modulo5_dimensionamento de pilares
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7/31/2019 Modulo5_dimensionamento de Pilares
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Beto Armado e Pr-Esforado I
MDULO 5Verificao da segurana aos estados limites
ltimos de elementos com esforo axial no desprezvel (pilares)
1. Flexo Composta
(Flexo com esforo normal de traco ou compresso)
1.1.ROTURA CONVENCIONAL
s 10
c(-) 3.5
Quando toda a seco estiver sujeita a tenses de compresso: 2 c(-) 3.5
Tenses uniformes
c c
(-)
2
Tenses no uniformes
(-)
2 c 3.5c
ou
c = 3.5
(-)
c
00
1.2.DIAGRAMAS DE DEFORMAES NA ROTURA
Com base nas extenses mximas para o beto e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados rotura:
As2
As1
M N 1
10
10
023.5
2 yd
2
3
45
Compresso Traco
Zona 1 - Traco com pequena excentricidade (s1 = 10, s2 10)
Zona 2 - Traco e compresso com grande ou mdia excentricidade (s1 = 10, c(-) 3.5)
Zona 3 - Traco e comp. com grande ou mdia excentricidade ( yds1 10, c(-) = 3.5)
Zona 4 - Compresso com mdia ou pequena excentricidade (s1yd, c(-)
= 3.5)Zona 5 - Compresso com pequena excentricidade (2 c
mx 3.5)
MDULO 5 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementoscom esforo axial no desprezvel
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Beto Armado e Pr-Esforado I
Concluso:
Zonas 1, 2 e 3: s > yd rotura dctil
Zonas 4 e 5: s < yd rotura frgil
1.3.DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES
(i) Considerao de um determinado diagrama de rotura, para uma seco de beto
armado com dois nveis de armadura (As1 e As2)
As1
As2
MRdNRd
(-)
(+)
cs2
s1
Fc
Fs1
Fs2
yc ys2
ys1
Nota: A coordenada y pode ser medida em relao ao centro geomtrico da seco ou
em relao ao nvel da armadura inferior.
Equaes de Equilbrio
Equilbrio axial: Fc + Fs2 Fs1 = NRd
Equilbrio de momentos: Fc yc + Fs2 ys2 + Fs1 ys1 = MRd
Para um dado diagrama de rotura obtm-se um par de esforo NRd MRd
(ii) Varrendo a seco com os possveis diagramas de rotura obtm-se um diagrama
de interaco NRd MRd
NRd
MRd
(-)
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(iii) Repetindo o processo para vrios nveis de armadura obtm-se os diagramas de
dimensionamento
MRd
(-)NRd
Grandezas adimensionais:
Esforo normal reduzido =NRd
b h fcd
Momento flector reduzido =MRd
b h2 fcd
Percentagem mecnica de armadura TOT =AsTOT
b hfydfcd
1.4.DISPOSIES CONSTRUTIVAS DE PILARES
1.4.1. Armadura longitudinal
(i) Quantidades mnimas e mximas de armadura
As quantidades mnimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas atravs de
percentagens mnimas de armadura, que variam consoante o tipo de ao utilizado:
min = 0.8% para A235
min = 0.6% para A400 e A500
Quantidade mxima de armadura:
mx = 8% (incluindo todas as armaduras nas seces de emenda)
Nota: evitar que > 4%, caso contrrio no ser possvel emendar todos os vares na mesma
seco transversal.
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A percentagem de armadura define-se atravs da expresso =Asb h 100 .
(ii) Disposio da armadura, dimetros e espaamento
1. Mnimo nmero de vares na seco transversal
1 varo em cada ngulo da seco (saliente ou reentrante) ou
6 vares em seces circulares (ou a tal assimilveis)
2.Dimetro mnimo dos vares
12mm para A235
10mm para A400 e A500
3.Espaamento mximo dos vares
smx = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor
vares junto dos cantos).
1.4.2. Armadura transversal
(i) Espaamento das cintas
smx = min (12 L,menor; bmin; 30cm)
(ii) Dimetro
Se L 25mm, cinta 8mm
(iii) Forma da armadura / cintagem mnima
Cada varo longitudinal deve ser abraado por ramos da armadura transversal,
formando um ngulo em torno do varo, no superior a 135.
