k
f
fNQ
∑+−
2
21
2
Q2 = 29,5 + 912
1016
−………………….(c)
⇐ Kelas Me
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2007 PAKET B
Perhatikan tabel berikut! Median dari data yang disajikan berikut adalah … Nilai Frekuensi
20 – 24 2 25 – 29 8 30 – 34 10 35 – 39 16 40 – 44 12 45 – 49 8 50 – 54 4
a. 32 b. 37,625 c. 38,25 d. 43,25 e. 44,50 Jawab : b
Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai f i fk
20 – 24 2 2 25 – 29 8 10 30 – 34 10 20 35 – 39 16 36 40 – 44 12 48 45 – 49 8 56 50 – 54 4 60
Σ 60 i) menentukan letak kuartil Median
XQ2 = N21 = 602
1 × = 30
Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-21 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ2 = 35 – 0,5 = 34,5
N21 = XQ2 = 30,
∑ kf = 20
fQ2 = 16, c = 39,5 – 34,5 = 5
ii) Me = cLQ
k
f
fNQ
∑+−
2
21
2
Q2 = 34,5 + 516
2030
−
= 34,5 + 82
552
×××
= 34,5 + 8
13
= 37,625 ………………(b)
(jangan repot-repot menghitung nilai 81 berapa,
cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih………………..(b)
⇐ Kelas Me
SIAP UN IPA 2014 Statistika
4) Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.
� Data terkelompok: Mo = cL21
1
ddd
mo
+
+
Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13
Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:
Kelas Frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 7 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 9 70 – 79 6 80 – 89 5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ...
A. 7405,49 − D. 7
405,49 +
B. 7365,49 − E. 7
485,49 +
C. 7365,49 + Jawab : D
kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12 • Dari kelas ke-4 diperoleh data
Lmo = 50 – 0,5 = 49,5 c = 59,5 – 49,5 = 10 d1 = 12 – 8 = 4 d2 = 12 – 9 = 3
Mo = cL21
1
ddd
mo
+
+
= 49,5 + 1043
4
+
= 49,5 + 740 ……………………….(D)
2. UN 2011 PAKET 12 Modus dari data pada table berikut adalah ...
Ukuran Frekuensi 1 – 5 3 6 – 10 17 11 – 15 18 16 – 20 22 21 – 25 25 26 – 30 21 31 – 35 4
A. 20,5 + 543 ⋅ D. 20,5 – 5
43 ⋅
B. 20,5 + 5253 ⋅ E. 20,5 – 5
73 ⋅
C. 20,5 + 573 ⋅ Jawab: C
kelas modus ada di kelas ke-5 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 25 • Dari kelas ke-5 diperoleh data
Lmo = 21 – 0,5 = 20,5 c = 25,5 – 20,5 = 5 d1 = 25 – 22 = 3 d2 = 25 – 21 = 4
Mo = cL21
1
ddd
mo
+
+
= 20,5 + 543
3
+
= 20,5 + 573 ⋅ …………………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2011 PAKET 46
Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA :
Nilai Frekuensi 50 – 54 2 55 – 59 4 60 – 64 8 65 – 69 16 70 – 74 10 75 – 79 2
Modus dari data pada tabel adalah …
A. 64,5 + 686 ⋅ D. 64,5 –
6886 +⋅
B. 64,5 + 685 ⋅ E. 64,5 –
6885 +⋅
C. 64,5 + 68
85 +⋅ Jawab: B
kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 16 • Dari kelas ke-4 diperoleh data
Lmo = 65 – 0,5 = 64,5 c = 69,5 – 64,5 = 5 d1 = 16 – 8 = 8 d2 = 16 – 10 = 6
Mo = cL21
1
ddd
mo
+
+
= 64,5 + 568
8
+ ………………………..(c)
4. UN 2010 PAKET A Perhatikan tabel berikut!
Berat Badan (kg)
Frekuensi
40 – 45 5 46 – 51 7 52 – 57 9 58 – 63 12 64 – 69 7
Modus dari data pada tabel tersebut adalah …
A. 57,5 + 827 D. 57,5 –
818
B. 57,5 + 8
18 E. 57,5 – 827
C. 57,5 – 8
15 Jawab: B
kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12 • Dari kelas ke-4 diperoleh data
Lmo = 58 – 0,5 = 57,5 c = 63,5 – 57,5 = 6 d1 = 12 – 9 = 3 d2 = 12 – 7 = 5
Mo = cL21
1
ddd
mo
+
+
= 57,5 + 653
3
+
= 57,5 + 8
18 ……………………….(b)
5. UN 2004
Modus dari data pada gambar adalah … a. 13,05 b. 13,50 c. 13,75 d. 14,05 e. 14,25
Jawab : e
kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14 • Dari kelas ke-3 diperoleh data
Lmo = 10,5 c = 15,5 – 10,5 = 5 d1 = 14 – 8 = 6 d2 = 14 – 12 = 2
Mo = ( )cLdd
dmo
21
1++
= 10,5 + 526
6
+
= 10,5 + 8
30
= 10,5 + 4
15
= 10,5 + 3,75 = 14,25 …………………..(e)
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 6. UAN 2003
Modus dari data pada histogram di atas adalah … a. 25,0 b. 25,5 c. 26,0 d. 26,5 e. 27,0
Jawab : d
kelas modus ada di kelas ke-3 karena batang ke-3 memiliki frekuensi tertinggi yaitu 10 • Dari kelas ke-3 diperoleh data
Lmo = 23,5 c = 28,5 – 23,5 = 5 d1 = 10 – 4 = 6 d2 = 10 – 6 = 4
Mo = ( )cLdd
dmo
21
1
++
= 23,5 + 546
6
+
= 23,5 + 10
30
= 23,5 + 3
= 26,5………… ……………………..(d)
13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 Nilai
f
34
10
6
SIAP UN IPA 2014 Statistika
B. Ukuran Letak 1) Kuartil
Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.
Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan
statistika 5 serangkai:
a. Data tunggal:
(i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan
b. Data terkelompok
Qi = cLQi
k4i
f
fNQi
+
∑−
i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil c = panjang kelas interval
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Kuartil bawah data pada table berikut ini
adalah … Berat Badan (Kg) Frekuensi
30 – 34 4 35 – 39 10 40 – 44 14 45 – 49 7 50 – 54 5
A. 31,5 B. 36,5 C. 37,5 D. 42,5 E. 45,9 Jawab : C
ii) Q1 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
1
41
1
Q1 = 34,5 + 510
410
−
=34,5 + 3 = 37,5 ………………….(C)
Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 30 – 34 4 4 35 – 39 10 14 40 – 44 14 28 45 – 49 7 35 50 – 54 5 40
i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = N
41 = 40
41 × = 10
Data ke-10 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-14 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 35 – 0,5 = 34,5
N41 = XQ1 = 10,
∑ kf = 4
fQ1 = 10, c = 39,5 – 34,5 = 5
⇐ Kelas Q1
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Tabel berikut memuat data tinggi badan sejumlah siswa
Tinggi Badan Frekuensi 150 – 154 4 155 – 159 5 160 – 164 10 165 – 169 5 170 – 174 6
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah … A. 157,3 B. 157,5 C. 158,0 D. 167,3 E. 168,0 Jawab : C
ii) Q1 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
1
41
1
Q1 = 154,5 + 55
45,7
−
= 154,5 + 3,5 = 158 …………….(C)
Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 150 – 154 4 4 155 – 159 5 9 160 – 164 10 19 165 – 169 5 24 170 – 174 6 30
i) menentukan letak kuartil bawah
XQ1 = N41 = 304
1 × = 7,5
Data ke-7,5 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-9 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 155 – 0,5 = 154,5
N41 = XQ1 = 7,5,
∑ kf = 4
fQ1 = 5, c = 159,5 – 154,5 = 5
3. UN 2013 Tabel berikut adalah hasil pengukuran tinggi badan sekelompok siswa.
Tinggi Badan f 150 – 154 4 155 – 159 10 160 – 164 6 165 – 169 8 170 – 174 4 175 – 179 8
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah … A. 155,5 cm B. 156,5 cm C. 157,5 cm D. 158,5 cm E. 159,5 cm Jawab : C
ii) Q1 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
1
41
1
Q1 = 154,5 + 510
410
−
= 154,5 + 3 = 157,5 …………….(C)
Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 150 – 154 4 4 155 – 159 10 14 160 – 164 6 20 165 – 169 8 28 170 – 174 4 32 175 – 179 8 40
i) menentukan letak kuartil bawah
XQ1 = N41 = 404
1 × = 10
Data ke-10 terletak di kelas ke-2, karena kelas ke- 2 memuat data ke-5 s.d data ke-14 Dari kelas ke-2 diperoleh data sbb: LQ1 = 155 – 0,5 = 154,5
N41 = XQ1 = 10,
∑ kf = 4
fQ1 = 10, c = 159,5 – 154,5 = 5
⇐ Kelas Q1
⇐ Kelas Q1
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Kuartil bawah data pada table berikut ini adalah …
Nilai Frekuensi 31 – 40 3 41 – 50 5 51 – 60 10 61 – 70 11 71 – 80 8 81 – 90 3
A. 48,5 B. 51,5 C. 52,5 D. 54,5 E. 58,5 Jawab : C
ii) Q1 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
1
41
1
Q1 = 50,5 + 1010
810
−
= 50,5 + 2 = 52,5 …………..….(C)
Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 31 – 40 3 3 41 – 50 5 8 51 – 60 10 18 61 – 70 11 29 71 – 80 8 37 81 – 90 3 40
i) menentukan letak kuartil bawah
XQ1 = N41 = 404
1 × = 10
Data ke-10 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ1 = 51 – 0,5 = 50,5
N41 = XQ1 = 10,
∑ kf = 8
fQ1 = 10, c = 60,5 – 50,5 = 10
5. UN 2013 Kuartil bawah pada data pada tabel berikut ini adalah …
Upah harian (Rp)
Banyak karyawan
50 – 54 3 55 – 59 5 60 – 64 10 65 – 69 16 70 – 74 14 75 – 79 8 80 – 84 4
A. 59,5 B. 60,7 C. 62,5 D. 63,0 E. 64,5
Jawab : D
ii) Q1 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
1
41
1
Q1 = 59,5 + 510
815
−
= 59,5 + 3,5 = 63,0 …………..….(D)
Untuk mencari nilai kuartil bawah (Q1) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 50 – 54 3 3 55 – 59 5 8 60 – 64 10 18 65 – 69 16 34 70 – 74 14 48 75 – 79 8 56 80 – 84 4 60
i) menentukan letak kuartil bawah XQ1 = N4
1 = 6041 × = 15
Data ke-15 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ1 = 60 – 0,5 = 59,5
N41 = XQ1 = 15,
∑ kf = 8
fQ1 = 10, c = 59,5 – 64,5 = 5
⇐ Kelas Q1
⇐ Kelas Q1
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Data pada tabel berikut merupakan hasil ulangan harian matematika di suatu kelas. Kuartil atas dari data tersebut adalah …
Nilai Frekuensi 41 – 50 2 51 – 60 3 61 – 70 11 71 – 80 7 81 – 90 4 91 – 100 5
A. 70,5 B. 73,0 C. 80,5 D. 83,0 E. 85,5 Jawab : D
ii) Q3 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
3
43
3
Q3 = 80,5 + 104
2324
−
= 80,5 + 2,5 = 83,0 …………..….(D)
Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 41 – 50 2 2 51 – 60 3 5 61 – 70 11 16 71 – 80 7 23 81 – 90 4 27 91 – 100 5 32
i) menentukan letak kuartil atas
XQ3 = N43 = 32
43 × = 24
Data ke-23 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke- 5 memuat data ke-24 s.d data ke-27 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 81 – 0,5 = 80,5
N43 = XQ3 = 24,
∑ kf = 23
fQ3 = 4, c = 90,5 – 80,5 = 10
7. UN 2013 Nilai kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah …
Nilai F 40 – 47 2 48 – 55 3 56 – 63 5 64 – 71 9 72 – 79 7 80 – 87 3 88 – 95 1
A. 71,5 B. 72,0 C. 73,5 D. 75,5 E. 76,5
ii) Q3 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
3
43
3
Q3 = 71,5 + 87
195,22
−
= 71,5 + 4 = 75,5 …………..….(D)
Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 40 – 47 2 2 48 – 55 3 5 56 – 63 5 10 64 – 71 9 19 72 – 79 7 26 80 – 87 3 29 88 – 95 1 30
i) menentukan letak kuartil atas
XQ3 = N43 = 30
43 × = 22,5
Data ke-22,5 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke- 5 memuat data ke-20 s.d data ke-26 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 72 – 0,5 = 71,5
N43 = XQ3 = 22,5,
∑ kf = 19
fQ3 = 7, c = 79,5 – 71,5 = 8
⇐ Kelas Q3
⇐ Kelas Q3
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Tabel berikut menyajikan data berat badan sekelompok siswa
Berat Badan (kg) Frekuensi 45 – 49 3 50 – 54 6 55 – 59 10 60 – 64 12 65 – 69 15 70 – 74 6 75 – 79 4
Kuartil atas data dalam tabel tersebut adalah
…
A. 66�
�
B. 67�
�
C. 67�
�
D. 68�
�
E. 68�
�
Untuk mencari nilai kuartil atas (Q3) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)
Nilai f i fk 45 – 49 3 3 50 – 54 6 9 55 – 59 10 19 60 – 64 12 31 65 – 69 15 46 70 – 74 6 52 75 – 79 4 56
i) menentukan letak kuartil atas
XQ3 = N43 = 56
43 × = 42
Data ke-22,5 terletak di kelas ke-5, karena kelas ke- 5 memuat data ke-32 s.d data ke-46 Dari kelas ke-5 diperoleh data sbb: LQ3 = 65 – 0,5 = 64,5
N43 = XQ3 = 42
∑ kf = 31
fQ3 = 15, c = 69,5 – 64,5 = 5
ii) Q3 = cLQ
k
f
fN
Q
+ ∑−
3
43
3
Q3 = 64,5 + 515
3142
−
= 6421 +
3
11= 64
21 +
3
23
= 64 + 3 + 63 +
64 = 68
�
�……..….(D)
⇐ Kelas Q3
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2009 PAKET A/B
Perhatikan table berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek
40 – 49 7 50 – 59 6 60 – 69 10 70 – 79 8 80 – 89 9 Jumlah 40
a. 54,50 b. 60,50 c. 78,25 d. 78,50 e. 78,75
Jawab : c
Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai f i fk
40 – 49 7 7 50 – 59 6 13 60 – 69 10 23 70 – 79 8 31 80 – 89 9 40
Σ 40 i) menentukan letak kuartil atas
XQ3 = N×4
3 = 40
4
3 × = 30
Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-24 s.d data ke-31 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 70 – 0,5 = 69,5
ni
4 = XQ3 = 30
∑ kf = 23
fQ3 = 8 c = 79,5 – 69,5 = 10
ii) Qi = cLQi
k4i
f
fNQi
+
∑−
Q3 = 69,5 + 108
2330
−
= 69,5 + 8
70 = 69,5 +
4
35
= 69,5 + 438
= 69,5 + 8,75
= 78,25 ………………………………..(c)
⇐ Kelas Q3
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2008 PAKET A/B
Perhatikan tabel berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah …
Nilai Frek 151 – 155 4
156 – 160 7 161 – 165 12 166 – 170 10 171 – 175 7
a. 167 b. 167,5 c. 168 d. 168,5 e. 169
Jawab : e
Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai f i fk
151 – 155 4 4 156 – 160 7 11 161 – 165 12 23 166 – 170 10 33 171 – 175 7 40
Σ 40 i) menentukan letak kuartil atas
XQ3 = N×4
3 = 40
4
3 × = 30
Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-24 s.d data ke-33 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 166 – 0,5 = 165,5
ni
4 = XQ3 = 30
∑ kf = 23
fQ3 = 10 c = 170,5 – 165,5 = 5
ii) Qi = cLQi
k4i
f
fNQi
+
∑−
Q3 = 165,5 + 510
2330
−
= 165,5 + 52
57
××
= 165,5 +3,5 = 169 ……………………(e)
⇐ Kelas Q3
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2007 PAKET A
Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Kuartil bawah data tersebut adalah… a. 76 b. 74,5 c. 73,5 d. 72,5 e. 71,5
Jawab : c
Tabel frekuensi kumulatif
f i fk 3 3 5 8 10 18 9 27 8 35 5 40 40
(i) menentukan letak kuartil bawah
XQ1 = N×4
1 = 40
4
1 × = 10
Data ke-10 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-9 s.d data ke-18 Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data sbb:
LQ1 = 21 (75 + 70) = 72,5
ni
4 = XQ1 = 10
∑ kf = 8 ………………..lihat tabel di atas
fQ1 = 10 c = 75 – 70 = 5 Jadi:
Qi = cLQi
k4i
f
fNQi
+
∑−
Q1 = 72,5 + 510
810
−
= 72,5 +10
10
= 72,5 + 1 = 73,5………………………………..…(c)
⇐ Kelas Q1
SIAP UN IPA 2014 Statistika
SOAL PENYELESAIAN 12. UAN 2003
Perhatikan tabel berikut! Nilai Frekuensi
30 – 39 1 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 21 70 – 79 43 80 – 89 32 90 – 99 9
Kuartil bawah dari data yang tersaji pada tabel distribusi di atas adalah … a. 66,9 b. 66,6 c. 66,2 d. 66,1 e. 66,0
Jawab: b
Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk
30 – 39 1 1 40 – 49 3 4 50 – 59 11 15 60 – 69 21 36 70 – 79 43 79 80 – 89 32 111 90 – 99 9 120
i) menentukan letak kuartil bawah
XQ1 = N×4
1 = 1204
1 × = 30
Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-16 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ1 = 60 – 0,5 = 59,5
ni
4 = XQ1 = 30
∑ kf = 15
fQ1 = 43 c = 69,5 – 59,5 = 10
ii) Qi = cLQi
k4i
f
fNQi
+
∑−
Q1 = 59,5 + 1021
1530
−
= 59,5 + 7
50
= 59,5 + 7,1 = 66,6…………….. ……………………(b)
⇐ Kelas Q1
9. PELUANG
A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian
Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... × an.
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan genap yang terbentuk adalah … A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 E. 6 Jawab : C
S = {1, 2, 3, 4} ⇒ n(s) = 4
Nilai tempat III II I 2 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(C)
Keterangan I. tempat satuan ada 2 pilihan bilangan genap {2, 4} II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat ratusan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan
2. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda dan lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 E. 75 Jawab : C
S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5
Nilai tempat I II III 4 4 3 : 4×4×3 = 48…….....(C)
Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 4 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan
3. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda lebih dari 200 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 7, 9 adalah … A. 100 B. 92 C. 80 D. 78 E.68 Jawab : A
S = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(s) = 6
Nilai tempat I II III 5 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(A)
Keterangan I. tempat ratusan x ≥ 2 ada 5 pilihan II. tempat puluhan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan
SIAP UN IPA 2014 Peluang
149
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Dari angka 2, 3, 6, dan 8 dibuat bilangan kurang dari 500 yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyak bilangan yang dapat di bentuk adalah … A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12 Jawab : E
S = {2, 3, 6, 8} ⇒ n(s) = 4
Nilai tempat I II III 2 3 2 : 2×3×2 = 12…….....(E)
Keterangan I. tempat ratusan x < 5 ada 2 pilihan II. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 3 – 1 = 2 pilihan bilangan
5. UN 2013 Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah … A. 36 B. 20 C. 19 D. 18 E. 17 Jawab : A
S = {3, 5, 6, 7, 9} ⇒ n(s) = 5
Nilai tempat I II III 3 4 3 : 3×4×3 = 36…….....(A)
Keterangan I. tempat ratusan 4 ≤ x < 8 ada 3 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan
6. UN 2013 Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan terdiri dari tiga angka berlainan. Banyak bilangan antara 300 dan 700 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut adalah … A. 144 B. 120 C. 100 D. 80 E. 24 Jawab : C
S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} ⇒ n(s) = 6
Nilai tempat I II III 5 5 4 : 5×5×4 = 100…….....(C)
Keterangan I. tempat ratusan 3 ≤ x < 8 ada 5 pilihan II. tempat puluhan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan
7. UN 2013 Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara 100 dan 400 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 adalah … A. 36 B. 48 C. 52 D. 60 E. 68 Jawab : A
S = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(s) = 5
Nilai tempat I II III 3 4 3 : 3×4×3 = 36 ..….....(A)
Keterangan I. tempat ratusan 1 ≤ x < 4 ada 3 pilihan II. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan III. tempat satuan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan
SIAP UN IPA 2014 Peluang
150
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah … A. 24 B. 48 C. 72 D. 108 E. 120 Jawab : B
• 4 siswa duduk di tengah dan 2 siswi selalu
di pinggir = 4! × 2! = 4 × 3 × 2 × 2 = 48 …………………………(B)
9. UN 2013 Terdapat 2 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan duduk berdampingan pada kursi berjajar. Jika siswa laki-laki duduk di ujung, banyak cara mereka duduk berdampingan adalah … A. 240 B. 120 C. 42 D. 21 E. 10 Jawab : A
• 5 wanita duduk di tengah dan 2 pria selalu
di ujung = 5! × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 2 = 240 …………………………(A)
10. UN 2012/C37 Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Jawab : E
S = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⇒ n(s) = 6
Nilai tempat I II III IV 6 5 4 3 : 6×5×4×3 = 360…….(E)
Keterangan I. tempat ribuan ada 6 pilihan bilangan II. tempat ratusan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan IV. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan
11. UN 2010 PAKET B Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang-seling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok adalah … a. 12 b. 84 c. 144 d. 288 e. 576 Jawab : c
Cara duduk selang-seling pemuda dan pemudi adalah: 4! × 3! = 144 cara
Kursi berjajar mulai dari kursi ke-1 s.d ke-7 k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 L P L P L P L 4 3 3 2 2 1 1
Banyaknya cara duduk pemuda × pemudi (4×3×2×1) (3×2×1) = 144
SIAP UN IPA 2014 Peluang
151
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2009 PAKET A/B
Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu menempati tempat juara I, maka banyak foto berbeda yang mungkin tercetak adalah … a. 6 b. 12 c. 20 d. 24 e. 40 Jawab : b
Tempat juara
I II III 1 4 3 : 1×4×3 = 12 ……….(b)
Keterangan I. hanya ada 1 orang ……………………1 pilihan II. 5 orang – 1 ……. ……………….….. 4 pilihan III. 4 orang – 1 ……. ……………….…..3 pilihan
13. EBTANAS 2002 Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah … a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120
Jawab : d
Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya adalah: (i) ratusan : 3………………………ada 1 pilihan
puluhan : 2 ………………….…..ada 1 pilihan satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..…….ada 4 pilihan
1 1 4 : 1 × 1 × 4 = 4 (ii) ratusan : 3……………………...ada 1 pilihan
puluhan : x1 > 2, x1 ≠ 3……….…ada 3 pilihan satuan : x2 ≠ {3, x1}, ………….ada 5 pilihan
1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x1 > 3………………….ada 3 pilihan
puluhan : x2 ≠ x1……….………...ada 6 pilihan satuan : x3 ≠ { x1, x2}, ………….ada 5 pilihan
3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 4 + 15 + 90 = 109 ……………………………..(d)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
152
2. Permutasi Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu:
a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; )!kn(
!nPrn −
=
b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; !n!n!n
!n,,P nnnn
111321= ,n1 + n2 + n3 + … ≤ n
c) Permutasi siklis (lingkaran); )!n(Psiklisn 1−=
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyak kemungkinan mereka duduk adalah … A. 35 B. 60 C. 120 D. 180 E. 210 Jawab : E
• Tujuh anak akan duduk pada tiga kursi secara
berdampingan : 73P = 7 × 6 × 5
= 210 ……………….(E)
2. UN 2013 Lima anak akan duduk pada tiga kursi A, B, dan C secara berdampingan. Banyaknya kemungkinan mereka duduk adalah … A. 60 B. 45 C. 25 D. 20 E. 10 Jawab : A
• Lima anak akan duduk pada tiga kursi secara
berdampingan : 53P = 5 × 4 × 3
= 60 ……………….(A)
3. UN 2013 Enam anak A, B, C, D, E, dan F akan berfoto berjajar dalam satu baris. Banyaknya cara berfoto jika B, C, dan D harus selalu berdampingan adalah … A. 144 B. 360 C. 720 D. 1.080 E. 2.160 Jawab : A
Jumlah kelompok ada 4, yaitu • 3 kelompok masing-masing terdiri atas 1 orang • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 4 kelompok × 3 anggota 4
4P × 33P = (4 × 3 × 2) × (3 × 2) = 144 ……………………………(A)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
153
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. Banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah … A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 Jawab : A
Jumlah kelompok ada 2, yaitu • 1 kelompok terdiri atas 2 anggota • 1 kelompok terdiri atas 3 anggota ∴ banyak cara mereka berfoto 2 kelompok × 2 anggota × 3 anggota
22P × 2
2P × 33P = 2 × 2 × (3 × 2)
= 24…….. ………………(A)
5. UN 2013 Dari 5 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, wakil, dan sekretaris. Banyak cara pemilihan tersebut adalah … A. 10 B. 15 C. 45 D. 60 E. 68 Jawab : D
Memilih 3 pengurus dari 5 calon
53P = 5 × 4 × 3 = 60 ………………………(D)
6. UN 2013 Pada musyawarah karang taruna akan dipilih pengurus organisasi yang baru, terdiri dari ketua, sekretaris, bendahara, dan koordinator olah raga. Dari hasil seleksi lolos 6 orang calon pengurus. Banyak susunan pengurus yang dapat di bentuk adalah … A. 360 B. 240 C. 120 D. 45 E. 15 Jawab : A
Memilih 4 pengurus dari 6 calon
64P = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………………(A)
7. UN 2012/E52 Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah….
A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata
Jawab : A
Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi berulang karena dari kata ”WIYATA” ada unsur yang sama yaitu: huruf A ada 2 S = {W, I, Y, A, T, A} ⇒ n(S) = 6
Sehingga P = !2
!6= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………….(A)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
154
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2012/A13
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu, dan 5 orang anaknya akan makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu duduknya selalu berdampingan, maka banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar tersebut adalah.... A. 120 B. 240 C. 720 D. 1.020 E. 5.040 Jawab : B
Kasus ini merupakan permutasi siklis karena mereka duduk di meja bundar. P = (7 – 2)! ⋅ 2! ................... ada 2 orang yang harus
duduk berdampingan = 5! × 2! = (5×4×3×2×1)(2×1) = 240 …………………………………………(B)
9. UN 2010 PAKET A Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara memilih pengurus OSIS adalah … a. 720 cara b. 70 cara c. 30 cara d. 10 cara e. 9 cara
Jawab : a
Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi karena pemilihan memperhatikan jabatan
310P = )!310(
!10
−
= !7
!10
= 10 × 9 × 8
= 720 …………………………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
155
3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).
Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah !r)!rn(
!nC rn ⋅−
=
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut adalah … a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 Jawab : b
Karena soal no. 1 s.d no. 4 harus dikerjakan maka siswa tinggal memilih 4 soal lagi dari 6 soal yang belum di tentukan, sehingga banyaknya cara memilih adalah:
4C6 = !4!2
!6
× =
!42
!456
×××
= 3 × 5 = 15 ………….(b)
2. UN 2011 PAKET 46 Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah … a. 60 b. 20 c. 15 d. 10 e. 8 Jawab : d
Peristiwa pencampuran 2 buah warna adalah termasuk masalah kombinasi karena walaupun urutan pencampuran 2 warna tersebut di tukar, hasilnya adalah tetap sama. Sehingga banyaknya warna khas yang terbentuk adalah :
2C5 = !3!2
!5
× =
!32
!345
×××
= 5 × 2 = 10 ………….(d)
3. UN 2010 PAKET A Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola biru adalah … a. 10 cara b. 24 cara c. 50 cara d. 55 cara e. 140 cara Jawab : c
Mengambil bola adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi • Mengambil 3 bola dan paling sedikit 2 bola biru
kemungkinannya adalah:
1. 2 B dan 1 P : 5C2 × 4C1 = !3!2
!5
⋅× 4 = 10 × 4
2. 3 B : 5C3 = !3!2
!5
⋅ = 10____ +
= 50 ……(c)
4. UN 2010 PAKET B Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah … a. 10 b. 21 c. 30 d. 35 e. 70 Jawab : d
Menarik garis adalah kasus yang tidak memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Membuat segitiga adalah menarik garis dari 3 buah titik yang tidak segaris, sehingga jumlah segitiga yang terbentuk adalah:
7C3 = !4!3
!7
⋅=
!423
!4567
×××××
= 35 …………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
156
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2005
Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara a. 70 b. 80 c. 120 d. 160 e. 220 Jawab : c
Karena dalam pemilihan tidak menyebutkan peringkat, maka kasus ini dapat diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 10.
103C =
)!310(!3
!10
−⋅ =
!7!3
!78910
⋅⋅⋅⋅
= 23
8910
⋅⋅⋅
= 10 · 3 · 4 = 120 ……………(c)
6. UAN 2003 Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah … a. 14 b. 21 c. 45 d. 66 e. 2.520 Jawab : b
Mengerjakan soal ujian tidak perlu memperhatikan urutan, maka diselesaikan dengan metode kombinasi. Jumlah soal yang harus dikerjakan 8 dari 10 nomor yang ada, tapi 3 soal harus dikerjakan sehingga untuk mencapai 8 soal harus memilih lagi 5 soal dari 7 soal yang tersisa. Banyaknya cara memilih adalah:
75C =
!5)!57(
!7
⋅− =
!52
!567
⋅⋅⋅
= 7 · 3 = 21 …………………(b)
7. EBTANAS 2002 Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap 2 titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah … a. 210 b. 105 c. 90 d. 75 e. 65 Jawab : b
Pada saat membuat garis lurus, orang tidak akan memperhatikan urutannya, yang penting dua titik dihubungkan maka akan terbentuk sebuah garis lurus Maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 2 dari 15.
152C =
)!215(!2
!15
−⋅ =
!132
!131415
⋅⋅⋅
= 15 · 7 = 105 ……………...(b)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
157
B. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1
b) P(A) = )S(n
)A(n, n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel
c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B)
g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = )B(P
)BA(P ∩
CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam table berikut
Jumlah ke-2 mata dadu 2 3 4 5 6 7 12 11 10 9 8
Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2012/A13 Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah…
A. 9
1
B. 6
1
C. 18
5
D. 3
2
E. 9
5
Jawab : C
S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 misal kejadian A = muncul mata dadu berjumlah 5 ⇒ n(A) = 4 B = muncul mata dadu berjumlah 7 ⇒ n(B) = 6 (lihat catatan untuk melihat jumlah n(A) atau n(B)) P(A ∪B) = P(A) + P(B)
= )(
)(
)(
)(
sn
Bn
sn
An + = 36
6
36
4 +
= 36
10 =
18
5…………(C)
2. UN 2012/B25 Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah ... A.
61
B. 31
C. 21
D. 32
E. 65
Jawab : E
S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36
A = kejadian muncul kedua mata kembar = {(1,1), (2,2), ... (6,6)}
n(A) = 6 sehingga Ac = kejadian muncul kedua mata dadu yang
muncul tidak ada yang sama n(Ac) = 36 – 6 = 30
P(Ac) = )(
)(
Sn
An c
= 36
30=
6
5....................................(E)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
158
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2012/E52
Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian di ambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah….
A. 35
3 D.
35
12
B. 35
4 E.
35
22
C. 35
7 Jawab : E
S = ruang sample pengambilan 3 kelereng dari 7
(3M + 4P) kelereng
n(S) = 7C3 = !4!3
!7
⋅=
!423
!4567
×××××
= 35
A = kejadian pengambilan 3 kelereng dengan paling sedikit 2 kelereng putih
n(A) = {2P , 1M} + 3P = 4C2 × 3C1 + 4C3
= !2!2
!4
⋅× 3 + 4 =
!22
!234
⋅×× × 3 + 4 = 18 + 4 = 22
Jadi , P(A) = )(
)(
Sn
An=
35
22…………………….(E)
4. UN 2011 PAKET 12 Dari dalam kantong berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah …
a. 15320 d.
15356
b. 15328 e.
15390
c. 15345 Jawab : c
n(s) = mengambil 2 kelereng dari 18 kelereng
= 2C18 = !16!2
!18
× =
!162
!161718
×××
= 9 × 17 = 153
n(A) = mengambil 2 kelereng dari 10 kelereng putih
= 2C10 = !8!2
!10
× =
!82
!8910
×××
= 5 × 9 = 45
Jadi:
P(A) = )(
)(
Sn
An =
15345 ………………………….(c)
5. UN 2011 PAKET 46 Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu warna merah dan satu warna biru adalah …
a. 819 d.
95
b. 8120 e.
54
c. 94 Jawab : d
n(s) = mengambil 2 kelereng dari 9 kelereng
= 2C9 = !7!2
!9
× =
!72
!789
×××
= 9 × 4
n(A) = mengambil 1 merah dan 1 biru = 1C4× 1C5 = 4 × 5
Jadi:
P(A) = )(
)(
Sn
An =
4954
×× =
95 ……………………….(d)
6. UN 2010 PAKET A
Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil satu bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B adalah …
A. 401 D.
52
B. 203 E.
4031
C. 83 Jawab : B
n(SA) = isi kotak A : 2M + 3P = 5 n(M) = kejadian terambil 1 M dari 2M = 2 n(SB) = isi kotak B : 5M + 3P = 8 n(P) = kejadian terambil 1 P dari 3P = 3 Peluang terambil satu bola merah dari kotak A dan bola putih dari kotak B. Soal ini menggunakan kata hubung dan sehingga peluangnya adalah: P(M ∩ P) = P(M) × P(P)
= 8
3
5
2 ×
= 20
3……………….……….(B)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
159
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2010 PAKET B
Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah …
a. 54
b. 107
c. 63
d. 62
e. 101
Jawab : b
n(s) = Isi kotak : 4M + 3P + 3H = 10 n(A) = kejadian terambil 1 M dari 4 M = 4 n(B) = kejadian terambil 1 H dari 3 H = 3 Soal ini menggunakan kata hubung atau sehingga Peluang terambil bola merah atau hitam adalah: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
= 10
3
10
4 +
= 10
7 …………………………………(b)
8. UN 2009 PAKET A/B Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujair, 12 ikan mas, dan 27 ikan tawes. Peluang Pak Amir mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing adalah …
a. 151
b. 51
c. 207
d. 209
e. 54
Jawab: b
n(s) = isi kolam : 21 Mujair + 12 Mas + 27 Tawes
= 60 n(A) = kejadian terambil 1 mas dari 12 mas = 12 Peluang mendapatkan ikan mas untuk satu kali memancing:
P(A) = )(
)(
Sn
An
= 60
12
= 5
1……………………………………..(b)
9. UN 2008 PAKET A/B Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 8 bola kuning, dan 3 bola biru. Jika dari kotak diambil satu bola secara acak, peluang terambil bola kuning atau biru adalah … a. 1
b. 154
c. 157
d. 158
e. 1511
Jawab : e
• n(S) = 15 (4m + 8k + 3b) • A = kejadian terambilnya 1 bola kuning
n(A) = 8 • B = kejadian terambilnya 1 bola biru
n(B) = 3 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)
= )(
)(
)(
)(
Sn
Bn
Sn
An +
= 15
3
15
8 + = 15
11 …………………(e)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
160
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2007 PAKET A
Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika diambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah …
a. 6415
b. 5615
c. 145
d. 158
e. 43
Jawab : b
Kasus pada soal ini adalah kejadian tidak saling bebas, karena setelah melakukan pengambilan obyeknya tidak dikembalikan lagi. • n(S1) = jumlah obyek mula-mula = 8 (5p + 3b)
n(A) = jumlah baju putih mula-mula = 5
• n(S2) = sisa obyek setelah pengambilan pertama = 7 (4p + 3b) …………..sisa baju putih 4
…………..baju biru tetap 3 n(B/A) = sisa baju biru setelah pengambilan
pertama = 3
• P(A∩B) = P(A) × P(B/A)
= )(
)(
1Sn
An ×
)(
)/(
2Sn
ABn=
7
3
8
5 ×
= 56
15………..(b)
11. UN 2007 PAKET B Dua buah dadu dilempar undi satu kali. Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 atau 9 adalah …
a. 181
b. 365
c. 92
d. 41
e. 31
Jawab : c
• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) n(S) = 62 = 36
• A = muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4
• B = muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(B) = 4
pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)
= )(
)(
Sn
An +
)(
)(
Sn
Bn
= 36
4
36
4 + = 9
1
9
1 + = 9
2 ………..(c)
12. UN 2006
Seorang peneliti memprediksikan dampak kenaikan harga BBM terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,15. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah … a. 0,78 d. 0,65 b. 0,75 e. 0,12 c. 0,68 Jawab : a
P(A) = 0,92 P(Bc) = 0,15 ⇒ P(B) = 1 – 0,15 = 0,85 Soal menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 0,92 × 0,85 = 0,78 ………………………………(a)
SIAP UN IPA 2014 Peluang
161
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2004
Dari setumpuk kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Peluang munculnya kartu raja (king) atau kartu wajik adalah …
A. 524 D.
5217
B. 5213 E.
5218
C. 5216 Jawab : C
n(S) = 52, dengan komposisi sbb n(A) = raja = 4 (wajik, love, keriting, daun) n(B) = wajik = 13 n(A∩B) = raja wajik = 1 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= )(
)(
)(
)(
)(
)(
Sn
BAn
Sn
Bn
Sn
An ∩−+
= 52
1
52
13
52
4 −+ = 52
16 ……………(c)
14. UAN 2003 Berdasarkan survey yang dilakukan pada wilayah yang berpenduduk 100 orang diperoleh data sebagai berikut: 20% penduduk tidak memiliki telepon 50% penduduk tidak memiliki komputer 10% penduduk memiliki komputer, tetapi tidak memiliki telepon.
Jika dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, peluang ia memiliki telepon, tetapi tidak punya komputer adalah … A. 0,2 D. 0,6 B. 0,4 E. 0,8 C. 0,5 Jawab : b
• A = penduduk yang memiliki telepon = 100% - 20% = 80%
• Bc = penduduk yang tidak memiliki computer = 50%
soal menggunakan kata tetapi/dan, sehingga peluangnya adalah P(A∩Bc) • P(A∩Bc) = P(A) × P(Bc)
= 100
50
100
80 ×
= 1001010
100104
××××
= 0,4 ……………………………….(b)
15. EBTANAS 2002 Dua dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah …
A. 121 D.
31
B. 91 E.
21
C. 61 Jawab : c
• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) n(S) = 62 = 36
• A = muncul mata dadu berjumlah 7
= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} n(A) = 6
• P(A) = )(
)(
Sn
An =
36
6 =
6
1 ……………..………(c)
16. EBTANAS 2002 Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah …
A. 81 D.
21
B. 31 E.
43
C. 83 Jawab : d
• S = 3 orang anak, jenis kelamin ada 2 (pria P, dan wanita W)
n(S) = 23 = 8 • A = lahir paling sedikit 2 pria (P)
= {PPW, WPP, PWP, PPP} n(A) = 4
• P(A) = )(
)(
Sn
An =
8
4
= 2
1 ………………….……(d)
10. LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran
1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r = C)B()A( 2212
21 −+
3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:
2211
ba
cbyaxr
+
++=
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Persamaan lingkaran berdiameter 10 dan berpusat di titik (–5, 5) adalah … A. x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0 B. x2 + y2 – 10x + 10y + 25 = 0 C. x2 + y2 – 5x + 5y + 25 = 0 D. x2 + y2 + 5x – 10y + 25 = 0 E. x2 + y2 – 10x + 10y – 25 = 0 Jawab : A
Diameter D = 10 → jari–jari r = ½ (10) = 5 Pusat (a, b) = (–5, 5) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x + 5)2 + (y – 5)2 = 52
⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 10y + 25 – 25 = 0
⇔ x2 + y2 + 10x – 10y + 25 = 0…………..(A)
2. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, –3) dan berdiamater 8 cm adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y = 0 B. x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 E. x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0 Jawab : E
Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = 42
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 16 = 0
⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0…………..(E)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
163
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah … A. x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 B. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 D. x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0 Jawab : A
Diameter D = 8 → jari–jari r = ½ (8) = 4 Pusat (a, b) = (2, 3) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0
⇔ x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0…………..(A)
4. UN 2013 Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 2)
dan berdiameter 2√13 adalah … A. x2 + y2 + 10x + 4y + 34 = 0 B. x2 + y2 + 4x + 10y + 16 = 0 C. x2 + y2 – 10x – 10y + 16 = 0 D. x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0 E. x2 + y2 – 10x – 4y + 34 = 0 Jawab : D
Diameter D = 2√13 → jari–jari r = ½ (2√13) = √13 Pusat (a, b) = (5, 2) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 5)2 + (y – 2)2 = (√13)2
⇔ x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 – 13 = 0
⇔ x2 + y2 – 10x – 4y + 16 = 0…………..(D)
5. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(4, –3) dan berdiameter 4√17 adalah … A. x2 + y2 – 8x + 6y – 57 = 0 B. x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 6y – 43 = 0 D. x2 + y2 + 8x – 6y – 15 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 6y – 11 = 0 Jawab : B
Diameter D = 4√17 →
jari–jari r = ½ (4√17) = 2√17 Pusat (a, b) = (4, –3) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 4)2 + (y + 3)2 = (2√17)2
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 – 4(17) = 0
⇔ x2 + y2 – 8x + 6y – 43 = 0…………..(B)
6. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(2, –1) dan berdiameter 4√10 adalah … A. x2 + y2 – 4x – 2y – 35 = 0 B. x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0 C. x2 + y2 – 4x + 2y – 33 = 0 D. x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 E. x2 + y2 + 4x – 2y – 33 = 0 Jawab : B
Diameter D = 4√10 → jari–jari r = ½ (4√10) =
2√10 Pusat (a, b) = (2, –1) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2√10)2
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 – 4(10) = 0
⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 35 = 0…………..(B)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
164
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(4, 0) dan berdiameter 6√2 adalah … A. x2 + y2 – 8x – 2 = 0 B. x2 + y2 + 8x – 2 = 0 C. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 D. x2 + y2 – 8x – 34 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 34 = 0 Jawab : A
Diameter D = 6√2 → jari–jari r = ½ (6√2) = 3√2 Pusat (a, b) = (4, 0) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 4)2 + (y – 0)2 = (3√2)2
⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 9(2) = 0
⇔ x2 + y2 – 8x – 2 = 0…………..(A)
8. UN 2013 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(–1, 3) dan berdiameter √40 adalah … A. x2 + y2 – 6x – 2y = 0 B. x2 + y2 + 2x + 6y = 0 C. x2 + y2 – 2x – 2y = 0 D. x2 + y2 + 2x – 6y = 0 E. x2 + y2 – 2x – 6y = 0 Jawab : D
Diameter D = √40 = 2√10
jari–jari r = ½ (2√10) = √10 Pusat (a, b) = (–1, 3) • Persamaan lingkarannya adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = (√10)2
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 10 = 0
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y = 0………………...(D) 9. UN 2006
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, – 10) dan menyinggung garis
3x – y 3 – 3 = 0 adalah …
a. x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 b. x2 + y2 – x + 10y + 76 = 0 c. x2 + y2 – 2x + 20y + 126 = 0 d. x2 + y2 – x + 10y + 126 = 0 e. x2 + y2 – 2x – 20y + 76 = 0
Jawab : a
• Jarak garis singgung g: 3x – y3 – 3 = 0
ke pusat lingkaran (1, – 10) sama dengan panjang jari–jarinya: lihat rumus A.3)
22
11
ba
cbyaxr
+
++=
= ( )22 33
3)10(313
+
−−⋅+⋅ =
32
310 = 5
• Pusat lingkaran = (1, – 10) = (–½A, –½B,) Maka A = –2, B = 20 dan
C = a2 + b2 – r2 C = 12 + (– 10)2 – 52 = 76
• Persaman lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + y2 – 2x + 20y + 76 = 0 ……………(a)
10. EBTANAS 2002 Titik (a, b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. –1 e. –2
Jawab : a
pusat lingkaran : rumus A.2)
(– ½ A, –½B) = (a, b)
= (– ½ ( –2), –½ ⋅ 4) = (1, –2)
Jadi: 2a + b = 2(1) + (–2) = 0 ……………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
165
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran
a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2 x x1 + y y1 = r2
b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0
2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–langkahnya: 1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka
akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.
