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1
LICEO POLITÉCNICO DOMINGO SANTA MARÍA
ENSEÑANZA MEDIA
TÉCNICO PROFESIONAL
2.- GEOMETRÍA
II
Página
2
“La Geometría tiene dos grandes
tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras, y el otro el número áureo.
El primero puede compararse a una
medida de oro, y el segundo a una
piedra preciosa.”
JOHANNES KEPLER
Página
3
Página
4
II.- GEOMETRÍA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
PE
RIO
DO
OA 01 COMPRENDER EL CONCEPTO DE SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS. OA 02 IDENTIFICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. OA 03 UTILIZAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PARA EL ANÁLISIS DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.
PE
RIO
DO
OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. OA 05 DEMOSTRAR LOS TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS. OA 06 DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL TEOREMA RECÍPROCO DE PITÁGORAS. OA 07 IDENTIFICAR ÁNGULOS INSCRITOS Y DEL CENTRO EN UNA CIRCUNFERENCIA, Y RELACIONAR LAS MEDIDAS DE DICHOS ÁNGULOS. OA 08 DEMOSTRAR RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE TRAZOS DETERMINADOS POR CUERDAS Y SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA. OA 09
DEMOSTRAR TEOREMAS RELATIVOS A LA HOMOTECIA DE FIGURAS PLANAS OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A:
A. EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES B. LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO
C. TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS
PE
RIO
DO
PE
RIO
DO
PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2015 * MATEMÁTICA * 2º E. M. T. P.
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5
I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:
GUÍA Nº 1.-
NOTA 1
GUÍA Nº 5.-
GUÍA Nº 4.-
GUÍA Nº 3.-
GUÍA Nº 2.-
NOTA 3
NOTA 4
NOTA FINAL
NOTA 2
NOTA 5
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Página
6
II.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:
GUÍA Nº 6.-
NOTA 6
GUÍA Nº 10.-
GUÍA Nº 9.-
GUÍA Nº 8.-
GUÍA Nº 7.-
NOTA 8
NOTA 9
NOTA FINAL
NOTA 7
NOTA 10
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Firma Apoderado
Página
7
GEOMETRIA Es razonable pensar que el origen de la geometría surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Así parece confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas de cerámica y otros utensilios. Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición') Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría. Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.
Página
8
SEMEJANZA: Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma y sus tamaños son proporcionales. La razón de semejanza o razón de proporcionalidad (r) se obtiene calculando el cociente entre la medida de una parte de la figura que se obtiene y la longitud de su parte correspondiente en la figura original.
Si 0 < r < 1, con r ∈ Q, entonces la figura resultante es
proporcionalmente de menor tamaño.
Si r < 1, entonces la figura resultante es proporcionalmente de mayor tamaño.
Los lados o partes correspondientes entre dos figuras semejantes son llamados homólogos.
Los lados o partes correspondientes entre dos figuras semejantes son llamados homólogos.
A B
C
A´ B´
C´
1,5 Cm
1,9 Cm 1,9 Cm
3 Cm
3,8 Cm
3,8 Cm
A B
C
A´ B´
C´
1,5 Cm
1,9 Cm 1,9 Cm
3 Cm
3,8 Cm
3,8 Cm
Figura original Figura imagen
𝒓 =𝟑, 𝟖
𝟏, 𝟗=
𝟑, 𝟖
𝟏, 𝟗=
𝟑
𝟏, 𝟓= 𝟐
Página
9
Si los triángulos fueran:
EN RESUMEN:
Dos figuras son semejantes si todos sus correspondientes ángulos son congruentes y la razón entre sus correspondientes lados es constante.
A´ B´
C´
A B 1,5 Cm
1,9 Cm 1,9 Cm
3 Cm
3,8 Cm
3,8 Cm
Figura original Figura imagen
𝒓 =𝟏, 𝟗
𝟑, 𝟖=
𝟏, 𝟗
𝟑, 𝟖=
𝟏, 𝟓
𝟑= 𝟎, 𝟓
C
Página
10
GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
1.- UTILIZA LA CUADRICULA PARA REPRODUCIR LA FIGURA DIBUJADA SEGÚN LA RAZON DE SEMEJANZA DADA.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
OA 01 COMPRENDER EL CONCEPTO DE SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.
FIGURA ORIGINAL R = 1,5 R = 0,5
2.- EXPLICA LA ESTRATEGIA QUE UTILIZASTE EN LA ACTIVIDAD ANTERIOR PARA
LLEVARLA A CABO.
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11
DETERMINA EL VALOR DE LA SEMEJANZA (r) EN CADA CASO
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
𝐴 =𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
9 Cm 9 Cm
D´
A) 2 B) 0,5 C) 0,6 D) 3 E) N.A.
5.- SI EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO ES 18 CM, ¿CUÁL ES EL ÁREA
DE UN TRIANGULO SEMEJANTE A ESTE CUYA RAZÓN DE SEMEJANZA ES 0,5?
A) 2 B) 0,5 C) 0,6 D) 3 E) N.A.
A
D C
B 10 Cm
10 Cm
5 Cm 5 Cm
A´
D´ C´
B´
2,5 Cm 2,5 Cm
5 Cm
5 Cm
A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) N.A.
3.- figura original ABCD
A
D C
B 18 Cm
9 Cm
A´
C´
B´
3 Cm 3 Cm
6 Cm
3 Cm
42.- figura original ABCD
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12
A) 25 B) 50 C) 10 D) 75 E) N.A.
7.- UN PLANO A ESCALA 1:50, UNA HABITACION DE FORMA CUADRADA¿CUÁNTO MIDE
LA SUPERFICIE DE ESTE PISO EN LA REALIDAD?.
8.- DOS PUEBLOS SE ENCUENTRAN SEPARADOS A 2,5 KM. SI EN UN MAPA DE LA ZONA
SE ENCUENTRAN A 2,5 CM, DETERMINA LA ESCALA EN QUE ESTÁ DIBUJADO.
A) 1:100 B) 1:1000 C) 1:10000 D) 1:100000 E) N.A.
A) 6,7 B) 8,75 C) 35 D) 7,67 E) N.A.
6.- un plano ESTA DIBUJADO EN ESCALA 1:50, SI EL PISO DE UNA BODEGA
RECTANGULAR Y SUS DIMENSIONES EN EL PLANO SON DE 7 CM DE LARGO Y 5 CM
DE ANCHO ¿Cuánto MIDE LA SUPERFICIE DE ESTE PISO EN LA REALIDAD?.
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13
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 8 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
Página
14
SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES (~) SI SUS ANGULOS
CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES (≈) Y SUS
LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES. SIN EMBARGO,
HAY POSTULADOS QUE PERMITEN VERIFICAR LA
SEMEJANZA ENTRE TRIANGULOS SIN TENER QUE
COMPROBAR TODAS LAS CONGRUENCIAS Y TODAS LAS
PROPORCIONALIDADES, ESTOS SON LOS LLAMADOS
POSTULADOS O CRITERIOS DE SEMEJANZA.
Criterios de semejanza de
triángulos
CRITERIO ANGULO-ANGULO (AA)
DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS
PARES DE ANGULOS CORRESPONDIENTES
CONGRUENTES.
EJEMPLO: Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 3 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste?
Congruencia: propiedad de
dos figuras de tener la misma
forma y tamaño; cuando al
poner una figura obre la otra,
ambas coinciden.
