nguy n qu c qu n - tr ng thpt chuyên nguy n quang...
Post on 04-Sep-2018
214 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
1
Hỗ trợ học Toán Hình học 10
(học kỳ 1)
Vectơn Các công thức cơ bản cần nhớ
1/ Qui tắc 3 điểm.
a/ Qui tắc cộng: ACBCAB =+ (A, B, C bất kỳ)
b/ Qui tắc trừ: ABOAOB =− (O, A, B bất kỳ)
2/ Qui tắc hình bình hành:ABCD là hình bình hành thì: ACBDAB =+
3/ Nếu a = k b thì a và b cùng phương. Cụ thể:
k > 0 thì a vàb cùng hướng ; k < 0 thì a vàb ngược hướng và akak = ,
=
=⇔=
0a
0k0a.k
4/ Công thức liên quan trung điểm: O là trung điểm đoạn AB thì:
a/ 0=+ OBOA ; b/ ( )MBMAMO +=2
1 ( M bất kỳ)
5/ Công thức liên quan trọng tâm tam giác. G là trọng tâm tam giác ABC thì:
a/ 0=++ GCGBGA b/ ( )MCMBMAMG ++=3
1 ( M bất kỳ)
Bài tập Bài 1/ Cho bốn điểm A , B , C , D . Tính :
a/ CABDDCABu +++= ; b/ DABCCDABv +++=
Giải
a/ CABDDCABu +++= = ( ) ( ) 0==+=+++ AADAADCADCBDAB
b/ DABCCDABv +++= = ( ) ( ) 0==+=+++ AACAACDACDBCAB
Bài 2/ Cho 6 điểm A , B , C , D , E , F. Chứng minh: CDBFAECFBEAD ++=++
Giải “ Để chứng minh T = P ta có thể chứng minh T – P = 0”
( ) ( )CDBFAECFBEAD ++−++ = ( ) ( ) ( )CDCFBFBEAEAD −+−+−
= DFFEED ++ = ( ) FEDFED ++ = DEED + = 0
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 3/ Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh: 0=++ CPBNAM
Giải “Sử dụng công thức trung điểm”
( )CACBBCBAACABCPBNAM +++++=++2
1 = ( ) ( ) ( )[ ]CBBCCAACBAAB +++++
2
1 = 0
Sử dụng công thức trọng tâm
( ) 0GCGCBGA2
3CPBNAM =++−=++
Bài 4/ Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC
sao cho NC = 2NA.
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ Chứng minh: ACABAK61
41
+=
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
2
K
N
M
DCB
A
b/ Gọi D là trung điểm của BC . Chứng minh: ACABKD31
41
+=
Giải
a/ M là trung điểm AB nên: ABAM2
1= , NC = 2NA nên ACAN
3
1=
K là trung điểm MN nên: ( )ANAMAK +=2
1 =
+= ACABAK
3
1
2
1
2
1
= ACAB6
1
4
1+
b/ Gọi D là trung điểm của BC . Chứng minh: ACABKD31
41
+=
Giải
D là trung điểm AC nên ( )ACABAD +=2
1 mà AKADKD −=
Vậy: ACABACABACABKD3
1
4
1
6
1
4
1
2
1
2
1+=−−+=
Bài 5/ Cho tam giác ABC.
a/ Tìm I sao cho : 02 =+ IBIA
b/ Tìm K sao cho : CBKBKA =+ 2 ;
c/ Tìm M sao cho : 02 =++ MCMBMA
Giải
a/ Tìm I sao cho : 02 =+ IBIA
02 =+ IBIA ⇔ BIIA 2= hay IBAI 2= “ AI và IB cùng hướng và AI = 2IB”
Vậy I thuộc đoạn AB và chia AB thành thành 3 đoạn bằng nhau thì có hai điểm chọn điểm I về phía
B
b/ CBKBKA =+ 2 ⇔ KCKBKBKA −=+ 2 “ thay KBKCCB −= ”
0=++ KCKBKA Vậy K ≡ G là trong tâm tam giác ABC
c/ Tìm M sao cho : 02 =++ MCMBMA
Giải. “ lưu ý công thức trung điểm có số 2, bài toán về tâm tỷ cự đơn giản nhất”
Gọi D là trung điểm đoạn AB, ta có: MDMBMA 2=+
02 =++ MCMBMA ⇔ 022 =+ MCMD ⇔ 0=+ MCMD
Vậy M là trung điểm CD
Bài 6/ Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh : MDMBMCMA +=+
Giải Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD
Ta có:
=+
=+
MOMDMB
MOMCMA
2
2 ⇒ MDMBMCMA +=+
Bài 7/ Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý .
a/ Chứng minh rằng vectơ MCMBMAv 32 −+= không phụ thuộc vị trí điểm M
b/ Dựng điểm D sao cho vCD = . CD cắt AB tại K . Chứng minh: 02 =+ KBKA và
CKCD 3=
Giải
a/ Chứng minh rằng vectơ MCMBMAv 32 −+= không phụ thuộc vị trí điểm M
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
3
“ Tìm điểm cố định liên quan ABC và biến đổi v “ mất M” là xong ”
( ) ( )MCMBMCMAv −+−= 2 = CBCA 2+ điều phải chứng minh
b/ Dựng điểm D sao cho vCD = . CD cắt AB tại K . Chứng minh: 02 =+ KBKA và CKCD 3=
Từ ( ) ( )MCMBMCMAv −+−= 2 = CBCA 2+ “ làm mất số 2 đi”
Dựng điểm E sao cho E là trung điểm CE ⇒ CBCE 2= . Khi đó:
CECAv += . Dựng hình bình hành CADE ⇒ vCD =
Gọi O = CD ∩ EA ⇒ O là trung điểm của CD và EA
K = CO ∩ AB ⇒ K là trọng tâm tam giác ACE ⇒ KBKA 2−=
⇒ 02 =+ KBKA .