3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui
� Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m
y – b = m(x – a) ± r 1m2 +
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/E25
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Jawab : A
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memiliki:
Pusat (–1, 3) dan jari–jari r = 9 = 3
Dipotong garis y = 3, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah:
x = a – r = –1 – 3 = –4 dan
x = a + r = –1 + 3 = 2
jadi garis singgungnya adalah
x = 2 dan x = –4………………………..(A)
2. UN 2011 PAKET 12 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7, 1) adalah … a. 3x – 4y – 41 = 0 b. 4x + 3y – 55 = 0 c. 4x – 5y – 53 = 0 d. 4x + 3y – 31 = 0 e. 4x – 3y – 40 = 0 Jawab : d
• periksa posisi titik (7, 1) terhadap lingkaran
l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
72 + (1)2 – 6(7) + 4(1) – 12 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (7, 1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan
rumus B.1.c)
• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, 1)
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0
7x + y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y + 1) – 12 = 0
7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0
4x + 3y – 31= 0 ………………………..(d)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
166
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2011 PAKET 46
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah … a. x – y – 12 = 0 b. x – y – 4 = 0 c. x – y – 3 = 0 d. x + y – 3 = 0 e. x + y + 3 = 0 Jawab : c
• periksa posisi titik (2, –1) terhadap lingkaran
l : x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0
22 + (–1)2 – 6(2) + 4(–1) + 11 = 0, karena hasilnya sama dengan nol maka titik (2, –1) ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan
rumus B.1.c)
• Menentukan persamaan garis singgung
Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y + 11 = 0
di titik P(2, –1)
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0
2x – y + ½(–6)(x + 2) + ½(4)(y – 1) + 11 = 0
2x – y – 3x – 6 + 2y – 2 + 11 = 0
–x + y + 3 = 0
x – y – 3 = 0 ….………………………..(c) 4. UN 2010 PAKET A
Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x + 5 = 0 adalah … a. y = 2x – 11 ± 20 b. y = 2x – 8 ± 20 c. y = 2x – 6 ± 15 d. y = 2x – 8 ± 15 e. y = 2x – 6 ± 25 Jawab : a
• Gradien m
Garis h : y – 2x + 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5, maka mh = 2 garis singgung g // h, maka mg = mh = 2
• pusat P(a, b) = P(3, – 5)
• jari–jari r = 80
maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)
y – b = m(x – a) ± r 12 +m
y + 5 = 2(x – 3) ± 80 ⋅ 122 +
y = 2x – 6 – 5 ± 400
y = 2x – 11 ± 20……………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
167
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2010 PAKET B
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan garis y – 7x + 5 = 0 adalah … a. y – 7x – 13 = 0 b. y + 7x + 3 = 0 c. –y – 7x + 3 = 0 d. –y + 7x + 3 = 0 e. y – 7x + 3 = 0
Jawab : e
• Gradien m Garis h : y – 7x + 5 = 0 ⇔ y = 7x – 5, maka mh = 7 garis singgung g // h, maka mg = mh = 7
• pusat P(a, b) = P(4, 5)
• jari–jari r = 8
maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)
y – b = m(x – a) ± r 12 +m
y – 5 = 7(x – 4) ± 8 ⋅ 172 +
y = 7x – 28 + 5 ± 400
y = 7x – 23 ± 20
y – 7x + 23 ± 20 = 0 …………….(e) 6. UN 2009 PAKET A/B
Lingkaran (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memotong garis y = 4. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah … a. y = 8 – x b. y = 0 dan y = 8 c. x = 0 dan x = 8 d. y = x + 8 dan y = x – 8 e. y = x – 8 dan y = 8 – x
Jawab : c
Lingkaran l: (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 memiliki:
Pusat (4, 4) dan jari–jari r = 16= 4
Dipotong garis y = 4, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah: x = a – r = 4 – 4 = 0 dan x = a + r = 4 + 4 = 8
jadi garis singgungnya adalah
x = 0 dan x = 8………………………..(c)
7. UN 2008 PAKET A/B Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran x2 + y2 = 13 adalah … a. 2x – 3y = 13 b. 2x + 3y = –13 c. 2x + 3y = 13 d. 3x – 2y = –13 e. 3x + 2y = 13
Jawab : c
Persamaan garis singgung lingkaran
• periksa posisi titik (2, 3) terhadap lingkaran
l : x2 + y2 = 13
x2 + y2 = 22 + 32 = 13,
maka titik ada pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan
rumus B.1.a)
• Menentukan persamaan garis singgung
Pada lingkaran l: x2 + y2 = 13 di titik (2, 3)
xx1 + yy1 = r2
2x + 3y = 13……….……………. (c)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
168
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2007 PAKET A
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5) adalah… a. 4x – 3y = 43 b. 4x + 3y = 23 c. 3x – 4y = 41 d. 10x + 3y = 55 e. 4x – 5y = 53
Jawab : a
• periksa posisi titik (7, –5) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 72 + (–5)2 – 6(7) + 4(–5) – 12 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)
• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik P(7, –5)
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 7x – 5y + ½(–6)(x + 7) + ½(4)(y –5 ) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y – 43 = 0
4x – 3y = 43 ……………………..(a)
9. UN 2007 PAKET B Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y –2 = 0 yang bergradien 10 adalah…
a. y = 10x – 10 ± 2 101
b. y = 10x – 11 ± 2 101
c. y = –10x + 11 ± 2 101
d. y = –10x ± 2 101
e. y = 10x ± 2 101
Jawab : b
• gradien m = 10
• pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–2), – ½(2)) = (1, –1)
• jari–jari r = Cba −+ 22
= )2()1(1 22 −−−+ = 2
maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)
y – b = m(x – a) ± r 12 +m
y – (–1) = 10(x – 1) ± 2 1102 +
y + 1 = 10x – 10 ± 2 101
y = 10x – 11 ± 2 101……………….(b)
10. UN 2005 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah… a. 3x – 4y + 27 = 0 b. 3x + 4y – 27 = 0 c. 3x + 4y –7 = 0 d. 3x + 4y – 17 = 0 e. 3x + 4y –7 = 0
Jawab : b
• periksa posisi titik (5, 3) terhadap lingkaran l : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 52 + 32 – 4(5) + 2(3) – 20 = 0, maka titik pada lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.1.c)
• Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5,3)
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 5x + 3y + ½(– 4)(x + 5) + ½(2)(y + 3) – 20 = 0 5x + 3y – 2x –10 + y + 3 – 20 = 0 3x + 4y – 2x – 27 = 0 ……………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Lingkaran
169
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2004
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah … a. 2x – y + 3 = 0 b. 2x – y + 5 = 0 c. 2x – y + 7 = 0 d. 2x – y + 13 = 0 e. 2x – y + 25 = 0
Jawab : b
• Gradien m Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½ x + 3,
maka mh = – ½ garis singgung g ⊥ h, maka
mg ⋅ mh = – 1
{mg ⋅ (– ½) = – 1}× (–2) mg = 2
• pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4)
• jari–jari r = Cba −+ 22
= 1542 22 −+ = 5
maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)
y – b = m(x – a) ± r 12 +m
y – 4 = 2(x – 2) ± 5 ⋅ 122 +
y – 4 = 2x – 4 ± 5
2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b) 12. UAN 2003
Salah satu garis singgung yang bersudut 120º terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah …
a. y = – 3x + 34 +12
b. y = – 3x – 34 +8
c. y = – 3x + 34 – 4
d. y = – 3x – 34 – 8
e. y = – 3x + 34 + 22
Jawab : a
• Gradien garis singgung m m = tan 120º = tan (180 – 60) º
= tan (–60)º = 3− • Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka
(i) Diameter lingkaran D
D = 22 ))2(6()17( −−+−
= 100 = 10 jari–jari r = ½D = ½(10) = 5
(ii) Pusat lingkaran P(a, b)
Pusat = 21 (7 + 1, 6 + (–2))
= 21 (8, 4) = (4, 2)
• Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh:
Pusat P(4, 2) , gradien m = 3− dan jari–jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)
y – b = m(x – a) ± r 1m2 +
y – 2 = 3− (x – 4) 1)3(5 2 +±
y – 2 = 3x− + 34 ± 5 ⋅ 2
y = 3x− + 34 + 2 ± 10, jadi:
(i) y = 3x− + 34 – 8 atau
(ii) y = 3x− + 34 + 12 …………….(a)
11. SUKU BANYAK A. Teorema Sisa
1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)
2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F(ab )
3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2
Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian
B. Teorema Faktor
(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0 C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak
Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn.
1) x1 + x2 + …+ xn = ab−
2) x1 · x2 · …· xn = ad (bila berderajat genap)
3) x1 · x2 · …· xn = ad− (bila berderajat ganjil)
4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = ac
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Suku banyak ���� = 2�� + ��� + 10� +3 habis dibagi �� + 1�. Salah satu faktor linear lainnya adalah …
A. � − 3 B. � + 1 C. 2� + 1 D. 2� + 3 E. 3� + 2 Jawab : C
f(x) habis dibagi �� + 1� sehingga f(–1) = 0 h(x) = 2x2 + (9 – 2)x + (–9 + 12)
= 2x2 + 7x + 3 ………………ingat cara memfaktorkan
= 2
1(2x + 6)(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1)
Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x + 1) ……. (C)
2 p – 2 – p + 12 p – 9 = 0
– 1 2 p 10 3
–2 – p + 2 p – 12 +
p = 9 Hasil h(x)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
171
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Salah satu faktor linear suku banyak ���� = 2�� + ��� − 17� + 10 adalah �� + 2�. Salah satu faktor linear yang lainnya adalah …
A. � + 5 B. � − 5 C. � − 2 D. 2� + 1 E. 2� − 3 Jawab : B
f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2) = 0 h(x) = 2x2 + (–7 – 4)x + (–2)( –7) – 9
= 2x2 – 11x + 5 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= 2
1(2x – 10)(2x – 1) = (x – 5)(2x – 1)
Jadi, faktor yang lain (x – 5) dan (2x – 1) ……. (B) 3. UN 2013
Salah satu faktor linear suku banyak ���� = 2�� + ��� − 11� + 6 adalah �� + 2�. Faktor linear yang lain adalah …
A. 2� + 1 B. 2� + 3 C. � − 3 D. � − 2 E. � − 1 Jawab : C
f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2) = 0 h(x) = 2x2 + (–3 – 4)x + (–2)( –3) – 3
= 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= 2
1(2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1)
Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (C)
2 p – 4 –2p – 9 4p + 28 = 0
– 2 2 p –17 10
–4 –2p + 8 4p + 18 +
p = –7 Hasil h(x)
2 a – 4 –2a – 3 4a + 12 = 0
– 2 2 a –11 6
–4 –2a + 8 4a + 6 +
a = –3 Hasil h(x)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
172
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Suku banyak ���� = 2�� − ��� − 28� +15 habis dibagi �� − 5�. Salah satu faktor linear lainnya adalah …
A. � − 3 B. � + 2 C. 2� − 1 D. 2� + 1 E. 3� − 1 Jawab : C
f(x) habis dibagi �� − 5� sehingga f(5) = 0 h(x) = 2x2 + (–5 + 10)x + (–5)( 5) + 22
= 2x2 + 5x – 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= 2
1(2x + 6)(2x – 1) = (x + 3)(2x – 1)
Jadi, faktor yang lain (x + 3) dan (2x – 1) ……. (C) 5. UN 2013
Bila �2� − 1� adalah faktor dari ���� =4�� + ��� − � + 3, salah satu faktor linear yang adalah …
A. � + 1 B. � − 1 C. � + 3 D. −2� + 1 E. � − 3 Jawab : E
f(x) habis dibagi �2� − 1� sehingga f( ½ ) = 0 h(x) = 4x2 + (–12 + 2)x + ½ (– 12)
= 4x2 – 10x – 6 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= ¼ (4x – 12)(4x + 2) = (x – 3)(4x + 2) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (4x + 2) ……. (E)
2 –p +10 –5p + 22 –25p + 125 = 0
5 2 – p –28 15
10 – 5p + 50 –25p + 110 +
p = 5 Hasil h(x)
4 p + 2 ½ p ¼ p + 3 = 0
½ 4 p –1 3
2 ½ p + 1 ¼ p +
p = –12 Hasil h(x)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
173
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Salah satu faktor dari suku banyak ���� = 2�� − 5�� + �� + 3 adalah �� + 1�. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A. � − 1 B. � − 2 C. � + 2 D. 2� − 1 E. 2� + 1
Jawab : D
f(x) habis dibagi �� + 1� sehingga f(–1 ) = 0 h(x) = 2x2 – 7x + (– 4 + 7)
= 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1) Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (D)
7. UN 2013 Diketahui salah satu faktor linear dari suku banyak ���� = 2�� − 3�� + �� − 15�� +6 adalah �2� − 1�. Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah …
A. � − 5
B. � − 2
C. � + 1
D. � + 2
E. � + 3 Jawab : D
f(x) habis dibagi �2� − 1� sehingga f( ½ ) = 0 h(x) = 2x2 – 2x + (4 – 16)
= 2x2 – 2x – 12 ……………….…ingat cara memfaktorkan
= ½ (2x + 4) (2x – 6) = ( x + 2) (2x – 6) Jadi, faktor yang lain (x + 2) dan (2x – 6) ……..(D)
2 –7 p + 7 – p – 4 = 0
–1 2 –5 p 3
–2 7 –p – 7 +
p = –4 Hasil h(x)
2 –2 p – 16 ½ p – 2 = 0
½ 2 –3 p – 15 6
1 – 1 ½ p – 8 +
p = 4 Hasil h(x)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
174
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Diketahui �� + 2� adalah salah satu faktor suku banyak ���� = 2�� − 3�� − 11� +�. Salah satu faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah … A. �2� + 1� B. �2� − 3� C. �2� + 3� D. �� + 3� E. �� − 3� Jawab : E
f(x) habis dibagi �� + 2� sehingga f(–2 ) = 0 h(x) = 2x2 – 7x + 3 ……………….…ingat cara
memfaktorkan = ½ (2x – 6)(2x – 1) = (x – 3)(2x – 1)
Jadi, faktor yang lain (x – 3) dan (2x – 1) ……. (E)
9. UN 2012/C37 Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah … A. x3 – 2x2 + x + 4 B. x3 – 2x2 – x + 4 C. x3 – 2x2 – x – 4 D. x3 – 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 – 4 Jawab : D
i) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2)
f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (5x – 2) = (x + 2)(x – 3)H(x) + (5x – 2)
f(3) = 5(3) – 2 = 13
ii) f(x) jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4) f(x) = (x2 – 2x – 3)H(x) + (3x + 4)
= (x + 1)(x – 3)H(x) + (3x + 4) f(3) = 3(3) + 4 = 13
cek poin: jawaban akan benar jika f(3) = 13 D. f(x) = x3 – 2x2 + 4
f(3) = 33 – 2⋅32 + 4 = 13 ................benar
2 –7 3 p – 6 = 0
–2 2 –3 –11 p
–4 14 –6 +
p = 6 Hasil h(x)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
175
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2012/D49
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4), jika di bagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…. A. x3 – x2 – 2x – 1 B. x3 + x2 – 2x – 1 C. x3 + x2 + 2x – 1 D. x3 + x2 – 2x – 1 E. x3 + x2 + 2x + 1 Jawab : B
i) f(x) jika dibagi (x2 + 2x – 3) bersisa (3x – 4)
f(x) = (x2 + 2x – 3)H(x) + (3x – 4 ) = (x + 3)(x – 1) H(x) + (3x – 4 )
f(1) = 3(1) – 4 = –1
ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 2) bersisa (2x + 3). f(x) = (x2 – x – 2)H(x) + (2x + 3)
= (x + 1)(x – 2) H(x) + (2x + 3) f(–1) = 2(–1) + 3 = 1
cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = –1 dan f(–1) = 1
B. f(x) = x3 + x2 – 2x – 1
F(1) = 13 + 12 – 2(1) – 1 = –1 ................benar f(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 2(–1) – 1 = 1 .....benar
11. UN 2012/B25 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1), jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). Suku banyak tersebut adalah ... A. x3 – x2 – 2x – 3 B. x3 – x2 – 2x + 3 C. x3 – x2 + 2x + 3 D. x3 – 2x2 – x + 2 E. x3 – 2x2 + x – 2 Jawab : B
i) f(x) jika dibagi (x2 + x – 2) bersisa (2x – 1)
f(x) = (x2 + x – 2)H(x) + (2x – 1) = (x + 2)(x – 1) H(x) + (2x – 1)
f(1) = 2(1) – 1 = 1
ii) f(x) jika dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3). f(x) = (x2 + x – 3)H(x) + (2x + 3) pembagi tidak dapat difaktorkan
cek poin: jawaban akan benar jika f(1) = 1 B. f(x) = x3 – x2 – 2x + 3
f(1) = 13 –12 – 2(1) + 3 = 1 .........benar 12. UN 2012/E52
Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi x2 – 3x + 2 bersisa 4x – 6 dan jika dibagi x2 – x – 6 bersisa 8x – 10.Suku banyak tersebut adalah….
A. x3 – 2x2 + 3x – 4 B. x3 – 3x2 + 2x – 4
C. x3 + 2x2 – 3x – 7 D. 2x3 + 2x2 – 8x + 7 E. 2x3 + 4x2 – 10x + 9 Jawab : A
i) f(x) jika dibagi (x2 – 3x + 2) bersisa (4x – 6)
f(x) = (x2 – 3x + 2)H(x) + (4x – 6) = (x – 1)(x – 2)H(x) + (4x – 6)
f(1) = 4(1) – 6 = –2
ii) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (8x – 10). f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (8x – 10)
= (x + 2)(x – 3) H(x) + (8x – 10) f(3) = 8(3) – 10 = 14
cek poin: jawaban akan benar jika
f(1) = –2 dan f(3) = 14 A. f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 4
f(1) = 13 –2(1)2 + 3(1) – 4 = –2 .........benar f(3) = 33 –2(3)2 + 3(3) – 4 = 14 .........benar
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
176
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 12
Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa – 1, maka nilai (2a + b) = … a. 13 b. 10 c. 8 d. 7 e. 6 Jawab : c
Gunakan teorema sisa (i) P(x) dibagi (x – 1) sisa 11 → P(1) = 11
P(1) = 2(1) 4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b 11 = 2 – 3 + 5 + a + b a + b = 11 – 4 = 7 ………………………….(1)
(ii) P(x) dibagi (x + 1) sisa –1 → P(–1) = –1 P(–1) = 2(–1) 4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b –1 = 2 – 3 – 5 – a + b –a + b = –1 + 6 = 5 ………………….…….(2)
Dari (1) dan (2) a + b = 7 –a + b = 5 _
2a = 2 a = 1 …. Substitusi ke (1)
• a + b = 7 ………. Kedua ruas di tambah a
⇔ 2a + b = 7 + a = 7 + 1 = 8 ………….(c) 14. UN 2011 PAKET 46
Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4. Nilai dari a + 2b adalah … a. –8 b. –2 c. 2 d. 3 e. 8 Jawab : b
Gunakan teorema sisa (i) f(x) dibagi (x + 1) sisa 4 → f(–1) = 4
f(–1) = a(–1)3 + 2(–1)2 + b(–1) + 5 4 = – a – b + 2 + 5
a + b = 7 – 4 = 3 ……………………………(1)
(ii) f(x) dibagi (2x – 1) sisa 4 → f(½ ) = 4 f(½ ) = a(½ )3 + 2(½ )2 + b(½ ) + 5
4 = 81 a + 2
1 b + ½ + 5
{81 a + 2
1 b = 4 – 5½ = – 23 }× 8
a + 4b = –12 …………………………….…(2)
Dari (1) dan (2) a + b = 3 a + 4b = –12 _
–3b = 15 b= –5 …. Substitusi ke (1) • a + b = 3 ………. Kedua ruas di tambah b ⇔ a + 2b = 3 + b = 3 + (–5) = –2 ……...(b)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
177
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2011 PAKET 12
Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor–faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = … a. 8 b. 6 c. 3 d. 2 e. –4 Jawab : d
Gunakan teorema factor
(x – 2) dan (x – 1) factor dari P(x), maka P(2) = P(1) = 0
Dari (2) diperoleh : Sisa = 3a + 6 = 0 → a = –2 Hasil bagi = x + (a + 3) = x + (–2 + 3) = x + 1 Jadi, factor –faktor dari P(x) adalah: P(x) = (x +1) (x – 1) (x – 2) = 0 Diperoleh akar–akar P(x) : x = {–1, 1, 2} Jadi, x1 = 2, x2 = 1, x3 = –1, sehingga: x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–1) = 2 …………………..(d)
16. UN 2011 PAKET 46 Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar–akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = …. a. –7 b. –5 c. –4 d. 4 e. 7 Jawab : d
Gunakan teorema factor
(x + 2) dan (x – 3) factor dari P(x), maka P(–2) = P(3) = 0
Dari (2) diperoleh : Sisa = p + 4 = 0 → p = –4
Gunakan rumus jumlah akar-akar suku banyak
x1 + x2 + x3 = a
b−=
1
)4(−−= 4…………………(D)
1 a –13 b
2 2a + 4 4a – 18
1 a+2 2a – 9 4a + b – 18 = 0 …(1)
1 a + 3
1 a + 3 3a + 6 = 0……………….(2)
k1 = 2
Dikali k1 = 2 dan Dikali k2 = 1
K2 = 1
+
+
1 p –3 q
–2 –2p + 4 4p – 2
1 p–2 –2p + 1 4p + q – 2 = 0 …(1)
3 3p + 3
1 p + 1 p + 4 = 0……………….(2)
k1= –2
Dikali k1 = 2 dan Dikali k2 = 1
K2 = 3
+
+
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
178
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2010 PAKET A
Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah – 50. nilai (a + b) = … a. 10 b. 4 c. –6 d. –11 e. –13
Jawab: c
Gunakan teorema factor
• (x – 2) faktor dari f(x), maka f(2) = 0 • f(x) dibagi (x + 3) sisa –50, maka f(–3) = –50
f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2
f(2) = 2⋅23 + a⋅22 + b⋅2 – 2 = 0 4a + 2b + 16 – 2 = 0 4a + 2b + 14 = 0
4a + 2b = –14 2a + b = – 7…………(1)
f(–3) = 2(–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 2 = –50
–54 – 2 + 9a – 3b = –50 –56 + 9a – 3b = –50 9a – 3b = 6 3a – b = 2 ……(2)
dari (1) dan (2) 2a + b = – 7 3a – b = 2___ +
5a = –5 a = –1
dengan menggunakan pers(1) dapat dicari a + b 2a + b = – 7 ……. Kedua ruas dikurangi a
2a – a + b = – 7 – a a + b = –7 – (–1) = –6……………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
179
SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2010 PAKET B
Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = … a. 0 b. 2 c. 3 d. 6 e. 9
Jawab: e
Gunakan teorema faktor
• f(x) dibagi (x + 1) sisa 6, maka f(–1) = 6 • f(x) dibagi (x – 2) sisa 24, maka f(2) = 24
f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 2 f(–1) = 2⋅(–1)3 + a⋅(–1)2 + b⋅(–1) + 2 = 6
–2 + a – b + 2 = 6 a – b = 6 …(1)
f(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 2 = 24
16 + 2 + 4a + 2b = 24 4a + 2b = 6
2a + b = 3 ……..(2)
dari (1) dan (2) a – b = 6
2a + b = 3___ + 3a = 9 a = 3
dengan menggunakan pers(1) dapat dicari 2a – b a – b = 6 ……. Kedua ruas ditambah a
a + a – b = 6 + a
2a – b = 6 + 3 = 9……………….(e)
19. UN 2009 PAKET A/B Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … a. 6x + 2 b. x + 7 c. 7x + 1 d. –7x + 15 e. 15x – 7
Jawab : c
x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)
Gunakan teorema sisa
P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa
f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1)
f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2)
q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3)
q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4)
f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) f(1)·g(1) = 4(2) = a + b ……. (1), (3), (5) f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ _ …(2), (4), (5)
28 = 4a a = 7
karena a = 7, maka sudah bisa dilihat jika jawaban yang benar : 7x + 1 ………………...(c)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
180
SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2008 PAKET A/B
Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah … a. (x + 1) b. (x – 1) c. (x – 2) d. (x – 4) e. (x – 8) Jawab : d
Untuk menyelesaikannya gunakan cek point Lihat rumus B (x – b) adalah faktor dari P(x) bila P(b) = 0 P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 Lihat pilihan d. (x – 4) ⇒ b = 4
Jawaban akan benar jika P(4) = 0 P(4) = (4)3 – 11(4)2 + 30(4) – 8 = 0....... BENAR
21. UN 2007 PAKET A Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah … a. –2x + 8 b. –2x + 12 c. –x + 4 d. –5x + 5 e. –5x +15 Jawab : a
Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 – x – 3 = (2x – 3)(x + 1)
P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa
f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 10...……………………(1)
f(x) = (2x – 3) ⋅ H(x) + 5……………………...(2)
f(x) = (2x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:
−−×−=
+==
+−==−
52
25
23
23
}5{
5)(
10)1(
a
baf
baf
a = – 2 substitusi a = – 2 ke f(–1)
10 = –a + b 10 = –(–2) + b b = 8
Jadi, sisa = –2x + 8………………….……….(a)
Cara Cepat
f(x) : (x + 1) sisa 10 ⇒ –1 10
f(x) : (2x – 3) sisa 5 ⇒ 23 5
f(x) : (2x2 – x – 3) sisa –4y = 5x + (–1.5 – 3.10)
y = 4
35
4
5 +− y
= 4
38
4
5 +− y
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
181
SOAL PENYELESAIAN 22. UN 2007 PAKET B
Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah …
a. 53
54 5x +
b. 52
54 2x +
c. 4x + 12 d. 4x + 4 e. 4x – 4 Jawab : a
Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4…..……………………(1) f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6………………………(2) f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:
−−×−=−
+==
+−==−
52
25
21
21
}2{
6)(
24)2(
a
baf
baf
a = 54
substitusi a = 54 ke f(–2)
4 = –2a + b
4 = –2(54 ) + b
4 = –58 + b
b = 4 + 531 =
535
Jadi, sisa = 54 x +
535 …………………….(a)
23. UN 2006 Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3, maka x1 – x2 – x3 = … a. –13 b. –7 c. –5 d. 5 e. 7 Jawab : e
Gunakan rumus B Salah satu akar dari persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0, adalah 3, maka f(3) = 0 perhatikan bahan berikut:
berdasarkan bagan di atas diperoleh: (i) f(3) = 3a + 90
0 = 3a + 90 0 = a + 30
a = – 30
(ii) hasil bagi H(x) = x2 + 2x + a + 6 = x2 + 2x – 30 + 6 = x2 + 2x – 24
= (x – 4)(x + 6) sehingga diperoleh: x3 – x2 – 30x + 72 = (x – 4)(x – 3)(x + 6), maka akar–akarnya adalah x = {4, 3, –6}
Jadi: x1 – x2 – x3 = 4 – 3 – (–6) = 7 …………..(e)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
182
SOAL PENYELESAIAN 24. UN 2005
Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah … a. –6x + 5 b. –6x – 5 c. 6x + 5 d. 6x – 5 e. 6x – 6 Jawan : a
Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – x – 2, maka a = 1, b = –1 , c = – 2
berdasarkan bagan di atas diperoleh :
sisa = – 6x + 5 ……………………………..(a)
25. UN 2004 Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah … a. 2x + 3 b. 2x – 3 c. –3x – 2 d. 3x – 2 e. 3x + 2 Jawab : e
Gunakan metode bagan Pembagi : (x – 3)(x + 1) = x2 – 2x – 3 , maka
a = 1, b = –2 , c = – 3
berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = 3x + 2 ……………………………..(e)
26. UAN 2003 Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … a. 5x – 10
b. 25
45 x +
c. 5x + 10 d. –5x + 30
e. 27
45 x +−
Jawab : b
Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2) f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:
f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ _
5 = 4a
a = 45
substitusi a = 45 ke f(–2)
0 = – 2a + b
0 = –2(45 ) + b
b = 25
Jadi, sisa = 45 x + 2
5 …………………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Suku Banyak
183
SOAL PENYELESAIAN 27. EBTANAS 2002
Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3 adalah … a. 2x + 6 b. 2x – 6 c. –2x + 6 d. x + 3 e. x – 3 Jawab : a
Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) (2x2 + 5x – 3) = (2x – 1)(x + 3)
P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa
f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 7………………………(1)
f(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + 0………………...(2) (x + 3)(x – 1) merupakan faktor dari f(x)
sehingga sisa = 0
f(x) = (2x – 1)(x + 3) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:
f( 21 ) = 7 = 2
1 a + b
f(–3) = 0 = –3a + b_ _
{ 7 = 321 a = 2
7 a}×72
a = 2
substitusi a = 2 ke f(–3) 0 = – 3a + b 0 = –3(2) + b b = 6
Jadi, sisa = 2x + 6 ………………………….(a) 28. EBTANAS 2002
Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = … a. –1 b. –2 c. 2 d. 9 e. 12 Jawab : e
Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – 4 , maka a = 1, b =0 , c = – 4
berdasarkan bagan di atas diperoleh :
Dari kesamaan di atas dapat diketahui jika: 8 – b = 1 ⇒ b = 8 – 1 = 7
3 + 4a = 23 ⇒ a = 420 = 5
jadi: a + b = 5 + 7 = 12 ………………………(e)
12. FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI
A. Domain Fungsi (DF)
1. F(x) = )x(f , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0
2. F(x) = )x(g)x(f
, DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0
B. Komposisi Fungsi
1. (f o g)(x) = f(g(x))
2. (go f)(x) = g(f(x))
3. (f o go h)(x) = f(g(h(x)))
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui ���� = �� − � + 3 dan
���� = 3� − 2. Fungsi komposisi �������� adalah … A. 3�� − 4� + 3 B. 3�� − 3� + 7 C. 3�� + 5� + 3 D. 6�� − 12� + 9 E. 9�� − 15� + 9 Jawab : E
���� = �� − � + 3 dan ���� = 3� − 2
�������� = ������� = ��3� − 2� =�3� − 2�� − �3� − 2� + 3 =9�� − 12� + 4 − 3� + 2 + 3 =9�� − 15� + 9 …………(E)
2. UN 2013
Diketahui ���� = �� − 5� + 2 dan
���� = 2� − 3. Fungsi komposisi
�������� = … A. 4�� + 22� + 26
B. 4�� − 22� + 26
C. 4�� − 2� + 26
D. 2�� − 10� + 1
E. 2�� + 10� − 7
Jawab : B
���� = �� − 5� + 2 dan ���� = 2� − 3
�������� = ������� = ��2� − 3� =�2� − 3�� − 5�2� − 3� + 2 =4�� − 12� + 9 − 10� + 15 + 2 =4�� − 22� + 26 ………(B)
3. UN 2013
Diketahui ���� = �� − 4� + 6 dan
���� = 2� + 3. Fungsi komposisi
�������� = … A. 2�� − 8� + 5 B. 2�� − 8� + 7 C. 4�� + 4� + 3 D. 4�� + 4� + 15 E. 4�� + 4� + 27 Jawab : C
���� = �� − 4� + 6 dan ���� = 2� + 3
�������� = ������� = ��2� + 3� =�2� + 3�� − 4�2� + 3� + 6 =4�� + 12� + 9 − 8� − 12 + 6 =4x� + 4x + 3 ……………(C)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
185
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Diketahui ���� = � + 3 dan
���� = �� − 5� + 1. Fungsi komposisi
��������= … A. �� + � − 5
B. �� + � + 10
C. �� + � + 13
D. �� − 5� + 13
E. �� − 5� + 4
Jawab : A
���� = � + 3 dan ���� = �� − 5� + 1
�������� = ������� = ��� + 3� =�� + 3�� − 5�� + 3� + 1 =�� + 6� + 9 − 5� − 15 + 1
=x� + x-5 ……..…………(A)
5. UN 2013
Diketahui ���� = � − 4 dan
���� = �� − 3� + 7. Fungsi komposisi
��������= … A. �� − 3� + 3
B. �� − 3� + 11
C. �� − 11� + 15
D. �� − 11� + 27
E. �� − 11� + 35
Jawab : E
���� = � − 4 dan ���� = �� − 3� + 7
�������� = ������� = ��� − 4� =�� − 4�� − 3�� − 4� + 7 =�� − 8� + 16 − 3� + 12 + 7
=x�-11x + 35 ……………(E)
6. UN 2013
Diketahui fungsi ���� = 2� + 7 dan
���� = �� − 6� + 1. Fungsi komposisi
��������= …
A. �� + 4� + 2
B. 2�� − 4� + 8
C. 2�� − 12� + 9
D. 4�� + 16� + 8
E. 8�� + 22� + 50
Jawab : D
���� = 2� + 7 dan ���� = �� − 6� + 1
�������� = ������� = ��2� + 7� =�2� + 7�� − 6�2� + 7� + 1 =4�� + 28� + 49 − 12� − 42 + 1 =4x� + 16x + 8 ……………(D)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
186
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Diketahui fungsi ���� = 2� − 1 dan
���� = 3�� − � + 5. Fungsi komposisi
��������= … A. 6�� − 4� − 11
B. 6�� − 4� + 9
C. 12�� − 14� + 9
D. 12�� − 10� + 9
E. 12�� − 10� + 3
Jawab : C
���� = 2� − 1 dan ���� = 3�� − � + 5
�������� = ������� = ��2� − 1� =3�2� − 1�� − �2� − 1� + 5 = 3�4�� − 4� + 1� − 2� + 1 + 5 =12�� − 12� + 3 − 2� + 6
=12x�-14x + 9 ……………(C)
8. UN 2012/A13 Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1, dan g(x) = 2x2 – 3. Komposisi fungsi (gοf)(x) = … A. 9x2 – 3x + 1 B. 9x2 – 6x + 3 C. 9x2 – 6x + 6 D. 18x2 – 12x – 2 E. 18x2 – 12x – 1 Jawab : E
f(x) = 3x – 1 g(x) = 2x2 – 3.
(gοf)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x – 1 …………….(E)
9. UN 2012/D49 Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Komposisi fungsi (gof)(x) = .. A. 2x2 + 4x – 9 B. 2x2 + 4x – 3 C. 2x2 + 6x – 18 D. 2x2 + 8x E. 2x2 – 8x Jawab : -
f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 + 2x – 3.
(gοf)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 + 2(2x – 3) – 3 = 4x2 – 12x + 9 + 4x – 6 – 3 = 4x2 – 8x
10. UN 2012/B25 Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x2 + x – 1. komposisi fungsi (fοg)(x) = ... A. x2 + 3x + 3 B. x2 + 3x + 2 C. x2 – 3x + 1 D. x2 + 3x – 1 E. x2 + 3x + 1 Jawab : E
g(x) = x + 1 f(x) = x2 + x – 1.
(fοg)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) – 1 = x2 + 2x + 1 + x + 1 – 1 = x2 + 3x + 1 ..........................(E)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
187
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/E52
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 – 4x. Komposisi (fοg)(x) =….. A. 2x2 + 8x + 2 D. 2x2 – 8x –2 B. 2x2 – 8x + 2 E. 2x2 – 8x –1 C. 2x2 – 8 + 1 Jawab : C
f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 – 4x. (fοg)(x) = f(g(x))
= f(x2 – 4x) = 2(x2 – 4x) + 1 = 2x2 – 8x + 1 .........................(C)
12. UN 2011 PAKET 12
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) = 4,4
1 −≠+−
xx
x, maka (fοg)(x) = …
A. 4,4
27 −≠++
xx
x D. 4,
4
187 −≠++
xx
x
B. 4,4
32 −≠++
xx
x E. 4,
4
227 −≠++
xx
x
C. 4,4
22 −≠++
xx
x Jawab : d
(fοg)(x) = f(g(x) ………………….rumus B.1
= f(4
1
+−
x
x)
= 2(4
1
+−
x
x) + 5
= 4
22
+−
x
x + 5
= 4
22)4(5
+−++
x
xx
= 4
22025
+−++
x
xx
= 4,4
187 −≠++
xx
x………………..(d)
13. UN 2011 PAKET 46
Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan
g(x) = 1,1
2 −≠+
xx
x. Rumus (gοf)(x) adalah …
a. 6,6
6 −≠+
xx
x d. 2,
63
56 −≠++
xx
x
b. 1,1
55 −≠++
xx
x e. 2,
63
55 −≠++
xx
x
c. 2,63
106 −≠++
xx
x Jawab : c
(gοf)(x) = g(f(x) ………………….rumus B.1 = g(3x + 5)
= 1)53(
)53(2
+++
x
x
= 2,63
106 −≠++
xx
x………………….(c)
14. UN 2010 PAKET A Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan
g(x) = 2
3,
46
24 ≠−
−x
x
x . Nilai komposisi fungsi
(g ο f)(2) adalah …
a. 41 d. 1
b. 42 e. 8
c. 0 Jawab : d
(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1
= g{3(2) – 5}
= g(1)
= )1(46
2)1(4
−− =
2
2 = 1 …………(d)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
188
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Diketahui fungsi f(x) = 3,3
1 ≠−+
xx
x , dan
g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g ο f)(2) = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8 Jawab : d
(g ο f)(2) = g(f (2)) ……………rumus B.1
= g )(3212
−+
= g(–3)
= (–3)2 + (–3) + 1
= 9 – 3 + 1
= 7 ……………………………(d)
16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R didefinisikan
dengan g(x) = 2,2
1 ≠−−
xx
x.
Hasil dari fungsi (fo g)(x) adalah …
a. 8,8
132 −≠++
xx
x
b. 2,2
132 −≠++
xx
x
c. 2,2
132 ≠+−−−
xx
x
d. 2,2
138 ≠+−
−x
x
x
e. 2,2
78 ≠+−+
xx
x
Jawab : d
(fοg)(x) = f(g(x))
= ( )x
xf −−
21
= ( ) 53 21 −−
−x
x
= x
x
x
x
−−−
−−
2
)2(5
2
33
= x
xx
−+−−
2
51033
= 2,2
138 ≠+−
−x
x
x …………………..(d)
17. UN 2007 PAKET A Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (fog)(x) = –4, nilai x = … A. –6 D. 3 atau –3
B. –3 E. 6 atau –6
C. 3 Jawab : c
(fοg)(x) = f(g(x)) = f(2x – 6) = (2x – 6)2 – 4
–4 = 4x2 – 24x + 36 – 4 0 = x2 – 6x + 9 0 = (x – 3)(x – 3) x = 3 ………………………………….(c)
18. UN 2007 PAKET B
Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 + 4x – 3. Jika (gof)(x) = 2, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –3 atau 3 b. –2 atau 2 c. –1 atau 2 d. 1 atau –2 e. 2 atau –3
Jawab : a
(gοf)(x) = g(f(x))
= g(x – 2)
2 = (x – 2)2 + 4(x – 2) – 3
2 = x2 – 4x + 4 + 4x – 8 – 3
0 = x2 – 9
0 = (x + 3) (x – 3)
x = {–3, 3} …………………………(a)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
189
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2006
Jika g(x) = x + 3 dan (fo g)(x) = x2 – 4, maka f(x – 2) = … a. x2 – 6x + 5 b. x2 + 6x + 5 c. x2 – 10x + 21 d. x2 – 10x – 21 e. x2 + 10x + 21
Jawab : c
f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1
f(x + 3) = x2 – 4 ………. misal : x + 3 = y f(y) = (y – 3)2 – 4 x = y – 3 = y2 – 6y + 5 f(x – 2) = (x – 2)2 – 6(x – 2) + 5
= x2 – 4x + 4 – 6x + 12 + 5 = x2 – 10x + 21 ……………………..(c)
20. UN 2005 Diketahui g(x) = 2x + 5 dan
(f ο g) = 4x2 + 20x + 23. Rumus fungsi f(x) adalah … a. x2 – 2 b. 2x2 – 1
c. 21 x2 – 2
d. 21 x2 + 2
e. 21 x2 – 1
Jawab : c
f(g(x)) = (fοg)(x) …………….rumus B.1 f(2x + 5) = 4x2 + 20x + 23
misal : 2x + 5 = y
x = 21 (y – 5), maka pers. menjadi
f(y) = 4{21 (y – 5)}2 + 20(2
1 (y – 5)) + 23
= 4{ 41 (y2 – 10y + 25)} + 10(y – 5) + 23
= y2 – 10y + 25 + 10y – 50 + 23 = y2 – 2
f(x) = x2 – 2 ………………………….(a)
21. UN 2004 Suatu pemetaan f : R → R, g : R → R dengan
(q ο f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) = … a. x2 + 2x + 1 b. x2 + 2x + 2 c. 2x2 + x + 2 d. 2x2 + 4x + 2 e. 2x2 + 4x + 1
Jawab : a
g(f(x)) = (gοf)(x) …………….rumus B.1
2f(x) + 3 = 2x2 + 4x + 5
2f(x) = 2x2 + 4x + 2
f(x) = x2 + 2x + 1 …………………….(a)
22. UAN 2003 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = … a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150
Jawab : b
g(f(x)) = f(g(x)) g(2x + p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 6x – 6x + 240 – 120 2p = 120 p = 60 ………………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
190
SOAL PENYELESAIAN 23. EBTANAS 2002
Jika f(x) = 1x + dan (fo g)(x) = 2 1x − , maka fungsi g adalah g(x) = … a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x – 3 e. 5x – 4
Jawab : c
(fοg)(x) = f(g(x))
2 1−x = 1)( +xg ….. kuadratkan kedua ruas
4(x – 1) = g(x) + 1
4x – 4 – 1 = g(x)
4x – 5 = g(x) …………………………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
191
C. Invers Fungsi 1. (f o g)– 1 (x) = (g– 1
o f– 1)(x)
2. f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
3. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax 4. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013
Diketahui 5
2)(
+=
x
xxg ; 5−≠x . Invers fungsi
���� adalah �!���� = …
A. 2
5
−x
x; 2≠x D.
2
5
−−x
x; 2−≠x
B. x
x
−2
5; 2≠x E.
2
5
−− x
x; 2−≠x
C. 2
5
+x
x; 2−≠x Jawab : D
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
5
2)(
+=
x
xxg =
5
02
++
x
x diperoleh :
�!���� = 2
05
−+−
x
x
= 2
5
−−x
x; 2−≠x …………..(D)
2. UN 2013
Diketahui 1
3)(
−+=
x
xxg ; 1≠x . Invers fungsi �
adalah �!���� = …
A. 1
3
−+
x
x; 1≠x D.
3
1
++
x
x; 3−≠x
B. 1
3
++
x
x; 1−≠x E.
3
1
−−
x
x; 3≠x
C. 3
1
−+
x
x; 3≠x Jawab : A
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
1
3)(
−+=
x
xxg diperoleh
�!���� = 1
3
−+
x
x; 1≠x …………………(A)
3. UN 2013
Diketahui 32
1)(
−+=
x
xxg ;
2
3≠x . Invers fungsi
� adalah �!���� = …
A. 12
13
−−
x
x;
2
1≠x
D. 12
13
+−
x
x;
2
1−≠x
B. 12
13
−+
x
x;
2
1≠x
E. 12
13
++−
x
x;
2
1−≠x
C. 12
13
−−−
x
x;
2
1≠x
Jawab : B
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
32
1)(
−+=
x
xxg diperoleh
�!���� = 12
13
−+
x
x;
2
1≠x …………………(B)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
192
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Diketahui 12
1)(
+−=
x
xxg ;
2
1−≠x . Invers fungsi
���� adalah �!���� = …
A. 1
12
−+
x
x; 1≠x D.
1
21
+−x
x; 1−≠x
B. x
x
21
1
−+
; 2
1≠x
E. 1
12
+−
x
x; 1−≠x
C. x
x
−−
1
2; 1≠x Jawab : B
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
12
1)(
+−=
x
xxg diperoleh
�!���� = 12
1
−−−
x
x × 1
1
−−
= x
x
21
1
−+
; 2
1≠x …………………(B)
5. UN 2013
Diketahui 72
4)(
+−=
x
xxg ;
2
7−≠x . Invers
fungsi ���� adalah �!���� = …
A. 12
47
+−
x
x;
2
1−≠x
D. 72
4
−+
x
x;
2
7≠x
B. x
x
47
2
−−
; 4
7≠x
E. x
x
21
47
−+
; 2
1≠x
C. 4
72
+−
x
x; 4−≠x Jawab : E
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
72
4)(
+−=
x
xxg diperoleh
�!���� = 12
47
−−−
x
x × 1
1
−−
= x
x
21
47
−+
; 2
1≠x …………………(E)
6. UN 2013
Diketahui fungsi 14
23)(
−+=
x
xxg ;
4
1≠x . Invers
fungsi ���� adalah �!���� = …
A. 34
2
−+
x
x;
4
3≠x
D. 12
43
+−
x
x;
2
1−≠x
B. 23
14
+−
x
x;
3
2−≠x
E. 2
34
+−
x
x; 2−≠x
C. 12
43
−+
x
x;
2
1≠x
Jawab : A
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
14
23)(
−+=
x
xxg diperoleh
�!���� = 34
2
−+
x
x;
4
3≠x ………………..(A)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
193
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Diketahui 13
25)(
−+=
x
xxf ;
3
1≠x . Invers fungsi
���� adalah �!���� = …
A. 13
52
+−x
x;
3
1−≠x
D. 13
2
+−
x
x;
3
1−≠x
B. 25
13
+−
x
x;
3
1−≠x
E. 53
2
+−
x
x;
3
5−≠x
C. 53
2
−+
x
x;
3
5≠x
Jawab : C
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
13
25)(
−+=
x
xxf diperoleh
�!���� = 53
2
−+
x
x;
3
5≠x ………………..(C)
8. UN 2013
Diketahui 25
43)(
−+=
x
xxf ;
5
2≠x . Bila �!����
adalah Invers dari ����, �!���� = …
A. 24
53
−+
x
x;
2
1≠x
D. 42
35
+−
x
x; 2−≠x
B. 25
43
+−
x
x;
5
2≠x
E. 42
35
−+
x
x; 2≠x
C. 35
42
−+
x
x;
5
3≠x
Jawab : C
Ingat: bahwa untuk
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
25
43)(
−+=
x
xxf diperoleh
�!���� = 35
42
−+
x
x;
5
3≠x ………………..(C)
9. UN 2011 PAKET 12 Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …
• Tentukan rumus persamaan grafik Grafik melalui titik (8, -3), maka:
-3 = a log 8 ⇒ a– 3 = 8 (a–1) 3 = 23 a–1 = 2
a1 = 2
a = 21
Jadi, persamaan grafiknya adalah
y = f(x) = xlog21
Maka f’(x) = x
21 ………………………….(d)
Ingat rumus C.3
0
(1,0) 8
– 3
y = alog x Y
X
a. y = 3x
b. y =
c. y =
d. y =
e. y = 2x Jawab : d
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
194
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2011 PAKET 46
Persamaan grafik fungsi inversnya pada gambar di bawah ini adalah …
• Tentukan rumus persamaan grafik
Grafik melalui titik (3, 1), maka:
1 = a log 3 ⇒ a1 = 3
a = 3
Jadi, persamaan grafinya adalah
y = f(x) = 3 log x
Maka f’(x) = 3x ………………………….(a)
Ingat rumus C.3
11. UN 2010 PAKET A/B Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini!
Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah…. A. y = 2log x D. y = –2 log x
B. y = xlog21
E. y = –21
log x
C. y = 2 log x Jawab : b
y = f(x) = 2– x = (2–1) x = ( )x21 , maka
f – 1(x) = xlog21
……………………(b)
Ingat rumus C.4
0 1
1
3
y = alog x
Y
X
0
y = 2– x Y
X
a. y = 3x
b. y =
c. y =
d. y = e. y = 3– x Jawab : a
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
195
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2009 PAKET A/B
Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut!
Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah … A. 2logx D. 2logx
B. xlog21
E. xlog21−
C. 2 log x Jawab : b
• Tentukan rumus persamaan grafik
Grafik melalui titik (– 1 , 2) sehingga: y = ax 2 = a–1
2 = a1
a = 21
jadi: y = f(x) = ( )x21
f – 1 (x) = xlog21
……………………(b)
Ingat rumus C.4
13. UN 2010 PAKET A Jika f – 1(x) adalah invers dari fungsi
f(x) = 3,3
42 ≠−−
xx
x . Maka nilai f – 1(4) = …
a. 0 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 Jawab : b
INGAT:
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
f(x) = 3
42
−−
x
x
f – 1(x) = 2
43
−−
x
x
f – 1(4) = 24
4)4(3
−− =
2
8 = 4 ……………..(b)
14. UN 2010 PAKET A
Dikatahui f(x) = 2,2
51 −≠+
−x
x
x dan f – 1(x) adalah
invers dari f(x). Nilai f – 1 ( –3 ) = …
a. 34
b. 2
c. 25
d. 3
e. 27
Jawab : e
INGAT:
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
f(x) = 2
51
+−
x
x = 2
15
++−
x
x
f – 1(x) = 5
12
++−
x
x
f – 1(–3) = 53
1)3(2
+−+−−
= 2
7 ………………………(e)
1
2
4
–2 –1 0 1 2 3
¼
y = ax Y
X
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
196
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2008 PAKET A/B
Fungsi f : R → R didefinisikan dengan
f(x) = 2
1,
12
23 ≠−+
xx
x .
Invers dari f(x) adalah f – 1 (x) = …
A. 2
3,
32
2 −≠+
−x
x
x D. 2
3,
32
2 ≠−
+x
x
x
B. 2
3,
32
2 ≠+
−x
x
x E. 2
3,
32
2 −≠+
+x
x
x
C. 2
3,
23
2 ≠−+
xx
x Jawab : d
INGAT:
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
f(x) = 12
23
−+
x
x
f – 1 (x) = 32
2
−+
x
x ………………… ………(d)
16. UAN 2003 Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai
f(x) = 34
4x31x2 x, −
+− ≠ .