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Se puede considerar que el poste y don José están
perpendiculares al suelo. De este modo, CAB y EDB son
ángulos rectos.
Observa que además CBA es el mismo EBD. Entonces,
por el criterio AA, ΔABC ~ ΔDBE, por lo tanto, los correspondientes lados son proporcionales y se cumple: ES DECIR, SE DEBERÍAN CONOCER TODAS LAS MEDIDAS DE LOS LADOS Y ÁNGULOS, PARA DETERMINAR SI DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES O NO. PERO, AL IGUAL QUE PARA DETERMINAR LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, EXISTEN TRES TEOREMAS QUE PERMITEN ESTABLECER LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SIN VERIFICAR NECESARIAMENTE TODAS LAS IGUALDADES.
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Criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados respectivamente proporcionales.
Observa que los triángulos tienen lados aparentemente proporcionales. Comenzando por el lado mayor, los lados correspondientes tienen la relación
Como esta razón es constante, los lados correspondientes son proporcionales y, luego, los triángulos son semejantes. Esto se conoce como segundo criterio de semejanza o criterio LLL (lado-lado-lado).
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Criterio lado – Angulo – lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos respectivamente congruentes, y los Lados que los forman son respectivamente proporcionales. EJEMPLO: Alan dice que estos triángulos no pueden ser semejantes, porque no se ven como si el triángulo mayor fuera la ampliación del más chico. Antonia, en cambio, dice que los lados correspondientes están en distinta posición, por eso se ve raro. Ya que, como se ve en la figura, es exactamente el mismo ángulo. Otra forma de establecer la semejanza entre triángulos es verificar que dos de los lados correspondientes son proporcionales y que el ángulo determinado por estos lados es igual en cada triángulo. Este resultado se conoce como tercer criterio de semejanza o criterio LAL (lado-ángulo-lado).
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GUÍA N° 2 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS RESUELVE LOS SIGUIENTE EJERCICIOS:
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
OA 02 IDENTIFICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO. OA 03 UTILIZAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PARA EL ANÁLISIS DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.
1.- DADO EL ∆ ABC Y AD // BC. SI AD = 10 Cm, AB = 20 Cm y DE =12. ¿Cuál ES EL VALOR DE BC?
2.- DADO EL ∆ MNP Y OL // MN. SI PM = 12, LP = 3 Cm y LO =24. ¿Cuál ES EL VALOR DE MN?
3.- DADO EL ∆ QRS Y UT // RS. SI QR = 15, QU = 3 y QS =25. ¿Cuál ES EL VALOR DE QT?
A) 12 Cm
B) 24 Cm
C) 36 Cm
D) 48 Cm
E) N. de las A.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) N. de las A.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) N. de las A.
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19
4.- Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura.
Calcula la distancia al barco.
5.- ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?
6.- DADO LOS ∆s VWZ y PXY, AMBOS ∆s RECTANGULOS EN W, X. SI VW = 6, XY = 32, PX=12¿CUAL
ES EL VALOR DE WZ?
7.- En un triángulo ABC, AB = 4, BD = 7 y CA = 10. Otro triangulo DEF DE = 3, EF = 6 y FD = 15. Son
semejantes ambos triángulos?.
A) 1.400 m.
B) 1.500 m.
C) 1.600 m.
D) 1.700m.
E) N. de las A.
A) 2,44 m.
B) 2,55 m.
C) 2,54 m.
D) 1,7 m.
E) N. de las A.
35°
35°
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) N. de las A.
A) si
B) no
Página
20
8.- En un triángulo PQR, PQ = 10, QR = 20 y RP = 30. Otro triangulo DEF DE = 5, EF = 10 y FD = 20. Son
semejantes ambos triángulos?
A) si
B) no
9.- En un triángulo ABC, AB = 14, BD = 18 y CA = 20. Otro triangulo SMN SM = 7, MN = 8 y NS = 10.
Son semejantes ambos triángulos?
A) si
B) no
10.- en la siguiente figura, ambos triángulos son semejantes (~), h = 3, i = 5, b = 5,2, c = 8. ¿Cuál es el
valor de d y e?
11.- En la siguiente figura, ambos triángulos son semejantes (~),¿Cuál es el valor de x ^ y, respectiva%?
A) 6 y 2,6
B) 2,6 y 6
C) 3 y 5
D) no se puede calcular
E) N. de las A.
A) 2 y 6
B) 6 y 2
C) 3,5 y 7
D) 3 y 4
E) N. de las A.
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21
12.- ¿En la siguiente figura, los triángulos BCD y DEH, son semejantes?
A) si
B) no
13.- ¿En la siguiente figura, los triángulos, son semejantes?
A) si
B) no
14.- ¿En la siguiente figura, los triángulos, son semejantes?
A) si
B) no
15.- En la figura, considera que el ángulo de incidencia x es igual al ángulo de reflexión y.
Calcula la altura H si se sabe que h = 1,5 m, a = 2 m y b = 6 m.
A) 2 m
B) 6 m
C) 3,5 m
D) 3 m
E) N. de las A.
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22
ii.- Observa el siguiente mapa (no está a escala), y responde las siguientes preguntas.
Tijeral
M
N
P
A
B
16.- Entre Renaico y Tijeral hay 25 km Se ha fijado un punto P que se ven de ambos pueblos, si
NP = 10 km, AB = 25 km y MN = 15 km. ¿Cuál es la distancia entre PB?
A) 17,9 km
B) 16,7 km
C) 13,5 km
D) 31,0 km
E) N. de las A.
17.- Entre Renaico y Tijeral ha habido un corte de camino. Se ha fijado un punto P que se ven de
ambos pueblos, si AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. ¿Cuál es la distancia entre AB?
A) 29 km
B) 26 km
C) 35 km
D) 30 km
E) N. de las A.
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23
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 2 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 17 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E.
2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA. EN EL PANEL DE RESPUESTAS.
3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS.
4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO HASTA AHÍ.
5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
Página
24
Teorema de Thales
La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda (relatada
por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.
La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B).
Como en triángulos semejantes, se cumple que: , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.
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25
Teorema particular de Thales Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí. Ejemplo: En la figura siguiente, BC // DE. Determina EC, si AD = 3, DB = 4 y AE = 4,5.
Por el teorema de Thales se tiene: 𝑨𝑫
𝑫𝑩=
𝑨𝑬
𝑬𝑪
POR LO TANTO:
𝟑
𝟒=
𝟒,𝟓
𝑬𝑪 → 𝟑 ∙ 𝑬𝑪 = 𝟒 ∙ 𝟒, 𝟓 → 𝑬𝑪 =
𝟏𝟖
𝟑 → 𝑬𝑪 = 𝟔
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26
Teorema General de Thales
Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos respectivos que se determinan en las secantes son proporcionales. EJEMPLO:
En la siguiente figura, OQ // ST // PR. La recta ST es paralela a OQ y PR. La medida de QR es de 10 cm. ¿Cuánto mide QT?, ¿Cuánto mide TR?
Por Thales 𝑶𝑺
𝑺𝑷=
𝑸𝑻
𝑻𝑹 ADEMAS, QT= x Y TR=10-x
POR LO TANTO
𝟐
𝟑=
𝒙
𝟏𝟎−𝒙→ 𝟐(𝑿 − 𝟏𝟎) = 𝟑 ∙ 𝒙 → 𝟐𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟑𝒙
20 = 5𝑥 → 𝒙 = 𝟒 Entonces QT = 4 y TR = 6
Cuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse alguno de los siguientes casos:
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27
Recíproco del Teorema de Thales
Si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estos últimos segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí.