Bài 8/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điểm đối xứng
với A qua O.
a/ Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành .
b/ Chứng minh rằng OHOCOBOAHOHCHBHA =++=++ ,2
c/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh : OGOH 3= “ Đường thẳng
qua 3 điểm O,
H, G gọi là đường thẳng Ơ le”
Giải a/ Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành .
AD là đường kính nên DC ⊥ AC và BD ⊥ HC
Vì: DC ⊥ AC và BH ⊥ AC nên DC // BH (1)
Vì : DB ⊥ AB và CH ⊥ AB nên DB // CH (2)
(1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành
b/ Chứng minh rằng OHOCOBOAHOHCHBHA =++=++ ,2
BHCD là hình bình hành nên: HDHCHB =+
HOHDHAHCHBHA 2=+=++ ( Vì O là trung điểm AD)
Có: HAOHOA += , HBOHOB += và HCOHOC +=
Nên: HCHBHAOHOCOBOA +++=++ 3
Bài 9/Cho tam giác ABC.Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC,CA và điểm M tùy ý.
Chứng minh:
a/ MFMEMDMCMBMA ++=++
b/ 0=++ CDBFAE
c/ 0=++ CFBEAD
Giải
a/ MFMEMDMCMBMA ++=++
( ) ( )MFMEMDMCMBMA ++−++
= ( ) ( ) ( )MFMCMEMBMDMA −+−+−
= FCEBDA ++ = AFFDDA ++ = DDFDAFDA =++
b/ 0=++ CDBFAE ( công thức trung điểm)
CDBFAE ++ = ( )CACBBCBAACAB +++++2
1 = 0
c/ 0=++ CFBEAD
D
K
O
E
A
B
C
H O
D
C
B
A
F
E
D
CB
A
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
4
NM
D
CB
A
NH
G
M CB
A
( ) 02
1
2
1=++=++ CABCABCFBEAD
Bài 10/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD. Chứng minh:
MNBCACBDAD 4=+++
Giải
)()( BCBDACAD +++ = BNAN 22 + = ( )NBNA +− 2 =
NM2.2−
Bài 11/ Cho tam giác ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm
BC. Chứng minh:
a/ ABACAH3
1
3
2−= b/ ABACCH
3
1
3
1−−= c/ ABACMH
6
5
6
1−=
Giải
a/ ABACAH3
1
3
2−=
Gọi N là trung điểm AC, ta có: AGNC là hình bình hành
GKGCAH3
2−== ( K là trung điểm AB)
( ) CBACCBCAAH3
1
3
1
2
1.
3
2−=+−= = ( )ACABAC −−
3
1
3
1 = ACAC
3
1
3
2−
b/ ABACCH3
1
3
1−−=
AMGACH3
2−== = ( )ACAB +−
2
1.
3
2 = ACAB
3
1
3
1−−
c/ ABACMH6
5
6
1−=
( )HCHBMH +−=2
1 = ( )AGGB +− 2
2
1 = ( )GBAB +−
2
1 = BGAB
2
1
2
1+− = BNAB
3
2.
2
1
2
1+−
( )BCBAABMH ++−=2
1.
3
1
2
1 = ( )ACBABAAB +++− .
6
1
2
1 = ABABAC
3
1
2
1
6
1−−
ABACMH6
5
6
1−=
Bài 12/ Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm O. Tính:
a/ ACAB + b/ ACAB − c/ OBOA + d/ ACAO +
Giải
Nhắc lại độ dài đường cao tam giác đều bằng: độ dàicạnh.2
3
a/ ACAB + = AM2 = 2AM = 3a
b/ ACAB − = CA = CA = a
c/ OBOA + . Gọi M là trung điểm BC H
K
M
O
CB
A
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
5
OMOMOBOA 22 ==+ = AM3
1.2 =
3
3a
d/ ACAO + . Gọi K là trung điểm OC. AKACAO 2=+ = 2AK
Gọi H là hình chiếu của K lên AM, trong tam giác AHK có:
44
1
2
1 aBCMCHK === ; OMAMOHAOAH
2
1
3
2+=+= = AMAM
6
1
3
2+ =
AM6
5=
2
3.
