o. a. agust n-aquino utm
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Del pensamiento aritmetico al lenguaje
algebraico
Octavio Alberto Agustın Aquino
Universidad Tecnologica de la Mixteca
Julio de 2018
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Numeros disfrazados: aritmetica y algebra
Objetivo
Observar la naturaleza algebraica de algunos problemas surgidos
en el antiguo Egipto y Mesopotamia, pese a que su solucion
aparenta ser puramente aritmetica.
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EGIPTO
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Retrato de Alexander Henry Rhindpintado por Alexander S. Mackay,1874.
El papiro de Rhind fue encontra-
do en Tebas en las ruinas de un
pequeno edificio junto al templo
a Ramses. Despues fue compra-
do en Luxor, Egipto, en 1858
por el escoces Alexander Henry
Rhind, y finalmente fue hereda-
do al Museo Britanico en 1864.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Fue escrito alrededor del 1650 a. C. por el escriba Ahmose duran-
te el reinado del faraon Apopis, de la quinceava dinastıa. Ahmose
asegura que lo copio de otro hecho durante la doceava dinastıa,
que corrio de 1849 a 1801 a. C.
Escarabajo de esteatita con el nombre del faraon Apopis, Museo de Bellas Artes, Boston.
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El papiro de Rhind inicia con una tabla de descomposicion de las
fracciones 25,
27, . . . ,
2101. Por ejemplo, 2
15 = 110 + 1
30.
Continua con la descomposicion de 110, . . . ,
910 en fracciones con
numerador unitario o 2. Por ejemplo, 910 = 2
3 + 15 + 1
30.
Despues vienen 84 problemas aritmeticos y geometricos variados.
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Texto hieratico del papiro matematico de Rhind, Museo Britanico, Londres.
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El tercer problema del papiro de Rhind pregunta
¿Como se dividen 6 hogazas de pan iguales entre 10 per-
sonas?
Buscamos una fraccion tal que, al multiplicarla por 10, nos de
6. Si postulamos que tal fraccion es 1/2, no funciona porque(1
2
)10 = 5.
¡Pero ya solo nos falta 1!
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¿Como podemos obtener el que nos falta? Puesto que(1
10
)10 = 1
podemos sumar lo que tenemos hasta ahora para obtener(1
2
)10 +
(1
10
)10 =
(1
2+
1
10
)10 = 5 + 1 = 6.
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La respuesta 12 + 1
10 era completamente satisfactoria para los
egipcios, pues es una suma de fracciones con numerador igual a
1 o 2. Ademas, es relativamente practica, pues lo que tenemos
que hacer es dividir a la mitad 5 de los panes, en 10 partes al que
falta y darle una mitad y un decimo a cada una de las personas.
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El metodo egipcio de postular una solucion y despues corregir
segun lo que nos falte para llegar a la respuesta correcta se le
ha llamado metodo de la falsa posicion.
Ejercicio 1. Encuentre, con el metodo egipcio de falsa posicion,
como repartir 9 hogazas entre 10 personas. Explique como puede
obtenerse la respuesta del papiro que es 23 + 1
5 + 130.
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Al jugar con este metodo un rato, le surgen a uno preguntas
como la numero 25 del papiro: ¿que cantidad mas su mitad es
igual a 16? Postulemos, por ejemplo, que es 10, porque es facil
dividirla entre 2. Nos da
10 +10
2= 10 + 5 = 15.
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Nos falta 16−15 = 1. A los egipcios les gusta mucho la fraccion23, y como
2
3+
2/3
2= 1,
entonces la respuesta es 10 + 23. En efecto
16 = 15 + 1 =(
1 +1
2
)10 +
(1 + 1
2
) 2
3=(
1 +1
2
)(10 +
2
3
).
Ejercicio 2. Pruebe con el problema 26 del papiro, que pregunta
por una cantidad tal que sumada con su cuarta parte da 15.
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MESOPOTAMIA
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Cerca de 3,000 a. C., los “babilonios” (pues en realidad hay to-
da una serie de cambios sociohistoricos en Mesopotamia a lo
largo de los milenios) desarrollaron un sistema de escritura pic-
tografica. Se hacıa con un estilete triangular sobre barro fresco.
Como las marcas parecen pequenos conos, por eso la escritura
se denomina cuneiforme.
