momento torsor - resistência dos materiais
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Mecânica dos Materiais
Torção
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
3 - 2
Esforços de Torção em veios circulares
3 - 3
Tensões de corte
• Um momento torçor aplicado ao veio origina tensões de corte nas faces perpendiculares ao eixo axial.
• As condições de equilibrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm o eixo do veio.
3 - 4
• O ângulo de torção no veio é proporcional ao momento troçor aplicado T e ao comprimento do veio L.
L
T
∝
∝
φ
φ
Deformações por torção em veios
• Num veio circular sujeito a torção, as secções transversais mantém-se planas e circulares, porque o veio circular é axisimétrico.
• As secções transversais de veios não-circulares (não axisimétricos) sofrem distorção quando sujeitos a torção.
convenções
3 - 5
3 - 6
Tensão de corte
• Considere-se o elemento representado num veio de secção circular. Quando um momento torçor é aplicado, o elemento considerado sofre uma deformação como se representa na figura.
• A deformação de corte é proporcional ao ângulo de torção e ao raio do veio:
maxmax e γρ
=γφ
=γcL
c
LL
ρφ=γρφ=γ ou
• Dado que as extremidades do elemento se mantêm planas, a deformação de corte γ é igual ao ângulo de torção φ:
3 - 7
Tensões no domínio elástico
Jc
dAc
dAT max2max τρ
τρτ ∫ =∫ ==
• Notando que o somatório dos momentos da distribuíção de tensões de corte tem de equilibrar o momento torçor aplicado ao veio na secção em causa,
421 cJ π=
( )41
422
1 ccJ −= π e maxJ
T
J
Tc ρ=τ=τ
• Obtendo-se:
• Multiplicando a equação anterior pelo módulo de distorção de corte G:
maxγρ
γ Gc
G =
maxτρ
τc
=
Da Lei de Hooke, γτ G= , e então
A tensão de corte varia linearmente com a cota radial da secção transversal.
3 - 8
Tensões normais
• Os elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo do veio estão sujeitos apenas a tensões de corte. Para outras orientações, podem surgir tensões normais, ou combinações de tensões de corte com tensões normais.
( )
max0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o ττ
σ
ττ
===
==
A
A
A
F
AAF
• Se considerarmos um elemento orientado a 45o
com o eixo do veio, temos
• O elemento a está sujeito a corte puro
• O elemento c está sujeito a tensões normais de tracção em duas faces e de compressão nas outras duas.
3 - 9
Modos de falha por torção
• Os materiais dúcteis normalmente sofrem falha por tensões de corte. Os materiais frágeis são menos resistentes em tracção que em corte.
• Quando sujeito a torção, um provete de um material dúctil, rompe ao longo de um plano de tensões de corte máximas, ie. num plano perpendicular ao eixo do veio.
• Quando sujeito a torção, um provete de um material frágil, rompe ao longo de planos perpendiculares à direcção na qual a tensão normal de tracção é máxima, ie. ao longo das superfícies que fazem 45o com o eixo longitudinal do veio.
Exemplo – diagrama de momentos torçores
3 - 10
Diagrama de momentos torçores
3 - 11
Exemplo
3 - 12
Cont.
3 - 13
3 - 14
O veio BC tem uma secção circular ôca com diametro interior 90 mm e diametro exterior de 120 mm.
Os veios AB e CD são de secção circular maciça com diamtero d.
Para os carregamentos ilustrados na figura, determinar:
(a) As tensões de corte no veio BC,
(b) O diametro minimo d para os veios AB e CD se a tensão de corte admissivel para o material destes veios for 65 MPa.
Exemplo 3.1
3 - 15
SOLUTION:
• Considerar secções nos veios AB e BC e efectuar o equilibrio estático para calcular os momentos torçores aplicados em cada troço do veio:
( )
CDAB
ABx
TT
TM
=⋅=
−⋅==∑
mkN6
mkN60 ( ) ( )
mkN20
mkN14mkN60
⋅=
−⋅+⋅==∑
BC
BCx
T
TM
Exemplo 3.1 cont.
3 - 16
• Tensões de corte no veio BC
(veio circular ôco)
( ) ( ) ( )[ ]46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
−×=
−=−=ππ
ccJ
( )( )
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max
=
×
⋅===
−J
cTBCττ
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
=
==
τ
τ
τ
τ
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
=
=
τ
τ
Exemplo 3.1 cont.
3 - 17
• Para o veio AB (ou CD), sabendo a tensão de corte admissivel, calcular diametro d minimo:
m109.3865mkN6
65
33
2
max
42
max
−
π
π
×≥⇒≤⋅
=τ≤τ
==τ
cMPac
MPa
c
Tc
J
Tc
adm
mm8.772 == cd
Exemplo 3.1 cont.
3 - 18
Angulo de torção no domínio elástico
• Relação entre o ângulo de torção e a distorção de corte máxima:
L
cφγ =max
• No domínio elástico, a deformação de corte e a tensão de corte são relacionadas pela Lei de Hooke:
JG
Tc
G== max
maxτ
γ
• Igualando e resolvendo em ordem ao ângulo de torção:
JG
TL=φ
• Se os momentos torçores e/ou a secção do veio variarem ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção será dado por:
∑=i ii
ii
GJ
LTφ
Exemplo
3 - 19
Os dois veios em aço representados na figura estão acoplados através da
engrenagem. Determinar o angulo de torção da extremidade A do veio AB
quando é aplicado um binário T=45 Nm.