No necessrio cintar vares longitudinais que se encontrem a menos de 15cm
de vares cintados.
Em pilares circulares no necessrio respeitar a condio do ngulo.
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Funo da armadura transversal
Cintar o beto;
Impedir a encurvadura dos vares longitudinais;
Manter as armaduras longitudinais na sua posio durante a montagem e
betonagem;
Resistir ao esforo transverso.
Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos ns de ligao com as vigas.
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EXERCCIO 15
Considere a seco rectangular representada, sujeita a flexo composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a seco.
As/2
As/2
0.30
0.50
MsdNsd
Nsd = -1200 kN
Msd = 150 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUO DO EXERCCIO 15
Flexo composta de seces rectangulares (Tabelas)
d1 0.05m
h = 0.50m
d1h = 0.10 ; A400
Esforo normal reduzido: =Nsd
b h fcd=
-12000.30 0.50 13.3103 = -0.60
Momento flector reduzido: =Msd
b h2 fcd=
1500.30 0.502 13.3103 = 0.15
TOT = 0.20 AsTOT = TOT b h
fcd
fyd = 0.20 0.30 0.50
13.3
348 104
= 11.47cm2
Na roturac2s1
=-3.50 a 1
rotura pelo beto
armaduras no atingem a cedncia
Zona
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EXERCCIO 16
Considere um pilar com seco transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforos: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUO DO EXERCCIO 16
d1 = 0.05 d1
h = 0.10
=Nsd
r2 fcd=
-1400 0.252 16.7103 = 0.427
=MSd
2 r3 fcd=
2502 0.253 16.7103 = 0.152
TOT = 0.30
AsTOT = TOTr2
fcdfyd
= 0.30 0.25216.7348 10
4 = 28.3cm2
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1.5. EFEITO FAVORVEL DE UM ESFORO AXIAL MODERADO DE COMPRESSO NA
RESISTNCIA FLEXO
Considere-se o seguinte diagrama de interaco - , bem como os diagramas detenso na rotura para as situaes A e B ilustradas.
0.4 B
A
As2
As1
b
h
A Fs2,A
As1 fyd
Fc,A
MRd,A
NRd
MRd,B
B
As1 fyd
Fs2,B
Fc,B
MRd,B> MRd,A
A existncia de um esforo axial aumenta as resultantes de compresso (Fc e Fs2) e,
consequentemente, o MRd apesar da diminuio do brao de Fc.
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2. Verificao da segurana dospilares aos estados limite ltimos
2.1.COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS
Nos elementos de beto armado solicitados apenas flexo, os esforos so, em
geral, determinados na estrutura no deformada (Teoria de 1 ordem).
Sempre que as deformaes tenham um efeito importante nos esforos solicitantes (p.
ex. no caso de pilares esbeltos), as hipteses lineares da teoria de 1 ordem no
devem ser aplicadas.
Exemplos:
N
vL
N
L
v
Teoria de 1 ordem:
M = N e
Teoria de 2 ordem:
M = N (e + v) M = N e + N v
N e momento de 1 ordem
N v momento de 2 ordem
Nota: na teoria de 2 ordem as condies de equilbrio devem ser satisfeitas na
estrutura deformada.
Os efeitos de 2 ordem dependem da esbelteza dos pilares: = L0i
M
N
N e
N e N v
1
2
- pequeno efeitos de 2 ordem desprezveis
(Teoria de 1 ordem)
- mdio/elevado efeitos de 2 ordem relevantes
(Teoria de 2 ordem)
Consideram-se os efeitos de 2 ordem desprezveis
se: M2ordem
0.10 M1ordem
( N v 0.1 N e)
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2.2.TIPOS DE ROTURA
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Ne1
N
M
Ne1
Ne1 Ne2
Ne2
Nu, Mu1 1
22Nu, Mu
2 2NCR, MCR
Nu, Mu33
NCR, MCR33
N
N
e1 e1
N
N
e2
e2
3N
N
e1
Relao N - M para e2 = 0 (anlise de 1 ordem) Mu/Nu = e1
Relao N - M para e 2 0 (elemento pouco esbelto) rotura da seco
Relao N - M para e 2 0 (elemento muito esbelto) rotura por instabilidade
2.3.ESBELTEZA
A esbelteza de um pilar dada por:
=L0i
onde,
L0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distncia entre pontos de
momento nulo ou pontos de inflexo da configurao deformada)
i representa o raio de girao da seco
i =I
A
Nota: Deve ser considerado o momento de inrcia da seco segundo o eixo
perpendicular ao plano de encurvadura.
