ĐẠo hÀm riÊng - bai-giang.webnode.vn. ĐẠ… · - xấp xỉ tuyến tính - quy tắc dây...

Chương IV.

ĐẠO HÀM RIÊNG

1

CALCULUS FOR COMPUTING

NỘI DUNG

- Hàm nhiều biến và đạo hàm riêng

- Đạo hàm có hướng

- Mặt phẳng tiếp xúc

- Xấp xỉ tuyến tính

- Quy tắc dây chuyền (Chain Rule)

- Đạo hàm riêng bậc cao

2 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

3 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

1. HÀM NHIỀU BIẾN

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 4

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 5

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 6

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

7 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

8 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

Ví dụ

Cho hàm số 2 biến:

𝑎/ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦 + 7

𝑏/ 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥𝑦 + 5

𝑐/ 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦2 + (5𝑥 + 7𝑦)2

9 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Miền xác định?..........................................................................

Miền giá trị?..............................................................................

𝑓(0,1)? ………………………………………………..…….

𝑓(2, −1)?……………………………………………………..

𝑓(𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦)? ………………………………………….…

𝑓(𝑥, 𝑥)?……………………………………………………....

10 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Miền xác định?.....................................................

Miền giá trị?.........................................................

11 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) là một mặt, tập

hợp của tất cả các điểm có toạ độ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧).

12 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của hàm 𝑓 = 2𝑥 + 3𝑦

13 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của hàm 𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2 + 15 và

𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2

14 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

15 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Giới hạn và liên tục

16 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. Giới hạn

17 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. Giới hạn

Định nghĩa giới hạn kép

18 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. Giới hạn

19 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. Giới hạn

20 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Chú ý:

Thay tương đương VCB, VCL, quy tắc

L’Hospital chỉ được áp dụng nếu chuyển được

sang hàm 1 biến.

a. Giới hạn

21 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Ví dụ

Tính ∶ lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥𝑦−2𝑥−𝑦+2

𝑥−1

0

0

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………..

22 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Tính: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

1+𝑥𝑦−1

ln (1+𝑥𝑦)

0

0

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………..

……………………………………

Ví dụ

23 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

24 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

…………………………………… 25 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. LIÊN TỤC

26 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. LIÊN TỤC

27 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. LIÊN TỤC

28 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

29 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

30 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

31

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

32 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

33 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

34 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

35 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

36 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………

37 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………

38 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

39 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

40 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

41 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Ví dụ

Tìm 𝜕2𝑓

𝜕𝑥2 ,𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 ,𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 3𝑦 + 5

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5 𝑥 − 6𝑦2

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥5𝑦4 + 𝑥3𝑦2

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑒𝑦 .

f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦

𝑔. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2 + 𝑦2

𝑕. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥2𝑦

42 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 43

CALCULUS FOR COMPUTING

Vi phân cấp 1 của hàm f(x,y) tại (x0,y0):

𝑑𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓′𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓′𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑦

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 44

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

Ví dụ: Tìm vi phân toàn phần (cấp 1) của hàm số tại (0,1)

a) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 1

b) 𝑧 = 3𝑥2 𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1

c) 𝑧 = 𝑥2 − 6𝑥𝑦2 − 𝑥𝑦3 − 𝑥

45 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

46 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

47 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

48 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

Ví dụ:

Dùng hàm 𝑓 = 𝑥𝑒𝑥𝑦, tính gần đúng giá trị 𝑓(1.1, −0.1)

49 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

Ví dụ: Dùng hàm 𝑓 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦2, tính gần đúng

giá trị 𝑓(2.05, 2.96)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………

50 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

51 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

52 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

53 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

…………………………………… 54 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………

55 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm riêng hàm hợp

56 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm riêng hàm hợp

57 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm riêng hàm hợp

58 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Vi phân của hàm hợp

59 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Các ví dụ

60 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Các ví dụ

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 61

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm riêng hàm ẩn

62 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

Trƣờng hợp 1

CALCULUS FOR COMPUTING

VÍ DỤ

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 63

CALCULUS FOR COMPUTING

VÍ DỤ

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 64

CALCULUS FOR COMPUTING

65 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

Cách 1. đạo hàm 2 vế của phương trình theo x. Chú ý, y là

hàm theo x.

Cách 2. Dùng công thức, đạo hàm riêng của F theo x, coi y

là hằng số

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm riêng hàm ẩn

66 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

Trƣờng hợp 2

CALCULUS FOR COMPUTING

67 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

Cách 1. Đạo hàm 2 vế của phương trình theo x.

Chú ý y là hằng, z là hàm theo x.

Cách 2. Dùng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y

và z là hằng số.

CALCULUS FOR COMPUTING

Ví dụ

68 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 69

𝑓 = 𝑓 𝑥, 𝑦

CALCULUS FOR COMPUTING

Đạo hàm của hàm f theo hướng vectơ 𝑢 tại

điểm M0:

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 70

Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 71

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 72

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 73

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 74

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 75

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 76

Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 77

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 78

CALCULUS FOR COMPUTING

Bài tập 1

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 79

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 80

Bài tập 2

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 81

Bài tập 3

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 82

Bài tập 4

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 83

Bài tập 5

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 84

Bài tập 6

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 85

Bài tập 7

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 86

Bài tập 8

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 87

Bài tập 9

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 88

Bài tập 10

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 89

Bài tập

CALCULUS FOR COMPUTING

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 90

Bài tập