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Los babilonios representaban los numeros en el sistema sexage-
simal, esto es, en base 60. Sin entrar en las exquisiteces de la
escritura cuineiforme, usaremos la representacion con una mez-
cla de numeros decimales, separando los dıgitos con comas y con
un punto y coma distinguiremos a la parte fraccionaria. Ası
3,25,0; 3,30 = 3 · 602 + 25 · 60 + 0 · 1 +3
60+
30
602
= 12300.053.
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Coleccion digital de la Universi-dad de Pennsylvania, LJS 201,1990-1700 a. C.
Los matematicos babilonios
preparaban tablas para rapida
consulta, como la que se ve a la
izquierda.
Numero Recıproco2 0; 303 0; 204 0; 157 0; 8,34,178 0; 7,30
11 0; 5,27,16,21,49
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La suma, resta, y multiplicacion procedıa como lo harıamos no-
sotros con la notacion decimal. Sin embargo, para la division,
aprovechaban la identidad
a
b= a
(1
b
).
Por ejemplo, si queremos calcular 7/8 tenemos
7(0; 7,30) = 0; (7× 7), (7× 30)
= 0; 49,210
= 0; 49, (3× 60 + 30)
= 0; 49 + 3,30
= 0; 52,30.
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En la tableta MS 2830 de la coleccion de Schøyen, aparece el
siguiente problema, en una formulacion mas comprensible para
el siglo XXI.
Hay cuatro bienes que podemos comprar. Por un shekel
de plata nos dan un volumen del primero, 2 del segundo,
3 del tercero y 4 del ultimo. Si disponemos de 1 she-
kel ¿cuanto podemos comprar de cada bien si hemos de
comprar la misma cantidad de cada uno?
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Para resolver este problema, hay que encontrar el recıproco de
1, de 2, de 3 y de 4 pues ası averiguamos el “precio unitario” de
cada bien. Luego sumamos todos precios y dividimos al shekel
entre este precio total.
Ejercicio 3. Expresar el resultado en notacion sexagecimal.
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Ejercicio 4. En la tableta de la coleccion de Yale 4652 (1900-
1600 a. C) aparece el siguiente problema:
Tome una piedra, pero no la pese. Le anadı 1/7 de su
peso, y luego le anadı 1/11 de este nuevo peso, y obtuve
2,24,22; 30. ¿Cual era el peso original de la piedra?
Resuelvalo, usando la notacion babilonia de ser posible.
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ARITMETICA
Y
ALGEBRA
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Opinion popular:
1. La diferencia entre el algebra y la aritmetica es el uso deletras.
2. Las letras se utilizan para representar cantidades que aun nose conocen o incognitas.
Por ejemplo, Aurelio Baldor en su famoso libro de texto dice:
En Algebra, para lograr la generalizacion, las cantidadesse representan por medio de letras, las cuales puedenrepresentar todos los valores.
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Estas opiniones de suyo no estan equivocadas, pero hemos vistoque problemas algebraicos y aritmeticos se escribieron en pro-sa llana en la antiguedad, y que ambos piden determinar unacantidad. ¿Cual es la diferencia?
Problema aritmetico ¿Cuanto vale 10 por 610 despues de su-
marle 2?Problema algebraico ¿Cual es la cantidad tal que, despues de
multiplicarla por 10, al sumarle 2 da 8?
El problema aritmetico es simplemente calcular 10 × 610 + 2. Al
problema algebraico lo podemos escribir, denotando con x a lacantidad desconocida como
10x+ 2 = 8.
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Esquematicamente, el proceso subyacente a ambos problemas es
(datos), (operaciones) −→ (resultado)
pero en el problema aritmetico
nos dan los datos y las operaciones y debemos encontrar
el resultado,
mientras que en el algebraico
nos dan el resultado y las operaciones, y debemos encon-
trar los datos originales.
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Diferentes clases de numeros
Objetivo
Recordar que hay distintos tipos de numeros que limitan o facul-
tan el encontrar los datos dadas las operaciones y los resultados.
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Los numeros naturales N a partir del 1 son mas que suficientes
para realizar solamente adiciones y multiplicaciones.
Sin embargo, nos limitan a la pura aritmetica. Es decir, basi-
camente solo nos pueden dar numeros y decirnos si hemos de
sumarlos o multiplicarlos.
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Si nos preguntamos por el numero x tal que 5 + x = 7, salvo
por tantear la respuesta no podemos contestar eficazmente sin
utilizar la resta. Y para hacerla posible con toda generalidad, se
necesita el 0 y los numeros negativos. Ası obtenemos los numeros
enteros Z.
