numeri complessi
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1. Numeri complessi
Vincenzo RecuperoDipartimento di Scienze Matematiche, Politecnico di Torino
Versione: 7 marzo 2013
Revisione: 11 marzo 2015
Metodi Matematici per l’Ingegneria05BQXNZ, 05BQXOA, 05BQXPC
(Suddivisione alfabetica H-Z)
Dispense di Analisi
1 Numeri complessi
1.1 Definizione
La notazione complessa per la rappresentazione dei vettori del piano R2 consiste nelporre
1 := e1 = (1, 0),
i := e2 = (0, 1),
ex := (x, 0), x ∈ R,
cioe si identifica R con l’asse delle ascisse e si denota con i il vettore (0, 1). In questomodo ogni vettore u = (x, y) ∈ R2 puo essere scritto nella forma (vedi Figura 1)
u = (x, y) = xe1 + ye2 = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + y(0, 1) = x+ yi,
dove y(0, 1) = yi e la moltiplicazione dello scalare y ∈ R per il vettore i = (0, 1). Siusa anche scrivere iy piuttosto che yi.
Quindi da un punto di vista insiemistico l’insieme dei numeri complessi e esat-tamente il piano R2. Questi due insiemi differiscono pero dal punto di vista algebri-co, perche tra i numeri complessi si definisce un nuova operazione di prodotto chevediamo nella seguente definizione formale.
1
1.1 Definizione
Figura 1: Notazione complessa nel piano
Definizione 1.1. Poniamo
x := (x, 0) ∈ R2, x ∈ R (1.1)
(in particolare 1 = (1, 0), 0 = (0, 0)) e
i := (0, 1) ∈ R2, (1.2)
la cosiddetta unita immaginaria. Definiamo C come l’insieme R2
C := R2 ={z = (x, y) = x+ yi : x, y ∈ R
}(1.3)
dotato delle seguenti operazioni di somma e prodotto: se z1, z2 ∈ C,
z1 = (x1, y1) = x1 + y1i, z2 = (x2, y2) = x2 + y2i,
si definisce
z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i, (1.4)
z1z2 := (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i. (1.5)
Gli elementi di C sono chiamati numeri complessi.
Osserviamo che la somma di vettori (1.4) non e altro che la somma di vettori,ottenuta per mezzo della legge del parallelogramma. L’unico concetto nuovo e ilprodotto, ma non e necessario memorizzare la complicata formula (1.5), perche,come vedremo tra poco, c’e un modo semplice di ricordarla.
Se un numero complesso z e del tipo z = (x, 0), allora si usa dire che e reale (oche ha parte immaginaria nulla), in accordo con l’identificazione (1.1).
Osservazione 1.1. Prima di proseguire andrebbe verificato che nella formula (1.5),se z1 = (x1, 0) = x1, allora la formula z1z2 = x1z2 non e altro che il prodotto tra loscalare x1 ∈ R ed il vettore z2, in modo che non ci sia possibilita di confondersi. E
2
1.1 Definizione
cosı: infatti se z1 = (x1, 0) e z2 = (x2, y2) allora
z1z2 = (x1x2 − 0y2, x1y2 + 0x2) = (x1x2, x1y2) = x1(x2, y2) = λz2.
In particolare se anche z2 e reale, cioe z2 = (x2, 0) = x2, otteniamo
z1z2 = (x1x2 − 0, x10− x20) = (x1x2, 0) = x1x2
per cui il prodotto tra due numeri complessi che stanno sull’asse x (identificato conR), coincide col prodotto di numeri reali.
La somma ed il prodotto di numeri complessi soddisfano le solite proprietacommutativa, associativa e distributiva. Verificarlo e facile, ma noioso, per cui cilimitiamo ad enuciarle in modo preciso: se zk = (xk, yk), k = 1, 2, 3, si ha
z1 + z2 = z2 + z1 la somma e commutativa (1.6)
z1z2 = z2z1 il prodotto e commutativo (1.7)
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 la somma e associativa (1.8)
z1(z2z3) = (z1z2)z3 il prodotto e associativo (1.9)
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 proprieta distributiva (1.10)
Notiamo che 1 = (1, 0) e l’elemento neutro per il prodotto, mentre 0 = (0, 0) el’elemento neutro per la somma, questo vuol dire che:
1z = z1 = z ∀z ∈ C, 0 + z = z + 0 = z ∀z ∈ C (1.11)
ed e possibile verificare che 1 e 0 sono gli unici numeri con tali proprieta.. La formula
z = x+ yi = x+ iy ∀x, y ∈ R.
