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MS211 - Cálculo NuméricoAula 10 – Método de Newton e da Secante.
Marcos Eduardo Valle
Introdução
Nas aula anterior iniciaremos os estudos sobre métodosnuméricos para aproximar a solução do seguinte problema:
Zero de uma Função Real
Dada uma função f : [a,b]→ R, determine, se possível, ξ ∈ [a,b]tal que
f (ξ) = 0.
Nesse caso, ξ é chamado zero (ou raiz) de f . Dizemos tambémque ξ é uma solução da equação f (x) = 0. Denotaremos por ξ aaproximação de ξ fornecida por um método numérico.
Na aula anterior, apresentamos os métodos da bisseção e daposição falsa, ambos baseados no teorema do valorintermediário. Vimos também o método do ponto fixo.
Método do Ponto Fixo
Dizemos que ξ é um ponto fixo de uma função real ϕ se
ξ = ϕ(ξ).
Dada uma aproximação inicial x (0), definimos
x (k+1) = ϕ(x (k)), ∀k = 0,1,2, . . . .
Se ϕ é uma função com derivada ϕ′ contínua em um intervalo I,centrado no ponto fixo ξ, com |ϕ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ∈ I,então para qualquer aproximação inicial x (0) ∈ I, a sequência{x (k)} produzida pelo método do ponto fixo converge para ξ.
A convergência do método do ponto fixo será tanto mais rápidaquanto menor for o valor de M.
Taxas de Convergência
Definição 1 (Convergência Linear e Quadrática)
Seja {x (k)}, com limk→∞ x (k) = ξ, uma sequência deaproximações produzida por um método numérico.• Dizemos que {x (k)} converge linearmente para ξ se
limk→∞
|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|
= c, com 0 < c < 1.
• Dizemos que a ordem de convergência é p > 1 se
limk→∞
|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|p
= c, com 0 < c.
Em particular, se p = 2, tem-se convergência quadrática.
Na demonstração da convergência do método do ponto fixo,concluímos que
|x (k) − ξ| ≤ M|x (k−1) − ξ|.
Portanto, temos também que
limk→∞
|x (k+1) − ξ|x (k) − ξ
= M < 1.
Logo, o método do ponto fixo tem convergência pelo menos linear.
Podemos ter uma taxa de convergência melhor que linear seM = 0!
Motivação Algébrica para o Método de Newton
• Suponha que queremos calcular a raiz ξ de uma função fusando o método do ponto fixo.
• Podemos definir a função
ϕ(x) = x + A(x)f (x),
em A é tal que A(ξ) 6= 0.• Com intuito de obter uma rápida convergência, vamos escolher
A(x) de modo que ϕ′(ξ) = 0.• Pela regra do produto, temos que
ϕ′(x) = 1 + A′(x)f (x) + A(x)f ′(x).
Lembrando que f (ξ) = 0, obtemos A(ξ) = − 1f ′(ξ)
.
• Assim, basta escolher A(x) = − 1f ′(x)
.
Método de Newton
Definição 2 (Método de Newton)
Dada uma função diferenciável f e uma aproximação inicial x (0)
da raiz ξ de f , defina a sequência
x (k+1) = x (k) − f (x (k))
f ′(x (k)), ∀k = 0,1, . . . .
Espera-se que a sequência x (k) convirja para a raiz ξ!
Teorema 3 (Convergência do Método de Newton)
Seja f uma função contínua com derivadas de primeira e segundaordem f ′ e f ′′ contínuas em um intervalo I que contém a raiz ξ def . Se f ′(ξ) 6= 0 então existe um subintervalo I ⊆ I, que contém ξ,tal que a sequência {x (k)} gerada pelo método de Newtonconverge pelo menos quadraticamente para ξ para todo x (0) ∈ I.
Demonstração da convergência pelo menos quadrática:O desenvolvimento de Taylor de f em torno de x (k) fornece
f (x) = f (x (k)) + f ′(x (k))(x − x (k)) +12
f ′′(η(k))(x − x (k))2,
em que η(k) está entre x e x (k). Tomando x = ξ, encontramos
f (ξ) = f (x (k))− f ′(x (k))(x (k) − ξ) +12
f ′′(η(k))(x (k) − ξ)2 = 0.