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles an-
dere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker, citado por Heinrich Weber
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La resta es un mecanismo para “deshacer” la suma y averiguar
un dato. ¿Se puede hacer lo mismo con la multiplicacion y buscar
un numero x tal que
12989x = 194835?
¿O que tal con
5x = 2?
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Para poder dividir (esto es, deshacer la multiplicacion) excep-
to entre 0, necesitamos los quebrados. Es decir, los numeros
racionales Q.
Con los numeros racionales es posible hacer todas las operaciones
aritmeticas basicas: suma, resta, multiplicacion y division (salvo
entre 0). Por eso se le denomina cuerpo o campo.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Sin embargo, como veremos mas adelante, para resolver proble-
mas algebraicos es necesario “deshacer” el elevar al cuadrado,
esto es, multiplicar a un numero por si mismo. Esta operacion
nos lleva fuera de Q.
El numero√
2, que es tal que al elevarlo al cuadrado da 2, no
puede escribirse como un quebrado ab .
Usemos papiroflexia para entender por que.
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Tomemos un cuadrado de 172 = 8.5 pulgadas de lado. Tenemos
que su diagonal mide√
217
2≈ 12
pulgadas.
¡Pero no puede dar exactamente 12! Para empezar, tendrıamos√2 = 24
17 y es una fraccion en sus mınimos terminos.
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Doblemos a la mitad el cuadrado para apreciar mejor la diagonal.
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Ahora tomemos un lado y hagamoslo coincidir con el pliegue
de la diagonal, y marquemos el pliegue resultante. Vean que se
forma un triangulo semejante al original pero mas pequeno.
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Un cateto mide
12−17
2=
7
2.
Por ser un triangulo isosceles, la hipotenusa mide
17
2−
7
2= 5.
Ahora√
27
2= 5
lo que implica que√
2 = 107 , ¿no que estaba en sus mınimos
terminos?
Ejercicio 5. Adaptar este razonamiento con un pentagono, para
demostrar que 1+√
52 es irracional.
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Las expresiones que se forman usando un numero finito de ope-
raciones racionales y extraccion de raıces son llamadas formulas
algebraicas.
Hemos apreciado como el cuerpo Q no es suficiente para resolver
todas las ecuaciones, pues x2 = 2 no se puede resolver con
racionales.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Otra ecuacion que no se puede resolver en los numeros racionales
es x2 = −1, y que introduce la unidad imaginaria i y con ella los
numeros complejos C.
La invencion ultima de numeros que necesitamos, para que cual-
quier ecuacion que involucre potencias y sumas y numeros del
cuerpo, tenga solucion en el cuerpo es el cuerpo de los numeros
algebraicos A. Este es un cuerpo algebraicamente cerrado. Tam-
bien C es algebraicamente cerrado, por el teorema fundamental
del algebra.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Vale recalcar que numeros algebraicos son todos los que pueden
formarse con suma, resta, multiplicacion, division y radicacion.
Por ejemplo, la expresion√
2 +√
3 representa 4 numeros posi-
bles. Son, de hecho, las raıces de una ecuacion con coeficientes
enteros, a saber
x4 − 10x+ 1 = 0.
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Para apreciar otro poco que significa trabajar en un cuerpo que
no es Q ni C, consideremos todos los numeros de la forma
a+√
2b
con a y b numeros racionales. Podemos sumarlos o restarlos
(a1 +√
2b1)± (a2 +√
2b2) = (a1 ± a2) +√
2(b1 ± b2)
y multiplicarlos
(a1 +√
2b1)(a2 +√
2b2) = (a1a2 + 2b1b2) +√
2(a1b2 + a2b1)
y tienen la forma requerida.
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La division es mas truculenta, pero funciona
a1 +√
2b1a2 +
√2b2
=a1 +
√2b1
a2 +√
2b2
(a2 −
√2b2
a2 −√
2b2
)
=a1a2 − 2b1b2 +
√2(a2b1 − a1b2)
a22 − 2b22
=a1a2 − 2b1b2a2
2 − 2b22+√
2
(a1a2 − 2b1b2a2
2 − 2b22
).
Este cuerpo se denota con Q(√
2).
