panjang busur ap = t keliling c =...
Post on 28-Apr-2019
306 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran
satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik
asal.
X2 + y2 = 1
Panjang busur AP = t
y
C
y
xxA (1,0)
Keliling C = 2π
Jika t = π, maka P setengah
jalan mengelilingi ligkaran,
P(-1,0).
t = 3/2π, maka P(0,-1)
t = 2π, maka P(1,0)
t>2π , perlu lebih 1 putaran
t<2π, maka = t
P(x,y)
t
Fungsi sinus dan kosinus
t bilangan real menetukan titik P(x,y), maka:
sin t = y cos t = x
Sifat dasar sinus dan kosinus
Daerah hasil atau x dan y (antara 1 dan -1) atau [-
1,1]
Keliling Lingkaran = 2π, nilai t dan t + 2π
menentukan titik P(x,y) yang sama;
sin (t + 2π) = sin t cos (t + 2π) = cos t
y
x(1,0)
P1(x,y)t
P2(x,-y) -t
Titik P1 dan P2 berkorespondensi dengan t dan –t,
masing-masing simetri terhadap sumbu x. Jadi
koordinat x dari P1 dan P2 adalah sama, dan y hanya
berbeda tanda.
Sin (-t) = -sin t cos (-t) = cos t
y
x(1,0)
P4(y,x)t
-t
(0,1)
P3(x,y)
Y=x
t
Titik P3 dan P4 berkorespondensi dengan t dan π/2 –
t simetri terhadap garis y = x, sehingga koordinat
saling tukar.
Sin (π/2 –t) = cos t cos (π/2 –t) = sin t
Sehingga
sin2t + cos2t = 1
y
x
P
-t
(0,1)
Y=x
π/4xx
1
B
t= π/4, maka:
1 = x2 + y2 = cos2π/4 + cos2π/4
Sama sisi, sisi r = 1, garis tinggi h=½ membagi 2 sisi r.
Sin 30 = ½ = cos 60
Cos 30 = ½ = sin 60
Tg 30 = 1/3 = cotg 60
sec 30 = 2/3 = cosec 60
cosec 30= 2 = sec 60
cotg 30 = = tg 60
Grafik Sinus dan Kosinus
t Sin t Cos t
0 0 0
𝜋/6 ½ 3 /2
𝜋/4 2/2 2 /2
𝜋/3 3/2 1/2
𝜋/2 1 0
2𝜋/31
3/2-1/2
3𝜋/4 2 /2 - 2 /2
5𝜋/6 1/2 - 3 /2
𝜋 0 -1
4 hal:1. Sin t dan cos t berkisar -1 sampai 1.2. Kedua grafik berulang pada interval
yang berdampingan di sepanjang 2𝜋.3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik
asal, dan y = cos t simetri terhadapsumbu y.
4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser 𝜋/2 satuan ke kanan
Tambahkan gambar grafik…..
Periode dan amplitude Fungsi trigonometri
o Fungsi f dikatakan periodic jika terdapat suatu
bilangan p sedemikian rupa sehingga:
o F(x+P) = f(x)
o P = periode f.
o Fungsi sinus adalah periodic karena sin (x+12𝜋) =
sin x.
o Sin (x+4𝜋) = sin (x-2𝜋) = sin(x+12𝜋) = sin x
o Fungsi sinus dan cosinus periodic dengan 2𝜋.
o Fungsi sin(at) memiliki periode 2𝜋/a:
o Sin[a(t+2𝜋
𝑎)] = sin[at + 2𝜋] = sin (at)
Berapakah fungsi periodic berikut?a. Sin (2𝜋t) b. cos (2t) c. sin (2𝜋𝑡/12)
Jawab:
a.