Dividindo ambos os lados dessa equação por f ′(x (k)), obtemos
x (k) − f (x (k))
f ′(x (k))− ξ =
f ′′(η(k))2f ′(x (k))
(x (k) − ξ)2,
ou seja,x (k+1) − ξ(x (k) − ξ)2 =
f ′′(η(k))2f ′(x (k))
.
Finalmente, sendo f ′ e f ′′ contínuas e, como ambas sequências{x (k)} e {η(k)} convergem para ξ, concluímos que
limk→∞
|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|2
= limk→∞
|f ′′(η(k))|2|f ′(x (k))|
=|f ′′(ξ)|2|f ′(ξ)|
= c.
Logo, quando converge, o método de Newton tem convergênciapelo menos quadrática. �
Motivação Geométrica para o Método de Newton
O método de Newton tem a seguinte interpretação geométrica.
Considere a reta tangente à f no ponto (x (k), f (x (k))) dada por
L(x) = f (x (k)) + f ′(x (k))(x − x (k)).
Define-se x (k+1) como sendo a raiz de L, que pode ser vista comouma aproximação linear de f numa vizinhança de x (k).
Formalmente, L(x (k+1)) = 0 se, e somente se,
x (k+1) = x (k) − f (x (k))
f ′(x (k)).
Método de Newton
Entrada: Função f e sua derivada f ′; aproximação inicial x0.Dados: Número máximo de interações kmax ; tolerâncias δ e ε.Inicialize: k = 0, f0 = f (x0) e Dr = δ + 1.enquanto k ≤ kmax , |f0| > ε e Dr > δ faça
Atualize: k = k + 1.
Defina: x = x0 −f0
f ′(x0).
Calcule: Dr = |x − x0|.Atualize: x0 = x .Avalie: f0 = f (x0).
Saída: Aproximação para a raiz x .
Exemplo 4
Use o método de Newton para encontrar uma estimativa para araiz positiva da função
f (x) = ex − 2x − 1,
com aproximação inicial x (0) = 1 e tolerâncias δ = 0.1 e ε = 0.1.Interprete geometricamente o método de Newton.
Resposta:Primeiramente, observe que
f (x) = ex − 2x − 1 e f ′(x) = ex − 2.
Começando com a aproximação inicial x (0) = 1, construímos atabela em que Dr = |x (k+1) − x (k)|:
k x (k) f (x (k)) f ′(x (k)) Dr
0 1.00000 -0.28172 0.71828 0.392211 1.39221 0.23932 2.02374 0.118252 1.273957 0.027057 — —
Terminamos as iterações porque a condição |f (x (k)| < ε foisatisfeita.A aproximação fornecida pelo método de Newton é ξ = 1.273957.
Interpretação geométrica do método de Newton.
O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dométodo de Newton se considerarmos a mesma aproximaçãoinicial x (0) = 1 mas as tolerâncias δ = 10−7 e ε = 10−7.
10-14
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
0 1 2 3 4 5
Erro Absoluto
k
Método da Secante
Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidadede se obter e avaliar f ′ a cada iteração.
No método da secante, substituímos a derivada f ′(x (k)) peloquociente das diferenças
f ′(x (k)) ≈ f (x (k))− f (x (k−1))
x (k) − x (k−1) ,
em que x (k) e x (k−1) representam duas aproximações para ξ.
Geometricamente, dadas as aproximações x (k−1) e x (k), definax (k+1) como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixohorizontal com a reta secante que passa pelos pontos(x (k−1), f (x (k−1))) e (x (k), f (x (k))).
Definição 5 (Método da Secante)
Dada uma função f e duas aproximações iniciais x (0) e x (1) daraiz ξ de f , defina a sequência para k = 1,2, . . .:
x (k+1) = x (k) − f (x (k))(x (k) − x (k−1))
f (x (k))− f (x (k−1)),
ou, equivalentemente,
x (k+1) =x (k−1)f (x (k))− x (k)f (x (k−1))
f (x (k))− f (x (k−1)).