Maiormaior sensibilidade aos efeitos de 2 ordem.
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2.4.COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES
Estruturas de ns fixos
L0 = L/2L0 = L
L0 = 0.7L
Estruturas de ns mveis
L0 = 2L L0 = L L0 = 2L
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2.5.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM
Estruturas correntes (edifcios, em geral)
Mtodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma anlise linear de 1
ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2 ordem.
(Mtodo das excentricidades adicionais - REBAP, EC2)
eN
e
N
v
N
e+ead
Msd = Nsd (e + ead)
Outras (esbelteza grande)
Mtodos de anlise no linear de estruturas, tendo em conta as no linearidades
geomtricas e as no linearidades fsicas dos materiais.
2.5.1. Determinao da excentricidade de 2 ordem
A excentricidade de 2 ordem destina-se a ter em conta a deformao do elemento e,
consequentemente, a existncia de efeitos de 2 ordem, podendo ser calculada como
se indica em seguida.
Considere-se a seguinte coluna biarticulada perfeita
L
v
NNx
Para N = NE, tem-se v A sen xL
(Deformada do tipo sinusoidal)
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A curvatura dada por:
1r =
d2 vdx2 = A
2L2 sen
xL
1r
L22 = A sen
xL
Pelo que, v =
1
r
L2
2
1
r
L2
10
Deste modo, a flecha na seco crtica dada por:
vsc =1rsc
L210
A curvatura na seco crtica pode ser obtida de forma aproximada pela expresso:
1r
5h 10
-3
onde h representa a altura na seco no plano de encurvadura.
Este valor foi obtido com base no seguinte modelo:
yd
(-)
(+)
c=3.5
d
1r =
0.0035 + ydd =
0.0045d A235
0.0052d A400
0.0057
d A500
coeficiente de reduo que tem em conta a reduo da curvatura (dada pela
expresso anterior), quando o esforo axial elevado ( > 0.4)
=0.4
= 0.4fcd AcNsd
1.0 (Ac rea da seco transversal do pilar)
Nota: se (Nsd) for grande, a curvatura menor (no limite, toda a seco pode estar
comprimida).
Para alm dos efeitos de 2 ordem, necessrio considerar ainda quer os efeitos das
imperfeies geomtricas de execuo devido existncia de tolerncias construtivas
(excentricidade acidental), quer o acrscimo de deformao dos pilares ao longo do
tempo, devido ao efeito da fluncia (excentricidade de fluncia). Apresenta-se em
seguida as expresses propostas para clculo destas excentricidades.
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2.5.2. Clculo das restantes excentricidades adicionais
1. Excentricidade Acidental
A excentricidade acidental destina-se a ter em conta os efeitos das imperfeies
geomtricas de execuo (tolerncias construtivas) e pode ser determinada atravs de
ea = maxL0 / 300
0.02m
onde L0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.
2. Excentricidade de fluncia
A excentricidade de fluncia destina-se a ter em conta o acrscimo de deformao do
pilar devido aos efeitos da fluncia e determina-se atravs da expresso,
ec =
Msg
Nsg+ ea exp
c Nsg
NE Nsg 1
onde
Nsg, Msg representam os esforos devidos s aces com carcter de permanncia
(que provocam fluncia), no afectados do coeficiente f
ea representa a excentricidade acidental
c representa o coeficiente de fluncia (em geral, c = 2.5)
NE representa a carga crtica de Euler
NE = 10
EIL0
2 (EI da seco de beto)
A considerao da excentricidade de fluncia s importante para elementos muito
esbeltos (em geral despreza-se). Poder deixar de ser considerada nos casos em que
se verifique uma das seguintes condies: Msd / Nsd 2.0 h ou 70.