Ejercicio 6. Compruebe que los numeros de la forma a+21/3b+
22/3c con a, b y c racionales, conforman un cuerpo.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Ecuaciones polinomiales y sus raıces
Objetivo
Veremos el proceso seguido por Al-Juarismi para plantear ecua-
ciones polinomiales de segundo grado y resolverlas, y como lo-
graba esto para algunas ecuaciones polinomiales de tercer grado
Omar Jayam combinando maravillosamente el algebra y la geo-
metrıa.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Imagen tomada de Espo-sito, John L., The Ox-ford History of Islam, OUP,2000, p. 186.
Mohammed ibn Musa al-Juarismi es
famoso por su tratado “Al-kitab al-
almukthtasar fi hisab al-gabr wa’l-
muqabala” (Tratado sobre el calculo
por algebra y almucabala), que le dio
el nombre al algebra, y que escribio al-
rededor de 820 d. C.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Para Al-Juarismi todo se construıa alrededor de las unidades
(dırhames), las raıces (jidhr o shay) y los cuadrados (mal) y
las ecuaciones que se podıan construir con ellos. Nosotros sim-
plemente escribiremos numeros, x y x2 en su lugar para ilustrar.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Al-Juarismi reducıa todas las ecuaciones posibles, lineales o cuadrati-
cas, a seis tipos:
1. Cuadrados iguales a raıces (x2 = x).
2. Cuadrados iguales a unidades (x2 = 2).
3. Raıces iguales a numeros (x = 3).
4. Cuadrados y raıces iguales a numeros (x2 + 10x = 39).
5. Cuadrados y unidades iguales a raıces (x2 + 21 = 10x).
6. Raıces y numeros iguales a cuadrados (3x+ 4 = x2).
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Para realizar reduccion es que usaba el “algebra” y el ’almuca-bala”.
1. El algebra significaba completamiento o restauracion, lo queremovıa terminos negativos de una ecuacion. Por ejemplo,
x2 = 40x− 4x2,
5x2 = 40x.
2. El almucabala significa balanceamiento, lo que implica can-celar los terminos positivos de una misma potencia cuandoaparecen en ambos lados de la ecuacion. Por ejemplo
50 + 3x+ x2 = 29 + 10x,
21 + 3x+ x2 = 10x,
21 + x2 = 7x.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
¡El algebra y el almucabala no son mas que pasar terminos su-
mando y restando!
La razon para separarlos y para hacerlos un poco rebuscados es
que a los arabes de la epoca de Al-Juarismi no les gustaban los
numeros negativos como coeficientes.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Veamos un problema planteado por Al-Juarismi.
Un cuadrado mas diez raıces son iguales a treinta y nueve
unidades.
Es del tipo cuatro, el primero que no es trivial. En sımbolos
modernos es
x2 + 10x = 39.
La estrategia de Al-Juarismi es la de completar el cuadrado.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Al-Juarismi basicamente dice: “Hay 10 raıces. Tomemos la mitad
de 10, que es 5. Sumemos de ambos lados 52 = 25”. En sımbolos
esto se ve ası
x2 + 10x+ 52 = 39 + 25 = 64.
“Tomemos la raız de 64, que es 8, y restemos a esto al numero
que es mitad de las raıces, que es 5, lo que nos deja 3. El numero
3 es entonces la raız”. En sımbolos
(x+ 5)2 = 84,
x+ 5 =√
84 = 8,
x = 8− 5 = 3.
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Los pasos de Al-Juarismi son, pues, como sigue. Si tenemos
x2 + bx = c
entonces sumamos (b/2)2
x2 + bx+ (b/2)2 = c+ (b/2)2,
factorizamos
(x+ b/2)2 = c+ (b/2)2,
sacamos raız y “despejamos”
x =√c+ (b/2)2 − b/2.
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Ejercicio 7. Utilice la completacion de cuadrados de Al-Juarismi
para resolver el problema: dos cuadrados y diez raıces son iguales
a 48 unidades. Al-Juarismi recomienda que, antes de empezar,
hay que “reducir” la ecuacion dividiendo todas las cantidades
entre dos.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Veamos otro ejemplo de Al-Juarismi del quinto tipo.
Dividı a 10 en dos partes y las multiplique por sı mismas, y
la suma de estos cuadrados es 58. ¿Cuales son las partes?
Sea x una parte. La otra es 10 − x. Si multiplicamos a 10 − xpor sı mismo, nos da 100− 20x+ x2. Sumando esto con x2, nos
debe dar
100− 20x+ x2 + x2 = 100− 20x+ 2x2 = 58.