Invers dari fungsi f adalah f-1(x) = …
a. 32
2x31x4 x, −
+− ≠
b. 32
2x31x4 x, ≠−
+
c. 32
x321x4 x, ≠−
+
d. 32
2x31x4 x, ≠−
−
e. 32
2x31x4 x, −
++ ≠
Jawab : c
INGAT:
f(x) = dcx
bax
++
, maka f– 1(x) = acx
bdx
−+−
f(x) = 43
12
+−
x
x
f– 1(x) = 1
1
23
14
−−×
−−−
x
x
= 3
2,
23
14 ≠+−+
xx
x …………………(c)
13. LIMIT FUNGSI A. Limit fungsi aljabar
Jika 0
0
)(
)( =ag
af, maka
)(
)(lim
xg
xfax→
diselesaikan dengan cara sebagai berikut:
1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan
2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar
3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan
� )a('g
)a('f
)x(g
)x(flim
ax=
→
Cara Cepat
1) .limedxc
bxax +−→
= .1
2 c
d
b ⋅×
−
2) .limfex
dcxbax −
+−→
= .2
1
be
c
⋅×
−
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/C37
Nilai ....93
5lim
0=
+−→ x
xx
A. –30 B. –27 C. 15 D. 30 E. 36 Jawab : A
Cara biasa:
x
xx +−→ 93
5lim
0
⇔ x
x
x
xx ++
++×+−→ 93
93
93
5lim
0
⇔ )9(9
)93(5lim
0 x
xxx +−
++→
⇔ x
xxx −
++→
)93(5lim
0
⇔ )93(5lim0
xx
++−→
= )093(5 ++−
= –5(3 + 3) = –30 ………………..(A)
Cara cepat
x
xx +−→ 93
5lim
0=
1
32
1
5 ××
−
= –30
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
198
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012/D49
Nilai 1
lim→x
= ….
A. 8 B. 4 C. 0 D. – 4 E. – 8 Jawab : B
Cara biasa:
1lim
→x
⇔ 1
lim→x 32
32
32
1
++++×
+−−
x
x
x
x
⇔ )3(4
)32)(1(lim
1 +−++−
→ x
xxx
⇔ )1(
)32)(1(lim
1 x
xxx −
++−→
⇔ )32(lim1
++→
xx
= 312 ++
= 2 + 2 = 4 ………………………..(B)
Cara cepat
32
1lim
1 +−−
→ x
xx
= 1
22
1
1 ××
−−
= 4
3. UN 2012/B25
Nilai 3
12lim
3 −+−
→ x
x
x = ...
A. 41−
B. 21−
C. 1 D. 2 E. 4 Jawab : A
Cara Biasa
3
12lim
3 −+−
→ x
x
x
⇔ )12(
)12(
)3(
)12(lim
3 ++++×
−+−
→ x
x
x
xx
⇔
⇔
⇔ )12(
1lim
3 ++−
→ xx=
132
1
++−
= 4
1−...............................(A)
Cara cepat
3
12lim
3 −+−
→ x
x
x=
22
1
1
1
××
−
= 4
1−
32
1
+−−x
x
32
1
+−−x
x
)12)(3(
)1(4lim
3 ++−+−
→ xx
xx
)12)(3(
)3(lim
3 ++−−−
→ xx
xx
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
199
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2011 PAKET 21
Nilai = …
a. 0 b. 4 c. 8 d. 12 e. 16 Jawab : b
Cara Biasa
)2(
)2(
)2(
)4(lim
4 ++×
−−
→ x
x
x
x
x
⇔ )4(
)2)(4(lim
4 −+−
→ x
xx
x
⇔ 2lim4
+→
xx
= 24 +
= 2 + 2 = 4 ………(b)
Cara cepat
= 1
22
1
1 ××
= 4 5. UN 2011 PAKET 46
Nilai = …
a. 22 b. 2
c. 2 d. 0
e. 2− Jawab : a
Cara Biasa
)2(
)2(
)2(
)4(lim
4 ++×
−−
→ x
x
x
x
x
)2(
)2(
)2(
)2(lim
2
2 ++×
−−
→ x
x
x
x
x
⇔)2(
)2)(2(lim
2
2
2 −+−
→ x
xx
x
⇔ 2lim2
+→
xx
= 22 +
= 22 ……………….…..(a) Cara cepat : Gunakan dalil l’Hospital
=
→ 1
2lim
2
x
x= 22
2
)4(lim
4 −−
→ x
x
x
2
)4(lim
4 −−
→ x
x
x
2
2lim
2
2 −−
→ x
x
x
2
2lim
2
2 −−
→ x
x
x
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
200
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2010 PAKET A
Nilai dari = ….
a. 3 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Jawab : c
Cara Biasa
)99(
)99(
)99(
3lim
0 xx
xx
xx
xx −++
−++×−−+→
⇔ )9(9
)99(3lim
0 xx
xxx
x −−+−++
→
⇔ x
xxxx 2
)99(3lim
0
−++→
⇔ )99(23 + = )6(2
3
= 9 ………………..………..(c) Cara cepat
=
= 1
32
2
3 ××
= 9
7. UN 2010 PAKET B
Nilai dari
−−
−→ 4
8
2
2lim
20 xxx= ….
a. 41
b. 21
c. 2 d. 4
e. ∞ Jawab : b
−−
−→ 4
8
2
2lim
20 xxx…… samakan penyebut
⇔ 4
8
)2)(2(
)2(2lim
20 −−
+−+
→ xxx
x
x
⇔ )2)(2(
842lim
0 +−−+
→ xx
x
x
⇔ )2)(2(
42lim
0 +−−
→ xx
x
x……………....faktorkan
⇔ )2)(2(
)2(2lim
0 +−−
→ xx
x
x =
22
2
+
= 21 ………….……….(b)
−−+→ xx
xx 99
3lim
0
−−+→ xx
xx 99
3lim
0 1
092
)1(1
3 +××
−−
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
201
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2009 PAKET A/B
Nilai 2145
2lim
2 −++
−→ x
xx
adalah …
a. 4 b. 2 c. 1,2 d. 0,8 e. 0,4 Jawab : d
Cara Biasa
2145
2145
2145
2lim
2 ++++×
−++
−→ x
x
x
xx
⇔4)145(
)2145)(2(lim
2 −++++
−→ x
xxx
⇔105
)2145)(2(lim
2 ++++
−→ x
xxx
……...faktorkan
⇔)2(5
)2145)(2(lim
2 ++++
−→ x
xx
x
⇔5
)2145(lim
2
++−→
xx
⇔5
214)2(5 ++−=
5
24 + = = 0,8…….(d)
Cara Cepat
= 1
22
5
1 ××
=
5
4 = 0,8
9. UN 2008 PAKET A/B
Nilai dari 82
65lim
2
2
2 −++−
→ xx
xx
x= …
a. 2 b. 1
c. 31
d. 21
e. 61−
Jawab : e
Cara I. faktorkan
82
65lim
2
2
2 −++−
→ xx
xx
x =
)4)(2(
)3)(2(lim
2 +−−−
→ xx
xx
x
= 4
3lim
2 +−
→ x
x
x
= 42
32
+−
= 61− …………(e)
Cara II. Gunakan dalil l’Hospital
82
65lim
2
2
2 −++−
→ xx
xxx
= 22
52lim
2 +−
→ x
xx
…….turunkan
= 2)2(2
5)2(2
+−
= 61−
10. UN 2007 PAKET A
Nilai 1
45lim
3
2
1 −+−
→ x
xxx
= …
a. 3
b. 2 21
c. 2 d. 1 e. –1 Jawab : e
Gunakan dalil l’Hospital
1x
4x5xlim
3
2
1x −+−
→ =
21 3
52lim
x
x
x
−→
…….turunkan
= 2)1(3
5)1(2 −
= 3
3− = – 1 …………….(e)
5
4
2145
2lim
2 −++
−→ x
xx
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
202
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2007 PAKET B
Nilai 74
9lim
2
2
3 +−
−→ x
xx
= …
a. 8 b. 4
c. 49
d. 1 e. 0 Jawab : a
Cara Biasa
)74(
)74(
74
9lim
2
2
2
2
3 ++
++×+−
−→ x
x
x
xx
⇔ )7(16
)74(9lim
2
22
3 +−++−
→ x
xxx
⇔ 2
22
3 9
)74(9lim
x
xxx −
++−→
⇔ )74(lim 2
3++
→x
x = 734 2 ++
= 164+
= 4 + 4 = 8 ………….(a)
Cara Cepat
74
9lim
2
2
3 +−
−→ x
xx
= 1
42
2
2lim
3
××
−−
→ x
xx
= 8
12. UN 2006
Nilai = …
a. 4 b. 2 c. 1 d. 0 e. –1 Jawab : c
Cara Biasa
)2424(
)2424(2424
0lim
xx
xxx
xx
x −++−++−−+
→×
⇔ )2424(
)24(24lim
0 xxx
xxx −++
−−+→
⇔
⇔ xxx 2424
4lim
0 −++→
⇔ )0(24)0(24
4
−++=
44
4
+
= 22
4
+ = 1 …………..(c)
Cara Cepat
x
xxx
2424lim
0
−−+→
⇔
⋅+××
−−
0242
1
1
)2(2 = 1
x
x24x24lim
0x
−−+→
)2424(
4lim
0 xxx
xx −++→
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
203
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2004
Nilai
−−
−→ 9x
6
3x
1lim
23x= …
a. 61−
b. 61
c. 31
d. 21
e. 1 Jawab : b
Cara I. faktorkan
−−
−→ 9x
6
3x
1lim
23x …...samakan penyebut
⇔
+−−
+−+
→ )3)(3(
6
)3)(3(
3lim
3 xxxx
x
x
⇔ )3)(3(
3lim
3 +−−
→ xx
x
x
⇔ 3
1lim
3 +→ xx =
33
1
+ =
6
1 ………………… (b)
Cara II. Gunakan dalil l’Hospital
−−
−→ 9x
6
3x
1lim
23x ….samakan penyebut
⇔
−−
−+
→ 9
6
9
3lim
223 xx
x
x
⇔ 9
3lim
23 −−
→ x
x
x =
xx 2
1lim
3→…………….. turunkan
= )3(2
1 =
6
1 ……………..(b)
14. UAN 2003
Nilai dari 53
4lim
2
2
2 +−
−→ x
xx
= …
a. –12 b. –6 c. 0 d. 6 e. 12 Jawab: d
Cara Biasa
lim2x→
⇔ lim2x→ )5(9
53)4(2
22
+−++−
x
xx
⇔ lim2x→ )4(
)53)(4(2
22
x
xx
−++−
⇔ lim2x→
53 2 ++ x = 6 ………… (d)
Cara Cepat
= 1
32
2
2 ××
−−
x
x= 6
53
53
53
42
2
2
2
++
++×+−
−
x
x
x
x
53
4lim
2
2
2 +−
−→ x
xx
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
204
B. Limit fungsi trigonometri
1. b
a
bx
ax
bx
ax
xx==
→→ sinlim
sinlim
00
2. b
a
bx
ax
bx
ax
xx==
→→ tanlim
tanlim
00
Catatan
Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. sin2 x + cos2 x = 1
b. 1 – cos A =
c. xsin
1= csc x
d. xcos
1 = secan x
e. cos A – cos B = – 2 sin 21 (A + B) ⋅ sin 2
1 (A – B)
f. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Nilai dari xx
xx 2tan
2sin4lim
2
0→= …
A. -8 D. 4 B. -4 E. 8 C. 0 Jawab : E
xx
xx 2tan
2sin4lim
2
0→ =
xx
xxx 2tan
2sin2sin4lim
0
⋅→
= 21
224
⋅⋅⋅
= 8………….(E)
2. UN 2013
Nilai dari )3sin(
)62tan(lim
3 −−
→ x
xxx
= …
A. 0
B. �
�
C. 2 D. 3 E. 6 Jawab : E
)3sin(
)62tan(lim
3 −−
→ x
xxx
=)3sin(
)3(2tanlim
3 −−
→ x
xxx
= )3(
)3(2lim
3 −−⋅
→ x
xxx
= 3 · 2 = 6 ……………………….(E)
3. UN 2013
Nilai xx
xx 2tan2
4cos1lim
2
0
−→
A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 E. 14 Jawab : B
xx
xx 2sin
2cos1lim
2
0
−→
= xx
xx 2tan2
4sinlim
2
0→
= xx
xxx 22
44lim
0 ⋅⋅
→
= 4 ………………………(B)
)(sin2212 A
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
205
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Nilai xx
xx 2sin
2cos1lim
2
0
−→
A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 E. -4 Jawab : A
xx
xx 2sin
2cos1lim
2
0
−→
= xx
xx 2sin
2sinlim
2
0→
= xx
xxx 2
22lim
0 ⋅⋅
→
= 2 ………………………(A)
5. UN 2013
Nilai dari 4
)2tan()12(lim
22 −−+
→ x
xxx
A. 5 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1,25 Jawab : E
4
)2tan()12(lim
22 −−+
→ x
xxx
= )2)(2(
)2)(12(lim
2 −+−+
→ xx
xxx
= 2
12lim
2 ++
→ x
xx
= 22
1)2(2
++
= 1,25 ……………(E)
6. UN 2013
Nilai dari 12
)1(sinlim
2
2
1 +−−
→ xx
xx
= …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
E. ∞ Jawab : B
12
)1(sinlim
2
2
1 +−−
→ xx
xx
= )1)(1(
)1)(1(lim
1 −−−−
→ xx
xxx
= 1…………………(B)
7. UN 2013
Nilai dari )2(sin
)2tan()4(lim
2
2
2 ++−
→ x
xxx
A. -4 B. -3 C. 0 D. 4
E. ∞ Jawab : C
)2(sin
)2tan()4(lim
2
2
2 ++−
→ x
xxx
⇔)2)(2(
)2)(2)(2(lim
2 +++−+
→ xx
xxxx
= 2 – 2 = 0……..(C)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
206
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Nilai xx
x
x tan2
1sin2
lim
2
0→= …
A. -2 D. �
�
B. -1 E. 1
C. −�
� Jawab : D
xx
x
x tan2
1sin2
lim
2
0→ =
xx
xx
x ⋅
⋅⋅
→2
1
2
12
lim0
= �
� ……………(D)
9. UN 2012/C37
Nilai ....2tan
2cos1lim
0=−
→ xx
xx
A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 Jawab : D
xx
xx 2tan
2cos1lim
0
−→
=
= 21
112
⋅⋅⋅
= 1 …………………..(D)
10. UN 2012/D49
Nilai = ….
A. 4 B. 2 C. – 1 D. – 2 E. – 4 Jawab : E
⇔ xx
xx 2tan
)4cos1(lim
0
−−→
⇔ xx
xxx 2tan
2sin2sin2lim
0
⋅−→
= 21
222
⋅⋅⋅−
= –4 …….......(E)
11. UN 2012/B25
Nilai x
xxx 2cos1
tanlim
0 −→ = ...
A. 21−
B. 0
C. 21
D. 1 E. 2 Jawab : C
x
xxx 2cos1
tanlim
0 −→=
= 112
11
⋅⋅⋅
= 21 .............................(C)
12. UN 2011 PAKET 12
Nilai
−→ xx
x
x 2sin2
2cos1lim
0= …
a. 81 d.
21
b. 61 e. 1
c. 41 Jawab : d
−→ xx
x
x 2sin2
2cos1lim
0 …………… identitas a.
⇔ xx
x
x 2sin2
sin2lim
2
0→
⇔ xx
xx
x 2sin2
sinsin2lim
0
⋅→
= 22
112
⋅⋅⋅
=2
1………(d)
xx
xxx 2tan
sinsin2lim
0
⋅→
xx
xx 2tan
14coslim
0
−→
xx
xx 2tan
14coslim
0
−→
xx
xxx sinsin2
tanlim
0 ⋅→
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
207
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Nilai
−−
→ x
x
x 4cos1
2cos1lim
0= …
a. 21− d.
161
b. 41− e.
41
c. 0 Jawab : e
−−
→ x
x
x 4cos1
2cos1lim
0
⇔ x
x
x 2sin2
sin2lim
2
2
0→
⇔ 2
0 2sin
sinlim
→ x
x
x=
2
2
1
=
4
1………..…(e)
14. UN 2010 PAKET A
Nilai dari
→ x
xx
x 5
3sin4coslim
0= ….
a. 35 d. 5
1
b. 1 e. 0
c. 53 Jawab : c
→ x
xxx 5
3sin4coslim
0
⇔x
xxxx
x 5
)}34sin()34{sin(lim 2
1
0
−−+→
⇔x
xxx 10
sin7sinlim
0
−→
⇔ = 101
107 − =
106 =
53 …………….…….(c)
15. UN 2010 PAKET B
Nilai dari
+→ x
xx
x 6
5sinsinlim
0= ….
A. 2 D. 31
B. 1 E. –1
C. 21 Jawab : B
+→ x
xx
x 6
5sinsinlim
0
⇔ 65
61 + =
66 = 1 ……………………(b)
16. UN 2009 PAKET A/B
Nilai dari )62cos(22
96lim
2
3 +−++
−→ x
xxx
adalah ..
a. 3 b. 1
c. 21
d.
e. 41
Jawab : e
)62cos(22
96lim
2
3 +−++
−→ x
xxx
⇔ ))62cos(1(2
)3(lim
2
3 +−+
−→ x
xx
⇔ )3(sin2
)3(
2
1lim
2
2
3 ++×
−→ x
xx
⇔ 2
1
2
1lim
3×
−→x = 4
1 ………………….(e) 31
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
208
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2007 PAKET A
Nilai x6cos1
x3sinx2lim
0x −→= …
a. –1
b. –31
c. 0
d. 31
e. 1 Jawab : d
x6cos1
x3sinx2lim
0x −→
⇔ x
xx
x 3sin2
3sin2lim
20→
⇔ xx
xxx 332
32lim
0 ⋅⋅⋅
→=
3
1…..…………..(d)
18. UN 2007 PAKET B
Nilai 2x3x
)2xsin(lim 22x +−
−→
= …
A. –21 D.
�
�
B. –31 E. 1
C. 0 Jawab : e
2x3x
)2xsin(lim 22x +−
−→
⇔ )2)(1(
)2sin(lim
2 −−−
→ xx
x
x
⇔ 1
1lim
2 −→ xx =
12
1
− = 1 …………….(e)
19. UN 2006
Nilai
2x
6
6
x
sinxcoslim
3−
−π
π
→ π= …
a. –21 3
b. –31 3
c. 3
d. –2 3
e. –3 3
Jawab : c
Gunakan dalil l’Hospital
2x
6
6
x
sinxcoslim
3−
−π
π
→ π …………..…..turunkan
⇔
210
0sinlim
3 −−−
→
x
x π
⇔ xx
sin2lim3π→
= 3sin2 π
= 32 21⋅ = 3 …….…(c)
20. UN 2005
Nilai )3x2x(x2
x12sinlim 20x −+→
= …
a. –4 b. –3 c. –2 d. 2 e. 6 Jawab : c
)3x2x(x2
x12sinlim 20x −+→
⇔ x
x
xxx 2
12sin
32
1lim
20×
−+→
⇔ 2
12
32
1lim
20×
−+→ xxx
⇔ 6300
1 ×−+
= 631 ×− = – 2 …………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
209
SOAL PENYELESAIAN 21. UN 2004
Nilai 20x x
x4cos1lim
−→
= …
a. –8 b. –4 c. 2 d. 4 e. 8 Jawab : e
20x x
x4cos1lim
−→
⇔ 2
2
0
2sin2lim
x
x
x→
⇔ x
x
x
x
x
2sin2sin2lim
0⋅
→
⇔ 2 · 2 · 2 = 8 ………………….…………(e)
22. UAN 2003
Nilai dari xx
x
x sincos
2coslim
4−→π
= …
a. – 2
b. –21 2
c. 21 2
d. 2
e. 2 2
Jawab: d
Gunakan dalil l’Hospital
lim4
x π→ xsinxcos
x2cos
−………..turunkan
⇔ lim4
x π→ xx
x
cossin
2sin2
−−−
⇔
44
2
cossin
sin2ππ
π
+=
22
12
21
21 +
⋅
= 2
2= 2 …………..… (d)
23. EBTANAS 2002
π−
−
π→ 41
xcos1
xsin1
x xlim
41
= …
a. –2 2
b. – 2 c. 0
d. 2
e. 2 2
Jawab : a
Gunakan dalil l’Hospital
ππ41cos
1sin
1
41
lim−
−
→ xxx
x
⇔ ππ 4
1
seccsclim
41 −
−→ x
xx
x……………… turunkan
⇔ 1
tanseccotcsclim
41
xxxx
x
⋅−⋅−→ π
⇔ ππππ 41
41
41
41 tanseccotcsc ⋅−⋅−
⇔ 1212 ⋅−⋅− = –2 2 ………………(a)
24. EBTANAS 2002
Nilai dari x2tanx
x5cosxcoslim
0x
−→
= …
a. –4 b. –2 c. 4 d. 6 e. 8
Jawab : d
x2tanx
x5cosxcoslim
0x
−→
⇔ xx
xx
x 2tan
)4(sin)6(sin2lim 2
121
0
−⋅−→
⇔ xx
xxx 2tan
2sin3sin2lim
0
⋅→
⇔ xx
xxx 2
232lim
0 ⋅⋅⋅
→ = 6…………………..(d)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
210
C. Limit Mendekati Tak Berhingga
1. ...dxcx
...bxaxlim
1mm
1nn
x ++++
−
−
∞→= p , dimana:
a. p = c
a, jika m = n
b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m
2. ( )dcxbaxlimx
+±+∞→
= q, dimana:
a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c
3. a
qbrqxaxcbxax
x 2lim 22 −=
++−++
∞→ rumus ini dapat dikembangkan lagi menjadi
bentuk:
i) a
pdbdpxcbxax
x 2
2)lim 2 −=
+−++
∞→,………..dengan p2 = a
ii)a
qbcrqxaxcbx
x 2
2lim 2 −=
++−+
∞→, …….…… dengan b2 = a
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Nilai dari
x
xxxxx 2
334345lim
22 +−++−∞→
A. 0
B. �
�√3
C. √3
D. 2√3
E. ∞
Jawab : C
Karena derajat pembilang = derajat penyebut, maka gunakan rumus C.1.a
x
xxxxx 2
334345lim
22 +−++−∞→
⇔ 2
33 += √3 …………………………(C)
2. UN 2013 Nilai dari
)3164684(lim 22 −+−+−∞→
xxxxx
= …
A. –6 B. –4 C. 4 D. 6 E. 10 Jawab : A
Gunakan rumus C.3
)3164684(lim 22 −+−+−∞→
xxxxx
= a
qb
2
−
⇔ 42
168−−=
22
24
⋅−
= – 6 ……………….(A)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
211
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Nilai dari )12434(lim 2 +−++∞→
xxxx
= …
A. −"
�
B. 0
C. �
�
D. "
�
E. ∞
Jawab : D
Gunakan rumus C.3.i)
)12434(lim 2 +−++∞→
xxxx
= a
pdb
2
2−
⇔ 42
)1)(2(23 −−=
22
43
⋅+
= 4
7 ……………….(D)
4. UN 2013
Nilai dari )3516925(lim 2 +−−−∞→
xxxx
= …
A. −�#
�$
B. −#
�$
C. ��
�$
D. �#
�$
E. ∞
Jawab : C
Gunakan rumus C.3.i)
)3516925(lim 2 +−−−∞→
xxxx
= a
pdb
2
2−
⇔ 252
)3)(5(29 −−−=
52
309
⋅+−
= 10
21 …………(C)
5. UN 2013
Nilai dari )42384(lim 2 −−+−∞→
xxxx
= …
A. –8 B. –6 C. 2 D. 6 E. 8 Jawab : B
Gunakan rumus C.3.i)
)42384(lim 2 −−+−∞→
xxxx
= a
pdb
2
2−
⇔ 42
)4)(2(28 −−−−=
22
168
⋅−−
= – 6 ………(B)
6. UN 2013
Nilai ))13(169(lim 2 +−−−∞→
xxxx
= …
A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawab : A
Gunakan rumus C.3.i)
))13(169(lim 2 +−−−∞→
xxxx
= a
pdb
2
2−
⇔ 92
)1)(3(26 −−−−=
32
66
⋅−−
= – 2 ………(A)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
212
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Nilai dari )564)12((lim 2 −−−−∞→
xxxx
= …
A. 4
B. 2
C. 1
D. �
�
E. �
�
Jawab : D
Gunakan rumus C.3.ii)
)564)12((lim 2 −−−−∞→
xxxx
= a
qbc
2
2 −
⇔ 42
)6()1)(2(2 −−−=
22
64
⋅+−
= 2
1…………(D)
8. UN 2009 PAKET A/B
Nilai x
xx
x 4
)9345lim
+−+∞→
= …
a. 0
b. 21
c. 1 d. 2 e. 4 Jawab : a
Soal ini bisa langsung dijawab tanpa perlu dihitung terlebih dahulu. Gunakan rumus C.2) Karena derajat pembilang < derajat penyebut, maka:
x
xx
x 4
)9345lim
+−+∞→
= 0 ……….(a)
9. UN 2005
Nilai ( )12)54(lim +−+∞→
xxxx
= …
A. 0 D. 49
B. 41 E. ∞
C. 21 Jawab : D
Gunakan rumus C.3.i)
( )12)54(lim +−+∞→
xxxx
= a
pdb
2
2−
⇔ 42
)1)(2(25 −−=
22
45
⋅+
= 4
9 …………(D)
10. UAN 2003
Nilai
+−−+
∞→6x3x4)1x2(lim
2
x =
…
a. 43
b. 1
c. 47
d. 2
e. 25
Jawab : c
Gunakan rumus C.3.ii)
+−−+
∞→6x3x4)1x2(lim
2
x=
a
qbc
2
2 −
⇔ 42
)3()1)(2(2 −−=
22
34
⋅+
= 4
7………(C)
SIAP UN IPA 2014 Limit Fungsi
213
SOAL PENYELESAIAN 11. EBTANAS 2002
Nilai )x5xx(lim2
x−−
∞→= …
a. 0 b. 0,5 c. 2 d. 2,5 e. 5 Jawab : d
Gunakan rumus C.3.ii)
)x5xx(lim2
x−−
∞→=
a
qbc
2
2 −
⇔ 12
)5()0)(1(2 −−=
2
50 += 2,5………(D)
14. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:
1. y = u + v, ⇒ y’ = u’+ v’
2. y = c·u, ⇒ y’= c· u’
3. y = u·v, ⇒ y’= v· u’ + u· v’
4. y = v
u, ⇒ y’= (v· u’ – u· v’) : v2
5. y = un, ⇒ y’= n·un – 1 · u’
6. y = sin u, ⇒ y’= cos u· u’
7. y = cos u, ⇒ y’= – sin u·u’
8. y = tan u, ⇒ y’= sec2 u·u’
9. y = cotan u, ⇒ y’ = – cosec2 u·u’
10. y = sec u, ⇒ y’ = sec u· tan u·u’
11. y = cosec, u ⇒ y’ = –cosec u· cotan u·u’
Keterangan: y' : turunan pertama dari y u’ : turunan pertama dari u v’ : turunan pertama dari v Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u ⋅⋅⋅⋅ cos u = sin 2u
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = … a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125 Jawab : a
f(x) = 3x3 + 4x + 8
f’(x) = 9x2 + 4
f’(3) = 9(3)2 + 4
= 81 + 4
= 85 ……………………………………..(a)
2. UN 2008 PAKET A/B
Turunan pertama dari y = x4sin41 adalah
y’ = … a. –cos 4x
b. x4cos161−
c. x4cos21
d. cos 4x
e. x4cos161
Jawab : d
y = x4sin41
y’ = 44cos41 ⋅⋅ x
= cos 4x ………………………………….(d)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
215
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2007 PAKET A
Turunan pertama dari f(x) = 3 2 x3sin adalah f’(x) = …
a. x3cos 3
1
32
−
b. x3cos2 3
1−
c. x3sinx3cos 3
1
32
−
d. –2 cot 3x · 3 2 x3sin
e. 2 cot 3x · 3 2 x3sin
Jawab : e
f(x) = 3 2 x3sin
= 32
)3(sin x …………………..………: un
f’(x) = 32 ⋅ 3
1
)3(sin−
x ⋅ (cos 3x) ⋅ 3
= 2 31
)3(sin−
x cos 3x
= 32
32
31
)3(sin
)3(sin
)3(sin
3cos2
x
x
x
x ××
= 32
)3(sin3sin
3cos2 x
x
x ××
= 3 2)3(sin3cot2 xx ⋅ ………..…………..(e)
4. UN 2007 PAKET B Turunan dari y = sin3(2x – 4) adalah y’(x) = … a. 3 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4) b. 3 sin2 (2x – 4) c. 3 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4) d. 6 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4) e. 6 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4)
Jawab : e
y = sin3(2x – 4)
= {sin (2x – 4)}3 ………: un
y’ = 3 ⋅ sin2(2x – 4) ⋅ cos (2x – 4) ⋅ 2
= 6 sin2(2x – 4) cos (2x – 4)
= 6 cos (2x – 4) sin2(2x – 4)……..………..(e)
5. UN 2006 Turunan pertama fungsi f(x) = sin2(8x – 2π) adalah f’(x) = … a. 2 sin (8x – 2π) b. 8 sin (8x – 2π) c. 2 sin (16x – 4π) d. 8 sin (16x – 4π) e. 16 sin (16x – 4π)
Jawab : d
f(x) = sin2(8x – 2π)
= {sin (8x – 2π)} 2 ………: un
f’(x) = 2 ⋅ sin (8x – 2π) ⋅ cos (8x – 2π) ⋅ 8
= 8 ⋅ 2 sin (8x – 2π) cos(8x – 2π)
= 8 sin 2(8x – 2π)
= 8 sin (16x – 4π)………………………(d)
6. UN 2005 Turunan pertama f(x) = cos3x adalah …
a. f'(x) = – 23 cos x sin 2x
b. f'(x) = 23 cos x sin 2x
c. f'(x) = –3 sin x cos x d. f'(x) = 3 sin x cos x e. f'(x) = –3 cos2x
Jawab : b
f(x) = cos3x
= (cos x)3 ……………………: un
f’(x) = 3(cos x)2 ⋅ (– sin x)
= –3cos x ⋅ cos x ⋅ sin x
= –3 ⋅ 21 ⋅ cos x ⋅ 2 cos x ⋅ sin x
= 23− cos x sin 2x ……………………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
216
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2004
Turunan pertama fungsi f(x) = cos2(3x + 6) adalah f’(x) = … a. –6 sin(6x + 12) b. –3 sin(6x + 12) c. –sin(6x + 12) d. –3 cos(6x + 12) e. –6 cos(6x + 12)
Jawab : b
f(x) = cos2(3x + 6) = {cos (3x + 6)}2 ……………………: un
f’(x) = 2 ⋅ cos (3x + 6) ⋅ ( – sin (3x + 6)) ⋅ 3 = –3 ⋅ 2 cos (3x + 6) sin (3x + 6) = –3 sin 2(3x + 6)
= –3 sin (6x + 12)………………………(b)
8. UAN 2003 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5)cos x adalah f’(x) = … a. 3x sin x + (3x2 – 5) cos x b. 3x cos x + (3x2 – 5) sin x c. –6x sin x – (3x2 – 5) cos x d. 6x cos x + (3x2 – 5) sin x e. 6x cos x – (3x2 – 5) sin x
Jawab :e
f(x) = (3x2 – 5)cos x…………………..: u⋅v
f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’
= cos x (6x) + (3x2 – 5)(–sin x)
= 6x cos x – (3x2 – 5)sin x …………….(e)
9. UAN 2003
Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x – 3) adalah f’(x) = … a. 2cos(4x – 6) b. 2 sin(4x – 6) c. –2cos(4x – 6) d. –2 sin(4x – 6) e. 4 sin(2x – 3)
Jawab : b
f(x) = sin2(2x – 3)
= {sin (2x – 3)}2 ………: un
f’(x) = 2 ⋅ sin (2x – 3) ⋅ cos (2x – 3) ⋅ 2
= 2 ⋅ 2 sin (2x – 3) cos(2x – 3)
= 2 sin 2(2x – 3)
= 2 sin (4x – 6)…………………………(b)
10. EBTANAS 2002
Turunan pertama fungsi y = x1
x
−,
adalah y’ = …
a. y
x
b. 2
2
y
x
c. 2
2
x
y
d. –2
2
y
x
e. –2
2
x
y
Jawab : c
Gunakan rumus A.4)
y = x1
x
− ……………..:
v
u
y’ = 2)1(
)1()1)(1(
x
xx
−−−−
= 2)1(
1
x
xx
−+−
= 2
2
2)1(
1
x
x
x×
−
= 22
2 1
)1( xx
x ×−
= 2
21
1 xx
x ×
−
= 2
2 1
xy × =
2
2
x
y …………… (c)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
217
SOAL PENYELESAIAN 11. EBTANAS 2002
Jika f(x) = 12
32
2
++−
xx
xx, maka f’(2) = …
a. –92
b. 91
c. 61
d. 277
e. 47
Jawab : d
Gunakan rumus A.4)
f(x) = 1x2x
x3x2
2
++−
……………..: v
u
f’(x) = 22
22
)12(
)22)(3()32)(12(
+++−−−++
xx
xxxxxx
f’(2) = 22
22
)1222(
)222)(232()322)(1222(
+⋅++⋅⋅−−−⋅+⋅+
= 2)144(
)24)(64()34)(144(
+++−−−++
= 99
)6)(2(9
⋅−−
= 933
21
⋅⋅ =
27
7………(d)
12. EBTANAS 2002
Diketahui f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).
nilai f’( 2π ) = …
a. –20 b. –16 c. –12 d. –8 e. –4
Jawab : b
Sin 2π = 1 dan Cos 2
π = 0
f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 ..………….: u ⋅ v f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’
= (1 + cos x)4 ⋅ 2(1 + sin x) ⋅ cos x + (1 + sin x)2 ⋅ 4(1 + cos x) ⋅ (– sin x)
f’( 2π ) = (1 + cos 2
π )4 ⋅ 2(1 + sin 2π ) ⋅ cos 2
π +
(1 + sin 2π )2 ⋅ 4(1 + cos 2
π ) ⋅ (– sin 2π )
f’( 2π ) = (1 + 0)4 ⋅ 2(1 + 1) ⋅ 0 +
(1 + 1)2 ⋅ 4(1 + 0) ⋅ (– 1) = 0 + 4 ⋅ 4 ⋅ (–1) = –16 ……………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
218
B. Aplikasi turunan suatu fungsi Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah: y – b = m(x – a)
2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0 SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut. Volume kotak terbesar yang dibuat adalah … A. 256 cm3
B. 392 cm3
C. 432 cm3
D. 512 cm3
E. 588 cm3
Jawab : C
Volume kotak v v(x) = p × l × t
= (18 – 2x) (18 – 2x) x = (324 – 72x + 4x2)x = 4x3 – 72x2 + 324x
• Volume maksimum pada saat v’(x) = 0 dan v”(x) < 0 i) v'(x) = 12x2 – 144x + 324 = 0 | ÷ 12
x2 – 12x + 27 = 0 (x – 3)(x – 9) = 0 x = {3, 9},
pilih x = 3, karena x = 9 tidak mungkin
v(3) = 4(3)3 – 72(3)2 + 324(3) = 108 – 648 + 972
= 432 …………………………………(C)
2. UN 2013 Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dibuat adalah … A. 2.000 cm3
B. 3.000 cm3
C. 4.000 cm3
D. 5.000 cm3
E. 6.000 cm3
Jawab : A
Volume kotak v v(x) = p × l × t
= (30 – 2x) (30 – 2x) x = (900 – 120x + 4x2)x = 4x3 – 120x2 + 900x
• Volume maksimum pada saat v’(x) = 0 dan v”(x) < 0 i) v'(x) = 12x2 – 240x + 900 = 0 | ÷ 12
x2 – 20x + 75 = 0 (x – 5)(x – 15) = 0 x = {5, 15}
pilih x = 5, karena x = 15 tidak mungkin
v(3) = 4(5)3 – 120(5)2 + 900(5) = 500 – 3.000 + 4.500
= 2.000………………………………(A)
18 c
m
x x
30 c
m
x x
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
219
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m + n = – 40. Nilai minimum dari p = m2 + n2 adalah … A. 405 B. 395 C. 320 D. 260 E. 200 Jawab : C
• 2m + n = – 40
n = – 40 – 2m = –(2m + 40)
• p = m2 + n2 = m2 + {–(2m + 40)}2 = m2 + (4m2 + 160m + 1600) = 5m2 + 160m + 1600
Karena p berbentuk fungsi kuadrat, maka p minimum diperoleh saat :
m = a
b
2
−=
)5(2
160−= –16
• p(m) = 5m2 + 160m + 1600 p(–16) = 5(–16)2 + 160(–16) + 1600
= 1280 – 2560 + 1600 = 320………………………..(C)
4. UN 2013 Diketahui dua bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan q – 2p = 50. Nilai minimum dari p2 + q2 adalah … A. 100 B. 250 C. 500 D. 1.250 E. 5.000 Jawab : C
• q – 2p = 50
q = 50 + 2p
• n = p2 + q2 = p2 + (2p + 50)2 = p2 + (4p2 + 200p + 2500) = 5p2 + 200p + 2500
Karena n berbentuk fungsi kuadrat, maka n minimum diperoleh saat :
p = a
b
2
−=
)5(2
200−= –20
• n(p) = 5p2 + 200p + 2500 n(–20) = 5(–20)2 + 200(–20) + 2500
= 2000 – 4000 + 2500 = 500………………………..(C)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
220
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2x + 24)m dan lebar (8 – x)m. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah … A. 4 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m E. 13 m Jawab : C
• Lebar : l = 8 – x …………………….(1) • Keliling : k = 2x + 24……………….(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
k = k 2(p + l) = 2x + 24
2(p + 8 – x ) = 2x + 24 p + 8 – x = x + 12 p = x + x + 12 – 8 = 2x + 4 • Luas : L = p × l
= (2x + 4)(8 – x) = –2x2 + 12x + 32
Karena L berbentuk fungsi kuadrat, maka L maksimum diperoleh saat :
x = a
b
2
−=
)2(2
12
−−
= 3
sehingga p = 2x + 4 = 2(3) + 4 = 10 ……..(C)
6. UN 2013 Diketahui persegi panjang PQRS seperti pada gambar dengan panjang 5 cm dan lebar 3 cm. Agar luas ABCD mencapai nilai minimum, luas daerah yang diarsir adalah … A. 5 cm2
B. 6 cm2
C. 7 cm2
D. 8 cm2
E. 10 cm2
Jawab : D
Misal Panjang DP = AQ = BR = CS = x
Sehingga:
• SD = BQ = 3 – x
• CR = PA = 5 – x
luas daerah arsir :
L(x) = 2DCS + 2DPA
= x(3 – x) + x(5 – x)
= –x2 + 3x + (–x2 + 5x)
= –2x2 + 8x
Karena L(x) berbentuk fungsi kuadrat, maka L(x) minimum diperoleh saat :
x = a
b
2
−=
)2(2
8
−−
= 2
sehingga
L(2) = –2(2)2 + 8(2) = –8 + 16 = 8 …………(D)
P QA
B
R C S
D
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
221
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm3. Agar luas permukaan kotak maksimum, maka nilai x adalah … A. 3 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 9 cm
E. 12 cm
Jawab : C
• Volum kotak tanpa tutup
v = luas alas × t
108 = x2y ⇒ y = 2
108
x
• Luas permukaan kotak tanpa tutup
L = alas + samping = x2 + 4xy
= x2 + 4x
2
108
x= x2 +
x
432= x2 + 432x – 1
L maks. diperoleh saat L’ = 0
L = x2 + 432x – 1
L’ = 2x – 2
432
x= 0
2x3 – 432 = 0
x3 – 216 = 0
x3 = 216 = 63
x = 6 ……………….(C)
8. UN 2012/C37 Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah … A. Rp16.000,00 B. Rp32.000,00 C. Rp48.000,00 D. Rp52.000,00 E. Rp64.000,00 Jawab : B
Fungsi berikut dalam satuan ribuan • biaya per unit : 4x2 – 8x + 24 sehingga biaya
total b(x) = (4x2 – 8x + 24)x = 4x3 – 8x2 + 24x
• pendapatan total p(x) = 40x • Keuntungan total
u(x) = p(x) – b(x) = 40x – (4x3 – 8x2 + 24x) = – 4x3 + 8x2 + 16x
• u(x) maksimal saat u’(x) = 0 u(x) = – 4x3 + 8x2 + 16x u’(x) = –12x2 + 16x + 16
0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)
x = {3
2− , 2}
pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)}ribu
= 32.000 ..........................................(B)
x
y
x
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
222
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/E52
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x2 – 10x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp.50.000,00 tiap unit,maka keuntungan maksimum yang di peroleh perusahaan tersebut adalah…. A. Rp10.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp30.000,00 D. Rp40.000,00 E. Rp50.000,00 Jawab : D
Fungsi berikut dalam satuan ribuan • biaya per unit : 5x2 – 10x + 30 sehingga biaya
total b(x) = (5x2 – 10x + 30)x = 5x3 – 10x2 + 30x
• pendapatan total p(x) = 50x • Keuntungan total
u(x) = p(x) – b(x) = 50x – (5x3 – 10x2 + 30x) = – 5x3 + 10x2 + 20x
• u(x) maksimal saat u’(x) = 0 u(x) = – 5x3 + 10x2 + 20x u’(x) = –15x2 + 20x + 20
0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)
x = {3
2− , 2}
pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)}ribu
= 40.000 ...................................(D) 10. UN 2012/B25
Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik pada garis itu dibuat garis–garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah ... satuan luas
A. 41
B. 21
C. 1 D. 2 E. 3 Jawab : D
Cara Biasa • Persamaan garis : x + 2y = 4 ⇒ x = 4 – 2y • Luas segi empat
L = x ⋅ y = (4 – 2y)y = 4y – 2y2
L mencapai maksimum saat L’ = 0 L = 4y – 2y2 ⇒ L’ = 4 – 4y
0 = 1 – y y = 1
Jadi, L = 4(1) – 2(1)2 = 2..............................(D) Cara Cepat • Persamaan garis : x + 2y = 4
i) saat x = 0 ⇒ 0 + 2y = 4 y = 2
ii) saat y = 0 ⇒ x + 2(0) = 4 x = 4
Lmaks = ½x ⋅ ½y = ½(4) ⋅ ½(2) = 2 ⋅ 1 = 2
X
Y
(x,y)
0
X + 2y = 4
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
223
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2011 PAKET 12/46
Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah … a. Rp149.000,00 b. Rp249.000,00 c. Rp391.000,00 d. Rp609.000,00 e. Rp757.000,00 Jawab : c
• Missal (i) fungsi biaya
f(x) = 9000 + 1000x + 10x2 (ii) fungsi pendapatan
p(x) = 5000x (iii) fungsi laba
q(x) = p(x) – f(x) = 5000x – (9000 + 1000x + 10x2) = –10x2 + 4000x – 9000
Laba mencapai maksimum saat q’(x) = 0 q’(x) = –20x + 4000 = 0
⇔ 20x = 4000 ⇔ x = 200
laba maksimum diperoleh saat x = 200 q(200) = –10(200)2 + 4000(200) – 9000
= – 400.000 + 800.000 – 9.000 = 391.000 …………………………..(c)
12. UN 2010 PAKET A
Diketahui h adalah garis singgung kurva y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah … a. (–3, 0) b. (–2, 0) c. (–1, 0)
d. (–21 , 0)
e. (–31 , 0)
Jawab: e
• Gradien garis singgung m = f’(a) f(x) = x3 – 4x2 + 2x – 3 f’(x) = 3x2 – 8x + 2 f’(1) = 3(1)2 – 8(1) + 2 m = –3
• Gari singgung memotong sumbu X saat y = 0 y – y1 = m (x – x1) 0 – (–4) = –3(x – 1) 4 = –3x + 3
3x = 3 – 4 = –1
x = –31
Jadi, titik potongnya di (–31 , 0) …………(e)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
224
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2010 PAKET A
Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut–turut adalah … a. 10 dm, 7 dm, 1 dm b. 8 dm, 5 dm, 1 dm c. 7 dm, 4 dm, 2 dm d. 7 dm, 4 dm, 1 dm e. 6 dm, 3 dm, 1 dm
Jawab: e
• Volume kotak
V = p × l × t
= (8 – 2x)(5 – 2x)x
= (4x2 – 26x + 40)x
= 4x3 – 26x2 + 40x
V’ = 12x2 – 52x + 40
Volume kotak akan mencapai maksimum saat V’ = 0, maka:
12x2 – 52x + 40 = 0
3x2 – 13x + 10 = 0
(3x – 10)(x – 1) = 0
x = {1, 3
10 } dipilih x = 1, karena jika x = 3
10
maka p atau l akan negative
jadi p = 8 – 2(1) = 6
l = 5 – 2(1) = 3
t = x = 1 ………………….(e)
14. UN 2010 PAKET B Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 8) b. (0, 4) c. (0, –3) d. (0, –12) e. (0, –21)
Jawab: c
• Gradien garis singgung m = f’(a)
f(x) = (x2 + 2)2
f’(x) = 2(x2 + 2) (2x)
= 4x3 + 8x
f’(1) = 4(1)2 + 8(1)
m = 12 • Gari singgung memotong sumbu Y saat x = 0
y – y1 = m (x – x1)
y – 9 = 12(0 – 1)
y = –12 + 9
= –3
Jadi, titik potongnya di (0, –3) …………(c)
x
x
x
x
x
x
x
xp = 8 – 2x
l = 5 – 2x
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
225
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi
s(t) = tttt 56 23234
41 +−− . Kecepatan
maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t = … a. 6 detik b. 4 detik c. 3 detik d. 2 detik e. 1 detik
Jawab: b
Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, sehingga v(t) = s’(t)
= 5122293 +−− ttt
v’(t) = 3t2 – 9t – 12
v(t) akan mencapai maksimum saat v’(t) = 0, maka: 3t2 – 9t – 12 = 0 t2 – 3t – 4 = 0 (t + 1)(t – 4) = 0 t = {–1, 4}
karena t tidak mungkin negatif , maka t yang memenuhi adalah 4 …………………….(b)
16. UN 2009 PAKET A/B Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28m2. Volum akan maksimum, jika jari–jari alas sama dengan …
a. ππ 731
b. ππ 732
c. ππ 734
d. ππ 2132
e. ππ 2134
Jawab : d
• Luas permukaan tabung tanpa tutup S = luas alas + luas keliling 28 = π r2 + 2π r ⋅ t
2π r ⋅ t = 28 – π r2
t = r
r
ππ
2
28 2−
• Volum tabung V = luas alas × t
= π r2 × r
r
ππ
2
28 2−
= 21 r (28 – πr2)
= 14r – 21 πr3
V’ = 14 – 23 πr2
Volum tabung akan maksimum jika V’ = 0, maka:
14 – 23 πr2 = 0 ……kedua ruas dikali
32
328 – πr2 = 0
πr2 = 328
r2 = ππ
π 33
328 ×
= 2)3(
214
ππ×
r = 2)3(
214
ππ× = π
π21
3
2 ……..(d)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
226
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2009 PAKET A/B
Garis l menyinggung kurva y = 3x di titik yang berabsis 4. titik potong garis l dengan sumbu X adalah … a. (– 12, 0) b. (– 4, 0) c. (4, 0) d. (–6, 0) e. (12, 0)
Jawab : d
• Titik singgung pada kurva (a, b) Absis x = 4, maka y = f(x)
y = f(x) = 3 x
y = f(4) = 3 4 = 3 ⋅ 2 = 6 jadi, titik singgungnya di (4,6)
• Gradien garis singgung m = f’(a)
f(x) = 3 x
= 3 21
x ……………………..: un
f’(x) = 21
23 −
x = x2
3
m = f’(4) = 42
3 =
4
3
• Gari singgung memotong sumbu X saat y = 0 y – y1 = m (x – x1)
0 – 6 = 43 (x – 2) …. Kedua ruas dikali
34
–8 = x – 2 x = –8 + 2 = –6 Jadi, titik potongnya di (–6, 0)……………(d)
18. UN 2008 PAKET A/B Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t – 5t2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … meter a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770
Jawab d
Tinggi h maksimum akan dicapai pada saat h’(t) = 0, maka: h(t) = 120t – 5t2
h’(t) = 120 – 10t 0 = 120 – 10t 0 = 12 – t t = 12 jadi, h maksimum adalah : h(t) = 120t – 5t2 h(12) = 120(12) – 5(12)2
= 1440 – 720 = 720 …………………………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
227
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2007 PAKET A
Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum, jika koordinat T adalah …
a. ( )6
5,3
b. ( )23
25 ,
c. ( )59,2
d. ( )1021
23 ,
e. ( )5
12,1
Jawab : b
untuk kasus seperti ini, luas L akan mencapai maksimum pada saat:
a = x = 521 ⋅ = 2
5
b = y = 321 ⋅ = 2
3
jadi, koordinat titik T( )23
25 , ………………(b)
20. UN 2006 Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar karton dengan volum 16 dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari–jari lingkaran alasnya adalah …
a. 3 4π dm
b. 3
2
πdm
c. 3
4
πdm
d. 23 π dm
e. 43 π dm
Jawab : b
• Volume tabung V V = luas alas × tinggi 16 = π r2 ⋅ t
t = 2
16
rπ
• Luas permukaan tabung S S = 2 luas alas + luas keliling = 2π r2 + (2π r ⋅ t)
= 2π r2 + 2π r ⋅ 2
16
rπ
= 2π r2 + r
32
s’= 4π r – 2
32
r
luas permukaan tabung akan minimum jika S’ = 0, maka:
4π r – 2
32
r= 0 …. Kedua ruas dikali r2
4 πr3 – 32 = 0
4πr3 = 32
r3 = π8
r = 3
3 8
π=
3
2
π………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
228
SOAL PENYELESAIAN 21. UAN 2003
Diketahui kurva dengan persamaan y = x3 + 2ax2 + b. garis y = –9x – 2 menyinggung kurva di titik dengan absis 1. nilai a = … a. –3
b. –31
c. 31
d. 3 e. 8
Jawab : a
• y = f(x) = x3 + 2ax2 + b f’(x) = 3x2 + 4ax, ……absis x = 1, maka
m = f’(1) = 3(1)2 + 4a(1) = 3 + 4a
• y = –9x – 2 merupakan garis singgung kurva dengan titik singgung di absis x = 1, maka:
m = f’(1) –9 = 3 + 4a 4a = – 12 a = –3 …………………………………(a)
22. EBTANAS 2002 Garis singgung yang menyinggung lengkungan y = x3 – 2x + 1 di titik (1, 0), akan memotong garis x = 3 di titik … a. (3,3) b. (3,2) c. (3,1) d. (3, –1) e. (3, –2)
Jawab : b
• Titik singgung (1, 0) …….…………….(a,b) • m = f’(a) ………………………..…gradien
f(x) = x3 – 2x + 1 f’(x) = 3x2 – 2 f’(1) = 3(1)2 – 2
= 3 – 2 = 1………. ……………….. m • y – b = m (x – a) ………………persamaan
y – 0 = 1(x – 1) y = x – 1
• titik potong garis di x = 3 y = f(x) = x – 1 = f(3) = 3 – 1 = 2 jadi, titik potongnya di (3,2) …………… (b)
23. EBTANAS 2002 Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = x3 – 3x + 4 berturut–turut adalah … a. (–1,6) b. (1,2) c. (1,0) d. (–1,0) e. (2,6)
Jawab : a
• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 – 3x + 4 f’(x) = 3x2 – 3
0 = 3x2 – 3 0 = x2 – 1 0 = (x + 1)(x – 1) x = {– 1, 1}
• Nilai fungsi pada saat stasioner x = {– 1, 1}
f(x) = x3 – 3x + 4 f(–1) = (–1)3 – 3(–1) + 4
= –1 + 3 + 4 = 6 ………maksimum …………...titik (–1,6) ………..………….(a)
f(1) = (1)3 – 3(1) + 4 = 1 – 3 + 4 = 2 ………minimum
…………...titik (1,2)
SIAP UN IPA 2014 Turunan (Derivatif)
229
SOAL PENYELESAIAN 24. EBTANAS 2002
Nilai maksimum dari fungsi
f(x) = 9x2xx 2233
31 ++− pada interval
0 ≤ x ≤ 3 adalah …
a. 932
b. 965
c. 10
d. 10 21
e. 1032
Jawab : e
• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0
f(x) = 9x2xx 2233
31 ++−
f’(x) = x2 – 3x + 2 0 = x2 – 3x + 2 0 = (x – 1)(x – 2)
x = {1, 2} • Nilai fungsi pada saat stasioner x ={1, 2}dan
di ujung interval x = {0, 3}
f(x) = 9x2xx 2233
31 ++−
f(0) = 31 (0) 3 – 2
3 (0) 2 + 2(0) + 9 = 9
f(1) = 31 (1)3 – 2
3 (1) 2 + 2(1) + 9 = 1032
f(2) = 31 (2) 3 – 2
3 (2) 2 + 2(2) + 9 = 932
f(3) =31 (3) 3 – 2
3 (3) 2 + 2(3) + 9 = –721
Jadi, nilai maksimumnya = 1032 ………….(e)
25. EBTANAS 2002
Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut–turut adalah … a. (–2,4) dan (0,3) b. (0,3) dan (–2,4) c. (–2,6) dan (0,5) d. (0,4) dan (–2,8) e. (–2,8) dan (0,4)
Jawab : e
• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 + 3x2 + 4 f’(x) = 3x2 + 6x
0 = 3x(x + 2) x = {0, – 2}
• Nilai fungsi pada saat stasioner x = {0, – 2}
f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(0) = (0)3 + 3(0)2 + 4 = 4 ………minimum ………………….titik (0,4) f(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 4
= –8 + 12 + 4 = 8 ………maksimum ……………….titik (–2,8) …………………………………………….(e)
15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)
PRINSIP PENGINTEGRALAN 1. pangkat naik 1 derajat 2. koefisien ÷ pangkat naik
A. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Sederhana
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c
3. ∫ xn dx = 11
1 ++
nn
x + c
4. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
2) Teknik Penyelesain Bentuk Integran
Jika bentuk integran : ∫ u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel x Teknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a. Metode substitusi
jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du
b. Metode Parsial dengan TANZALIN
Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Hasil dari ��3� − 2�√3� − 4��� = … A. 3�3� − 4��√3� − 4� + C
B. � �3� − 4��√3� − 4� + C
C. 3�3� − 2�√3� − 4� + C
D. � �3� − 2�√3� − 4� + C
E. − � �3� − 4��√3� − 4� + C
Jawab : D
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 2) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 4x) • misal u = 3x2 – 4x maka
dx
du= 6x – 4 = 2(3x – 2)
��3� − 2�√3� − 4���
⇔ ��3� − 2��3� − 4������ ⇔ 2
112
23
)43()23(2
)23(xx
x
x −×⋅−
−+ C
⇔ xxxx 43)43( 2231 −− + C…………………..(D)
SIAP UN IPA 2014 Integral
231
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Hasil dari ��3� + 1�√3� + 2� − 4�� = …
A. �3� + 2� − 4��� + C
B. � �3� + 2� − 4��� + C
C. � �3� + 2� − 4��� + C
D. �3� + 2� − 4��� + C
E. � �3� + 2� − 4��� + C
Jawab : B
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x + 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 2x – 4) • misal u = 3x2 + 2x – 4 maka
dx
du= 6x + 2 = 2(3x + 1)
��3� + 1�√3� + 2� − 4��
⇔ dxxxx 21
)423)(13( 2 −++∫
⇔ 2112
23
)423()13(2
)13( −+×⋅+
+xx
x
x+ C
⇔ 423)423( 2231 −+−+ xxxx + C……..…..(B)
3. UN 2013 Hasil dari
��2� − 1�√� − � + 5�� = …
A. �� − � + 5�√� − � + 5 + C
B. � �� − � + 5�√� − � + 5 + C
C. �� − � + 5�√� − � + 5 + C
D. � �� − � + 5�√� − � + 5 + C
E. 2�� − � + 5�√� − � + 5 + C
Jawab : B
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (2x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – x + 5) • misal u = x2 – x + 5 maka
dx
du= 2x – 1
��2� − 1�√� − � + 5��
⇔ dxxxx 21
)5)(12( 2 +−−∫
⇔ 2112
23
)5()12(
)12( +−×⋅−
−xx
x
x+ C
⇔ 5)5( 2232 +−+− xxxx + C…....…..…..(B)
4. UN 2013
Hasil dari �2��4� + 3����� = …
A. � � �4� + 3�√4� + 3 + C
B. � �4� + 3�√4� + 3 + C
C. � �4� + 3�√4� + 3 + C
D. � �4� + 3�√4� + 3 + C
E. � �4� + 3�√4� + 3 + C
Jawab : C
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x lebih rendah 1 tingkat dari (4x2 + 3) • misal u = 4x2 + 3 maka
dx
du= 8x
�2��4� + 3�����
⇔ dxxx 2112 )34(2∫ +
⇔ 2122
25
)34(8
2 +×⋅
xx
x+ C
⇔ 34)34( 222101 ++ xx + C…....…..…..(C)
SIAP UN IPA 2014 Integral
232
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Hasil dari ∫+
dxx
x
1
22
= …
A. 13
1 2 +x + C
B. 12
1 2 +x + C
C. 12 2 +x + C
D. 13 2 +x + C
E. 16 2 +x + C Jawab : C
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x lebih rendah 1 tingkat dari (x2 + 1) • misal u = x2 + 1 maka
dx
du= 2x
∫+
dxx
x
1
22
⇔ dxxx 21
)1(2 2 −
∫ +
⇔ 21
)1(2
2 2
21
+×⋅
xx
x+ C
⇔ 12 2 +x + C …....…..…..(C)
6. UN 2013
Hasil dari ∫−
−dx
xx
x
2
)1(2
= …
A. xx 22
1 2 − + C
B. xx 22 − + C
C. xx 22 2 − + C
D. xxx 22 2 − + C
E. xxx 24 2 − + C Jawab : B
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 2x) • misal u = x2 – 2x maka
dx
du= 2x – 2 = 2(x – 1)
∫−
−dx
xx
x
2
)1(2
⇔ dxxxx 21
)2)(1( 2 −−−∫
⇔ 21
)2()1(2
)1( 2
21
xxx
x −×⋅−
−+ C
⇔ xx 22 − + C …................…..…..(B)
7. UN 2013
Hasil dari ∫+−
−dx
xx
x
562
)32(2
= …
A. 5622
1 2 +− xx + C
B. 562 2 +− xx + C
C. 5623
2 2 +− xx + C
D. 5622 2 +− xx + C
E. 562
12 +− xx
+ C
Jawab : B
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (2x – 3) lebih rendah 1 tingkat dari (2x2 – 6x + 5) • misal u = 2x2 – 6x + 5 maka
dx
du= 4x – 6 = 2(2x – 3)
∫+−
−dx
xx
x
562
)32(2
⇔ dxxxx 21
)562)(32( 2 −+−−∫
⇔ 21
)562()32(2
)32( 2
21
+−×⋅−
−xx
x
x+ C
⇔ 562 2 +− xx + C …................…..…..(B)
SIAP UN IPA 2014 Integral
233
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Hasil dari ∫+−
−dx
xx
x
54
842
= …
A. 544 2 +− xx + C
B. 542 2 +− xx + C
C. 542
3 2 +− xx + C
D. 542
3 2 +−− xx + C
E. 544 2 +−− xx + C Jawab : A
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (4x – 8) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 4x + 5) • misal u = x2 – 4x + 5 maka
dx
du= 2x – 4
∫+−
−dx
xx
x
54
842
⇔ dxxxx 21
)54)(42(2 2 −+−−∫
⇔ 21
)54()42(
)42(2 2
21
+−×⋅−
−xx
x
x+ C
⇔ 544 2 +− xx + C …................…..…..(A)
9. UN 2012/A13
Hasil dari ∫ +−−
72 )723(
13
xx
xdx =…..