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28
GUÍA N° 3 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- utilizando los teoremas de Thales, desarrolla los siguientes ejercicios.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. .
1.- Se sabe que AB // DE y que AC = 16, CD = 2, CE = 3. Entonces la medida de BC, es:
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
E) N. de las A.
2.- Se sabe que L1 // L2. Entonces la medida de BP, es:
A) 2,5
B) 4,5
C) 5,0
D) 6,5
E) N. de las A.
3.- Se sabe que AB // MR. Si AQ = 25 m. MR = 2 m. y MQ=RQ =5 m. Entonces la medida del puente en AB, es:
A) 30 m
B) 40 m
C) 50 m
D) 60 m
E) N. de las A.
Página
29
4.- aplica el teorema particular de Thales y encuentra DH:
A) 23,7 m
B) 24,0 m
C) 23,8 m
D) 23,6 m
E) N. de las A.
5.- Se sabe que ON // PQ. Entonces la medida de NB, es:
A) 13 m
B) 14 m
C) 15 m
D) 12 m
E) N. de las A.
6.- Se sabe que ON // PQ. Entonces la medida de NB es:
A) 12 m
B) 14 m
C) 16 m
D) 18 m
E) N. de las A.
7.- observa la siguiente figura, determina por el reciproco del teorema particular de tales si OB//PQ
A) SI
B) N0
Página
30
8.-
A) SI
B) N0
9.-
A) SI
B) N0
10.-
A) SI
B) N0
11.-
A) SI
B) N0
3 Cm
Página
31
12.-
A) 4
B) 6
C) 4,5
D) 12
E) N. de las A.
13.-
A) 6,4
B) 7,4
C) 8,4
D) 5,4
E) N. de las A.
14.-
A) 12 m
B) 14 m
C) 16 m
D) 18 m
E) N. de las A.
15.-
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) N. de las A.
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32
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 3 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1) ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 17 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2) RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3) TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4) SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 5) USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
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33
División interior de trazos Si se quiere una recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dividir en n trazos congruentes, puedes utilizar el Siguiente procedimiento, trazando por cualquiera de los extremos una recta cualquiera, distinta de
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , determinando en ella n trazos congruentes (de cualquier medida) y trazando las paralelas correspondientes.
Ejemplo:
Si quisiéramos dividir una recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 5 partes iguales, usando regla y compas. Usaremos e teorema de Thales y una construcción geométrica: 1. Sea AB, la recta a dividir 2. Por uno de los extremos del trazo anterior trazamos una
recta cualquiera y en ella determinamos cinco trazos congruentes (de cualquier medida); en la figura:
3. Unimos T con B y por los puntos P, Q, R y S trazamos
paralelas a 𝐵𝑇̅̅ ̅̅ .
4. Debido al teorema de Thales las rectas paralelas dividirán al
Página
34
trazo AB en cinco trazos congruentes.
División de un trazo en una razón dada
Supongamos ahora que la recta anterior se quiere dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 2:3, para ello utilizamos la semejanza de triángulos.
1) Supongamos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ lo dividiremos en la razón 2:3.
2) Por A se traza un rayo y en él se miden dos segmentos congruentes; por B se traza un rayo paralelo al anterior pero con sentido contrario. Sobre él se miden tres segmentos congruentes a los dos anteriores:
3) Donde la recta 𝑄𝑇 ⃡ de la figura intercepte a la recta 𝐴𝐵 ⃡ se
obtendrá el punto E que dividirá al trazo 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en la razón 2:3.
Lo anterior se fundamenta en el hecho que los triángulos AEQ y BET son semejantes con razón de semejanza 2:3.
Página
35
GUÍA N° 4 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- UTILIZANDO REGLA Y COMPAS, DIVIDE LOS SIGUIENTES TRAZOS.
OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A: EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
1.- Dividir La recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 5 partes iguales, usando regla y compas. Usa el teorema de
Thales y una construcción geométrica:
2.- Dividir La recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 3 partes iguales, usando regla y compas. Usa el teorema de
Thales y una construcción geométrica:
3.- Dividir La recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 8 partes iguales, usando regla y compas. Usa el teorema de
Thales y una construcción geométrica:
Página
36
4.- Dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 1:3, para ello utilizamos la
semejanza de triángulos.
5.- Dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 3:6, para ello utilizamos la
semejanza de triángulos.
6.- Dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 3:5, para ello utilizamos la
semejanza de triángulos.
7.- Dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 4:7, para ello utilizamos la
semejanza de triángulos.
Página
37
Teorema de Euclides
Teorema de la Altura En todo triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa. p y q son la proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa respectivamente. Ejemplo: En el triángulo ABC, sea q = 12 y p=8, encuentra la altura (CD) del triangulo 12
ℎ𝑐=
ℎ𝑐
8 → ℎ𝑐
2 = 12 ∙ 8 → ℎ𝑐2 = 96 → ℎ𝑐 = √98 → 𝒉𝒄 = 𝟒√𝟔
Página
38
Teorema del Cateto En todo triangulo rectángulo un cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
Ejemplo: En el triángulo ABC, sea q = 10 y p=18, encuentra el valor de a
𝑎2 = 18 ∙ 28 → 𝑎2 = 504 → 𝑎 = √504 → 𝑎 = √𝟏𝟐𝟔 ∙ 𝟒
→ 𝑎 = √𝟗 ∙ 𝟏𝟒 ∙ 𝟒 → 𝒂 = 𝟐 ∙ 𝟑√𝟏𝟒 → 𝒂 = 𝟔√𝟏𝟒
Página
39
GUÍA N° 5 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- UTILIZA LA CUADRICULA PARA REPRODUCIR LA FIGURA DIBUJADA SEGÚN LA RAZON DE SEMEJANZA DADA.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
OA 05 DEMOSTRAR LOS TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS. OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A: EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
1.- 𝒉𝒄
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) N. de las A.
2.- 𝒉𝒄 = 𝟓
A) 1,2
B) 1,5
C) 2,5
D) 3,5
E) N. de las A.
3.- 𝒉𝒄 = 𝟔
A) 3,5
B) 1,5
C) 3,6
D) 2,8
E) N. de las A.
Página
40
4.-
A) 3,5
B) 5
C) 6
D) 8
E) N. de las A.
5.-
A) 1,5
B) 1,5
C) 1,6
D) 1,7
E) N. de las A.
A) 11,5
B) 91,5
C) 78,1
D) 87,1 m
E) N. de las A.
A) 7,5
B) 8,5
C) 7,6
D) 9,7
E) N. de las A.
6.- Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la
proyección de un lado sobre el lado mayor (hipotenusa) miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente.
Calcula el perímetro del parterre.
7.- Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el
portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del quiosco?
Página
41
8.- Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un
estadio que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:
A) 12,5 y 10 km
B) 11,5 y 9 km
C) 13,6 y 12 km
D) 14,7 y 8 km
E) N. de las A.
A) 15 km
B) 11,5 km
C) 12,6 km
D) 12 km
E) N. de las A.
A) 91,5
B) 91,82
C) 91,6
D) 81,7
E) N. de las A.