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2.6.VERIFICAO DA SEGURANA AO ESTADO LIMITE LTIMO DE ENCURVADURA
1. Verificao do estado limite ltimo de flexo composta na seco crtica (seco
mais esforada), para os esforos
Nsd = Nsd
Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec)
2. Seco crtica
(i) Estruturas de ns fixos
A localizao da seco crtica depende do diagrama de Msd (conforme se podeobservar na figura seguinte, em geral a seco crtica localiza-se numa zona
intermdia, e no junto das extremidades).
ead
Nsd
Msd2 ordem
Msd,a
Msd,b
1 ordemMsd
TOTAL
Msd
+ =
Mclculosd = mx
0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b
0.4 Msd,a
(seco crtica)
com |Msd,a| |Msd,b|
e
Msd' mx Msd (ns) = Msd,a
(ii) Estruturas de ns mveis
N
ad
1 ordemMsd Msd
2 ordem
A seco crtica situa-se no n em que
Msd mximo
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3. Dispensa da verificao da segurana ao estado limite ltimo de encurvadura
A considerao da excentricidade de 2 ordem pode ser dispensada, caso se verifique
uma das seguintes condies:
a) (i) Estruturas de ns fixos
35 se Msd,b = Msd,avmx
50 15Msd,bMsd.a
65 se Msd,a = Msd,b
vmx
(ii) Estruturas de ns mveis 35
ou
b)
Msd
Nsd 3.5 h para 70MsdNsd
3.5 h70 para > 70
, h altura da seco transversal
(o momento de 1 ordem condicionante).
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EXERCCIO
Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforos:
N
H
3.00
Seco transversal
0.30
0.40
Esforos caractersticos: N = 800 kN; H = 20kN
Materiais: C 25/30; A 400NR
RESOLUO DO EXERCCIO
1. Clculo da esbelteza
=L0i =
2 3.00.0866 = 69.3
i =I
A =9 10-4
0.30 0.40 = 0.0866 m; I =bh312 =
0.4 0.3312 = 910
-4 m4
2. Determinao dos esforos de dimensionamento
Nsd = 800 1.5 = 1200 kN; M1 ordemsd = 20 3 1.5 = 90.0 kN
2.1.Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem
Numa estrutura de ns mveis para dispensar a verificao da segurana
encurvadura, necessrio verificar as seguintes condies:
MsdNsd
=90
1200 = 0.075 / 3.5 h = 3.5 0.3 = 1.05 e / 35
os efeitos de 2 ordem no so desprezveis
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2.2. Quantificao dos esforos de clculo
Nsd = 1200kN
Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 90 + 1200 (0.02 + 0.04 + 0) = 162kNm
(i) Clculo da excentricidade acidental
ea = max L0 / 300 = 6 / 300 = 0.02 m
0.02 m ea = 0.02m
(ii) Clculo da excentricidade de 2 ordem
e2 = 1rL0210 = 11.1310
-3 (2 3.0)210 = 0.04 m
1r =
5h 10
-3 =5
0.30 10-3 0.668 = 11.13 10-3
=0.4 fcd Ac
Nsd=
0.4 16.7103 0.3 0.41200 = 0.668 1.0
(iii) Excentricidade de fluncia - Desprezvel dado que < 70
3. Clculo da armadura (flexo composta)
=Nsd
b h fcd=
-12000.3 0.4 16.7103 = -0.60
=Msd
b h2 fcd=
1620.4 0.32 16.7103 = 0.27
TOT = 0.62
d1
h =
0.05
0.3 = 0.167 0.15 ; A400
ASTOT = TOT bh fcdfyd
= 0.62 0.30 0.40 16.7348 10
4 = 35.7cm2
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EXERCCIO
Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforos:
5.00
N
Seco transversal
0.25
0.25
Esforos caractersticos: N = 600 kN
Materiais: C 20/25; A 400NR
RESOLUO DO EXERCCIO
1. Clculo da esbelteza
=L0i =
50.0722 = 69.3
i =I
A =3.255 10-4
0.252 = 0.0722 m ; I =b h312 =
0.25412 = 3.25510
-4 m4
2. Esforos de dimensionamento
Nsd = 600 1.5 = 900 kN
2.1.Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem
Numa estrutura de ns fixos para dispensar a verificao da segurana encurvadura,
necessrio verificar as seguintes condies:
50 15 Msd,bMsd,a= 50 e = 69.3 / 50 os efeitos de 2 ordem no so desprezveis