A. Cxx
++− 72 )723(3
1
B. Cxx
++− 62 )723(4
1
C. Cxx
++− 62 )723(6
1
D. Cxx
++−
−62 )723(12
1
E. Cxx
++−
−72 )723(12
1
Jawab : D
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 2x + 7)
• misal u = 3x2 – 2x + 7 maka
dx
du= 6x – 2 = 2(3x – 1)
∫ +−−
723
132 xx
xdx
⇔ ∫ (3x – 1) (3x2 – 2x + 7)– 7 dx........ (–7 + 1 = –6)
⇔ 62 )723()6()13(2
)13( −+−×−⋅−
−xx
x
x + C
⇔ 12
)723( 62
−+− −xx
+ C
⇔ Cxx
++−
−62 )723(12
1 …………………..(D)
10. UN 2012/B25
Hasil dari ∫−
dxx
x
7 53
2
)52(
2 = ...
A. 7 3373 )52( −x + C
B. 6 7376 )52( −x + C
C. 7 6376 )52( −x + C
D. 7 2367 )52( −x + C
E. 2 7367 )52( −x + C
Jawab : E
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 2x2 lebih rendah 1 tingkat dari (2x3 – 5)
• misal u = 2x3 – 5 maka
dx
du= 6x2 = 3(2x2)
∫−
dxx
x
7 53
2
)52(
2
⇔ ∫−
−⋅ dxxx 7
532 )52(2 ..................
=+−7
21
7
5
⇔ 7
23
722
2
)52()2(3
2 −×⋅
xx
x+ C
⇔ 2 7367 )52( −x + C ………………………….(E)
SIAP UN IPA 2014 Integral
234
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/D49
Hasil dari ∫ + 133 2xx dx = …
A. 13)13(3
2 22 ++− xx + C
B. 13)13(2
1 22 ++− xx + C
C. 13)13(3
1 22 ++ xx + C
D. 13)13(2
1 22 ++ xx + C
E. 13)13(3
2 22 ++ xx + C
Jawab : C
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 3x lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 1)
• misal u = 3x2 + 1 maka
dx
du= 6x = 2(3x)
∫ + 133 2xx dx
⇔ ∫ + 2
12 )13(3 xx dx ..................
==+2
3
2
111
2
1
⇔ 2
11
2
23
)13()3(2
3 +×⋅
xx
x + C
⇔ 13)13(3
1 22 ++ xx + C …………………….(C)
12. UN 2012/E52
∫(4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx
A. 10
1 (4x2 + 6x – 9)10 + C
B. 15
1(2x – 3 )10 + C
C. 20
1 (2x – 3)10 + C
D. 20
1(4 x2 + 6x – 9)10 + C
E. 30
1(4 x2 + 6x – 9)10 + C
Jawab : D
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (4x + 3) lebih rendah 1 tingkat dari (4x2 + 6x – 9) • misal u = 4x2 + 6x – 9 maka
dx
du= 8x + 6 = 2(4x + 3)
⇔ ∫(4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx
⇔ 102 )964(10)34(2
)34( −+×⋅+
+xx
x
x + C
⇔ 20
1(4 x2 + 6x – 9)10 + C .......................…….(D)
13. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫−+
+dx
xx
x
193
32
2 = …
a. cxx +−+ 1932 2
b. cxx +−+ 193 231
c. cxx +−+ 193 232
d. cxx +−+ 193 221
e. cxx +−+ 193 223
Jawab : c
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (2x + 3) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 9x – 1) • misal u = 3x2 + 9x – 1 maka
dx
du= 6x + 9 = 3(2x + 3)
∫−+
+dx
xx
x
193
32
2
⇔ ∫−
−++ dxxxx 21
)193)(32( 2 ……
=+−2
11
2
1
⇔ 21
)193()32(3
)32( 2
21
−+×⋅+
+xx
x
x+ C
⇔ cxx +−+ 193 232 ………………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
235
SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2011 PAKET 46
Hasil dxxx∫ + 536 2 = …
a. cxx +++ 56)56( 2232
b. cxx +++ 53)53( 2232
c. cxx +++ 5)5( 2232
d. cxx +++ 5)5( 2223
e. cxx +++ 53)53( 2223
Jawab : b
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 6x lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 + 5) • misal u = 3x2 + 5 maka
dx
du= 6x
dxxx∫ + 536 2
⇔ dxxx∫ + 21
)53(6 2 ..................
==+2
3
2
111
2
1
⇔ 2112
23
)53(6
6 +×⋅
xx
x+ C
⇔ cxx +++ 53)53( 2232 ……………………(b)
15. UN 2009 PAKET A/B
Hasil dxx
x∫
+ 42
33
2
= …
a. 424 3 +x + C
b. 422 3 +x + C
c. 42 3 +x + C
d. 42 321 +x + C
e. 42 341 +x + C
Jawab : c
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: 3x2 lebih rendah 1 tingkat dari (2x3 + 4) • misal u = 2x3 + 4 maka
dx
du= 6x2 = 2(3x2)
dxx
x∫
+ 42
33
2
⇔ dxxx∫−
+ 21
)42(3 32 ……...............
=+−2
11
2
1
⇔ cxx
x ++×⋅
21
)42()3(2
3 3
212
2
⇔ cx ++ 42 3 ………………………………(c)
16. UN 2006 Hasil dari ∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
a. cxx ++−− −4281 )16(
b. cxx ++−− −4241 )16(
c. cxx ++−− −4221 )16(
d. cxx ++−− −2241 )16(
e. cxx ++−− −2221 )16(
Jawab : d
Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (x – 3) lebih rendah 1 tingkat dari (x2 – 6x + 1) • misal u = x2 – 6x + 1 maka
dx
du= 2x – 6 = 2(x – 3)
∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx …....…. (–3 + 1 = –2)
⇔ cxxx
x ++−−−
− −22 )16()2)(3(2
)3(
⇔ cxx ++−− −22 )16(4
1……………..(d)
SIAP UN IPA 2014 Integral
236
SOAL PENYELESAIAN 17. UAN 2003
Hasil dx1xx∫ + = …
a. c1x)1x(1x)1x( 232
52 +++−++
b. c1x)2xx3( 2152 ++−+
c. c1x)4xx3( 2152 ++++
d. c1x)2xx3( 2152 ++−−
e. c1x)2xx( 252 ++−+
Jawab : b
Selesaikan dengan metode parsial karena x dx dan (x + 1) tidak memiliki hubungan
dx1xx∫ + = dxxx∫ + 21
)1(
U dv
x ( )21
1+x
1 211
)1(3
2 +x
0 212
)1(5
2
3
2 +× x
Turunkan sampai nol integralkan
Jadi:
dxxx∫ +1
⇔ cxxxxx +++−++ 1)1(1)1( 2154
32
⇔ cxxxx +++−+ 1})1(2)1(5{ 1522
⇔ cxxxxx ++++−+ 1)}12(255{ 15222
⇔ cxxxxx ++−−−+ 1)24255( 15222
⇔ cxxx ++−+ 1)23( 2152 …………….……(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
237
B. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Sederhana
1. ∫ sin ax dx = – a1 cos ax + c
2. ∫ cos ax dx = a1 sin ax + c
3. ∫ sec2 ax dx = a1 tan ax + c
Catatan
Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 2sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B)
b. –2sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B)
c. Sin2A + cos2A = 1
d. sin2A = }2cos1{21 A−
e. cos2A = }2cos1{21 A+
f. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12
Hasil dari ∫cos4 2x sin 2x dx = …
a. cx +− 2sin5101
b. cx +− 2cos5101
c. cx +− 2cos551
d. cx +2cos551
e. cx +2sin5101
Jawab : b
Karena sin 2x dx dan cos 2x memiliki hubungan, yaitu
)2(cos
2sin
xd
xdx=
dxx
dxx
2sin2
2sin
−= – 2
1 , maka :
∫cos4 2x sin 2x dx
⇔ – 21 ∫(cos 2x) 4 )2(cos xd
⇔ – 21 · 5
51 )2(cos x + c
⇔ cx +− 2cos5101 …………………………….(b)
2. UN 2011 PAKET 46 Hasil ∫sin3 3x cos 3x dx = …
a. cx +3sin441
b. cx +3sin443
c. cx +3sin4 4
d. cx +3sin431
e. cx +3sin4121
Jawab : e
Karena cos 3x dx dan sin 3x memiliki hubungan, yaitu
)3(sin
3cos
xd
xdx=
xdx
xdx
3cos3
3cos=
31 , maka :
∫sin3 3x cos 3x dx
⇔ 31 ∫sin3 3x d(sin 3x)
⇔ 31 · 4
41 )3(sin x + c
⇔ cx +3sin4121 ……………………………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Integral
238
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2010 PAKET A
Hasil ∫ (sin2 x – cos2 x) dx adalah …
a. 21 cos 2x + C
b. –2 cos 2x + C c. – 2 sin 2x + C
d. 21 sin 2x + C
e. –21 sin 2x + C
Jawab : c
∫ (sin2 x – cos2 x) dx ………identitas 1.c. dan 1.d.
⇔ ∫ { 21 (1 – cos 2x) – 2
1 (1 + cos 2x)}dx
⇔ ∫ 21 (1 – cos 2x – 1 – cos 2x) dx
⇔ ∫ 21 ( –2 cos 2x ) dx
⇔ ∫ – cos 2x dx ……………………rumus A.5
⇔ – 21 sin 2x + C ………………………………...(e)
4. UN 2010 PAKET B Hasil dari ∫(3 – 6 sin2 x) dx = …
a. 23 sin2 2x + C
b. 23 cos2 2x + C
c. 43 sin 2x + C
d. 3 sin x cos x + C
e. 23 sin 2x cos 2x + C
Jawab : d
∫(3 – 6 sin2 x) dx ………………….identitas 1.c
⇔ ∫(3 – 6 ⋅ 21 (1 – cos 2x) dx
⇔ ∫(3 – 3 + 3 cos 2x) dx
⇔ ∫ 3 cos 2x dx ……………………..rumus A.5
⇔ 3 × 21 sin 2x + C
⇔ 23 sin 2x + C ……………………identitas 1.e
⇔ 23 (2sin x cos x) + C
⇔ 3 sin x cos x + C ………………………….…(d)
5. UN 2009 PAKET A/B Hasil ∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx = … a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C b. xx 2cos8cos4
1 −− + C
c. xx 2cos8cos41 + + C
d. xx 2cos8cos21 −− + C
e. xx 2cos8cos21 + + C
Jawab : b
∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx ……………….identitas 1.a
⇔ 2∫2sin 5x ⋅ cos 3x dx
⇔ 2∫{sin (5x + 3x) + sin (5x – 3x)}dx
⇔ 2∫(sin 8x + sin 2x)dx……………….rumus A.4
⇔ 2{ )8cos(81 x− + )2cos(2
1 x− } + c
⇔ x8cos41− – cos 2x + c ……………….……(b)
6. UN 2008 PAKET A/B Hasil dari ∫sin2 x cos x dx = …
a. 31 cos3 x + C d.
31 sin3 x + C
b. 31− cos3 x + C e. 3 sin3 x + C
c. 31− sin3 x + C Jawab : d
Karena cos x dx dan sin2 x memiliki hubungan, yaitu:
)(sin
cos
xd
xdx=
xdx
xdx
cos
cos= 1, maka
∫sin2 x cos x dx = ∫(sin x)2 d(sin x)
= 31 (sin x)3 + C ……….. rumus A.3
= 31 sin3 x + C …………………..(d)
SIAP UN IPA 2014 Integral
239
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2006
Hasil dari ∫(x2 – 3x + 1) sin x dx = … a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c b. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c c. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c d. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c e. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c
Jawab : a
Selesaikan dengan metode parsial karena sin x dx dan (x2 – 3x + 1) tidak memiliki hubungan
∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = U dv
x2 – 3x + 1 sin x
2x – 3 – cos x
2 – sin x
0 cos x Turunkan sampai nol integralkan
Jadi: ∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + (2x – 3) sin x + 2cos x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + 2cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1 + 2)cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x + 1)cos x + (2x – 3) sin x + c …….(a)
8. UN 2005
Hasil dari dxxcos)1x( 2∫ + = …
a. x2 sin x + 2x cos x + c b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c c. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c
Jawab : b
Selesaikan dengan metode parsial karena cos x dx dan (x2 + 1) tidak memiliki hubungan
U dv
x2 + 1 cos x
2x Sin x
2 – cos x
0 – sin x Turunkan sampai nol integralkan
Jadi: dxxx∫ + cos)1( 2
⇔ (x2 + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c ⇔ (x2 + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c ………….…….(b)
9. UN 2004
Hasil dari dxx2sinx2∫ = …
a. –21 x2 cos 2x –
21 x sin 2x +
41 cos 2x + c
b. –21 x2 cos 2x +
21 x sin 2x –
41 cos 2x + c
c. –21 x2 cos 2x +
21 x sin 2x +
41 cos 2x + c
d. 21 x2 cos 2x –
21 x sin 2x –
41 cos 2x + c
e. 21 x2 cos 2x –
21 x sin 2x +
41 cos 2x + c
Jawab : c
Selesaikan dengan metode parsial karena sin 2x dx dan x2 tidak memiliki hubungan
U dv
x2 Sin 2x
2x cos 2x
2 x2sin2
1
2
1 ×−
0 x2cos41
21 ⋅
Turunkan sampai nol integralkan
Jadi: dxx2sinx2∫
⇔ xxxxx 2cos2sin2cos41
212
21 ++− ..…….(c)
21−
SIAP UN IPA 2014 Integral
240
C. Penggunaan Integral Tak Tentu Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:
y = ∫ dxdxdy , dengan
dxdy adalah turunan pertama y
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2004 Gradien garis singgung suatu kurva adalah
m = dxdy
= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).
Persamaan kurva tersebut adalah … a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2 c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2 e. y = x2 + 3x – 1
Jawab : b
• dxdy
= 2x – 3
dy = (2x – 3)dx y = ∫ (2x – 3)dx
= cxx +− 3222
= cxx +− 32
• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (3, 2), maka f(3) = 2
f(x) = cxx +− 32 f(3) = (3)2 – 3(3) + c 2 = 9 – 9 + c c = 2
Jadi, y = f(x) = 232 +− xx …………………(b)
2. UAN 2003 Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknya y = f(x) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 0)
b. (0, 31 )
c. (0, 32 )
d. (0, 1) e. (0, 2) Jawab : c
• f’(x) = x2 + 1 f(x) = ∫ (x2 + 1)dx
= cxx ++331
• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2
f(x) = cxx ++331
f(1) = c++ )1()1( 331
2 = 311
c = 32
Jadi, y = f(x) = 323
31 ++ xx
• Titik potong kurva dengan sumbu Y Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0
y = 323
31 ++ xx
y = 323
31 )0()0( ++ =
32
jadi, titik potongnya di (0, 32 )…………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
241
D. Integral Tentu Fungsi Aljabar
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi
oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:
L = ∫ −==b
a
ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Hasil dari
� 3�� + 1��� − 6���� = …
A. –58 B. –56 C. –28 D. –16 E. –14 Jawab : A
� 3�� + 1��� − 6����
⇔ � 3�� − 5� − 6����
⇔ � �3� − 15� − 18����
⇔ �33�3 −152 �2 − 18��0
2
⇔ 23 − 152 �2�2 − 18�2�− 0
⇔ 8 – 30 – 36 = –58…………………………………(A)
2. UN 2012/A13
Nilai dari ∫ =+−2
1
2 ....)54( dxxx
A. 6
33
B. 6
44
C. 6
55
D. 6
65
E. 6
77
Jawab : D
∫ +−2
1
2 )54( dxxx = 2
1
23 52
1
3
4
+− xxx
maka
F(2) = )2(5)2(2
1)2(
3
4 23 +− = 63
32 + = 3
50=
6
100
F(1) = )1(5)1(2
1)1(
3
4 23 +− = 2
9
3
4 + = 6
35
= 6
65
………………………………………………….(D)
SIAP UN IPA 2014 Integral
242
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2012/B25
Nilai dari ∫ −+3
1
2 )342( dxxx = ...
A. 2731
B. 2721
C. 3731
D. 3721
E. 5131
Jawab : A
∫ −+3
1
2 )342( dxxx = 3
1
23 323
2
−+ xxx
maka
F(3) = )3(3)3(2)3(3
2 23 −+ = 27
F(1) = )1(3)1(2)1(3
2 23 −+ = 3
1−
= 2731 …………….(A)
4. UN 2012/D49
Nilai ∫ +−4
1
2 )22( xx dx = ….
A.12 B.14 C.16 D.18 E.20 Jawab : A
∫ +−4
1
2 )22( xx = 4
1
23 23
1
+− xxx
maka
F(4) = )4(24)4(3
1 23 +− = 83
64 −
F(1) = )1(21)1(3
1 23 +− = 13
1 +
= 21 – 9 = 12 ..... …………….(A)
5. UN 2012/E52
Nilai ∫ +−2
0
2 )733( xx dx =….
A. 6 B. 10 C. 13 D. 16 E. 22
Jawab : D
∫ +−2
0
2 )733( xx = 2
0
23 72
3
+− xxx
maka
F(2) = )2(7)2(2
3)2( 23 +− = 16
F(0) = )0(7)0(2
3)0( 23 +− = 0
= 16 .............……….(D)
6. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫ −+−4
2
2 )86( dxxx = …
a. 338
b. 326
c. 320
d. 3
16
e. 34
Jawab : e
∫ −+−4
2
2 )86( dxxx
⇔ 4
2
2263
31 8xxx −+− =
4
2
2331 83 xxx −+−
maka
F(4) = )4(8)4(3)4( 2331 −+− =
364− + 16
F(2) = )2(8)2(3)2( 2331 −+− =
38− – 4
= 356− + 20
= 3
6056+−
= 34 …………….…(e)
SIAP UN IPA 2014 Integral
243
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2011 PAKET 46
Hasil ∫ +3
1612 )( dxx = …
a. 931
b. 9 c. 8
d. 3
10
e. 3 Jawab : b
∫ +3
1612 )( dxx
⇔ 3
1613
31 xx +
maka
F(3) = )3()3(613
31 + = 9 +
63 =
657
F(1) = )1()1(613
31 + =
31 +
61 =
63
= 654
= 9 ……………..(b)
8. UN 2010 PAKET A
Hasil dari dxx
x∫
−2
12
2 1 = …
a. 59
b. 69
c. 611
d. 6
17
e. 6
19
Jawab : c
dxx
x∫
−2
12
2 1 = ( )dxxx∫
−−2
1
22
= 2
1
11
1331 )( −
−− xx
= 2
1
1331
xx +
= ( ) ( )113
31
213
31 12 +⋅−+⋅
= 131
21
38 −−+
= 66
62
63
616 −−+ =
611 ……………(c)
9. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫ −+2
0
)6)(1(3 dxxx = …
a. –58 b. –56 c. –28 d. –16 e. –14
Jawab : a
∫ −+2
0
)6)(1(3 dxxx = ∫ −−2
0
2 )65(3 dxxx
= ∫ −−2
0
2 )18153( dxxx
= 2
0
22
15333 18xxx −−
= 0)21822( 22
153 −⋅−⋅−
= 8 – 30 – 36 = –58 ……………………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Integral
244
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2009 PAKET A/B
Nilai a yang memenuhi persamaan
∫ +1
22 )1(12a
dxxx = 14 adalah …
a. –2 b. –1 c. 0
d. 21
e. 1
Jawab : c
Selesaikan dahulu ∫ 12x (x2 + 1)2 dx dengan metode substitusi
∫ 12x (x2 + 1)2 dx ⇔ ∫ (x2 + 1)2 12x dx
⇔ ∫ (x2 + 1)2 duxd
dxx
)1(
122+
⇔ ∫ u2 duxx
212 = ∫ 6 u2 du = 3
36 u = 2(x2 + 1)3
maka :
∫ +1
22 )1(12a
dxxx = 14
⇔ 132 )1(2a
x + = 14
⇔ 132 )1(a
x + = 7
⇔ 3232 )1()11( +−+ a = 7
⇔ 32 )1(8 +− a = 7
⇔ 32 )1( +a = 1
⇔ a2 + 1 = 1 ⇔ a = 0 …………………(c)
11. UN 2008 PAKET A/B
Hasil dari ∫−
+0
1
532 )2( dxxx = …
a. 385
b. 375
c. 1863
d. 1858
e. 1831
Jawab : e
Selesaikan dahulu ∫ x2(x3 + 2)5 dx dengan metode
substitusi
∫ x2(x3 + 2)5 dx
⇔ 632
2
)2(63
+×⋅
xx
x =
18
)2( 63 +x
maka :
∫−
+0
1
532 )2( dxxx = 0
1
63181 )2(
−+x
= 181 (03 + 2)6 –
181 ((–1)3 + 2)6
= 181 {26 – 1} =
1831 …………..(e)
SIAP UN IPA 2014 Integral
245
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2007 PAKET A
Diketahui ∫ +p
132 dx)x(x3 = 78.
Nilai (–2p) = … a. 8 b. 4 c. 0 d. –4 e. –8 Jawab : e
∫ +p
dxxx1
32)(3 = 78
⇔ ∫ +p
dxxx1
2 )23( = 78
⇔ p
xx1
23 + = 78
⇔ }11{}{ 2323 +−+ pp = 78
⇔ 223 −+ pp = 78
⇔ 223 −+ pp = 78
⇔ 8023 −+ pp = 0
f(x) = 8023 −+ pp untuk selanjutnya gunakan cek poin a. –2p = 8 ⇒ p = – 4 . . . e. –2p = –8 ⇒ p = 4 nilai–nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).
a. f(– 4) = 8023 −+ pp = –64 + 16 – 80 ≠ 0 . . .
e. f(4) = 8023 −+ pp = 64 + 16 – 80 = 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(e)
13. UN 2007 PAKET B
Diketahui ∫ −+p
1
2 dt)2t6t3( = 14.
Nilai (–4p) = … a. –6 b. –8 c. –16 d. –24 e. –32 Jawab : b
∫ −+p
dttt1
2 )263( = 14
⇔ p
ttt1
23 23 −+ = 14
⇔ }12131{23 2323 ⋅−⋅+−−+ ppp = 14
⇔ 223 23 −−+ ppp = 14
⇔ 1623 23 −−+ ppp = 0
f(x) = 1623 23 −−+ ppp untuk selanjutnya gunakan cek poin
a. –4p = –6 ⇒ p = 23
b. –4p = –8 ⇒ p = 2 c. –4p = –16 ⇒ p = 4 nilai–nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).
a. f( 23 ) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0
b. f(2) = 1623 23 −−+ ppp = 8 + 12 – 4–16 = 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
246
SOAL PENYELESAIAN 14. EBTANAS 2002
Hasil dari ∫ −−
1
1
2 dx)6x(x = …
a. –4
b. 21−
c. 0
d. 21
e. 214
Jawab : a
∫ −−
1
1
2 dx)6x(x
⇔ ∫−
−1
1
23 )6( dxxx
⇔ 1
1
3441 2
−− xx
⇔ })1(2)1({)1(2)1( 344134
41 −−−−−
⇔ 22 41
41 −−− = – 4 …………………….(a)
15. EBTANAS 2002
∫ +a
22
dx)1x
4( =
a
1. Nilai a2 = …
a. –5 b. –3 c. 1 d. 3 e. 5 Jawab : e
∫ +a
dxx2
2)1
4( =
a
1
⇔ ∫ +−a
dxx2
2 )14( = a
1
⇔ a
xx2
14 +− − = a
1
⇔ a
xx 2
4 +− =
a
1
⇔ }22
4{}
4{ +−−+−
aa
= a
1
⇔ }0{42
−−a
a =
a
1
⇔ a2 – 4 = 1 ⇔ a2 = 5 ……………………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Integral
247
E. Integral Tentu Fungsi Trigonometri SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Nilai dari � �� 2���!
� = …
A. − �
B. −
C. 0
D. 1
E. 2
Jawab : C
� �� 2���!� = �−
"#�2���!
= − "#�2π− �−
"#�2�0�� = −
�1� − $− �1�%
= − +
= 0 ………………………….(C)
2. UN 2013
Nilai dari � ��� 5� + �� ����&�� =
…
A. − �'
B. − '
C. 0
D. '
E. �'
Jawab : E
� ��� 5� + �� ����&�� = �−
' "#�5� − "#����&�
• ( )!�* = − ' cos 5 )
!�* − cos !�
= − ' )
* −
= −
�−' � = − �
� = − �'
• (�0� = − ' "#�5�0� − "#�0
= − ' �1� − 1 = −
' −'' = − �
'
∴ ( )!�* − (�0�= − �' − )− �
'* = �' ………………( E)
3. UN 2013
Nilai dari � ��� 5� − �� ����&�� =
…
A. − �'
B. − '
C. −
D. 1
E. �'
Jawab : A
� ��� 5� − �� ����&�� = �−
' "#�5� + "#����&�
• ( )!* = − ' cos 5 )
!* + cos ! = 0 + 0 = 0
• (�0� = − ' "#�5�0� + "#�0
= − ' �1� + 1 =−
' +'' =
�'
∴( )!* − (�0�= 0 – �' = –
�' …………………….(A)
SIAP UN IPA 2014 Integral
248
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Nilai � "#����&/� = …
A. !� +
�
B. !� +
C. !� −
�
D. !� +
√
E. !� −
√
Jawab : A
� "#����&/� = �
�1 + "#�2����&/�
= �12� +12×
12 �� 2��0
14
• ( )!�* = )!�* +
� �� 2 )
!�*
= !� +
� �1� =
!� +
�
• (�0� = �0� + � �� 2�0� = 0 + 0 = 0
∴( )!�* − (�0�= !� +
� − 0 =
!� +
� ……………...(A)
5. UN 2013
Nilai � "#����&�� = …
A. π
B. �!
C. !
D. �!�
E. !�
Jawab : E
� "#����&�� = �
�1 + "#�2����&��
= �12� +12×
12 �� 2��0
12
• ( )!* = )!* +
� �� 2 )
!* =
!� + 0=
!�
• (�0� = �0� + � �� 2�0� = 0 + 0 = 0
∴( )!�* − (�0�= !� − 0 =
!� ………………….(E)
6. UN 2013
Nilai dari � ��� 2"#�2��2&�� = …
A. 2
B. 1
C. 1
D.
E. �
Jawab : E
� ��� 2"#�2��2&�� = � ��� 2����� 2�
&�� = �13 �� 32�0
12
• ( )!* = � ��� !�� =
� �1�� =
�
• (�0� = � ��� 0�� = 0
∴( )!* − (�0�= � – 0 =
� …………………….(E)
SIAP UN IPA 2014 Integral
249
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Nilai dari � �2�� �"#�����&�� = …
A. �
B. √�
C. 1
D. 1 + √3
E. √3 − 1
Jawab : A
� �2�� �"#�����&�� = � 2��� ������ ��
&��
= �23 �� 3��012
• ( )!* = � ��� !�� =
� �1�� =
�
• (�0� = � ��� 0�� = 0
∴( )!* − (�0�= � – 0 =
�……………………..(A)
8. UN 2013
Nilai dari � �� ����&�� = …
A. − �
B. −
C. 0
D. �
E. �
Jawab : E
� �� ����&�� = � ��� ��� ����
&��
= � �1 − "#����� ���&��
= � �� ��� −&�� � "#���� ���
&��
= � �� ��� −&�� � �cos ��3−��"#���4
&��
= �−"#�� + 13 "#�3��0
12
• ( )!* = −"#� ! + � )"#�
!*
� = 0 + 0 = 0
• (�0� = −"#�0 + � �"#�0�� = –1 +
� = −
�
∴( )!* − (�0�= 0 − �− �� – 0 =
� ……………(E)
9. UN 2012/B25
Nilai dari ∫ +π
31
0
)cos32(sin dxxx = ...
A. 3243 +
B. 3343 +
C. )321(41 +
D. )321(42 +
E. )321(43 +
Jawab : E
∫ +π
31
0
)cos32(sin dxxx = π
3
1
0
sin32cos2
1
+− xx
maka
F( π31 ) = )sin(3)(2cos
2
131
31 ππ +−
= 32
13)
2
1(
2
1 ⋅+−⋅− = 32
3
4
1 +
F(0) = )0sin(3)0(2cos2
1 +− = 2
1−
= 32
3
4
3 +
= )321(43 + ...........(E)
SIAP UN IPA 2014 Integral
250
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2012/C37
Nilai dari ( )∫ −π
21
0
cos32sin2 xx dx =
…. A. – 5 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 Jawab : B
( )∫ −π
21
0
cos32sin2 xx dx = [ ] π21
022 sin32cos xx −−
F( π21 ) = – cos 2( π2
1 ) – 3 sin ( π21 ) = –(–1) – 3(1) = –2
F(0) = – cos 2(0) – 3 sin (0) = –(1) – 3(0) = –1 _ = –1
…………………………………………(B)
11. UN 2012/D49
Nilai dari ( )∫ −π
21
0
cos2sin3 xx dx =
…. A. – 2 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 Jawab : E
( )∫ −π
21
0
cos2sin3 xx dx = [ ] π21
023 sin2cos xx −−
F( π21 ) = – 2
3 cos 2( π21 ) – sin ( π2
1 ) = –23 (–1) – 1 =
21
F(0) = – 23 cos 2(0) – sin (0) = –2
3 (1) – 0 = –23
= 2 ……………………….……………………………(E)
12. UN 2012/E52
Nilai ∫ −2
0
)2sin(
π
πx dx =…
A. –2 D. 2 B. –1 E. 4 C. 0 Jawab : C
∫ −2
0
)2sin(
π
πx = [ ] 202
1 )2cos(π
π−− x
= ))02cos(()2cos(21
221 πππ −⋅−−−⋅−
= – 21 ⋅(1) +
21
= 0 …………………………………..(C) 13. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫ +π
0
)cos3(sin dxxx = …
A. 3
10 D. 32
B. 38 E.
31
C. 34 Jawab : D
∫ +π
0
)cos3(sin dxxx
⇔ π
031 sin3cos xx +−
Maka:
F(π) = ππ sin3cos31 +− = 0)1(
31 +−−
F(0) = 0sin0cos31 +− = 0)1(
31 +−
= 32 …………….…………(D)
14. UN 2011 PAKET 46
Hasil ∫ −2
0
)2cossin2(
π
dxxx = …
a. 25−
b. 23
c. 1 d. 2
e. 25
Jawab : d
∫ −2
0
)2cossin2(
π
dxxx
⇔ 2
021 2sincos2
πxx −−
Maka:
F(2π ) = )(2sincos2
221
2ππ −− = )0()0(2
21−− = 0
F(0) = 0sin0cos221−− = )0()1(2
21−− = – 2
= 2 ………………..………(d)
SIAP UN IPA 2014 Integral
251
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET A
Nilai dari ∫ +6
0
)3cos3(sin
π
dxxx =
…
a. 32
b. 31
c. 0
d. –31
e. –32
Jawab : a
∫ +6
0
)3cos3(sin
π
dxxx
⇔ o
xx30
031
31 3sin3cos +−
⇔ )0sin0cos(90sin90cos 31
31
31
31 oooo +−−+−
⇔ )01(1031
31
31
31 ⋅+⋅−−⋅+⋅−
⇔ 31
31 + =
32 ……………………………………(a)
16. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫ −π
ππ
32
21
)3cos( dxx = …
a. –1
b. –31
c. 0
d. 31
e. 1 Jawab : b
∫ −π
ππ
32
21
)3cos( dxx
⇔ π
ππ 3
2
21)3sin(
31 −x
⇔ )3sin()3sin(21
31
32
31 ππππ −⋅−−⋅
⇔ ππ21
31
31 sinsin −
⇔ 1031
31 ⋅−⋅ = –
31 ……………………….(b)
17. UN 2004
Nilai dari
∫ π−π−π
π
2
3
dx)x3sin()x3cos( =
a. –61
b. –121
c. 0
d. 121
e. 61
Jawab : e
∫ −−2
3
)3sin()3cos(
π
π
ππ dxxx
⇔ ∫ −−2
3
)3sin()3cos(221
π
π
ππ dxxx
⇔ ∫ −2
3
)3(2sin21
π
π
π dxx
⇔ ∫ −2
3
)26sin(21
π
π
π dxx
⇔ 2
361
21 )26cos()(
π
ππ−− x
⇔ )}22cos({)}23cos({121
121 ππππ −−−−−
⇔ 0coscos121
121 +− π
⇔ )1()1( 121
121 +−− = 12
2 = 61 …………………(e)
SIAP UN IPA 2014 Integral
252
SOAL PENYELESAIAN 18. UAN 2003
∫π
0dxxcosx = …
a. –2 b. –1 c. 0 d. 1 e. 2
Jawab : a
Selesaikan dengan metode parsial karena “x bukan turunan dari cos x”
∫π
0
cos dxxx
U dv
x cos x
1 sin x
0 – cos x
Turunkan sampai nol integralkan
Jadi: ∫π
0
cos dxxx
⇔ π0
cossin xxx +
⇔ }0cos0sin0{}cossin{ +⋅−+ πππ
⇔ }10{}10{ +−−⋅π = – 2………………….….(a)
19. UAN 2003
∫
π4
0dxxsinx5sin = …
a. –21
b. –61
c. 121
d. 81
e. 125
Jawab : c
∫
π4
0dxxsinx5sin
⇔ ∫ −−4
021 )4cos6(cos
π
dxxx
⇔ 404
161
21 )4sin6sin(
πxx −−
⇔ }0sin0sin{4sin6sin 81
121
481
4121 +−−⋅+⋅− ππ
⇔ }0{0)1(81
121 −⋅+−⋅− =
121 ……………….(c)
20. EBTANAS 2002
∫ ++π
ππ6
033
dx)xcos()xsin( = …
a. –41
b. –81
c. 81
d. 41
e. 83
Jawab c
∫ ++6
033 )cos()sin(
π
ππ dxxx
⇔ ∫ +6
03
221 )2sin(
π
π dxx
⇔ 603
221
21 )2cos(
ππ+⋅− x
⇔ { })02cos()cos( 32
32
62
41 πππ +⋅−+−
⇔ { })cos(cos 32
41 ππ −−
⇔ { })(1 21
41 −−−−
⇔ )( 21
41 −×− =
81 …………………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
253
SOAL PENYELESAIAN 21. EBTANAS 2002
∫ ππ1
0
22 dxxcosxsin = …
a. 0
b. 81
c. 41
d. 81 π
e. 41 π
Jawab : b
xx ππ 22 cossin = 2)cos(sin xx ππ ⋅ = 221 )}cossin2({ xx ππ ⋅
= 241 )2(sin xπ
= )}4cos1({ 21
41 xπ−
= )4cos1(81 xπ−
sehingga :
∫ ππ1
0
22 dxxcosxsin
⇔ ∫ −1
081 )4cos1( dxxπ
⇔ 1
041
81 )4sin( xx π−
⇔ }0sin0{)1(4sin)1(321
321
81 −−− π
⇔ 0081 −− =
81 ……………………………….(b)
22. EBTANAS 2002
∫π
π2
dxxsinx = …
a. π + 1 b. π – 1 c. – 1 d. π e. π + 1 Jawab : b
Selesaikan dengan metode parsial karena ”x bukan turunan dari sin x”
∫π
π2
dxxsinx
U dv
x Sin x
1 – cos x
0 – sin x
Turunkan sampai nol integralkan
Jadi: ∫π
π2
dxxsinx
⇔ ππ2
sincos xxx +−
⇔ }sincos{}sincos{ 222ππππππ +−−+−
⇔ }10{}0)1({ 2 +⋅−−+−− ππ = π – 1……………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
254
F. Penggunan Integral Tentu
a) Untuk Menghitung Luas Daerah
a. Luas daerah L pada gb. 1
L = ∫b
a
dxxf )( ,
untuk f(x) ≥ 0
b. Luas daerah L pada gb. 2
L = –∫b
a
dxxf )( , atau
L = ∫b
a
dxxf )( untuk f(x) ≤ 0
c. Luas daerah L pada gb. 3
L = ∫ −b
a
dxxgxf )}()({ ,
dengan f(x) ≥ g(x)
CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus:
L = 26a
DD, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � �� � − 5����
B. 5 = � �'� � + 5����
C. 5 = � �'� � − 5����
D. 5 = � −�'� � − 5����
E. 5 = � −�� � − 5����
Jawab : D
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x + 3 ……………….… grafik atas y2 = x2 – 4x + 3 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = –x2 + 5x = –x(x – 5) = 0 x = {0, 5}
Jadi, bb = 0 dan ba = 5 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ +−5
0
2 )5( dxxx
= ∫ −−5
0
2 )5( dxxx …………………….(D)
y = x2 – 4x + 3 y = x + 3 Y
X 0
SIAP UN IPA 2014 Integral
255
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Luas daerah yang diarsir pada gambar
berikut dapat dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � {�4� −� �� − �}��
B. 5 = � {�4 −� �� − �}��
C. 5 = � {� − �4� −� ��}��
D. 5 = � {� + �4� −� ��}��
E. 5 = � {�� − 4�� +� �}��
Jawab : A
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = 4x – x2 ………….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = 4x – 2x2 = 2x(2 – x) = 0 x = {0, 2}
Jadi, bb = 0 dan ba = 2 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −−2
0
22 })4{( dxxxx ……………….(A)
3. UN 2013 Luas daerah yang diarsir seperti tampak pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …
A5 = � ��−� + 2� + 3� − �� + 1��8 ��
B. 5 = � ��� + 1� − �−� + 2� + 3��8 ��
C. 5 = � ��−� + 2� + 3� − �� + 1�� 8 ��
D. 5 = � ��� + 1� − �−� + 2� + 3�� 8 ��
E. 5 = � ��−� + 2� + 3� + �� + 1��8 ��
Jawab : A
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = – x2 + 2x + 3……….… grafik atas y2 = x + 1 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = – x2 + x + 2 = –(x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2}
Jadi, bb = –1 dan ba = 2 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫−
+−++−2
1
2 )}1()32{( dxxxx …….(A)
X
Yy = x2
2
y = 4x - x2
2
X
Y
0
y = – x2 + 2x + 3
y = x + 1
SIAP UN IPA 2014 Integral
256
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat
dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � �� � − 5����
B. 5 = � �'� � + 5����
C. 5 = � �'� � − 5����
D. 5 = � −�'� � − 5����
E. 5 = � −�� � − 5����
Jawab : D
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x + 3 ……………….… grafik atas y2 = x2 – 4x + 3 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = –x2 + 5x = –x(x – 5) = 0 x = {0, 5}
Jadi, bb = 0 dan ba = 5 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ +−5
0
2 )5( dxxx
= ∫ −−5
0
2 )5( dxxx …………………….(D)
5. UN 2013 Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � �� − � + 6��8 ��
B. 5 = � �−� + � + 6��8 ��
C. 5 = � �� − � − 6��8 ��
D. 5 = � �� − � + 6�� ��
E. 5 = � �� − � − 6�� ��
Jawab : B
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x + 6………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = – x2 + x + 6 = –(x + 2)(x – 3) = 0 x = {–2, 3}
Jadi, bb = –2 dan ba = 3 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫−
++−3
2
2 )6( dxxx ……………….(B)
y = x2 – 4x + 3 y = x + 3 Y
X 0
0 6
6
y = x + 6
y = x2 Y
X
SIAP UN IPA 2014 Integral
257
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Luas daerah yang diarsir pada gambar dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � 3√� − �4� ��
B. 5 = � 3� − √�4� ��
C. 5 = � 3√� − �4 � ��
D. 5 = � 3� − √�4 � ��
E. 5 = � ��� − �� � ��
Jawab : C
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x ………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = x – x2 = 0 x = {0, 1}
Jadi, bb = 0 dan ba = 1 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −1
0
2 )( dxxx …………….…….(C)
7. UN 2013 Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …
A. 5 = � �� + 2 + ��8 ��
B. 5 = � �� − 2 − ��8 ��
C. 5 = � �� + 2 − ��8 ��
D. 5 = � �−� + 2 + �� ��
E. 5 = � �−� + 2 + �� 8 ��
Jawab : C
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x + 2 ………..….… grafik atas y2 = x2 _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = – x2 + x + 2 = –(x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2}
Jadi, bb = –1 dan ba = 2 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫−
++−2
1
2 )2( dxxx …………….…….(C)
y = x2
Y
X
0
y =
X
Y
y = x2
y = x + 2
0
SIAP UN IPA 2014 Integral
258
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Integral yang menyatakan Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …
A. −� 3√� − �4� ��
B. −� 3� − √�4� ��
C. −� 3√� + �4 � ��
D. � 3√� − �4 � ��
E. � 3√� − �4� ��
Jawab : D
• Titik potong 2 kurva (batas integral)
y1 = x ………..….… grafik atas y2 = x _ ………… grafik bawah
y1 – y2 = x – x = 0 x = {0, 1}
Jadi, bb = 0 dan ba = 1 • Luas L
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −1
0
)( dxxx …………….…….(D)
9. UN 2012/A13 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah…
A. 6
41 satuan luas
B. 3
19 satuan luas
C. 2
9 satuan luas
D. 3
8 satuan luas
E. 6
11 satuan luas
Jawab : C
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
y1 = x2 – 4x + 3 y2 = – x + 3 _
y1 – y2 = x2 – 3x D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(0) = 9 Maka :
L = 26a
DD =
2)1(6
99
= 2
33⋅
= 2
9…………………………(C)
y = x
X
Y
0
y =
SIAP UN IPA 2014 Integral
259
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2012/B25
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1 adalah ...