6
5 a
12
35aAH = nên : AK
2 = AH
2 + HK
2 =
144
84
16144
75 222aaa
=+ ⇒ AK = 6
21a
Vậy: 3
21aACAO =+
Bài 13/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính:
a/ ADAB + b/ ADAB − c/ ACAB + d/ ABAO +
Giải
a/ ADAB + = ACAO =2 = AC = 2a b/ ADAB − = DA = DA = a
c/ ACAB + . Gọi M là trung điểm BC
AMACAB 2=+ = 2AM = 2
5
4
2222 aa
aBMAB =+=+
d/ ABAO + . Gọi H là trung điểm OB. AHABAO 2=+ = 2AH
Trong tam giác AOH có: AH2 = AO
2 + OH
2 =
16
10
16
2.5
16
5
4
5
4
222222 aaACAOOB
AO ====+
Hay 4
10aAH = . Vậy:
2
10aABAO =+
Bài 14/Cho lục giác đều ABCDEF và điểm M tùy ý .Chứng minh rằng:
MFMDMBMEMCMA ++=++ . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đã cho
Giải. ( ) ( )MFMDMBMEMCMA ++−++ = ( ) ( ) ( )MFMEMDMCMBMA −+−+− =
FEDCBA ++
= AOOBBA ++ = BBOBAOBA =++
O
H
M
DC
BA
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
6
Giá trị lượng giác của một góc ( từ 00 đến 1800) • Trong hệ trục (Oxy) cho đường tròn tâm O qua các điểm A(1 ; 0 ), A
/(–1 ; 0) và B(0
; 1). Vẽ cung AM có số đo là α ( tương ứng góc có hai tia OA, OM ). Tìm tọa độ
điểm M . Nếu: M( xM ; yM )
• cosα = xM sinα = yM
• α
αα
cos
sintan = (α ≠ 90
0)
α
αα
sin
coscot = ( α ≠ 0
0 và α ≠ 180
0 )
• Nếu a + b = 1800 thì: sina = sinb và cosa = –cosb ; tana = –tanb ; coaa = –cotb
• Các hệ thức lượng giác cần nhớ
1/ sin2x + cos
2x = 1 2/ tanx =
x
x
cos
sin 3/ cotx =
x
x
sin
cos
4/ tanx.cotx = 1 5/ x
2cos
1 = 1 + tan
2x 6/
x2sin
1= 1 + cot
2x
Bài tập.
Bài 1/ Cho sinx = 13
5 ( 90
0 < x < 180
0). Tính các giá trị lượng giác còn lại
Giải
cos2x = 1 – sin
2x =
169
144
169
251 =− ⇔
13
12cos −=x vì ( 90
0 < x < 180
0) nên: cosx < 0
12
5
12
13.
13
5tan −=−=x ,
5
12cot −=x
Bài 2/ Biết cot150 = 2 + 3 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 15
0
Giải
3232
115tan 0
−=+
= ; ( )32415tan115cos
1 02
02−=+= ⇒
( ) 4
32
324
115cos 02 +
=−
= ⇒ 2
3215cos 0 +
= ;
sin150 = tan15
0.cos15
0 = ( ) ( )( )( )
2
32
2
323232
2
3232
−=
−−+=
+−
Bài 3/ Cho tanα = 3 . Tính:
αα
αα
cos11sin4
cos3sin2/
−
+a b/
αα
αα33 cos17sin
cos2sin3
−
−
Giải
Cách 1/ αα
αα
cos11sin4
cos3sin2/
−
+a =
11tan4
3tan2
−
+
α
α ( chia 2 vế cho cosα ) = 11
Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα . Thay vào biểu thức
Cách 2/ b/ αα
αα33 cos17sin
cos2sin3
−
−=
αα
α23 cos
1.
17tan
2tan3
−
−= ( )α
α
α 2
3tan1
17tan
2tan3+
−
− = 7
Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα . Thay vào biểu thức
Bài 4/ Cho tana + cota = m , hãy tính theo m.
a/ tan2a + cot
2a , b/ tan
3a + cot
3a , c/ | tana – cota|
Giải a/ tan
2a + cot
2a = (tana + cota)
2 –2tana.cota = m
2 –2
b/ tan3a + cot
3a = (tana + cota)
3 –3tana.cota(tana + cota) = m
3 –3m
c/ | tana – cota| = ( ) 2cottan2cottan 22−=−+ maaaa
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
7
Bài 5/ Cho sina + cosa = m , hãy tính theo m.
a/ sina cosa b/ | sina – cosa| c/ sin3a + cos
3a
d/ sin4a + cos
4a e/ sin
6a + cos
6a
Giải
a/ sina cosa = ( )
2
1
2
1cossin 22−
=−+ maa
b/ | sina – cosa| = ( )2cossin aa − = ( ) aaaa cossin4cossin
2−+ =
2
14
22 −
−m
m
| sina – cosa| = 22 m−
c/ sin3a + cos
3a = (sina + cosa)
3 –3sinacosa)(sina + cosa) =
2
13
23 −
−m
mm
sin3a + cos
3a =
2
23 3mm −
d/ sin4a + cos
4a = (sin
2a + cos
2a)
2 –2sin
2acos
2a = 1 – 2(sinacosa)
2 =
22
2
121
−−
m
sin4a + cos
4a =
2
21 42mm −+
Bài 6/ Chứng minh rằng:
a/ aa
aa22
22
coscot
sintan
−
− = tan
6a b/ aaa
a
aa 32
3tantantan1
cos
cossin+++=
+
c/ sin2atan
2a + 4sin
2a –tan
2a + 3cos
2a = 3
Giải
a/ aa
aa22
22
coscot
sintan
−
− = tan
6a
aa
aa22
22
coscot
sintan
−
−=
( )( )aa
aa22
22
sin1cot
cos1tan
−
− =
aa
aa22
22
coscot
sintan
b/ aaaa
aa 32
3tantantan1
cos
cossin+++=
+
aa
aa
a
aa23 cos
1.
cos
cossin
cos
cossin +=
+= ( )( )aa 2tan11tan ++
c/ sin2atan
2a + 4sin
2a –tan
2a + 3cos
2a = 3
VT = sin2atan
2a + sin
2a –tan
2a + 3sin
2a + 3cos
2a = sin
2a(1 + tan
2a) –tan
2a + 3(sin
2a +
cos2a)
= 3
Bài 7/ Chứngminh các đẳng thức sau:
a/ cos4x – sin
4x = 2cos
2x –1 b/ cot
2x – cos
2x = cos
2x.cot
2x
c/ tan2x –sin
2x = tan
2x.sin
2x d/ (sinx + cosx)
2 + (sinx –cosx)
2 = 2
Giải a/ cos
4x – sin
4x = 2cos
2x –1
cos4x – sin
4x = (cos
2x – sin
2x)(cos
2x + sin
2x) = cos
2x – (1 – cos
2x) = 2cos
2x –1
b/ cot2x – cos
2x = cos
2x.cot
2x.