puo ora essere giustificata dalla commutativita del prodotto. Al solito le potenzeintere positive si definiscono in modo induttivo ponendo
z0 := 1, z ∈ C, (1.12)
zn := zz · · · z︸ ︷︷ ︸n volte
, z ∈ C, n ∈ N, n > 1. (1.13)
Storicamente i numeri complessi sono stati introdotti per trovare radici di ogni po-linomio non costante. Infatti proveremo il Teorema fondamentale dell’algebra, cheafferma che ogni polinomio non costante ha almeno una radice complessa. Al mo-mento possiamo solo verificare che il semplice polinomio z2 +1 ha una radice, infattisi ha la seguente
Proposizione 1.1. i2 = −1.
Dimostrazione. Grazie alla formula (1.5) si ha i2 = ii = −1 + i0 = −1.
3
1.2 Parti reale ed immaginaria (coordinate)
Per esercizio si verifichi che anche −i e una radice di z2 + 1, cioe (−i)2 = 1.Possiamo ora vedere come ricordare la formula (1.5) usando la scrittura
z = x+ iy, x, y ∈ R,
solitamente detta forma algebrica del numero complesso z = (x, y) (cioe la sommadei vettori x e yi). Infatti grazie alle proprieta algebriche ed alla Proposizione 1.1possiamo scrivere
(x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iiy1y2
= x1x2 + i(x1y2 + y1x2)− y1y2= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2). (1.14)
Lo stesso si puo ovviamente fare per la somma
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
In altre parole e lecito fare i conti in C scrivendo prima i numeri complessi in formaalgebrica, usando quindi le solite regole algebriche (come in R), e tenendo conto chei2 = ii = −1.
1.2 Parti reale ed immaginaria (coordinate)
La prima e la seconda componente di un numero complesso z = (x, y) = x+ iy sonochiamate rispettivamente parte reale di z e parte immaginaria di z:{
Re z := x
Im z := y, z = x+ iy, x, y ∈ R.
Coerentemente l’asse delle ascisse viene chiamato asse reale e l’asse delle ordinate edetto asse immaginario. I punti dell’asse immaginario sono detti numeri immaginaripuri. Il fatto seguente e banale ma fondamentale:
z = x+ iy = 0, x, y ∈ R ⇐⇒ Re z = x = 0 e Im z = y = 0.
Quiil termine “e” va intesa nel senso matematico di intersezione: x e y devono essereentrambi nulli.
1.3 Opposto e inverso
Definiamo per ogni z = x+ iy
−z := (−1)z = −x− iy
(come si fa in R). Al solito si pone z1 − z2 := z1 + (−z2). Quindi abbiamo che
z − z := z + (−z) = 0
cioe −z e l’opposto di z. I punti z e −z sono simmetrici rispetto all’origine. Si haanche
nz = z + · · ·+ z︸ ︷︷ ︸n volte
∀z ∈ C, ∀n ∈ N.
4
1.3 Opposto e inverso
Ora, se z = x+ iy 6= 0, x, y ∈ R, definiamo l’inverso di z (e lo denotiamo con z−1 o1/z) ponendo
z−1 :=1
z:=
x
x2 + y2− i y
x2 + y2. (1.15)
Questa definizione e motivata dall’identita
zz−1 = z−1z = 1, (1.16)
che si puo verificare con un conto diretto (si osservi che prima di introdurre (1.15)a priori ancora non sapevamo dell’esistenza di un numero z−1 per cui vale effettiva-mente (1.16)). E possibile verificare che l’opposto e l’inverso sono unici. Vedremodopo che esiste una maniera semplice di ricordare la definizione (1.15) di z−1. Oraosserviamo che dall’identita i2 = ii = −1 si ricava subito che −i e l’inverso di i:
1
i= i−1 = −i.
Al solito si usa scrivere
z
w:= z
1
wz,w ∈ C, w 6= 0,
e, come per i numeri reali, si puo controllare che se z1, z2, w1, w2 ∈ C e w1, w2 6= 0allora
z1w1
+z2w2
=z1w2 + z2w1
w1w2.