A. 6
41 sat. luas D.
3
8 sat. luas
B. 3
19 sat. luas E.
6
11 sat. luas
C. 2
9 sat. luas Jawab : C
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
y1 = x2 – 4x + 3 y2 = x – 1 _
y1 – y2 = x2 – 5x + 4 D = b2 – 4ac = 52 – 4(1)(4) = 9 Maka :
L = 26a
DD =
2)1(6
99
= 2
33⋅=
2
9………………(C)
11. UN 2012/D49 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x + 4, dan y = 1 – x adalah….
A. 3
2 sat. luas D.
3
8 sat. luas
B. 3
4 sat. luas E.
3
15 sat. luas
C. 4
7 sat. luas Jawab : B
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
y1 = x2 + 3x + 4 y2 = – x + 1 _
y1 – y2 = x2 + 4x + 3 D = b2 – 4ac = 42 – 4(1)(3) = 4 Maka :
L = 26a
DD =
2)1(6
44
= 3
22 ⋅=
3
4………………(B)
12. UN 2011 PAKET 12
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = –x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah …
a. 38 satuan luas
b. 3
10 satuan luas
c. 3
14 satuan luas
d. 3
16 satuan luas
e. 326 satuan luas
Jawab : b
• Batas integral y1 = y2
4 – x2 = –x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2} Perpotongan dua kurva di x = –1 dan x = 2 Karena x = –1 di luar interval 0 ≤ x ≤ 2, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 2
• Luas daerah
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −−2
0
2 )2( dxxx
= 2
0
2213
31 2xxx −−
= 31 (2)3 –
21 (2)2 – 2(2) – 0
= |38 – 6 |
= |3188− |
= 3
10 ……..…………………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
260
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …
a. 32 satuan luas
b. 34 satuan luas
c. 36 satuan luas
d. 38 satuan luas
e. 3
10 satuan luas
Jawab : e
• Batas integral y1 = y2
x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0
x = {–1, 2} luas daerah yang dicari ada di kuadran I, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 2
• Luas daerah
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −−2
0
2 )2( dxxx
= 2
0
2213
31 2xxx −−
= 31 (2)3 –
21 (2)2 – 2(2) – 0
= |38 – 6 | = |
3188− |
= 3
10 ……..………………………..(e)
14. UN 2010 PAKET A Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … a. 5 satuan luas b. 7 satuan luas c. 9 satuan luas
d. 1031 satuan luas
e. 1032 satuan luas
Jawab : c
• Batas integral y1 = y2
x2 – x – 2 = x + 1 x2 – x – 2 – x – 1 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0
x = {–1, 3} Perpotongan dua kurva di x = –1 dan x = 3 Karena x = –1 di luar interval 0 ≤ x ≤ 3, maka batas integralnya bb = 0 dan ba = 3
• Luas daerah
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫ −−3
0
2 )32( dxxx
= 3
0
2331 3xxx −−
= 31 (3)3 – 32 – 3(3) – 0
= 9 …………………………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
261
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …
a. 241 satuan luas
b. 221 satuan luas
c. 341 satuan luas
d. 321 satuan luas
e. 441 satuan luas
Jawab : b
• Batas integral y1 = y2
x3 = x x3 – x = 0 x2(x – 1) = 0 x = {0, 1} Perpotongan dua kurva di x = 0 dan x = 1 Karena luas yang ditanyakan antara x = 0 dan x = 2, maka batas integralnya adalah: 0 ≤ x ≤ 1 dan 1 ≤ x ≤ 2
• Luas daerah
L = ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
= ∫∫ −+−2
1
31
0
3 )()( dxxxdxxx
= 2
1
2214
41
1
0
2214
41 xxxx −+−
= |41 – 2
1 – 0| + |41 (2)4 – 2
1 (2)2 – (41 – 2
1 )|
= |– 41 | + |4 – 2 + 4
1 |
= 2 21 …………………………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
262
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2009 PAKET A/B
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan …
a. dxxx∫ +−−4
2
2 )86( +
∫ +−−−4
3
2 ))86()2(( xxx
b. dxxx∫ +−−4
2
2 )86(
c. ( )dxxxx∫ +−−−4
3
231 )86()3(
d. dxxx∫ +−−4
3
2 )86( +
( )dxxxx∫ +−−−5
4
2 )86()3(
e. dxx∫ −4
2
)2( + ( )dxxxx∫ +−−−5
4
2 )86()2(
Jawab : e
L1 dibatasi oleh sumbu X dan garis y = x – 2,
maka:
L1 = ∫ −4
2
)2( dxx
L2 dibatasi oleh garis y = x – 2 dan
y = x2 – 6x + 8 maka:
L2 = ∫ +−−−5
4
2 )}86()2{( dxxxx
Dengan demikian luas daerah yang di arsir adalah
L = L1 + L2
= dxx∫ −4
2
)2( + ( )dxxxx∫ +−−−5
4
2 )86()2( .….(e)
17. UN 2008 PAKET A/B Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 1+x , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah … a. 6 satuan luas
b. 632 satuan luas
c. 1731 satuan luas
d. 18 satuan luas
e. 1832 satuan luas
Jawab : c
y = 1+x = 21
)1( +x
∫ y dx = ∫ 21
)1( +x dx
= 23
)1(1
23
+x = 211
)1(3
2 +x = 1)1(32 ++ xx
L = ∫ba
bb
dxy
= 8
032 1)1( ++ xx
= { }10)10(18)18(32 ++−++
= 32 (9 ⋅ 3 – 1)=
32 (26) =
352 = 17
31 …...(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
263
SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2007 PAKET A
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … a. 0 satuan luas b. 1 satuan luas
c. 4 21 satuan luas
d. 6 satuan luas e. 16 satuan luas
Jawab : c
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
x1 = y2 x2 = y + 2 _
x1 – x2 = y2 – y – 2 • D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)( –2) = 9 Maka :
L = 26a
DD =
2)1(6
99
= 6
39 ⋅
= 2
9= 4 2
1 ……………………(c)
19. UN 2006
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan … a. 30 satuan luas b. 26 satuan luas
c. 364 satuan luas
d. 350 satuan luas
e. 3
14 satuan luas
Jawab : b
• Batas integral y1 = y2
x2 – 2x = 6x – x2 x2 + x2 – 2x – 6x = 0
2x2 – 8x = 0 2x(x – 4) = 0
x = {0, 4} Perpotongan dua kurva di x = 0 dan x = 4 Karena luas yang ditanyakan pada interval 0 ≤ x ≤ 5, maka batas integralnya adalah: 0 ≤ x ≤ 4 dan 4 ≤ x ≤ 5
• Luas daerah ∫ (y1 – y2) dx = ∫ (2x2 – 8x) dx
= 32 x3 – 4x2 =
32 x2 (x – 6)
L1 = ∫ −4
0
2 )82( dxxx = 4
0
232 )6( −xx
= 0)64(4232 −−⋅ =
364
L2 = ∫ −5
4
2 )82( dxxx = 5
4
232 )6( −xx
= )64(4)65(5 2322
32 −⋅−−⋅
= 364
350 +− =
314
L = L1 + L2
L = 364 +
314 =
378 = 26……………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Integral
264
SOAL PENYELESAIAN 20. UAN 2003
Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah … a. 57,5 satuan luas b. 51,5 satuan luas c. 49,5 satuan luas d. 25,5 satuan luas e. 22,5 satuan luas Jawab : E
(i) Batas Integral y1 = y2 x2 = 12 – x
x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 ⇒ x = {– 4 , 3}
karena luas daerah yang ditanyakan ada di kuadran I, maka batas integralnya 0 ≤ x ≤ 3
(ii) luas daerah
L = dxxx∫ −+3
0
2 )12(
= 3
0
2213
31 12xxx −+
= }0{)3(12)3()3( 2213
31 −−+
= 9 + 4,5 – 36 = |– 22,5| = 22,5 ……….(e)
21. UAN 2003 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah …
a. 232 satuan luas
b. 252 satuan luas
c. 231 satuan luas
d. 332 satuan luas
e. 431 satuan luas
Jawab : a
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
y1 = x2 – 9x + 15 y2 = –x2 + 7x – 15 _
y1 – y2 = 2x2 – 16x + 30 • D = b2 – 4ac = (-16)2 – 4(2)(30) = 16 Maka :
L = 26a
DD =
2)2(6
1616
= 46
416
⋅⋅
= 3
8= 2
32 ……………………(a)
22. EBTANAS 2002 Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … a. 36 satuan luas
b. 4131 satuan luas
c. 4132 satuan luas
d. 46 satuan luas
e. 4632 satuan luas
Jawab : a
Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat
y1 = –x2 + 8 y2 = 2x _
y1 – y2 = –x2 – 2x + 8 • D = b2 – 4ac = (2)2 – 4(–1)(8) = 36 Maka :
L = 26a
DD =
2)1(6
3636
−
= 6
636⋅
= 36……………………(a)
SIAP UN IPA 2014 Integral
265
b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar
V = ∫b
a
dxxf 2))((π atau V = ∫b
a
dxy 2π V = ∫d
c
dyyg 2))((π atau V = ∫d
c
dyx2π
V = ∫ −b
a
dxxgxf )}()({( 22π atau V = ∫ −b
a
dxyy )( 22
21π V = ∫ −
d
c
dyygyf )}()({ 22π atau V =
∫ −d
c
dyxx )( 22
21π
SIAP UN IPA 2014 Integral
266
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013, UN 2012/B25, UN 2011 PAKET 12 Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = � dan 9 = 2� jika di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …
A. ��� π satuan volume
B. ��' π satuan volume
C. � ' π satuan volume
D. �� 'π satuan volume
E. �� π satuan volume
Jawab : D
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2
y2 = 2x _ y1 – y1 = x2 – 2x = x(x – 2) = 0
x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2
y1 = x2 ⇒ 21y = x4
y2 = 2x ⇒ 22y = 4x2
21y – 2
2y = x4 – 4x2
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫ −2
0
24 )4( dxxx
= π [ ] 2
03
345
51 xx −
F(2) = 3345
51 )2()2( − = 5
32 – 332 = 15
16096− = 1564−
F(0) = 0
= 1564−
Jadi, V = �� 'π…………………………………(D)
SIAP UN IPA 2014 Integral
267
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = 2� dan 9 = 4� bila di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …
A. '� � π satuan volume
B. �� � π satuan volume
C. '� ' π satuan volume
D. �' ' π satuan volume
E. �� ' π satuan volume
Jawab : C
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = 2x2
y2 = 4x _ y1 – y1 = 2x2 – 4x = 2x(x – 2) = 0
x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2
y1 = 2x2 ⇒ 21y = 4x4
y2 = 4x ⇒ 22y = 16x2
21y – 2
2y = 4x4 – 16x2
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫ −2
0
24 )164( dxxx
= π [ ] 2
03
3165
54 xx −
F(2) = 33
16554 )2()2( − = 5
128 – 3128 = 15
640384− = 15256−
F(0) = 0
= 15256−
Jadi, V = '� ' π…………………………………(C)
3. UN 2013 Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = � dan 9 = 3� yang di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah …
A. �' π satuan volume
B. ��� π satuan volume
C. �' π satuan volume
D. :�� π satuan volume
E. �' π satuan volume
Jawab : C
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2
y2 = 3x _ y1 – y1 = x2 – 3x = x(x – 3) = 0
x = {0 , 3} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 3
y1 = x2 ⇒ 21y = x4
y2 = 3x ⇒ 22y = 9x2
21y – 2
2y = x4 – 9x2
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫ −3
0
24 )9( dxxx
= π [ ] 3
03
395
51 xx −
F(3) = 3551 )3(3)3( − = 5
243 – 5581× = 5
405243− = 5162−
F(0) = 0
= 5162−
Jadi, V = �' π…………………………………(C)
SIAP UN IPA 2014 Integral
268
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Daerah yang dibatasi kurva 9 = � dan garis � + 9 − 2 = 0 di putar mengelilingi sumbu–X. Volume benda putar yang terjadi adalah …
A. 15 �π satuan volume
B. 15 'π satuan volume
C. 14 'π satuan volume
D. 14 �π satuan volume
E. 10 �'π satuan volume
Jawab : C
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2
y2 = –x + 2 _ y1 – y1 = x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0
x = {–2 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –2 dan ba = 1
y1 = x2 ⇒ 21y = x4
y2 = –x + 2 ⇒ 22y = x2 – 4x + 4
21y – 2
2y = x4 –x2 + 4x – 4
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫−
−+−1
2
24 )44( dxxxx
= π [ ] 1
22
243
315
51 4
−−+− xxxx
F(1) = )1(4)1(2)1()1( 23315
51 −+− = 23
151 −−
F(–2) = )2(4)2(2)2()2( 23315
51 −−−+−−− = 16
38
532 ++−
= 183533 −− = 216
53 − =
5214−
Jadi, V = 5214 π…………………………………(C)
5. UN 2013 Suatu daerah yang dibatasi kurva 9 = � dan 9 = −� + 2 di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah …
A. ��π satuan volume
B. �� π satuan volume
C. �� π satuan volume
D. �� π satuan volume
E. �� π satuan volume
Jawab : B
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2
y2 = –x2 + 2 _ y1 – y1 = 2x2 – 2 = 2(x2 – 1) = 2(x + 1)(x – 1) = 0
x = {–1 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –1 dan ba = 1
y1 = x2 ⇒ 21y = x4
y2 = –x2 + 2 ⇒ 22y = x4 – 4x2 + 4
21y – 2
2y = 4x2 – 4
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫−
−1
1
2 )44( dxx
= π [ ] 1
13
34 4
−− xx
F(1) = )1(4)1( 334 − = 43
4 −
F(–1) = )1(4)1( 334 −−− = 43
4 +−
= 838 − = 3
2438 − = 3
16−
Jadi, V = �� π…………………………………(B)
SIAP UN IPA 2014 Integral
269
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 9 = 4 − � dan garis 9 = � + 2 jika di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360° adalah … A. 12π satuan volume
B. ;' π satuan volume
C. 18π satuan volume
D. :' π satuan volume
E. ��' π satuan volume
Jawab : E
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x + 2
y2 = 4 – x2 _ y1 – y1 = x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0
x = {–2 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –2 dan ba = 1
y1 = x + 2 ⇒ 21y = x2 + 4x + 4
y2 = 4 – x2 ⇒ 22y = x4 – 8x2 + 16
21y – 2
2y = –x4 + 9x2 + 4x – 12
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫−
−++−1
2
24 )1249( dxxxx
= π [ ] 1
22
243
395
51 12
−−++− xxxx
F(1) = )1(12)1(2)1(3)1( 23551 −++− = 75
1 −−
F(–2) = )2(12)2(2)2(3)2( 23551 −−−+−+−− = 8
532 +
= 15533 −− = 5
108−
Jadi, V = ��' π…………………………………(E)
7. UN 2013 Daerah yang dibatasi kurva 9 =� + 1 dan 9 = � + 3 di putar 360° mengelilingi sumbu–X. Volume yang terjadi adalah …
A. 36 �'π satuan volume
B. 36 'π satuan volume
C. 32 �'π satuan volume
D. 23 'π satuan volume
E. 23 'π satuan volume
Jawab : D
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2 + 1
y2 = x + 3 _ y1 – y1 = x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2) = 0
x = {–1 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = –1 dan ba = 2
y1 = x2 + 1 ⇒ 21y = x4 + 2x2 + 1
y2 = x + 3 ⇒ 22y = x2 + 6x + 9
21y – 2
2y = x4 + x2 – 6x – 8
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫−
−−+2
1
24 )86( dxxxx
= π [ ] 2
12
263
315
51 8
−−−+ xxxx
F(2) = )2(8)2(3)2()2( 23315
51 −−+ = 28
38
532 −+
F(–1) = )1(8)1(3)1()1( 23315
51 −−−−−+− = 53
151 +−−
= 333533 −+ = 306
53 − =
5223−
Jadi, V = 23 'π…………………………………(D)
SIAP UN IPA 2014 Integral
270
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2012/A13
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 4x – 3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah
A. π15
1113 satuan volume
B. π15
413 satuan volume
C. π15
1112 satuan volume
D. π15
712 satuan volume
E. π15
412 satuan volume
Jawab : E
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2
y2 = 4x – 3 _ y1 – y1 = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0
x = {1 , 3} Jadi, batas integralnya , bb = 1 dan ba = 3
y1 = x2 ⇒ 21y = x4
y2 = 4x – 3 ⇒ 22y = 16x2 – 24x + 9
21y – 2
2y = x4 – 16x2 + 24x – 9
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫ −+−3
1
24 )92416( dxxxx
= π [ ] 3
123
3165
51 912 xxxx −+−
F(3) = )3(9)3(12)3()3( 233
16551 −+− = 5
243 – 63
F(1) = )1(9)1(12)1()1( 233
16551 −+− = 3
1651 − + 3
= 5
242 + 316 – 66 = 15
99080726 −+ = 15184− =
15412−
Jadi, V = π15
412 …………………………….(E)
9. UN 2012/D49 Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang di batasi oleh kurva y = –x2 dan y = –2x di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ….
A. π15
113 satuan volume
B. π15
44 satuan volume
C. π15
116 satuan volume
D. π15
66 satuan volume
E. π15
117 satuan volume
Jawab : B
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = –x2
y2 = –2x _ y1 – y1 = –x2 + 2x = –x(x – 2) = 0
x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2
y1 = –x2 ⇒ 21y = x4
y2 = –2x ⇒ 22y = 4x2
21y – 2
2y = x4 – 4x2
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22 = π ∫ −
2
0
24 )4( dxxx
= π [ ] 2
03
345
51 xx − = 3
345
51 )2()2( −
= 332
532 − = 15
16096−
= 1564− =
1544−
Jadi, V =1544 π ....................................................(B)
SIAP UN IPA 2014 Integral
271
SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2010 PAKET A
Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah …
a. 51 π satuan volum
b. 52 π satuan volum
c. 53 π satuan volum
d. 54 π satuan volum
e. π satuan volum
Jawab : a
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2
2 – x = 2x – x2 x2 – 2x – x + 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = {1 , 2} Jadi, batas integralnya bb = 1 dan ba = 2
• 21y = (2 – x)2 = x2 – 4x + 4
22y = (2x – x2)2 = x4 – 4x3 + 4x2
21y – 2
2y = x4 – 4x3 + 3x2 + 4x – 4
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −ba
bb
dxyy )( 21
22
= π ∫ −++−2
1
234 )4434( dxxxxx
= π 2
1
234551 42 xxxxx −++−
= π| −⋅−⋅++−⋅ 2422222 234551 )4211(
51 −++− |
= π| 2851
532 +−− | = | 5
30531 − |π =
51 π……….(a)
11. UN 2010 PAKET B
Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah …
a. 103 π satuan volum
b. 105 π satuan volum
c. 31 π satuan volum
d. 3
10 π satuan volum
e. 2π satuan volum
Jawab : a
• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2
x2 = x ……. Kuadratkan kedua ruas x4 = x x4 – x = 0 x3(x – 1) = 0 ⇒ x = {0 , 1}
Jadi, batas integralnya 0 ≤ x ≤ 1
• 22y – 2
1y = (x2)2 – ( x )2 = x4 – x
∫( 22y – 2
1y )dx = 51 x5 – 2
1 x2
• Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ −1
0
21
22 )( dxyy = π
1
0
2215
51 xx −
= π 021
51 −−
= π105
102 − =
103 π ………(a)
SIAP UN IPA 2014 Integral
272
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2009 PAKET A/B
Perhatikan gambar di bawah ini: Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume
a. π15123
b. π1583
c. π1577
d. π1543
e. π1535
Jawab : c
Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka:
(i) Batas Integral dari gambar diketahui jika batas integralnya adalah x = {– 1, 0}
(ii) Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = dxyyb
a∫ − )( 2
221π
= dxxx∫−
−−0
1
222 })()4{(π
= dxxx∫−
−0
1
42 )16(π
= 0
1
5513
316
−− xxπ
= π)})1()1((0{ 5513
316 −−−−
= π}{ 51
316 −
= π15380− = π15
77 …………..……..(c)
13. UN 2008 PAKET A/B Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
a. 432 π satuan volume
b. 631 π satuan volume
c. 832 π satuan volume
d. 1032 π satuan volume
e. 1231 π satuan volume
Jawab : c
Volume benda putar mengelilingi sumbu X
V = π ∫ba
bb
dxy2
= π ∫ −3
1
2)4( dxx
= π ∫ +−3
1
2 )168( dxxx
= π3
1
2331 164 xxx +−
= π )164(3163433123
31 +−−⋅+⋅−⋅
= π|9 – 36 + 48 – 31 – 12|
= π|9 – 31 | = 8
32 π …………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
273
SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2007 PAKET A
Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah … a. 2π satuan volum.
b. 2 21 π satuan volum.
c. 3π satuan volum.
d. 431 π satuan volum.
e. 5π satuan volum.
Jawab : a
Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:
(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y
Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0 y = x2 + 1 y = 0 + 1 = 1
karena kurva dibatasi oleh garis y = 3, maka batas integralnya 1 ≤ y ≤ 3
(ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y
y = x2 + 1 ⇒ x2 = y – 1
V = dyxb
a∫
2π = dyy∫ −3
1
)1(π
= 3
1
221 yy −π
= π)}1)1((3)3({ 2212
21 −−−
= π}13{ 21
29 +−− = 2π………………(a)
15. UN 2005 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….
a. 254 π satuan volum
b. 354 π satuan volum
c. 454 π satuan volum
d. 554 π satuan volum
e. 954 π satuan volum
Jawab : c
Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:
(i) Batas Integral y1 = y2
x2 = x8 x4 = 8x x4 – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena
y = x2, maka y = {0, 4}
Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y
y = x2 x2 = y (y2 = 8x)2 ⇒ x2 =
64
4y= 4
34
1y
V = dyxxb
a∫ − )( 2
221π
= dyyy∫ −4
0
43
}4
1{π =
4
0
53
221
54
1yy
⋅−π
= π)}0()4(54
1)4({ 5
32
21 −
⋅−
= π}8{ 516− = π}38{
51−
= 454 π………………..…..(c)
SIAP UN IPA 2014 Integral
274
SOAL PENYELESAIAN 16. UAN 2003
Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan kurva
y = x4− diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …
a. ∫ −π2
0
22)y4( dy satuan volume
b. ∫ −π2
0
2y4 dy satuan volume
c. ∫ −π2
0
2)y4( dy satuan volume
d. ∫ −π2
0
22)y4(2 dy satuan volume
e. ∫ −π2
0
2)y4(2 dy satuan volume
Jawab : a
Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:
(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y
Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0
y = x4−
y = 04 − = 2 karena kurva dibatasi oleh sumbu X, maka batas integralnya 0 ≤ y ≤ 2
(ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y
y = x4− y2 = 4 – x x = 4 – y2
V = dyxb
a∫
2π
= dyy∫ −2
0
22)4(π ……………………(a)
SIAP UN IPA 2014 Integral
275
SOAL PENYELESAIAN 17. EBTANAS 2002
Gambar berikut merupakan kurva dengan persamaan
y = x 23030 x− . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan …
a. 6π satuan volum b. 8π satuan volum c. 9π satuan volum d. 10π satuan volum e. 12π satuan volum
Jawab : b
Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral
Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0
y = x 2x3030−
0 = x 2x3030− 0 = x2(30 – 30x2) 0 = 30x2(1 – x2) 0 = 30x2(1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1} maka batas integralnya yaitu – 1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1
(ii) Volume benda putar mengelilingi sumbu X Perhatikan gambar! karena V1 = V2, maka V = 2V1
y2 = 2
23030
− xx = x2(30 – 30x2)
= 30x2 – 30x4
V = 2( dxyb
a∫
2π )
= dxxx∫−
−0
1
42 )3030(2π
= 0
1
53 6102−
− xxπ
= π2})1(6)1(10(0{ 53 −−−−
= π2)610( +−− = 8π………………...(b)
16. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus
a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:
y – y1 = m(x – x1)
b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :
)xx(xx
yyyy 1
12
121 −
−−
=−
c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di
(0, a) adalah:
ax + by = ab
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Gambarkan garis ax + by = c
2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c,
kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c 3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut
dengan batas garis ax + by = c 4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik
tersebut dengan batas garis ax + by = c
0 x1
y1 (x1, y1)
X
Y
0 x2
y2
(x1, y1)
X
Y
(x2, y2)
x1
y1
0 b
a
(b, 0)X
Y
(0, a)
O
ax + by = c
Y
X
a
b
(0, a)
(b, 0)
(x, y)
titik uji
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
277
C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum I. Metode Uji Titik Pojok 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum
3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan dengan tanda pertidaksamaan keduanya kembar, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum
Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X
• Jika tujuannya maksimum pilih titik potong yang terkecil (0, a) dan (q, 0)
• jika tujuannya minimum pilih titik potong yang terbesar (0, p), (b, 0)
2. Titik potong antara kedua garis (x, y)
0
a
X
Y
b g
HP
p
q
h
(x,y)(0,a)
(q,0)
Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan
(x, y)
0
a
X
Y
b g
HPp
q
h
(x,y)
(0,p)
(b,0)
Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan
(x, y)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
278
II. Metode garis selidik Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, ⇒ mz =
sr−
Garis g: ax + by = ab, ⇒ mg = ba−
Garis h: px + qy = pq, ⇒ mh = qp−
• Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini
mh ≤ mg ≤ mz
X Z Y (1)
mh ≤ mz ≤ mg
X Z Y (2)
mz ≤ mh ≤ mg
X Z Y (3)
KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dan garis g 3. mh di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y
• Fungsi tujuan maksimum
Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini
mh ≤ mg ≤ mz
X Z Y (1)
mh ≤ mz ≤ mg
X Z Y (2)
mz ≤ mh ≤ mg
X Z Y (3)
KESIMPULAN: Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h 3. mh di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X
0
a
X
Y
b g
HPp
q
h
(x,y)
(0,p)
(b,0)
0
a
X
Y
b g
HPp
q
h
(x,y)
(0,p)
(b,0)
0
a
X
Y
b g
HPp
q
h
(x,y)
(0,p)
(b,0)
0
a
X
Y
b g
HP
p
q
h
(x,y)(0,a)
(q,0)0
a
X
Y
b g
HP
p
q
h
(x,y)(0,a)
(q,0)0
a
X
Y
b g
HP
p
q
h
(x,y)(0,a)
(q,0)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
279
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013, UN 2009
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah … A. Rp176.000,00 B. Rp200.000,00 C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp340.000,00 Jawab : C
Misal x = jumlah mobil kecil , y = jumlah mobil besar
i) Fungsi obyektif = penghasilan maksimum f(x,y) = 1.000x + 2.000y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• luas parkir : 4x + 20y ≤ 1.760 ⇔ x + 5y ≤ 440
• daya tampung : x + y ≤ 200
Gradient garis
1.000x + 2.000y = Z ⇒ mz= 21−
x + 5y ≤ 440 ⇒ m1 = 51−
x + y ≤ 200 ⇒ m2 = –1 mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –1 ≤ 2
1− ≤
51− ,
maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:
x + 5y = 440 x + y = 200 _ 4y = 240 y = 60 ⇒ x = 200 – 60 = 140 Jadi, titik potongnya (140, 60)
f(x, y) = 1.000x + 2.000y = 1.000(x + 2y) f(140,60) = 1.000{140 + 2(60)}
= 1.000(260) = 260.000 ………….(C) 2. UN 2012/A13
Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah… A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 D. Rp24.000,00 E. Rp36.000,00 Jawab : B
Misal x = jumlah kapsul, y = jumlah tablet
i) Fungsi obyektif = biaya minimum f(x,y) = 1.000x + 800y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Jumlah kalsium: 5x + 2y ≥ 60
• Jumlah zat besi: 2x + 2y ≥ 30 ⇔ x + y ≥15
Gradient garis
1.000x + 800y = Z ⇒ mz= 800000.1− = 4
5−
5x + 2y ≥ 60 ⇒ m1 = 25−
x + y ≥ 15 ⇒ m2 = –1
mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = 25− ≤ 4
5− ≤ –1,
maka nilai minimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 5x + 2y = 60 x + y = 15 ⇔ 2x + 2y = 30 _
3x = 30 x = 10
y = 15 – 10 = 5 Jadi, titik potongnya (10, 5)
f(x, y) = 1.000x + 800y = 100(10x + 8y) f(10,5) = 100{10(10) + 8(5)}
= 100(140) = 14.000 ………….(B)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
280
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2012/D49
Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00, jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang di terima pedagang adalah …. A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E Rp8.400,000,00 Jawab : A
Misal x = jumlah sepeda gunung, y = jumlah sepeda balap
i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = 500.000x + 600.000y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Jumlah sepeda : x + y ≤ 25
• Jumlah modal :
1.500.000x + 2.000.000y ≤ 42.000.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 84
Gradient garis
500.000x + 600.000y = Z ⇒ mz= 65−
x + y ≤ 25 ⇒ m1 = –1
3x + 4y ≤ 84 ⇒ m2 = 43−
mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = –1 ≤ 65−
≤
43− ,
maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:
3x + 4y = 84 x + y = 25 ⇔ 3x + 3y = 75 _ y = 9 x = 25 – 9 = 16 Jadi, titik potongnya (16, 9)
f(x, y) = 5x + 6y dalam ratusan ribu f(16,9) = 5(16) + 6(9)
= 80 + 54 = 134 ………….(A) 4. UN 2012/E52
Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue.Kue jenis I memerlukan40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula.Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. Jika kue di jual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II di jual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang di peroleh ibu adalah…. A. Rp30.400,00 B. Rp48.000,00 C. Rp56.000,00 D. Rp59.200,00 E. Rp72.000,00 Jawab : -
Misal x = jumlah kue I, y = jumlah kue II i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum
f(x,y) = 4.000x + 1.600y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• tepung: 40x + 20y ≤ 6.000 ⇔ 2x + y ≤ 300
• gula : 30x + 10y ≤ 4.000 ⇔ 3x + y ≤ 400
Gradient garis
4.000x + 1.600y = Z ⇒ mz= 600.1000.4− = 2
5−
2x + y ≤ 300 ⇒ m1 = –2
3x + y ≤ 400 ⇒ m2 = –3
mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –3 ≤ 25−
≤ –2, maka
nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 3x + y = 400 2x + y = 300 _ x = 100 y = 300 – 2x = 300 – 2(100) = 100 Jadi, titik potongnya (100, 100)
f(x, y) = 4.000x + 1.600y f(100,100) = 4.000(100) + 1.600(100)
= 400.000 + 160.000 = 560.000
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
281
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2012/B25
Penjahit ”Indah Pantes” akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita di perlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan polos 2 m. Penjahit hanya memeliki persediaan bahan bergaris dan bahan polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00, maka pendapatan maksimum yang di dapat adalah ... A. Rp2.700.000,00 B. Rp2.900.000,00 C. Rp3.700.000,00 D. Rp3.900.000,00 E. Rp4.100.000,00 Jawab : B
Misal x = jumlah pakaian pria, y = jumlah pakaian wanita
i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = 150.000x + 100.000y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Bahan bergaris : 2x + y ≤ 36
• Bahan polos : x + 2y ≤ 30
Gradient garis
150.000x + 100.000y = Z ⇒ mz= 23−
2x + y ≤ 36 ⇒ m1 = –2
x + 2y ≤ 30 ⇒ m2 = 21−
mz di tengah : m1 ≤ mz ≤ m2 = –2 ≤ 23−
≤
21− ,
maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:
2x + y = 36 x + 2y = 30 ⇔ 2x + 4y = 60 _ 3y = 24 y = 8 x = 30 – 2y = 30 – 2(8) = 30 – 16 = 14 Jadi, titik potongnya (14, 6)
f(x, y) = 15x + 10y dalam puluhan ribu f(14,8) = 15(14) + 10(8)
= 210 + 80 = 290 ………….(B) 6. UN 2011 PAKET 12
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah … a. Rp12.000,00 b. Rp14.000,00 c. Rp16.000,00 d. Rp18.000,00 e. Rp20.000,00 Jawab : e
Misal x = jumlah tablet I, y = jumlah tablet II
i) Fungsi obyektif = pengeluaran minimum f(x,y) = 4.000x + 8.000y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Jumlah vit. A: 5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 5
• Jumlah vit. B: 3x + y ≥ 5
Gradient garis
4.000x + 8.000y = Z ⇒ mz= 000.8000.4− = 2
1−
x + 2y ≥ 5 ⇒ m1 = 21−
3x + y ≥ 5 ⇒ m2 = –3 mz di kanan: m2 ≤ m1 ≤ mz = –3 ≤
21− ≤
21− , maka
nilai minimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X x + 2y = 5 memotong sumbu X ⇒ y = 0 x + 0 = 5
Jadi, titik potongnya (5, 0)
f(x, y) = 4.000x + 8.000y f(5,0) = 4.000(5) + 0
= 20.000 ……………………….(E)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
282
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2011 PAKET 46
Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak… a. 100 rumah tipe A saja b. 125 rumah tipe A saja c. 100 rumah tipe B saja d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawab : a
Misal x = jumlah tipe A, y = jumlah tipe B
i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = (10x + 6y) dalam puluhan juta
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Luas tanah : 100x + 75y ≤ 10.000
⇔ 4x + 3y ≤ 400
• Jumlah rumah : x + y ≤ 125
Gradient garis
10x + 6y = Z ⇒ mz= 610− = 3
5−
4x + 3y ≤ 400 ⇒ m1 = 34−
x + y ≤ 125 ⇒ m2 = –1
mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 35− ≤
34− ≤ –1, maka
nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 4x + 3y = 400 memotong sumbu X ⇒ y = 0 4x + 0 = 400 x = 100 ∴Supaya pendapatan maksimum, maka harus dibangun 100 rumah tipe A saja ……………..(a)
8. UN 2010 PAKET A Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat? a. 6 jenis I b. 12 jenis II c. 6 jenis I dan jenis II d. 3 jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II
Jawab : e
Misal x = jumlah barang I, y = jumlah barang II
i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum f(x,y) = (25x + 40y) dalam puluhan ribu
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Unsur A: x + 3y ≤ 18
• Unsur B: 2x + 2y ≤ 24 ⇔ x + y ≤ 12
Gradient garis
25x + 40y = Z ⇒ mz= 4025− = 8
5−
x + 3y ≤ 18 ⇒ m1 = 31−
x + y ≤ 12 ⇒ m2 = –1
mz di tengah: mz ≤ m1 ≤ m2 = –1≤ 85− ≤
31− , maka
nilai maksimum ada di titik potong dua garis yaitu: x + 3y = 18 x + y = 12 ⇔ 3x + 3y = 36 _ 2x = 18 x = 9 y = 12 – x = 12 – 9 = 3 Jadi, titik potongnya (9, 3)
Jadi, agar penjualannya mencapai maksimum, barang yang harus dibuat adalah : 9 jenis I dan 3 jenis II ……………………..(e)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
283
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2009 PAKET A/B
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah … a. Rp 575.000.000,00 b. Rp 675.000.000,00 c. Rp 700.000.000,00 d. Rp 750.000.000,00 e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c
Misal x = jumlah tipe A, y = jumlah tipe B
i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = (7x + 4y) dalam juta
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Luas tanah : 100x + 75y ≤ 10.000
⇔ 4x + 3y ≤ 400
• Jumlah rumah : x + y ≤ 125
Gradient garis
7x + 4y = Z ⇒ mz= 47−
4x + 3y ≤ 400 ⇒ m1 = 34−
x + y ≤ 125 ⇒ m2 = –1
mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 47− ≤
34− ≤ –1, maka
nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 4x + 3y = 400 memotong sumbu X ⇒ y = 0 4x + 0 = 400 x = 100
Jadi, titik potongnya (100, 0)
f(x, y) = (7x + 4y) dalam juta f(100,0) = 7(100) + 0
= 700 ……………………….(C)
10. UN 2008 PAKET A/B Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan tiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah … a. Rp 600.000.000,00 b. Rp 640.000.000,00 c. Rp 680.000.000,00 d. Rp 720.000.000,00 e. Rp 800.000.000,00 Jawab : b
Misal x = jumlah tipe A, y = jumlah tipe B
i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum f(x,y) = (4x + 3y) dalam juta
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Luas tanah : 150x + 100y ≤ 24.000
⇔ 3x + 2y ≤ 480
• Jumlah rumah : x + y ≤ 200
Gradient garis
4x + 3y = Z ⇒ mz = 34−
3x + 2y ≤ 480 ⇒ m1 = 23−
x + y ≤ 200 ⇒ m2 = –1 mz di kiri : mz ≤ m1 ≤ m2 = 3
4− ≤23− ≤ –1, maka
nilai maksimum ada di titik potong garis m1 dengan sumbu X 3x + 2y = 480 memotong sumbu X ⇒ y = 0 3x + 0 = 480 x = 160
Jadi, titik potongnya (160, 0)
f(x, y) = (4x + 3y) dalam juta f(160,0) = 4(160) + 0
= 640 ……………………….(B)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
284
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2007 PAKET A
Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah … a. Rp 7.200.000,00 b. Rp 9.600.000,00 c. Rp 10.080.000,00 d. Rp 10.560.000,00 e. Rp 12.000.000,00
Jawab : d
titik B, perpotongan garis
3x + 4y = 720 | × 1 ⇔ 3x + 4y = 720 x + 3y = 480 | × 3 ⇔ 3x + 9y = 1.440 _
–5y = –720 y = 144
x + 3y = 480 ⇔ x + 3(144) = 480 x = 480 – 432 = 48
Jadi, titik B ……..………………….(48, 144) f(48, 144) = 40.000(48) + 60.000(144)
= 1.920.000 + 8.640.000 = 10.560.000 ………….…………(d)
Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bahan Barang I (x) Barang II (y) Stok
A 1 3 480 B 3 4 720 C 2 1 360
Harga 40.000 60.000 • System pertidaksamaannya adalah:
x + 3y ≤ 480 …………...…………bahan A 3x + 4y ≤ 720………......................bahan B 2x + y ≤ 360 ……………………...bahan C x ≥ 0, y ≥ 0 ………….jumlah barang tidak
mungkin negative, • fungsi obyektifnya adalah :
f(x, y) = 40.000x + 60.000y
• Daerah Himpunan penyelesaian
Z = 40.000x + 60.000y ⇒ m = 000.60
000.40− = 120
80−
Dengan menggunakan bantuan garis selidik dengan
m = 120
80− (lihat gambar) diketahui jika koordinat
terluar yang dilalui garis selidik ada pada titik B, sehingga nilai maksimum fungsi obyektif ada pada titik B.