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Por algebra nos da
100 + 2x2 = 58 + 20x,
“reduciendo” por 2 nos da
50 + x2 = 29 + 10x
y por almucabala
21 + x2 = 10x.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Para resolver esto, Al-Juarismi otra vez completa cuadrados. Pa-
ra esto, toma la mitad del numero de raıces, esto es, 10/2 = 5,
y suma el cuadrado de ambos lados
21 + x2 + 25 = 10x+ 25.
Usando almucabala,
x2 + 25 = 10x+ 4.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Aquı Al-Juarismi se hace pato y como que aplica un algebra para
pensar que
x2 − 10x+ 25 = 4
lo que se factoriza como
(x− 5)2 = 4
y ya puede sacar raıces de modo que
x =√
4 + 5 = 7.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Ejercicio 8. Divida a 10 en dos partes de modo que cuando una
parte se divida entre la otra, la fraccion resultante sea 4.
Finalmente veamos como el polımata persa Omar Jayam (1048-
1131) resolvıa geometricamente la ecuacion cubica
x3 +Bx = C
con B y C numeros positivos. Observese que definiendo b =√B
y c = C/b2, se puede reescribir esto como
x3 + b2x = b2c.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Dibujemos una parabola con vertice en el origen y latus rectum
igual a b y luego un semicırculo de radio c/2 sobre dicho eje de
modo que pase por el origen.
x
y
Q RS
Pb
c
α
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Sea P el punto donde se cortan el semicırculo y la parabola, y
PS el segmento perpendicular al eje de las abcisas. Afirmamos
que α = QS es una raız de la ecuacion.
x
y
Q RS
Pb
c
α
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O. A. Agustın-Aquino UTM
x
y
Q RS
Pb
c
α
La parabola tiene por ecuacion a y = x2/b, por lo que
PS =α2
bo sea
α
PS=
b
α.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
x
y
Q RS
Pb
c
α
Una propiedad de los cırculos nos dice que PS es la mediageometrica de α y c− α, es decir
PS =√α(c− α)
y de aquı que
PS
c− α=
α
PS.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Juntando las ecuaciones obtenidas, resulta
b
α=
PS
c− α,
pero como PS = α2
b , al sustituir nos da
b
α=
α2/b
c− α,
y que basta transponer para verificar la ecuacion deseada.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Para terminar por hoy, un fragmento del Rubaiyat de Jayam.
Y allı estaba la puerta cuya llave no vi;
y allı se alzaba el velo que lo ocultaba todo:
un vago murmurar cerca de ti y de mi
se escucho... y despues nada, ni de mi ni de ti.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Enfoques numericos y simbolicos respecto a las ecuaciones
Objetivo
Estudiaremos un algoritmo clasico que describio Qin Jiushao pa-
ra aproximar las raıces (reales) de un polinomio con precision
arbitraria, y lo contrastaremos con las ideas babilonias y de del
Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Abel y Galois para encontrar-
las de manera exacta por medio de formulas algebraicas.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
En el siglo trece presencio una de las cuspides en el desarrollo
de la matematica china. Los mejores matematicos, curiosamen-
te y para este caso, no eran funcionarios necesariamente sino
maestros errantes y academicos enclaustrados.
Es interesante que estos avances matematicos ocurrieran du-
rante un periodo de mucha inestabilidad del imperio chino. A
principios del siglo XIII se registraron las primeras avanzadas del
ejercito de Gengis Kan, que finalmente tomo el control de todo
el paıs para 1279.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Uno de los exponentes de este periodo es Qin Jiushao, el autor
del “Tratado Matematico en Nueve Secciones”, donde atribuye
su conocimiento a un maestro itinerante cuyo nombre omite.
Jiushao no era una persona particularmente agradable: se dice
que envenenaba a sus enemigos, y aunque llego a gobernador de
dos provincias, en un caso fue removido del cargo por corrupcion.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
A diferencia de los arabes del siglo IX, los chinos del siglo XIII
aceptaban a los numeros negativos (que se imprimıan en rojo en
el tratado de Qin) y ya tenıan un sımbolo para el 0.
El tratado de Qin tambien es el primer escrito chino donde apa-
recen ecuaciones polinomiales de grado mayor a 3. Por ejemplo
−x4 + 736200x2 − 40642560000 = 0.
Ademas, la resuelve usando un algoritmo iterativo, como veremos
mas adelante.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
Otro ejemplo impresionante proviene de plantear la ecuacion pararesolver el siguiente problema.