Derajat Radian
0 0
30 𝜋/6
45 𝜋/4
60 𝜋/3
90 𝜋/2
120 2𝜋/3
135 3𝜋/4
150 5𝜋/6
180 𝜋
360 2𝜋
1800 = 𝜋 = 3.1415927 radian1 radian ≈ 57.2950
10= 0.0174533 radian
Fungsi trigonometri sudut yang lebih besar 90
atau yang negatif dapat diperoleh:
Sin (-α) = -sinα = -y/r
Cos (-α) = cos α = x/r
Tg (-α) = -tg α
Sin (180-α) = y/r = sin α
Cos (180-α) = -x/r = cos α
Tg (180-α) = ctg α
Sin (90 + α) = x/r = cos α
Cos (90 + α) = -y/r = -sin α
Tg (90 + α) = -cotg α
Sin (α± k2π) = sin α; k = 1,2,3
Fungsi dari jumlah sudut
Cos (α-β) = cos α . Cos β + sin α. Sinβ
Cos (α+β) = cos α . Cos β - sin α. Sinβ
Sin (α-β) = sin α . Cos β - cos α. Sinβ
sin (α+β) = sin α . Cos β + cos α. Sinβ
Identitas sudut ganda
Sin 2x = 2 sin x cos x
Cos 2x = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥
Limit
Luas lingkaran adalah limit dari poligon-poligon
beraturan ketika n (banyaknya sisi poligon)
meningkat tanpa batas.
grafik fungsi y = f(x) untuk a ≤ x ≤ b. grafik
berupa garis lurus, maka mudah dicari dengan
rumus jarak. Bagaimana dengan grafik
melengkung?
Makna Limit secara Intuisi
Bahwa ; berarti bahwa ketika x dekat
tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.
Limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat
c, bukan di c. makna dekat? Seberapa dekat adalah
dekat?.
Tak terdefinisi jika x = 1, karena
x
1,25 3,813
1,1 3,310
1,01 3,030
1,001 3,003
1,0 ?
0,999 2,997
0,99 2,970
0,9 2,710
0,75 2,313
1,25
1,1
1,011, 0010,9990,99
0,9
0,75
x y
3,813
3,310
3,030
3,003
2,997
2,970
2,710
2,313
Diagram skematis
= 12 +1+1 = 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
LIMIT SATU SISI
x c+ (x mendekati c dari kanan)
x c- (x mendekati c dari kiri)
LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
berarti bahwa ketika x dekat
tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) dekat
ke L.
berarti bahwa ketika x dekat
tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke
L.
4
3
2
1
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
Pengkajian Mendalam Tentang Limit
Gunakan plot dari y = f(x) = 3x2 untuk menentukan
seberapa dekat x seharusnya ke 2 untuk menjamin
bahwa f(x) berada di dalam 0,05 dari 12.
Jawab:
11,95<f(x)<12,05.
Garis y = 11.95 dan 12,05. y = 3x2 , ,
sehingga
Interval untuk x = 1,99583 < x < 2,00416
14
13
12
11
10
1,6 1,8 2 2,2 2,4
y= 12,05
y= 11,95
y = 3x2
12,1512,112,051211,9511,911,85
y= 12,05
y= 11,95
1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 x
y = 3x2
x = 1,99583 < x < 2,00416
Pengertian presisi Limit
limx→c
f x = L, berarti bahwa untuk tiap ε > 0 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑝𝑢𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙𝑛𝑦𝑎 ,
𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehinggga |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < εasalkan bahwa 0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿;
0 < |𝑥 − 𝑐 | < 𝛿 |𝑓 𝑥 − 𝐿 | < ε
Teorema Limit
1. lim𝑥→𝑐
𝑘 =𝑘
2. lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
3. lim𝑥→𝑐
𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
4. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
5. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
6. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
7.lim𝑥→𝑐
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥, asalkan lim
𝑥→𝑐g(x) ≠ 0
8.lim𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 ]𝑛= [lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ]𝑛
9. lim𝑥→𝑐
𝑛 lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥), asalkan lim𝑥→𝑐
f(x) > 0 ketka n genap.