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2.2. Quantificao dos esforos de clculo
Nsd = 900 kN
Msd = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 900 (0.02 + 0.018) = 34.2kNm
(i) Clculo da excentricidade acidental
ea = max L0 / 300 = 5 / 300 0.017m
0.02m ea = 0.02m
(ii) Clculo da excentricidade de 2 ordem
e2 =1r
L02
10 = 7.39 10-3
52
10 = 0.018m
1r =
5h 10
-3 =5
0.25 10-3 0.369 = 7.3910-3
=0.4 fcd Ac
Nsd=
0.4 13.3103 0.252900 = 0.369
(iii) Excentricidade de fluncia - Desprezvel dado que < 70
3. Clculo da armadura (flexo composta)
d1h =
0.050.25 = 0.20 ; A400 Tabelas pg. 45
=
Nsdb h fcd
=-900
0.252 13.3103 = -1.083
= Msdb h2 fcd = 34.20.253 13.3103 = 0.165
TOT = 0.82
AsTOT = TOT b h fcdfyd
= 0.82 0.25213.3348 10
4 = 19.6cm2
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3.Estruturas em Prtico
3.1.CLASSIFICAO DAS ESTRUTURAS
3.1.1. Estruturas contraventadas
Estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para
absorver grande parte das aces horizontais.
Exemplo:
paredesou
ncleos
3.1.2. Estruturas no contraventadas
Estruturas sem elementos de contraventamento
Para efeitos da verificao da segurana em relao ao estado limite ltimo de
encurvadura, o REBAPclassifica as estruturas reticuladas em:
(i) Estruturas de ns fixos: estruturas cujos ns sofrem deslocamentos horizontais
desprezveis
(ii) Estruturas de ns mveis: caso contrrio
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3.2.COMPRIMENTO DE ENCURVADURA
O comprimento de encurvadura definido pela distncia entre os pontos de momento
nulo, da distribuio final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado
pela expresso,
L0 = L
onde,
L representa o comprimento livre do elemento
um factor que depende das condies de ligao das extremidades do
elemento
Estruturas de ns fixos (contraventada)
L
L0 L
Estruturas de ns mveis (no contraventada)
L
L0 L
Estruturas de ns fixos = min
0.7 + 0.05 (1 + 2)
0.85 + 0.05 min
1.0
1
Estruturas de ns mveis = min1.0 + 0.15 (1 + 2)
2.0 + 0.3 min
1
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1 e 2 parmetros relativos s extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por:
i =
( )EI / L pilares
( )EI / L vigas
n i:
viga
pilar Este parmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotao do n:
Maior rotao maior deformao maiores efeitos de 2 ordem.
Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundao
= 1 fundaes que confiram encastramento parcial
= 0 fundaes que confiram encastramento perfeito
= 10 fundaes cuja ligao ao pilar no assegure transmisso de momentos
(liberdade de rotao).
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Exemplo:
3.00
3.00
4.00
6.00 5.00
0.3
0.6 0.5
0.3
0.5
0.3 0.3
0.4
0.3
0.3
1
2
Classificao da estrutura: Estrutura de ns mveis
1 =
( )EI / L pilares
( )EI / L vigas=
( )I / L pilares
( )I / L vigas=
0.3412
14 +
0.3412
13
0.3 0.5312
16 +
0.3 0.4312
15
= 0.468
2 =
0.3412
13 2
0.3 0.6312
16 +
0.3 0.5312
15
= 0.295
= min1 + 0.15 (1 + 2) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11
2.0 + 0.3 min = 2 + 0.3 0.295 = 2.09
L0 = 3 1.11 = 3.33m
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3.3.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM EM PRTICOS
De acordo com o REBAP, a anlise de prticos tendo em considerao os efeitos de
2 ordem deve ser efectuada da forma seguinte:
Estruturas de ns fixos
possvel analisar os pilares do prtico isoladamente
Estruturas de ns mveis
Os pilares podem ser analisados isoladamente, tomando para a esbelteza de cada
pilar a esbelteza mdia dos pilares do piso em causa.