VP = (1 – sin2x)cot
2x = cot
2x – sin
2xcot
2x = cot
2x – cos
2x
c/ tan2x –sin
2x = tan
2x.sin
2x.
VP = tan2x( 1 – cos
2x) = tan
2x – tan
2x.cos
2x = tan
2x – sin
2x
Bài 8/ Rút gọn các biểu thức sau:
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
8
D/C/
D
C
BAB/
A/B
AO
a/ 2(sin6x + cos
6x) –3(sin
4x + cos
4x) b/ 2cos
4x –sin
4x + sin
2xcos
2x +3sin
2x
c/ (sin4x + cos
4x –1)(tan
2x + cot
2x + 2)
Giải. sin
4x + cos
4x = (sin
2x + cos
2x)
2 –2sin
2xcos
2x = 1 –2sin
2xcos
2x
sin6x + cos
6x = (sin
2x + cos
2x)
3 –3sin
2xcos
2x(sin
2x + cos
2x) = 1 –3sin
2xcos
2x
a/ 2(sin6x + cos
6x) –3(sin
4x + cos
4x) = 2(1 –3sin
2xcos
2x) –3(1 –2sin
2xcos
2x) = –1
b/ B = 2cos4x –sin
4x + sin
2xcos
2x +3sin
2x = cos
4x – sin
4x + cos
4x+ sin
2xcos
2x
+3sin2x
= (cos2x –sin
2x)(cos
2x + sin
2x) + cos
2x(cos
2x + sin
2x) + 3sin
2x
= cos2x – sin
2x + cos
2x + 2sin
2x = 2(cos
2x + sin
2x) = 2
c/ C = (sin4x + cos
4x –1)(tan
2x + cot
2x + 2) = –2sin
2xcos
2x(tan
2x + cot
2x + 2)
= –2sin4x –2cos
4x –4sin
2xcos
2x = –2(sin
2x + cos
2x)
2 = –2
d/ (sinx + cosx)2 + (sinx – cosx)
2 = 2
D = sin2x + 2sinxcosx + cos
2x + sin
2x –2sinxcosx + cos
2x = 2(sin
2x + cos
2x) = 2
TÍCH VÔ HƯỚNG • Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a và b . Từ điểm O tuỳ ý , dựng aOA = và
bOB = . Góc AOB gọi là góc giữa hai vectơ a và b . ( )ba ; = AOB
• Tích vô hướng của hai vectơ a và b . Ký hiệu: ba. và ba. = ( )baba ;cos..
• Tính chất.
1/ ba. = ab. 2/ ( )cba + = caba + 3/ ( )22
aa = 4/ ( ) 222
2 bbaaba +±=±
5/ Cho hai vectơ OA và OB . B/ là hình chiếu ( vuông góc) của B lên đường thẳng qua
hai điểm O, A. Ta có: 'OBOAOBOA = ( Hình trái: A/ là hình chiếu của A lên
OB, B/ là hình chiếu của B lên OA thì:
OBOAOBOAOBOA ... //==
Hình phải: C/, D
/ lần lượt là hình chiếu của C,D lên AB thì :
//.. DCABCDAB = )
6/ Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và một điểm M. Qua M kẻ đường thẳng ∆ cắt
(O) tại hai điểm AB, ta luôn có: 22. RMOMBMA −=
Chứng minh
Kẻ đường kính BC,ta có: CA ⊥ AB ⇒ A là hình chiếu của C lên AB ( hay ∆ )
( )( )OMOBOMOCMBMCMBMA −−== = ( )( )OMOCOMOC −−− = – ( OC2 – OM
2)
Hay : 22. RMOMBMA −=
• 22. RMOMBMA −= .Gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và Ký
hiệu: PM/(O)
• Nếu M ngoài (O) và MT là tiếp tuyến của (O) ( T là tiếp tuyến ) , ta có: 2. MTMBMA =
• Hẳn nhiên. Đường thẳng qua M cắt (O) tại A, B; Đường thẳng qua (O) cắt (O) tại
C,D thì MDMCMBMA .. =
Bài tập Bài 1. Cho tam giác ABC có AC = 9, BC = 5 , ACB = 90
0. Tính ACAB.
Giải.
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
9
C
B
A
H
O
M CB
A
O
D C
BA
Cách 1/ B là hình chiếu của C lên AC,
nên: 810cos... 02=== ACACACACAB Cách 2/
819
.9.cos...22
22=
++==
BCACBCACAACABACAB
Cách 3/ ( ) 81...22
==+=+= ACACCBACACCBACACAB ( vì 0. =ACCB )
Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a, tâm O và M là trung điểm BC. Tính:
Giải. Lưu ý:“ Tính góc giữa hai vectơ ta đưa hai vectơ về hai vectơ chung gốc và góc của
chúng là góc kẹp giữa hai mũi tên”
1/ OMOA. và BCOA. 2/ OBOA. và ABOA.
Giải
1/ OMOA. và BCOA.
Góc giữa OA và OM là 1800. Nên )1.(.. −= OMOAOMOA = 22OM−
2
3
12.
−= AMOMOA =
2
2
3
3
12
−
a=
6
2a
−
OA ⊥ BC nên 0. =BCOA
2/ OBOA. và ABOA.