¿A qué distancia está la casa de Víctor del estadio? ¿Qué distancia separa ambas casas?
9.- El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. Calcula la
longitud del circuito sabiendo que AC= 5 km y la distancia de B al albergue es de 2,4 km.
10.- Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se
encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90°).
Página
42
A) 3,89 y 9,15 m.
B) 9, 56 y 12,82 m.
C) 4,56 y 0,79 m.
D) 4,56 y 8,79 m.
E) N. de las A.
11.- En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH
sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.
A) 2,13 y 2,39 m.
B) 2, 56 y 2,82 m.
C) 3,56 y 4,79 m.
D) 2,16 y 3,79 m.
E) N. de las A.
12.- En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH
sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.
A) 16 y 21 m.
B) 16 y 20 m.
C) 15 y 20 m.
D) 15 y 21 m.
E) N. de las A.
13.- En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH
sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.
Página
43
A) 16 y 21 m.
B) 16 y 20 m.
C) 15 y 20 m.
D) 15 y 21 m.
E) N. de las A.
14.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm.
A) 16 y 21 m.
B) 16 y 20 m.
C) 15 y 20 m.
D) 15 y 21 m.
E) N. de las A.
15.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la
hipotenusa. La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor.
A) 16 y 21 m.
B) 16 y 20 m.
C) 15 y 20 m.
D) 15 y 21 m.
E) N. de las A.
16.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la
hipotenusa. La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.
Página
44
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 5 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 16 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
Página
45
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras Establece que “En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa”. Veamos una demostración del Teorema de Pitágoras: Considera un triángulo ABC, rectángulo en C. Se traza su altura hc y se identifican las medidas de sus lados y las proyecciones de la altura hc. Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen rectángulos de lados q y c, y p y c.
𝒂𝟐 = 𝒑 ∙ 𝒄
𝒃𝟐 = 𝒒 ∙ 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = (𝒑 ∙ 𝒄) + (𝒒 ∙ 𝒄)
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄(𝒑 + 𝒒)
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄 ∙ 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
+
Página
46
Ejemplo: Calcula el valor de “x” en la siguiente figura
Entonces el lado a del triángulo ABC es de 4,8 cm.
Recíproco del Teorema de
Pitágoras
El Teorema Reciproco De Pitágoras, establece que si la
suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al a la medida al cuadrado del lado restante, entonces el triángulo es rectángulo.
Demostremos con un simple ejemplo:
Luís quería construir un corral rectangular para su conejillo de Indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular?
Si el corral es rectangular, entonces dos lados adyacentes y una diagonal formarán un triángulo rectángulo. Para ver si éste es el caso, verifica si las medidas forman un triple pitagórico.
302+ 542 = 900 + 2916 = 3816 y 632 = 3969
Como 302 + 542 ≠ 632, Las medidas no son un triple pitagórico, así que el triángulo no es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el corral no es rectangular.
𝒂𝟐 + 𝟑, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐
𝒂𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟐 − 𝟔𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟗𝟔 − 𝟑𝟔
𝒂𝟐 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟒/√𝟐
√𝒂𝟐 = √𝟐𝟑. 𝟎𝟒
𝒂 = 𝟒, 𝟖
Desarrollo.
6 Cm
3,6 Cm
Página
47
GUÍA N° 6 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- VERIFICA SI LOS SIGUIENTES SON TRIOS PITAGORICOS.
OA 06 DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL TEOREMA RECÍPROCO DE PITÁGORAS.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
A) SI
B) NO
1). 3; 4; 5
A) SI
B) NO
2). 6; 8; 10
A) SI
B) NO
3). 5; 12; 13
A) SI
B) NO
4). 7; 8; 10
A) SI
B) NO
5). 12; 15; 25
A) SI
B) NO
6). 6; 3,6; 4,8
Página
48
A) 12.
B) 16
C) 13
D) 15.
E) N. de las A.
7.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de AC (Hipotenusa).
A) 12,5.
B) 16,6
C) 13,5
D) 15,5
E) N. de las A.
8.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de AC (Hipotenusa).
A) 14,45
B) 16,55
C) 13,65
D) 15,75
E) N. de las A.
9.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de BC.
A) 10√5.
B) 5√5
C) 5√10
D) 5√5.
E) N. de las A.
10.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de AC (Hipotenusa).
Página
49
A) 9√3.
B) 9
C) 5√10
D) 9√3.
E) N. de las A.
11- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de BC.
A) 4
B) 7
C) 3,5
D) 6
E) N. de las A.
12.- Dado el triángulo ABC, isósceles. Si AC mide 7√2 Si calcula el valor de AB.
A) 9
B) 3√2
C) 18
D) 9√2.
E) N. de las A.
13.- Dado el triángulo ABC, isósceles. Si AC mide 18 Si calcula el valor de BC.
A) 128 m2
B) 168 m2
C) 138 m2
D) 158 m2
E) N. de las A.
14- el perímetro de un triángulo isósceles es 64 m. Y el lado desigual mide 14 m. cuál es el
área de dicho triangulo.
Página
50
HOJA DE RESPUESTAS GUÍA N° 7
A) 53 m
B) 54 m
C) 55 m
D) 56 m
E) N. de las A.
15- Aplica el teorema de Pitágoras y calcula el valor del perímetro de la figura, si ABCD es cuadrado. Angulo DEC recto
A) 53 m
B) 54 m
C) 55 m
D) 56 m
E) N. de las A.
16- Aplica el teorema de Pitágoras y calcula el valor del perímetro de la figura, si AC= 15 m.
A) si
B) no
17- Aplica el teorema Reciproco de Pitágoras y determina si los siguientes triángulos son rectángulos.
A) si
B) no
18- Aplica el teorema Reciproco de Pitágoras y determina si los siguientes triángulos son rectángulos.
Página
51
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 6 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 18 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
Página
52
Ángulos y Segmentos en la Circunferencia
Muchas personas no conocen el nombre de este antiguo
pensador griego, que bien podría ser considerado entre los
grandes científicos de la humanidad. Nacido en Cirene, al
norte de la ciudad de Alejandría, cerca del año 276 a.C.,
Eratóstenes tenía inquietudes de todo tipo, como la
matemática, la filosofía y el teatro.
Eratóstenes trabajó en la famosa Biblioteca de Alejandría.
Una de sus principales obsesiones fue la resolución de
problemas matemáticos y geométricos como la naturaleza de
los números primos o la duplicación del cubo. Por su alcance
en varias ciencias, se destacó entre sus contemporáneos por
lo que le fue dado el sobrenombre de Pentathlos.
Los primeros pasos de su hallazgo
Con los profundos conocimientos de geometría que tenía,
Eratóstenes diseñó una esfera para realizar observaciones
astronómicas. Entre otros de sus descubrimientos puede
mencionarse la duplicidad de la elíptica, lo que
posteriormente los navegantes en el renacimiento aplicarían
a sus travesías a través de los mares.
Sin embargo, entre tantas dotes científicas que este sabio
tenía, ha pasado a la posteridad por ser el primer hombre
en medir la circunferencia de la tierra, prácticamente con
elementos tan rudimentarios, como podrían serlo ahora para
un hombre común en nuestro tiempo.
Página
53
Medición de la circunferencia terrestre
El gran hallazgo de Eratóstenes tuvo lugar un 21 de junio.