Problemas que surgem com este tipo de abordagem em prticos de ns mveis:
A anlise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que no
realista dado que as vigas e lajes do piso impem igualdade de deslocamentos
horizontais para os pilares. Assim, dever considerar-se a mesma excentricidade de 2
ordem em todos os pilares. A excentricidade a considerar dever ser a correspondente
ao pilar mais rgido;
Os efeitos de 2 ordem provocam um aumento de esforos nos pilares que, por
equilbrio, conduz a um aumento de esforos nas vigas adjacentes (a anlise de
pilares isolados no tem em conta este efeito).
Formas mais correctas de ter em conta os efeitos da encurvadura
1. Anlise da estrutura inclinada (deformada)
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2. Aplicao de foras horizontais fictcias que conduzam aos valores dos esforos
provocados pelas excentricidades acidentais e aos efeitos de 2 ordem.
H2
H1
Exemplos:
(i) Consola
L
e N N
H
M2 ordem = N e
H L = N e H = N
e
L
(ii) Prtico
L
Ne e N
H
N
H L/2
H L/2
M2 ordem = N e H L2 = N e H = N 2eL
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EXERCCIO
Dimensione os pilares do prtico representado na figura.
4.00
6.00
0.3
0.3
0.3
0.4
0.6
0.3
P1 P2
30 kN
500 kN 400 kN35 kN/m
Nota: os valores indicados para as
aces, referem-se aos
seus valores caractersticos.
Materiais: C20/25; A400NR
RESOLUO DO EXERCCIO
1. Classificao da estrutura Estrutura de ns mveis
2. Clculo do comprimento de encurvadura dos pilares
(i) Pilar P1
1 =
( )EI / L pilares
( )EI / L vigas=
0.3 0.4312
14.0
0.3 0.6312
16.0
= 0.444 ; 2 = 1.0 (encastramento parcial)
= min1.0 + 0.15 (1 + 2)
2.0 + 0.3 min= min
1.0 + 0.15 (0.444 + 1.0) = 1.217
2.0 + 0.3 0.444 = 2.133
L0 = L = 1.2174.0 = 4.87m
(ii) Pilar P2
1 =
( )EI / L pilares
( )EI / L vigas=
0.3412
14
0.3 0.6312
16
= 0.187 ; 2 = 1.0
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= min1.0 + 0.15 (1 + 2)
2.0 + 0.3 min= min
1.0 + 0.15 (0.87 + 1.0) = 1.178
2.0 + 0.3 0.187 = 2.056
L0 = L = 1.178 4.0 = 4.71m
3. Clculo da esbelteza
(i) Pilar P1
i =I
A =0.0016
0.3 0.4 = 0.115 m
I =b h312 =
0.3 0.4312 = 0.0016 m
4
= L0i = 4.870.115 = 42.3
(ii) Pilar P2
i =I
A =0.675 10-3
0.32 = 0.087m
I =0.3412 = 0.675 10
-3 m4
= L0i = 4.710.087 = 54.1
4. Clculo dos esforos de dimensionamento
4.1. Esforos de 1 ordem
Combinao 1
Aces e reaces de clculo
52.5 kN/m600 kN750 kN
45 kN
923.6 kN 741.4 kN
4.1 kN49.1 kN
81.6 kNm 1.8 kNm
DMF
[kNm]114.9
81.6
18.3
1.8
169.7
(+)
(+)
(-)(-)
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Combinao 2
Aces e reaces de clculo
61.3 kNm
769.4 kN
47.6 kNm
895.6 kN
35.3 kN9.7 kN
600 kN
45 kN52.5 kN/m
750 kN
(-)
61.3
DMF[kNm]
(+)
(+)
191.9
79.9(-)
(-)
47.6
8.7
4.2. Verificao da necessidade de considerao dos efeitos de 2 ordem
(i) Pilar P1
= 42.3
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Combinao 2
Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] 1/r [m
-1] e2 [m]
P1 4.87 0.4 0.12 895.6 0.71 8.8810-3 0.021
P2 4.71 0.3 0.09 764.9 0.63 10.510-3
0.023
Nota: o pilar mais rgido que condiciona o deslocamento horizontal. Para um
determinado deslocamento horizontal o pilar mais rgido atinge primeiro a cedncia (a
curvatura igual nos dois pilares, logo, as extenses so maiores no pilar mais rgido).