Garis selidik dengan m =
Garis selidik terluar
80
120
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
285
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2007 PAKET B
Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00. keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah … a. Rp 120.000,00 b. Rp 108.000,00 c. Rp 96.000,00 d. Rp 84.000,00 e. Rp 72.000,00
Jawab : b
Misal x = jumlah tas, y = jumlah sepatu i) Fungsi obyektif = laba maksimum
f(x,y) = 18.000x + 12.000y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Unsur P : x + 2y ≤ 8
• Unsur K : 2x + 2y ≤ 12 ⇔ x + y ≤ 6
Gradient garis
18.000x + 12.000y = Z ⇒ mz= 000.12000.18− = 2
3−
x + 2y ≤ 8 ⇒ m1 = 21−
x + y ≤ 6 ⇒ m2 = –1
mz di kiri : mz ≤ m2 ≤ m1 = 23− ≤ –1
≤
21− , nilai
maksimum ada di titik potong garis m2 dengan sumbu X x + y = 6 memotong sumbu X ⇒ y = 0 x + 0 = 6
x = 6 Jadi, titik potongnya (6, 0)
f(x, y) = 18.000x + 12.000y f(6,0) = 18.000(6) + 0
= 108.000 ……………………….(B)
13. UN 2006 Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp2.500,00/buah dan kado jenis B Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah … a. Rp 40.000,00 b. Rp 45.000,00 c. Rp 50.000,00 d. Rp 55.000,00 e. Rp 60.000,00
Jawab : b
Misal x = jumlah kado A, y = jumlah kado B i) Fungsi obyektif = upah maksimum
f(x,y) = 2.500x + 2.000y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Kertas : 2x + 2y ≤ 40 ⇔ x + y ≤ 20
• Pita : 2x + y ≤ 30
Gradient garis
2.500x + 2.000y = Z ⇒ mz = 000.2500.2− = 4
5−
x + y ≤ 20 ⇒ m1 = –1
2x + y ≤ 30 ⇒ m2 = –2
mz di tengah: m2 ≤ mz ≤ m1 = –2 ≤ 45−
≤ –1, maka
nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: 2x + y = 30 x + y = 20 ⇔ 2x + 2y = 40 _ y = 10 x = 20 – y = 20 – 10 = 10 Jadi, titik potongnya (10, 10)
f(x, y) = 2.500x + 2.000y f(10,10) = 2.500(10) + 2.000(10)
= 25.000 + 20.000 = 45.000 ………….(B)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
286
SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2005
Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas ekonomi Rp 300.000,00, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah … a. Rp 15.000.000,00 b. Rp 18.000.000,00 c. Rp 20.000.000,00 d. Rp 22.000.000,00 e. Rp 30.000.000,00
Jawab : c
Misal x = jumlah penumpang kelas utama, y = jumlah penumpang kelas ekonomi
i) Fungsi obyektif = pendapatan maksimum
f(x,y) = 500.000x + 300.000y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Tempat duduk : x + y ≤ 60
• Kapasitas bagasi : 50x + 20y ≤ 1.500
⇔ 5x + 2y ≤ 150
Gradient garis
500.000x + 300.000y = Z ⇒ mz = 35−
x + y ≤ 60 ⇒ m1 = –1
5x + 2y ≤ 150 ⇒ m2 = 25−
mz di tengah: m2 ≤ mz ≤ m1 = 25− ≤ 3
5− ≤ –1,
maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:
5x + 2y = 150 x + y = 60 ⇔ 2x + 2y = 120 _ 3x = 30
x = 10 x = 60 – y = 60 – 10 = 50 Jadi, titik potongnya (10, 50)
f(x, y) = 500.000x + 300.000y f(10,50) = 500.000(10) + 300.000(50)
= 5.000.000 + 15.000.000 = 20.000.000 ……………..….(C)
15. UN 2004 Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah … a. 10 potong b. 11 potong c. 12 potong d. 14 potong e. 16 potong
Jawab : c
Misal x = jumlah pakaian I, y = jumlah pakaian II i) Fungsi obyektif = jumlah maksimum
f(x,y) = x + y ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Bahan polos : x + 2y ≤ 20
• Bahan corak : 1,5x + 0,5y ≤ 10 ⇔3x + y ≤ 20
Gradient garis
x + y = Z ⇒ mz= –1
x + 2y ≤ 20 ⇒ m1 = 21−
3x + y ≤ 20 ⇒ m2 = –3 mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –3 ≤ –1
≤
21− , maka
nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: x + 2y = 20 3x + y = 20 ⇔ 6x + 2y = 40 _ 5x = 20 x = 4 y = 20 – 3x = 20 – 3(4) = 20 – 12 = 8 Jadi, titik potongnya (4, 8)
f(x, y) = x + y f(4,8) = 4 + 8 = 12 ………………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Program Linear
287
SOAL PENYELESAIAN 16. UAN 2003
Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan
≥≥≤+≤+
0,0
4842
6024
yx
yx
yx adalah …
a. 120 b. 118 c. 116 d. 114 e. 112
Jawab : a
Gradient garis
6x + 8y = Z ⇒ mz= 86− =
43−
4x + 2y ≤ 60 ⇔ 2x + y ≤ 30 ⇒ m1 = –2
2x + 4y ≤ 48 ⇒ m2 = 42− =
21−
mz di tengah : m2 ≤ mz ≤ m1 = –2 ≤ 43− ≤
21− ,
maka nilai maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu:
2x + 4y = 48 2x + y = 30 _ 3y = 18 y = 6 2x = 30 – y = 30 – 6 = 24 x = 12 Jadi, titik potongnya (12, 6)
f(x, y) = 6x + 8y f(12,6) = 6(12) + 8(6)
= 72 + 48 = 120………………….(A) 17. EBTANAS 2002
Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah … a. 30% b. 32% c. 34% d. 36% e. 40% Jawab : c
Misal x = jumlah kue I, y = jumlah kue II i) Fungsi obyektif = keuntungan maksimum
f(x,y) = 40%×200x + 30%×300y = 80x + 90y
ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:
• Jumlah modal: 200x + 300y ≤ 100.000
⇔ 2x + 3y ≤ 1000
• Jumlah kue : x + y ≤ 400
Gradient garis
80x + 90y = Z ⇒ mz= 98−
2x + 3y ≤ 1000 ⇒ m1 = 32−
x + y ≤ 400 ⇒ m2 = –1 mz di tengah: m2 ≤ m1 ≤ mz = –1 ≤
98− ≤
32− , nilai
maksimum ada di titik potong dua garis yaitu: yaitu:
2x + 3y = 1000 x + y = 400 ⇔ 2x + 2y = 800 _ y = 200 x = 400 – y = 400 – 200 = 200 Jadi, titik potongnya (200, 200)
f(x, y) = 80x + 90y f(200,200) = 80(200) + 90(200)
= 34.000 Prosentase = %
000.100100000.34 × = 34% …………….(C)
17. MATRIKS A. Transpose Matriks
Jika A =
dc
ba, maka transpose matriks A adalah AT =
db
ca
B. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
Jika A =
dc
ba, dan B =
nm
lk, maka A + B =
dc
ba+
nm
lk =
++++
ndmc
lbka
Jika A =
dc
ba, maka nA = n
dc
ba =
dncn
bnan
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui matriks A =�−2 �6 3� ,
B = �−5 14� −2 , dan C = �� −11 5 �.
Jika A – B = C, maka � + � + � =… A. 15 B. 21 C. 22 D. 27 E. 29 Jawab : B
A – B = C
⇔ �−2 �6 3� – �−5 14� −2 = �� −11 5 �
⇔ �−2 + 5 � − 146 − � 3 + 2 = �� −11 5 �
⇔ � 3 � − 146 − � 5 = �� −11 5 �
Dari data di atas di peroleh:
• z = 3
• 6 – y = 1
y = 6 – 1 = 5
• x – 14 = – 1
x = – 1 + 14 = 13
∴ x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21…………….(B)
2. UN 2013
Diketahui matriks A =�2 −4� −7� ,
B = � � 1−3 0�, dan C = � 4 �−2 −7�.
Jika A = B + C, maka nilai � + � + � =… A. –2 B. –3 C. –8 D. –10 E. –12 Jawab : C
A = B + C
⇔ �2 −4� −7� = � � 1−3 0� + � 4 �−2 −7�
=� � + 4 1 + �−3 + (−2) 0 + (−7)
= �� + 4 1 + �−5 −7 �
Dari data di atas di peroleh:
• c = –5
• a + 4 = 2
a = 4 – 2 = 2
• 1 + b = – 4
b = – 4 – 1 = –5
∴ a + b + c = 2 – 5 – 3 = –8…………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
289
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui matriks A =�� + 2 1 − 3�−1 −6 � ,
B = �2� � − 3−1 2 �, dan C = � 5 6−2 −4�.
Jika A + B = C, nilai � + � = …
A. –6 B. –3 C. –2 D. 1 E. 2 Jawab : B
A + B = C
�� + 2 1 − 3�−1 −6 � + �2� � − 3−1 2 � = � 5 6−2 −4�
⇔ �3� + 2 −2 − 2�−2 −4 � = � 5 6−2 −4�
Dari data di atas di peroleh:
• 3a + 2 = 5 3a = 5 – 2 = 3 a = 1
• –2 – 2b = 6 2b = –2 – 6 = –8 b = –4
∴ a + b = 1 – 4 = –3…………..……….(B)
4. UN 2013 Diketahui persamaan matriks
�� 42 � + 2 �� + 5 23 9 − � = �13 88 20�.
Nilai dari x + y = … A. 4 B. 2 C. 0 D. –1 E. –3 Jawab : D
�� 42 � + 2 �� + 5 23 9 − � = �13 88 20�
⇔ �� 42 � + �2� + 10 46 18 − 2� = �13 88 20�
⇔ �3� + 10 88 18 − � = �13 88 20�
Dari data di atas di peroleh:
• 3x + 10 = 13 3x = 13 – 10 = 3 x = 1
• 18 – y = 20 y = 18 – 20 = –2
∴ x + y = 1 + (–2) = –1…………..……….(D)
5. UN 2013 Diketahui persaman matriks
�4 � − 23 2 �+ �−6 8� −6 = �−2 20−8 −4�.
Nilai dari x + y = … A. 3 B. 11 C. 14 D. 19 E. 25 Jawab : A
�4 � − 23 2 �+ �−6 8� −6 = �−2 20−8 −4�
⇔ �4 − 6 � + 63 + � 2 − 4 = �−2 20−8 −4�
Dari data di atas di peroleh:
• x + 6 = 20 x = 20 – 6 = 14
• 3 + y = –8 y = –8 – 3 = –11
∴ x + y = 14 – 11 = 3…………..……….(A)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
290
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2012/B25
Diketahui matriks A =
−15
3 y,
B =
− 63
5x, dan C =
−−9
13
y.
Jika A + B – C =
−− 4
58
x
x,
maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E
A + B – C =
−15
3 y+
− 63
5x–
−−9
13
y
=
−+−−−++++
96135
1533
y
yx
−− 4
58
x
x=
−−++42
66
y
yx
dari kesamaan di atas diperoleh: • 6 + x = 8 ⇒ x = 2 • 5x = y + 6
5(2) = y + 6 y = 4
jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 ……………………….(E)
7. UN 2010 PAKET A
Diketahui matriks A =
−−935
316
484
c
b
a
dan B =
−−95
316
4812
b
a
Jika A = B, maka a + b + c = … a. –7 b. –5 c. –1 d. 5 e. 7 Jawab : e
A = B
−−935
316
484
c
b
a
=
−−95
316
4812
b
a
Dari kesamaan di atas diketahui: • 4a = 12 a = 3 • –3b = –3a
b = a = 3 • 3c = b = 3
c = 1 ∴ a + b + c = 3 + 3 + 1 = 7 ……………….(e)
8. UN 2007 PAKET A Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT adalah transpose matriks B), dengan
A =
c3b2
4a dan B =
++−7ba
1a2b3c2.
Nilai a + b + c = … a. 6 b. 10 c. 13 d. 15 e. 16 Jawab d
A = 2BT
c3b2
4a = 2
++−
712
32
ba
abc
dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 2a = 4
a = 2
(ii) 2b = 4a + 2 2b = 4(2) + 2 2b = 10 b = 5
(iii) 3c = 2b + 14 3c = 2(5) + 14 3c = 24 c = 8
Jadi, a + b + c = 2 + 5 + 8 = 15 …………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
291
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2007 PAKET B
Diketahui matriks A =
−+
yxy
xyx,
B =
−−
3y2
x121
, dan AT = B dengan AT
menyatakan transpose dari A. Nilai x + 2y adalah … a. –2 d. 1 b. –1 e. 2 c. 0 Jawab : c
AT = B
−+
yxx
yyx =
−−
3y2
x121
dari kesamaan di atas diperoleh: x = – 2y , maka:
x + 2y = – 2y + 2y = 0 ……………………………………(c)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
292
C. Perkalian Dua Buah Matriks � Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
� Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
Jika A =
dc
ba, dan B =
pon
mlk, maka
A × B =
dc
ba×
pon
mlk =
++++++
dpcmdocldnck
bpamboalbnak
D. Matriks Identitas (I)
� I =
10
01
� Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui matriks A =�1 23 4� ,
B = � � 3−2 ��, dan C = �−2 −3−2 −3�, dan
A⋅B = C. Nilai � + � = … A. –6 B. –5 C. –1 D. 1 E. 5 Jawab : C
A⋅B = C
⇔ �1 23 4� � � 3−2 �� = �−2 −3−2 −3�
⇔ � � − 4 3 + 2�3� − 8 9 + 4�� = �−2 −3−2 −3�
Dari data di atas di peroleh:
• a – 4 = –2 a = –2 + 4 = 2
• 3 + 2b = –3 2b = –3 – 3 = –6
b = –3 ∴ a + b = 2 – 3 = –1…………………….(C)
2. UN 2013
Diketahui matriks A =�2 �� 4� ,
B = �� 02 ��, dan C = �12 311 4�.
Jika A⋅B = C, nilai � + � = … A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 E. 16 Jawab : B
A⋅B = C
⇔ �2 �� 4� �� 02 �� = �12 311 4�
⇔ �2� + 2� 0 + ���� + 8 0 + 4�� = �12 311 4�
Dari data di atas di peroleh:
• 2a + 2a = 12 4a = 12 a = 3
• 4b = 4 b = 1
∴ a + b = 3 + 1 = 4…………….(B)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
293
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui matriks A =�1 �2 −1� ,
B = � 3 �−1 1�, dan C = �1 47 ��.
Jika A⋅B = C. Nilai � + � + � = … A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 Jawab : C
A⋅B = C
�1 �2 −1� � 3 �−1 1� = �1 47 ��
⇔ �3 − � � + �6 + 1 2� − 1� = �1 47 ��
Dari data di atas di peroleh:
• 3 – a = 1 a = 3 – 1 = 2
• a + b = 4 2 + b = 4 b = 4 – 2 = 2
• 2b – 1 = c 2(2) – 1 = c 4 – 1 = c
c = 3 ∴ a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7…………….(C)
4. UN 2010 PAKET B
Diketahui matriks–matriks A =
−01
2c,
B =
−+ 65
4
b
a, C =
−20
31, dan
D =
− 32
4 b.
Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = … a. –6 b. –2 c. 0 d. 1 e. 8 Jawab : c
• CD =
−20
31
− 32
4 b
=
+−++−−+−
)3(2)(0)2(2)4(0
)3(3)(1)2(3)4(1
b
b
=
−−−64
910 b
• 2A – B = CD
2
−01
2c–
−+ 65
4
b
a =
−−−64
910 b
+−−−−−
6052
442
b
ac =
−−−64
910 b
Dari kesamaan di atas diketahui:
i) –2c – 4 = –10 c + 2 = 5
c = 3
ii) 2 – b – 5 = –4 b = 2 – 5 + 4 = 1
iii) 4 – a = 9 – b 4 – a = 9 – 1 a = 4 – 8 = –4
∴ a + b + c = –4 + 1 + 3 = 0 …………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
294
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2009
Diketahui 3 matriks, A =
b
a
1
2,
B =
+12
14
b, C =
−−
2
2
ba
b
Jika A×Bt – C =
45
20 dengan Bt adalah
transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah … a. –1 dan 2 b. 1 dan –2 c. –1 dan –2 d. 2 dan –1 e. –2 dan 1 Jawab : a
• B =
+12
14
b ⇒ Bt =
+11
24
b
• A×Bt =
b
a
1
2
+11
24
b
=
++++++bbb
baa224
22224
• A×Bt – C =
++++++bbb
baa224
22224–
−−
2
2
ba
b
45
20 =
−−−++−−−++
ab
a
4
.224
dari kesamaan di atas diketahui: (i) 4a + 4 = 0
4a = – 4 a = –1
(ii) 4 + b + a = 5 b –1 = 5 – 4
b = 1 + 1 = 2
Jadi, a = –1 , dan b = 2 ……………………..(a)
6. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
−110
412,
Q =
− 43
2yx, dan R =
−−
4466
2096.
Jika PQT = R (QT transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = … a. 3 b. 4 c. 7 d. 13 e. 17
Jawab : e
• Q =
− 43
2yx ⇒ QT =
−42
3
y
x
• PQT =
−110
412
−42
3
y
x
=
−−−−−−−+
y
yx
220
412
• PQT = R
−−−−−−−+
y
yx
220
812 =
−−
4466
2096
Dari kesamaan di atas diketahui:
i) –22y = 66
y = –3
ii) 12x + 8y = 96 12x + 8(–3) = 96 12x = 96 + 24 2x = 16 + 4 = 20
∴2x + y = 20 – 3 = 17………………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
295
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2005
Diketahui matriks A =
−−01
32,
B =
−21
24, dan C =
−−
11
01.
Hasil dari A+(B×C) = …
a.
−−
20
58 d.
− 20
06
b.
−−
10
98 e.
− 22
11
c.
− 20
02
Jawab : a
A+(B×C) =
−−01
32 +
−21
24×
−−
11
01
=
−−01
32 +
−+−−+
2021
2024
=
−−01
32 +
−−
21
26
=
−++−−+−+
)2(011
)2(362
=
−−
20
58 ………………………(a)
8. UN 2004 Diketahui persamaan matriks
+
−=
−−
11
2
32
1
21
34
52
31 b
b
a
Nilai a dan b adalah … a. a = 1, b = 2 b. a = 2, b =1 c. a = 5, b = –2 d. a = –2 , b = 5 e. a = 4, b = –1
Jawab : b
−−
21
34
52
31 =
+
−11
2
32
1 b
b
a
+−−+−−10658
6334 =
++412
1
b
ba
43
31 =
++412
1
b
ba
Dari kesamaan di atas diketahui: i) 2b + 1 = 3 2b = 2 b = 1 ii) a + b = 3 a + 1 = 3 a = 2 Jadi, a = 2, b = 1……………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
296
E. Determinan dan Invers Matriks berordo 2×2 Determinan Matriks
Jika A =
dc
ba, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =
dc
ba= ad – bc
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) × det(B)
3. det(AT) = det(A)
4. det (A–1) = )det(
1
A
Invers Matriks � Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A =
dc
ba, maka invers A adalah:
−−
−==−
ac
bd
bcad
1)A(Adj
)A(Det
1A 1 , ad – bc ≠ 0
� Sifat–sifat invers dan determinan matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1
F. Matriks Singular matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama
dengan nol
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
31
52 dan
Q =
11
45. Jika P–1 adalah invers matriks
P dan Q–1 adalah invers matriks Q, maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah … a. 209 b. 10 c. 1 d. –1 e. –209
Jawab : c
Lihat materi F dan G
det (Q–1 P–1 ) = det(Q–1 ) det(P–1 )
= )det(
1
)det(
1
PQ×
= )5)(1()3(2
1
)4)(1()1(5
1
−×
−
= 1 × 1
= 1 ……………………………..(c)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
297
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2006
Diketahui matriks A =
−−
21x
10x6
dan
B =
35
2x. Jika AT = B–1 dengan
AT = transpose matrik A, maka nilai 2x = … a. –8 b. –4
c. 41
d. 4 e. 8
Jawab : e
AT = B–1
−
−
210
16
x
x =
−−
− xx 5
23
103
1
dari kesamaan di atas diperoleh:
–1 = 103
2
−−
x
1 = 103
2
−x
2 = 3x – 10 3x = 2 + 10 3x = 12
x = 4 , maka 2x = 8………………………(e)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
298
G. Persamaan Matriks Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A × X = B ⇔ X = A–1 × B
2) X × A = B ⇔ X = B × A–1
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 46
Diketahui persamaan
=
−+
923
821
2
1
41
32
zyx
x.
Nilai x + y – z = … a. –5 b. –3 c. 1 d. 5 e. 9 Jawab : c
Tanda (– –) artinya diabaikan saja
=
−+
923
821
2
1
41
32
zyx
x
AX = B ⇒ X = A– 1 B
A– 1 =
−−
×− 21
34
38
1 =
−−
×21
34
5
1
X =
×
−−−−−
×923
821
215
1
=
+−+−−−−−
×18846215
1
=
−−−−×
10255
1
=
−−−−25
=
−+ 2
1
zyx
x
Maka diperoleh: x + y = 5 dan z – 2 = 2 ⇒ z = 4 Jadi: x + y – z = 5 – 4 = 1 ……………………(c)
2. UN 2011 PAKET 12
Diketahui matriks A =
50
23 dan
B =
−−−017
13. Jika AT = transpose
matriks A dan AX = B + AT, maka determinan matriks X = … a. –5 b. –1 c. 1 d. 5 e. 8 Jawab : b
• C = B + AT
=
−−−017
13+
52
03=
−−515
10
• det(C) = 0(5) – (–15)(–1) = – 15 • det(A) = 3(5) – 0(2) = 15 • A X = C
X = A–1C
det(X) = )det(
1
A det(C)
= )det(
)det(
A
C=
15
15− = –1 …………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Matriks
299
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2011 PAKET 12
Diketahui persamaan matriks
=
+−
−−
10
0112
49
25
yxx.
Nilai x – y = …
a. 25
b. 2
15
c. 2
19
d. 222
e. 223
Jawab : e
karena hasil kalinya matriks identitas, maka :
=
+−
−−
10
0112
49
25
yxx
A ⋅ B = I ⇔ B = A– 1
A– 1 =
−−
+− 59
24
1820
1
=
−−
− 59
24
2
1=
−−
25
29
12
Sehingga:
=
+−
yxx
12
−−
25
29
12
x + y = 25−
y = 25− – x =
25− –
29 =
214− = – 7
• Jadi, x – y = 29 – (–7)
= 29 +7
= 223 …………………………(e)
4. UN 2011 PAKET 46
Diketahui matriks A =
53
21 dan
B =
−41
23. Jika At adalah transpose dari
matriks A dan AX = B + At, maka determinan matriks X = … a. 46 b. 33 c. 27 d. –33 e. –46 Jawab : b
• C = B + At
=
−41
23+
52
31=
93
14
• det(C) = 4(9) – (3)(1) = 33 • det(A) = 1(5) – 3(2) = –1 • A X = C
X = A–1C
det(X) = )det(
1
A det(C)
= )det(
)det(
A
C=
1
33
− = –33 …………..(b)
5. UAN 2003 Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi
persamaan :
−=
− 5
2
31
62
y
x adalah
… a. 1 b. 3 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : a
−=
− 5
2
31
62
y
x
y
x=
−
−
−
5
2
31
62 1
=
−
−−−
−− 5
2
21
63
66
1
=
−−+−
− 102
306
12
1 =
−− 12
24
12
1 =
−1
2
maka x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (– 2 + 1 )2 = 1 …………….……(a)
Diperoleh :
x = dan x + y =
18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB = b – a
2. Sudut antara dua vektor adalah θ
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =
3
2
1
a
a
a
= a1i + a2j + a3k;
|a| = 23
22
21 aaa ++
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a ± b =
3
2
1
a
a
a
±
3
2
1
b
b
b
=
±±±
33
22
11
ba
ba
ba
; ka = k
3
2
1
a
a
a
=
3
2
1
ka
ka
ka
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui vektor–vektor
�� = 2� + 3� − 4�, ��� = 4� − 6� + 5�, dan �� = 2� − 4� + 6�.
Vektor 2�� − 3��� + �� = …
A. � − 7� − 15�
B. � + 20� − 17�
C. � − 7� − 17�
D. −6� + 20� − 17�
E. −6� − 7� − 15�
Jawab : D
2�� − 3��� + �� =
−+
−−
− 6
4
2
5
6
4
3
4
3
2
2
=
−+
−−
− 6
4
2
15
18
12
8
6
4
=
+−−−++−
6158
4186
2124
=
−
−
17
20
6
……………………..(D)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
301
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Diketahui vektor �� = 2� − �, ��� = 2� − �,
dan �� = 3� + � + 2�. Hasil �� + 2��� − �� =
…
A. – � + 2� − 4�
B. 5� − 3� C. � − 2� + 2�
D. � − 3� + 4�
E. � − 2� + 4� Jawab : –
�� + 2��� − �� =
−
−+
−2
1
3
1
0
2
2
0
1
2
=
−
−+
−2
1
3
2
0
4
0
1
2
=
−−−+−
−+
220
101
342
=
−−
4
2
3
= kji 423 −−
3. UN 2013 Diketahui vektor �� = 3� − 2� + �, ��� = 2� − 3�, dan �� = � − 2�.
Vektor yang mewakili 2�� − 3��� + �� A. 12� − 5� + 12�
B. −3� + 9�
C. −7� − 9�
D. −3� − 3� + 9�
E. 3� − � + 9�
Jawab : B
2�� − 3��� + �� =
−+
−−
−2
1
0
3
0
2
3
1
2
3
2
=
−+
−−
−2
1
0
9
0
6
2
4
6
=
−++−−
+−
292
104
066
=
−9
3
0
…………(B)
4. UN 2013 Diketahui !�� = 2� − �, "� = 5� + 4� − 3�,
dan #��� = 9� − 7� . Vektor 2!�� − 3"� + #��� adalah …
A. $% (−� + 7� + �)
B. $% (−� − 7� + �)
C. − $% (� − 7� + �)
D. −2(� + 7� − �) E. −2(� − 7� − �) Jawab : B
2!�� − 3"� + #��� =
−+
−−
−7
0
9
3
4
5
3
0
1
2
2
=
−+
−−
−7
0
9
9
12
15
0
2
4
=
−++−−
+−
790
0122
9154
=
−−
2
14
2
=
−−
1
7
1
2
1……………(B)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
302
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Diketahui vektor–vektor �� = 2� + 3� + �, ��� = 3� − 2�, dan �� = 2� − 5�.
Vektor �� + 2��� − 3�� adalah …
A. 5� + 5� − 6�
B. 8� − 5� − 6�
C. 8� − 3� + 12�
D. 8� − � + 12�
E. 8� − � + 10�
Jawab : –
�� + 2��� − 3�� =
−−
−+
5
0
2
3
2
0
3
2
1
3
2
=
−−
−+
15
0
6
4
0
6
1
3
2
=
+−−+−+
1541
003
662
=
12
3
2
= kji 1232 −+
6. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� + 3� − �, ��� = 3� + � − 2�, dan �� = 4� − 2� + 3�.
Hasil dari 2������ + 3��� − �� adalah …
A. 9� + 7� + 3� B. 6� + 7� − 11� C. 8� + 7� − 5� D. 9� + 11� − 11� E. −6� − 7� + 11� Jawab : D
2������ + 3��� − �� =
−−
−+
− 3
2
4
2
1
3
3
1
3
2
2
=
−−
−+
− 3
2
4
6
3
9
2
6
4
=
−−−++−+
362
236
494
=
−11
11
9
……....(D)
7. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� − 3� + 2�, ��� = −3� + 2� + �, dan �� = � − 3� + 2�.
Hasil dari ��� − 3�� + 2�� adalah …
A. 2� + � − 3�
B. −2� + 5� − �
C. 2� + 5� − �
D. −4� + 11� − 5�
E. −6� + 5� − �
Jawab : B
��� − 3�� + 2�� =
−+
−−
−
2
3
2
2
2
3
1
3
1
2
3
=
−+
−−
−
4
6
4
6
9
3
1
2
3
=
+−−++−−
461
692
433
=
−
−
1
5
2
………..(B)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
303
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Diketahui vektor �� = � + 2� − 3�, ��� = 3� + 5�, dan �� = −2� − 4� + �, dan
vektor !�� = 2�� + ��� − ��. Vektor !�� = …
A. 5� + 6� + �
B. 3� − 2� − 2�
C. 2� − 2� D. 7� + 8� − 2�
E. 7� − 8� − 2�
Jawab : D
2�� + ��� − �� =
−−
−
+
− 1
4
2
5
0
3
3
2
1
2
=
−−
−
+
− 1
4
2
5
0
3
6
4
2
=
−+−++++
156
404
232
=
− 2
8
7
…………(D)
9. UN 2004
Diketahui a = i + 2j + 3k,
b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka
2a + b – c = …
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i + 4j – 2k
c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k
e. –2i + 4j + 2k Jawab : e
2a + b – c =
−−
−−−
+
3
2
1
1
2
3
3
2
1
2
=
−−
−−−
+
3
2
1
1
2
3
6
4
2
=
−−+−−−
316
224
132
=
−
2
4
2
………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
304
C. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat (ke kanan positif)
(1) (2) (3) P membagi AB di dalam P membagi AB di luar P membagi AB di luar
n
m
PB
AP = n
m
PB
AP
−=
n
m
PB
AP −=
p = nm
anbm
++
p = nm
anbm
−−
p = nm
anbm
+−+−
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan
C(4, 2, 5). Titik P membagi AB
sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang
vektor PC adalah …
a. 10
b. 13
c. 15 d. 3 2
e. 9 2
Jawab : d
Gambar perbandingan AP : AB = 2 : 3 sbb:
Berdasarkan gambar diketahui jika: AP : PB = 2 : 1 Bila AP : PB = m : n, maka:
p =
= 21
)105(2)432(1
++−
= 3
)2010()432( +−
= 3
)6312( − = (4 –1 2)
PC = c – p = (4 2 5) – (4 –1 2) = (0 3 3)
| PC | = 22 330 ++
= 232 ⋅ = 3 2 …………………(d)
A
B
P
P
A
B
B
A
P
m
n
m
n m
n
SIAP UN IPA 2014 Vektor
305
D. Dot Product
Apabila diketahui a =
3
2
1
a
a
a
dan b =
3
2
1
b
b
b
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos θ
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 + 2 a · b
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 – 2 a · b
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui vektor �� = & 2−31 ' dan
��� = & 1−23 '. Nilai sinus sudut antara
vektor �� dan ��� adalah …
A. ()
B. $$$*
C. (√,$*
D. ($$√3
E. ,√($*
Jawab : C
�� = & 2−31 ', ��� = & 1−23 '
�� · ��� =
−•
−3
2
1
1
3
2
= 2(1) + (–3)(–2) + 1(3) = 11
|�����| = 222 1)3(2 +−+ = 14
/����/ = 222 3)2(1 +−+ = 14
• cos θ = |||| ba
ba •=
1414
11
×=
14
11:
r
x
• y = 22 1114 − = 75 = 35
• sin θ = r
y=
14
35……………………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
306
SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013
Diketahui vektor �� = & 34−5' dan
��� = & 1−22 '. Nilai sinus sudut antara
vektor �� dan ��� adalah …
A. − $%√3
B. − $%√2
C. − $,√3
D. $%√2
E. $%√3
Jawab : D
�� = & 34−5', ��� = & 1−22 '
�� · ��� =
−•
− 2
2
1
5
4
3
= 3(1) + 4(–2) – 5(2) = –15
|�����| = 222 )5(43 −++ = 50 = 25
/����/ = 222 2)2(1 +−+ = 9 = 3
• cos θ = |||| ba
ba •=
325
15
×−
= 215
15−=
2
1−:
r
x
• y = 22 )1()2( −− = 12 − = 1
• sin θ = r
y=
2
1= 2
2
1…………….(D)
3. UN 2013
Diketahui 0� = &−330 ' dan 1� = & 13−2'.
Apabila α adalah sudut yang dibentuk
antara vektor 0� dan 1�, maka tan α = …
A. $2√6
B. $)√7
C. 2)√7
D. √6
E. √7
Jawab : D
0� = &−330 ', 1� = & 13−2'
0� · 1� =
−•
−
2
3
1
0
3
3
= –3(1) + 3(3) + 0(–2) = 6
|0����| = 222 03)3( ++− = 18= 23
|1���| = 222 )2(31 −++ = 14 = 72×
• cos α = |||| qp
qp •=
7223
6
××
= 723
6
×=
7
1:
r
x
• y = 22 1)7( − = 6
• tan α = x
y=
1
6= 6 ………………..….(D)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
307
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Diketahui vektor–vektor !�� = &101' dan
"� = & 1−10 '. Nilai sinus sudut antara
vektor !�� dan vektor "� adalah …
A. − $%
B. 0
C. $%
D. $%√2
E. $%√3
Jawab : E
!�� = &101', "� = & 1−10 '
!�� · "� =
−•
0
1
1
1
0
1
= 1(1) + 0(–1) + 1(0) = 1
| !�� | = 222 101 ++ = 2
| "� | = 222 0)1(1 +−+ = 2
• cos α = |||| vu
vu •=
22
1
×=
2
1:
r
x
• y = 22 12 − = 3
• sin α = r
y=
2
3= 3
2
1………………..….(E)
5. UN 2013 Diketahui vektor �� = 2� + � + 3� dan
��� = −� + 2� + 2�. Sudut θ adalah
sudut antara vektor ��dan ���. Nilai sin
θ = …
A. $$3√7
B. $)√7
C. $)√14
D. √,()
E. %)√14
Jawab : D
�� = &213', ��� = &−122 '
�� · ��� =
−•
2
2
1
3
1
2
= 2(–1) + 1(2) + 3(2) = 6
|�����| = 222 312 ++ = 14
/����/ = 222 22)1( ++− = 9 = 3
• cos θ = |||| ba
ba •=
314
6
×=
14
2:
r
x
• y = 22 2)14( − = 414− = 10
• sin θ = 14
10=
7
5=
7
35……………….(D)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
308
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Diketahui vektor 0� = � + � − 4� ,
1� = −2� − �dan . Nilai sinus sudut
antara vektor 0� dan 1� = …
A. − ,$3√10
B. − $$3√10
C. $$3√10
D. $,√10
E. ,$3√10
Jawab : D
0� = & 11−4', 1� = &−2−10 '
0� · 1� = 1(–2) + 1(–) – 4(0) = –3
|0����| = 222 )4(11 −++ = 18= 23
|1���| = 222 0)1()2( +−+− = 5
• cos α = |||| qp
qp •=
523
3
×−
= 10
1−:
r
x
• y = 22 )1()10( −− = 9 = 3
• sin α = r
y=
10
3=
,$3√10……………..….(D)
7. UN 2012/A13
Diketahui vektor ;
6
3
4
;
1
2
−=
−= b
p
arr
dan
−=3
1
2
cr
. Jika ar
tegak lurus br
,
maka hasil dari )2( barr − · )3( c
r
adalah… A. 171 B. 63 C. –63 D. –111 E. –171 Jawab : E
Karena ar
tegak lurus br
, maka ar�br
= 0
• ar�br
= (p 2 –1)�(4 –3 6) = 4p – 6 – 6 = 4p – 12 = 0
4p = 12 p = 3
sehingga ar
= (p 2 –1) = (3 2 –1)
• barr
2− = (3 2 –1) – 2(4 –3 6) = (3 2 –1) – (8 –6 12) = (–5 8 –13)
• cr
3 = 3(2 –1 3) = (6 –3 9)
• )2( barr − � )3( c
r = (–5 8 –13)� (6 –3 9) = –30–24–107 = –171 ……………………….(E)
8. UN 2012/B25
Diketahui vektor kxjia −+= 2 ,
kjib +−= 23 , dan kjic 22 ++= .
Jika a tegak lurus c ,
maka (a +b )· (a – c ) adalah ... A. –4 B. –2 C. 0 D. 2 E. 4 Jawab : C
Karena ar
tegak lurus c , maka ar� c = 0
• ar� c = (1 2 –x)�(2 1 2)
= 2 + 2 – 2x = 4 – 2x = 0 –2x = –4 –x = –2
sehingga ar
= (1 2 –x) = (1 2 –2)
• a +b = (1 2 –2) + (3 –2 1) = (4 0 –1)
• a – c = (1 2 –2) – (2 1 2) = (–1 1 –4)
• ( a +b )�( a – c ) = (4 0 –1)� (–1 1 –4) = –4 + 0 + 4 , = 0 ……………………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
309
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/D49
Diketahui vektor kjxia 3+−= ,
,2 kjib −+= dan kjic 23 ++= .
Jika a tegak lurus b maka 2a ·
)( cb − adalah…. A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A
Karena ar
tegak lurus b , maka ar�b= 0
• ar�b = (1 –x 3)�(2 1 –1)
= 2 – x – 3 = –1 – x = 0 –x = 1
sehingga ar
= (1 –x 3) = (1 1 3)
• 2a = 2(1 1 3) = (2 2 6)
• b – c = (2 1 –1) – (1 3 2) = (1 –2 –3)
• 2a � )( cb − = (2 2 6)� (1 –2 –3) = 2 – 4 –18 , = –20 ……………………….(A)
10. UN 2012/A13
Diketahui vektor kjiarrrr
224 ++=
dan jibrrr
33 += . Besar sudut antara
vektor ar
dan br
adalah…. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120° Jawab : A
ar
= (4 2 2), b = (3 3 0)
• ar�b = (4 2 2)� (3 3 0)
= 4(3) + 2(3) + 2(0) = 18
• |ar
| = 222 224 ++ = 24 = 62 = 232 ⋅
• |b | = 222 033 ++ = 23
• cos α = |||| ba
ba ⋅ =
23232
18
⋅⋅
= 3232
18
⋅⋅=
3
3
32
3 ×
cos α = 321
α = 30° ..................................(A)
11. UN 2012/C37
Diketahui vektor
−=3
3
2
ar
dan
−−=
4
2
3
br
. Sudut antar vektor ar
dan
br
adalah … A. 135° B. 120° C. 90° D. 60° E. 45° Jawab : C
ar
= (2 –3 3), b = (3 –2 –4)
• ar�b = (2 –3 3)� (3 –2 –4)
= 2(3) – 3(–2) + 3(– 4) = 0
karena ar�b = 0, sehingga a
r tegak lurus b maka
diperoleh :
α = 90° ........................................................(C)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
310
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2012/E52
Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1),
C (2, 0, –3). Sudut antara vektor AB
dengan AC adalah…. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120°
Jawab : D
A(1, 0, –2), B(2, 1, –1), dan C(2, 0, –3)
Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka
• u= b – ar
= (2 1 –1) – (1 0 –2) = (1 1 1) • v = c – a
r = (2 0 –3) – (1 0 –2) = (1 0 –1)
• u� v = (1 1 1)� (1 0 –1) = 1 + 0 – 1= 0
karena u� v = 0, sehingga u tegak lurus v maka diperoleh : α = 90° ........................................(D)
13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … A. π D. 6
π
B. 2π
E. 0
C. 3π
Jawab : B
• AB = b – a = (2 – 5 , –1 – 1, –1 – 3)
u = (–3, –2, –4) • BC = c – b = (4 – 2 , 2 –(– 1), –4 –(–1))
v = (2, 3, –3) • u ⋅ v = (–3 –2 –4) ⋅ (2 3 –3)
= –3(2) + (–2)(3) + (–4)( –3) = 0 karena u ⋅ v = 0, maka
∠ABC = 90° = 2π ………………………..(b)
14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2).
Jika u mewakili ABdan v mewakili
AC, maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …
a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120 Jawab : b
• u = b – a = (6 – 2 , 1 – 1, 2 – 2) = (4, 0, 0)
|u| = 24 = 4
• v = c – a = (6 – 2 , 5 – 1, 2 – 2) = (4, 4, 0)
|v| = 22 44 + = 4 2 • u ⋅ v = (4 0 0) ⋅ (4 4 0)
= 4(4) + 0(4) + 0(0) = 16
• |u| ⋅|v| = 4 ⋅ 4 2 = 16 2 maka sudut antara vector u dan v adalah:
cos θ = |||| vu
vu
⋅⋅
= 216
16= 2
2
1
θ = 45° …………………………….(b)
A(5, 1, 3) B(2, –1, –1)
C(4, 2, –4) a = (5 1 3) b = (2 –1 –1) c = (4 2 –4) v
u
A(2, 1, 2) B(6, 1, 2)
C(6, 5, 2) a = (2, 1, 2) b = (6, 1, 2) c = (6, 5, 2) v
u
SIAP UN IPA 2014 Vektor
311
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga PQR dengan P(1, 5, 1), Q(3, 4, 1), dan R(2, 2, 1). Besar sudut PQR adalah …
a. 135° b. 90° c. 60° d. 45° e. 30°
Jawab : b
45������ = 1� − 0� = &341' − &151' = & 2−10 '
56������ = 7� − 1� = &221' − &341' = &−1−20 '
45������ ∙ 56������ = 2(-1) + (-1)(-2) + 0(0)= -2 + 2 + 0 = 0
Karena 45������ ∙ 56������ = 0, maka Besar sudut PQR 90° …..(c) 16. UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …
a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c
a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k, maka
• a · b = 4(1) + (–2)(1) + 2(2) = 6
• |a| · |b| = 222 2)2(4 +−+ × 222 211 ++
= 624× = 664 ×× = 12
• a · b = |a| |b| cos θ
6 = 12 cos θ
cos θ = 126 =
21
θ = 60º …………………….…….(c)
17. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan
AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u
dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90°
Jawab : e
Berdasarkan gambar di atas, dapat diketahui jika: vektor v sejajar vektor v’, dan vektor v’ tegak lurus vektor u, sehingga vektor u dan v saling tegak lurus = 90° …………………(e)
P(1, 5, 1) Q(3, 4, 1)
R(2, 2, 1)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
312
SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6
Jawab : a
Karena vektor a tegak lurus b, maka: a · b = 0
(x –4 8) · (2x 2x –3) = 0 2x2 – 8x – 24 = 0
x2 – 4x – 12 = 0 (x + 2)(x – 6) = 0
x = {–2, 6} ………(a)
19. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5,2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah … a. 45° b. 60° c. 90° d. 120° e. 135°
Jawab : c
9:������ = �� − ��� = �31� − �52� = �−2−1�
:;������ = �� − � = �15� − �31� = �−24 �
9:������ ∙ :;������ = (-2)(-2) + (-1)(4) = 4 – 4 = 0
Karena 9:������ ∙ :;������ = 0, maka Besar sudut BAC 90° …..(c) 20. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1, – 1), B(2, 3, 1), dan C(–1, 2, –4). Besar sudut BAC adalah …
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45° E. 30°
Jawab : b
9:������ = �� − ��� = & 31−1' − &231' = & 1−2−2'
:;������ = �� − � = &−12−4' − & 31−1' = &−41−3'
9:������ ∙ :;������ = 1(-4) + (-2)(1) + (-2)(-3)= – 4 – 2 + 6 = 0
Karena 9:������ ∙ :;������ = 0, maka Besar sudut BAC 90° …..(b)
A(3, 1) B(5, 2)
C(1, 5)
A(3, 1, – 1) B(2, 3, 1)
C(–1, 2, –4)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
313
SOAL PENYELESAIAN 21. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k
Jawab : b
Karena vektor a tegak lurus b, maka: a · b = 0 (6x 2x –8) · (–4 8 10) = 0
–24x + 16x – 80 = 0 –8x – 80 = 0 x + 10 = 0
x = –10 sehingga a = 6xi + 2xj – 8k = –60i – 20j – 8k a – c = (–60 –20 –8) – (–2 3 –5)
= (–58 –23 –3) = –58i – 23j – 3k ………………(b)
22. UAN 2003
Diberikan vektor a =
−
22
2
p dengan p
∈ Real dan vektor b =
2
1
1
. Jika a
dan b membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …
a. 74
12
b. 725
c. 745
d. 7145
e. 772
Jawab : d
a ⋅ b = (– 2 p 22 ) ⋅ (1 1 2 )
= – 2 ⋅ 1 + p ⋅ 1 + 222 ⋅ = p + 2
|a| = ( )222 22)2( ++− p = 122 +p
|b| = ( )222 211 ++ = 4 = 2
Karena a dan b membentuk sudut 60º maka: a ⋅ b = |a| |b| cos 60º
p + 2 = ))(2(12 212
+p
{p + 2 = 122 +p }2
p2 + 4p + 4 = p2 + 12 4p = 12 – 4 = 8 p = 2
a + b = (– 2 p 22 ) + (1 1 2 )
= (– 2 2 22 ) + (1 1 2 )
= (–1 3 3 2 )
|a + b| = 222 )23(3)1( ++−
= 1891 ++ = 28= 72
| a | = 122 +p = 1222 + = 4
kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah a ⋅ (a + b) = | a | | a + b| cos θ
(– 2 2 22 ) ⋅ (–1 3 3 2 ) = 4 ⋅ 72 cos θ
2 + 6 + 12 = 8 7 cos θ
cos θ = 78
20
= 72
75
⋅
= 7145 …….(d)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
314
SOAL PENYELESAIAN 23. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13
Jawab : b
|3a + 2b|2 = |3a|2 + |2b|2 + 2|3a||2b| cos θ
= (3⋅2)2 + (2⋅3)2 + 2(3⋅2)(2⋅3)cos 120°
= 36 +36 + 2 ⋅ 36 ⋅ )( 21−
= 36 + 36 – 36
= 36
|3a + 2b| = 36 = 6 ……………………….(b)
24. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d.
21
e. 0
Jawab : c
|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ _
|a + b|2 – |a – b|2 = 4|a||b| cos θ 2
222 4)1(1
+−+ – ( )214 = 4|a||b| cos θ
18 – 14 = 4|a||b| cos θ 4 = 4|a||b| cos θ 1 = |a||b| cos θ 1 = a · b ………..….(c)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
315
E. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a
|p| = |a|ba ⋅
2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a
p = a|a|
ba2
⋅⋅
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Diketahui vektor !�� = & 7−41 ' dan "� =&−2−10 '. Proyeksi vektor orthogonal !�� pada
"� adalah …
A. − %(&
420' D. %(&
420'
B. − $(&
420' E. &420'
C. $(&
420' Jawab : E
!�� = & 7−41 ' dan "� = &−2−10 '
Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–2)2 + (–1)2 + (0)2 = 5
• !�� · "� = 7(–2) + (–4)(–1) + 1(0)= –10
• w���� = vv
vu2||
•
=
−−
−
0
1
2
5
10 = &420' ………………..(E)
2. UN 2013
Diketahui vektor !�� = &022' dan "� = &−202 '.
Proyeksi vektor orthogonal !�� pada "� adalah …
A. – � + �
B. – � + $% �
C. – � − �
D. −2� + �
E. 2� − �
Jawab : A
!�� = &022' dan "� = &−202 '
Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–2)2 + (0)2 + (2)2 = 8
• !�� · "� = 0(–2) + 2(0) + 2(2)= 4
• w���� = vv
vu2||
•
=
−
2
0
2
8
4 =
−
1
0
1
= – � + � ……….(A)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
316
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui vektor !�� = &−443 ' dan "� =
&−3−60 '. Proyeksi vektor orthogonal !�� pada
"� adalah …
A. *( � − =
( � B. − *
( � − =( �
C. *( � + =
( � D.
*( � − =
( � + *( �
E. − *( � − =
( � + *(�
Jawab : C
!�� = &−443 ' dan "� = &−3−60 '
Proyeksi !�� pada "� , maka pembaginya | "� |2 • | "� |2 = (–3)2 + (–6)2 + (0)2 = 45
• !�� · "� = –4(–3) + 4(–6) + 3(0)= –12
• w���� = vv
vu2||
•=
−−
−
0
6
3
45
12
=
−−
−
0
6
3
15
4=
0
2
1
5
4
= *( � + =
( � ……………..….(C)
4. UN 2013 Diketahui �� = 2� + 2� + 9� dan ��� = 2� − 2� + �. Proyeksi vektor
orthogonal �� pada��� adalah …
A. 3� − 3� + �
B. 3� − 5� − 2�
C. 4� − 4� + 2�
D. 2� − 2� + �
E. 5� + 5� + 5�
Jawab : D
�� = 2� + 2� + 9� dan ��� = 2� − 2� + �
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 • | ��� |2 = (2)2 + (–2)2 + (1)2 = 9
• �� · ��� = 2(2) + 2(–2) + 9(1)= 9
• �� = bb
ba2||
• =
9
9 (2� − 2� + �) = 2� − 2� + � …………(D)
5. UN 2013 Diketahui vektor �� = −� − � + 2� dan ��� = � − � − 2�. Proyeksi vektor orthogonal �� pada��� adalah …
A. − $, � − $
, � + %, �
B. − $, � + $
, � + %, �
C. − %, � + %
, � − *,�
D. − %, � − %
, � + *, �
E. − %, � + %
, � + *,�
Jawab : E
�� = −� − � + 2� dan ��� = � − � − 2�
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 • | ��� |2 = (1)2 + (–1)2 + (–2)2 = 6
• �� · ��� = – 1(1) – 1(–1) + 2(–2)= –4
• �� = bb
ba2||
•=
6
4− (� − � − 2�) =
3
2− (� − � − 2�) = − %
, � + %, � + *
, � …..……(E)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
317
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Diketahui vektor �� = 3� − 2� + 4� dan ��� = −� + � + 2�. Proyeksi vektor
orthogonal �� pada��� adalah …
A. $2 (−� + � + 2�)
B. $, (−� + � + 2�)
C. $% (−� + � + 2�)
D. – � + � + 2�
E. −2� + 2� + 4�
Jawab : C
a�� = 3i-2j + 4k dan ��� = −� + � + 2�
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 • | ��� |2 = (–1)2 + (1)2 + (2)2 = 6
• �� · ��� = 3(–1) – 2(1) + 4(2)= 3
• �� = bb
ba2||
•=
6
3 (−� + � + 2�) =
2
1 (−� + � + 2�)………….(C)
7. UN 2013 Diketahui vektor �� = � − 2� + � dan ��� = 3� + � − 2�. Vektor �� mewakili vektor
hasil proyeksi orthogonal vektor ��� pada
vektor ��, maka vektor �� = …
A. − $2 (� − 2� + �)
B. − $2 (3� − 2� + 2�)
C. − $$* (� − 2� + �)
D. − $$* (3� + � + 2�)
E. $2 (� − 2� + �)
Jawab : A
�� = � − 2� + � dan ��� = 3� + � − 2�
Proyeksi ��� pada a�� , maka pembaginya | �� |2 • | �� |2 = (1)2 + (–2)2 + (1)2 = 6
• �� · ��� = 1(3) – 2(1) + 1(–2) = –1
• �� = aa
ba2||
•=
6
1− (� − 2� + �)…...……(A)
8. UN 2013 Diketahui vektor 0� = 11� + 4� + 3� dan 1� = 2� + 5� + 11�. Proyeksi vektor
orthogonal 0� terhadap 1� adalah …
A. 2� − 5� − 11�
B. – � − (% � − $$
% �
C. � + (% � + $$
% �
D. – � + (% � + $$
% �
E. – � − 5� − 11�
Jawab : C
0� = 11� + 4� + 3� dan 1� = 2� + 5� + 11�
Proyeksi p�� pada q�� , maka pembaginya | 1� |2 • | 1� |2 = (2)2 + (5)2 + (11)2 = 150
• 0� · 1� = 11(2) + 4(5) + 3(11)= 75
• r� = qq
qp2||
•=
150
75 (2� + 5� + 11�) =
2
1 (2� + 5� + 11�) = � + (
% � + $$% � ..……(C)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
318
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/A13
Diketahui kjiarrrr ++= 65 dan
kjib 22 −−=r
. Proyeksi orthogonal vektor
ar
pada br
adalah….