Hay una ciudad circular amurallada de diametro desco-nocido con cuatro puertas. Un arbol se encuentra a 3 lial norte de la puerta norte. Si uno camina 9 li hacia eleste desde la puerta sur, el arbol de divisa por primeravez. Calcule el radio de la ciudad.
Tomando a x2 como el diametro de la ciudad, Qin llega a laecuacion de decimo grado
x10 + 15x8 + 72x6 − 864x4 − 11664x2 − 34992 = 0.
(Aunque si se toma a x2 como el radio me sale
16x8 + 48x6 + 36x4 − 1944x2 − 2916 = 0.)
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Figura del problema de la ciudad amurallada circular y el arbol de Qin Jiushao.
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Fotografıa: Tang Ge.
Tambien es el notable “Espejo de Jade
de las Cuatro Incognitas” escrito por
Zhu Shijie, donde introduce en sus pri-
meras paginas los coeficientes de la ex-
pansion del binomio (x + 1)n hasta la
octava potencia.
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O. A. Agustın-Aquino UTM
El metodo para encontrar raıces cuadradas y cubicas aparecen
en el legendario libro “Nueve Capıtulos del Arte Matematico”,
que es una obra colectiva realizada entre los siglos decimo a.
C. y segundo d. C. Durante el siglo XI d. C. Liu I encontro
como extender el metodo para resolver ecuaciones cuadraticas,
y aunque su obra se perdio, quedo registrado en el libro de Yang
Hui de 1275.
En el curso de ocho siglos varias generaciones de matematicos
chinos encontraron como extender esto a ecuaciones de grado
cada vez mayor.
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Precisamente Qin Jiushao explica en su libro el algoritmo general
para resolver ecuaciones polinomiales, en principio de cualquier
orden. Hay que considerar primero que para esto se necesitan
evaluar polinomios en diferentes numeros, y por eso descubrio
el llamado algoritmo de la division sintetica. Recordemos como
procede para el polinomio x4 − 10x2 + 1 al evaluarlo en 3 y 4.
x4 x3 x2 x 13 1 0 −10 0 1
3 9 −3 −91 3 −1 −3 −8
x4 x3 x2 x 14 1 0 −10 0 1
4 16 24 961 4 6 24 97
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Por el calculo infinitesimal sabemos que los polinomios son fun-
ciones continuas, y como el polinomio cambio de signo entre 3
y 4, sabemos que tiene que anularse en algun lugar entre esos
numeros. Lo que hacıan los chinos es ahora poner que la solucion
es de la forma x = 3 + h, y sustituıan en el polinomio
(3 + h)4 − 10(3 + h)2 + 1.
Es para esto que querıan el triangulo de “Pascal”.
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Lo anterior queda como
34 + 4(33)h+ 6(32)h2 + 4(3)h3 + h4 − 10(9 + 6h+ h2) + 1
= 81 + 108h+ 54h2 + 12h3 + h4 − 90− 60h− 10h2 + 1
= h4 + 12h3 + 44h2 + 48h− 8.
Vale notar que si p(x) es el polinomio, entonces los coeficientes
son p(k)(3)/k!, por la expansion de Taylor.
Ahora hay que probar con h = 0,0.1,0.2,0.3, . . . ,0.9 para averi-
guar el primer decimal.
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Para no hacer mas largo un cuento ya de suyo muy largo, tene-
mos las siguientes evaluaciones.
x4 x3 x2 x 10.1 1 12 44 48 −8
0.1 1.21 4.521 5.25211 12.1 45.21 52.521 −2.7479
x4 x3 x2 x 10.2 1 12 44 48 −8
0.2 2.44 9.288 11.45761 12.2 46.44 57.288 3.4576
Esto quiere decir que la raız esta entre 3.1 y 3.2.
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Ejercicio 9. Realizar los computos para encontrar otro decimal
de la raız del polinomio x4 − 10x2 + 1 con el metodo chino.
Vale mencionar que el matematico y astronomo persa Sharaf
al-Din al-Tusi descubrio este metodo para ecuaciones de tercer
grado en el siglo XII d. C.
Tambien que la matematica china entro en un declive en el siglo
XIV, al grado de practicamente ser olvidada y ni siquiera docu-
mentada sino fuera por algunos libros que llegaron a Corea y
Japon. En el siglo XVI y XVII algunos misioneros jesuitas (co-
mo el italiano Mateo Ricci) intentaron introducir la matematica
desarrollada por los occidentales en China, pero los academicos
chinos la rechazaron en favor de la “tradicional”. Esto saco del
mapa matematico a China durante otros trescientos anos mas.