Góc giữa OA và OB là 1200 nên: OBOA. =
−
2
32OA =
−
2
1
2
3
3
22
a =
6
2a
−
“Một phát hiện thú vị là M là hình chiếu của B lên OA nên OBOA. = OMOA. ”
Góc giữa OA và AB là 1500 nên: ABOA. = OA.AB.cos150
0 =
“tại sao không áp dụng điều phát hiện trên: M là hình chiếu của B lên OA nên ABOA. =
ABOA. ”
Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính:
1/ ABOA. và ACAB + 2/ DCAB. và ADOB.
Giải
1/ ABOA. . O là hình chiếu của B lên AO nên:
Gọi ABOA. = AOOA = – OA2 =
22
2 22
aa−=
−
Gọi M là trung điểm BC, ta có: ACAB + = AM2 = 54
22
2a
aa =+
2/ DCAB. và ADOB.
AB và DC cùng hướng nên DCAB. = AB2 = a
2
O là hình chiếu của A lên OB nên ADOB. = DOOB = – OB2 =
2
2a
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 5 , BC = 7, CA = 8.Tính ACAB. , suy ra giá trị của góc
A
Giải
ABACBC −= nên ( ) ( )22
ABACBC −= hay BC2 = AC
2 – ACAB.2 + AB
2
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
10
H
M CB
A
⇒ 2
496425
2.
222−+
=−+
=BCACAB
ACAB = 20
2
1
.
.cos ==
ACAB
ACABA ⇒ A = 60
0
Bài 5. Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh :
22. OAOMMBMA −=
Giải
( )( )OMOBOAMOMBMA −+=. = ( )( )OAMOOAMO −+ = OM2 – OA
2
Bài 6. Cho 4 điểm M, A, B, C. Chứng minh: 0... =++ ABMCCAMBBCMA
Giải
VT = ( ) AB.MCCA.MBACBAMA +++ = AB.MCCA.MBAC.MABA.MA +++
= CA.MBAC.MAAB.MCBA.MA +++ = ( ) ( )MBAMCAMCAMAB +++
= AB.CAACAB + = ( )CAACAB + = 0
Bài 7.Cho tam giác ABC với H là trực tâm và M là trung điểm BC.
Chứng minh: 2
4
1. BCMAMH =
Giải. “Sử dụng ít nhất 2 trong 3 ý sau: AH ⊥ BC, BH ⊥ AC và CH ⊥ AB”
MAMH . = ( )( )ACABHCHBAMHM ++=4
1. = ( )ACHCABHB +
4
1
= ( )( )[ ]BCABBCHBABHB +++4
1
=
+++
2
4
1BCABBCACHBABHB = 22
BC4
1BCHCAB
4
1=
+
Bài 8. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ABACABAM .. =
Giải
ABACABAM .. = ⇔ ( ) 0=− ACAMAB ⇔ 0. =CMAB . Vậy M thuộc đường thẳng qua C
và
vuông góc AB
Bài 9. Cho tam giác ABC .
a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( )( ) 0=++ MCMAMBMA
b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( )( ) 0MCMBMCMBMA =+++
Giải
a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( )( ) 0=++ MCMAMBMA
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và AC
( )( ) 0=++ MCMAMBMA ⇔ 0. =MKMH Vậy M thuộc đường tròn đường kính HK
b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( )( ) 0MCMBMCMBMA =+++
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC
( )( ) 0MCMBMCMBMA =+++ ⇔ 0MI2.MG3 = ⇔ 0MI.MG = . Vậy M thuộc đường tròn
đường
kính GI
Bài 10. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN
1/ Chứng minh: AIABAIAM .. = và BIBABIBN .. =
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
11
I
N
M
BA
M
D
HCB
A
M
T/
T
B
A
O/
O
H
I
F
E
O
M
BA
2/ Tính AIAM . + BIBN. theo R
Giải 1/ AB là đường kính nên AM ⊥ BM và AN ⊥ BN
Nên M là hình chiếu của B lên AI và N là hình chiếu của A lên BI
Vậy AIABAIAM .. = và BIBABIBN .. =
2/ Dưa vào kết quả trên ta có:
AIAM . + BIBN. = BIBAAIAB + = ( ) 2
ABIBAIAB =+ = AB2 = 4R
2
Bài 11. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu của H lên AC,
M là trung điểm HD. Chứng minh: AM ⊥ BD
Giải
( )( )HDBHADAHBDAM ++=2 = HDADBHADHDAHBHAH ... +++
= HCADHDAH .. + ( vì AH ⊥ BH và AD ⊥ HD và H là trung điểm BC)
= ( ) HCADCDHCAH .. ++ = HCADCDAH +
= DCADCDAD + ( H là hình chiếu của H lên AC )
= 0 . Vậy. AM ⊥ BD
Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:
1/ MDMBMCMA .. =
2/ MA2 + MC
2 = MB
2 + MD
2
Giải
1/ MCMA. = ( )( )DCMDBAMB ++ = MCBADCMBMDMB ++ =
( )MCMBDCMDMB −+
= CBDCMDMB + = MDMB
2/ Gọi O = AC ∩ BD ⇒ MOMCMA 2=+ và MOMDMB 2=+ ⇒ MDMBMCMA +=+
⇒2222
2.2 MDMDMBMBMCMCMAMA ++=++ ⇒ 2222
MDMBMCMA +=+ ( do 1/
)
Bài 13. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M tuỳ ý. Chứng minh:
MA2 + MB
2 + MC
2 = 3MG
2 + GA
2 + GB
2 + GC
2
Giải
( ) 2222
2 2 GAGAMGMGGAMGMAMA ++=+==
( ) 2222
2 2 GBGBMGMGGBMGMBMB ++=+==
( ) 2222
2 2 GCGCMGMGGCMGMCMC ++=+==
Suy ra: MA2 + MB
2 + MC
2 = 3MG
2 + ( )GCGBGAMG ++2 + GA
2 + GB
2 + GC
2
Hay: MA2 + MB
2 + MC
2 = 3MG
2 + GA
2 + GB
2 + GC
2
Bài 14 . Cho hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại A, B. TT
/ là đoạn tiếp tuyến chung
ngoài. Đường thẳng qua A, B cắt TT/ tại M. Chứng minh M là trung điểm TT
/
Giải Đối với đường tròn (O) ta có: MA.MB = MT
2.