4.4. Clculo da excentricidade acidental
ea = max L0/300
0.02m ea = 0.02 m
4.5. Determinao da fora horizontal equivalente
2(e2+ea)
H
M2 ordem = N (e2 + ea)
H = N2 (e2 + ea)
L
H = H1 + H2 = (N1 + N2)2 (e2 + ea)
L
Combinao 1
H = (923.6 + 741.4) 2 (0.02 + 0.02)
4.0 = 33.3 kN
Combinao 2
H = (895.5 + 769.4)
2 (0.021 + 0.02)
4.0 = 34.1 kN
Esforos provocados por uma fora unitria
(-) (+)
0.7
1.2 (-)
1.4
(+)(-)
0.7
DMF[kNm]
1 kN
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4.6. Esforos de dimensionamento
Combinao 1
(i) Pilar P1 (seco crtica seco de topo)
Nsd = 923.6 kN
Msd' = 114.9 + 33.3 1.2 = 154.9 kNm
(ii) Pilar P2 (Seco crtica seco do topo)
Nsd = 741.4 kN
Msd' = 18.3 + 33.3 0.7 = 41.6 kNm
Combinao 2
(i) Pilar P1 (seco crtica seco da base)
Nsd = 895.6 kN
Msd' = 47.6 + 34.1 1.4 = 95.3 kNm
(ii) Pilar P2 (Seco crtica seco do topo)
Nsd = 769.4 kN
Msd' = 80 + 34.1 0.7 = 103.9 kNm
5. Determinao das armaduras longitudinais
(i) Pilar P1 (combinao mais desfavorvel: combinao 1)
=
923.60.3 0.4 13.3103 = 0.58
=154.9
0.3 0.42 13.3103 = 0.24
d1h =
0.050.40 = 0.125 , A400
TOT =
0.44 para d1/h = 0.10
TOT = 0.48
0.52 para d1/h = 0.15
ASTOT = TOT b hfcdfyd
= 0.48 0.3 0.4 13.3348 10
4 = 22.01 cm2 Adoptam-se 820
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(ii) Pilar P2 (combinao mais desfavorvel: combinao 2)
=
769.40.3 0.3 13.3103 = 0.66
=103.9
0.33
13.3103 = 0.29
d1h =
0.050.30 = 0.167 0.15
TOT = 0.72 ASTOT = 24.77cm2
Adoptam-se 820
6. Determinao das armaduras transversais
6.1. Verificao da segurana ao estado limite ltimo de esforo transverso
(i) Pilar P1
(+)
128.2
(-)
154.9D M'sd[kNm]
(+)70.8
DET[kN]
Msd'base = 81.6 + 33.3 1.4 = 128.2 kNm
Vsd
=154.9 + 128.2
4= 70.8 kN
Verificao das compresses
c =Vsd
bw z cos sen =
70.80.3 0.9 0.35 cos 26 sen 26 = 1901.5 kN/m
2
0.6 fcd = 0.6 13.3103 = 7980kN/m2
Clculo da armadura transversal
Asws =
Vsdz cotg fyd
=70.8
0.9 0.35 cotg 26 348103 104 = 3.15 cm2/m
Adoptam-se cintas 6//0.15
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(ii) Pilar P2
47.0 (-)
(-)
(+)
84.6
DET[kN]
103.3D M'sd[kNm]
Msd'base = 61.3 + 33.3 0.7 = 84.6 kNm
Vsd =103.3 + 84.6
4 = 47.0 kN
Verificao das compresses
c =Vsd
bw z cos sen =
47.00.3 0.9 0.25 cos 26 sen 26
= 1767.2 kN/m2
Clculo da armadura transversal
Asws =
Vsdz cotg fyd
=47.0
0.9 0.25 cotg 26 348103 104 = 2.92 cm2/m
Adoptam-se cintas 6//0.15
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3.4.CONSIDERAO DOS EFEITOS DE 2 ORDEM EM ESTRUTURAS DE NS FIXOS
Conforme se referiu anteriormente, uma estrutura de ns fixos aquela que possui
elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande
parte das aces horizontais e cujos ns sofrem deslocamentos horizontais
desprezveis.