Espera-se que a sequência x (k) convirja para a raiz ξ!
Teorema 6 (Convergência do Método da Secante)
Suponha que f e sua derivada f ′ são contínuas num intervalo Ique contém a raiz ξ de f . Se f ′(ξ) 6= 0 e x (0) e x (1) sãosuficientemente próximos de ξ, então a sequência {x (k)}produzida pelo método da secante converge para ξ com
limk→∞
|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|p
= c,
em que c > 0 e p = (1 +√
5)/2 ≈ 1.6.
Método da Secante
Entrada: Função f ; aproximações iniciais x0 e x1.Dados: Número máximo de interações kmax ; tolerâncias δ e ε.Inicialize: k = 0, Dr = δ + 1, f0 = f (x0) e f1 = f (x1).enquanto k ≤ kmax , |f1| > ε e Dr > δ faça
Atualize: k = k + 1.
Defina: x =x0f1 − x1f0
f1 − f0.
Calcule: Dr = |x − x1|.Atualize: x0 = x1, f0 = f1, x1 = x .Avalie: f1 = f (x).
Saída: Aproximação para a raiz x .
Define-se f1 = f (x1) e f0 = f (x0) para diminuir o número deavaliações da função f .
Exemplo 7
Use o método da secante para encontrar uma estimativa para araiz positiva da função
f (x) = ex − 2x − 1,
com aproximações iniciais x (0) = 1 e x (1) = 2 e tolerânciasδ = 0.1 e ε = 0.1. Interprete geometricamente o método dasecante.
Resposta:Começando com as aproximações x (0) = 1 e x (1) = 2,construímos a tabela abaixo em que Dr = |x (k+1) − x (k)|:
k x (k) f (x (k)) Dr
0 1.0000 -0.28172 1.00001 2.0000 2.3891 0.894522 1.10548 -0.19028 0.0659913 1.171473 -0.116204 —
Terminamos as iterações porque a condição |f (x (k)| < ε foisatisfeita.A aproximação fornecida pelo método de Newton é ξ = 1.273957.
Interpretação geométrica do método da Secante.
O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dométodo da secante, com as mesmas aproximações iniciaisx (0) = 1 e x (1) = 2, mas as tolerâncias δ = 10−7 e ε = 10−7.
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Erro Absoluto
k
O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dosmétodos de Newton e secante.
10-14
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Erro Absoluto
k
Newton
Secante
Considerações FinaisNa aula de hoje demonstramos a convergência pelo menos lineardo método do ponto fixo.
Depois apresentamos o método de Newton, que possuiconvergência quadrática. Geometricamente, a próximaaproximação do método de Newton é obtida encontrando a raizde uma aproximação linear da função.
Finalmente, apresentamos o método da secante, que possuiconvergência superlinear. O método da secante pode ser vistocomo uma aproximação do método de Newton sem calcular aderivada da função f .
Muito grato pela atenção!
Demonstração da convergência do método de Newton:
Devemos mostrar que
ϕ(x) = x − f (x)
f ′(x),
satisfaz o teorema de convergência do ponto fixo.
Da regra do quociente, temos
ϕ′(x) =f (x)f ′′(x)(
f (x))2 .
Sendo f ′(ξ) 6= 0 e f ′(x) é contínua em I, existe um intervalo I1 ⊆ Ital que f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I1.
Temos também que f , f ′ e f ′′ são contínuas em I1 com f ′′(x) 6= 0.
Portanto, ϕ e ϕ′ são ambas contínuas em I1.
Além disso, como ϕ′(ξ) = 0, é possível escolher um subintervaloI ⊆ I1, centrado em ξ, tal que |ϕ′(x)| < 1 para todo x ∈ I.
Dessa forma, ϕ satisfaz as hipóteses do teorema de convergênciado método do ponto fixo.
Logo, a sequência {x (k)} produzida pelo método de Newtonconverge para ξ.
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