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A continuacion veremos como pudo haber aprovechado Al-Juarismi
los computos y razonamientos babilonios para encontrar sus meto-
dos generales de solucion de ecuaciones cuadraticas. Si sabemos
que todo polinomio de segundo grado x2+bx+c tiene dos raıces,
digamos u y v, sabemos que se puede escribir
x2 + bx+ c = (x− u)(x− v) = x2 − (u+ v)x+ uv
o sea
b = −(u+ v), c = uv.
A estas se le conocen como las formulas de Viete para el poli-
nomio de segundo grado.
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Los babilonios, ası como tenıan tablas de recıprocos, tambien
tenıan tablas de cuadrados. La razon es que la multiplicacion se
puede escribir en terminos de cuadrados, por la famosa identidad
de polarizacion.
xy =(x+ y)2 − (x− y)2
4
Ası, si un babilonio querıa multiplicar dos numeros, sacaba su
diferencia, su suma, consultaba sus cuadrados en la tabla, restaba
los resultados y dividıa entre 4. Parece un proceso largo, pero
en notacion sexagesimal es mucho mas breve que si se hace la
multiplicacion directa.
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De la identidad de polarizacion se deduce que(u− v
2
)2=(u+ v
2
)2− uv
y podemos “romper la simetrıa” tomando la raız cuadrada
u− v2
=
√(u+ v
2
)2− uv.
Recordando que u+ v = −b, entonces tenemos el sistema linealu+ v
2=−b2,
u− v2
=
√b2
4− c
que es muy facil de resolver y nos lleva a los algoritmos (!) de
Al-Juarismi.78
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Retrato de fray Luca Pacioli haciendo matematica, pintado en 1495 tal vez por Jacopo
de’Barbari.
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En 1494, en su libro “Summa de Arithmetica, Geometria, Pro-
portioni et Proportionalita”, el fraile Luca Pacioli declaraba que
la resolucion de ecuaciones cubicas era “tan imposible como la
cuadratura del cırculo”. Pero el matematico bolones Scipione del
Ferro (1465-1526) demostro que estaba equivocado, resolviendo
ecuaciones de la forma x3+px = q, para p y q positivos, de forma
simbolica (recordemos que Jayam ya podıa resolveras de forma
geometrica). Del Ferro nunca publico su solucion y solamente se
la confio a su discıpulo Antonio Maria Fiore.
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En 1535, Niccolo “Tartaglia” Fontana logro resolver tambien las
cubicas de la forma x3 + px2 = q. Fiore creyo que mentıa y lo
reto a un duelo matematico: cada uno propondrıa 30 ecuaciones
y ganarıa el que pudiera resolver la mayor cantidad en 50 dıas.
Obviamente, gano Tartaglia.
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Niccolo “Tartaglia” Fontana (1499-1557).
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Cuando Girolamo Cardano escucho del duelo de Fontana y Fio-
re, fue a visitar al primero para suplicarle le diera a conocer su
formula, de modo que en un libro de matematica que estaba
escribiendo la pudiera publicar con su nombre. Al principio Tar-
taglia se nego, pero despues de mucha insistencia accedio, bajo
la promesa de que Cardano nunca revelara el secreto.
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Girolamo Cardano (1501-1576) y su “Ars Magna”.
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Sin embargo, en 1543 Cardano fue a Bolona, pues habıa escu-
chado que Tartaglia no habıa descubierto la formula primero. Al
revisar los manuscritos de Scipione del Ferro concluyo que el ver-
dadero descubridor era del Ferro y que la promesa ante Tartaglia
ya no era valida.
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Cardano publico su “Ars Magna” con la formula para la cubica
en 1545, dando credito a Tartaglia por la formula para resolver
las ecuaciones de la forma x3 + px = q. Algo en lo que Cardano
fue original es en demostrar que todas las ecuaciones de la forma
x3 + ax2 + bx+ c = 0
pueden reducirse a otra sin el termino de segundo grado. Para
ello, se hace el cambio de variable x = y − a/3 de modo que al
final queda
y3 + py = q
con
p = b−a2
3y q = −
(2a3
27−ab
3+ c
).