Lpilar
Lparede
No que respeita verificao da segurana dos pilares, os deslocamentos dos ns
podem ser desprezados, o mesmo no acontecendo quando se pretende verificar a
segurana das paredes. As paredes, por se tratarem de elementos com grande
rigidez, tero uma deformada semelhante de uma consola, e os pequenos
deslocamentos horizontais sero importantes.
3.4.1. Verificao da segurana dos elementos verticais
(i) Pilares
Os pilares de prticos de ns fixos podem ser analisados como pilares isolados.
Possveis configuraes deformadas e diagramas de momentos flectores
correspondentes
Msd
M'sd
MsdM'sd
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Esforos de dimensionamento
- Ns: Nsd ; Msd
- Seco crtica: Nsd ; Msd = Mclculosd + Nsd (e2 + ea)
onde
Mclculosd = mx
0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b
0.4 Msd,acom |Msd,a| |Msd,b|
Nota: A seco crtica (onde os efeitos de 2 ordem so mais desfavorveis)
ocorre entre ns.
(ii) Paredes
Lparede
Comprimento de encurvadura: L0 = 2 Lparede
Nota: Na determinao dos esforos de
dimensionamento, devem ser consideradas asexcentricidades adicionais.
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4. Flexo Desviada
4.1.ROTURA CONVENCIONAL
s 10
c(-) 3.5
Quando toda a seco estiver sujeita a tenses de compresso: 2 c(-) 3.5
Problema: o momento no est a actuar segundo as direces principais de inrcia.
4.2.DETERMINAO DOS ESFOROS RESISTENTES
(i) Considerao de um determinado diagrama de rotura, para uma seco de beto
armado
c
Fs1Fs2
Fc
My
Mz
(-)
(+)
Atravs das equaes de equilbrio, para um dado diagrama de rotura obtm-se um
par de esforo MRd,y MRd,z
(ii) Varrendo a seco com os possveis diagramas de rotura obtm-se um diagrama
de interaco MRd,y MRd,z
(iii) Repetindo o processo para vrios nveis de armadura obtm-se os diagramas de
dimensionamento
Flexo composta desviada: os processos anteriores so repetidos para vrios nveis
de esforo axial.
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Grandezas adimensionais:
Esforo normal reduzido: =NRd
b h fcd
Momentos flectores reduzidos: y = MRd,yb h2 fcd; z = MRd,zb2 h fcd
Percentagem mecnica de armadura TOT =AsTOT
b hfydfcd
Nota:
Simplificadamente, possvel dividir o problema nas duas direces e resolver como
se se tratasse de um problema de flexo composta em cada direco. Neste caso,
necessrio verificar no final a seguinte condio:
Msd,y
MRd,y
+
Msd,z
MRd,z
1.0
onde um coeficiente que depende da forma da seco transversal e que toma os
seguintes valores:
Seces transversais circulares ou elpticas: = 2
Seces transversais rectangulares
Nsd / NRd 0.1 0.7 1.0
1.0 1.5 2.0
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EXERCCIO 14
Dimensione e pormenorize a seguinte seco de um pilar para os esforos de clculo
indicados.
z
0.50
0.30
y
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUO DO EXERCCIO 14
Flexo desviada com esforo axial (Tabelas)
Msdz
Msdy
Astot/4
=Nsd
b h fcd=
-12000.30 0.50 13.3103 = -0.60
y =Msdy
b h2 fcd=
1500.30 0.502 13.3103
= 0.15
z =Msdz
b2 h fcd=
1500.302 0.50 13.3103 = 0.167
Como z>y 1 = z = 0.167 e 2 = y = 0.15
= -0.6
1 = 0.167
2 = 0.15
TOT = 0.60
AsTOT = TOT b hfcd
fyd= 0.60 0.30 0.50
13.3
348 104 = 34.4cm2
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EXERCCIO 19
Considere um pilar com seco transversal circular com = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforos: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;
Msdy = 200 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUO DO EXERCCIO 19
Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm Flexo composta
d1 = 0.05 d1h = 0.10
=
Nsd r2 fcd
=-1400
0.252 16.7103 = 0.427
=MSd
2 r3 fcd =250
2 0.253 16.7103 = 0.152
TOT = 0.30
AsTOT = TOTr2
fcdfyd
= 0.30 0.25216.7348 10
4 = 28.3cm2
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