Durante el mediodía de aquel solsticio de verano, el sabio
tomó un papiro de la biblioteca y supo que en Siena un
palo no proyectaba su sombra sobre el suelo; movido por
su curiosidad científica, decidió comprobar lo mismo en
Alejandría.
Al mediodía de ese 21 de junio se dio
cuenta que sí proyectaba sombra.
Ante el acertijo de por qué razón el
mismo palo proyectaba sombra en un
lugar y no en otro, Eratóstenes
coligió hasta concluir que no podría
deberse sino a que la tierra no era
plana, sino que era redonda.
Eratóstenes midió lo s ángulos que formaban
las diferentes sombras proyectadas por los
palos en Siena y Alejandría, respectivamente,
llevaron al sabio a deducir que existía una
diferencia de unos siete grados.
Dedujo que si una circunferencia tiene 360º,
la cincuentava parte de esta sería siete;
teniendo en cuenta la distancia que existía
entre las dos ciudades, que era de unos ochocientos
quilómetros, dedujo la fórmula encontrando que la tierra
debía medir aproximadamente cuarenta mil quilómetros.
Aunque tendrían que pasar cerca de dos milenios para
poder comprobarlo con instrumentos de alta precisión, el
hallazgo de Eratóstenes es un hito en la ciencia hasta hoy.
Página
54
Elementos en la circunferencia
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Se denomina radio a cualquiera de los segmentos que unen el centro con un punto de la circunferencia, o bien, a la longitud de estos segmentos. En la figura, con la ayuda de un compás se ha trazado una circunferencia. La punta del compás se ha apoyado en un punto fijo O, que se denomina centro de la circunferencia.
Pero, ¿qué caracteriza a todos los puntos P que están en la circunferencia? Si observas bien, verás que todos los puntos están a la misma distancia del centro, esta distancia se denomina radio de la circunferencia. Además, tenemos los siguientes elementos:
Página
55
Cuando se tienen dos circunferencias en un mismo plano, se pueden tener las siguientes posiciones relativas:
Cuando hablamos del ángulo formado entre dos rectas no perpendiculares, nos referimos a cualquiera de los ángulos agudos que se forman.
Página
56
Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia
En toda circunferencia se distinguen tres tipos de ángulos diferentes. i. Angulo del centro: Se llama ángulo del centro a cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia. Todo ángulo central corta a la circunferencia en dos puntos que determinan un arco comprendido.
Así, un ángulo de 360º comprende a la circunferencia completa, un ángulo de 180º divide a la circunferencia
en dos arcos iguales y un ángulo recto comprende un arco que es la mitad de una semicircunferencia.
De esta manera es posible identificar cada ángulo
central con su arco de circunferencia correspondiente. El ángulo central de la figura se
corresponde con el arco de
circunferencia dibujado en rojo.
Es posible establecer esta
correspondencia entre cualquier
ángulo central y su arco de
circunferencia, o bien, en sentido
contrario, entre cualquier arco y
su ángulo central.
Por esta razón, podemos hablar de la amplitud del arco, que en
este caso es de 140º.
Ejemplo:
Observa que los lados del AOB intersecan a la circunferencia
en los puntos A y B. Se dice que
el AOB subtiende el arco AB.
La medida de un arco también se puede expresar en grados sexagesimales, así, el arco de la circunferencia mide lo mismo que el ángulo del centro que lo subtiende.
Cuando dos líneas cortan a otra formando un arco, se dice que ellas lo subtienden. En la figura, las líneas subtienden el arco AB.
Los arcos en una circunferencia se leen en sentido contrario de los punteros del reloj; en la figura, con rojo se marca el arco AB y con verde el arco BA.
Página
57
ii. Angulo inscrito: Se llama ángulo inscrito al ángulo que tiene su vértice P en la circunferencia, de forma que sus lados son secantes con la circunferencia. Si A y B son los puntos en que los lados del ángulo inscrito APB cortan a la circunferencia y consideramos el ángulo central AOB que queda determinado por los puntos A y B, resulta entonces que este ángulo central AOB tiene amplitud doble que el ángulo inscrito APB. Sabemos así que la amplitud de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente.
La amplitud de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente. No depende de las medidas de otros ángulos. Esto se cumple tanto si el centro de la circunferencia está dentro o fuera del ángulo inscrito. En las siguientes situaciones se cumple que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo
arco: 𝜷 = 𝟐𝜶
Página
58
iii.- ángulo semi inscrito Son aquellos cuyo vértice pertenece a la circunferencia, uno de sus lados es una cuerda y el otro es tangente a la circunferencia.
BAT es ángulo semi
inscrito.
AB es cuerda.
AT es tangente a la circunferencia en A.
El ∢𝛼 = 𝛽
El ∢𝛼 =𝛾
2 además ∢𝛽 =
𝛾
2
∢2𝛼 = 𝛾 ∢2𝛽 = 𝛾 Ejemplo:
Determinar el valor del ∢ 𝛼, 𝛽, 𝛾
Si el arco 𝐴�̂� = 132°
Como el arco 𝐴�̂� = 132°, será igual al
∢ 𝛾 por lo tanto ∢ 𝛾 mide 132°
Como ∢ 𝛾 = 2𝛽 entonces
𝛽 = 132°
2= 66°
Además se tiene que ∢𝛼 = 𝛽
El ∢ 𝛼 = 66°
Página
59
Ángulos interiores y exteriores en una circunferencia. Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan.
i. Angulo interior: Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan. Un ángulo interior mide la semi-suma de los arcos que Subtiende. Ejemplo: Encuentra el valor del ángulo α
𝜶 =𝟒𝟑° + 𝟑𝟓°
𝟐
𝜶 =𝟕𝟖°
𝟐
𝜶 = 𝟑𝟗°
Página
60
ii. Angulo exterior:
Un ángulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son secantes o tangentes. Un ángulo exterior mide la semi-diferencia de los arcos que subtiende. Ejemplo:
𝟑𝟕° =𝟏𝟐𝟏° − 𝜷°
𝟐
𝟐 ∙ 𝟑𝟕° = 𝟏𝟐𝟏° − 𝜷
𝟕𝟒° = 𝟏𝟐𝟏° − 𝜷
𝟕𝟒° − 𝟏𝟐𝟏 = −𝜷
−𝟒𝟕° = −𝜷 /−𝟏
𝟒𝟕° = 𝜷
Página
61
GUÍA N° 7 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- CALCULA EL VALOR DEL ANGULO PEDIDO EN CADA CASO.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
OA 07 IDENTIFICAR ÁNGULOS INSCRITOS Y DEL CENTRO EN UNA CIRCUNFERENCIA, Y RELACIONAR LAS MEDIDAS DE DICHOS ÁNGULOS.
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
A) 37,5°
B) 150°
C) 55°
D) 100°
E) N. de las A.
1.- ENCUENTRA EL VALOR DEL ÁNGULO α.
A) 132°
B) 264°
C) 66°
D) 33°
E) N. de las A.
2.- ENCUENTRA EL VALOR DEL ÁNGULO α.
A) 19°
B) 38°
C) 90°
D) 76°
E) N. de las A.
3.- ENCUENTRA EL VALOR DE x.
X
Página
62
A) 120°
B) 60°
C) 30°
D) 180°
E) N. de las A.
4.- ENCUENTRA EL VALOR DE α.
A) 120° Y 60°
B) 60° Y 30°
C) 21° Y 42°
D) 10,5° Y 42°
E) N. de las A.