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Una vez puesto en esta forma, la solucion general de y3 +py = q
es
x =3
√√√√q2
+
√q2
4+p3
27−
3
√√√√−q2
+
√q2
4+p3
27
y que se conoce, por supuesto, como la formula de Cardano.
Ejercicio 10. Compruebe que la transformacion x = y − a/3
remueve el termino cuadratico de la ecuacion cubica x3 + ax2 +
bx+ c = 0 y aplique la formula de Cardano para resolver
x3 −11
6x2 + x−
1
6= 0.
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Fue un estudiante de Cardano, Ludovico Ferrari, el que encontra-ra una formula para la ecuacion de cuarto grado, y que tambienfue publicada en el “Ars Magna”. La formula general es endiabla-damente complicada. Dada la ecuacion ax4 +bx3 +cx2 +dx+e =0, sus raıces estan dadas por
x1,2 = −b
4a− S ±
1
2
√−4S2 − 2p+
q
S
x3,4 = −b
4a+ S ±
1
2
√−4S2 − 2p−
q
S
donde p y q son
p =8ac− 3b2
8a2
q =b3 − 4abc+ 8a2d
8a3
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y
S =1
2
√√√√−2
3p+
1
3a
(Q+
∆0
Q
)
Q =3
√√√√∆1 +√
∆21 − 4∆3
0
2
con
∆0 = c2 − 3bd+ 12ae,
∆1 = 2c3 − 9bcd+ 27b2e+ 27ad2 − 72ace.
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¿Pueden encontrarse formulas semejantes para ecuaciones degrado mas alto?
En 1824, el matematico noruego Niels Henrik Abel demostroque, en general, para ecuaciones polinomiales de grado 5 omas no hay formulas algebraicas para sus raıces. Natural-mente, hay casos en los que sı, por ejemplo x5 − 3125 = 0,el punto es que, si traen una ecuacion de quinto grado cual-quiera, no hay una unica formula algebraica que nos de lassoluciones.
Hacia 1832, el matematico frances Evariste Galois creo lo queahora se denomina teorıa de grupos y con ella caracterizo alas ecuaciones polinomiales para las que existe una formulaalgebraica para sus raıces.
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Niels Henrik Abel (1802-1829, izquierda) y Evariste Galois (1811-1832, derecha).
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Algunos problemas clasicos (egipcios, babilonios, chinos y
arabes)
Objetivo
Practicar lo aprendido con problemas algebraicos de las fuentes
originales.
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Ejercicio 11 (Problema 57 del Papiro de Rhind). Una cantidad,
su mitad y su cuarta parte, reunidas, dan diez. ¿Cual es la can-
tidad? (Trate de expresar su resultado en fracciones egipcias).
Ejercicio 12 (Tableta AO 8862, depositada en el Louvre, Paris).
Multiplico la longitud por el ancho para obtener el area. Le anado
la cantidad por la que el largo excede al ancho al area y obtengo
183. La suma de la longitud y el ancho es 27. ¿Cuales son la
longitud, el ancho y el area?
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Ejercicio 13 (Del capıtulo 7 de “Los Nueve Capıtulos del Arte
Matematico”). Un grupo de personas se juntan para comprar
gallinas de costo identico. Si cada persona contribuye 9 wen,
entonces sobran 11 wen, y si cada persona contribuye 6 wen
entonces faltan 16 wen. Encuentre el numero de personas y el
precio de cada gallina.
Ejercicio 14 (Del “Al-kitab al-almukthtasar fi hisab al-gabr-
wa’l-muqabala” de Mohammed Al-Juarismi). Divido una unidad
entre un numero de muchachas, de modo que todas reciben la
misma cantidad. Luego llega otra muchacha y, si reparto la mis-
ma unidad nuevamente de forma equitativa, ahora reciben un
sexto menos de lo que antes. ¿Cuantas muchachas habıa origi-
nalmente?
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Ejercicio 15 (Del “Tratado Matematico en Nueve Secciones” de
Qin Jiushao). Calcule, usando el metodo chino, la raız cuadrada
de 71824; esto es, resuelva x2 − 71824 = 0.
Ejercicio 16 (Problema 3 del capıtulo 17 del “Ars Magna” de
Girolamo Cardano). Un oraculo le ordena a un prıncipe construir
un templo sagrado cuyo espacio sea de 400 unidades cubicas,
cuya longitud sea 6 unidades mas que el ancho, y cuyo ancho
sea 3 unidades mas que la altura. Encuentre las dimensiones.
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