Đối với đường tròn (O/) ta có: MA.MB = MT
/2
Vậy: MT2 = MT
/2 hay MT = MT
/
Bài 15/ Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Đường tròn tâm
M tiếp xúc AB tại H và cắt (O) tại E và F. EF cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm MH
Giải
Đối với đường tròn (M), ta có: IHIMIFIE .. = và 22. MHIMIFIE −=
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
12
K
M
D
C
BA
N
M
H CB
A
D
CB
A
N
M
H
DC
BA
Đối với đường tròn (O), ta có: 22. OMOIIFIE −=
Ta được: IM2 – MH
2 = OI
2 – OB
2 ( pytago trong 2 tam giác OMH và OIH được) ⇔ IM
2 –
MH2 = OH
2 + IH
2 – OH
2 – MH
2 ⇔ IM
2 = IH
2
Hay IM = IH
Bài 16/ Cho đường tròn tâm O,bán kính R. Từ điểm M bên trong đường tròn (O), vẽ hai dây
AMB và BMD vuông góc nhau. Gọi K là trung điểm BD. Chứng minh MK vuông góc CD
Giải
Ta có MD.MCMB.MA = ( cùng bằng OM2 –R
2 )
AC.MK = ( )( )MCAMMDMB2
1++
= ( )MD.MCMD.AMMC.MBMB.AM2
1+++
= ( )MD.MCMD.AMMC.MBMB.MA2
1+++− = 0
( Vì : MB⊥MC, MA⊥MA và MD.MCMB.MA = )
Bài 17/ Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH. Gọi M, N là lượt là trung điểm của
AH và HC. Chứng minh BM vuông góc AN
Giải
( )( )ACAHBHBAAN.BM4 ++= = AC.BHAH.BHAC.BAAH.BA +++
= HC.BHAH.HA + ( AB ⊥ AC, và AH ⊥ BC,công thức chiếu)
= –AH2 + BH.AC = 0. Vậy BM ⊥ AC
Bài 18/ Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ BH⊥AC (H∈AC). Gọi Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AH và DC. Chứng minh tam giác BMN vuông tại M
Giải
( )( )MCMDBHBAMN.BM4 ++= = MC.BHMD.BHMC.BAMD.BA +++
= MD.BHMC.BAMD.BA ++
= ( ) ( )CDMC.BHMC.BAADMA.BA ++++
= BA.BHMC.BAMA.BA ++ ( BH ⊥ MC, BA ⊥ AD và BACD = )
= ( )BHHC.BA + ( HMMA = )
= BC.BA = 0. Vậy BM ⊥ MN
Bài 19/ Cho hình bình hành ABCD có AB = 13, AD = 19 và AC = 24.Tính BD
Giải
Ta có: ADABAC += và BCBABD +=
Nên: AC2 + BD
2 = 2(AB
2 + AD
2) + 2 ( )BC.BAAD.AB +
= 2(AB2 + AD
2) + 2 ( )CBADAB +
= 2(AB2 + AD
2)
Nên: BD2 = 2(AB
2 + AD
2) – AC
2 = 2(169 + 361) –576 = 484 ⇒ BD = 22
Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC , ta nhắc lại các ký hiệu thường dùng:
* a = BC ; b = CA ; c = AB
* S : diện tích tam giác ABC
* R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
* r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
* ma , mb , mc : độ dài các trung tuyến kẻ từ A, B , C
* ha , hb , hc : độ dài các đường cao kẻ từ A, B , C .
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
13
* p : nửa chu vi : 2
cbap
++=
I.Định lý cosin và định lý sin trong tam giác.
1/ Định lý cosin trong tam giác. Với mọi tam giác ABC , ta có:
a2 = b
2 + c
2 – 2bc.cosA ; b
2 = a
2 + c
2 – 2ac.cosB ; c
2 = a
2 + b
2 – 2ab.cosC
Hệ quả.
• cosA =
222
2bc
acb −+; cosB =
222
2ac
bac −+; cosC =
222
2ab
cba −+
2/ Định lý sin trong tam giác. Với mọi tam giác ABC , ta có:
R2Csinc
Bsinb
Asina
===
3/ Độ dài trung tuyến
4c
2ba
m,4b
2ca
m,4a
2cb
m222
2c
2222b
2222a −
+=−
+=−
+=
4.Diện tích tam giác
ahaS .2
1= = chb.
2
1= chc.
2
1
CbaS sin..2
1= = Acb sin..
2
1Bac sin..