E possibile ora definire le potenze intere negative di z ponendo
zm :=1
z−m, z 6= 0, m ∈ Z, m < 0. (1.17)
Si osservi che le proprieta (1.6)-(1.10) implicano che valgono in C le solite regoleper calcolare somme e prodotti che si hanno in R. Richiamiamone due.
Proposizione 1.2. Se z, w ∈ C e n ∈ N allora
(a) (z + w)n =∑n
k=0
(nk
)zkwn−k dove
(nk
):= n!
k!(n−k)! (formula del binomio).
(b) zn − wn = (z − w)(zn−1 + zn−2w + · · ·+ zwn−2 + wn−1).
Dimostrazione. Come in R.
Se nella proposizione precedente si prende ad esempio n = 2, si trovano le formule(z + w)2 = z2 + 2zw + w2, z2 − w2 = (z − w)(z + w), valide per ogni z, w ∈ C.
Un’altra consequenza delle proprieta fin ora viste e la ben nota equivalenza validaper ogni z, w ∈ C:
zw = 0 ⇐⇒[z = 0 oppure w = 0
]cioe il prodotto di z e w e uguale a zero se e solo se almeno uno dei numeri z e we zero: il termine “oppure” va intesa nel senso matematico di unione: potrebberoessere zero entrambi o uno solo sei due.
5
1.4 Modulo (distanza dall’origine)
Osservazione 1.2. Non ha senso considerare disuguaglianze tra numeri complessi,infatti supponiamo per assurdo che sia possibile definire in C una relazione d’ordinetra tutti i numeri che sia coerente con l’operazione di prodotto: cio significa chevogliamo valga l’implicazione [ a, b > 0 =⇒ ab > 0 ]. Allora ci sarebberodue possibilita: o i e positivo, o −i e positivo; nel primo caso si avrebbe allora−1 = i2 = ii > 0, mentre nel secondo −1 = i2 = ii = (−i)(−i) > 0. Per cuiin entrambi i casi risulta −1 > 0 che come sappiamo e una contraddizione (infatti1 = 11 = (−1)(−1) > 0). ♦
1.4 Modulo (distanza dall’origine)
Dato un numero complesso z = x+ iy, x, y ∈ R, possiamo calcolare la sua distanzadall’origine. La chiamiamo modulo di z e la denotiamo con
|z| :=√x2 + y2, z = x+ iy, x, y ∈ R.
Figura 2: Modulo
Percio se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 troviamo
|z1 − z2| =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
che rappresenta la distanza tra z1 e z2.Le formule seguenti valgono per ogni z, w ∈ C, λ ∈ R:
|z + w| 6 |z|+ |w| (disuguaglianza triangolare), (1.18)
|λz| = |λ||z|, (1.19)
z = x+ iy, x, y ∈ R =⇒
{|x| = |Re z| 6 |z||y| = | Im z| 6 |z|
. (1.20)
Queste proprieta sono geometricamente chiare: la disuguaglianza triangolaresignifica che il vettore z +w e piu corto della somma delle lunghezze dei vettori z ew (Figura 3); la formula (1.19) dice come varia la lunghezza di un vettore quando
6
1.4 Modulo (distanza dall’origine)
Figura 3: Disuguaglianza triangolare
viene moltiplicato per uno scalare; L’ultima proprieta (1.20) significa che l’ipotenusadi un triangolo rettangolo e piu lungo dei cateti.
Queste tre formule si potrebbero anche provare analiticamente nel modo seguen-te: la disuguaglianza triangolare si puo verificare prendendo i quadrati di entrambii membri e svolgendo i calcoli. La formula (1.19) si puo invece controllare condei semplici conti. L’ultima proprieta (1.20) segue analiticamente dal fatto che|x| =
√x2 6
√x2 + y2. La formula (1.19) vale anche se λ e complesso e si potrebbe
verificare svolgendo i calcoli, ma lo vedremo in seguito in modo diverso.Osserviamo che (1.18) si puo anche scrivere come
|z − w| 6 |z|+ |w| (1.21)
infatti |z−w| = |z+(−w)| 6 |z|+|−w| = |z|+|w| (anche qui il significato geometricoe evidente: fare un disegno). Infine abbiamo la seguente importante disuguaglianza∣∣|z| − |w|∣∣ 6 |z − w| ∀z, w ∈ C (1.22)
che puo essere verificata prendendo il quadrato di ambo i membri (e lecito perchesono numeri reali positivi). Lasciamo questo conto come esercizio e proponiamo unaprocedura differente che ha il vantaggio di poter essere usata anche in contesti piugenerali:
||z| − |w|| 6 |z − w| ⇐⇒ −|z − w| 6 |z| − |w| 6 |z − w|
⇐⇒
{−|z − w| 6 |z| − |w||z| − |w| 6 |z − w|
⇐⇒
{|w| 6 |z|+ |z − w||z| 6 |z − w|+ |w|
⇐⇒
{|w − z + z| 6 |z|+ |z − w||z − w + w| 6 |z − w|+ |w|
e le ultime due disuguaglianze sono vere grazie alla disuguaglianza triangolare. Sipuo quindi tornare indietro con le equivalenze.