A. kji 22 ++
B. kji 22 −+
C. kji 22 +−
D. kji 22 ++−
E. kji −+ 22 Jawab : D
kjiarrrr ++= 65 dan kjib 22 −−=
r
• |b |2 = 12 + (–2)2 + (–2)2 = 9
• ar�b = 5(1) + 6(–2) + 1(–2) = 5 – 12 – 2 = –9
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 c = b
b
ba2||
⋅
= 9
9−( kji 22 −− ) = kji 22 ++− .............(D)
10. UN 2012/B25
Diketahui vektor kjia 429 +−= dan
kjib ++= 22 . Proyeksi orthogonal vektor
a pada b adalah ...
A. kji 244 −−
B. kji 422 ++
C. kji 244 ++
D. kji 488 ++
E. kji 8418 +− Jawab : C
kjia 429 +−= dan kjib ++= 22
• |b |2 = (2)2 + (2)2 + (1)2 = 9
• ar�b = 9(2) + (– 2)(2) + 4(1)
= 18 – 4 + 4 = 18
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 c = b
b
ba2||
⋅=
9
18( kji ++ 22 )
= kji 244 ++ ....................(C)
11. UN 2012/E52 Proyeksi orthogonal vektor
a = 4i + j + 3k pada b= 2i + j + 3k adalah….
A. 1413 (2 i + j +3k )
B. 1415 (2i + j +3k )
C. 78 (2i + j +3k )
D. 79 (2i + j +3k )
E. 4i +2 j +6k Jawab : D
a = 4i + j + 3k dan b= 2i + j + 3k
• |b |2 = 22 + 12 + 32 = 14
• ar�b = 4(2) + 1(1) + 3(3) = 8 + 1 + 9 = 18
Proyeksi a�� pada b�� , maka pembaginya | ��� |2 c = b
b
ba2||
⋅=
14
18(2 i + j + 3k )
= 7
9 (2i + j +3k )..................(D)
12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b
• a ⋅ b = 4(2) + (–2)(–6) + 2(4) = 28
• |b| = 222 4)6(2 +−+ = 56 = 228⋅
Misal c = Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b, maka:
c = bb
ba2||
⋅ = )462(
228
28kji +−
⋅
= i – 3j + 2k ………………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
319
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46
Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e
• a ⋅ b = 2(2) + (–4)(–2) + (–6)(4) = –12
• |b| = 222 4)2(2 +−+ = 24 = 212⋅
Misal c = Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b, maka:
c = bb
ba2||
⋅ = )422(
212
12kji +−
⋅−
= –i + j – 2k ………………………(e)
14. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
a. 3i –56 j +
512 k
b. 3 5 i –5
6 j + 5
12 k
c. 59 (5i – 2j + 4k)
d. 4527 (5i – 2j + 4k)
e. 559 (5i – 2j + 4k)
Jawab : d
A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7) maka
• AB= u = b – a = (7 8 –1) – (–4 2 3) = (7 – (–4) 8 – 2 –1–3) = (11 6 – 4)
• AC= v = c – a = (1 0 7) – (–4 2 3) = (1 – (–4) 0 – 2 7–3) = (5 –2 4)
|v| = 222 4)2(5 +−+ = 45
• u · v = 11(5) + 6(–2) + (–4)(4) = 27 • p proyeksi u pada v
p = v|v|
vu2
⋅⋅
= )425(45
27 − …………(d)
15. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor ABpada AC adalah …
a. 41 (3i + j – 2k)
b. 143 (3i + j – 2k)
c. 71− (3i + j – 2k)
d. 143− (3i + j – 2k)
e. 73− (3i + j – 2k)
Jawab : c
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3) maka
• AB= u = b – a = (–1 4 –2) – (2 –1 –1) = (–1–2 4 –(–1) –2–(–1)) = (–3 5 –1)
• AC= v = c – a = = (5 0 –3) – (2 –1 –1) = (5–2 0 –(–1) –3–(–1)) = (3 1 –2)
|v| = 222 )2(13 −++ = 14
• u · v = –3(3) + 5(1) + (–1)(–2) = –2 • p proyeksi u pada v
p = v|v|
vu2
⋅⋅ =
142− (3 1 –2)
= 71− (3 1 –2)…………(c)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
320
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k
c. 31 i +
32 j + k
d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k
Jawab : a
vektor u = AB dan vektor v = BC , maka • u = b – a = (–1 1 –1) – (2 7 8)
= (–3 –6 –9)
• v = c – b = (0 3 2) – (–1 1 –1) = (1 2 3)
• | v | = 222 321 ++ = 14
• u ⋅ v = (–3 –6 –9) ⋅ (1 2 3)
= –3 – 12 – 27 = –42
• p proyeksi vektor u pada v, maka:
p = vv
vu2||
⋅
= )321(1442−
= –3(1 2 3) = (–3 –6 –9) = –3i – 6j – 9k ……………………….(a)
17. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –
2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)
Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka • u = b – a = (1 –1 0) – (–2 3 1)
= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)
• v = c – a = (4 –3 –2) – (2 –1 –3) = (4–2 –3–(–1) –2–(–3)) = (2 –2 1)
| v | = 222 1)2(2 +−+ = 9
• u ⋅ v = (–3 2 –8) ⋅ (2 –2 1)
= –6 – 4 – 8 = –18
• p proyeksi vektor u pada v, maka:
p = v|v|
vu2
⋅⋅⋅⋅
= 9
18− (2 –2 1)
= –2(2 –2 1) = (–4 4 –2) = –4i + 4j – 2k ……………………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
321
SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k
Jawab : b
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)
Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka • u = b – a = (1 –1 0) – (–2 3 1)
= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)
• v = c – a = (–1 1 0) – (–2 3 1) = (–1–(–2) 1–3 0 –1) = (1 –2 –1)
| v | = 222 )1()2(1 −+−+ = 6
• u ⋅ v = (3 –4 –1) ⋅ (1 –2 –1)
= 3 + 8 + 1 = 12
• p proyeksi vektor u pada v, maka:
p = v|v|
vu2
⋅⋅⋅⋅
= 6
12 (1 –2 –1)
= 2(1 –2 –1) = (2 –4 –2) = 2i – 4j – 2k ……………………….(b)
19. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7
Jawab : e
misal panjang proyeksi vektor a pada b adalah |r |, maka:
| r | = bba ⋅
5 = 222 6)2(3
)623()13(
+−+
−⋅−− x
5 = 49
629 x++−
5 = 7
67 x+−
–7 + 6x = 35 6x = 42 x = 7 ………………………………(e)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
322
SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan
C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka
u = b – a = (–1 1 –11) – (2 –1 –3) = (–3 2 –8)
v = c – a = (4 –3 –2) – (2 –1 –3) = (2 –2 1)
| v | = 222 1)2(2 +−+ = 9
u ⋅ v = (–3 2 –8) ⋅ (2 –2 1)
= –6 – 4 – 8 = –18
misal proyeksi vektor u pada v adalah w, maka:
w = v|v|
vu2
⋅⋅⋅⋅
= 9
18−(2 –2 1)
= –2(2 –2 1) = (–4 4 –2) = –4i + 4j – 2k ……………………….(c)
21. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k
Jawab : b
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)
Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka • u = b – a = (1 –1 0) – (–2 3 1)
= (1–(–2) –1–3 0–1) = (3 –4 –1)
• v = c – a = (–1 1 0) – (–2 3 1) = (–1–(–2) 1–3 0 –1) = (1 –2 –1)
| v | = 222 )1()2(1 −+−+ = 6
• u ⋅ v = (3 –4 –1) ⋅ (1 –2 –1)
= 3 + 8 + 1 = 12
• p proyeksi vektor u pada v, maka:
p = v|v|
vu2
⋅⋅⋅⋅
= 6
12 (1 –2 –1)
= 2(1 –2 –1) = (2 –4 –2) = 2i – 4j – 2k ……………………….(b)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
323
SOAL PENYELESAIAN 22. UN 2004
Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …
a. 65
b. 23
c. 2
13
d. 643
e. 653
Jawab : c
Misal | r | adalah panjang proyeksi q pada p, maka:
| r | = ||ppq ⋅
2 = 222 )6(76
)676()41(
−++
−⋅x
2 = 364936
2476
++−+x
2 = 121
176 −x
2 = 11
176 −x
6x – 17 = 22 6x = 39
x = 6
39 =
2
13 …….…………(c)
23. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
vektor v =
−4
3
2
terhadap vektor
u =
−
−
1
2
1
, maka w = …
A.
−3
1
1
D.
−2
4
2
B.
−−
2
1
0
E.
−
−
2
4
2
C.
2
1
0
Jawab : d
w adalah proyeksi v terhadap u, maka
w = |||| u
uu
uv ×⋅
w =
−
−
−++−
−
−⋅
−
1
2
1
)1(2)1(
1
2
1
4
3
2
2222
= ( )
−
−
++
−+−+−
1
2
1
141
)4()6(22
=
−
−−
1
2
1
6
12
=
−
−−
1
2
1
2 =
−2
4
2
…………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Vektor
324
SOAL PENYELESAIAN 24. EBTANAS 2002
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …
a. –34 (2 1 1)
b. –(2 1 1)
c. 34 (2 1 1)
d. (34 1 1)
e. (2 1 1)
Jawab : c
• Misal proyeksi vektor v pada u adalah p, maka:
p = |||| v
vv
uv ×⋅
p = 222222 224
)224(
224
)224()331(
++×
++
⋅
= 24
)112(2
24
664 ×++
= )112(24
216×
= )112(34 …………………………..(c)
19. TRANSFORMASI
A. Translasi (Pergeseran) ; T =
b
a
+
=
b
a
y
x
'y
'x atau
−
=
b
a
'y
'x
y
x
B. Refleksi (Pencerminan)
1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:
=
y
xM
'y
'x atau
=
−'y
'xM
y
x 1
2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:
Msb x Msb y My = x My = – x
−10
01
−10
01
01
10
−−01
10
absis tetap ordinat negasi
ordinat tetap absis negasi
dibalik dibalik dinegasi
3. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k
a. A(x,y) → =nyM A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)
ordinat di negasi + 2n
b. A(x,y) → =kxM A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y)
absis di negasi + 2k C. Rotasi (Perputaran)
R[O, θ] R[O, 90°] R[O, –90°]
−=
y
x
y
x
θθθθ
cossin
sincos
'
'
−=
y
x
y
x
01
10
'
'
−=
y
x
y
x
01
10
'
'
ordinat negasi balik absis negasi balik
0
Y
X(x, y)
(x, – y) 0
Y
X
(x, y)(–x, y)
0
Y
X
(x, y)
(y, x)y = x
0
Y
X
(x, y)
(–y, –x)
y = –x
0
Y
X (x, y)
(–y, x)
90°0
Y
X (x, y)
(y, –x)
–90°
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
326
D. D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O
=
y
xk
y
x
'
' ⇒
=
'
'1
y
x
ky
x
E. Komposisi Transformasi
P(x, y) → →
sr
qp
dc
ba
P’(x’, y’) ; maka
=
y
x
dc
ba
sr
qp
'y
'x
F. Luas Hasil Transformasi 1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.
2. Luas bangun hasil transformasi
dc
baadalah: L’ =
dc
baL ×
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Koordinat bayangan titik A(–1, 3) jika dicerminkan terhadap garis x = 4 dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah … A. (9, –3) B. (–9, 3) C. (9, 3) D. (–9, –3) E. (–3, –9) Jawab : B
T1 : Mx = 4, T2 : Msb Y
A(–1, 3) → =4xM A’(1 + 2(4), 3) = A’(9, 3) absis di negasi + 2k
A’(9, 3) → YsbM A”(–9, 3)……………..(B)
Absis negasi
2. UN 2013 Koordinat bayangan titik P(1, 4) oleh pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 1 adalah … A. (–1, –2) B. (–1, 7) C. (5, –2) D. (5, 7) E. (–5, –2) Jawab : C
T1 : Mx = 3, T2 : My = 1
P(1, 4) → =3xM P’(–1 + 2(3), 4) = P’(5, 4) absis di negasi + 2k
P’(5, 4) → =1yM P”(5, –4 + 2(1) ) = P’(5, –2)
ordinat di negasi + 2n ………………………..(C)
3. UN 2013 Peta titik A(5, –2) karena pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat di O adalah … A. (–2,– 5) B. (–2, 5) C. (2, 5) D. (5, 2) E. (5, 4) Jawab : B
T1 : Msb X, T2 : R[O, 90°]
A(5, –2) → sbXM A’(5, 2) Ordinat negasi
A’(5, 2) → ]90,[ oOR A”(–2, 5)…….……..(B) Ordinat negasi balik
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
327
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2013
Bayangan titik S(2, 4) oleh rotasi yang berpusat di O(0, 0) sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah … A. S”(2, –4) B. S”(–2, 4) C. S”(2, 4) D. S”(–4, –2) E. S”(–4, –2) Jawab : B
T1 : R[O, –90°], T2 : T2 : My = x
S(2, 4) → − ]90,[ oOR S’(4, –2) Absis negasi balik
S’(4, –2) → =xyM S”( –2, 4) ………………...(B)
dibalik
5. UN 2013 Diketahui titik A(3, –2) dipetakan oleh
translasi G = � 1−2�, kemudian dilanjutkan
oleh rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A adalah … A. (4, 4) B. (–4, 4) C. (4, –4) D. (0, –3) E. (–3, 0) Jawab : A
T1 : G = � 1−2�, T2 : R[O, 90°]
A(3, –2) →
−=
2
1T
A’(3 + 1, –2 + (–2)) = A’(4, –4)
A’(4, –4) → ]90,[ oOR A”(4, 4)…….……..(A) Ordinat negasi balik
6. UN 2013 Titik P(–3, 1) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90°, dilanjutkan dengan
translasi G = �34�. Peta titik P adalah …
A. P”(2, 1) B. P”(0, 3) C. P”(2, 7) D. P”(4, 7) E. P”(4, 1) Jawab : A
T1 : R[O, 90°], T2 : G = �34�
P(–3, 1) → ]90,[ oOR P’(–1, –3) Ordinat negasi balik
P’( –1, –3) →
=
4
3T
P”( –1 + 3, –3 + 4) = P”(2, 1) ……………….(A)
7. UN 2013 Koordinat A(8, –12) dipetakan oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, dilanjutkan rotasi dengan pusat O sebesar 180°. Koordinat titik hasil peta adalah … A. (–4, –6) B. (–4, 6) C. (4, –6) D. (–8, 12) E. (–16, 24) Jawab : E
T1 : D[O, 2], T2 : R[O, 180°]
A(8, –12) → = ]2,[OD A’(8(2),–12(2)) = A’(16, –24)
A’(16, –24) → ]180,[ oOR A”( –16, 24)….……..(E) di negasi
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
328
SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013
Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis y = –x dan T adalah transformasi
yang dinyatakan oleh matriks �2 30 −1�.
Koordinat bayangan titik A(2, –8) jika ditransformasikan oleh M dilanjutkan oleh T adalah … A. (–10, 2) B. (–2, –10) C. (10, 2) D. (–10, –2) E. (2, 10) Jawab : C
T1 = M: My = – x, T2 = T : �2 30 −1� A(2, –8) → =xyM
A’(8, –2) Balik negasi
A’(8, –2) →
−10
32
A’’ =
−
− 2
8
10
32
=
+−
20
616
=
2
10…………….(C)
9. UN 2012/A13 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2
dilanjutkan dengan translasi
−4
3
adalah… A. x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 B. x2 + y2 + 2x – 8y + 13 = 0 C. x2 + y2 – 2x + 8y + 13 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 2y + 13 = 0 Jawab : A
Misal titik (x,y) ada pada l, maka:
T1 = (x, y) xnegasiabsis
xM
2
2
+
=(–x + 4, y)
T2 = (–x + 4, y)
−=
4
3T
(–x + 4 – 3 , y + 4)
= (–x +1 , y + 4) = (x’, y’)
jadi: x’ = –x + 1 ⇒ x =1 – x’ y’ = y + 4 ⇒ y = y’ – 4
diperoleh: l : x2 + y2 = 4 l’ : (1 – x’)2 + (y’ – 4)2 = 4
x2 + y2 – 2x – 8y + 1 + 16 – 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 …………………(A)
10. UN 2012/C37 Bayangan garis x – 2y = 5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi
21
53 dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap sumbu X adalah … A. 11x + 4y = 5 B. 4x + 2y = 5 C. 4x + 11y = 5 D. 3x + 5y = 5 E. 3x + 11y = 5 Jawab : C
T1 =
21
53
T1 :
y
x=
−−
⋅−⋅ '
'
31
52
5123
1
y
x=
+−−
yx
yx
3'
'5'2
g : x – 2y = 5
g' : (2x’ – 5y’) – 2(–x’+3y’) = 5
4x – 11y = 5
T2 = Msbx = ordinat negasi
g' : 4x – 11y = 5 ⇒ g” : 4x – 11(–y) = 5
4x + 11y = 5 ………….(C)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
329
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/D49
Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika dirotasi dengan pusat O( 0, 0 ) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O( 0, 0 ) dan faktor skala 3 adalah…. A. x = 3y2 – 3y B. x = y2 + 3y C. x = 3y2 + 3y D. y = 3y2 – 3y E. y = x2 + 3y Jawab : A
T1 = R[O, 90°] : ordinat negasi, balik g: y = 3x – 9x2 ⇒ g’ : – x = 3y – 9y2
T2 = D[O, 3] :
=
'
'1
y
x
ky
x=
'
'
3
1
y
x
g’ : – x = 3y – 9y2
g” : – 31 x” = 3�
31 y” – 9( )2
31 "y
– 31 x = y – y2
x = 3y2 – 3y …………………………(A) 12. UN 2012/E52
Bayangan kurva y = x2 + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X di lanjutkan dengan dilantasi pusat O dan faktor skala 3 adalah…. A. x2 + 9x – 3y + 27 = 0 B. x2 + 9x + 3y + 27 = 0 C. 3x2 + 9x – 3y + 27 = 0 D. 3x2 + 9x + 3y + 27 = 0 E. 3x2 + 9x + 3y + 27 = 0 Jawab : B
T1 = MsbX = ordinat negasi g : y = x2 + 3x + 3 ⇒ g’ : – y = x2 + 3x + 3
T2 = D[O, 3] :
=
'
'1
y
x
ky
x=
'
'
3
1
y
x
g'’ : – 31 y” = (
31 x”) 2 + 3(
31 x”) + 3
y31− = 2
91 x + x + 3
–3y = x2 + 9x + 27 x2 + 9x + 3y + 27 = 0 ..................................(B)
13. UN 2011 PAKET 12 Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = –x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah … a. y + 2x – 3 = 0 b. y – 2x – 3 = 0 c. 2y + x – 3 = 0 d. 2y – x – 3 = 0 e. 2y + x + 3 = 0 Jawab : b
T1 : My = –x = balik negasi g : y = 2x – 3 ⇒ g’ : –x = –2y – 3 T2 : My = x = balik g’ : –x = –2y – 3 ⇒ g’ : –y = –2x – 3
y – 2x – 3 = 0 …………(B)
14. UN 2010 PAKET A Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan
dengan matriks
− 4
3, dilanjutkan dilatasi
dengan pusat di O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah … a. 3x + 2y = 14 b. 3x + 2y = 7 c. 3x + y = 14 d. 3x + y = 7 e. x + 3y = 14
Jawab : a
T1 =
− 4
3, T2 = D[O, 2]
y
x →
−43
−+
4
3
y
x →2
−+
82
62
y
x=
'
'
y
x
Dari proses di atas diperoleh: • 2x + 6 = x’
x = ½(x’ – 6) • 2y – 8 = y’
y = ½(y’ + 8) maka untuk g : 3x + 2y = 6 bayangannya: g’ : 3(½(x’ – 6)) + 2(½(y’ + 8)) = 6 3(x’ – 6)) + 2(y’ + 8)) = 12
3x’ + 2y’ – 18 + 16 = 12 3x + 2y = 12 + 2 = 14 …………………..(a)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
330
SOAL PENYELESAIAN 15. UN 2009 PAKET A/B
Transformasi
−+21
1aa yang dilanjutkan
dengan transformasi
−− 31
12 terhadap
titik A(2, 3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –17). Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35). Koordinat titik C adalah … a. (2, 15) b. (2, –15) c. (–2, 15) d. (15, –2) e. (15, 2)
Jawab : a
T1 =
−+21
1aa dan T2 =
−− 31
12
(i) titik A(2, 3) oleh transformasi T2 ο T1
menghasilkan bayangan A’(22, – 1)
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
−− 31
12
−+21
1aa
y
x
−1
22 =
−− 31
12
−+21
1aa
3
2
−1
22 =
−− 31
12
−++
62
332 aa
−1
22 =
−− 31
12
−+
4
35a
−1
22 =
+−−−+
1235
4610
a
a =
+−+
95
210
a
a
dari kesamaan di atas diperoleh: 10a + 2 = 22
10a = 20 a = 2
dengan demikian T1 =
−+21
1aa=
− 21
32
(ii) titik C(x, y) oleh transformasi T2 ο T1
menghasilkan bayangan C’(70, 35)
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
−− 31
12
− 21
32
y
x
35
70 =
− 35
45
y
x
y
x =
1
35
45−
−
35
70
y
x =
−+ 55
43
2015
1
35
70
y
x =
−55
43
35
1
35
70
y
x =
−55
43
1
2=
15
2
……………………………….(a)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
331
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2010 PAKET B
Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang
ditransformasikan oleh matriks
−01
10
dilanjutkan oleh matriks
−10
01 adalah
… a. y = x2 + x + 3 b. y = –x2 + x + 3 c. x = y2 – y + 3 d. x = y2 + y + 3 e. x = –y2 + y + 3
Jawab : c
T1 =
−01
10, T2 =
−10
01, maka :
T2○T1 =
'
'
y
x=
−10
01
−01
10
y
x
'
'
y
x =
−10
01
−x
y
'
'
y
x=
x
y
maka : g : y = x2 – x + 3 g’ : x’ = (y’) 2 – y’ + 3 x = y2 – y + 3 …………………….…….(c)
17. UN 2009 PAKET A/B Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 2. bayangan garis g oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan
rotasi terhadap O sebesar 2π radian adalah
… a. 3x + y + 2 = 0 b. 3y – x – 2 = 0 c. 3x – y – 2 = 0 d. 3y – x + 2 = 0 e. –3x + y – 2 = 0
Jawab : d
Prinsip Transformasi
Missal titik (x,y) ada pada g, maka:
(x,y) negasibeltetapdep
sbXM
..
(x, –y)negasidepanbalik
OR ],[ 2π
(y, x)
jadi: x’ = y dan y’ = x g : y = 3x + 2 g’ : x’ = 3y’ + 2 ⇔ 3y – x + 2 = 0 …………..(d)
18. UN 2008 PAKET A/B Lingkaran (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16
ditransformasikan oleh matriks
−01
10
dan dilanjutkan oleh matriks
10
01.
Persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah … a. x2 + y2 – 4x – 2y – 11 = 0 b. x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0 c. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0 d. x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0 e. x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0
Jawab : e
T1 =
−01
10 dan T2 =
10
01
Pusat lingkaran di (a, b) = (–1, 2)
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
10
01
−01
10
y
x
'
'
y
x=
−01
10
−2
1 =
−−
1
2
dengan demikian bayangannya berpusat di (a, b) = (–2, –1) dan r2 = 16.
x2 + y2 – 2ax – 2by + ( 222 rba −+ ) = 0
x2 + y2 – 2(–2)x –2(–1)y + ( 16)1(2 22 −−+− )= 0
x2 + y2 + 4x + 2y + (4 + 1 – 16) = 0
x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0 ………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
332
SOAL PENYELESAIAN 19. UN 2008 PAKET A/B
Persamaan bayangan garis y = 5x – 3 karena rotasi dengan pusat O(0,0) bersudut –90° adalah … a. 5x – y + 3 = 0 b. x – 5y – 3 = 0 c. x + 5y – 3 = 0 d. x + 5y + 3 = 0 e. 5x + y – 3 = 0
Jawab : d
Prinsip Transformasi
Missal titik (x,y) ada pada g, maka:
(x, y) negasibelakangbalik
OR ],[2π−
(y, –x)
jadi: x’ = y dan y’ = –x g : y = 5x – 3 g’ : x’ = 5(–y’) – 3 ⇔ x + 5y + 3 = 0 ……….(d)
20. UN 2007 PAKET B Bayangan garis 3x – y + 2 = 0 apabila direfleksikan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan rotasi sebesar 90º dengan pusat O(0,0) adalah … a. 3x + y + 2 = 0 b. –x + 3y + 2 = 0 c. 3x + y – 2 = 0 d. x – 3y + 2 = 0 e. –3x + y + 2 = 0
Jawab : c
Prinsip Transformasi
Missal titik (x,y) ada pada g, maka:
(x,y) dibalik
yxM =(y, x)
negasidepanbalik
OR ],[2π
(–x, y)
jadi: x’ = –x dan y’ = y g : 3x – y + 2 = 0 g’ : 3(–x’) – y’ + 2 = 0
⇔ –3x – y + 2 = 0 ⇔ 3x + y – 2 = 0 …………..(c)
21. UN 2007 PAKET A Bayangan kurva y = x2 – 1, oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y, adalah …
a. y = 21 x2 – 1
b. y = 21 x2 + 1
c. y = –21 x2 + 2
d. y = –21 x2 – 2
e. y = 21 x2 – 2
Jawab : e
Prinsip Transformasi
Missal titik (x,y) ada pada g, maka:
(x,y) (2x, 2y) (–2x, 2y)
jadi: x’ = –2x ⇒ x = –21 x’ dan
y’ = 2y ⇒ y = 21 y’
g : y = x2 – 1
g’ : 21 y’ = (–
21 x’) 2 – 1
⇔ 21 y =
41 x2 – 1
⇔ y = 21 x2 – 2 …………………………..(e)
22. UN 2006 Persamaan peta parabola (x + 1)2 = 2(y – 2) oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan rotasi terhadap pusat O
dan sudut putar 2π radian adalah …
a. (x – 1)2 = 2(y + 2) b. (x – 1)2 = ½(y – 2) c. (y – 1)2 = 2(x – 2) d. (y + 1)2 = 2(x – 2) e. (y + 1)2 = ½(x – 2) Jawab : d
Prinsip Transformasi
Missal titik (x,y) ada pada g, maka:
(x,y) negasibeltetapdep
sbXM
..(x, –y)
negasidepanbalik
OR ],[2π
(y, x)
jadi: x’ = y dan y’ = x g : (x + 1)2 = 2(y – 2) g’ : (y’ + 1)2 = 2(x’ – 2)
⇔ (y + 1)2 = 2(x – 2)………………..…..(d)
2
]2,[
kalikan
OD
negasideptetapbel
sbYM
..
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
333
SOAL PENYELESAIAN 23. UN 2005
Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan berjari–jari 4 diputar dengan R[O, 90º], kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. persamaan bayangan lingkaran adalah … a. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0
b. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
c. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0
d. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
e. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0
Jawab : e
Prinsip Transformasi
(3, –2)negasidepanbalik
OR ]90,[ o
(2, 3)negasibeltetapdep
sbXM
..(2, –3)
• Persamaan lingkaran hasil transformasi
Lingkaran dengan pusat di (2, –3) dan jari–jari r = 4.
x2 + y2 – 2ax – 2by + ( 222 rba −+ ) = 0
x2 + y2 – 2(2)x –2(–3)y + ( 222 4)3(2 −−+ )= 0
x2 + y2 – 4x + 6y + (4 + 9 – 16) = 0
x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 ……………..……….(e)
24. UN 2004 Persamaan bayangan garis 3x + 5y – 7 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan
matriks
−−21
11dilanjutkan dengan
12
23adalah …
a. 2x + 3y + 7 = 0
b. 2x + 3y – 7 = 0
c. 3x + 2y – 7 = 0
d. 5x – 2y – 7 = 0
e. 5x + 2y – 7 = 0
Jawab : d
T1 =
−−21
11 dan T2 =
12
23
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
12
23
−−21
11
y
x
'
'
y
x=
01
11
y
x
y
x=
1
01
11 −
'
'
y
x
y
x=
−−
− 11
10
10
1
'
'
y
x
y
x=
−11
10
'
'
y
x =
− ''
'
yx
y
Maka: g : 3x + 5y – 7 = 0 g’ : 3y’ + 5(x’ – y’) – 7 = 0
3y’ + 5x’ – 5y’ – 7 = 0 5x’ – 2y’ – 7 = 0 5x – 2y – 7 = 0 ……………………..(d)
25. UN 2004 T1 adalah transformasi rotasi dengan pusat O dan sudut putar 90º. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = –x. Bila koordinat peta titik A oleh transformasi T1o T2 adalah A’(8, –6), maka koordinat titik A adalah … a. (–6, –8) b. (–6, 8) c. (6, 8) d. (8, 6) e. (10, 8)
Jawab : d
Prinsip Transformasi
Untuk mendapatkan titik A, gunakan metode invers
Invers dari My = –x : My = x = T1
Invers dari R[0,90°] : R[0,–90°] = T2
(8,–6)
balik
xyM =(–6, 8)
negasibelbalik
OR
.
]90,[ o− (8,6)
Jadi, koordina titik A(8,6) ……………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
334
SOAL PENYELESAIAN 26. UAN 2003
Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan
matriks
−2
3dan dilanjutkan dengan
− 1
1 bayangannya adalah …
a. 3x + 2y + 5 = 0 b. 3x + 2y – 5 = 0 c. 2x – 3y + 5 = 0 d. 2x + 3y – 5 = 0 e. 2x + 3y + 5 = 0
Jawab : d
T1 = T =
−2
3 dan T2 = T =
−1
1, maka
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
+
−+
− y
x
2
3
1
1
'
'
y
x =
+
−y
x
1
2
y
x=
'
'
y
x –
−1
2 =
−+1'
2'
y
x
Maka: g : 2x + 3y = 6 g’ : 2(x’ + 2) + 3(y’ – 1) = 6
2x’ + 4 + 3y’ – 3 – 6 = 0 2x’ + 3y’ – 5 = 0 2x + 3y – 5 = 0 …………..………(d)
27. EBTANAS 2002
Koordinat bayangan titik (–2, 3) karena rotasi sebesar 60º dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = –x adalah …
a. ( )31,323
23 +−
b. ( )31,323
23 −−−
c. ( )31,323−−−
d. ( )31,323
23 −−
e. ( )31,323
23 −+
Jawab : a
T1 = R[O, 60º] =
−oo
oo
60cos60sin
60sin60cos
=
−
21
21
21
21
3
3
T2 = My = – x =
−−01
10
T2 ο T1 =
'
'
y
x =
−−01
10
−
21
21
21
21
3
3
−3
2
'
'
y
x=
−−−
3
3
21
21
21
21
−3
2
'
'
y
x=
+
−
31
3
23
23
……………..(a)
28. EBTANAS 2002
Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … a. y = x + 1 b. y = x – 1 c. y = ½x – 1 d. y = ½x + 1 e. y = ½x – ½
Jawab : c
T = My = x = x, y dibalik
y = 2x + 2 → =xyMx = 2y + 2
2y = x – 2
y = 21 x – 1 ……………(c)
SIAP UN IPA 2014 Transformasi Geometri
335
SOAL PENYELESAIAN 29. EBTANAS 2002
Diketahui segitiga ABC panjang sisi–sisinya 4, 5, dan 6 satuan terletak pada bidang α. T adalah transformasi pada bidang α yang bersesuaian dengan matriks
43
41. Luas bayangan segitiga ABC oleh
transformasi T adalah … satuan luas.
a. 7165
b. 74
15
c. 10 7
d. 15 7
e. 30 7
Jawab : e
(i) luas segitiga
s = )654(21 ++ = 2
15 = 217
L = ))()(( csbsass −−−
= )67)(57)(47( 21
21
21
215 −−−
= 23
25
27
215 ⋅⋅⋅ =
415
27
215 ⋅⋅
= 2
2
4715 ⋅ = 74
15
(ii) determinan matriks transformasi
det(A) = 43
41 = 4 – 12 = –8
(iii) luas bayangan
L’ = L × |det(A)| = 7415 × |–8|
= 30 7 ……………...(e)
20. BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut
Barisan Ciri utama Rumus suku ke–
n
Suku tengah Sisipan k bilangan
Aritmetika Beda b = Un – Un – 1 Un = a + (n – 1)b
Ut = 21 (a + U2k – 1) ,
k letak suku tengah,
banyaknya suku 2k–1
bbaru = 1k
xy
+−
Geometri Rasio r = 1−n
n
U
U Un = arn–1 Ut = nUa ⋅ ,
dengan t = ½(n + 1)
rbaru = 1kxy+
Catatan :
1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan
2. U1 = a = suku pertama suatu barisan
3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13
Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke–10 barisan tersebut adalah… A. 1.920 B. 3.072 C. 4.052 D. 4.608 E. 6.144 Jawab : E
U7 = ar6 = 384, maka U10 = U7 · r3
= 384·23 = 384·8 = 6.144.................................................(E)
2. UN 2012/D49 Barisan geometri dengan suku ke–5 adalah
3
1 dan rasio =
3
1, maka suku ke–9 barisan
geometri tersebut adalah …. A. 27 B. 9
C. 27
1
D. 81
1
E. 243
1
Jawab : E
U5 = ar4 = 3
1, maka
U9 = U5 · r4
= 3
1·
4
3
1
= 243
1………………………………….(E)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
337
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2011 PAKET 12
Suku ke–4 dan ke–9 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 110 dan 150. Suku ke–30 barisan aritmetika tersebut adalah … a. 308 b. 318 c. 326 d. 344 e. 354 Jawab : b
Cara I ………. Tentukan nilai a dan b U9 = a + 8b = 150 U4 = a + 3b = 110 _
5b = 40 b = 8 maka a = 110 – 3b
= 110 – 3(8) = 86 U30 = a + 29b = 86 + 29(8)
= 86 + 232 = 318 …………...(b)
Cara II……. Tidak usah di cari nilai a U30 = U9 + 21b = 150 + 21(8)
= 150 + 168 = 318 4. UN 2011 PAKET 46
Suku ke–6 dan ke–12 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 35 dan 65. Suku ke–52 barisan aritmetika tersebut adalah … a. 245 b. 255 c. 265 d. 285 e. 355 Jawab : c
Cara I ………. Tentukan nilai a dan b U12 = a + 11b = 65 U6 = a + 5b = 35 _
6b = 30 b = 5 maka a = 35 – 5b
= 35 – 5(5) = 10 U52 = a + 51b = 10 + 51(5)
= 10 + 255 = 265 …………...(c)
Cara II……. Tidak usah di cari nilai a U52 = U12 + 40b = 65 + 40(5)
= 65 + 200 = 265 5. UN 2010 PAKET A/B
Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 = … a. 10 b. 19 c. 28,5 d. 55 e. 82,5
Jawab :d
Gunakan rumus umum suku ke–n U2 + U15 + U40 = 165 (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165 a + 18b = 55 U19 = 55 ………..(d)
6. UN 2010 PAKET A/B Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah … a. 4 b. 2
c. 21
d. –21
e. –2
Jawab : b
• a , a + 3, a + 6 : Barisan aritmetika
• a , a + 3 – 1, a + 6 : Barisan Geometri a , a + 2, a + 6
• a + a + 2 + a + 6 = 14 : Deret Geometri 3a + 8 = 14
3a = 6 a = 2
• Rasio : r = 1
2
U
U = a
a 2+
= 2
22 + = 2 …………(b)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
338
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2009 PAKET A/B
Barisan bilangan aritmetika terdiri dari 21 suku. Suku tengah barisan tersebut adalah 52, sedangkan U3 + U5 + U15 = 106. suku ke–7 barisan tersebut adalah … a. 27 b. 30 c. 32 d. 35 e. 41 Jawab : c
• U3 + U5 + U15 = a + 2b + a + 4b + a + 14b
106 = 3a + 20b……………….(1) 106 = 2a + (a + 20b) 106 = 2a + U21 U21 = 106 – 2a …………….(2)
• Substitusikan pers. (2) ke rumus Ut
Ut = 21 (a + U21)
52 = 21 (a + 106 – 2a)
104 = 106 – a a = 106 – 104 = 2
• Substitusikan a = 2 pers. (1) 106 = 3a + 20b 106 = 3(2) + 20b 20b = 106 – 6 = 100 b = 5
Jadi, U7 = a + 6b = 2 + 6(5) = 32 ………………….(c)
8. UN 2009 PAKET A/B
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah dua, dan suku kedua dikurangi dua, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya menjadi empat kali suku pertama. Maka suku pertama deret aritmetika tersebut adalah … a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 14 Jawab : b
1) x, y, z…………..…: barisan aritmetika z + 2 = 4x
z = 4x – 2 • beda b
y – x = z – y y – x = (4x – 2) – y y + y = 4x + x – 2
–5x + 2y = – 2 ……………………..(1) 2) x, (y – 2), (z + 2) ……….: barisan geometri
• Rasio r
2
22
−+=−
y
z
x
y
2
2242
−+−=−
y
x
x
y
2
42
−=−
y
x
x
y
4x2 = (y – 2)2 2x = y – 2 2x – y = – 2 ………………………(2)
• Dari pers. (1) dan (2) –5x + 2y = – 2 | × 1 ⇔ –5x + 2y = – 2 2x – y = – 2 | × 2 ⇔ 4x – 2y = – 4 +
–x = –6 x = 6
Jadi, U1 = 6 ……………………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
339
B. Masalah Berkaitan dengan Barisan Aritmetika dan Geometri SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2007 PAKET A Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah … bakteri a. 640 b. 3.200 c. 6.400 d. 12.800 e. 32.000 Jawab : c
• r = 2 •
515U = U3 = 400
U3 = ar2 400 = a·22 400 = a·4
a = 4400 = 100
• 535U = U7 = ar6
= 100×26 = 100×64 = 6.400 ……………………..(c)
2. UN 2004 Populasi suatu jenis serangga setiap tahun menjadi dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat ini mencapai 5000 ekor, maka 10 tahun yang akan datang populasinya sama dengan … a. 2.557.500 ekor b. 2.560.000 ekor c. 5.090.000 ekor d. 5.115.000 ekor e. 5.120.000 ekor Jawab : b
• r = 2
• a = 5.000
U10 = ar9 = 5.000 × 29
= 5.000 × 512
= 2.560.000 …………………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
340
C. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb
Deret Jumlah n suku pertama
Aritmetika
Sn = 21 n(a + Un) ……………jika a dan Un
diketahui
= 21 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui
Geometri
Sn = 1
)1(
−−
r
ra n
………………… jika r > 1
= r
ra n
−−
1
)1(…………………jika r < 1
Catatan:
1. Antara suku ke–n dan deret terdapat hubungan yaitu :
• Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S1
2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:
• r1
aS
−=∞
SOAL-SOAL DERET ARITMETIKA SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku ke–3 = 4 dan suku ke–7 = 16. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah … A. 115 B. 125 C. 130 D. 135 E. 140 Jawab : A
u7 = a + 6b = 16 u3 = a + 2b = 4_
4b = 12 b = 3
• u1 = u3 – 2b = 4 – 2(3) = –2 • u10 = u7 + 3b = 16 + 3(3) = 25
• un = 21 n(a + un)
u10 = 21 × 10(–2 + 25)
= 5 (23) = 115………………..(A) 2. UN 2013
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke–3 adalah 11 dan suku ke–8 adalah 31. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 800 B. 820 C. 840 D. 860 E. 870 Jawab : B
u8 = a + 7b = 31 u3 = a + 2b = 11 _
5b = 20 b = 4
• u1 = u3 – 2b = 11 – 2(4) = 3 • u20 = u8 + 12b = 31 + 12(4) = 79
• un = 21 n(a + un)
u20 = 21 × 20(3 + 79)
= 10 (82) = 820………………..(B)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
341
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Diketahui suku ke–3 dan ke–7 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 12 dan 32. Jumlah 8 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 312 B. 172 C. 156 D. 146 E. 117 Jawab : C
u7 = a + 6b = 32 u3 = a + 2b = 12 _
4b = 20 b = 5
• u1 = u3 – 2b = 12 – 2(5) = 2 • u8 = u7 + b = 32 + 5 = 37
• un = 21 n(a + un)
u8 = 21 × 8(2 + 37)
= 4 (39) = 156………………..(C) 4. UN 2013
Suku ke–4 dan suku ke–12 dari barisan aritmetika berturut–turut 36 dan 100. Jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 164 B. 172 C. 1.640 D. 1.760 E. 1.840 Jawab : D
u12 = a + 11b = 100 u4 = a + 3b = 36 _
8b = 64 b = 8
• u1 = u4 – 3b = 36 – 3(8) =1 2 • u20 = u12 + 8b = 100 + 8(8) = 164
• un = 21 n(a + un)
u20 = 21 × 20(12 + 164)
= 10 (176) =1.760………………..(D) 5. UN 2013
Diketahui suku ke–3 dan suku ke–8 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 2 dan –13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. –580 B. –490 C. –440 D. –410 E. –380 Jawab : D
u8 = a + 7b = –13 u3 = a + 2b = 2_
5b = –15 b = –3
• u1 = u3 – 2b = 2 – 2(–3) = 8 • u20 = u8 + 12b = –13 + 12(–3) = –49
• un = 21 n(a + un)
u20 = 21 × 20(8 – 49)
= 10 (–41) = –410………………..(D) 6. UN 2013
Diketahui suku ke–4 dan suku ke–9 suatu deret aritmetika berturut–turut adalah 15 dan 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah … A. 960 B. 690 C. 460 D. 390 E. 360 Jawab : B
u9 = a + 8b = 30 u4 = a + 3b = 15_
5b = 15 b = 3
• u1 = u4 – 3b = 15 – 3(3) = 6 • u20 = u9 + 11b = 30 + 11(3) = 63
• un = 21 n(a + un)
u20 = 21 × 20(6 + 63)
= 10 (69) = 690………………..(B)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
342
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Diketahui suku ke–3 dan suku ke–6 suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 8 dan 17. Jumlah 21 suku pertama deret tersebut adalah … A. 630 B. 651 C. 665 D. 670 E. 672 Jawab : E
u6 = a + 5b = 17 u3 = a + 2b = 8 _
3b = 9 b = 3
• u1 = u3 – 2b = 8 – 2(3) = 2 • u21 = u6 + 15b = 17 + 15(3) = 62
• un = 21 n(a + un)
u21 = 21 × 21(2 + 62)
= 21 (32) = 672………………..(E) 8. UN 2013
Diketahui deret aritmetika dengan suku ke–3 dan ke–6 berturut–turut adalah 30 dan 51. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah … A. 625 B. 755 C. 975 D. 1.050 E. 1.150 Jawab : C
u6 = a + 5b = 51 u3 = a + 2b = 30_
3b = 21 b = 7
• u1 = u3 – 2b = 30 – 2(7) = 16 • u15 = u6 + 9b = 51 + 9(7) = 114
• un = 21 n(a + un)
u15 = 21 × 15(16 + 114)
= 15 (65) = 975………………..(C)
9. UN 2012/A13 Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke–20 dari deret aritmetika tersebut adalah… A. 44 D. 38 B. 42 E. 36 C. 40 Jawab : A
Cara Biasa Sn = n2 + 5n
S2 = 22 + 5(2) = 14 U1 = S1 = 12 + 5(1) = 6 _
S2 – S1 = U2 = 8
b = U2 – U1 = 8 – 6 = 2 U20 = a + 19b
= 6 + 19(2) = 44 ………………………(A) Cara Cepat : Sn = n2 + 5n ⇒ Un = 2n + (5 – 1)
= 2n + 4 U20 = 2(20) + 4
= 44 10. UN 2012/C37
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn= 2n2 + 4n, Suku ke–9 dari deret aritmetika tersebut adalah … A. 30 D. 42 B. 34 E. 46 C. 38 Jawab : C
Cara Biasa Sn = 2n2 + 4n
S2 = 2(2)2 + 4(2) = 16 U1 = S1 = 2(1)2 + 4(1) = 6 _
S2 – S1 = U2 = 10
b = U2 – U1 = 10 – 6 = 4 U9 = a + 8b
= 6 + 8(4) = 38 ………………………(C) Cara Cepat :
Sn = 2n2 + 4n ⇒ Un = 2�2n + (4 – 2) = 4n + 2 U9 = 4(9) + 2
= 38
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
343
SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/D49
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 3n. Suku ke–20 deret tersebut adalah…. A. 38 D. 50 B. 42 E. 54 C. 46 Jawab : B
Cara Biasa Sn = n2 + 3n
S2 = 22 + 3(2) = 10 U1 = S1 = 12 + 3(1) = 4 _
S2 – S1 = U2 = 6
b = U2 – U1 = 6 – 4 = 2 U20 = a + 19b
= 4 + 19(2) = 42 ………………………(B) Cara Cepat : Sn = n2 + 3n ⇒ Un = 2n + (3 – 1)
= 2n + 2 U20 = 2(20) + 2 = 42
12. UN 2012/E52 Jumlah n suku pertama deret aritmatika
dinyatakan dengan Sn = 2
5n2 +
2
3n. Suku
ke–10 dari deret aritmatika tersebut adalah…. A. 49
B. 472
1
C. 35
D. 332
1
E. 29
Jawab : A
Cara Biasa
Sn = 2
5n2 +
2
3n
S2 = 2
5�22 +
2
3�2 = 13
U1 = S1 = 2
5�12 +
2
3�1 = 4
S2 – S1 = U2 = 9
b = U2 – U1 = 9 – 4 = 5 U10 = a + 9b
= 4 + 9(5) = 49 ………………………(A) Cara Cepat :
Sn = 2
5n2 +
2
3n ⇒ Un =
2
5· 2n +(
2
3–
2
5)
= 5n – 1 U10 = 5(10) – 1 = 49
13. UN 2008 PAKET A/B Suku keenam dan kedua belas suatu deret aritmetika berturut–turut adalah 43 dan 85. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 1.290 b. 2.210 c. 2.200 d. 2.300 e. 2.325
Jawab : d
• U12 = a + 11b = 85 • U6 = a + 5b = 43 _
6b = 42 b = 7
a + 5b = 43 a + 5(7) = 43 a = 43 – 35 = 8
• Sn = 21 n(2a + (n – 1)b)
S25 = 21 × 25(2 × 8 + (25 – 1) × 7)
= 21 × 25(16 + 24 × 7)
= 25(8 + 12 × 7) = 25 × 92 = 2.300 ……………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
344
SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2007 PAKET B
Diketahui suatu barisan aritmetika, Un menyatakan suku ke–n. Jika U7 = 16 dan U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah … a. 336 b. 672 c. 756 d. 1.344 e. 1.512
Jawab : b
• U3 + U9 = a + 2b + a + 8b 24 = 2a + 10b 12 = a + 5b ⇔ a + 5b = 12 U7 = a + 6b = 16_ _
–b = –4 b = 4
• a + 5b = 12 a + 5(4) = 12
a = 12 – 20 = –8
• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)
S21 = 21 ·21 (2(–8) + 20·4)
= 21(–8 + 10·4) = 21(–8 + 40) = 21(32) = 672 ………………………..(b)
15. UN 2007 PAKET A Suku ke–5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke–8 dengan suku ke–12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret itu adalah … a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84
Jawab : c
• U8 + U12 = a + 7b + a + 11b 52 = 2a + 18b 26 = a + 9b ⇔ a + 9b = 26 U5 = a + 4b = 11 _
5b = 15 b = 3
• a + 4b = 11 a + 4(3) = 11
a = 11 – 12 = –1
• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)
S8 = 21 ·8 (2(–1) + 7·3)
= 4 (–2 + 21) = 4(19) = 76 ………………………...(c)
16. UAN 2003
Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + log 6 + log 18 + log 54 + … adalah … a. 5 log(4·310) b. 5 log(2·39) c. log(4·310) d. log(4·345) e. log(45·345)
Jawab : e
• a = log 2
• b = log 6 – log 2 = )log(26 = log 3
• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)
S10 = 21 · 10(2·log 2 + 9 log 3)
= 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
345
SOAL-SOAL DERET GEOMETRI SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2012/A13 Suku ke–3 dan suku ke–7 suatu deret geometri berturut–turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah… A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 Jawab : C
U3 = ar2 = 16 U7 = ar6 = 256 Sehingga:
• 3
7
U
U=
2
6
ar
ar=
16
256
r4 = 16 r = 2
• ar2 = a· 22 = 16 a = 4
• S7 = 1
)1(
−−
r
ra n
= 12
)12(4 7
−−
= 4(128 – 1) = 508 ...............................(C)
2. UN 2008 PAKET A/B Diketahui suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri dengan suku positif berturut–turut adalah 6 dan 96. Jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah … a. 72 b. 93 c. 96 d. 151 e. 160
Jawab : b
• U6 = ar5 = 96 • U2 = ar = 6
• 2
6
U
U=
ar
ar5
= 6
96
r4 = 16 r = 2
• ar = 6 a × 2 = 6 a = 3
• Sn = 1
)1(
−−
r
ra n
S5 = 12
)12(3 5
−−
= 3(32 – 1) = 93 …………….………(b)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
346
D. Masalah Berkaitan dengan Deret Aritmetika dan Geometri SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2013 Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian
2 m dan memantul kembali menjadi *( tinggi
sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti adalah … A. 8 m B. 16 m C. 18 m D. 24 m E. 32 m Jawab : C
Cara biasa
• h = 2, r = 54 = n
m
• a = 54 h =
54 ×2 = 5
8
• Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)
= h + r
a
−1
2 = 2 +
5458
1
2
−
⋅
= 2 + 515
16
= 2 + 16
= 18 …………..(C) Cara Cepat
• Stot = hmn
mn ×−+
= 245
45 ×−+
= 9(2) = 18
2. UN 2013 Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 5 m dan memantul kembali
dengan tinggi ,* dari ketinggian semula.