5.- ENCUENTRA EL VALOR DE α y β.
A) 72° Y 60°
B) 72° Y 36°
C) 18° Y 72°
D) 72° Y 46°
E) N. de las A.
6.- ENCUENTRA EL VALOR DE α y β.
A) 25°
B) 60°
C) 75°
D) 50°
E) N. de las A.
7.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. CD ES DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA.
Página
63
A) 180°
B) 90°
C) 45°
D) 100°
E) N. de las A.
8.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. CD ES DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA.
A) 86°
B) 22,5°
C) 43°
D) 100°
E) N. de las A.
9.- ENCUENTRA EL VALOR DE α.
A) 66°, 66° 130°°
B) 130°, 66°, 66°
C) 45°, 90°, 90°
D) 66°, 66°, 132°
E) N. de las A.
10.- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ, respectivamente. DB ES arco = 132°
A) 180° y 90°
B) 100° y 40°
C) 45° y 90°
D) 100° y 50°
E) N. de las A.
11.- ENCUENTRA EL VALOR DE β, γ, respectivamente.
Página
64
A) 43° Y 94°
B) 43° Y 86°
C) 45° Y 86°
D) 100° Y 94°
E) N. de las A.
12- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β RESPECTIVAMENTE. DB ES arco = 94°.
A) 256°
B) 128°
C) 32°
D) 64°
E) N. de las A.
13.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. FE ES ARCO = 256°.
A) 180°
B) 90°
C) 45°
D) 100°
E) N. de las A.
14.- ENCUENTRA EL VALOR DE β. BD ES ARCO = 126°.
A) 46°
B) 61°
C) 73°
D) 100°
E) N. de las A.
15.- ENCUENTRA EL VALOR DE α.
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑩𝑫̅̅̅̅̅
Página
65
A) 180°
B) 360°
C) 60°
D) 120°
E) N. de las A.
16.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. ABGHJD ES EXAGONO REGULAR.
A) α = DEL CENTRO, β = INSCRITO
B) α = INSCRITO, β = INSCRITO
C) α = INSCRITO, β = DEL CENTRO
D) α = DEL CENTRO, β = EXTERIOR
E) N. de las A.
17.- CLASIFICA LOS S α, β. SEGÚN CORRESPONDA.
A) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= SEMI INSCRITO
B) α = ∢ INSCRITO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= INSCRITO
C) α = ∢ INSCRITO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= INTERIOR
D) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= SEMI INSCRITO
E) N. de las A.
18.- CLASIFICA LOS S α, β, γ. SEGÚN CORRESPONDA.
A) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= SEMI INSCRITO
B) α = ∢ INSCRITO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= INSCRITO
C) α = ∢ INSCRITO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= INTERIOR
D) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= SEMI INSCRITO
E) N. de las A.
19.- CLASIFICA LOS S α, β, γ. SEGÚN CORRESPONDA.
Página
66
A) 25°
B) 50°
C) 150°
D) 100°
E) N. de las A.
20.- DETERMINA EL VALOR DE α.
A) 180° Y 90°
B) 90° Y 45°
C) 120° Y 120°
D) 100° Y 120°
E) N. de las A.
21.- DETERMINA EL VALOR DE α y β
A) 180°, 60°, 100°
B) 90°, 60° , 60°
C) 30°, 60°, 100°
D) 100°, 60°, 25°
E) N. de las A.
22.- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ RESPECTIVAMENTE.
A) 78°
B) 43°
C) 40°
D) 39°
E) N. de las A.
23.- EN LA FIGURA a, CALCULA EL VALOR DE α.
Página
67
A) 195°
B) 121°
C) 37°
D) 86°
E) N. de las A.
24.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE β.
A) 71°
B) 51°
C) 61°
D) 41°
E) N. de las A.
25.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α.
A) 74°, 105°, 43°
B) 90° , 106°, 43°
C) 43°, 100°, 74°
D) 74°, 106°, 43°
E) N. de las A.
26.- EN LA FIGURA d ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ. RESPECTIVAMENTE
A) 109°, 71°
B) 190°, 71°
C) 45°, 90°
D) 100°, 56°
E) N. de las A.
27.- EN LA FIGURA e ENCUENTRA EL VALOR DE α, β.
Página
68
A) 94°
B) 47°
C) 66°
D) 122°
E) N. de las A.
28.- EN LA FIGURA f ENCUENTRA EL VALOR DE α
A) 180°
B) 90°
C) 45°
D) 100°
E) N. de las A.
29.- EN LA FIGURA a ENCUENTRA EL VALOR DE α
A) 80°
B) 55°
C) 110°
D) 98°
E) N. de las A.
30.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE α.
A) 4°, 128°, 120°
B) 4°, 128°, 60°
C) 4°, 168°, 12°
D) 104°, 4°,7°
E) N. de las A.
31.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ.
Página
69
A) 180°, 70°
B) 110°, 70°
C) 110° 40°
D) 100°, 80°
E) N. de las A.
32.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α, γ. RESPECTIVAMENTE
A) 190°
B) 90°
C) 70°
D) 1090°
E) N. de las A.
33.- EN LA FIGURA e DETERMINA EL VALOR DE β.
A) 68°, 111, 43°
B) 68,5°, 111,5°, 43,5°
C) 65°, 11,5°, 43,5°
D) 58°, 111,5°, 43,5°
E) N. de las A.
34.- EN LA FIGURA f ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ.
35.- EN LA FIGURA h ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ, δ. RESPECTIVAMENTE
40°
E
A) 68°, 60, 43°, 60°
B) 68°, 60°, 60°, 60°
C) 78°, 60°, 60°, 60°
D) 58°, 60°, 43°, 60°
E) N. de las A.
Página
70
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 7 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
1) ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 34 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2) RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3) TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4) SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 5) USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
PANEL DE RESPUESTAS
Página
71
Cuerdas y Secantes en la Circunferencia
Todo segmento cuyos extremos están situado en una circunferencia, se llama cuerda de esta circunferencia y toda cuerda que pasa por su centro se denomina diámetro.
AB es cuerda
DB es cuerda
AD es cuerda
Teorema de las Cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, su punto de intersección las divide en segmentos proporcionales.
De aquí se concluye que AP · BP = CP · DP.
AB y CD son cuerdas de la circunferencia.
Página
72
Teorema de las Secantes Si dos secantes a una circunferencia se cortan en un punto fuera de ella, los puntos de intersección de cada una con la circunferencia determinan segmentos proporcionales.
De aquí se concluye que PA · PB = PC · PD.
Teorema de la Secante y la Tangente Si una tangente y una secante se trazan desde un mismo punto, la tangente es la media proporcional de los segmentos determinados por la secante hasta cada punto de intersección con la circunferencia.
PA2 = PB · PC
Página
73
GUÍA N° 8 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
i.- CALCULA EN CADA CASO EL VALOR DE “X”. APLICA EL TEOREMA DE LAS CUERDAS.
OA 08 DEMOSTRAR RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE TRAZOS DETERMINADOS POR CUERDAS Y SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA.
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
A) 3
B) 4
C) 5
D) 8
E) N. de las A.
1.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) N. de las A.
2.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) N. de las A.
3.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE
Página
74
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) N. de las A.
4.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE
A) 10
B) 20
C) 70
D) 30
E) N. de las A.
5.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) N. de las A.