7
1.5 Coniugazione (riflessione rispetto all’asse reale)
1.5 Coniugazione (riflessione rispetto all’asse reale)
Se riflettiamo un punto z = x+ iy rispetto all’asse reale, otteniamo il punto x− iy(vedi Figura 4), che chiamiamo coniugato di z e denotiamo con
z := x− iy, z = x+ iy, x, y ∈ R.
Naturalmente vale l’dentita
Figura 4: Coniugazione
z = z.
e tramite un calcolo diretto si puo verificare che
z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1 z2,
z1 − z2 = z1 − z2, z1/z2 = z1/z2.
Valgono le seguenti formule il cui significato geometrico e illustrato in Figura 5:
Re z = x =z + z
2, Im z = y =
z − z2i
. (1.23)
Figura 5: Re z = z+z2 , Im z = z−z
2i
8
2 Forma polare od esponenziale
Esempio 1.1. Scrivere la formula x2 + xyi come una funzione di z e z.Sostituiamo le formule (1.23) in x2 + xyi ed otteniamo
x2 + xyi = x(x+ iy) =z + z
2z =
z2
2+zz
2.
♥
La seguente formula e utilissima
|z|2 = x2 + y2 = zz (1.24)
e permette di scrivere il quoziente di due numeri complessi in forma algebrica, infattise z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 6= 0, si ha
z1z2
=z1z2z2z2
=z1z2|z2|2
=(x1 + iy1)(x2 − iy2)
|z2|2=x1x2 + y1y2x22 + y22
+ iy1x2 − x1y2x22 + y22
.
In particolare, se z = x+ iy, x, y ∈ R,
1
z=
z
zz=
z
|z|2=
x− iyx2 + y2
=x
x2 + y2− i y
x2 + y2=
x
x2 + y2+ i
(− y
x2 + y2
).
Naturalmente non bisogna memorizzare tali formule, ma solo capire la procedurache si e usata, come mostrato nel seguente esempio.
Esempio 1.2. Scrivere in forma algebrica il numero z =3 + 2i
1− 2i.
La procedura vista prima consiste nel moltiplicare e dividere per il coniugato del denominatore,quindi
z =3 + 2i
1− 2i=
(3 + 2i)(1 + 2i)
(1− 2i)(1 + 2i)=−1 + i4
|1 + 2i|2 = −1
5+ i
8
5.
♥
2 Forma polare od esponenziale
Se z ∈ C e z 6= 0 allora z = |z| z|z|
, ez
|z|ha modulo 1, quindi esiste θ ∈ R per cui
z = |z|(cos θ + i sin θ),
infatti cos2 θ+sin2 θ = 1 (vedi Figura 6). Si dice che il numero reale θ e un argomentodi z e l’insieme di tutti i possibili argomenti di z si denota con arg(z):
arg(z) :={θ ∈ R : z = |z|(cos θ + i sin θ)
}(z 6= 0).
D’altra parte si dice argomento principale di z l’unico argomento di z appartenentea ]−π, π] e viene denotato con Arg(z). Poniamo
eiθ := cos θ + i sin θ, θ ∈ R. (2.1)
Allora se |z| = r si scrive
z = |z|eiθ = reiθ = r(cos θ + i sin θ)
che e anche chiamata forma polare (o esponenziale) di z.