Soal
1. limx→3
2x4 = 2 limx→3
x4 = 2 [limx→c
x]4 = 2[3]4= 162
2. limx→4
(3x2−2x) = limx→4
3x2 − limx→4
2x = 3 limx→4
x2− 2 limx→4
x
= 3 [limx→4
x]2− 2 limx→4
x = 3 4 2 − 2 4 = 40
3.limx→4
x2+9
x=
limx→4
x2+9
limx→4
x=
limx→4
(x2 +9)
4= 1/4 [lim
x→4x ]2+lim
x→49 =
1/4 [limx→4
x]2 + 9
= 1/4 42 + 9 =5
4
4. lim𝑥→3
𝑓 𝑥 = 4 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→3
𝑔 𝑥 = 8, 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎ℎ
lim𝑥→3
[𝑓2 𝑥 .3𝑔 𝑥 ]
lim𝑥→3
[𝑓2 𝑥 .3𝑔 𝑥 ] = lim
𝑥→3𝑓2(x). lim
𝑥→3
3 𝑔(𝑥)
= [lim𝑥→3
𝑓(𝑥)]2. 3 lim𝑥→3
𝑔(𝑥)
= [4]2.38
= 32
Jika f(x) fungsi polynomial atau fungsi rasional
maka:
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
lim𝑥→2
7𝑥5−10𝑥4−13𝑥+6
3𝑥2−6𝑥−8=
7.25−10.24−13.2+6
3.22−6.2−8= -
11
2
o lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1= lim
𝑥→1
𝑥−1 𝑥+1
𝑥−1= lim
𝑥→1𝑥 + 1 = 1+1=2
Carilah lim𝑥→1
𝑥2+3𝑥−10
𝑥2+𝑥−6
Limit di Tak hingga
Fungsi g(x) =𝑥
(1+𝑥2)
Ketika x semakin besar?
limt→∞
g x .
X ∞ : bahwa x semakin membesar tanpa batas.
x𝑥
(1 + 𝑥2)
10 0.099
100 0.010
1000 0.001
10000 0.0001
∞ ?
g(x) semakin kecil ketika x
semakin besar.
limx→∞
x
1+x2= 0
limx→−∞
x
1+x2= 0
limx→∞
x
1+x2= lim
x→∞
𝑥
𝑥2
1+𝑥2
𝑥2
= limx→∞
1
𝑥1
𝑥2+1
= limx→∞
limx→∞
1
𝑥
limx→∞
1
𝑥2+ limx→∞
1=
0
0+1=0
Soal:
limx→∞
2𝑥3
1+𝑥3
Limit Barisan
o Daerah asal beberapa fungsi adalah himpunan
bilangan asli {1,2,3…}.
o an ketimbang a(n), untuk menyatakan suku ke-n
atau {an}.o Barisan oleh an = n/(n+1)
o Ketika n menjadi besar :
a1=½, a2 =2/3, a3=¾, a4 =4/5,…. a100= 100/101,…
o Nilainya mendekati 1, sehingga limn→∞
an = 1
o limn→∞
n+1
n+2= lim
n→∞
n+1
n+2
1/2= lim
n→∞
n/n+1/n
n/n+2/n
1/2=
1+0
1+0
1/2=1
Limit Tak-Hingga
lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = ∞
F(x) dibuat sebesar yang diinginkan dengan mengambil xcukup dekat tetapi di kanan c.Contoh:
lim𝑥→1−
𝟏
𝒙−𝟏 𝟐 dan lim𝑥→1+
𝟏
𝒙−𝟏 𝟐
x y
2 1
3 0.25
4 0.111111
5 0.0625
6 0.04
7 0.027778
Sehingga:
lim𝑥→1−
1
𝑥−1 2 = ∞ dan lim𝑥→1+
1
𝑥−1 2 = ∞
o limx→2+
x+1
x2−5x+6= lim
x→2+
x+1
(x−3)(x−2)=
2+1
(2−3)(2−2)=
3
(−1)(0)=- ∞
o 1/ ∞ = 0
o 1/0 = ∞
Limit melibatkan fungsi Trigonometri
lim𝑡→𝑐
sin t = sin c
lim𝑡→𝑐
cos t = cos c
lim𝑡→𝑐
tan t = tanc c
lim𝑡→𝑐
sec t = sec c
lim𝑡→𝑐
csc t = csc c
top related