2
1=
S = pr
R
abcS
4=
))()(( cpbpappS −−−= “ công thức Hê - rông ”
II.Trong tam giác vuông. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
• BC2 = AB
2 + AC
2 ; AB
2 = BH.BC ; AC
2 = CH.CB
• AH.BC = AB.AC ; AH2 = HB.HC ;
222
111
ACABAH+=
III. Hệ thức lượng giác cơ bản
• sin2x + cos
2x = 1 ; x
x
2
2tan1
cos
1+= , (cosx ≠ 0) ; x
x
2
2cot1
sin
1+= ,(sinx ≠ 0)
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
14
H
M
CB
A
D
C
BA
N
G
M
C
B A
Bài tập Bài 1.Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CD, DA = 9m, DB = 16m.Tính :CD, AC,BC
Giải CD
2 = DA.DB = 9.16 = 144 ⇒ CD = 12
AC2 = AD
2 + CD
2 = 81 + 144 = 225 ⇒ AC = 15
BC2 = BD
2 + CD
2 = 256 + 144 = 400 ⇒ BC = 20
Bài 2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AB và H là hình chiếu của M lên
BC. Chứng minh: HC2 – HB
2 = AC
2
Giải Trong tam giác MHC có HC
2 = MC
2 – MH
2
Trong tam giác MBH có HB2 = BM
2 – MH
2
Trong tam giác AMC có MC2 = AM
2 + AC
2 = BM
2 + AC
2
HC2 – HB
2 = (MC
2 – MH
2) – ( BM
2 – MH
2) = MC
2 – BM
2
= BM2 + AC
2 – BM
2 = AC
2
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các trung tuyến là AD, BE, CF. Chứng minh:
BE2 + CF
2 = 5AD
2
Giải Gọi a = BC , b = AC và c = AB, Tam giác ABC vuông tại A nên BC = a = 2 AD
42
2222 bca
BE −+
= , 42
2222 cba
CF −+
= và 44242
2222222 aaaacb
AD =−=−+
=
BE2 + CF
2 =
42
222bca
−+
+ 42
222cba
−+
= =−++−+
4
2222 222222cbabca
4
5
4
4 2222acba
=++
= 5AD2
Bài 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh: cotA + cotB + cotC = S
cba
4
222++
Giải
abc
acbR
a
R
bc
acb
A
AA
222222 2.
2sin
coscot
−+=
−+==
abc
bcaR
b
R
ac
bca
B
BB
222222 2.
2sin
coscot
−+=
−+==
abc
cbaR
c
R
ab
cba
C
CC
222222 2.
2sin
coscot
−+=
−+==
cotA + cotB + cotC = abc
cbaR
222++
= S
cba
4
222++
Bài 4. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN vuông góc nhau.
Chứng minh rằng: AB2 + AC
2 = 5BC
2
Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: BMGB3
2= và CNGC
3
2=
và GC2 + GB
2 = BC
2
GC2 + GB
2 = BC
2 ⇔ ( ) 222
9
4BCCNBM =+
⇔ 2222222
4
22
4
22
9
4a
cbabca=
−++
−+ ⇔ 2
222
9
4a
cba=
++ ⇔ b
2 + c
2 = 5a
2
Bài 6. Chứng minh trong mọi tam giác ta đều có: a = b.cosC + c.cosB
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
15
C/B/
A/
O
CB
A
b.cosC + c.cosB = ac
bcac
ab
cbab
22
222222−+
+−+
= a
bca
a
cba
22
222222−+
+−+
= a
Bài 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 2c
. Chứng minh:
a/ 2b2 = a
2 – c
2
b/ sin2A = 2sin
2B + sin
2C
Bài 7. Cho tam giác ABC có B = 600 , R = 2. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI
Giải
B = 600 ⇒ A + C = 120
0 ⇒ 060
2=
+ CA ⇒ góc AIC = 120
0 = B .
Gọi RB là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC ,
Trong tam giác AIC, có: BRAC
2120sin 0
= mà 42sin
== RB
AC ⇒ RB = 2
Bài 8. Cho tam giác ABC có BC = 13 cm, AB = 12 cm và AC = 5 cm
a/ Tính diện tích tam giác ABC
b/ Tính độ dài các đường cao, các đường trung tuyến
c/ Tính R và r
Bài 9. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc BC, CA, AB tại A’, B’, C’.
Chứng
minh: ''' CBAS = R
pr
2
2
Giải Ta có các cặp góc C
/AB
/ và C
/OB
/ , C
/BA
/ và C
/OA
/, A
/CB
/ và A
/OB
/ bù nhau nên sin của
chúng bằng nhau
Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là bán kính của đường tròn
ngoại tiếp tam giác A/B
/C
/
/////////BOACOACOBCBA
SSSS ++= = C
r
B
r
A
r
sin2
1
sin2
1
sin2
1 222
++
=
++
R
c
R
b
R
ar
2222
1 2 = R
pr
2
2
Bài 15 . Tính A , B , ha , R và r của tam giác ABC biết:
a/ a = 6 , b = 2 và c = 3 + 1
b/ a = 32 , b = 2 2 và c = 26 −
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1/ Hệ trục toạ độ Oxy.
• jyixa += ⇔ a = (x ; y)
• jyixOM MM += ⇔ M(xM ; yM) (xM: hoành độ ; yM: tung độ điểm M )
2/ Các phép toán trên vectơ. Cho 2 vectơ: a = ( x ; y ) và b = (x/ ; y
/ )
•
=
=⇔=
/
/
yy
xxba
• ( )// ; yyxxba ±±=± ; ( )kykxak ;=
• Tích vô hướng của 2 vectơ: ba. = x.x/ + y.y
/
3/ Các biểu thức liên quan điểm: Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC)
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
16 P N
M CB
A
• AB = (xB – xA ; yB – yA ) ; AB = ( ) ( )22
ABAB yyxxAB −+−=
• I là trung điểm đoạn AB thì: I
++
2;
2
BABA yyxx
• G là trọng tâm tam giác ABC thì: G
++++
3;
3
CBACBA yyyxxx
4/ Cho 2 vectơ: a = ( x ; y ) và b = (x/ ; y
/ )
• 2222 ''
'.'.);cos(
yxyx
yyxxba
++
+= ( )
( ) ( )2/2/22
//
.