9
2 Forma polare od esponenziale
Figura 6: Forma polare (o esponenziale)
Esempio 2.1. Scrivere z = i√
3− 1 in forma polare.Il modulo di z e |z| =
√4 = 2, quindi
z = −1 + i√
3 = 2
(−1
2+
√3
2
)= 2
(cos
2π
3+ i sin
2π
3
)= 2e
2πi3
♥
Proposizione 2.1. Per ogni θ, η ∈ R si ha
(a) |eiθ| = 1
(b) eiθ = eiη ⇐⇒ θ = η + 2kπ, k ∈ Z
(c) eiθeiη = ei(θ+η)
(d) eiθ = e−iθ = (eiθ)−1
(e) (eiθ)n = einθ per ogni n ∈ Z.
Dimostrazione.
(a) |eiθ| = cos2 θ + sin2 θ = 1.
(b) E una consequenza diretta della periodicita delle funzioni seno e coseno.
(c) Grazie alle formule di addizione si trova
eiθeiη = (cos θ + i sin θ)(cos η + i sin η)
= (cos θ cos η − sin θ sin η) + i(sin θ cos η + sin η cos θ)
= cos(θ + η) + i sin(θ + η) = ei(θ+η).
(d) Poiche il coseno e pari ed il seno e dispari, si trova eiθ = cos θ − i sin θ = cos(−θ) +i sin(−θ) = e−iθ. Inoltre, grazie a (c) ad esempio, si ha eiθe−iθ = 1, quindi (eiθ)−1 =e−iθ.
(e) Se n > 0 e sufficiente applicare n volte la formula (c) con η = θ. Questo, assieme a(d), fornisce il risultato per n < 0.
10
2 Forma polare od esponenziale
La proposizione precedente ha molte consequenze utili, vediamole. Se
z1 = r1eiθ1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = r2e
iθ2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)
allora da (c) si ottiene che z1z2 = r1r2eiθ1eiθ2 = r1r2e
i(θ1+θ2), cioe
z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2) = r1r2
[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)
],
in altri termini
il prodotto di due numeri complessi si ottiene
moltiplicando i moduli e sommando gli argomenti.
In particolare
|z1z2| = |z1||z2| ∀z1, z2 ∈ C,
Utilizzando (d), per z2 6= 0, otteniamo anche che
z1z2
=r1r2ei(θ1−θ2) =
r1r2
[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)
],
cosı ∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =|z1||z2|
∀z1, z2 ∈ C, z2 6= 0.
Infine, se n ∈ Z, dalla formula (e) deduciamo le formule di De Moivre:
z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) =⇒ zn = rneinθ = rn(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Questo fatto fornisce un metodo semplice per trovare le radici n-esime complesse diun numero complesso, illustrato nella prossima
Proposizione 2.2. Siano dati w ∈ C, w 6= 0, ed n ∈ N, n > 0. Esistonoesattamente n soluzioni dell’equazione (nell’incognita z):
zn = w.
Se w = reiφ, r > 0, φ ∈ R, queste soluzioni sono
zk = n√r ei
φ+2kπn , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (2.2)
I numeri z0, . . . , zn−1 vengono chiamato radici n-esime (complesse) di w e geo-metricamente rappresentano i vertici di un poligono regolare con n lati inscrittonella circonferenza di centro 0 e raggio n
√r = n
√|w|.
Dimostrazione. Scriviamo z e w in forma esponenziale:
z = ρeiθ, w = reiφ,
11
2 Forma polare od esponenziale
dove ρ, r > 0 e θ, φ ∈ R. Allora
zn = w ⇐⇒ ρneinθ = reiφ ⇐⇒
{ρn = r,
nθ = φ+ 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
{ρ = n
√r,
nθ = φ+ 2kπ, k = 0, 1, . . . , n− 1
⇐⇒
{ρ = n
√r,
θ = φ+2kπn , k = 0, 1, . . . , n− 1
⇐⇒ zk = n√r ei
φ+2kπn , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Piuttosto che ricordare la formula (2.2), e utile capire il metodo usato per la suadimostrazione ed il significato geometrico delle n radici. Vediamo un esempio.
Esempio 2.2. Trovare le radici quarte complesse di 4, in altre parole trovare le soluzioni complessedell’equazione z4 = 4.Scriviamo z e 4 in forma polare:
z = ρeiθ, ρ > 0, θ ∈ R, 4 = 4ei0.