O veio AB é livre de rodar nas chumaceiras E e F, enquanto o veio DC está fixo
em D. Todos os veios têm um diametro d=20 mm e são maciços.
G=80GPaResp.: +0.0850 rad
Cont.
3 - 20
Cont.
3 - 21
3 - 22
• Sendo dados as dimensões do veio e os momentos torçores aplicados, pretende-se calcular os momentos de reação nos apoios A e B.
Veios estaticamente indeterminados
• Efectuando a análise de corpo livre do veio:
temos apenas uma equação, que não é suficiente para calcular os momentos em A e B: problema
estaticamente indeterminado
CBA TTT =+
CAA TTJL
JLT =+
12
21
• Substituindo na equação de equilibrio anterior:
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 00 =⇒=−⇒=φ+φ
• Vamos dividir o veio em duas partes e impor a compatibilidade de deformações em C:
TC
TC
L1
L2
3 - 23
3 - 24
3 - 25
Projecto de veios de transmissão
• As principais especificações para um veio de transmissão são:
- potência- velocidade
• Determinar o binário aplicado ao veio para uma especificada potência e velocidade de rotação:
f
PPT
TfTP
π=
ω=
π=ω=
2
2
• Calcular a secção transversal do veio:
( )
( ) ( )ôcos circulares veios2
maciços circulares veios2
max
41
42
22
max
3
max
τ=−
π=
τ=
π=
=τ
Tcc
cc
J
Tc
c
J
J
Tc
• O projectista tem de selecionar o material para construção do veio e determinar a secção transversal do mesmo por forma a garantir as especificações pretendidas, sem que sejam excedidas as tensões de corte admissiveis para o material seleccionado.
Nota: neste capitulo considera-se apenas o caso de veios de trasnmissão sujeitos exclusivamente a esforços de torção.
3 - 26
Concentração de tensões
• A obtenção da equação
foi baseada na torção de um veio de secção circular com secção uniforme e em que as secções tranversais se mantêm planas.
J
Tc=maxτ
J
TcK=maxτ
• Os factores de concentração de tensões são aplicados através da equação:
• A necessidade da utilização de acoplamentos, flanges, engrenagens, roldanas, tambores, etc. ligados aos veios através de chavetas ou outros processos que implicam descontinuídades e reduções de secção podem causar concentrações de tensão.
Concentração de tensões
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Concentração de tensões (cont.)
3 - 28
Exemplo
3 - 29
P.5-44 pag. 207, Hibbeler, 5th ed. (adaptado)O navio hidrofoil representado na figura possui um veio fabricado em aço S355 EN10025, com um comprimento de 100ft. Está ligado em linha a um motor diesel com uma potencia máxima de 2500 hp para uma velocidade de rotação no veio de 1700 rpm. Sendo o veio de secção circular ôca com um diametro exterior de 203 mm e uma espessura de parede de 9.5 mm, determine a tensão de corte máxima no veio. Determine também o angulo de torção no veio para a potencia máxima.
Torção de secções não axisimétricas
3 - 30
3 - 31
3 - 32
Torção de secções não-circulares
• Para relações elevadas de a/b, a tensão de corte máxima e o ângulo de torção para outras “secções abertas” são as mesmas que para a secção rectangular.
Gabc
TL
abc
T3
22
1max == φτ
• Para secções transversais rectangulares:
• As equações anteriores são válidas apenas para a torção de veios com secções axisimétricas
• As secções transversais planas de veios não circulares não se mantêm planas e as tensões e deformações não variam linearmente.
Torção de secções não-circulares (cont.)
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3 - 34
Torção de secções fechadas com paredes finas
• Somando as forças na direcção x em AB,
a tensão de corte varia inversamente com a espessura da parede da secção.
( ) ( )
corte de fluxo
0
==τ=τ=τ
∆τ−∆τ==∑qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
( ) ( )
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
=
===
====
∫∫
τ
τ
• Cálculo do binário de torção a partir do integral dos momentos elementares resultantes da tensão de corte na parede:
∫=t
ds
GA
TL24
φ
• Ângulo de torção (Cap. 11)
Problema
3 - 35
Os 3 eixos circulares maciços, encontram-se ligados por engrenagens conforme representado na figura.Sabendo que todos os eixos têm o mesmo diâmetro de 19 mm e que o módulo de elasticidade transversal é G = 75.8 GPa, determine:
a) O ângulo de torção da extremidade A
b) O ângulo de torção da extremidade E
Problema
3 - 36
O trem de engrenagens da figura transmite uma potência de 7.5 kW, do motor em A à máquina em F.
Considerando a frequência do motor de 30 Hz, e uma tensão de corte admissível de 60 MPa para o material utilizado nos veios, determinar os diâmetros dos diferentes veios.
(dAB=15 mm, dCD=20.4 mm, dEF=27.6 mm)
Problema
3 - 37
φB = 0.648ºφC = 0.486º
Problema
3 - 38
Problema
3 - 39
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