..;cos
yxyx
yyxxba
++
+=
• a cùng phương b ⇔ '' y
y
x
x= ; a ⊥ b ⇔ x.x
/ + y.y
/ = 0
Bài tập I.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1/ Cho ba điểm A(–1 ; 1) , B(1 ;3) , C(–2 ; 0).Chứng minh A, B, C thẳng hàng
Giải. “ Nếu AB và AC cùng phương thì đường thẳng qua A,B và đường thẳng qua A,C
song song hoặc trùng nhau. Không song song được rồi ”
( )2;2=AB và ( )3;3 −−=AC . Vì ACAC3
2−= ( ta có thể dùng tỷ số tọa độ tương ứng
bằng nhau) nên AB và AC cùng phương. Vậy A, B, C thẳng hàng
2/ Cho ba điểm A(3 ;4) , B(2 ;5) , C(–7 ; x).Tìm x để A, B, C thẳng hàng
( )1;1−=AB và ( )4;10 −−= xAC . A, B, C thẳng hàng khi: 1
4
1
10 −=
−
− x ⇔ x = 14
3/ Cho A(–1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1)
a/ Tìm tọa độ trung điểm M của AC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Giải
a/
=+
=
−=+
=
22
2
1
2
CA
M
CA
M
yyy
xxx
⇒
− 2;
2
1M
b/ ABCD là hình bình hành nên M cũng là trung điểm BD.
=−=
−=−=
02
32
BMD
BMD
yyy
xxx. Vậy D(–3
; 0)
4/ Cho ( ) ( )4;7,2;3 =−= ba và ( )22;19=c . Biểu diễn c theo a và b
Giải
Giả sử byaxc += , mà byax + = ( 3x + 7y ; –2x + 4y )
byaxc += ⇔
=+−
=+
2242
1973
yx
yx ⇔
=
−=
4
3
y
x. Vậy: bac 43 +−=
5/ Cho tam giác ABC với A(–1 ;–1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0) . Tính góc B
( )2;4 −−=BA và ( )1;3 −=BC
cosB = ( ) ( )( )
2
1
210
10
19416
1.23.4;cos −=
−=
++
−−+−=BCBA ⇒ B = 120
0
6/ M(3 ; –1), N(0 , 4), P(2 , –2) lần lượt là trung điểm BC ; CA ; AB .tìm tọa độ A, B, C
Giải
Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
17
MBNC là hình bình hành nên PNMC =
Mà : ( )1;3 +−= CC yxMC và ( )6;2−=PN
Nên:
=+
−=−
61
23
C
C
y
x ⇔
=
=
5
1
C
C
y
x ⇒ C(1 ; 5)
M là trung điểm BC nên:
−=−=
=−=
32
12
CMB
CMB
yyy
xxx ⇒ B(1 ; –3)
N là trung điểm CC nên:
=−=
−=−=
32
12
CNA
CNA
yyy
xxx ⇒ A(–1 ; 3)
7/ Hình tính tứ giác ABCD và tính diện tích của nó
a/ A( 2 ; 1) , B(0 ; –3 ) ,C(6 ; –6 ) , D(8 ; –2 )
b/ A(0 ; 2) , B(1 ; –1 ) , C(4 ; 0) , D(6 ; 4)
c/ A(2 ;1) , B(6 ; 4) , C ( 3 ; 8) , D(–1 ; 5)
d/ A(2 ; 4) , B(3 ; 1) , C(6 , 0) , D(5 ; 3)
Giải a/ A(2 ; 1) , B(0 ; –3 ) ,C(6 ; – 6) , D(8 ; –2 )
( )4;2 −−=AB và ( )4;2 −−=DC . ⇒ DCAB = ⇒ ABCD là hình bình hành
( )3;6 −=AD . Vì ADAB. = (–2).6 + (– 4)(–3) = 0 ⇒ AB ⊥ AD
Vậy ABCD là hình chữ nhật, có diện tích: S = AB.AD = 936164 ++ = 30
b/ A(0 ; 2) , B(1 ; –1 ) , C(4 ; 0) , D(6 ; 4)
( )3;1 −=AB , ( )1;3=BC , ( )2;6=AD Vì: BCAD 2= và 0. =ADAB nên ABCD là hình
thang vuông tại A và B
Diện tích: ( )ABBCADS +=2
1= ( ) 9119436
2
1++++ = 15
c/ A(2 ;1) , B(6 ; 4) , C ( 3 ; 8) , D(–1 ; 5)
( )3;4=AB , ( )3;4=DC và ( )4;3−=AD
Vì: AB = DC , AB . AD = 0 và AB = AD nên ABCD là hình vuông. Diện tích S = AB2 =
25
d/ A(2 ; 4) , B(3 ; 1) , C(6 , 0) , D(5 ; 3)
( )3;1 −=AB , ( )3;1 −=DC và ( )1;3=AD
Vì: AB = DC và AB = AD nên ABCD là hình thoi.
Diện tích S = 2
1AC.BD =
2
144.1616 ++ = 8
top related