Quindi si ha
z4 = 4 ⇐⇒ ρ4ei4θ = 4ei0 ⇐⇒
{ρ4 = 4,
4θ = 0 + 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
{ρ = 4√
4,
4θ = 0 + 2kπ, k = 0, 1, 2, 3⇐⇒
ρ =√
2,
θ =k
2π, k = 0, 1, 2, 3
⇐⇒
ρ =√
2,
θ = 0,π
2, π,
3
2π
⇐⇒ z =√
2, z = i√
2, z = −√
2, z = −i√
2
Si noti che, in questo caso particolare, la radice reale z =√
2 e evidente, quindi le altre tre radicisi possono dedurre senza effettuare conti, ricordando che devono costituire con
√2 i vertici di un
quadrato inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio√
2 (vedi Figura 7). ♥
Figura 7: Radici quarte di 4
12
3 Funzioni elementari complesse
Siamo ora in grado di trovare le radici complesse di ogni polinomio di grado 2.
Proposizione 2.3. Siano a, b, c ∈ C, a 6= 0, tali che b2 − 4ac 6= 0. Alloral’equazione (nell’incognita z ∈ C)
az2 + bz + c = 0
ha due soluzioni date dalla formula
z1,2 =−b±R
2adove R ∈ C e tale che R2 = b2 − 4ac
cioe R e una delle due radici complesse del numero b2 − 4ac.
Dimostrazione. Completando i quadrati otteniamo
az2 + bz + c = a
(z2 +
b
az +
c
a
)= a
[(z +
b
2a
)2
− b2
4a2+c
a
]
= a
[(z +
b
2a
)2
− b2 − 4ac
(2a)2
]
quindi, se R ∈ C e tale che R2 = b2 − 4ac, deduciamo che
az2 + bz + c = 0 ⇐⇒(z +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
(2a)2
⇐⇒ z +b
2a= ± R
2a⇐⇒ z =
−b±R2a
.
La notazione z1,2 = −b±√b2−4ac2a e anche frequente, ma va usata con cautela
perche il simbolo√b2 − 4ac e per noi privo di significato in C, e andrebbe inteso
come l’insieme delle due radici complesse di b2 − 4ac, un significato diverso dallaradice
√aritmetica usata nel corso di Analisi 1. In queste note non useremo questo
simbolo con questo significato “complesso”, ma se r > 0, con√r continueremo ad
intendere l’unico numero reale positivo x tale che x2 = r, cioe l’unica soluzione realepositiva dell’equazione x2 = r.
Esempio 2.3. Trovare le radici del polinomio 4z2 + 4z + 1− i.Applichiamo la formula risolutiva precedente con a = 4, b = 4, c = 1 − i. Si ha b2 − 4ac =16 − 16(1 − i) = 16i 6= 0. Per esercizio si trovi che le radici quadrate complesse di 16i sono2√
2(1 + i) e −2√
2(1 + i) (una l’opposto dell’altra). Quindi le due radici del trinomio di secondogrado assegnato sono
z1,2 =−4± 2
√2(1 + i)
8=−2±
√2(1 + i)
4
cioe z1 =−2 +
√2
4+ i
√2
4, z2 =
−2−√
2
4− i√
2
4. ♥
3 Funzioni elementari complesse
In questo paragrafo definiamo le principali funzioni elementari f : C −→ C usatein ambito complesso. Ricordiamo che se A e B sono due insiemi, una funzione (o
13
3.1 Esponenziale complesso
un’applicazione) f : A −→ B (con dominio A e codominio B) e una “regola” (o“legge”) che ad ogni elemento a ∈ A associa un unico elemento b ∈ B. Ricordiamoanche che in generale il codominio e diverso dall’immagine di f , che e l’insiemef(A) := {f(a) : a ∈ A} ⊆ B dei valori assunti da f . Il codominio viene stabilito apriori e fa parte della definizione di f .
3.1 Esponenziale complesso
La funzione esponenziale e definita come
ez := ex+iy := exeiy = ex(cos y + i sin y), z = x+ iy, x, y ∈ R,
dove ex e l’esponenziale reale (x ∈ R), cioe l’esponenziale dell’Analisi 1, mentreeiy := cos y + i sin y e stato definito nel paragrafo precedente nella formula (2.1).Un’altra notazione che si usa e exp(z). La funzione exp : C −→ C e forse la piuimportante tra quelle studiate in questo corso.
La seguente proposizione si deduce facilmente dalla Proposizione 2.1:
Proposizione 3.1. Valgono le seguenti proprieta.