6.- EN LA FIGURA a ENCUENTRA EL VALOR DE x.
7.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE x
A) 4
B) 9
C) 2
D) 6
E) N. de las A.
Página
75
A) 5
B) 9
C) 7
D) 6
E) N. de las A.
8.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE x
A) 4
B) 5
C) 7
D) 6
E) N. de las A.
9.- EN LA FIGURA d DETERMINA EL VALOR DE x
A) 14
B) 15
C) 17
D) 16
E) N. de las A.
B) 5
C) 7
D) 6
E) N. de las A.
10.- EN LA FIGURA e ENCUENTRA EL VALOR DE x
11.- En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia, CP es
diámetro. A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) N. de las A.
Página
76
11.- En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia, CP es
diámetro. A) 8
B) 13,5
C) 23
D) 23,5
E) N. de las A.
11.- En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia, CP es
diámetro. A) 8
B) 9
C) 12
D) 4
E) N. de las A.
12.- desde el punto P situado a 10 cm del centro de la circunferencia de radio 6 cm., se traza una
recta tangente a ella, siendo T el punto de tangencia. ¿Cuál es la medida del segmento 𝑻𝑷̅̅ ̅̅ ?
A) 8
B) 9
C) 12
D) 4
E) N. de las A.
13.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura a.
A) 8,2
B) 9
C) 2,2
D) 4
E) N. de las A.
Página
77
14.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura b.
A) 8
B) 9
C) 12
D) 4
E) N. de las A.
15.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura c.
A) 8
B) 9
C) 12
D) 6
E) N. de las A.
16.- Determine la medida del radio ( r ) de la ⃝ si PB es tangente a ella en el punto B; PB = 6 cm, PC =4 cm.
A) 8,4
B) 9,8
C) 3,4
D) 2,5
E) N. de las A.
17.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
A) 14
B) 18
C) 13
D) 12
E) N. de las A.
Página
78
18.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) N. de las A.
19.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
A) 41
B) 18
C) 13
D) 15
E) N. de las A.
20.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
A) 14
B) 18
C) 13
D) 15
E) N. de las A.
21.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
A) 4
B) 8
C) 3
D) 5
E) N. de las A.
Página
79
22.- AD es tangente a la ⃝ de diámetro AB en el punto A. si AD = 12 cm y CD = 6cm,
determina el radio de la ⃝.
A) 𝟒√𝟑
B) 𝟓√𝟑
C) 𝟔√𝟑
D) 𝟏𝟐√𝟑
E) N. de las A.
23.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la ⃝ y CB es diámetro.
A) 14
B) 18
C) 13
D) 125
E) N. de las A.
24.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la ⃝ y CB es diámetro.
A) 40
B) 80
C) 30
D) 50
E) N. de las A.
25.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la ⃝ y CB es diámetro.
A) 4,7
B) 7,5
C) 3,7
D) 5,3
E) N. de las A.
Página
80
HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 8 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA
INSTRUCCIONES:
PANEL DE RESPUESTAS
6) ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 25 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 7) RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 8) TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON
DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 9) SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO
HASTA AHÍ. 10) USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.
Ptje. Obt.
NOTA
Curso Fecha N° LISTA
Nombre
Ptje. TOTAL.
PANEL DE RESPUESTAS
Página
81
Homotecia y Semejanza
Podemos decir que una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano (llamado Centro De Homotecia), y a una razón dada, llamada Razón De Homotecia. Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a la original, con lados paralelos a esta. Para aplicar una homotecia se debe considerar: El centro de homotecia punto (O). A partir del cual se
alinean los vértices de la figura original y de la figura imagen.
La razón de homotecia (K). Es la razón de semejanza entre la figura resultante y la original.
Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado del centro.
Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos al centro.
Página
82
MIS APUNTES
Volvamos al plano cartesiano. Dibujemos en él un cuadrilátero, elijamos el punto A:(1,1) como nuestro centro de homotecia y los puntos B:(2,2), C:(3,4), D:(1,5) y E:(0,3) como vértices del cuadrado.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √12 + 12 = √1 + 1 = √2 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 …
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √22 + 32 = √4 + 9 = √13 = 𝟑, 𝟔𝟏 …
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝟒
𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = √12 + 22 = √1 + 4 = √5 = 𝟐, 𝟐𝟒 …
Calculemos las distancias desde A a los vértices. Para ello utilicemos la fórmula:
CASO 1
Página
83
MIS APUNTES
𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟐, 𝟏𝟏𝟖
𝟑, 𝟔𝟏 × 𝟏, 𝟓 = 𝟓, 𝟒𝟏𝟓
𝟒 × 𝟏, 𝟓 = 𝟔
𝟐, 𝟐𝟒 × 𝟏, 𝟓 = 𝟑, 𝟑𝟔
Supongamos que queremos multiplicar las distancias desde A a cualquier punto de la figura por 1,5 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del cuadrilátero. Así, si calculamos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por 1,5 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices.
Que son los largos de los trazos a dibujar desde A
hasta B, C, D y E .
𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐
2,24
𝟑, 𝟔𝟏
4
Página
84
MIS APUNTES Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura
GHKL:
Hemos obtenido un cuadrilátero homotético al primero.
Entonces: cuando la razón es MAYOR que uno, AGRANDAREMOS la figura.
𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏
𝟑, 𝟔𝟏 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟖𝟎𝟓
𝟒 × 𝟎, 𝟓 = 𝟐
𝟐, 𝟐𝟒 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟏𝟐
SI ahora queremos multiplicar las distancias desde A a los vértices de la figura por 0,5 (razón de homotecia). Como ya tenemos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por 0,5 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices serán:
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GHIJ
CASO 2
Página
85
MIS APUNTES
Hemos obtenido un cuadrilátero homotético al primero.
Entonces: cuando la razón es MENOR que
uno, ACHICAREMOS la figura.
𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × −𝟐 = −𝟐, 𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟑, 𝟔𝟏 × −𝟐 = −𝟕, 𝟐𝟐
𝟒 × −𝟐 = −𝟖
𝟐, 𝟐𝟒 × −𝟐 = −𝟒, 𝟒𝟖
Veamos ahora que queremos multiplicar las distancias desde A a los vértices de la figura por -2 (razón de homotecia). Como ya tenemos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por -2 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices serán:
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GHIJ
CASO 3
Página
86
MIS APUNTES Como te puedes fijar, en las construcciones que acabamos de hacer proyectamos siempre los nuevos vértices hacia el mismo sentido del trazo que unía el punto A con el resto de los vértices del cuadrilátero. Si miramos los trazos
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ como vectores, el hecho de amplificar por un número positivo sería lo que en física llamamos ponderación de un vector por un escalar... Cuando se pondera un vector por un escalar positivo, el sentido se conserva. Sin embargo, cuando se pondera un vector por un escalar negativo, su sentido cambiará y estará en sentido opuesto al que debiera estar si multiplicáramos por ese mismo número positivo. Por lo tanto, Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, pero en sentido contrario hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GKIH.
Hemos obtenido un cuadrilátero homotético al primero.
