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FUNCIONES LOGARITMICAS
Sec. 4.3
Logaritmos de base a
Sea a un número real positivo distinto de 1.
El logaritmo base a de x se define como
y = loga x si y solo si x = ay
para cada x > 0 y cada número real y.
Por ejemplo,
El logaritmo base 2 de 32 se define como
5 = log2 32 por que 32 = 25
Forma Logarítmica vs. Forma Exponential
Note que las dos ecuaciones mencionadas en la
definición anterior son equivalentes.
y = loga x x = ay
(5 = log2 32 32 = 25 )
El diagrama muestra que “el logaritmo es un
exponente”.
Ejemplos
A continuación se muestran varios ejemplos de
formas equivalentes:
𝑙𝑜𝑔5125 = 3 53 = 81
𝑙𝑜𝑔16913 = 12 169
12 = 13
𝑙𝑜𝑔515 = −1 5−1 =
1
5
𝑙𝑜𝑔21 = 0 20 = 1
𝑙𝑜𝑔381 = 4 34 = 81
𝑙𝑜𝑔264 = 6 26 = 64
Ejemplos
Determine el número si es posible:
Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.
Para esto, nos hacemos preguntas como:
¿Cuál es la potencia de 10 que da 100?
¿Cuál es la potencia de 2 que da 𝟏
𝟑𝟐?
Ejemplos
Determine el número si es posible:
Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.
Para esto, nos hacemos preguntas como:
¿Cuál es la potencia de 9 que da 3?
¿Cuál es la potencia de 7 que da 𝟏?
¿Cuál es la potencia de 3 que da −𝟐?
Determinar Logarítmos – Más ejemplos
Determinar cada uno de los siguientes logarítmos.
a) log10 10,000 b) log10 0.01 c) log2 8
d) log9 3 e) log6 1 f) log8 8
Solución:
a) El exponente a la cual elevamos 10 para obtener
10,000 es 4; por lo tanto log10 10,000 = 4.
El exponente a la cual elevamos 10 para obtener
0.01 es –2, por lo tanto log10 0.01 = –2.
b) Como 0.011
1001
102 102.
Más ejemplos (cont.)
c) log2 8: El exponente a la cual elevamos 2 para obtener
8 es 3, por lo tanto log2 8 = 3.
d) log9 3: El exponente a la cual elevamos
9 para obtener 3 es 1/2; por lo tanto log9 3 = 1/2.
3 9 91 2.
e) log6 1: 1 = 60. El exponente a la cual elevamos 6 para
obtener 1 es 0, por lo tanto log6 1 = 0.
f) log15 15: 15 = 151. El exponente a la cual elevamos
15 para obtener 15 es 1, por lo tanto log15 15 = 1.
Ejemplos con calculadora
Muchas calculadoras sólo son capaces de calcular el
valor a una expresión logarítmica de base 10. A este
tipo de logaritmos se le conoce como el logaritmo
común. Cuando ves una expresión logaritmica sin
base, debes interpretar la base como 10.
Por ejemplo:
log 1000 = 3 por que 102 = 100.
log 0.001 = -3 por que 10-3 = 0.001
Ejemplos con calculadora
Determinar los siguientes logaritmos comunes en una
calculadora. Redondear a cuatro lugares decimales.
a) log 645,778 b) log 0.0000239 c) log (3)
b) log 0.0000239 –4.6216
c) log (–3) No es real.
Solución:
Valor de la Función Resultado/calculadora Redondeo
a) log 645,778 5.8101
Propiedades de loga x
Visualizar el loga x como un exponente nos lleva a
las propiedades generales siguientes:
Fórmula para cambiar de base
Las propiedades de logaritmos se pueden usar para
derivar una fórmula para cambiar de base .
La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo
incluyen formas para determinar el logaritmo común.
Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de
1, entonces la fórmula para cambiar de base es:
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Formula para cambiar de base
Determine el valor, redondeado a 2 lugares
decimales, de
log3100
Usando la fórmula para cambiar de base
Para usar la fórmula a=10 b=3 u = 100
log3100 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝟑 =
𝟐
𝒍𝒐𝒈𝟑≈ 𝟒. 𝟏𝟗
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Ejemplo
Solución:
a = 10, b = 5, and M = 8. Luego, sustituimos en
el la fórmula de cambio de base:
log5 8 log10 8
log10 5
1.2920
Determinar log5 8 usando logaritmos comunes.
Redondear a 3 lugares decimales.
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Evaluar Funciones logarítmicas
Evaluamos funciones logarítmicas reemplazando x con algún valor y
simplificando la expresión.
Para mantener la claridad, siempre colocaremos la expresión que representa el
argumento de la función logarítmica entre paréntesis.
Ejemplos:
Dado f(x) = log3(x - 2) determina f(11), f(7), f(0)
f(11) = log3(11 - 2)
= log3(9)
= 2
f(7) = log3(7 - 2)
= log3(5) (este es el valor exacto)
Para aproximar, usamos 𝒍𝒐𝒈 𝟓
𝒍𝒐𝒈 𝟑≈ 𝟏. 𝟒𝟔
f(0) = log3(0 - 2)
= log3(- 2) Este valor NO es real, ya que -2 NO está en el dominio
de esta función logarítmica
Resolver Ecuaciones logarítmicas
Solo resolveremos ecuaciones logarítmicas que se pueden
resolver utilizando la definición de lo que es un logaritmo:
y = loga x si y solo si x = ay
Para resolver estas ecuaciones logarítmicas se siguen dos
pasos:
Aislar (dejar sola en un lado de la ecuación) el término
logarítmico.
Usando la definición de logaritmo, escribir la forma
exponencial equivalente de la expresión.
Resolver la ecuación resultante.
Ejemplo:
Resolver usando la definición de logaritmos o el teorema de
funciones uno-a-uno:
1. log3(x) – 3 = 0
a) Aislar el término logarítmico.
log3(x) = 3
b) Convertir a forma exponencial equivalente
x = 33
c) Resolver ecuación resultante
x = 27
Ejemplo:
Resolver usando la definición de logaritmos o el teorema de
funciones uno-a-uno:
2. log3(x+2) - 4 = 0
a) Aislar el término logarítmico.
log3(x+2) = 4 (Nota que NO se puede tocar el
argumento del logaritmo)
b) Convertir a forma exponencial equivalente
x + 2= 34
x + 2 = 81
c) Resolver ecuación resultante
x = 79
Más ejemplos
Resolver usando la definición de logaritmos
3) log4(x - 5) – 2 = 1
Primeramente, aislamos la expresión logarítmica.
log4(x - 5)= 3
Ahora cambiamos a la forma exponencial,
𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝟑
𝒙 − 𝟓 = 𝟔𝟒
𝒙 = 𝟔𝟗
Finalmente, verificamos en la ecuación original:
log4(x - 5) – 2 = log4(69 - 5) – 2 = log4(64) – 2 = 3 – 2
=1
Ejemplo
4) Resolver:
Gráficas de funciones logarítmicas (cont)
Graph: y = f (x) = log5 x.
Solution: Método 1
y = log5 x es equivalente a x = 5y.
Seleccionar y and computar x.
Ejemplo (cont.)
Gráficar: y = f (x) = log5 x.
Solución: Método 2
Usar calculadora gráfica. Primeramente, cambiar de
base.
y log5 x ln x
ln5ln x ln 5
Trazar la gráfica de f(x) = log3 x
x log3(x)
1
81 -4
1
27 -3
1
9 -2
1
3 -1
1 0
3 1
9 2
27 3
Ejemplo
f (x) = ln (x + 3)
Dominio: es el conjunto de los números reales mayores
que –3, (–3, ∞). La línea x = –3 es una asíntota vertical.
Campo de valores: Todos los reales
Gráfica de loga x
Ambas gráficas son
crecientes.
Dominio ax : R
Rango: (0,∞)
Dominio loga x: (0,∞)
Rango: R
Ambas gráficas tiene
asíntotas.
ax : asíntota horizontal
y = 0
loga x: asíntota vertical
x = 0
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