(a) |ez| = eRe z per ogni z ∈ C,
(b) ez 6= 0 per ogni z ∈ C
(c) ez1+z2 = ez1ez2 per ogni z1, z2 ∈ C,
(d) ez = ez
(e) e−z = (ez)−1
(f) (ez)n = enz per ogni z ∈ C ed n ∈ Z.
Dimostrazione.
(a) |ez| = |exeiy| = |ex||eiy| = ex|eiy| = ex1 = ex.
(b) Segue da (a).
(c) Se zk = xk + iyk, xk, yk ∈ R, allora
ez1ez2 = ex1eiy1ex2eiy1 = ex1ex2eiy1eiy1
= ex1+x2ei(y1+y2) = ez1+z2 .
(d) ez = exeiy = exeiy = exe−iy = ez.
(e) Da (c) segue che eze−z = ez−z = e0 = 1, quindi e−z = (ez)−1.
(f) Segue da (c) e (d).
Esempio 3.1. Risolvere l’equazione complessa ez = 1.
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3.2 Funzioni trigonometriche ed iperboliche complesse
Se z = x+ iy, x, y ∈ R, allora
ez = 1 ⇐⇒ exeiy = 1ei0 ⇐⇒
{ex = 1,
y = 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
{x = 0,
y = 2kπ, k ∈ Z⇐⇒ z = 2kπi, k ∈ Z.
Percioez = 1 ⇐⇒ z = 2kπi, k ∈ Z.
♥
Utlizzando lo stesso metodo dell’esempio precedente, possiamo mostrare la se-guente proprieta, che e anche chiamata periodicita dell’esponenziale complesso (diperiodo 2πi)
Proposizione 3.2. Se z1, z2 ∈ C, allora
ez1 = ez2 ⇐⇒ z1 = z2 + 2kπi, k ∈ Z.
Dimostrazione. Se zk = xk + iyk, xk, yk ∈ R, allora
ez1 = ez2 ⇐⇒ ex1eiy1 = ex2eiy2 ⇐⇒
{ex1 = ex2 ,
y1 = y2 + 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
{x1 = x2,
y1 = y2 + 2kπ, k ∈ Z⇐⇒ x1 + iy2 = x2 + i(y2 + 2kπ), k ∈ Z,
che e cio che volevamo verificare.
3.2 Funzioni trigonometriche ed iperboliche complesse
Prendiamo un numero reale x ∈ R e consideriamo le identita
eix = cosx+ i sinx, e−ix = cosx− i sinx.
Sommando e sottraendo queste uguaglianze troviamo le cosiddette formule di Eulero:
cosx =eix + e−ix
2, sinx =
eix − e−ix
2i, x ∈ R. (3.1)
Motivati da queste formule definiamo le funzioni coseno complesso e seno complesso:
cos z :=eiz + e−iz
2, sin z :=
eiz − e−iz
2i, z ∈ C. (3.2)
Esempio 3.2. Trovare gli zeri delle funzioni cos z e sin z.Si ha
cos z = 0 ⇐⇒ eiz + e−iz = 0 ⇐⇒ eiz = −e−iz
⇐⇒ eiz = −eiπe−iz ⇐⇒ eiz = eiπ−iz.
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4 Esercizi
Ora possiamo quindi utilizzare la Proposizione 3.2 oppure possiamo procedere direttamente ponendoz = x+ iy, x, y ∈ R, e scrivendo
eiz = eiπ−iz ⇐⇒ ei(x+iy) = eiπ−i(x+iy) ⇐⇒ e−y+ix = ei(π−x)+y
⇐⇒ e−yeix = eye−i(π−x) ⇐⇒
{e−y = ey
x = (π − x) + 2kπ, k ∈ Z
⇐⇒
{e2y = 1
2x = π + 2kπ, k ∈ Z⇐⇒
{y = 0
x = π2
+ kπ, k ∈ Z
quindi
cos z = 0 ⇐⇒ z =π
2+ kπ, k ∈ Z
In modo completamente analogo si trova che
sin z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z
Si osservi che gli zeri delle funzioni complesse sin z e cos z sono esattamente gli stessi delle analoghefunzioni reali. Questa non e una regola generale, infatti, ad esempio, nell’esempio 3.1 con l’equazioneez − 1 = 0 le cose sono completamente differenti: risolvere l’analoga equazione reale ex − 1 = 0 efare un confronto col caso complesso. ♥
Esempio 3.3. Verificare checos2 z + sin2 z = 1 ∀z ∈ C. (3.3)
Possiamo scrivere
cos2 z + sin2 z =
(eiz + e−iz
2
)2
+
(eiz − e−iz
2i
)2
=e2iz + 2 + e−2iz
4− e2iz − 2 + e−2iz
4=
1
2+
1
2= 1.