Entonces: cuando la razón es NEGATIVA, será una reflexión respecto al punto A
Página
87
MIS APUNTES Volvamos al plano cartesiano. Dibujemos en él un triángulo, elijamos el punto A:(1,2) como nuestro centro de homotecia y los puntos B:(4,2), D:(4,6), como vértices del triángulo.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝟑
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 𝟓
Calculemos las distancias desde A a los vértices. Para ello utilicemos la fórmula:
𝟑 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟓
𝟓 × 𝟎, 𝟓 = 𝟐, 𝟓
Supongamos que multipliquemos las distancias desde A a cualquier VÉRTICE de la figura por 0,5 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: ACE
CASO 4
Página
88
MIS APUNTES
Hemos obtenido un Triángulo homotético al primero.
La nueva figura queda dentro de la primera por ser más pequeña (la razón es positiva, pero
menor que 1)
Página
89
MIS APUNTES
𝟑 × −𝟐 = −𝟔
𝟓 × −𝟐 = −𝟏𝟎
Supongamos que multipliquemos las distancias desde A (uno de los vértices del triángulo) a los otros Vértices de la figura por -2 . Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién
calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el
nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: AED.
Hemos obtenido un Triángulo homotético al primero.
La nueva figura queda reflejada invertida y más grande de la primera (la razón es negativa, pero menor que 0)
CASO 5
Página
90
MIS APUNTES
𝑶𝑨̅̅ ̅̅ : 𝟒, 𝟒𝟕 × 𝟏, 𝟔 = 𝟕, 𝟏𝟓
𝑶𝑩̅̅̅̅̅: 𝟐, 𝟖𝟑 × 𝟏, 𝟔 = 𝟒, 𝟓
𝑶𝑪̅̅ ̅̅ ∶ 𝟑 × 𝟏, 𝟔 = 𝟒, 𝟖
Ahora tomemos un punto “O” como centro de homotecia, un
punto al interior de una figura y una razón de 8
5 (que es
igual a 1,6) Para encontrar las distancias desde O hasta los vértices del triángulo, debemos usar la fórmula:
Ahora multipliquemos las distancias desde O a los otros vértices de la figura por 1,6 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién
calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde O, hasta el
nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: DEF.
Hemos obtenido un Triángulo homotético al primero.
La nueva figura queda más grande que la primera SEMEJANTE EN PROPORCIÓN A
LA ORIGINAL.
CASO 6
Página
91
MIS APUNTES CASO 7
𝑶𝑨̅̅ ̅̅ : 𝟒, 𝟒𝟕 × −𝟎, 𝟒 = −𝟏, 𝟕𝟖𝟖
𝑶𝑩̅̅̅̅̅: 𝟐, 𝟖𝟑 × −𝟎, 𝟒 = −𝟏, 𝟏𝟑𝟐
𝑶𝑪̅̅ ̅̅ ∶ 𝟑 × −𝑶, 𝟒 = −𝟏, 𝟐
Ahora tomemos un punto “O” como centro de homotecia, un
punto al interior de una figura y una razón de −2
5 (que es
igual a -0,4) Para encontrar las distancias desde O hasta los vértices del triángulo, debemos volver a usar la fórmula:
Ahora multipliquemos las distancias desde O a los otros vértices de la figura por -0,4 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.
Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién
calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde O, hasta el
nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: DEF.
Hemos obtenido un triángulo homotético al primero.
La nueva figura queda reflejada, invertida, al interior de la figura original y más pequeña de la primera (la razón es negativa, pero menor que 0)
Página
92
MIS APUNTES
Una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano, llamado centro de homotecia, y a una razón dada, llamada razón de homotecia.
La homotecia se puede considerar una operación vectorial, ya que es la resultante de ponderar vectores dirección (del centro de homotecia hasta cada punto de la figura) por un escalar (razón de homotecia).
Si la razón de homotecia es positiva y mayor que uno, la figura semejante será más grande y estará en el mismo sentido de la original.
Si la razón de homotecia es positiva y menor que uno, la figura semejante será más pequeña y estará en el mismo sentido de la original.
Si la razón de homotecia es menor que − 1, la figura semejante será más grande, pero habrá experimentado un giro con respecto a la figura original.
Si la razón de homotecia es negativa y mayor que − 1, la figura semejante será más pequeña, pero habrá experimentado un giro con respecto a la figura original.
Si el centro de homotecia está en el exterior de la figura original, su figura homotética estará separada de la original.
Si el centro de homotecia está en uno de los vértices de la figura original, su figura homotética estará unida a la primera por dicho vértice.
Si el centro de homotecia está dentro de la figura original y la razón, en módulo, es mayor que 1, entonces la figura original se encontrará dentro de su homotética.
Si el centro de homotecia está dentro de la figura original y la razón, en módulo, es menor que 1, entonces la figura homotética se encontrará dentro de la original.
Como las figuras homotéticas son figuras semejantes se cumplirá que, si su razón de semejanza es r, entonces:
La razón entre sus perímetros será también r La razón entre sus áreas será r 2 La razón entre sus volúmenes (en caso de ser
tridimensionales) será r 3
Página
93
GUÍA N° 9 2° AÑO MEDIO RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. DADAS LAS SIGUIENTES FIGURAS, EL CENTRO Y RAZÓN DE
HOMOTECIA, CONSTRUYE LA FIGURA HOMOTÉTICA CORRESPONDIENTE EN CADA
CASO.
𝑂𝑆̅̅̅̅ : √32 + 32 = √9 + 9 = √18 = 𝟒, 𝟐𝟒
𝑂𝑈̅̅ ̅̅ : √12 + 6 = √1 + 36 = √37 = 𝟔, 𝟎𝟖
𝑂𝑇̅̅ ̅̅ : √22 + 12 = √4 + 1 = √5 = 𝟐, 𝟐𝟒
𝑂𝑆̅̅̅̅ : 4,24 × 0,5 = 𝟏, 𝟎𝟔
𝑂𝑈̅̅ ̅̅ : 6,08 × 0,5 = 𝟑, 𝟎𝟒
𝑂𝑇̅̅ ̅̅ : 2,24 × 0,5 = 𝟏, 𝟏𝟐
Ptje. Obt.
NOTA
LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com
Curso Fecha N° LISTA
Nombre AE 09 DEMOSTRAR TEOREMAS RELATIVOS A LA HOMOTECIA DE FIGURAS PLANAS
1° Paso:
Encontrar la Medida los trazos OA, OB, OC,
usando la fórmula de distancia entre dos puntos.
2° Paso:
Multiplicar cada valor por la razón de homotecia.
3° Paso:
Trazar los segmentos, con las nuevas medidas, para
encontrar los nuevos vértices (S, U, T).
4° Paso:
Unir los vértices encontrados, nombrar los vértices
y pintar la figura homotética.
R. H. = 0,5 EJEMPLO
1 CALCULA LAS MEDIDAS DESDE EL CENTRO A LOS VÉRTICES, REALIZA LAS MULTIPLICACIONES DE ESTAS DISTANCIAS POR LA RAZÓN DE HOMOTECIA, ETC.
Página
94
1 R. H. = 0,5
2 R. H. = 1,6
3 R. H. = -1,6
Página
95
4 R. H. = -0,6
5 R. H. = 0,6
C. de H. = B
6 R. H. = 0,5
C. de H. = B
8
R. H. = -0,5
C. de H. = O: (3,2)
7
R. H. = -0,8
C. de H. = O: (3,2)
Página
96
MAAC
2015
Este cuaderno auxiliar de Matemática,
fue diseñado por Marcelo A. Aravena C.
exclusivamente para 1° de E. M. del
Liceo Politécnico Domingo Santa María.
2015
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