Panjang lintasan bola tersebut sampai bola berhenti adalah … A. 25 m B. 30 m C. 35 m D. 45 m E. 65 m Jawab : C
Cara biasa
• h = 5, r = ,* = n
m
• a = ,*h =
,* ×5 = 4
15
• Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)
= h + r
a
−1
2 = 5 +
434
15
1
2
−
⋅
= 5 + 41430
= 5 + 30
= 35 …………..(C) Cara Cepat
• Stot = hmn
mn ×−+
= 534
34 ×−+
= 7(5) = 35
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
347
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari
ketinggian 4 m dan memantul kembali ,*
dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti adalah … A. 12 m B. 16 m C. 24 m D. 28 m E. 32 m Jawab : D
Cara biasa
• h = 5, r = ,* = n
m
• a = ,*h =
,* ×4 = 3
• Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)
= h + r
a
−1
2 = 4 +
431
32
−⋅
= 4 + 41
32 ⋅= 4 + 6(4)
= 28 …………(D) Cara Cepat
• Stot = hmn
mn ×−+
= 434
34 ×−+
= 7(4) = 28
4. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 512 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.048 cm Jawab : B
Geometri • n = 8, u1 = 4, u9 = 512
• 1
8
u
u=
a
ar 7
= 4
512
r7 = 128 = 27 r = 2
• S8 = 1
)1(
−−
r
ra n
= 12
)12(4 8
−−
= 4(256 – 1) = 1.020 ..............................(B)
5. UN 2013 Seutas tali dipotong menjadi 9 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali yang paling panjang 1.024 cm. Panjang tali semula adalah … A. 512 cm B. 1.020 cm C. 1.024 cm D. 2.032 cm E. 2.044 cm Jawab : E
Geometri • n = 9, u1 = 4, u9 = 1.024
• 1
9
u
u=
a
ar8
= 4
1024
r8 = 256 = 28 r = 2
• S9 = 1
)1(
−−
r
ra n
= 12
)12(4 9
−−
= 4(512 – 1) = 2.044 ..............................(E)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
348
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah … A. 6.200 unit B. 6.400 unit C. 12.400 unit D. 12.600 unit E. 12.800 unit Jawab : D
Geometri • u1 = 200, u4 = 1.600
• 1
4
u
u=
a
ar3
= 200
600.1
r3 = 8 = 23 r = 2
• S6 = 1
)1(
−−
r
ra n
= 12
)12(200 6
−−
= 200(64 – 1) = 12.600.............................(D)
7. UN 2012/A13 Tempat duduk pertunjukan film di atur mulai dari depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah….. A. 1.200 tempat duduk B. 800 tempat duduk C. 720 tempat duduk D. 600 tempat duduk E. 300 tempat duduk Jawab : C
• baris terdepan 20 ⇒ U1 = 20 • banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari
baris di depannya ⇒ b = 4 • gedung pertunjukan terdapat 15 baris ⇒ S15
Sn = ))1(2(2
bnan −+ , maka:
S15 = )414202(2
15 ⋅+⋅
= 15(20 + 28) = 15(48) = 720 ........................................................(C)
8. UN 2012/B25
Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke–16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke–16 adalah ... A. 45.760 B. 45.000 C. 16.960 D. 16.000 E. 9.760 Jawab : A
• Tahun pertama 1.960 ⇒ U1 = 1.960
• Tiap tahun produksi turun 120 ⇒ b = 120 • Total produksi sampai tahun ke–16 ⇒ S16
Sn = ))1(2(2
bnan −+ , maka:
S16 = )1201519602(2
16 ⋅+⋅
= 16(1960 + 900) = 16(2860) = 45.760 ...................................................(A)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
349
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/C37
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke–12 adalah … A. Rp1.740.000,00 B. Rp1.750.000,00 C. Rp1.840.000,00 D. Rp1.950.000,00 E. Rp2.000.000,00 Jawab : A
• Bulan pertama 46.000 ⇒ U1 = 46.000 • pertambahan keuntungan setiap bulan 18.000
⇒ b = 18.000 • Jumlah keuntungan sampai bulan
ke–12 ⇒ S12
Sn = ))1(2(2
bnan −+ , maka:
S12 = )1800011460002(2
12 ⋅+⋅
= 6(92000 + 198000) = 6(290000) = 1.740.000 ...............................................(A)
10. UN 2012/D49 Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00. setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp.200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah …. A. Rp.25.800.000,00. B. Rp.25.200.000,00. C. Rp.25.000.000,00. D. Rp.18.800.000,00 E. Rp.18.000.000,00 Jawab : C
• Gaji awal 1.600.000 ⇒ U1 = 1.600.000 • Kenaikan gaji berkala sebesar 200.000
⇒ b = 200.000 • kontrak selama 10 tahun ⇒ S10
Sn = ))1(2(2
bnan −+ , maka:
S12 = )200000916000002(2
10 ⋅+⋅
= 10(1.600.000 + 900.000) = 10(2.500.0000) = 25.000.0000...........................................(C)
11. UN 2011 PAKET 12 Seorang penjual daging pada bulan Januari menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah … a. 1.050 kg d. 1.650 kg b. 1.200 kg e. 1.750 kg c. 1.350 kg Jawab: d
Dari soal diketahui a = 120, dan b = 10 Maka :
S10 = )92(2
10ba +
= 5(2 · 120 + 9 · 10) = 5(240 + 90) = 1.650 ………………………………..(d)
12. UN 2011 PAKET 46 Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 4.000 buah pada awal produksi. Pada bulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila kemajuan tetap, maka jumlah produksi dalam 1 tahun ada … a. 45.500 buah b. 48.000 buah c. 50.500 buah d. 51.300 buah e. 55.500 buah Jawab : d
Dari soal diketahui a = 4000, dan b = 50 Maka :
S12 = )92(2
12ba +
= 6(2 · 4.000 + 11 · 50) = 6(8.000 + 550) = 6(8.550) = 51.300 ……………………………….(d)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
350
SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2009 PAKET A/B
Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh 90 cm, dan lintasan berikutnya hanya
mencapai 85 dari lintasan sebelumnya.
Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah … cm A. 120 D. 250 B. 144 E. 260 C. 240 Jawab : c
• a = 90
• r = 85
S∞ = r
a
−1 =
851
90
−
= 83
90
= 3890×
= 30 × 8 = 240 ………….(c) 14. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah … a. 112 tahun b. 115 tahun c. 125 tahun d. 130 tahun e. 160 tahun Jawab : b
• n = 5 • a = 33 • U5 = 13
• Sn = 21 n(a + Un)
S5 = 21 × 5(a + U5) =
21 × 5(33 + 13)
= 21 × 5 × 46
= 115 ………………(b)
15. UN 2007 PAKET B Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap bola itu memantul ia mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut hingga bola berhenti adalah … meter a. 17 b. 14 c. 8 d. 6 e. 4 Jawab : b
• h = 2
• r = 43
• a = 43 h = 4
3 ×2 = 23
• Stot = h + Snaik + Sturun = h + 2(S∞)
= h + r
a
−1
2 = 2 +
4323
1
2
−⋅
= 2 + 41
3 = 2 + 12
= 14 …………..(b)
16. UN 2006 Seseorang mempunyai sejumlah uang yang akan diambil tiap bulan yang besarnya mengikuti aturan barisan aritmetika. Pada bulan pertama diambil Rp1.000.000,00, bulan kedua Rp925.000,00, bulan ketiga Rp850.000,00, demikian seterusnya. Jumlah seluruh uang yang telah diambil selama 12 bulan pertama adalah … a. Rp6.750.000,00 b. Rp7.050.000,00 c. Rp7.175.000,00 d. Rp7.225.000,00 e. Rp7.300.000,00
Jawab : b
• a = 1.000.000 • b = 925.000 – 1.000.000 = –75.000
• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)
S12 = 21 · 12{2(1.000.000) + 11(–75.000)}
= 6(2.000.000 – 825.000) = 6(1.175.000) = 7.050.000 ………………………..(b)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
351
SOAL PENYELESAIAN 17. UN 2004
Nila ∑ +=
8
1n)3n2( = …
a. 24 b. 28 c. 48 d. 96 e. 192 Jawab : d
∑ +=
8
1n)3n2( = ∑
=
8
1
2n
n + ∑=
8
1
3n
= )8...321(2 +++ + 3·8
= 2· 21 · 8·(1+8) + 24
= 72 + 24 = 96 ……………………(d)
18. UN 2005 Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmetika berturut–turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah … a. 117 b. 120 c. 137 d. 147 e. 160
Jawab : d
• U5 = a + 4b = 24 • U3 = a + 2b = 18_ _
2b = 6 b = 3
• a + 2b = 18 a + 2(3) = 18
a = 18 – 6 = 12
• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)
S7 = 21 · 7 (2·12 + 6·3)
= 7(12 + 3·3) = 7(12 + 9) = 7(21) = 147 …………………………..(d)
19. UN 2005 Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian menurut deret geometri. Jika yang terpendek 10 cm dan yang terpanjang 160 cm, panjang tali semula adalah … cm a. 310 b. 320 c. 630 d. 640 e. 650 Jawab : a
• n = 5 • a = 10 • U5 = 160 = a·r4
160 = 10·r4 r4 = 16 r = 2
• Sn = 1
)1(
−−
r
ra n
S5 = 12
)12(10 5
−−
= 10(32 – 1 ) = 10(31) = 310 ……………………..…(a)
20. UN 2004 Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2, hasil kali suku ke–3 dan ke–6 adalah … a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384
Jawab : c
• S5 = 93 • r = 2
• Sn = 1
)1(
−−
r
ra n
S5 = 12
)12( 5
−−a
93 = a(32 – 1) 93 = 31a
a = 3193 = 3
• U3· U6 = ar2· ar5 =3·22
·3·25 =3·4·3·32 = 1.152 …………………………….(c)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
352
SOAL PENYELESAIAN 21. UAN 2003
Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 3n2 – 5n. Suku kesepuluh deret tersebut adalah … a. 250 b. 245 c. 75 d. 60 e. 52 Jawab : e
• Sn = 3n2 – 5n = n(3n – 5)
• U10 = S10 – S9
= {10(3×10 – 5)} – {9(3×9 – 5)}
= 10×25 – 9×22
= 250 – 198
= 52 ………………………………..(e)
22. EBTANAS 2002 Jika x6 = 162 adalah suku keenam suatu deret geometri, log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3, maka jumlah empat suku pertama deret tersebut sama dengan …
a. 8032
b. 80 c. 27
d. 2632
e. 26 Jawab : d
log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3 log (x2· x3 · x4 · x5) =2(2 log 2 + 3 log 3) log (ar· ar2 · ar3 · ar4) =2(log 22 + log 33)
log a4r10 = 2(log 22·33) 2 log a2r5 = 2(log 22·33) log a2r5 = log 22
·33 a2r5 = 22
·33 …………………….(1)
• x6 = 162 ar5 = 162 = 2·81 = 2·34 …………….(2)
dari (1) dan (2)
5
52
ar
ra =
4
32
32
32
⋅⋅
a = 32
• substitusikan a = 32 ke pers. (2)
ar5 = 2·34
{32 ·r5 = 2·34}× 2
3
r5 = 35 r = 3
• deret 4 suku pertama
S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = a + ar + ar2 + ar3
= 32 +
32 ·3 +
32 ·32 +
32 ·33
= 32 + 2 + 6 + 18 = 26
32 …………(d)
SIAP UN IPA 2014 Baris dan Deret
353
SOAL PENYELESAIAN 23. UAN 2003
Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak, makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah uang yang diterima oleh si bungsu adalah … a. Rp15.000,00 b. Rp17.500,00 c. Rp20.000,00 d. Rp22.500,00 e. Rp25.000,00
Jawab : b
• S4 = 100.000 • b = –5.000
• Sn = n· 21 (2a + (n – 1)b)
S4 = 4· 21 {2a + 3(–5.000)}
100.000 = 2(2a – 15.000) 50.000 = 2a – 15.000
2a = 50.000 + 15.000 2a = 65.000 a = 32.500 ……………... sulung
• Bungsu = U4 = a + 3b = 32500 + 3(–5.000) = 32.500 – 15.000 = 17.500 ………………..(b)
21. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA A. Persamaan Eksponen
Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, maka berlaku
1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p
2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)
3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0
4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)} g(x), maka
a) f(x) = g(x)
b) h(x) = 1
c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0
d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
5. Jika { } { } 0CaBaA )x(f2)x(f =++ , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Persamaan grafik pada gambar berikut adalah …
A. 1
2
1+
=x
y
B. x
y
=2
1
C. � = 2H D. y = 2log x
E. xy log2
1
= Jawab : A
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (–1, 1), (–3, 4), maka f(–1) = 1, dan f(–3) = 4 Jawaban yang benar adalah (A)
y = f(x) = 1
2
1+
x
= (2– 1 )x + 1 = 2–x – 1
i) f(–1) = 21 – 1 = 20 = 1 ⇒ f(–1) = 1 ii) f(–3) = 23 – 1 = 22 = 4 ⇒ f(–3) = 4
2. UN 2013 Persamaan grafik fungsi seperti pada gambar adalah …
A. x
y
−=2
1
B. x
y
=2
1
C. x
y
=4
1
D. x
y
−=4
1
E. xy 2= Jawab : C
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (
21− , 2), (–1, 4), maka
f(
21− ) = 2, dan f(–1) = 4
Jawaban yang benar adalah (C)
y = f(x) = x
4
1= (2– 2 )x = 2–2x
i) f(21− ) =
)(221
2−−
= 21 = 2⇒f(21− ) = 2
ii) f(–1) = )1(22 −− = 22 = 4 ⇒ f(–1) = 4
1
2
3
4
-3 -2 -1
y = f(x) Y
X
1
2
3
4
-1 0 1
Y
X
2
1−
y = f(x)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
355
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Persamaan grafik pada gambar berikut adalah … A. I(�) = 2HJ$
B. I(�) = 2H + 1
C. I(�) = 2HJ$ + 1
D. f(x) = 2log(x + 1)
E. f(x) = 1 + 2log x
Jawab : C
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (2, 5), maka f(0) = 2, dan f(2) = 5 Jawaban yang benar adalah (C) y = I(�) = 2H + 1 i) f(0) = 120 + = 1 + 1 = 2⇒f(0) = 2
ii) f(2) = 122 + = 4 + 1 = 5 ⇒ f(2) = 5
4. UN 2013 Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut adalah …
A. 1
2
1
2−
=x
y
B. 1
2
1
2−−
=x
y
C. 22 −= xy
D. 22 += xy
E. 122 −= xy
Jawab : A
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 1), (4, 2), maka f(2) = 1, dan f(4) = 2 Jawaban yang benar adalah (A)
y = f(x) = 1
21
2−x
i) f(2) = 1)2(
21
2−
= 20 = 1 ⇒f(0) = 2
ii) f(4) = 1)4(
21
2−
= 21 = 2 ⇒ f(4) = 2
5. UN 2013 Persamaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar adalah …
A. 22 −= xy
B. 22 −= xy
C. 12 −= xy
D. )1log(2 −= xy
E. )1log(2 += xy
Jawab : B
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 2), (3, 6), maka f(2) = 2, dan f(3) = 6 Jawaban yang benar adalah (B) y = f(x) = 2x – 2
i) f(2) = 22 – 2= 4 – 2 = 2 ⇒f(2) = 2
ii) f(3) = 23 – 2= 8 – 2 = 6 ⇒ f(3) = 6
1
2
5
0 2
Y
X
1
2
0 1 2 3 4
Y
X
-1 0
2
6
1 2 3
X
Y
y = f(x)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
356
2 4
0 1 X
Y y= f(x)
SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2013
Persamaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar berikut adalah …
A. 322 −= xy
B. 322 += xy
C. 332 −= xy
D. 332 += xy
E. 22 −= xy
Jawab : A
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 2), (3, 8), maka f(2) = 2, dan f(3) = 8 Jawaban yang benar adalah (A) y = f(x) = 22x – 3
i) f(2) = 22(2) – 3 = 21 = 2 ⇒f(2) = 2
ii) f(3) = 22(3) – 3 = 23 = 8 ⇒ f(3) = 8
7. UN 2013 Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …
A. xy 22 ⋅=
B. xy 32 ⋅−=
C. xy 32 ⋅=
D. xy 23⋅=
E. xy 2)3( ⋅−=
Jawab : C
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (1, 6), (2, 18), maka f(1) = 6, dan f(2) = 18 Jawaban yang benar adalah (C) y = f(x) = 2·3x
i) f(1) = 2·31 = 2·3 = 6 ⇒f(1) = 6
ii) f(2) = 2·32 = 2·9 = 18 ⇒ f(2) = 18
8. UN 2013
Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut adalah … A. I(�) = 2H + 1 B. I(�) = 2� + 1 C. I(�) = 3H − 1 D. I(�) = 3H + 1 E. I(�) = 3HJ$ Jawab : D
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (1, 4), maka f(0) = 2, dan f(1) = 4 Jawaban yang benar adalah (D) y = f(x) = 3x + 1
i) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒f(0) = 2
ii) f(1) = 31 + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ f(1) = 4
12
8
0 2 32
3X
Y
2
6
18
0 1 2
Y
X
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
357
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/B25
Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik berikut adalah ... A. f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 2x+1 E. f(x) = 3x C. f(x) = 2x + 1 Jawab : C
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0,2), (1, 3), maka f(0) = 2, dan f(1) = 3 Jawaban yang benar adalah (C)
f(x) = 2x + 1 i) f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ f(1) = 3
10. UN 2012/C37 Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah … A. f(x) = 2x – 1 D. f(x) = 2log (x – 1) B. f(x) = 2x – 1 E. f(x) = 2x – 2 C. f(x) = 2log x Jawab : B
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (1,1), (2, 3), maka f(1) = 1, dan f(2) = 3 Jawaban yang benar adalah (B)
f(x) = 2x – 1 i) f(1) = 21 – 1 = 2 – 1 = 1 ⇒ f(1) = 1 ii) f(2) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 ⇒ f(2) = 3
11. UN 2012/D49 Perhatikan gambar grafik fungsi ekspon berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …. A. f(x) = 3x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 3x + 1 E. f(x) = 3x – 1 C. f(x) = 3x – 1 Jawab : B
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0, 2), (1, 4), (2,10), maka f(0) = 2, dan f(1) = 4 Jawaban yang benar adalah (B)
f(x) = 3x + 1 i) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 31 + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ f(1) = 4
–1 2
1−
1
2
3
–1 1 2 3
(2,3)
(1,1)
X
Y
1
23
–2 –1 0 1 2 3
(1,3)(0,2
X
Y
2
4
10
–2 –1 0 1 2 3
Y
X
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
358
SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2012/E52
Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah…. A.f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 2x + 1 E. f(x) = 3x – 2 C. f(x) = 32x – 2 Jawab : E
Gunakan cek point Fungsi melalui titik (2, 1), (3, 3) maka f(2) = 1, dan f(3) = 3 Jawaban yang benar adalah (E)
f(x) = 3x – 2 i) f(2) = 3 2 – 2 = 30 = 1 ⇒ f(2) = 1 ii) f(3) = 3 3 – 2 = 31 = 3 ⇒ f(3) = 3
13. UN 2009 PAKET A/B Akar–akar persamaan 2x + 23 – x = 9 adalah α dan β. Nilai α + β = … a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9
Jawab : a
2x + 23 – x = 9 ⇔ {2x + 23 ⋅ 2– x = 9}× 2x ⇔ 22x + 23 = 9 ⋅ 2x ⇔(2x)2 – 9(2x) + 8 = 0 ⇔(2x – 1) (2x – 8) = 0
(i) 2x – 1= 0 2x = 1 2x = 20 x = 0 = α
(ii) 2x – 8 = 0 2x = 8 2x = 23 x = 3 = β
Jadi, α + β = 0 + 3 = 3 …………………(a)
14. UN 2008 PAKET A/B Akar–akar persamaan 4x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 adalah x1 dan x2. nilai x1 ⋅ x2 = … a. 3 b. 6 c. 8 d. 12 e. 32
Jawab : b
4x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 ⇔ (2x)2 – 12(2 x) + 32 = 0 ⇔ (2x – 4)(2x – 8) = 0
(i) 2x – 4= 0 2x = 4 2x = 22 x = 2 = x1
(ii) 2x – 8 = 0 2x = 8 2x = 23 x = 3 = x2
Jadi, x1 · x2 = 2 · 3 = 6 …………………(b)
15. UN 2007 PAKET A Diketahui x1 dan x2 akar–akar persamaan
9x – 3
10 ·3x + 1 = 0. Nilai x1 + x2 = …
a. 2
b. 23
c. 1
d. 0
e. – 2
Jawab : d
9x – 3
10 ·3x + 1 = 0
⇔ {32x – 3
10 ·3x + 1 = 0}× 3
⇔ 3(3x)2 – 10(3x) + 3 = 0 ⇔ {3(3x) – 1}(3x – 3) = 0
(i) 3(3x) – 1= 0
3x = 31
3x = 3–1
x = –1
(ii) 3x – 3= 0 3x = 31
x = 1
Jadi, x1 + x2 = –1 + 1 = 0 ……………………(d)
1
2
3
–2 –1 0 1 2 3
X
Y
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
359
SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2007 PAKET B
Akar–akar persamaan 32 + x + 31 – x = 12, adalah x1 dan x2. Nilai 2x1 + 2x2 = … a. –4
b. –2
c. –1
d. 94
e. 32
Jawab : b
32 + x + 31 – x = 12 ⇔ {32 · 3x + 3 · 3– x – 12 = 0} × 3x ⇔ 9 · (3x) 2 + 3 · 1 – 12(3x) = 0 ⇔ 3(3x) 2 – 4(3x) + 1 = 0 ⇔ {3(3x) – 1}(3x – 1) = 0
(i) 3(3x) – 1= 0
3x = 31
3x = 3–1
x = –1
(ii) 3x – 1= 0 3x = 1
3x = 30 x = 0
Jadi, 2x1 + 2x2 = 2(–1) + 2(0) = –2 ………….(b)
17. UN 2005 Himpunan penyelesaian persamaan 2·9x – 3x + 1 + 1 = 0 adalah …
a. { 21 , 1}
b. {– 21 , –1}
c. {– 21 , 1}
d. {0, 3log 21 }
e. {0, 3log21
} Jawab : d
2·9x – 3x + 1 + 1 = 0 ⇔ 2·32x – 3x · 3 + 1 = 0 ⇔ 2(3x) 2 – 3(3x) + 1 = 0 ⇔ {2(3x) – 1}(3x – 1) = 0
(i) 2(3x) – 1= 0
3x = 21
x = 3log 21
(ii) 3x – 1= 0 3x = 1
x = 3log 1 = 0
Jadi, HP = {0, 3log 21 } ………………………(d)
18. UAN 2003 Penyelesaian persamaan
1x3x4x
32
18
2
−+− = adalah p dan q, dengan
p > q. nilai p + 6q = … a. –17
b. –1
c. 3
d. 6
e. 19
Jawab : b
1x
3x4x
32
18
2
−+− =
⇔)1(5
)34(3
2
12
2
−+− =
xxx
⇔ )1(5)34(22
223 −−+− = xxx
⇔ { )34(
223 +− xx = – 5(x – 1)} × 2
⇔ 3(x2 – 4x + 3) = – 10(x – 1) ⇔ 3x2 – 12x + 9 = – 10x + 10 ⇔ 3x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ (x – 1)(3x + 1) = 0
(i) x – 1 = 0 x = 1 = p
(ii) 3x + 1 = 0
x = 31− = q
Jadi, p + 6q = 1 + 6(31− )
= 1 – 2 = –1 …………………(b)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
360
SOAL PENYELESAIAN 19. EBTANAS 2002
Nilai x yang memenuhi 1x23 + = 9x – 2 adalah … a. 2
b. 2½
c. 3
d. 4
e. 4½
Jawab : e
1x23 + = 9x – 2
⇔ )12(
21
3+x
= 32(x – 2)
⇔ { )12(21 +x = 2(x – 2)} × 2
⇔ 2x + 1 = 4(x – 2) ⇔ 2x + 1 = 4x – 8 ⇔ 4x – 2x = 1 + 8 ⇔ 2x = 9
⇔ x = 214 …………………………..(e)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
361
B. Pertidaksamaan Eksponen � Untuk a > 1
1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)
2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)
� Jika 0 < a < 1
1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)
2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0, x ∈ R adalah… A. x > –1 atau x > 2 B. x < –1 atau x < 2 C. x < 1 atau x > 2 D. x < –1 atau x > 2 E. x > –1 atau x < –2 Jawab : D
32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0
⇔ 3(3x)2 – 28⋅3x + 9 > 0 ⇔
31 {(3 ⋅3x – 1) (3⋅3x – 27)} > 0
⇔ (3⋅3x – 1)(3x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 3⋅3x – 1 = 0
3x = 31 = 3– 1
x = – 1
ii) 3x – 9 = 0 3x = 9= 32 x = 2
Jadi, pembentuk nol x = {–1, 2}
karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(D)
2. UN 2012/C37 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 92x – 10⋅9x + 9 > 0, x ∈ R adalah … F. x < 1 atau x > 9 G. x < 0 atau x > 1 H. x < –1 atau x > 2 I. x < 1 atau x > 2 J. x < –1 atau x > 1 Jawab : B
92x – 10⋅9x + 9 > 0
⇔ (9x)2 – 10⋅9x + 9 > 0 ⇔ (9x – 1) (9x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 9x – 1 = 0
9x = 1= 90 x = 0
ii) 9x – 9 = 0 9x = 9 = 91 x = 1
Jadi, pembentuk nol x = {0, 1}
karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……….(B)
3. UN 2012/D49 Nilai x memenuhi pertidaksamaan 52x – 6⋅5x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah…. A. 1 < x < 2 B. 5 < x < 25 C. x < – 1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < 5 atau x > 25 Jawab : D
52x – 6⋅5x + 1 + 125 > 0
⇔ (5x)2 – 6⋅5⋅5x + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 30⋅5x + 125 > 0 ⇔ (5x – 5)(5x – 25) > 0 Pembentuk nol: i) 5x – 5 = 0
5x = 5 = 51 x = 1
ii) 5x – 25 = 0 5x = 25 = 52 x = 2
Jadi, pembentuk nol x = {1, 2}
karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……….(D)
Tanda Pertidaksamaan berubah
Tanda Pertidaksamaan tetap
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
362
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2012/E52
Penyelesaiyan pertidak samaan 22x+1 – 5⋅2x+1 + 8 ≥ 0 adalah….
A. x ≤ 0 atau x ≥ 2 B. x ≤ 1 atau x ≥ 4 C. x ≤ 2 atau x ≥ 4 D. 0 ≤ x ≤ 2 E. 1 ≤ x ≤ 4 Jawab : A
22x+1 – 5⋅2x+1 + 8 ≥ 0 ⇔ 2(2x)2 – 5⋅2⋅2x + 8 ≥ 0 ⇔ (2x)2 – 5⋅2x + 4 ≥ 0 ⇔ (2x – 1) (2x – 4)} ≥ 0 Pembentuk nol: i) 2x – 1 = 0
2x = 1= 20 x = 0
ii) 2x – 4 = 0 2x = 4= 22 x = 2
Jadi, pembentuk nol x = {0, 2} karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(A)
5. UN 2008 PAKET A/B Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
( ) 231331
29 −+− ≤ xxx
adalah …
A. { }215| ≤≤− xx
B. { }5| 21 ≤≤− xx
C. { }215| ≥−≤ xatauxx
D. { }5| 21 ≥−≤ xatauxx
E. { }5| 21 ≥≤ xatauxx
Jawab : c
( ) 231331
29 −+− ≤ xxx
⇔ ( ) ( ) 2321312
33−+−− ≤
xxx
⇔ )23(2)13( 233 −+−− ≤ xxx
⇔ – (3x – 1) ≤ 2(x2 + 3x – 2) ⇔ –3x + 1 ≤ 2x2 + 6x – 4 ⇔ –2x2 – 3x – 6x + 1 + 4 ≤ 0 ⇔ {–2x2 – 9x + 5 ≤ 0} × (–1) ⇔ 2x2 + 9x – 5 ≥ 0 ……pertidaksamaan berubah ⇔ (x + 5)(2x – 1) ≥ 0
pembentuk nol x = {–5, 21 }
karena tanda pertidaksamaannya ≥, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(c)
6. UN 2006 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
xxx 4323
25)5(−< adalah …
a. 1 < x < 3 atau x > 4
b. 0 < x < 1 atau x > 2
c. 0 < x < 3 atau x > 4
d. x < 0 atau 1 < x < 3
e. 0 < x < 1 atau x > 3
Jawab : d
xxx 4323
25)5(−
<
⇔ )(2
4323
21
5)5(xxx −
<
⇔ xxx
2323
21 2
55−
<
⇔ { 321 x < xx 2
322 − } × 2
⇔ x3 < 4x2 – 3x ⇔ x3 – 4x2 + 3x < 0 ⇔ x(x2 – 4x + 3) < 0 ⇔ x(x – 1)(x – 3) < 0 pembentuk nol (i) x = 0 (ii) x – 1= 0
x = 1
(iii) x – 3 = 0 x = 3
Jadi x = {0, 1, 3} Karena pembentuk nol ada 3, untuk menentukan daerah HP dibuat dulu grafiknya sbb:
berdasarkan garfik di atas, maka: HP = { x < 0 atau 1 < x < 3} …………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
363
C. Persamaan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0
1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p
2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12
Nilai x yang memenuhi persamaan
1log)3log( 2
122
1
−=−− xx adalah … a. x = –1 atau x = 3 b. x = 1 atau x = –3 c. x = 1 atau x = 3 d. x = 1 saja e. x = 3 saja Jawab : a
1log)3log( 2
122
1
−=−− xx
⇔ 122
2
1
2log)3
log( −=−x
x
⇔ 2log)3
log( 22
2 −=−−x
x
⇔ 232
=−x
x
⇔ x2 – 3 = 2x ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
x = {–1, 3} ……………………………..(a) 2. UN 2011 PAKET 46
Nilai x yang memenuhi persamaan
2)22log()22(log 222 =−−− xx adalah … a. x = 6 atau x = 2½ b. x = 6 atau x = 3 c. x = 3 atau x = 4 d. x = 3 atau x = 1¼ e. x = 4 atau x = 6 Jawab : a
2)22log()22(log 222 =−−− xx
⇔ 02)22log())22log(( 222 =−−−− xx bentuk di atas adalah bentuk persamaan kuadrat (2log(x –2) + 1) (2log(x –2) – 2) = 0 i) 2log(x –2) + 1 = 0
2log(x –2) = – 1 x – 2 = 2 – 1 x – 2 = ½
x = ½ + 2 = 2 ½
ii) 2log(x –2) – 2 = 0 2log(x –2) = 2
x – 2 = 2 2 x – 2 = 4
x = 4 + 2 = 6 jadi x = {2 ½, 6} ……………………………..(a)
3. UN 2009 PAKET A/B
Untuk x yang memenuhi 816log 4
122 =
−x
, maka 32x = … a. 19 b. 32 c. 52 d. 144 e. 208
Jawab : d
816log 4
122 =
−x
⇔
−4
124
2 2log
x
= 8
⇔ 122 2log −x = 8
⇔ (2x – 1) 2log 2 = 8 ⇔ 2x – 1 = 8 2x = 9 …. Kedua ruas dikali 16
32x = 144………………….(d)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
364
SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2008 PAKET A/B
Akar–akar persamaan logaritma 3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 adalah x1 dan x2. nilai x1 + x2 = …. a. 2 b. 3 c. 6 d. 9 e. 12 Jawab : E
3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 ⇔ (3log x)2 – 3 (3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0
(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1
x = 31 = 3
(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2
x = 32 = 9
Jadi x1 + x2 = 3 + 9 = 12 ………………………(e)
5. UN 2006 Akar–akar persamaan 4log(2x2 – 3x + 7) = 2 adalah x1 dan x2. Nilai 4x1· x2 = … a. –6
b. –18
c. 10
d. 18
e. 46
Jawab : B
4log(2x2 – 3x + 7) = 2
⇔ )732log( 222+− xx = 2log 22
⇔ 21 )732log( 22 +− xx = 2log 4
⇔ )732log( 22 +− xx = 2log 42
⇔ 2x2 – 3x + 7 = 16
⇔ 2x2 – 3x + 7 – 16 = 0
⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0
Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x1· x2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.
4x1· x2 =
a
c4 =
−2
94
= 2(– 9) = –18 ………………(b)
6. UN 2004 Himpunan penyelesaian dari persamaan
8x xlog2 2=+ adalah …
a. {31 , 1}
b. { 41 , 2}
c. {81 , 1}
d. {81 , 2}
e. {2} Jawab : D
Karena bentuk 8x xlog2 2=+ tidak bisa di ubah
ke dalam bentuk baku persamaan eksponen bilangan pokok logaritma adalah 2, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma dengan bilangan pokok 2
8x xlog2 2=+
⇔ xx log22 2log + = 2log 8
⇔ xx log22 2log + = 2log 23
⇔ (2 + 2log x)(2log x) = 3 ⇔ ( 2log x)2 + 2( 2log x) – 3 = 0 ⇔ ( 2log x + 3)( 2log x – 1) = 0 (i) 2log x + 3 = 0
2log x = –3
x = 2–3 = 81
(ii) 2log x – 1= 0 2log x = 1
x = 21 = 2
Jadi, HP = {81 , 2}…………………………(d)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
365
SOAL PENYELESAIAN 7. UAN 2003
Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan (3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0, maka x1· x2 = … A. 2 D. 24
B. 3 E. 27
C. 8 Jawab : E
(3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0 ⇔ (3log x)2 – 3(3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0
(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1
x = 31 = 3
(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2
x = 32 = 9
Jadi x1 · x2 = 3 · 9 = 27 ….……………………(e)
8. EBTANAS 2002
Jika 6x – 1 = ( ) 1x32 +
, maka x = …
a. 2log3
b. 3log2
c. 3log21
d. 3log6
e. 2log31
Jawab : B
Karena bentuk 6x – 1 = ( ) 1x32 +
tidak bisa di ubah
ke dalam bentuk baku persamaan eksponen, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma
6x – 1 = ( ) 1x32 +
⇔ log 6x – 1 = log( ) 1x32 +
⇔ (x – 1)log 6 = (x + 1)log( )32
⇔ x log 6 – log 6 = x log( )32 + log( )
32
⇔ x log 6 – x log( )32 = log 6 + log( )
32
⇔ x {log 6 – log( )32 } = log 6 + log( )
32
⇔ x
32
6log = ( )
326log ×
⇔ x log 9 = log 4
⇔ x = 9log
4log = 9log 4
= 23 2log2
= 3log2 ……………(b)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
366
D. Pertidaksamaan Logaritma � Untuk a > 1
1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)
2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)
� Jika 0 < a < 1
1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)
2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)
SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
5log)2log()2log( 222 ≤−++ xx adalah … A. {�|� ≥ −2} B. {�|� ≥ 2} C. {�|� ≥ 3} D. {�|2 < � ≤ 3} E. {�| − 2 < � < 2} Jawab : D
5log)2log()2log( 222 ≤−++ xx ⇔ 2log (x + 2)(x – 2) ≤ 2log 5 • Pertidaksamaan
(x + 2)(x – 2) ≤ 5 ⇔ x2 – 4 ≤ 5 ⇔ x2 – 4 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 9 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) ≤ 0
x = {–3, 3} …………..pembentuk nol HP = {–3 ≤ x ≤ 3}
• Numerus i) x + 2 > 0
x > – 2 ii) x – 2 > 0
x > 2
2. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1)1log()3log( 55 ≤++− xx adalah … A. {�| − 2 ≤ � ≤ 4, �∈6} B. {�|3 < � ≤ 4, �∈6} C. {�| − 1 ≤ � ≤ 4, �∈6} D. {�|� ≤ −2�Q�!� ≥ 4, �∈6} E. {�|� ≤ −3�Q�!� ≥ 4, �∈6} Jawab : B
1)1log()3log( 55 ≤++− xx ⇔ 5log (x – 3) + 5log (x + 1) ≤ 5log 5 ⇔ 5log (x – 3)(x + 1) ≤ 5log 5 • Pertidaksamaan
(x – 3)(x + 1) ≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 3 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 8 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 4) ≤ 0
x = {–2, 4} …………..pembentuk nol HP = {–2 ≤ x ≤ 4}
• Numerus i) x – 3 > 0
x > 3 ii) x + 1 > 0
x > –1
Tanda Pertidaksamaan berubah
Tanda Pertidaksamaan tetap
– 3 3 – 2 2
– 3 3 – 2 2
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 2 < x ≤ 3……………..………(D)
– 2 4 – 1 3
– 2 4 – 1 3
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 3 < x ≤ 4……………..………(D)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
367
SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2013
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2)3log(log 22 <−+ xx adalah … A. {�| − 1 < � < 4, �∈6} B. {�|0 < � < 3, �∈6} C. {�| − 1 < � < 3, �∈6} D. {�|3 < � < 4, �∈6} E. {�|1 < � < 4, �∈6} Jawab : D
2)3log(log 22 <−+ xx ⇔ 2log x + 2log (x – 3) < 2log 22 ⇔ 2log x(x – 3) < 2log 4 • Pertidaksamaan
x(x – 3) < 4 ⇔ x2 – 3x – 4 < 0 ⇔ (x + 1)(x – 4) < 0
x = {–1, 4} …………..pembentuk nol HP = {–1 < x < 4}
• Numerus i) x > 0 ii) x – 3 > 0
x > 3
4. UN 2013 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
1)1log(log 22 <−+ xx adalah … A. −1 < � < 2 B. 0 < � < 1 C. 1 < � < 2 D. 1 ≤ � < 2 E. 0 < � < 2 Jawab : C
1)1log(log 22 <−+ xx ⇔ 2log x + 2log (x – 1) < 2log 2 ⇔ 2log x(x – 1) < 2log 2 • Pertidaksamaan
x(x – 1) < 2 ⇔ x2 – x – 2 < 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) < 0
x = {–1, 2} …………..pembentuk nol HP = {–1 < x < 2}
• Numerus i) x > 0 ii) x – 1 > 0
x > 1
– 1 2 0 1
– 1 2 0 1
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 1 < x < 2……………..………(C)
– 1 4 0 3
– 1 4 0 3
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 3 < x < 4……………..………(D)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
368
SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2013
Himpunan penyelesaian dari
2
1)1log()4log( 3636 <++− xx adalah …
A. {�|4 < � < 5} B. {�| − 1 < � < 4} C. {�|� < −1�Q�!� > 4} D. {�| − 1 < � < 5�Q�! − 2 < � < 4} E. {�| − 2 < � < −1�Q�!4 < � < 5} Jawab : A
2
1)1log()4log( 3636 <++− xx
⇔ 21
36log)1log()4log( 363636 <++− xx ⇔ 36log (x – 4) (x + 1) < 36log 6 • Pertidaksamaan
(x – 4)(x + 1) < 6 ⇔ x2 – 3x – 4 – 6 < 0 ⇔ x2 – 3x – 10 < 0 ⇔ (x + 2)(x – 5) < 0
x = {–2, 5} …………..pembentuk nol HP = {–2 < x < 5}
• Numerus i) x + 1 > 0
x > –1 ii) x – 4 > 0
x > 4
6. UN 2013
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2
1)1log()3log( 2525 ≤++− xx adalah …
A. −2 < � < 4 B. −3 < � < 4 C. � < −1�Q�!� > 3 D. 3< � ≤ 4 E. 1 < � < 2�Q�!3 < � < 4 Jawab : D
2
1)1log()3log( 2525 ≤++− xx
⇔ 21
25log)1log()3log( 252525 ≤++− xx ⇔ 25log (x – 3) (x + 1) ≤ 25log 5 • Pertidaksamaan
(x – 3)(x + 1) ≤ 5 ⇔ x2 – 2x – 3 – 5 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 8 ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x – 4) ≤ 0
x = {–2, 4} …………..pembentuk nol HP = {–2 ≤ x ≤ 4}
• Numerus i) x + 1 > 0
x > –1 ii) x – 3 > 0
x > 3
– 2 5 – 1 4
– 2 5 – 1 4
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 4 < x < 5……………..………(A)
– 2 4 – 1 3
– 2 4 – 1 3
Numerus i) Numerus ii)
Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat 3 < x ≤ 4……………..………(D)
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
369
SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
4)3log()3log( 22 ≥++− xx adalah … A. � ≥ 5 B. � ≥ 3 C. −3 < � < 3 D. −3 < � ≤ 5 E. 3 ≤ � < 5 Jawab : A
4)3log()3log( 22 ≥++− xx
⇔ 2log (x – 3) + 2log (x + 3) ≥ 2log 24
⇔ 25log (x – 3) (x + 3) ≥ 2log 16
• Pertidaksamaan (x – 3)(x + 3) ≥ 16
⇔ x2 – 9 – 16 ≥ 0 ⇔ x2 – 25 ≥ 0 ⇔ (x + 5)(x – 5) ≥ 0
x = {–5, 5} …………..pembentuk nol HP = {x ≤ –5 atau x ≥ 5}
• Numerus i) x + 3 > 0
x > –3 ii) x – 3 > 0
x > 3
8. UN 2013 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2)2log(2
1
−≥−x adalah … A. {�|� ≤ 6} B. {�|� ≥ 6} C. {�|2 ≤ � ≤ 6} D. {�|2 < � ≤ 6} E. {�| − 1 ≤ � < 1} Jawab : D
2)2log(2
1
−≥−x
⇔
22
1
2
1
2
1log)2log(
−
≥−x
⇔ ( ) 212
1
2
1
2log)2log(−−≥−x
⇔ 4log)2log( 2
1
2
1
≥−x
• Pertidaksamaan Karena bilangan pokok pecahan maka pertidaksamaan dibalik
x – 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 + 4 ⇔ x ≤ 6
• Numerus
i) x – 2 > 0 x > 2
– 5 5 –3 3
Numerus i) Numerus ii) Pertidaksamaan
DHP yang memenuhi ke-3 syarat x ≥ 5 ……………..………(A)
– 5 5 –3 3
2 6
Pertidaksamaan Numerus i)
DHP yang memenuhi ke-2 syarat 2 < x ≤ 6 ……………..………(D)
2 6
SIAP UN IPA 2014 Fungsi Eksponen dan Logaritma
370
SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2004
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
0)8xlog( 221
>− adalah … A. {x | –3 < x < 3
B. {x | – 22 < x < 22 } C. {x | x < –3 atau x < 3
D. {x | x < – 22 atau x < 22 }
E. {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3}
Jawab : E DHP yang memenuhi ke-2 syarat adalah
HP = {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3} ………………………………………..….(E)
0)8xlog( 221
>−
⇔ 1log)8log( 21
21
2 >−x
• pertidaksamaan Karena bilangan pokok pecahan , maka tanda pertidaksamaan berubah
x2 – 8 < 1 ⇔ x2 – 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0
x = {– 3, 3}…………. pembentuk nol HP = {–3 < x < 3}
• numerus x2 – 8 > 0
(x + 22 )(x – 22 ) > 0
x = {– 22 , 22 }………. pembentuk nol
HP = {x < – 22 atau x > 22 }
10. EBTANAS 2002
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan xlog9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3}
b. {x | 0 < x < 3}
c. {x | 1 < x < 3}
d. {x | x > 3}
e. {x | 1 < x ≤ 3} Jawab : D
xlog9 < xlog x2
(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1
(ii) pertidaksamaan 9 < x2
⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0
Pembentuk nol x = {–3, 3}
berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3}………………………..(d)
– 3 3 Pertidaksamaan
Numerus
22− 22
– 3 3 22− 22
top related