♥
Le funzioni iperboliche complesse sono definite sostituendo x con z nella defini-zione delle funzioni iperboliche reali coshx e sinhx:
cosh z :=ez + e−z
2, sinh z :=
ez − e−z
2, z ∈ C. (3.4)
La verifica delle seguenti affermazioni e un esercizio molto utile:
cosh2 z − sinh2 z = 1, (3.5)
cosh z = 0 ⇐⇒ z =πi
2+ kπi, k ∈ Z, (3.6)
sinh z = 0 ⇐⇒ z = kπi. (3.7)
4 Esercizi
Esercizi (tratti dagli dispense di Analisi Complessa (vecchio ordinamento)).
1. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma algebrica.
a) (2− 3i)(−2 + i)
b) (3 + i)(3− i)(15 + 110 i)
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4 Esercizi
c)1 + 2i
3− 4i+
2− i5i
d)5
(1− i)(2− i)(3− i)
2. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma polare.
a) i
b) −1
c) 1 + i
d) i(1 + i)
e)1 + i
1− if) sinα+ i cosα
3. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi
a)1
1− i+
2i
i− 1
b) 1 + i− i
1− 2i
4. Verificare che se |z| = 1 allora∣∣∣3z−i3+zi
∣∣∣ = 1
5. Risolvere le seguenti equazioni complesse.
a) z2 − 2z + 2 = 0
b) z2 + 3iz + 1 = 0
c) z|z| − 2z + i = 0
d) |z|2z2 = i
e) z2 + iz = 1
f) z3 = |z|4
6. Verificare che 1 + i e una radice di z4 − 5z3 + 10z2 − 10z + 4 e trovare tutte lealtre radici (Suggerimento: usare (e provare) il fatto che se z e una radice diun polinomio con coefficienti reali, allora anche z ne e una radice).
7. Calcolare z2, z9, z20 per i seguenti numeri complessi z
a)1− ii
b)2√
3− i+
1
i
8. a) Trovare le radici terze complesse di −ib) Trovare le radici quinte complesse di 1
c) Trovare le radici quadrate complesse di 2− 2i
9. Trovare u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) nei casi seguenti
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4 Esercizi
a) f(z) = z3 + z + 1
b) f(z) =3z
z − z
c) f(z) =1
|z|2 + 3
10. Scrivere f(x, y) = x2 − y2 − 2y + 2ix(1− y) come una funzione di z = x+ iy.
Risposte
1. a) −1 + 8i
b) 2 + i
c) −2/5
d) i/2
2. a) eiπ/2
b) eiπ
c)√
2eiπ/4
d)√
2e3iπ/4
e) eiπ/2
f) cos(π/2− α) + i sin(π/2− α)
3. a)√
5/2
b)√
13/5
4. Scrivere z = x+ iy, x, y ∈ R, sostituirla nell’espressione, e calcolare il moduloricordando l’ipotesi x2 + y2 = 1.
5. a) z = 1± ib) z = i(−3±
√13)/2
c) z = i e z = i(−1−√
2)
d) ±√
2(1 + i)/2
e)√
7/2− i/2, −√
7/2− i/2,
f) z = 0, z = 1, z = −1/2±√
3i/2
6. 1 + i, 1− i, 1, 2
7. a) z2 = 2i, z9 = −16(1 + i), z20 = −210
b) z2 = (1− i√
3)/2, z9 = i, z20 = −1/2 + i√
3/2
8. a) (√
3− i)/2, i, −(√
3 + i)/2
b) 1, e2πi/5, e4πi/5, e−4πi/5, e−2πi/5
c) 4√
8e−πi/8, 4√
8e7πi/8
9. a) u(x, y) = x3 − 3xy2 + x+ 1, v(x, y) = 3x2y − y3 + y
b) u(x, y) = 3/2, v(x, y) = −3x/2y
c) u(x, y) = 1/(x2 + y2 + 3), v(x, y) = 0
10. f(z) = z2 + 2iz.
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